Wiki ТНТУ - Внесок користувача [uk]

Обговорення:Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини

2012-05-06T21:09:57Z

Valdemar88: Сторінка очищена

Обговорення:Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини

2012-04-15T21:49:12Z

Valdemar88:

Стаття Гащина Володимира !!!!

каб 31!!!!!!

Обговорення:Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини

2012-04-15T21:48:42Z

Valdemar88: /* 21.06 */

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T18:13:58Z

Valdemar88: /* Загальні відомості */

[[Файл:Jet pump.jpg|thumb|right|Малогабаритний насос з електроприводом]]
[[Файл:Wasserwerk pumpe01.jpg|thumb|right|Великий насос з електроприводом, .]]
[[Файл:Pompe_hydraulique.gif|thumb|tight|Умовне позначення насоса на принципових схемах]]
'''Насос''' , призначена для створення потоку рідкого або газового середовища, яка перетворює механічну енергію приводу насоса у кінетичну енергію та енергію тиску рідини чи газу. Робота насоса характеризується його подачею, напором, потужністю, коефіцієнтом корисної дії та частотою обертання.

Синонім – ''помпа, нагнітач''.

== Класифікація насосів ==
=== За принципом роботи ===
Усі насоси за принципом роботи можна розділити на два типи: ''динамічні'' та ''об'ємні''.

'''Динамічні насоси'''  — це насоси, в яких рідина під впливом гідродинамічних сил переміщається в камері, що постійно сполучена з вхідним і вихідним патрубками насоса.

Динамічні насоси в свою чергу поділяються на ''лопатеві насоси'', ''насоси тертя'' та ''насоси інерційного типу''. Найбільшого поширення набули лопатеві насоси.

:''Лопатеві насоси''  — це ті насоси, в яких рідина переміщається за рахунок енергії, що передається їй при обтіканні лопатей робочого колеса. Лопатеві насоси поділяються на два види: відцентрові та осьові. У відцентрових насосах рідина переміщається через робоче колесо від центру до периферії, а в осьових - через робоче колесо в напрямку його осі.
:У ''насосах тертя'' рідина переміщається за рахунок сил тертя. До насосів цього типу відносяться: вихрові, дискові, черв'ячні та гідрострумині.
:Робота ''інерційних насосів'' базується на збудженні в рідині коливань, що сприяють її руху. Конструкція всіх вібраційних насосів є однотипною. Насос складається з електромагніту, вібратора, поміщених в корпус.

'''Об'ємні насоси'''  — це насоси, в яких рідина переміщається за рахунок періодичної зміни об'єму робочої камери, що поперемінно сполучається з вхідним і вихідним патрубками насоса. До них відносяться поршневі, пластинчасті, мембранні, гвинтові, шестеренчасті, перистальтичні.

=== За призначенням ===

За призначенням насоси підрозділяють на: водопровідні, вугільні, ґрунтові, землесоси, шламові, піскові, суспензійні, нафтові.

== Застосування ==

Н. широко застосовуються в усіх без винятку галузях народного господарства в системах водо- і теплопостачання, водовідливу, переміщення гідросумішей твердих сипких матеріалів (в т. ч. вугілля, породи та відходів збагачення), нафти та нафтопродуктів тощо.

Застосовується, наприклад, для напомповування газу у |шини, підняття поди з поверхневих горизонтів гідрант; перепомповування фекалій, рідин і навіть плазми.

== Технічні характеристики ==
=== Характеристика насоса ===

Характеристика насоса - це залежність необхідного напору H від подачі Qн рідини, H(Qн).

=== Напір насоса ===

Напір насоса – різниця повних питомих енергій середовища, яке перекачують, при виході з насоса та на вході в насос.
В технічній літературі можуть використовуватися поняття масовий, ваговий та об’ємний напір. У гідравлічних розрахун-ках ГТС під загальним поняттям “напір” розуміють ваговий на-пір, який вимірюють у метрах.

==Коефіцієнт корисної дії насоса==

КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ (К.К.Д.) НАСОСА – відношення корисної потужності насоса Pі до потужності Р, споживаної ним у розглядуваній робочій точці, η = Pі / P.

== Схеми роботи насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв’язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

[[Файл:Насос В.JPG|thumb|500px|]]
[[Файл:Типи коліс.JPG|thumb|500px|]]
===Насос відцентровий===

Насос відцентровий— насос лопатевий, який діє за допомогою відцентрових сил і в якому рідке середовище переміщується через робоче колесо від центра до периферії.

== Класифікація ==

Н.в. класифікують за кількома ознаками:

* за кількістю робочих коліс: одноколісні, двохколісні і багатоколісні (насоси секційні), в яких рідина проходить послідовно крізь ряд коліс, причому загальний напір насоса дорівнює сумі напорів, які створюються кожним колесом;
* за способом підведення рідини до робочого колеса — насоси с однобічним підведенням і насоси з двобічним підведенням;
* за розташуванням вала — горизонтальні та вертикальні;
* за конструкцією корпуса — з вертикальним роз'єднанням і горизонтальним роз'єднанням;
* за відводом рідини з робочого колеса — спіральні та турбінні, в яких рідина до спірального каналу (завитки) надходить через спрямовуючий апарат (нерухоме колесо з лопатками);
* за способом з'єднання з двигуном — приводні (зі шківом або редуктором), з'єднані безпосередньо через муфту та моноблок-насоси, де робоче колесо встановлене на подовженому кінці вала електродвигуна;
* за родом рідини, яка перекачується — вугільні, ґрунтові, а також водопровідні, каналізаційні, теплофікаційні, кислотні і т.ін.

У гірничій промисловості широко застосовують насоси вугільні, ґрунтові, шламові, суспензійні, а також багатоколісні секційні насоси.

== Схеми роботи відцентрових насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв'язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Характеристика відцентрового насоса ==

НАСОСА ВІДЦЕНТРОВОГО ХАРАКТЕРИСТИКА — графічні залежності напору, що його розвиває насос, споживаної потужності, кавітаційного запасу й коефіцієнта корисної дії від подачі насоса. Розрізняють паспортну (заводську) і ймовірну (в конкретній свердловині) Н.в.х. Остання може істотно відрізнятися від паспортної Н.в.х. внаслідок неякісного виготовлення конкретного насоса, відмінності в'язкості видобувної нафти від в'язкості води і наявності в продукції свердловини вільного газу.

