Розкладання дисперсії на складові - Історія редагувань

Northfear в 08:33, 20 березня 2012

2012-03-20T08:33:08Z

Northfear в 08:32, 20 березня 2012

2012-03-20T08:32:50Z

Natalya priyan: /* Посилання */

2012-03-13T11:24:31Z

‎Посилання

Natalya priyan: /* Посилання */

2012-03-13T11:22:31Z

‎Посилання

Natalya priyan в 11:21, 13 березня 2012

2012-03-13T11:21:45Z

Natalya priyan в 10:29, 13 березня 2012

2012-03-13T10:29:33Z

Natalya priyan в 10:18, 13 березня 2012

2012-03-13T10:18:51Z

Natalya priyan в 09:29, 13 березня 2012

2012-03-13T09:29:45Z

Natalya priyan в 09:15, 13 березня 2012

2012-03-13T09:15:07Z

Natalya priyan в 19:31, 11 березня 2012

2012-03-11T19:31:50Z

← Попередня версія		Версія за 08:33, 20 березня 2012
Рядок 92:		Рядок 92:

	[[Категорія:Планування експерименту]]		[[Категорія:Планування експерименту]]
−	~~[[Пікатегорія: Статистичний дисперсійний аналіз]]~~

← Попередня версія		Версія за 08:32, 20 березня 2012
Рядок 91:		Рядок 91:
	В.О. АНІСТРАТЕНКО, В.Г. ФЕДОРОВ. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993. - 375 с.: іл.		В.О. АНІСТРАТЕНКО, В.Г. ФЕДОРОВ. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993. - 375 с.: іл.

−	[[Категорія:Планування експерименту Пікатегорія: Статистичний дисперсійний аналіз]]	+	[[Категорія:Планування експерименту]]
		+	[[Пікатегорія: Статистичний дисперсійний аналіз]]

← Попередня версія		Версія за 11:24, 13 березня 2012
Рядок 91:		Рядок 91:
	В.О. АНІСТРАТЕНКО, В.Г. ФЕДОРОВ. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993. - 375 с.: іл.		В.О. АНІСТРАТЕНКО, В.Г. ФЕДОРОВ. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993. - 375 с.: іл.

−	[[Категорія:Планування експерименту]]	+	[[Категорія:Планування експерименту Пікатегорія: Статистичний дисперсійний аналіз]]

← Попередня версія		Версія за 11:22, 13 березня 2012
Рядок 91:		Рядок 91:
	В.О. АНІСТРАТЕНКО, В.Г. ФЕДОРОВ. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993. - 375 с.: іл.		В.О. АНІСТРАТЕНКО, В.Г. ФЕДОРОВ. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993. - 375 с.: іл.

−	[[Категорія:Планування експерименту~~][Підкатегорія:Статистичний дисперсійний аналіз~~]]	+	[[Категорія:Планування експерименту]]

← Попередня версія		Версія за 11:21, 13 березня 2012
Рядок 87:		Рядок 87:

	Ці формули є робочими при одно факторному дисперсійному аналізі. Якщо розглядати дисперсії не функції, а не залежного параметра, а замість <math>y</math> покласти <math>x</math>, то структура формул зберігатиметься.		Ці формули є робочими при одно факторному дисперсійному аналізі. Якщо розглядати дисперсії не функції, а не залежного параметра, а замість <math>y</math> покласти <math>x</math>, то структура формул зберігатиметься.
		+
		+	==Посилання==
		+	В.О. АНІСТРАТЕНКО, В.Г. ФЕДОРОВ. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993. - 375 с.: іл.
		+
		+	[[Категорія:Планування експерименту][Підкатегорія:Статистичний дисперсійний аналіз]]

