Потенціальна течія - Історія редагувань

Olenka в 22:00, 3 червня 2013

2013-06-03T22:00:40Z

Olenka в 19:52, 3 червня 2013

2013-06-03T19:52:06Z

Olenka в 18:43, 3 червня 2013

2013-06-03T18:43:46Z

Olenka в 16:21, 3 червня 2013

2013-06-03T16:21:26Z

Olenka в 16:08, 3 червня 2013

2013-06-03T16:08:41Z

Olenka в 16:06, 3 червня 2013

2013-06-03T16:06:54Z

Olenka в 16:02, 3 червня 2013

2013-06-03T16:02:09Z

Olenka в 14:45, 3 червня 2013

2013-06-03T14:45:55Z

Olenka в 14:28, 3 червня 2013

2013-06-03T14:28:53Z

Olenka в 14:12, 3 червня 2013

2013-06-03T14:12:09Z

@@ Рядок 14: / Рядок 14: @@
 При безвихровому русі
-де ω – кутова швидкість; <math>\[{\omega _{\rm{x}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{y}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{z}}}\]</math> – проекції вектора кутової швидкості.
+<math>{{\omega }_{x}}={{\omega }_{y}}={{\omega }_{z}}=0</math>,   (1)
-Відомо що при вихровому русі частинка рідини, так само як і тверде тіло, обертається з кутовою швидкістю <math>\[\omega {\rm{ }}({\omega _{\rm{x}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{y}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{z}}})\]</math> відносно деякої миттєвої осі. Величини <math>\[{\omega _{\rm{x}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{y}}},{\rm{ }}{\omega _{\rm{z}}}\]</math> виражають міру обертання рідини і становлять компоненти так званої вихрової швидкості.
+де ω – кутова швидкість; <math>{{\omega }_{x}},\text{ }{{\omega }_{y}},\text{ }{{\omega }_{z}}</math> – проекції вектора кутової швидкості.
 Якщо б частинка була твердою і оберталась довкола миттєвої осі  з кутовою швидкістю ω то з теоретичної механіки відомо, що проекції вектора кутової швидкості становили б
-<math>${\omega _x} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_z}}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial z}}} \right)$</math>; <math>${\omega _y} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {u_z}}}{{\partial x}}} \right)$</math>; <math>${\omega _z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {u_x}}}{{\partial y}}} \right)$</math>,   (2)
+<math>{{\omega }_{x}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial y}-\frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial z} \right)</math>   ; <math>{{\omega }_{y}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial z}-\frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial x} \right)</math>   ; <math>{{\omega }_{z}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial x}-\frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial y} \right)</math>,   (2)
-де <math>\[{u_x},{u_y},{u_z}\]</math> – компоненти швидкості зафіксованої частинки рідини.
+де <math>{{u}_{x}},{{u}_{y}},{{u}_{z}}</math> – компоненти швидкості зафіксованої частинки рідини.
 Як зазначалось вище при потенціальному потоці частинки рідини переміщаються без обертання, тобто кутова швидкість ω і всі її компоненти дорівнюють 0 (1). Тоді вирази (2) можна записати у вигляді
-<math>${\omega _x} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_z}}}{{\partial y}} - \frac{{\partial {u_y}}}{{\partial z}}} \right) = 0$</math>;   <math>${\omega _y} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_x}}}{{\partial z}} - \frac{{\partial {u_z}}}{{\partial x}}} \right) = 0$</math>;   <math>${\omega _z} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_y}}}{{\partial x}} - \frac{{\partial {u_x}}}{{\partial y}}} \right) = 0$</math>   (3)
+<math>{{\omega }_{x}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial y}-\frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial z} \right)=0</math>   ;   <math>{{\omega }_{y}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial z}-\frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial x} \right)=0</math>   ;   <math>{{\omega }_{z}}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial x}-\frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial y} \right)=0</math>   (3)
 що рівносильно
-<math>\frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial y}=\frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial x}</math>;   <math>\frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial x}=\frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial z}</math>;   <math>\frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial z}=\frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial y}</math>.   (4)
+<math>\frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial y}=\frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial x}</math>   ;   <math>\frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial x}=\frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial z}</math>   ;   <math>\frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial z}=\frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial y}</math>.   (4)
 При виконанні умови (1) під час стаціонарного руху рідини існує певна функція координат φ(x, y, z), а при нестаціонарному – функція координат і часу φ(x, y, z, t), яка описує такий рух.
-Із теорії криволінійних інтегралів відомо, що співвідношення (4) є необхідними і достатніми умовами для того, щоб рівняння  <math>${u_x}dx + {u_y}dy + {u_z}dz$</math>  представляло собою повний диференціал функції трьох змінних φ(x, y, z). Таким чином,
+Із теорії криволінійних інтегралів відомо, що співвідношення (4) є необхідними і достатніми умовами для того, щоб рівняння  <math>{{u}_{x}}dx+{{u}_{y}}dy+{{u}_{z}}dz</math>  представляло собою повний диференціал функції трьох змінних φ(x, y, z). Таким чином,
-<math>${u_x}dx + {u_y}dy + {u_z}dz = d\varphi $</math>.   (5)
+<math>{{u}_{x}}dx+{{u}_{y}}dy+{{u}_{z}}dz=d\varphi </math>.   (5)
 Якщо повний диференціал функції φ має вигляд
-<math>$d\varphi  = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}dx + \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}dy + \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}dz$</math>   (6)
+<math>d\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi }{\partial y}dy+\frac{\partial \varphi }{\partial z}dz</math>   (6)
 співставляючи вирази (5) і (6) можна отримати
-<math>${u_x} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}$</math>;   <math>${u_y} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}$</math>;   <math>${u_z} = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}$</math>.   (7)
+<math>{{u}_{x}}=\frac{\partial \varphi }{\partial x}</math>   ;   <math>{{u}_{y}}=\frac{\partial \varphi }{\partial y}</math>   ;   <math>{{u}_{z}}=\frac{\partial \varphi }{\partial z}</math>.   (7)
 Місцева або локальна швидкість
-<math>$u = \sqrt {{u_x}^2 + {u_y}^2 + {u_z}^2}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}} \right)}^2}} $</math>.   (8)
+<math>u=\sqrt{{{u}_{x}}^{2}+{{u}_{y}}^{2}+{{u}_{z}}^{2}}=\sqrt{{{\left( \frac{\partial \varphi }{\partial x} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\partial \varphi }{\partial z} \right)}^{2}}}</math>.   (8)
 Тобто, швидкість у кожній точці визначається через функцію φ(x, y, z), яка називається потенціалом швидкості. Оскільки безвихровий потік описується потенціалом швидкості, то його називають потенціальним потоком.