Характеристики насоса мають декілька характерних точок або зон. Початкова точка характеристики відповідає роботі на-соса при закритій засувці на напірному патрубку (Q = 0). У цьому випадку насос розвиває напір Н0 та споживає потужність (N0 ≠ 0). Потужність, яку споживають (бл. 30% номінальної) витрачається на механічні втрати на нагрів води у насосі. Робо-та насоса при закритій засувці можлива лише на холодній воді протягом нетривалого часу (декілька хвилин).

Оптимальна точка характеристики с відповідає максимальному значенню к.к.д. Оскільки крива Q (η) має у зоні оптима-льної точки пологий характер, то на практиці використовують робочу частину характеристики насоса (зона між точками a та b). Робоча частина характеристики залежить від допустимого зниження к.к.д., яке приймають не більше 2 — 3% від його максимального значення.
Максимальна точка характеристики — кінцева точка кривої Q(Н) відповідає тому значенню подачі, після якого насос може увійти у кавітаційний режим.

Основною кривою, яка характеризує роботу насоса, є крива залежності напору від подачі Q (Н). У залежності від конс-трукції насоса форма кривої Q (Н) може бути різною. Для різних насосів існують криві, які безперервно знижуються, та кри-ві з ділянкою, що збільшується (що мають максимум). Перші називають стабільними, а другі — нестабільними (лабільними) характеристиками. У свою чергу, криві обох типів можуть бути пологими, нормальними та крутоспадними.

===Насос лопатевий===

'''Насос лопатевий''' – динамічний насос, в якому потік рідини утворюється за рахунок взаємодії з робочим колесом, де відбувається прирощення її потенціальної та кінетичної енергії. В нерухомих елементах насоса (відводі) кінетична енергія перетворюється в енергію тиску. Н.л. широко застосовуються в різних галузях.
'''Розрізняють Н.л.:'''
* за напрямком руху рідини в насосі на насоси відцентрові та насоси осьові (останні у гірничій промисловості практично не використовуються); за властивостями рідини, що перекачується, – для чистих і забруднених шахтних вод, обводнених шламів і відходів збагачення, вугільних, породних і вугільно-породних гідросумішей, кислотних, радіоактивних і геотермальних з температурою вище 50°С вод;
* за технічним призначенням у гірничій промисловості – для головних водовідливних установок, дільничного, прохідницького та допоміжного водовідливу, подачі технологічної води на гідромонітори, гідротранспорт і гідропідйом на гідрошахтах, гідрозакладні комплекси, в технологічних схемах вуглезбагачувальних фабрик та гірничо-збагачувальних комбінатів тощо.

Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів як з точки зору продуктивності та універсальності, так і їх поширеності (не менше 75% промислових насосів). Найменші можна взяти в руку, а найбільші досягають декількох метрів у діаметрі. Потужність відцентрових насосів може складати від часток кіловата до багатьох тисяч кіловат.

Принцип роботи. Рідина надходить до центральної частини робочого колеса (крильчатки). Крильчатка встановлена на валу в корпусі і приводиться в обертання електричним або іншим двигуном. Енергія обертання передається крильчаткою рідині; рідина переміщається на периферію крильчатки, збирається в кільцевому колекторі (равлику) і віддаляється через вихідний патрубок. Патрубок має розширюючу форму; швидкість потоку в ньому падає, і частина кінетичної енергії рідини, взятої в робочому колесі насоса, перетвориться в потенційну енергію тиску. Збільшення тиску на виході з насоса може бути досягнуто збільшенням або частоти обертання, або діаметра крильчатки.

== Література ==

* Гiдроприводи та гiдропневмоавтоматика: Пiдручник /В. О. Федорець, М. Н. Педченко, В. Б. Струтинський та iн. За ред. В. О. Федорця. — К:Вища школа,— 1995.- 463 с.

Категорія:Пристрої
Категорія:Насоси

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T18:13:46Z

Valdemar88: /* Насос лопатевий */

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T18:13:15Z

Valdemar88: /* Література */

[[Файл:Jet pump.jpg|thumb|right|Малогабаритний насос з електроприводом]]
[[Файл:Wasserwerk pumpe01.jpg|thumb|right|Великий насос з електроприводом, .]]
[[Файл:Pompe_hydraulique.gif|thumb|tight|Умовне позначення насоса на принципових схемах]]
'''Насос''' , призначена для створення потоку рідкого або газового середовища, яка перетворює механічну енергію приводу насоса у кінетичну енергію та енергію тиску рідини чи газу. Робота насоса характеризується його подачею, напором, потужністю, коефіцієнтом корисної дії та частотою обертання.

Синонім – ''помпа, нагнітач''.

== Класифікація насосів ==
=== За принципом роботи ===
Усі насоси за принципом роботи можна розділити на два типи: ''динамічні'' та ''об'ємні''.

'''Динамічні насоси'''  — це насоси, в яких рідина під впливом гідродинамічних сил переміщається в камері, що постійно сполучена з вхідним і вихідним патрубками насоса.

Динамічні насоси в свою чергу поділяються на ''лопатеві насоси'', ''насоси тертя'' та ''насоси інерційного типу''. Найбільшого поширення набули лопатеві насоси.

:''Лопатеві насоси''  — це ті насоси, в яких рідина переміщається за рахунок енергії, що передається їй при обтіканні лопатей робочого колеса. Лопатеві насоси поділяються на два види: відцентрові та осьові. У відцентрових насосах рідина переміщається через робоче колесо від центру до периферії, а в осьових - через робоче колесо в напрямку його осі.
:У ''насосах тертя'' рідина переміщається за рахунок сил тертя. До насосів цього типу відносяться: вихрові, дискові, черв'ячні та гідрострумині.
:Робота ''інерційних насосів'' базується на збудженні в рідині коливань, що сприяють її руху. Конструкція всіх вібраційних насосів є однотипною. Насос складається з електромагніту, вібратора, поміщених в корпус.

