Сингулярне розкладання - Історія редагувань

Natalochka в 08:05, 1 березня 2012

2012-03-01T08:05:17Z

Natalochka в 08:04, 1 березня 2012

2012-03-01T08:04:27Z

Natalochka: /* SVD і норма матриць */

2012-03-01T00:04:40Z

‎SVD і норма матриць

Natalochka в 00:02, 1 березня 2012

2012-03-01T00:02:59Z

Natalochka: /* Знаходження транспонованої матриці за допомогою SVD */

2012-03-01T00:02:05Z

‎Знаходження транспонованої матриці за допомогою SVD

Natalochka: /* Усічене SVD при зверненні матриць */

2012-02-29T23:59:22Z

‎Усічене SVD при зверненні матриць

Natalochka: /* Усічене SVD при зверненні матриць */

2012-02-29T23:58:28Z

‎Усічене SVD при зверненні матриць

Natalochka: /* Усічене SVD при зверненні матриць */

2012-02-29T23:50:35Z

‎Усічене SVD при зверненні матриць

Natalochka: /* Усічене SVD при зверненні матриць */

2012-02-29T23:50:10Z

‎Усічене SVD при зверненні матриць

Natalochka: /* Усічене SVD при зверненні матриць */

2012-02-29T23:49:29Z

‎Усічене SVD при зверненні матриць

@@ Рядок 52: / Рядок 52: @@
 </center>
 Легко побачити, що матриці <math>U</math> і <math>V</math> ортогональні,
-<center><math>{{U}^{T}}U=U{{U}^{T}}=I</math>, також <math>~{{V}^{T}}V=V{{V}^{T}}=I</math>,</center>
+<center> <math>{{U}^{T}}U=U{{U}^{T}}=I</math>, також <math>~{{V}^{T}}V=V{{V}^{T}}=I</math>,</center>
 і сума квадратів значень їх стовпців дорівнює одиниці.

@@ Рядок 33: / Рядок 33: @@
 Наприклад, матриця
 <center>
-<math>A=\left( \begin{matrix}
+ <math>A=\left( \begin{matrix}
 .96 & 1.72  \\
 .28 & 0.96  \\
-\end{matrix} \right)</math>
+ \end{matrix} \right)</math>
 </center>
 має сингулярне розкладання
 <center>
-<math>A=U\Lambda {{V}^{T}}=\left( \begin{matrix}
+ <math>A=U\Lambda {{V}^{T}}=\left( \begin{matrix}
 .6 & 0.8  \\
 .8 & -0.6  \\
-\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
+ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
 & 0  \\
 & 1  \\
-\end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
+ \end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
 .8 & -0.6  \\
 .6 & 0.8  \\
-\end{matrix} \right)}^{T}}</math>
+ \end{matrix} \right)}^{T}}</math>
 </center>
 Легко побачити, що матриці <math>U</math> і <math>V</math> ортогональні,

@@ Рядок 119: / Рядок 119: @@
   <math>\|A\|_{E}={{\lambda }_{1}},</math>
 </center>
-і
+<center>і</center>
 <center>
   <math>\|A\|_{F}=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{r}{\lambda _{k}^{2}}}.</math>

@@ Рядок 16: / Рядок 16: @@
 |}
-'''Сингулярне розкладання''' (Singular Value Decomposition, SVD) – декомпозиція речовинної матриці з метою її приведення до канонічного виду. Сингулярне розкладання є зручним методом при роботі з матрицями. Воно показує геометричну структуру матриці і дозволяє наочно представити наявні дані. Сингулярне розкладання використовується при вирішенні найрізноманітніших завдань - від наближення методом найменших квадратів і рішення систем рівнянь до стиснення зображень. При цьому використовуються різні властивості сингулярного розкладання, наприклад, здатність показувати ранг матриці, наближати матриці даного рангу. SVD дозволяє обчислювати зворотні і транспонованих матриць великого розміру, що робить його корисним інструментом при вирішенні задач регресійного аналізу.<br>
+'''Сингулярне розкладання''' (Singular Value Decomposition, SVD) – декомпозиція речовинної матриці з метою її приведення до канонічного виду. Сингулярне розкладання є зручним методом при роботі з матрицями. Воно показує геометричну структуру матриці і дозволяє наочно представити наявні дані. Сингулярне розкладання використовується при вирішенні найрізноманітніших завдань - від наближення методом найменших квадратів і рішення систем рівнянь до стиснення зображень. При цьому використовуються різні властивості сингулярного розкладання, наприклад, здатність показувати ранг матриці, наближати матриці даного рангу. SVD дозволяє обчислювати зворотні і псевдообернених матриць великого розміру, що робить його корисним інструментом при вирішенні задач регресійного аналізу.<br>
 Для будь-якої речовинної <math>(n\times n)</math> - матриці <math>A</math> існує дві речовинні ортогональні <math>(n\times n)</math> - матриці <math>U</math> і <math>V</math> й такі, що <math>{{U}^{T}}AV</math> - діагональна матриця <math>\Lambda </math>,
 <center>