@@ Рядок 132: / Рядок 132: @@
 == Використання, обмеження і парадокси ==
-Потенціальний потік не включає в себе усі характеристики потоків, які існують в реальному світі. Наприклад турбулентність, яка зазвичай зустрічається в природі. Крім того, рівняння потенціального потоку не можуть бути застосовані до в’язких внутрішніх течій. Цілий ряд теоретичних фізиків, такі як Річард Фейман і Джон фон Нейман, вважали що єдина речовина яка відповідає поняттю потенційного потоку це «суха вода».
+Потенціальний потік не включає в себе усі характеристики потоків, які існують в реальному світі. Наприклад турбулентність, яка зазвичай зустрічається в природі. Крім того, рівняння потенціального потоку не можуть бути застосовані до в’язких внутрішніх течій. Цілий ряд теоретичних фізиків, такі як Річард Фейман і Джон фон Нейман, вважали що єдина речовина яка відповідає поняттю потенціального потоку це «суха вода».
 Потенціальний потік не може пояснити поведінку потоку в прикордонній зоні.
@@ Рядок 138: / Рядок 138: @@
 Проте, розуміння потенціального потоку важливе в багатьох галузях механіки рідини. Зокрема, прості потенціальні потоки (елементарні потоки) такі як вільний вихор, джерело і стік, циркуляційний потік, обтікаючий потік твердих тіл.
-Додаткові приклади потенціональних потоків: зовнішнє поле потоку навколо крила і виникнення підіймальної сили, хвилі на воді, електроосмотичний потік і потік підземних вод, акустика, обтікаючий потік.
+Додаткові приклади потенціальних потоків: зовнішнє поле потоку навколо крила і виникнення підіймальної сили, хвилі на воді, електроосмотичний потік і потік підземних вод, акустика, обтікаючий потік.
 Окремий розділ застосування теорії потенціального потоку це аеродинаміка: задачі з розрахунку вентиляції, розрахунок обтічних елементів літаків і автомобілів.