'''Об'ємні насоси'''  — це насоси, в яких рідина переміщається за рахунок періодичної зміни об'єму робочої камери, що поперемінно сполучається з вхідним і вихідним патрубками насоса. До них відносяться поршневі, пластинчасті, мембранні, гвинтові, шестеренчасті, перистальтичні.

=== За призначенням ===

За призначенням насоси підрозділяють на: водопровідні, вугільні, ґрунтові, землесоси, шламові, піскові, суспензійні, нафтові.

== Застосування ==

Н. широко застосовуються в усіх без винятку галузях народного господарства в системах водо- і теплопостачання, водовідливу, переміщення гідросумішей твердих сипких матеріалів (в т. ч. вугілля, породи та відходів збагачення), нафти та нафтопродуктів тощо.

Застосовується, наприклад, для напомповування газу у |шини, підняття поди з поверхневих горизонтів гідрант; перепомповування фекалій, рідин і навіть плазми.

== Технічні характеристики ==
=== Характеристика насоса ===

Характеристика насоса - це залежність необхідного напору H від подачі Qн рідини, H(Qн).

=== Напір насоса ===

Напір насоса – різниця повних питомих енергій середовища, яке перекачують, при виході з насоса та на вході в насос.
В технічній літературі можуть використовуватися поняття масовий, ваговий та об’ємний напір. У гідравлічних розрахун-ках ГТС під загальним поняттям “напір” розуміють ваговий на-пір, який вимірюють у метрах.

==Коефіцієнт корисної дії насоса==

КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ (К.К.Д.) НАСОСА – відношення корисної потужності насоса Pі до потужності Р, споживаної ним у розглядуваній робочій точці, η = Pі / P.

== Схеми роботи насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв’язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

[[Файл:Насос В.JPG|thumb|500px|]]
[[Файл:Типи коліс.JPG|thumb|500px|]]
===Насос відцентровий===

Насос відцентровий— насос лопатевий, який діє за допомогою відцентрових сил і в якому рідке середовище переміщується через робоче колесо від центра до периферії.

== Класифікація ==

Н.в. класифікують за кількома ознаками:

* за кількістю робочих коліс: одноколісні, двохколісні і багатоколісні (насоси секційні), в яких рідина проходить послідовно крізь ряд коліс, причому загальний напір насоса дорівнює сумі напорів, які створюються кожним колесом;
* за способом підведення рідини до робочого колеса — насоси с однобічним підведенням і насоси з двобічним підведенням;
* за розташуванням вала — горизонтальні та вертикальні;
* за конструкцією корпуса — з вертикальним роз'єднанням і горизонтальним роз'єднанням;
* за відводом рідини з робочого колеса — спіральні та турбінні, в яких рідина до спірального каналу (завитки) надходить через спрямовуючий апарат (нерухоме колесо з лопатками);
* за способом з'єднання з двигуном — приводні (зі шківом або редуктором), з'єднані безпосередньо через муфту та моноблок-насоси, де робоче колесо встановлене на подовженому кінці вала електродвигуна;
* за родом рідини, яка перекачується — вугільні, ґрунтові, а також водопровідні, каналізаційні, теплофікаційні, кислотні і т.ін.

У гірничій промисловості широко застосовують насоси вугільні, ґрунтові, шламові, суспензійні, а також багатоколісні секційні насоси.

== Схеми роботи відцентрових насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв'язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Характеристика відцентрового насоса ==

НАСОСА ВІДЦЕНТРОВОГО ХАРАКТЕРИСТИКА — графічні залежності напору, що його розвиває насос, споживаної потужності, кавітаційного запасу й коефіцієнта корисної дії від подачі насоса. Розрізняють паспортну (заводську) і ймовірну (в конкретній свердловині) Н.в.х. Остання може істотно відрізнятися від паспортної Н.в.х. внаслідок неякісного виготовлення конкретного насоса, відмінності в'язкості видобувної нафти від в'язкості води і наявності в продукції свердловини вільного газу.

Характеристики насоса мають декілька характерних точок або зон. Початкова точка характеристики відповідає роботі на-соса при закритій засувці на напірному патрубку (Q = 0). У цьому випадку насос розвиває напір Н0 та споживає потужність (N0 ≠ 0). Потужність, яку споживають (бл. 30% номінальної) витрачається на механічні втрати на нагрів води у насосі. Робо-та насоса при закритій засувці можлива лише на холодній воді протягом нетривалого часу (декілька хвилин).

Оптимальна точка характеристики с відповідає максимальному значенню к.к.д. Оскільки крива Q (η) має у зоні оптима-льної точки пологий характер, то на практиці використовують робочу частину характеристики насоса (зона між точками a та b). Робоча частина характеристики залежить від допустимого зниження к.к.д., яке приймають не більше 2 — 3% від його максимального значення.
Максимальна точка характеристики — кінцева точка кривої Q(Н) відповідає тому значенню подачі, після якого насос може увійти у кавітаційний режим.

Основною кривою, яка характеризує роботу насоса, є крива залежності напору від подачі Q (Н). У залежності від конс-трукції насоса форма кривої Q (Н) може бути різною. Для різних насосів існують криві, які безперервно знижуються, та кри-ві з ділянкою, що збільшується (що мають максимум). Перші називають стабільними, а другі — нестабільними (лабільними) характеристиками. У свою чергу, криві обох типів можуть бути пологими, нормальними та крутоспадними.

===Насос лопатевий===

'''Насос лопатевий''' – динамічний насос, в якому потік рідини утворюється за рахунок взаємодії з робочим колесом, де відбувається прирощення її потенціальної та кінетичної енергії. В нерухомих елементах насоса (відводі) кінетична енергія перетворюється в енергію тиску. Н.л. широко застосовуються в різних галузях.
'''Розрізняють Н.л.:'''
* за напрямком руху рідини в насосі на насоси відцентрові та насоси осьові (останні у гірничій промисловості практично не використовуються); за властивостями рідини, що перекачується, – для чистих і забруднених шахтних вод, обводнених шламів і відходів збагачення, вугільних, породних і вугільно-породних гідросумішей, кислотних, радіоактивних і геотермальних з температурою вище 50°С вод;
* за технічним призначенням у гірничій промисловості – для головних водовідливних установок, дільничного, прохідницького та допоміжного водовідливу, подачі технологічної води на гідромонітори, гідротранспорт і гідропідйом на гідрошахтах, гідрозакладні комплекси, в технологічних схемах вуглезбагачувальних фабрик та гірничо-збагачувальних комбінатів тощо.