@@ Рядок 128: / Рядок 128: @@
 </center>
-= Знаходження транспонованої матриці за допомогою SVD =
+= Знаходження псевдооберненої матриці за допомогою SVD =
-Якщо <math>(m\times n)</math> - матриця <math>A</math> є виродженою або прямокутною, то оберненої матриці <math>{{A}^{-1}}</math> для неї не існує. Однак для <math>A</math> може бути знайдена транспонована матриця <math>{{A}^{+}}</math> - така матриця, для якої виконуються умови
+Якщо <math>(m\times n)</math> - матриця <math>A</math> є виродженою або прямокутною, то оберненої матриці <math>{{A}^{-1}}</math> для неї не існує. Однак для <math>A</math> може бути знайдена псевдообернена матриця <math>{{A}^{+}}</math> - така матриця, для якої виконуються умови
 <center>
   <math>\begin{array}
@@ Рядок 143: / Рядок 143: @@
   <math>A=U\Lambda {{V}^{T}},</math>
 </center>
-де <math>\Lambda =\text{diag}({{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{r}}),~r=\min (m,n)~</math> і <math>{{U}^{T}}U={{I}_{m}},V{{V}^{T}}={{I}_{n}}.</math> Тоді матриця <math>{{A}^{+}}={{V}^{T}}{{\Lambda }^{-1}}U</math> є для матриці <math>A</math> транспонованою. Дійсно, <math>{{A}^{+}}A=V{{\Lambda }^{-1}}{{U}^{T}}U\Lambda {{V}^{T}}={{I}_{n}},~A{{A}^{+}}=U\Lambda {{V}^{T}}V{{\Lambda }^{-1}}{{U}^{T}}={{I}_{m}}.</math>
+де <math>\Lambda =\text{diag}({{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{r}}),~r=\min (m,n)~</math> і <math>{{U}^{T}}U={{I}_{m}},V{{V}^{T}}={{I}_{n}}.</math> Тоді матриця <math>{{A}^{+}}={{V}^{T}}{{\Lambda }^{-1}}U</math> є для матриці <math>A</math> псевдооберненою. Дійсно, <math>{{A}^{+}}A=V{{\Lambda }^{-1}}{{U}^{T}}U\Lambda {{V}^{T}}={{I}_{n}},~A{{A}^{+}}=U\Lambda {{V}^{T}}V{{\Lambda }^{-1}}{{U}^{T}}={{I}_{m}}.</math>
 = Метод найменших квадратів і число обумовленості =

@@ Рядок 166: / Рядок 166: @@
 = Усічене SVD при зверненні матриць =
-Нехай матриця представлена у вигляді. Тоді при знаходженні оберненої матриці в силу ортогональності матриць і і в силу умови убування діагональних елементів матриці, псевдообернених матриця буде більш залежати від тих елементів матриці, які мають менші значення, ніж від перших сингулярних чисел. Дійсно, якщо матриця має сингулярні числа, то сингулярні числа матриці дорівнюють
+Нехай матриця <math>A</math> представлена у вигляді <math>A=U\Lambda {{V}^{T}}.</math> Тоді при знаходженні оберненої матриці <math>{{A}^{+}}=V{{\Lambda }^{-1}}{{U}^{T}}~</math> в силу ортогональності матриць <math>U</math> і <math>V</math> і в силу умови убування діагональних елементів матриці <math>\Lambda =\text{diag}({{\lambda }_{1}},...,{{\lambda }_{n}}),</math> псевдообернена матриця <math>{{A}^{+}}</math> буде більш залежати від тих елементів матриці
 <center>
   <math>{{\Lambda }^{-1}}=\text{diag}(\frac{1}{{{\lambda }_{1}}},...,\frac{1}{{{\lambda }_{n}}})</math>

@@ Рядок 174: / Рядок 174: @@
   <math>\frac{1}{{{\lambda }_{1}}}\le \frac{1}{{{\lambda }_{2}}}...\le \frac{1}{{{\lambda }_{n}}}.</math>
 </center>
-Вважаючи перший сингулярних чисел визначальними власний простір матриці <math>A,</math> використовуємо при зверненні матриці <math>A</math> перша <math>s</math> сингулярність чисел, <math>s\le \text{rank}A.</math> Тоді обернена матриця <math>{{A}^{+}}</math> буде знайдена як <math>{{A}^{+}}=V\Lambda _{s}^{-1}{{U}^{T}}.</math> </br>
+Вважаючи перший сингулярних чисел визначальними власний простір матриці <math>A,</math> використовуємо при зверненні матриці <math>A</math> перша <math>s</math> сингулярність чисел, <math>s\le \text{rank}A.</math> Тоді обернена матриця <math>{{A}^{+}}</math> буде знайдена як <math>{{A}^{+}}=V\Lambda _{s}^{-1}{{U}^{T}}.</math>
 Визначимо усічену псевдообернену матрицю <math>A_{s}^{+}~</math> як
 <center>