@@ Рядок 1: / Рядок 1: @@
-У гідродинаміці потенціальний потік характеризується відсутністю вихрового руху, де швидкість визначається як функція одного аргументу – потенціалу швидкості. Поступальний рух рідини в якому елементарні частинки не мають обертальних рухів називають безвихровим (потенціальним) і описують потенціалом швидкості. Умовою безвихрового потенціального потоку є rot V=0 – ротор поля в будь-якій точці дорівнює нулю.
+[[Файл:300px-Streamlines_around_a_NACA_0012.svg.png|thumb|Потенціальний потік течії навколо тіла із нахилом 11˚ з верхньою і нижньою лінією течій.]]
 Безвихрового руху в природі не буває оскільки при русі рідини вздовж твердих кордонів утворюються вихори. Якщо вважати, що вся завихреність в локальних зонах то, можна припустити, що в решті потоку рух буде безвихровим.
-Коли ефект в’язкості є незначним, наприклад при великих числах Рейнольдса, де домінує конвективний перенос імпульсу, коли здійснюється аналіз зовнішніх потоків над твердою поверхнею і потік далі залишається ламінарним, коли прикордонний шар з твердим тілом дуже тонкий у розрахунках використовують явище Потенціального потоку.
+Коли ефект в’язкості є незначним, наприклад при великих числах Рейнольдса, де домінує конвективний перенос імпульсу, коли здійснюється аналіз зовнішніх потоків над твердою поверхнею і потік далі залишається ламінарним, коли прикордонний шар з твердим тілом дуже тонкий у розрахунках використовують явище '''потенціального потоку'''.
-По своїй суті явище Потенціального потоку є ідеалізацією руху рідини але в окремих випадках це припущення має важливе практичне значення і значно полегшує розрахунок основних характеристик руху.
+По своїй суті явище '''потенціального потоку''' є ідеалізацією руху рідини але в окремих випадках це припущення має важливе практичне значення і значно полегшує розрахунок основних характеристик руху.
@@ Рядок 93: / Рядок 95: @@
 Принцип суперпозиції дозволяє, сумуючи найпростіші течії, потенціали швидкостей для яких наперед відомі, отримувати більш складні течії, які наближено відтворюють реальні потоки в каналах, проточних частинах машин і т.д. Особливо ефективно метод накладання використовується для розв’язання плоских (двовимірних) задач.
@@ Рядок 122: / Рядок 122: @@
 <math>\frac{\partial \varphi \partial \psi }{\partial x\partial x}+\frac{\partial \varphi \partial \psi }{\partial y\partial y}=0</math>.   (18)
 Ця залежність є умовою ортогональності лінії φ=const i ψ=const. Отже функції φ(x,y) і ψ(x,y) є взаємно ортогональними. Тобто, потік відбувається вздовж лінії постійного ψ і під прямим кутом до лінії постійного φ. Таким чином, лінії течії і лінії рівного потенціалу утворюють так звану гідродинамічну сітку руху, яка повністю визначає кінематичну картину самого руху.
@@ Рядок 135: / Рядок 137: @@
 Проте, розуміння потенціального потоку важливе в багатьох галузях механіки рідини. Зокрема, прості потенціальні потоки (елементарні потоки) такі як вільний вихор, джерело і стік, циркуляційний потік, обтікаючий потік твердих тіл.
 Окремий розділ застосування теорії потенціального потоку це аеродинаміка: задачі з розрахунку вентиляції, розрахунок обтічних елементів літаків і автомобілів.
@@ Рядок 144: / Рядок 148: @@
 '''Джерело і стік'''
 Джерелом називається точка, з якої радіально рівномірно у всі сторони витікає рідина, а стік – така точка, в яку також радіально затікає рідина. Очевидно фізично такі точки не існують. Проте в багатьох випадках, користуючись цією ідеалізованою схемою, можна дістати течії, близькі до дійсності. Наприклад, робота всмоктувальних щілин витяжних вентиляційних пристроїв наближається до плоского (лінійного) стоку.
@@ Рядок 182: / Рядок 188: @@
-== Джерела ==
+== Джерела і посилання ==
 .Гідравліка і аеродинаміка. Смислов В.В. К: «Вища школа», 1971, -348с.
@@ Рядок 192: / Рядок 198: @@
 .Кісєльов П.Г. Гідравліка. Основи механіки рідини. М: «Єнергія», 1980, - 360с.
-. [http://faculty.poly.edu/~rlevicky/Handout14_6333.pdf]
+=== Зовнішні посилання ===
-. [http://instructional1.calstatela.edu/cwu/me408/Slides/PotentialFlow/PotentialFlow.htm]
+. eng [http://instructional1.calstatela.edu/cwu/me408/Slides/PotentialFlow/PotentialFlow.htm Potential Flow Theory from Aerodynamics]