== Література ==

* Гiдроприводи та гiдропневмоавтоматика: Пiдручник /В. О. Федорець, М. Н. Педченко, В. Б. Струтинський та iн. За ред. В. О. Федорця. — К:Вища школа,— 1995.- 463 с.

Категорія:Пристрої
Категорія:Насоси

==Загальні відомості==

Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів як з точки зору продуктивності та універсальності, так і їх поширеності (не менше 75% промислових насосів). Найменші можна взяти в руку, а найбільші досягають декількох метрів у діаметрі. Потужність відцентрових насосів може складати від часток кіловата до багатьох тисяч кіловат.

Принцип роботи. Рідина надходить до центральної частини робочого колеса (крильчатки). Крильчатка встановлена на валу в корпусі і приводиться в обертання електричним або іншим двигуном. Енергія обертання передається крильчаткою рідині; рідина переміщається на периферію крильчатки, збирається в кільцевому колекторі (равлику) і віддаляється через вихідний патрубок. Патрубок має розширюючу форму; швидкість потоку в ньому падає, і частина кінетичної енергії рідини, взятої в робочому колесі насоса, перетвориться в потенційну енергію тиску. Збільшення тиску на виході з насоса може бути досягнуто збільшенням або частоти обертання, або діаметра крильчатки.

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T18:13:00Z

Valdemar88: /* Насос лопатевий */

[[Файл:Jet pump.jpg|thumb|right|Малогабаритний насос з електроприводом]]
[[Файл:Wasserwerk pumpe01.jpg|thumb|right|Великий насос з електроприводом, .]]
[[Файл:Pompe_hydraulique.gif|thumb|tight|Умовне позначення насоса на принципових схемах]]
'''Насос''' , призначена для створення потоку рідкого або газового середовища, яка перетворює механічну енергію приводу насоса у кінетичну енергію та енергію тиску рідини чи газу. Робота насоса характеризується його подачею, напором, потужністю, коефіцієнтом корисної дії та частотою обертання.

Синонім – ''помпа, нагнітач''.

== Класифікація насосів ==
=== За принципом роботи ===
Усі насоси за принципом роботи можна розділити на два типи: ''динамічні'' та ''об'ємні''.

'''Динамічні насоси'''  — це насоси, в яких рідина під впливом гідродинамічних сил переміщається в камері, що постійно сполучена з вхідним і вихідним патрубками насоса.

Динамічні насоси в свою чергу поділяються на ''лопатеві насоси'', ''насоси тертя'' та ''насоси інерційного типу''. Найбільшого поширення набули лопатеві насоси.

:''Лопатеві насоси''  — це ті насоси, в яких рідина переміщається за рахунок енергії, що передається їй при обтіканні лопатей робочого колеса. Лопатеві насоси поділяються на два види: відцентрові та осьові. У відцентрових насосах рідина переміщається через робоче колесо від центру до периферії, а в осьових - через робоче колесо в напрямку його осі.
:У ''насосах тертя'' рідина переміщається за рахунок сил тертя. До насосів цього типу відносяться: вихрові, дискові, черв'ячні та гідрострумині.
:Робота ''інерційних насосів'' базується на збудженні в рідині коливань, що сприяють її руху. Конструкція всіх вібраційних насосів є однотипною. Насос складається з електромагніту, вібратора, поміщених в корпус.

'''Об'ємні насоси'''  — це насоси, в яких рідина переміщається за рахунок періодичної зміни об'єму робочої камери, що поперемінно сполучається з вхідним і вихідним патрубками насоса. До них відносяться поршневі, пластинчасті, мембранні, гвинтові, шестеренчасті, перистальтичні.

=== За призначенням ===

За призначенням насоси підрозділяють на: водопровідні, вугільні, ґрунтові, землесоси, шламові, піскові, суспензійні, нафтові.

== Застосування ==

Н. широко застосовуються в усіх без винятку галузях народного господарства в системах водо- і теплопостачання, водовідливу, переміщення гідросумішей твердих сипких матеріалів (в т. ч. вугілля, породи та відходів збагачення), нафти та нафтопродуктів тощо.

Застосовується, наприклад, для напомповування газу у |шини, підняття поди з поверхневих горизонтів гідрант; перепомповування фекалій, рідин і навіть плазми.

== Технічні характеристики ==
=== Характеристика насоса ===

Характеристика насоса - це залежність необхідного напору H від подачі Qн рідини, H(Qн).

=== Напір насоса ===

Напір насоса – різниця повних питомих енергій середовища, яке перекачують, при виході з насоса та на вході в насос.
В технічній літературі можуть використовуватися поняття масовий, ваговий та об’ємний напір. У гідравлічних розрахун-ках ГТС під загальним поняттям “напір” розуміють ваговий на-пір, який вимірюють у метрах.

==Коефіцієнт корисної дії насоса==

КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ (К.К.Д.) НАСОСА – відношення корисної потужності насоса Pі до потужності Р, споживаної ним у розглядуваній робочій точці, η = Pі / P.

== Схеми роботи насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв’язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

[[Файл:Насос В.JPG|thumb|500px|]]
[[Файл:Типи коліс.JPG|thumb|500px|]]
===Насос відцентровий===

Насос відцентровий— насос лопатевий, який діє за допомогою відцентрових сил і в якому рідке середовище переміщується через робоче колесо від центра до периферії.

== Класифікація ==

Н.в. класифікують за кількома ознаками:

* за кількістю робочих коліс: одноколісні, двохколісні і багатоколісні (насоси секційні), в яких рідина проходить послідовно крізь ряд коліс, причому загальний напір насоса дорівнює сумі напорів, які створюються кожним колесом;
* за способом підведення рідини до робочого колеса — насоси с однобічним підведенням і насоси з двобічним підведенням;
* за розташуванням вала — горизонтальні та вертикальні;
* за конструкцією корпуса — з вертикальним роз'єднанням і горизонтальним роз'єднанням;
* за відводом рідини з робочого колеса — спіральні та турбінні, в яких рідина до спірального каналу (завитки) надходить через спрямовуючий апарат (нерухоме колесо з лопатками);
* за способом з'єднання з двигуном — приводні (зі шківом або редуктором), з'єднані безпосередньо через муфту та моноблок-насоси, де робоче колесо встановлене на подовженому кінці вала електродвигуна;
* за родом рідини, яка перекачується — вугільні, ґрунтові, а також водопровідні, каналізаційні, теплофікаційні, кислотні і т.ін.