@@ Рядок 4: / Рядок 4: @@
 Нехай вимірювана величина <math>y</math> набувала в <math>N</math> дослідах таких значень <math>y_1,y_2,y_3, ..., y_k, ..., y_N</math>, які характеризуються деякими середніми <math>\overline{y}</math> та оцінкою дисперсії <math>S_y^2</math>. Відкладемо результати вимірювань <math>y</math> на осі ординат (рис. 1), а вісь абсцис для одного із випливаючих на <math>y</math> фаторів <math>x</math>.
 Відрізком довжиною <math>S_y</math> зобразимо показник загального розкиду значення <math>y</math> (скористатися дисперсією <math>S_y^2</math> не можна, оскільки її розмірність не збігається з розмірністю <math>y</math>). Припустимо, що одночасно з <math>y</math> реєструвалася величина певного фактора, який за припущенням впливає на <math>y</math>. Цей фактор в усіх дослідах набував лише трьох значень. Результати сумісних вимірювань пар значень <math>y</math> і <math>x</math> зображено на рис. 2. помітна загальна тенденція зростання <math>y</math> зі збільшенням <math>x</math>. Однак говорять лише про зміни <math>y</math> у середньому. оскільки в окремих випадках спостерігається , наприклад <math>y_1>y_5</math>, хоча <math>y_5</math> відповідає більшому <math>x</math>. Ішими словами, кожному <math>x_i</math> відповідає середнє <math>y_i</math>, яке можна розрахувати у даному випадку за чотирма значеннями <math>y</math>. Умовні середні <math>y_i</math> зображено на рис. 3. Розглядаючи <math>\overline{y_i}</math> як самостійні значення, говорять про їх розкид відносно загального середнього <math>\overline{y_i}</math>. Охарактеризуємо цей розкид величиною <math>S^2_{y/x}</math>, яка при певному числі дослідів (в даному випадку 3) залежить від суми квадратів відхилень умовних середніх <math>\overline{y_i}</math> від загального середнього <math>\overline{y}</math>.
 Природно, що від того, наскільки зміни <math>x</math> впливають на середні зміни <math>y</math>, залежать значення <math>S^2_{y/x}</math>  і показник загального розкиду <math>S^2_y</math>.
@@ Рядок 11: / Рядок 21: @@
 Очевидно, що, коли усунути вплив невраховуваних факторів, розкид <math>y</math> при фіксованому <math>x</math> не спостерігатиметься і загальний розкид <math>y</math> визначатиметься тільки діяннями <math>x</math> (див. рис. 4). З іншого боку, якби вплив фактора <math>x</math> на <math>y</math> був відсутній, а випадкові причини виявляли своє діяння (див. рис. 5), то загальний розкид <math>y</math> визначався б тільки ними і характеризувався лише залишковою дисперсією від діяння невраховуваних факторів.
 Детально розглянемо основні принципи сучасного експерименту: рандомізацію, багатофакторність, оптимізацію та автоматизацію. Пояснимо перший з них. Дисперсійний аналіз стає об’єктивним інструментом дослідження лише при умові, що кожне значення змінної вибрано з генеральної сукупності випадковим чином. Відбір випадкових значень змінної, який забезпечує однакову імовірність потрапити до вибірки будь-якого з них для всієї генеральної сукупності, називається рандомізацією (від англійського random – вибраний навмання). У біометрії це слово прийнято записувати і вимовляти як рендомізація. Щоб забезпечити однакову імовірність для будь-якого члена генеральної сукупності, найчастіше користуються таблицею випадкових чисел.

← Попередня версія		Версія за 10:18, 13 березня 2012
Рядок 44:		Рядок 44:

	<math> = \sum_{i=1}^m n \overline{y_i} \overline{y_i} - \sum_{i=1}^m n \overline{y_i} \overline{y_i} - m n \overline{y} \overline{y} + m n \overline{y} \overline{y}= 0 </math>		<math> = \sum_{i=1}^m n \overline{y_i} \overline{y_i} - \sum_{i=1}^m n \overline{y_i} \overline{y_i} - m n \overline{y} \overline{y} + m n \overline{y} \overline{y}= 0 </math>
		+
		+	Отже,
		+
		+	<math> \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i})^2 = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y})^2 + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (\overline{y_i} - \overline{y})^2 </math>,
		+
		+	що й треба було довести, оскільки
		+	<math> S^2_y \approx \sum \sum (y_{ij} - \overline{y})^2 </math>; <math> S^2_{y/x} \tilde \sum \sum (y_{ij} - \overline{y_i})^2 </math>; <math> S^2_{y/z} \approx \sum \sum (\overline{y_i} - \overline{y})^2 </math>.
		+
		+	Другий доданок в здобутому результаті містить тільки одну змінну <math> y_i </math>, яка підсумовується за <math> m </math> . Тому підсумовування за змінною <math> j</math> сталою <math> (\overline{y_i} - \overline{y})^2 </math> рівнозначне помноженню на <math> n </math>, тобто <math> \sum_{j=1}^n = n </math>, тоді
		+	<math> \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m = (\overline{y_i} - \overline{y})^2 = \sum_{i=1}^m n (\overline{y_i} - \overline{y})^2 </math>.
		+
		+	Така сума називається зваженою, оскільки <math>n</math> у загальному випадку для кожного <math>i</math> може бути різними.
		+
		+	При використанні дисперсійного аналізу запишемо останні формули через вихідні значення <math>y_{ij}</math>:
		+	<math> \sum \sum (y_{ij} - \overline{y})^2 = \sum \sum y^2_{ij} + \sum \sum \overline{y^2} + 2 \sum \sum y_{ij} \overline{y} = </math>
		+	<math> \sum \sum y_{ij}^2 + m n \overline{y^2} - 2 m n y^2 = \sum \sum y^2_{ij} - m n \overline{y^2} = </math>
		+	<math> \sum \sum y_{ij}^2 - \frac{\mathrm mn}{\mathrm m^2 n^2}\, (\sum \sum y_{ij})^2 = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y^2_{ij} - \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, (\sum \sum y_{ij})^2 </math>;
		+	<math> \sum \sum (\overline{y_i} - \overline{y})^2 - \sum^n \sum^m \overline{y^2_i} + \sum^n \sum^m \overline{y^2} - 2\sum^n \sum^m \overline{y_i} \overline{y} = </math>
		+	<math> \sum^n \sum^m y^2_i + \frac{\mathrm mn}{\mathrm m^2 n^2}\, (\sum \sum y_{ij})^2 - 2 m \overline{y} n \overline{y} = </math>
		+	<math> \sum^2 n \frac{\mathrm 1}{\mathrm n^2}\, (\sum^n y_{ij})^2 + \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, (\sum \sum y_{ij})^2 - 2 \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, (\sum \sum y_{ij})^2 = </math>
		+	<math> = \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum^m (\sum^n y_{ij})^2 - \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, (\sum \sum y_{ij})^2 </math>;
		+
		+	<math> \sum \sum (y_{ij} - \overline{y_i})^2 = \sum \sum y^2_{ij} + \sum \sum \overline{y^2_i} - 2 \sum \sum y_{ij} \overline{y_i} = </math>
		+	<math> \sum^m \sum^n y^2_{ij} + n\sum^m y^2_i - 2\sum^m \sum^n y_{ij} \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum^n y_{ij} = </math>
		+	<math>\sum \sum y^2_{ij} +n \sum^m \frac{\mathrm 1}{\mathrm n^2}\, (\sum^n y_{ij})^2 - 2\sum^m \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, (\sum^n y_{ij})^2 = </math>
		+	<math> \sum \sum y^2_{ij} - \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum^m (\sum^n y_{ij})^2 </math>.
		+
		+	Ці формули є робочими при одно факторному дисперсійному аналізі. Якщо розглядати дисперсії не функції, а не залежного параметра, а замість <math>y</math> покласти <math>x</math>, то структура формул зберігатиметься.