@@ Рядок 54: / Рядок 54: @@
 Також прийнятна форма написання формул (5) і (7) із знаком мінус перед потенціалом φ, щоб показати що рух відбувається від точки з великим значенням потенціалу швидкості до точки із меншим його значенням. Усі співвідношення справедливі також і для нестаціонарного руху. В цьому випадку їх можна примінити до будь-якого фіксованого моменту часу, який буде грати роль параметра, і, відповідно, φ = φ(x, y, z, t). Таким чином, потенціальний потік може бути стаціонарним і нестаціонарним.
-Проекції швидкості при потенціальному русі мають задовільняти не тільки (7) але й рівняння нерозривності нестисливих рідин (9)
+Проекції швидкості при потенціальному русі мають задовільняти не тільки (7) але й [[рівняння нерозривності]] нестисливих рідин (9)
 <math>\frac{\partial {{u}_{x}}}{\partial x}+\frac{\partial {{u}_{y}}}{\partial y}+\frac{\partial {{u}_{z}}}{\partial z}=0</math>.   (9)
-Підставивши рівняння (7) у диференціальне рівняння нерозривності (9) отримуємо
+Підставивши рівняння (7) у диференціальне [[рівняння нерозривності]] (9) отримуємо
 <math>\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial \varphi }{\partial x} \right)+\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right)+\frac{\partial }{\partial z}\left( \frac{\partial \varphi }{\partial z} \right)=0</math>

@@ Рядок 169: / Рядок 169: @@
 Якщо потенціал швидкості і функція течії міняються місцями в потоку джерела або стоку, ми отримуємо новий потік. При такому русі лінії течії є сім’єю концентричних кіл по яких рухаються частинки рідини навколо центра О, але не обертаються навколо своїх осей. Для цього потоку характерно
-<math>\psi =\frac{\mathcal{Q}}{2\pi }\ln r</math>   і   <math>\varphi =-\frac{\mathcal{Q}}{2\pi }\theta </math>.   (21)
+<math>\psi =\frac{\mathcal{Q}}{2\pi }\ln r</math>   і   <math>\varphi =-\frac{\mathcal{Q}}{2\pi }\theta </math>.   (22)
 Лінійна швидкість руху частинок навколо центра О визначається, як циркуляція, поділена на дожину кола

@@ Рядок 161: / Рядок 161: @@
 Потенціал швидкості
-<math>\varphi =\frac{\mathcal{Q}}{2\pi }\ln \ln r</math>.   (21)
+<math>\varphi =\frac{\mathcal{Q}}{2\pi }\ln r</math>.   (21)
 Надаючи θ різних значень в межах від 0 до 2π, дістаємо лінії течії у вигляді пучка прямих, що виходять з центра О. При цьому лінії рівного потенціалу - концентричні кола відносно того самого центра. Якщо лінії течії спрямовані від центру до периферії, то таку течію можна уявити як витікання рідини з центра О і в цьому випадку вона називається плоским джерелом.  Коли ж лінії течії спрямовані від периферії до центру – плоским стоком. Таким чином, криві φ і ψ є ортогональними.