У гірничій промисловості широко застосовують насоси вугільні, ґрунтові, шламові, суспензійні, а також багатоколісні секційні насоси.

== Схеми роботи відцентрових насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв'язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Характеристика відцентрового насоса ==

НАСОСА ВІДЦЕНТРОВОГО ХАРАКТЕРИСТИКА — графічні залежності напору, що його розвиває насос, споживаної потужності, кавітаційного запасу й коефіцієнта корисної дії від подачі насоса. Розрізняють паспортну (заводську) і ймовірну (в конкретній свердловині) Н.в.х. Остання може істотно відрізнятися від паспортної Н.в.х. внаслідок неякісного виготовлення конкретного насоса, відмінності в'язкості видобувної нафти від в'язкості води і наявності в продукції свердловини вільного газу.

Характеристики насоса мають декілька характерних точок або зон. Початкова точка характеристики відповідає роботі на-соса при закритій засувці на напірному патрубку (Q = 0). У цьому випадку насос розвиває напір Н0 та споживає потужність (N0 ≠ 0). Потужність, яку споживають (бл. 30% номінальної) витрачається на механічні втрати на нагрів води у насосі. Робо-та насоса при закритій засувці можлива лише на холодній воді протягом нетривалого часу (декілька хвилин).

Оптимальна точка характеристики с відповідає максимальному значенню к.к.д. Оскільки крива Q (η) має у зоні оптима-льної точки пологий характер, то на практиці використовують робочу частину характеристики насоса (зона між точками a та b). Робоча частина характеристики залежить від допустимого зниження к.к.д., яке приймають не більше 2 — 3% від його максимального значення.
Максимальна точка характеристики — кінцева точка кривої Q(Н) відповідає тому значенню подачі, після якого насос може увійти у кавітаційний режим.

Основною кривою, яка характеризує роботу насоса, є крива залежності напору від подачі Q (Н). У залежності від конс-трукції насоса форма кривої Q (Н) може бути різною. Для різних насосів існують криві, які безперервно знижуються, та кри-ві з ділянкою, що збільшується (що мають максимум). Перші називають стабільними, а другі — нестабільними (лабільними) характеристиками. У свою чергу, криві обох типів можуть бути пологими, нормальними та крутоспадними.

===Насос лопатевий===

'''Насос лопатевий''' – динамічний насос, в якому потік рідини утворюється за рахунок взаємодії з робочим колесом, де відбувається прирощення її потенціальної та кінетичної енергії. В нерухомих елементах насоса (відводі) кінетична енергія перетворюється в енергію тиску. Н.л. широко застосовуються в різних галузях.
'''Розрізняють Н.л.:'''
* за напрямком руху рідини в насосі на насоси відцентрові та насоси осьові (останні у гірничій промисловості практично не використовуються); за властивостями рідини, що перекачується, – для чистих і забруднених шахтних вод, обводнених шламів і відходів збагачення, вугільних, породних і вугільно-породних гідросумішей, кислотних, радіоактивних і геотермальних з температурою вище 50°С вод;
* за технічним призначенням у гірничій промисловості – для головних водовідливних установок, дільничного, прохідницького та допоміжного водовідливу, подачі технологічної води на гідромонітори, гідротранспорт і гідропідйом на гідрошахтах, гідрозакладні комплекси, в технологічних схемах вуглезбагачувальних фабрик та гірничо-збагачувальних комбінатів тощо.

== Література ==

* Гiдроприводи та гiдропневмоавтоматика: Пiдручник /В. О. Федорець, М. Н. Педченко, В. Б. Струтинський та iн. За ред. В. О. Федорця. — К:Вища школа,— 1995.- 463 с.  — ISBN 5-11-004086-9

Категорія:Пристрої
Категорія:Насоси

==Загальні відомості==

Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів як з точки зору продуктивності та універсальності, так і їх поширеності (не менше 75% промислових насосів). Найменші можна взяти в руку, а найбільші досягають декількох метрів у діаметрі. Потужність відцентрових насосів може складати від часток кіловата до багатьох тисяч кіловат.

Принцип роботи. Рідина надходить до центральної частини робочого колеса (крильчатки). Крильчатка встановлена на валу в корпусі і приводиться в обертання електричним або іншим двигуном. Енергія обертання передається крильчаткою рідині; рідина переміщається на периферію крильчатки, збирається в кільцевому колекторі (равлику) і віддаляється через вихідний патрубок. Патрубок має розширюючу форму; швидкість потоку в ньому падає, і частина кінетичної енергії рідини, взятої в робочому колесі насоса, перетвориться в потенційну енергію тиску. Збільшення тиску на виході з насоса може бути досягнуто збільшенням або частоти обертання, або діаметра крильчатки.

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T18:11:44Z

Valdemar88:

[[Файл:Jet pump.jpg|thumb|right|Малогабаритний насос з електроприводом]]
[[Файл:Wasserwerk pumpe01.jpg|thumb|right|Великий насос з електроприводом, .]]
[[Файл:Pompe_hydraulique.gif|thumb|tight|Умовне позначення насоса на принципових схемах]]
'''Насос''' , призначена для створення потоку рідкого або газового середовища, яка перетворює механічну енергію приводу насоса у кінетичну енергію та енергію тиску рідини чи газу. Робота насоса характеризується його подачею, напором, потужністю, коефіцієнтом корисної дії та частотою обертання.

Синонім – ''помпа, нагнітач''.

== Класифікація насосів ==
=== За принципом роботи ===
Усі насоси за принципом роботи можна розділити на два типи: ''динамічні'' та ''об'ємні''.