@@ Рядок 17: / Рядок 17: @@
 <math>S^2= S^2_{y/x}+ S^2_{y/z}</math>,
 яка і виражає властивість адитивної дисперсії.
 Зазначимо, що ця формула правильна лише при незалежних (некорельованих) факторах, які впливають на <math>y</math>. У противному разі вона ускладнюється:
 <math>S^2= S^2_{y/x} +  S^2_{y/z} - 2 S_{y/x} S_{y/z} r_{xz} </math>,
 де <math> r_{xz}</math> - коефіцієнт кореляції.
 Формула адитивності дисперсії є основною всього дисперсійного аналізу. Її застосування часто зустрічається з боку експерименту внутрішній опір. Оскільки при всій своїй простоті вона не є очевидною. Тому, перш ніж дістати на основі цієї формули розрахункові рівняння, доведемо її правильність. Для цього скористаємось формальним перетворенням суми квадратів відхилень від загального середнього:
 <math>\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y})^2 = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i} + \overline{y_j} + \overline{y})^2 + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m [(y_{ij} - \overline{y_i}) + (\overline{y_i} - \overline{y})]^2 = </math>
@@ Рядок 34: / Рядок 36: @@
 покажемо, як останній доданок при розкладанні перетворюється в нуль:

← Попередня версія		Версія за 19:31, 11 березня 2012
Рядок 1:		Рядок 1:
	{{Завдання\|Пріян Н.\|Назаревич О. Б.\|14 березня 2012}}		{{Завдання\|Пріян Н.\|Назаревич О. Б.\|14 березня 2012}}
		+
		+	Розглянемо задачу розкладання дисперсії як характеристики коливальності (розкиду, розсіювання, зміни) на простому абстрактному прикладі.
		+
		+	Нехай вимірювана величина <math>y</math> набувала в <math>N</math> дослідах таких значень <math>y_1,y_2,y_3, ..., y_k, ..., y_N</math>, які характеризуються деякими середніми <math>\overline{y}</math> та оцінкою дисперсії <math>S_y^2</math>. Відкладемо результати вимірювань <math>y</math> на осі ординат (рис. 1), а вісь абсцис для одного із випливаючих на <math>y</math> фаторів <math>x</math>.
		+
		+	Відрізком довжиною <math>S_y</math> зобразимо показник загального розкиду значення <math>y</math> (скористатися дисперсією <math>S_y^2</math> не можна, оскільки її розмірність не збігається з розмірністю <math>y</math>). Припустимо, що одночасно з <math>y</math> реєструвалася величина певного фактора, який за припущенням впливає на <math>y</math>. Цей фактор в усіх дослідах набував лише трьох значень. Результати сумісних вимірювань пар значень <math>y</math> і <math>x</math> зображено на рис. 2. помітна загальна тенденція зростання <math>y</math> зі збільшенням <math>x</math>. Однак говорять лише про зміни <math>y</math> у середньому. оскільки в окремих випадках спостерігається , наприклад <math>y_1>y_5</math>, хоча <math>y_5</math> відповідає більшому <math>x</math>. Ішими словами, кожному <math>x_i</math> відповідає середнє <math>y_i</math>, яке можна розрахувати у даному випадку за чотирма значеннями <math>y</math>. Умовні середні <math>y_i</math> зображено на рис. 3. Розглядаючи <math>\overline{y_i}</math> як самостійні значення, говорять про їх розкид відносно загального середнього <math>\overline{y_i}</math>. Охарактеризуємо цей розкид величиною <math>S^2_y/x</math>, яка при певному числі дослідів (в даному випадку 3) залежить від суми квадратів відхилень умовних середніх <math>\overline{y_i}</math> від загального середнього <math>\overline{y}</math>.
		+
		+	Природно, що від