Перегляд вихідного коду сторінки Метод крутого сходження

{{Завдання|Храплива У.В.|Назаревич О. Б.|20 березня 2012}}
{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"
|-
| '''Прізвище''' || Храплива
|-
| '''Ім'я''' || Уляна
|-
| '''По батькові''' || Вікторівна
|-
| '''Факультет''' || ФІС
|-
| '''Група''' || СНм-51
|-
| '''Залікова книжка''' || СНм-11-253
|-
|}




== Метод крутого сходження (метод Бокса - Уїлсона) ==
Метод крутого сходження, або метод Бокса - Уїлсона, поєднує істотні елементи методу Гаусса - Зейделя і градієнтного методу з методами ПФЕ або ДФЕ. Так, при використанні алгоритму крутого сходження кроковий рух з точки <math>(\vec x)_k\</math> здійснюється в напрямі найшвидшого зростання рівня виходу, тобто по <math>\ grad(y({\vec x}_k))</math>, проте, на відміну від градієнтного методу, коректування напряму здійснюється не після кожного наступного кроку, а після досягнення в<br>
<center>[[Файл:Рис 1.GIF]]</center><br>
<center>Рисунок 1</center><br>

деякій точці <math>{\vec x}_m</math> на даному напрямі часткового екстремуму цільової функції (рис. 1), аналогічно методу Гаусса - Зейделя.<br> 
Важливою особливістю методу Бокса - Уїлсона є також регулярне проведення статичного аналізу проміжних результатів на шляху до оптимуму. <br>
Порядок виконання операцій при пошуку екстремуму за методом крутого сходження такий:<br>
1) проводиться повний або дробовий факторний експеримент з центором у вихідній точці <math>{\vec x}_0</math> для визначення <math>\ grad(y({\vec x}_0))</math>. Результати експерименту піддаються статистичному аналізу, який включає:<br>
а) перевірку відтворюваності експерименту;<br>
б) перевірку значщості оцінок коефіцієнтів <math>b_i</math> лінійної моделі об'єкта;<br>
в) перевірк адекватності утвореної лінійної моделі<br>
<center><math>\ y = {b_0} + {b_1}{x_1} + ... + {b_n}{x_n}</math></center><br>
досліджуваному об'єкту.<br>
Порядок виконання цих операцій детально викладено у попередніх главах;<br>
2) обчислюються добутки <math>\ b_i \Delta {x_i}</math>, де <math>\Delta {x_i}</math> - крок варіювання параметра <math>x_i</math> при проведенні ПФЕ, і фактор, для якого цей добуток максимальний, береться як базовий<br>
<center><math>\ max (b_i \Delta {x_i}) = {b_\sigma }\Delta {x_\sigma }</math>,</center><br>
3) для базового фактора вибирають крок варіювання при крутому сходженні <math>\rho</math>, залишаючи старий крок або впроваджуючи дрібніший;<br>
4) визначаються розміри <math>\rho_j</math> за рештою змінних процесу <math>\ x_j(j \ne i)</math>. Оскільки під час руху по градієнту варійовані параметри повинні змінюватися пропорційно коефіцієнтам <math>\ b_j = {\textstyle{{\Delta y} \over {\Delta {x_j}}}}</math>, які є компонентами вектора <math>\ grad(y(x))</math>, то відповідні <math>\rho_j</math> знаходяться за формулою <br>
<center><math>\rho _j = {\textstyle{{{b_j}\Delta {x_j}} \over {\left| {{b_\sigma }\Delta {x_\sigma }} \right|}}}\rho </math>,</center><br>
де <math>\rho</math> і <math>\Delta {x_j}</math> завжди додатні, а коефіцієнт <math>b_j</math> береться зі своїм знаком;<br>
5) проводяться уявні досліди, які полягають у завбаченні значень виходу <math> y_k({\vec x}_k)</math> у певних точках <math>{\vec x}_k</math> факторного простору (див. рис.1). Для цього незалежні змінні лінійної моделі обєкта змінюються з урахуванням <math>b_i = \Delta y/\Delta {x_i}</math> таким чином, щоб зображуюча точка <math>\vec x</math> виконувала кроковий рух у напрямі вектора <math>\ grad({\vec x}_1)</math>, займаючи послідовно положення <br>
<center><math>{\vec x}_1,{\vec x}_2,...,{\vec x}_k,...,{\vec x}_m.</math></center><br>
Очевидно, що j-а координата k-ї точки визначається так:<br>
<center><math>x_{kj} = {x_{1j}} + {k_{\rho j}},j = 1,2,...,n.</math></center><br>
Тоді<br>
<center><math>y_k = b_0^' + k\sum\limits_{j = 1}^n {{b_j}{\rho _j}} ,k = 1,2,...,m.</math></center><br>
Зробимо підстановку<br>
<center><math>y_k = k{y_1} - (k - 1){b_0},k = 1,2,...,m,</math></center><br>
або ще зручніше<br>
<center><math>y_k = {y_{k - 1}} + ({y_1} - {b_0}),k = 1,2,...,m.</math></center><br>
6) уявні досліди продовжуються до тих пір, поки виконується нерівність<br>
<center><math>y_k \le (1...2){y_{\max }}</math>,</center><br>
де <math>y_{max}</math> - максимально можливий вихід, який визначається з фізичних міркувань;<br>
7) деякі з уявних дослідів (звичайно через кожні 2-3 уявних кроки) реалізуються на обєкті для перевірки відповідності апроксимації обєкта утвореним рівнянням(гіперплощиною). Спостережені значення <math>y_{exper}</math> порівнюють із завбаченими <math>y_{zav}</math> (див. рис.1);<br>
8) точка <math>{\vec x}_m</math>, де в реальному досліді утворено максимальне значення виходу, береться за нову початкову точку, і етап крутого сходження, описаний вище, повторюється;<br>
9) оскільки кожен етап крутого сходження наближає зображуючу точку до області екстремуму <math>y(\vec x)</math>, де крутість поверхні відклику менша, то для кожного наступного етапу <math>\rho</math> береться рівним або меншим попереднього;<br>
10) пошук припиняється,коли всі коефіцієнти <math>b_i, (i=1,2,...,n)</math>  лінійної моделі обєкта виходять незначущими. Це свідчить про вихід в область екстремуму цільової функції.


== Перелік літератури ==
1. В.О. Аністратенко, В.Г. Федоров Математичне планування експериментів в АПК ст.253