'''Динамічні насоси'''  — це насоси, в яких рідина під впливом гідродинамічних сил переміщається в камері, що постійно сполучена з вхідним і вихідним патрубками насоса.

Динамічні насоси в свою чергу поділяються на ''лопатеві насоси'', ''насоси тертя'' та ''насоси інерційного типу''. Найбільшого поширення набули лопатеві насоси.

:''Лопатеві насоси''  — це ті насоси, в яких рідина переміщається за рахунок енергії, що передається їй при обтіканні лопатей робочого колеса. Лопатеві насоси поділяються на два види: відцентрові та осьові. У відцентрових насосах рідина переміщається через робоче колесо від центру до периферії, а в осьових - через робоче колесо в напрямку його осі.
:У ''насосах тертя'' рідина переміщається за рахунок сил тертя. До насосів цього типу відносяться: вихрові, дискові, черв'ячні та гідрострумині.
:Робота ''інерційних насосів'' базується на збудженні в рідині коливань, що сприяють її руху. Конструкція всіх вібраційних насосів є однотипною. Насос складається з електромагніту, вібратора, поміщених в корпус.

'''Об'ємні насоси'''  — це насоси, в яких рідина переміщається за рахунок періодичної зміни об'єму робочої камери, що поперемінно сполучається з вхідним і вихідним патрубками насоса. До них відносяться поршневі, пластинчасті, мембранні, гвинтові, шестеренчасті, перистальтичні.

=== За призначенням ===

За призначенням насоси підрозділяють на: водопровідні, вугільні, ґрунтові, землесоси, шламові, піскові, суспензійні, нафтові.

== Застосування ==

Н. широко застосовуються в усіх без винятку галузях народного господарства в системах водо- і теплопостачання, водовідливу, переміщення гідросумішей твердих сипких матеріалів (в т. ч. вугілля, породи та відходів збагачення), нафти та нафтопродуктів тощо.

Застосовується, наприклад, для напомповування газу у |шини, підняття поди з поверхневих горизонтів гідрант; перепомповування фекалій, рідин і навіть плазми.

== Технічні характеристики ==
=== Характеристика насоса ===

Характеристика насоса - це залежність необхідного напору H від подачі Qн рідини, H(Qн).

=== Напір насоса ===

Напір насоса – різниця повних питомих енергій середовища, яке перекачують, при виході з насоса та на вході в насос.
В технічній літературі можуть використовуватися поняття масовий, ваговий та об’ємний напір. У гідравлічних розрахун-ках ГТС під загальним поняттям “напір” розуміють ваговий на-пір, який вимірюють у метрах.

==Коефіцієнт корисної дії насоса==

КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ (К.К.Д.) НАСОСА – відношення корисної потужності насоса Pі до потужності Р, споживаної ним у розглядуваній робочій точці, η = Pі / P.

== Схеми роботи насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв’язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

[[Файл:Насос В.JPG|thumb|500px|]]
[[Файл:Типи коліс.JPG|thumb|500px|]]
===Насос відцентровий===

Насос відцентровий— насос лопатевий, який діє за допомогою відцентрових сил і в якому рідке середовище переміщується через робоче колесо від центра до периферії.

== Класифікація ==

Н.в. класифікують за кількома ознаками:

* за кількістю робочих коліс: одноколісні, двохколісні і багатоколісні (насоси секційні), в яких рідина проходить послідовно крізь ряд коліс, причому загальний напір насоса дорівнює сумі напорів, які створюються кожним колесом;
* за способом підведення рідини до робочого колеса — насоси с однобічним підведенням і насоси з двобічним підведенням;
* за розташуванням вала — горизонтальні та вертикальні;
* за конструкцією корпуса — з вертикальним роз'єднанням і горизонтальним роз'єднанням;
* за відводом рідини з робочого колеса — спіральні та турбінні, в яких рідина до спірального каналу (завитки) надходить через спрямовуючий апарат (нерухоме колесо з лопатками);
* за способом з'єднання з двигуном — приводні (зі шківом або редуктором), з'єднані безпосередньо через муфту та моноблок-насоси, де робоче колесо встановлене на подовженому кінці вала електродвигуна;
* за родом рідини, яка перекачується — вугільні, ґрунтові, а також водопровідні, каналізаційні, теплофікаційні, кислотні і т.ін.

У гірничій промисловості широко застосовують насоси вугільні, ґрунтові, шламові, суспензійні, а також багатоколісні секційні насоси.

== Схеми роботи відцентрових насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв'язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Характеристика відцентрового насоса ==

НАСОСА ВІДЦЕНТРОВОГО ХАРАКТЕРИСТИКА — графічні залежності напору, що його розвиває насос, споживаної потужності, кавітаційного запасу й коефіцієнта корисної дії від подачі насоса. Розрізняють паспортну (заводську) і ймовірну (в конкретній свердловині) Н.в.х. Остання може істотно відрізнятися від паспортної Н.в.х. внаслідок неякісного виготовлення конкретного насоса, відмінності в'язкості видобувної нафти від в'язкості води і наявності в продукції свердловини вільного газу.

Характеристики насоса мають декілька характерних точок або зон. Початкова точка характеристики відповідає роботі на-соса при закритій засувці на напірному патрубку (Q = 0). У цьому випадку насос розвиває напір Н0 та споживає потужність (N0 ≠ 0). Потужність, яку споживають (бл. 30% номінальної) витрачається на механічні втрати на нагрів води у насосі. Робо-та насоса при закритій засувці можлива лише на холодній воді протягом нетривалого часу (декілька хвилин).

Оптимальна точка характеристики с відповідає максимальному значенню к.к.д. Оскільки крива Q (η) має у зоні оптима-льної точки пологий характер, то на практиці використовують робочу частину характеристики насоса (зона між точками a та b). Робоча частина характеристики залежить від допустимого зниження к.к.д., яке приймають не більше 2 — 3% від його максимального значення.
Максимальна точка характеристики — кінцева точка кривої Q(Н) відповідає тому значенню подачі, після якого насос може увійти у кавітаційний режим.

