Автомодельність у гідрогазодинаміці - Історія редагувань

Pengwin: /* Використання у гідрогазодинаміці */

2012-05-23T09:17:15Z

‎Використання у гідрогазодинаміці

Pengwin: /* Умова автомодельності */

2012-05-23T08:09:42Z

‎Умова автомодельності

Pengwin: /* Побудова Автомодельних рішень */

2012-05-23T07:54:08Z

‎Побудова Автомодельних рішень

Pengwin: /* Використання у гідрогазодинаміці */

2012-05-22T06:59:59Z

‎Використання у гідрогазодинаміці

Pengwin: /* Побудова Автомодельних рішень */

2012-05-22T06:58:37Z

‎Побудова Автомодельних рішень

Яремчук Уляна в 20:48, 21 травня 2012

2012-05-21T20:48:34Z

Pengwin: Створена сторінка: '''Автомодельність у гідрогазодинаміці''' '''Автомодельність''' (''"собі подібний"'') -розподі…

2012-05-21T19:42:03Z

Створена сторінка: '''Автомодельність у гідрогазодинаміці''' '''Автомодельність''' (''"собі подібний"'') -розподі…

Нова сторінка

'''Автомодельність у гідрогазодинаміці'''

'''Автомодельність''' (''"собі подібний"'') -розподіл в просторі залежних від часу величин пов'язаних між собою деяким перетворенням масштабів вимірювання залежних і незалежних зміних.Автомодельні рішення - це ті рішення,які виходять при використані [http://uk.wikipedia.org/wiki/Теорія_розмірності теорії розмірності]

==Побудова Автомодельних рішень==

Метод побудови автомодельних рішень можна розглядати як узагальнення методу розділення переміних.Відомо,що якщо
шукані функції просторової координати '''x''' і часу '''t''',задовільняючі деякій системі рівнянь в частиних похідних,представляються у вигляді:

<math>F(x,t)=\Phi\(x)\cdot\Psi\(x)</math> (1)

використовуючи дану формулу цю систему можна привести до відповідних систем звичайних дифференціальних рівнянь відносно '''x''' та '''t'''.

Функції <math>\Phi\</math> і <math>\Psi\</math> можуть мати бульш складний вигляд.Вони можуть залежити від '''x''' та '''t''' не окремо,а від їх визначенних комбінацій,тобто мати один з наступних виглядів:

<math>F(x,t)=\Phi\(\frac{x}{M(t)})\cdot\Psi(t)\ </math>, (2)

<math>F(x,t)=\Phi\(x)\cdot\Psi\(\frac{t}{L(x)}) </math>, (3)

<math>F(x,t)=\omega(x-Dt) , D=const </math> (4)

Величини <math>M(t),\Phi(t),L(x)\</math> можуть бути степенними функціями,експоненціальними функціями своїх змінних,можуть мати і більш складний вигляд.

Автомодельні рішення приводять до представлення вихідних функцій в вигляді формули (2) або (3),де величини <math>M,\Phi\,L</math> являються степенними функціями своїх параметрів,тобто:

<math>M(t)=M_0 t^n , \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Psi\(t)=\Psi_0\ t^{n_\Psi\}</math> (5)

або

<math>L(x)=L_0 x^{n_L}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Phi\(x)=\Phi_0\ x^{n_A}</math> (6)

де <math>M_0,\Phi_0\,L(0),\Psi_0\</math>-розмірні,а <math>n,n_\Psi\,n_L,n_A</math>-безрозмірні постійні.

Процеси які описуються автомодельними рішеннями,зазвичай називають ''автомодельними процесами'' або ''автомодельними режимами''.Зазвичай так говорять про автомодельний рух газів,про автомодельний режим переносу тепла в середовищі і т.д.

Загальною властивістю всі інваріантних рішеннь являється те,що в одномірному випадку вихідну задачу,сформульовану для системи рівнянь в частиних похідних,можна звести до задачі,сформульованій для відповідної системи звичайних дифференціальних рівнянь.