@@ Рядок 60: / Рядок 60: @@
 Підставивши рівняння (7) у диференціальне рівняння нерозривності (9) отримуємо
-<math>$\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}}} \right) = 0$</math>
+<math>\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{\partial \varphi }{\partial x} \right)+\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{\partial \varphi }{\partial y} \right)+\frac{\partial }{\partial z}\left( \frac{\partial \varphi }{\partial z} \right)=0</math>
 або
-<math>$\frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial {z^2}}} = 0$</math>.   (10)
+<math>\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{z}^{2}}}=0</math>.   (10)
 Рівняння (10) називають рівнянням Лапласа. Якщо використати оператор Лапласа
@@ Рядок 82: / Рядок 82: @@
 Відомо, що для опису руху рідини необхідно знати значення <math>${u_x},{u_y},{u_z}$</math> і тиск Р у всіх точках простору, де відбувається опис рідини. Для цього необхідно мати чотири рівняння: три (7) і рівняння нерозривності (9). Рівняння Лапласа (10) включає в себе всі вказані чотири рівняння. Тому, розв’язавши рівняння Лапласа для даного руху рідини при заданих умовах на кордонах даної однорідної області, повністю опишемо відповідний до цих умов потенціальний потік.
-Так як рівняння Лапласа лінійне, то сума двох його часткових рішень φ1 і φ2 буде також рішенням цього рівняння. Тому потенціал швидкості підлягає законам суперпозиції потенціальних потоків, або методам накладання потоків: потенціальні потоки нестисливої рідини можна складати; потенціали швидкостей і функції течії складаються при цьому алгебраїчно, а вектори швидкостей у відповідних точках – геометрично. Знаючи потенціали швидкості для деяких видів потенціального руху і застосовуючи принцип суперпозиції можна знаходити рішення для більш складних випадків руху.
+Так як рівняння Лапласа лінійне, то сума двох його часткових рішень <math>{{\varphi }_{1}}</math> і <math>{{\varphi }_{2}}</math> буде також рішенням цього рівняння. Тому потенціал швидкості підлягає законам суперпозиції потенціальних потоків, або методам накладання потоків: потенціальні потоки нестисливої рідини можна складати; потенціали швидкостей і функції течії складаються при цьому алгебраїчно, а вектори швидкостей у відповідних точках – геометрично. Знаючи потенціали швидкості для деяких видів потенціального руху і застосовуючи принцип суперпозиції можна знаходити рішення для більш складних випадків руху.
 Якщо є ряд потенціальних потоків з потенціалами швидкостей <math>\[{\varphi _1},{\rm{ }}{\varphi _2}, \ldots ,{\rm{ }}{\varphi _n}\]</math>, то згідно з цим методом результативне значення потенціалу швидкості φ дорівнює алгебраїчній сумі <math>\[{\varphi _1},{\rm{ }}{\varphi _2}, \ldots ,{\rm{ }}{\varphi _n}\]</math>, тобто

← Попередня версія		Версія за 14:28, 3 червня 2013
Рядок 126:		Рядок 126:

	Щоб побудувати точну гідродинамічну сітку за заданих умов, необхідно розв’язати рівняння Лапласа (12) і (17). У ряді випадків розв’язання досягається з допомогою теорії функцій комплексного змінного (метод комформних перетворень). Є також способи наближеної побудови гідродинамічної сітки руху.		Щоб побудувати точну гідродинамічну сітку за заданих умов, необхідно розв’язати рівняння Лапласа (12) і (17). У ряді випадків розв’язання досягається з допомогою теорії функцій комплексного змінного (метод комформних перетворень). Є також способи наближеної побудови гідродинамічної сітки руху.
		+
		+
		+	== Використання, обмеження і парадокси ==
		+
		+
		+
		+
		+	== Приклади найпростіших потенціальних течій ==
		+
		+
		+
		+
		+	== Джерела ==