Основною кривою, яка характеризує роботу насоса, є крива залежності напору від подачі Q (Н). У залежності від конс-трукції насоса форма кривої Q (Н) може бути різною. Для різних насосів існують криві, які безперервно знижуються, та кри-ві з ділянкою, що збільшується (що мають максимум). Перші називають стабільними, а другі — нестабільними (лабільними) характеристиками. У свою чергу, криві обох типів можуть бути пологими, нормальними та крутоспадними.

===Насос лопатевий===

Насос лопатевий- динамічний насос, в якому потік рідини утворюється за рахунок взаємодії з робочим колесом, де відбувається прирощення її потенціальної та кінетичної енергії. В нерухомих елементах насоса (відводі) кінетична енергія перетворюється в енергію тиску. Н.л. широко застосовуються в різних галузях.

'''Розрізняють Н.л.:'''
* за напрямком руху рідини в насосі на насоси відцентрові та насоси осьові (останні у гірничій промисловості практично не використовуються); за властивостями рідини, що перекачується, – для чистих і забруднених шахтних вод, обводнених шламів і відходів збагачення, вугільних, породних і вугільно-породних гідросумішей, кислотних, радіоактивних і геотермальних з температурою вище 50°С вод;
* за технічним призначенням у гірничій промисловості – для головних водовідливних установок, дільничного, прохідницького та допоміжного водовідливу, подачі технологічної води на гідромонітори, гідротранспорт і гідропідйом на гідрошахтах, гідрозакладні комплекси, в технологічних схемах вуглезбагачувальних фабрик та гірничо-збагачувальних комбінатів тощо.

== Література ==

* Гiдроприводи та гiдропневмоавтоматика: Пiдручник /В. О. Федорець, М. Н. Педченко, В. Б. Струтинський та iн. За ред. В. О. Федорця. — К:Вища школа,— 1995.- 463 с.  — ISBN 5-11-004086-9

Категорія:Пристрої
Категорія:Насоси

==Загальні відомості==

Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів як з точки зору продуктивності та універсальності, так і їх поширеності (не менше 75% промислових насосів). Найменші можна взяти в руку, а найбільші досягають декількох метрів у діаметрі. Потужність відцентрових насосів може складати від часток кіловата до багатьох тисяч кіловат.

Принцип роботи. Рідина надходить до центральної частини робочого колеса (крильчатки). Крильчатка встановлена на валу в корпусі і приводиться в обертання електричним або іншим двигуном. Енергія обертання передається крильчаткою рідині; рідина переміщається на периферію крильчатки, збирається в кільцевому колекторі (равлику) і віддаляється через вихідний патрубок. Патрубок має розширюючу форму; швидкість потоку в ньому падає, і частина кінетичної енергії рідини, взятої в робочому колесі насоса, перетвориться в потенційну енергію тиску. Збільшення тиску на виході з насоса може бути досягнуто збільшенням або частоти обертання, або діаметра крильчатки.

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T18:09:58Z

Valdemar88: /* Виробники насосів в Україні */

[[Файл:Jet pump.jpg|thumb|right|Малогабаритний насос з електроприводом]]
[[Файл:Wasserwerk pumpe01.jpg|thumb|right|Великий насос з електроприводом, .]]
[[Файл:Pompe_hydraulique.gif|thumb|tight|Умовне позначення насоса на принципових схемах]]
'''Насос''' , призначена для створення потоку рідкого або газового середовища, яка перетворює механічну енергію приводу насоса у кінетичну енергію та енергію тиску рідини чи газу. Робота насоса характеризується його подачею, напором, потужністю, коефіцієнтом корисної дії та частотою обертання.

Синонім – ''помпа, нагнітач''.

== Класифікація насосів ==
=== За принципом роботи ===
Усі насоси за принципом роботи можна розділити на два типи: ''динамічні'' та ''об'ємні''.

'''Динамічні насоси'''  — це насоси, в яких рідина під впливом гідродинамічних сил переміщається в камері, що постійно сполучена з вхідним і вихідним патрубками насоса.

Динамічні насоси в свою чергу поділяються на ''лопатеві насоси'', ''насоси тертя'' та ''насоси інерційного типу''. Найбільшого поширення набули лопатеві насоси.

:''Лопатеві насоси''  — це ті насоси, в яких рідина переміщається за рахунок енергії, що передається їй при обтіканні лопатей робочого колеса. Лопатеві насоси поділяються на два види: відцентрові та осьові. У відцентрових насосах рідина переміщається через робоче колесо від центру до периферії, а в осьових - через робоче колесо в напрямку його осі.
:У ''насосах тертя'' рідина переміщається за рахунок сил тертя. До насосів цього типу відносяться: вихрові, дискові, черв'ячні та гідрострумині.
:Робота ''інерційних насосів'' базується на збудженні в рідині коливань, що сприяють її руху. Конструкція всіх вібраційних насосів є однотипною. Насос складається з електромагніту, вібратора, поміщених в корпус.

'''Об'ємні насоси'''  — це насоси, в яких рідина переміщається за рахунок періодичної зміни об'єму робочої камери, що поперемінно сполучається з вхідним і вихідним патрубками насоса. До них відносяться поршневі, пластинчасті, мембранні, гвинтові, шестеренчасті, перистальтичні.

=== За призначенням ===

За призначенням насоси підрозділяють на: водопровідні, вугільні, ґрунтові, землесоси, шламові, піскові, суспензійні, нафтові.

== Застосування ==

Н. широко застосовуються в усіх без винятку галузях народного господарства в системах водо- і теплопостачання, водовідливу, переміщення гідросумішей твердих сипких матеріалів (в т. ч. вугілля, породи та відходів збагачення), нафти та нафтопродуктів тощо.

Застосовується, наприклад, для напомповування газу у |шини, підняття поди з поверхневих горизонтів гідрант; перепомповування фекалій, рідин і навіть плазми.

== Технічні характеристики ==
=== Характеристика насоса ===

Характеристика насоса - це залежність необхідного напору H від подачі Qн рідини, H(Qн).

=== Напір насоса ===

Напір насоса – різниця повних питомих енергій середовища, яке перекачують, при виході з насоса та на вході в насос.
В технічній літературі можуть використовуватися поняття масовий, ваговий та об’ємний напір. У гідравлічних розрахун-ках ГТС під загальним поняттям “напір” розуміють ваговий на-пір, який вимірюють у метрах.