== Умова автомодельності ==

Розглядаючи задачу про рух поршня в первісному нерухомому газі,отриманим при <math>t=0</math> постійне значення плотності і тиску,тобто:

<math>\upsilon\(m,0)=0, \qquad \qquad \rho\(m,0)=\rho_0\, \qquad \qquad P(m,0)=P_0</math> <math>\qquad \qquad</math> (1)

При <math>t>0</math> поршень починає рухатись по степенневому закону,тобто швидкість поршня має вигляд:
<math>\upsilon\(0,t)=\upsilon_0\ t^{n_1}</math>

де <math>\upsilon_0\</math>-розмірна, <math>n_1</math>-безрозмірна постійна.
Розмірні визначаючі параметри задачі наступні:
<math>m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\</math>

Формально до параметрів необхідно добавити ще безрозмірні постійні <math>n_1 , \gamma\</math>.

Розвязок задачі полягає в визначенні функціональних звязків виду

<math>\upsilon\ = \upsilon\(m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\,n_1,\gamma\)</math>,

<math>\rho\ = \rho\(m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\,n_1,\gamma\)</math>,

<math>P=P(m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\,n_1,\gamma\)</math>,

задовільняючі системі рівнянь і умові задачі.

Спершу необхідно встановити розмірності всіх величин,вибрав три основні одиниці вимірювання:довжини <math>(L)</math> ,часу <math>\tilde{T}</math> і масси <math>(M)</math>.

Розмірності параметрів наступним чином виражаються через символи основних одиниць вимірювання:

<math>[m]=M L^{-2}, \qquad \qquad [t]=\tilde{T}, \qquad \qquad [\rho_0\]=M L^{-3}, </math>

<math>[P_0]=M L^{-1} \tilde{T}^{-2}, \qquad \qquad [\upsilon_0\] = L \tilde{T}^{-(n_1+1)}</math>

З пяти параметрів три параметри мають незалежну розмірність.Наприклад розмірності параметрів <math>t,\rho_0\,\upsilon_0\</math> незалежні,так як символ масси <math>M</math> входить в формулу розмірності лише одного з них.Розмірності двух інших параметрів виражаються через розмірності <math>t,\rho_0\,\upsilon_0\</math> у вигляді степеневого одночлена.Дісно представимо:

<math>m=st^\alpha\ \rho_0\^\beta\ \upsilon_0\^\gamma\, \qquad \qquad P_0=\theta\t^\alpha_1\ \rho_0\^\beta_1\ \upsilon_0\^\gamma_1\</math>

де <math>s,\theta\</math>-безрозмірні величини.Співставивши розмірності правої і ілвої частини можна отримати

<math>\alpha\ = n_1+1,\quad \beta\ = 1,\quad \gamma\ = 1,\quad \alpha_1\ = 2n_1,\quad \beta_1\ = 1,\quad \gamma_1\ = 2
</math>

тобто наступні безрозмірні комбінації

<math>s=\frac{m}{\rho_0\ \upsilon_0\t^{n_1+1}}</math>,

<math>\theta\ = \frac{P_0}{\rho_0\ \upsilon_0\^2 t^{2n}}</math>

Тепер розглянемо два окремих випадки задачі:

1) <math>n_1 = 0</math>(рух поршня з постійною швидкістю).
В цьому випадку безрозмірна величина <math>\theta\</math> являється постійною

<math>\theta\ = \theta_0\ = \frac{P_0}{\rho_0\ \upsilon_0\^2}</math>

Тому всі шукані функції будуть являтися функціями однієї незалежної зміної <math>s</math>

Це означає що рішеня задачі при <math>n_1=0</math> буде автомодельним.При <math>n_1=0</math> автомодельне рішеня має ту властивість що з часом міняє тільки масштаб незалежної зміної <math>m</math>.Масштаби самих шуканих функцій не міняються з часом.тобто вдоль оси ординат профілі шуканих величин не міняються.

2)<math>P_0=0</math>.В цьому випадку <math>\theta=0\</math>.Шукані функції будуть такожзалежити від однієї безрозмірної зміної <math>s</math>,тобто розвязок задачі буде автомодельним.При цьому,якщо <math>n_1\ne 0</math> ,то з часом змінюється не тільки масштаб незалежної зміної,но і масштаби шуканих функцій швидкості і тиску.

