Відмінності між версіями «Критерій Фішера»
(→‎Опис критерію)
 
(Не показані 48 проміжних версій ще одного користувача)
Рядок 1: Рядок 1:
 
{{Завдання|Шостак В.М.|Назаревич О. Б.|10 березня 2012}}
 
{{Завдання|Шостак В.М.|Назаревич О. Б.|10 березня 2012}}
 
{{Студент | Name=Володимир | Surname=Шостак | FatherNAme=Михайлович |Faculti=ФІС | Group=СН-51 | Zalbook=СН-11-222}}
 
{{Студент | Name=Володимир | Surname=Шостак | FatherNAme=Михайлович |Faculti=ФІС | Group=СН-51 | Zalbook=СН-11-222}}
 +
 +
'''Критерій Фішера''' застосовується для перевірки рівності [[Дисперсій випадкової величини|дисперсій]] двох вибірок.
 +
Його відносять до ''критеріїв розсіювання''.
 +
 +
При перевірці гіпотези положення (гіпотези про рівність середніх значень у двох вибірках) з використанням [[критерію Стьюдента|критерію Стьюдента]] має сенс заздалегідь перевірити гіпотезу про рівність дисперсій. Якщо вона вірна, то для порівняння середніх можна скористатися більш [[потужним критерієм|потужнім]] критерієм.
 +
 +
У [[регресійному аналізі|регресійному аналізі]] критерій Фішера дозволяє оцінювати значимість лінійних регресійних моделей.
 +
Зокрема, він використовується в [[крокової регресії|крокової регресії]] для перевірки доцільності включення або виключення незалежних змінних (ознак) у регресійну модель.
 +
 +
У [[Дисперсійному аналізі|дисперсійному аналізі]] критерій Фішера  дозволяє оцінювати значимість факторів і їх взаємодії.
 +
Критерій Фішера заснований на додаткових припущеннях про незалежність і нормальності вибірок даних.
 +
Перед його застосуванням рекомендується виконати [[Критерії нормальності|перевірку нормальності]].
 +
 +
==Приклади задач==
 +
 +
==Опис критерію==
 +
 +
Задані дві [[вибірки|вибірки]] <math>x^n=(x_1,\ldots,x_n),\; x_i \in \mathbb{R};\;\;
 +
y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}</math>.
 +
 +
Позначим через
 +
<math>\sigma_1^2</math> і <math>\sigma_2^2</math> [[Дисперсія випадкової величини|дисперсії]] вибірок <math>x^n</math> і <math>y^m</math>, <math>s_1^2</math> и <math>s_2^2</math> — вибіркові оцінки дисперсій <math>\sigma_1^2</math> і <math>\sigma_2^2</math>:
 +
::<math>s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2</math>;
 +
::<math>s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2</math>,
 +
де
 +
::<math>\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}</math> —  вибіркові средніх вибірок <math>x^n</math> і <math>y^m</math>.
 +
 +
'''Додаткове припущення''': вибірки <math>x^n</math> і <math>y^m</math> є [[Нормальне розподілення|нормальними]].
 +
Критерій Фішера чутливий до порушення припущення про нормальність.
 +
 +
'''Нульова гіпотеза''' <math>H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2</math>
 +
 +
'''Статистика критерію Фішера''':
 +
::<math>F=\frac{s_1^2}{s_2^2}</math>
 +
має [[росподіл Фішера]] з <math>n-1</math> і <math>m-1</math> степенями свободи.
 +
Звичайно в чисельнику ставиться більша із двох порівнювальних дисперсій.
 +
Одже [[критична область критерію|критичною областью критерия]] є правий хвіст розподілу Фішера,
 +
що відповідає альтернативній гіпотезі <math>H_1'</math>.
 +
 +
'''Критерій''' (при [[рівні значущості|рівні значущості]] <math>\alpha</math>):
 +
 +
*проти альтернативи <math>H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2</math>
 +
::якщо <math>F<F_{\alpha/2}(n-1,m-1)</math> або <math>F>F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)</math>, то нульова гіпотеза <math>H_0</math> відкидається на користь альтернативи <math>H_1</math>.
 +
 +
*проти альтернативи <math>H_1':\; \sigma_1^2 > \sigma_2^2</math>
 +
::якщо <math>F>F_{1-\alpha}(n-1,m-1)</math>, то нульова гіпотеза <math>H_0</math> відкидається на користь альтернативи <math>H_1'</math>;
 +
 +
де <math>F_{\alpha}(n-1,m-1)</math> є <math>\alpha</math>-[[квантиль]] розподілу Фішера з <math>n-1</math> і <math>m-1</math> степенями свободи.
 +
 +
==Література==
 +
 +
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
 +
 +
== Дивитись. також ==
 +
* [[Критерій Стьюдента]]
 +
* [[Перевірка статистичних гіпотез]]
 +
* [[Статистика (функція вибірки)]]
 +
* [[Нормальний дисперсійний аналіз]]
 +
 +
== Ссилки ==
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Распределение_Фишера Распределение Фишера] (Википедия).
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Критерий_Фишера Критерий Фишера] (Википедия).
 +
 +
[[Категорія:Планування експерименту]]
 +
 +
==Посилання==

