Перегляд вихідного коду сторінки Теорема Коші-Гельмгольца

З теоретичної механіки відомо, що в загальному випадку рух
твердого тіла в кожен момент складається з поступального переміщення полюса і обертання навколо миттєвої осі, що проходить через цей
полюс. Рух рідини більш складно. Кожна рідка частка крім
поступального переміщення і обертання, зазнає ще й деформації.
Для вивчення всіх складових руху розглянемо нескінченно
малу рідку частку в довільний момент часу (рис. 1).  
Позначимо проекції швидкості у точці  М(x,y,z) – центрі частинки, 
прийнятому за полюс, через <math>v_x(x,y,z)</math> ; <math>v_y(x,y,z)</math>; <math>v_z(x,y,z)</math>.  Тоді в деякій
точці  M1 із координатами <math>(x+x_1,  y+y_1,  z+z_1)</math> на поверхні частинки 
проекції швидкості можуть бути записані у вигляді


[[Файл:A1.gif]]

де <math>x_1, y_1</math> і <math>z_1</math>   в силу малих розмірів частинки являються нескінченно малими величинами

[[Файл:A2.gif‎]] рис. 1 Частинка рідини у різних системах координат

Розкладемо функції швидкостей <math>v_x,v_y,v_z </math>в ряди Тейлора по степеням <math>x1, y1, z1</math>  в окрузі точки 
М(x,y,z). Утримуючи члени до першого порядку малости включно, отримаємо

[[Файл:A3.gif]]

де для скорочення запису, замість <math>v_x(x,y,z)</math>  записано  <math>v_x</math>  и т. д. 
Після нескладних перетворень можна отримати

[[Файл:A4.gif]], 

де

[[Файл:A5.gif]]

Вияснимо фізичний зміст кожного із складових в (2.4): 
- <math>v_x, v_y</math> і  <math>v_z</math> - проекції поступальної швидкості центру рідкої частинки; 
- пари останніх складових(<math>ω_yz_1, ω_zy_1</math> та ін.) – проекції швидкості руху частинок навколо миттєвої осі, що проходить через її центр. Такий обертовий рух частинки в гідромеханіці називають  вихровим, а проекції кутової швидкості обертання <math>w_x, w_y, w_z</math> компонентами вихру (ротора). Из векторного анализа и формул (2.5) следует, что угловая 
скорость

Все описане тут і становить суть теореми Коші-Гельмгольца: швидкість будь-якої рідкої частки складається з швидкості полюса, швидкості обертання навколо миттєвої осі, що проходить через цей полюс, а також швидкості деформаційного руху, що складається з лінійної деформації і деформації зсуву.