== Використання у гідрогазодинаміці ==

Даний метод автомодельності може використовуватись у гідрогазодинаміці для спрощеня розвязків важких задач а саме:

- при розрахунку задач на перенос тепла

-рівняня газової динаміки,описуючі ізентропічні і адіабатні течії

-про рух поршня з постійною швидкістю

-про рух газа пере поршенм в загальному випадку

-задач про сильний вибух

== Використана література ==

<math>\bullet</math>П.П.Волосевич , Е.И.Леванов "Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса"

--[[Користувач:Pengwin|Pengwin]] 19:42, 21 травня 2012 (UTC)

@@ Рядок 128: / Рядок 128: @@
 Даний метод автомодельності може використовуватись у гідрогазодинаміці для спрощеня розвязків важких задач а саме:
 * при розрахунку задач на перенос тепла
 *рівняня газової динаміки,описуючі ізентропічні і адіабатні течії
 *про рух поршня з постійною швидкістю
 *про рух газа перед поршнем в загальному випадку
 *задач про сильний вибух
 == Використана література ==

← Попередня версія		Версія за 07:54, 23 травня 2012
Рядок 12:		Рядок 12:


−	<math>F(x,t)=\Phi\(x)\cdot\Psi\(x)</math> (1)	+	<math>F(x,t)=\Phi\(x)\cdot\Psi\(t)</math> (1)

	використовуючи дану формулу цю систему можна привести до відповідних систем звичайних дифференціальних рівнянь відносно '''x''' та '''t'''.		використовуючи дану формулу цю систему можна привести до відповідних систем звичайних дифференціальних рівнянь відносно '''x''' та '''t'''.

@@ Рядок 137: / Рядок 137: @@
 *про рух поршня з постійною швидкістю
-*про рух газа пере поршенм в загальному випадку
+*про рух газа перед поршнем в загальному випадку
 *задач про сильний вибух
 == Використана література ==

@@ Рядок 91: / Рядок 91: @@
 З пяти параметрів три параметри мають незалежну розмірність.Наприклад розмірності параметрів <math>t,\rho_0\,\upsilon_0\</math> незалежні,так як символ масси <math>M</math> входить в формулу розмірності лише одного з них.Розмірності двух інших параметрів виражаються через розмірності <math>t,\rho_0\,\upsilon_0\</math> у вигляді степеневого одночлена.Дісно представимо:
-<math>m=st^\alpha\ \rho_0\^\beta\ \upsilon_0\^\gamma\, \qquad \qquad   P_0=\theta\t^\alpha_1\ \rho_0\^\beta_1\ \upsilon_0\^\gamma_1\</math>
+<math>m=st^\alpha\</math> <math>\rho_0\(^\beta\)</math> <math>\upsilon_0\(^\gamma\)</math>, <math>\qquad \qquad   P_0=\theta\t^\alpha_1\ \rho_0\(^{\beta_1\) \upsilon_0\(^{\gamma_1\)</math>
 де <math>s,\theta\</math>-безрозмірні величини.Співставивши розмірності правої і ілвої частини можна отримати
@@ Рядок 104: / Рядок 104: @@
-<math>\theta\ = \frac{P_0}{\rho_0\ \upsilon_0\^2 t^{2n}}</math>
+<math>\theta\ = \frac{P_0}{\rho_0\ \upsilon_0\(^2) t^{2n}}</math>
 Тепер розглянемо два окремих випадки задачі:
@@ Рядок 113: / Рядок 113: @@
-<math>\theta\ = \theta_0\ = \frac{P_0}{\rho_0\ \upsilon_0\^2}</math>
+<math>\theta\ = \theta_0\ = \frac{P_0}{\rho_0\ \upsilon_0\(^2)}</math>
@@ Рядок 124: / Рядок 124: @@
 )<math>P_0=0</math>.В цьому випадку <math>\theta=0\</math>.Шукані функції будуть такожзалежити від однієї безрозмірної зміної <math>s</math>,тобто розвязок задачі буде автомодельним.При цьому,якщо <math>n_1\ne 0</math> ,то з часом змінюється не тільки масштаб незалежної зміної,но і масштаби шуканих функцій швидкості і тиску.
 == Використання у гідрогазодинаміці ==

@@ Рядок 34: / Рядок 34: @@
-<math>M(t)=M_0 t^n , \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad    \Psi\(t)=\Psi_0\ t^{n_\Psi\}</math>    (5)
+<math>M(t)=M_0 t^n , \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad    \Psi\(t)=\Psi_0\ t^{n_\Psi\</math>    (5)
 або
@@ Рядок 50: / Рядок 50: @@
 Загальною властивістю всі інваріантних рішеннь являється те,що в одномірному випадку вихідну задачу,сформульовану для системи рівнянь в частиних похідних,можна звести до задачі,сформульованій для відповідної системи звичайних дифференціальних рівнянь.
 == Умова автомодельності ==