Поточна версія на 12:18, 2 березня 2012

Blue check.png Дана стаття являється неперевіреним навчальним завданням.
Студент: Шостак В.М.
Викладач: Назаревич О. Б.
Термін до: 10 березня 2012

До вказаного терміну стаття не повинна редагуватися іншими учасниками проекту. Після завершення терміну виконання будь-який учасник може вільно редагувати дану статтю і витерти дане попередження, що вводиться за допомогою шаблону.


{{{img}}}
Імя Володимир
Прізвище Шостак
По-батькові Михайлович
Факультет ФІС
Група СН-51
Залікова книжка СН-11-222


Критерій Фішера застосовується для перевірки рівності дисперсій двох вибірок. Його відносять до критеріїв розсіювання.

При перевірці гіпотези положення (гіпотези про рівність середніх значень у двох вибірках) з використанням критерію Стьюдента має сенс заздалегідь перевірити гіпотезу про рівність дисперсій. Якщо вона вірна, то для порівняння середніх можна скористатися більш потужнім критерієм.

У регресійному аналізі критерій Фішера дозволяє оцінювати значимість лінійних регресійних моделей. Зокрема, він використовується в крокової регресії для перевірки доцільності включення або виключення незалежних змінних (ознак) у регресійну модель.

У дисперсійному аналізі критерій Фішера дозволяє оцінювати значимість факторів і їх взаємодії. Критерій Фішера заснований на додаткових припущеннях про незалежність і нормальності вибірок даних. Перед його застосуванням рекомендується виконати перевірку нормальності.

Приклади задач

Опис критерію

Задані дві вибірки [math]x^n=(x_1,\ldots,x_n),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}[/math].

Позначим через [math]\sigma_1^2[/math] і [math]\sigma_2^2[/math] дисперсії вибірок [math]x^n[/math] і [math]y^m[/math], [math]s_1^2[/math] и [math]s_2^2[/math] — вибіркові оцінки дисперсій [math]\sigma_1^2[/math] і [math]\sigma_2^2[/math]:

[math]s_1^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n {(x_i-\overline{x})}^2[/math];
[math]s_2^2=\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m {(y_i-\overline{y})}^2[/math],

де

[math]\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {x_i};\;\; \overline{y}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m {y_i}[/math] — вибіркові средніх вибірок [math]x^n[/math] і [math]y^m[/math].

Додаткове припущення: вибірки [math]x^n[/math] і [math]y^m[/math] є нормальними. Критерій Фішера чутливий до порушення припущення про нормальність.

Нульова гіпотеза [math]H_0:\; \sigma_1^2=\sigma_2^2[/math]

Статистика критерію Фішера:

[math]F=\frac{s_1^2}{s_2^2}[/math]

має росподіл Фішера з [math]n-1[/math] і [math]m-1[/math] степенями свободи. Звичайно в чисельнику ставиться більша із двох порівнювальних дисперсій. Одже критичною областью критерия є правий хвіст розподілу Фішера, що відповідає альтернативній гіпотезі [math]H_1'[/math].

Критерій (при рівні значущості [math]\alpha[/math]):

  • проти альтернативи [math]H_1:\; \sigma_1^2\neq\sigma_2^2[/math]
якщо [math]F\lt F_{\alpha/2}(n-1,m-1)[/math] або [math]F\gt F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)[/math], то нульова гіпотеза [math]H_0[/math] відкидається на користь альтернативи [math]H_1[/math].
  • проти альтернативи [math]H_1':\; \sigma_1^2 \gt \sigma_2^2[/math]
якщо [math]F\gt F_{1-\alpha}(n-1,m-1)[/math], то нульова гіпотеза [math]H_0[/math] відкидається на користь альтернативи [math]H_1'[/math];

де [math]F_{\alpha}(n-1,m-1)[/math] є [math]\alpha[/math]-квантиль розподілу Фішера з [math]n-1[/math] і [math]m-1[/math] степенями свободи.

Література

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

Дивитись. також

Ссилки

Посилання

Отримано з https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=Критерій_Фішера&oldid=13540