==Коефіцієнт корисної дії насоса==

КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ (К.К.Д.) НАСОСА – відношення корисної потужності насоса Pі до потужності Р, споживаної ним у розглядуваній робочій точці, η = Pі / P.

== Схеми роботи насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв’язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

[[Файл:Насос В.JPG|thumb|500px|]]
[[Файл:Типи коліс.JPG|thumb|500px|]]
===Насос відцентровий===

Насос відцентровий— насос лопатевий, який діє за допомогою відцентрових сил і в якому рідке середовище переміщується через робоче колесо від центра до периферії.

== Класифікація ==

Н.в. класифікують за кількома ознаками:

* за кількістю робочих коліс: одноколісні, двохколісні і багатоколісні (насоси секційні), в яких рідина проходить послідовно крізь ряд коліс, причому загальний напір насоса дорівнює сумі напорів, які створюються кожним колесом;
* за способом підведення рідини до робочого колеса — насоси с однобічним підведенням і насоси з двобічним підведенням;
* за розташуванням вала — горизонтальні та вертикальні;
* за конструкцією корпуса — з вертикальним роз'єднанням і горизонтальним роз'єднанням;
* за відводом рідини з робочого колеса — спіральні та турбінні, в яких рідина до спірального каналу (завитки) надходить через спрямовуючий апарат (нерухоме колесо з лопатками);
* за способом з'єднання з двигуном — приводні (зі шківом або редуктором), з'єднані безпосередньо через муфту та моноблок-насоси, де робоче колесо встановлене на подовженому кінці вала електродвигуна;
* за родом рідини, яка перекачується — вугільні, ґрунтові, а також водопровідні, каналізаційні, теплофікаційні, кислотні і т.ін.

У гірничій промисловості широко застосовують насоси вугільні, ґрунтові, шламові, суспензійні, а також багатоколісні секційні насоси.

== Схеми роботи відцентрових насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв'язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Характеристика відцентрового насоса ==

НАСОСА ВІДЦЕНТРОВОГО ХАРАКТЕРИСТИКА — графічні залежності напору, що його розвиває насос, споживаної потужності, кавітаційного запасу й коефіцієнта корисної дії від подачі насоса. Розрізняють паспортну (заводську) і ймовірну (в конкретній свердловині) Н.в.х. Остання може істотно відрізнятися від паспортної Н.в.х. внаслідок неякісного виготовлення конкретного насоса, відмінності в'язкості видобувної нафти від в'язкості води і наявності в продукції свердловини вільного газу.

Характеристики насоса мають декілька характерних точок або зон. Початкова точка характеристики відповідає роботі на-соса при закритій засувці на напірному патрубку (Q = 0). У цьому випадку насос розвиває напір Н0 та споживає потужність (N0 ≠ 0). Потужність, яку споживають (бл. 30% номінальної) витрачається на механічні втрати на нагрів води у насосі. Робо-та насоса при закритій засувці можлива лише на холодній воді протягом нетривалого часу (декілька хвилин).

Оптимальна точка характеристики с відповідає максимальному значенню к.к.д. Оскільки крива Q (η) має у зоні оптима-льної точки пологий характер, то на практиці використовують робочу частину характеристики насоса (зона між точками a та b). Робоча частина характеристики залежить від допустимого зниження к.к.д., яке приймають не більше 2 — 3% від його максимального значення.
Максимальна точка характеристики — кінцева точка кривої Q(Н) відповідає тому значенню подачі, після якого насос може увійти у кавітаційний режим.

Основною кривою, яка характеризує роботу насоса, є крива залежності напору від подачі Q (Н). У залежності від конс-трукції насоса форма кривої Q (Н) може бути різною. Для різних насосів існують криві, які безперервно знижуються, та кри-ві з ділянкою, що збільшується (що мають максимум). Перші називають стабільними, а другі — нестабільними (лабільними) характеристиками. У свою чергу, криві обох типів можуть бути пологими, нормальними та крутоспадними.

== Література ==
*{{МГЕ}}
* Гiдроприводи та гiдропневмоавтоматика: Пiдручник /В. О. Федорець, М. Н. Педченко, В. Б. Струтинський та iн. За ред. В. О. Федорця. — К:Вища школа,— 1995.- 463 с.  — ISBN 5-11-004086-9

Категорія:Пристрої
Категорія:Насоси

pt:Bomba (mecânica)

==Загальні відомості==

Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів як з точки зору продуктивності та універсальності, так і їх поширеності (не менше 75% промислових насосів). Найменші можна взяти в руку, а найбільші досягають декількох метрів у діаметрі. Потужність відцентрових насосів може складати від часток кіловата до багатьох тисяч кіловат.

Принцип роботи. Рідина надходить до центральної частини робочого колеса (крильчатки). Крильчатка встановлена на валу в корпусі і приводиться в обертання електричним або іншим двигуном. Енергія обертання передається крильчаткою рідині; рідина переміщається на периферію крильчатки, збирається в кільцевому колекторі (равлику) і віддаляється через вихідний патрубок. Патрубок має розширюючу форму; швидкість потоку в ньому падає, і частина кінетичної енергії рідини, взятої в робочому колесі насоса, перетвориться в потенційну енергію тиску. Збільшення тиску на виході з насоса може бути досягнуто збільшенням або частоти обертання, або діаметра крильчатки.

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T18:09:35Z

Valdemar88: /* Насос відцентровий */

[[Файл:Jet pump.jpg|thumb|right|Малогабаритний насос з електроприводом]]
[[Файл:Wasserwerk pumpe01.jpg|thumb|right|Великий насос з електроприводом, .]]
[[Файл:Pompe_hydraulique.gif|thumb|tight|Умовне позначення насоса на принципових схемах]]
'''Насос''' , призначена для створення потоку рідкого або газового середовища, яка перетворює механічну енергію приводу насоса у кінетичну енергію та енергію тиску рідини чи газу. Робота насоса характеризується його подачею, напором, потужністю, коефіцієнтом корисної дії та частотою обертання.

Синонім – ''помпа, нагнітач''.

== Класифікація насосів ==
=== За принципом роботи ===
Усі насоси за принципом роботи можна розділити на два типи: ''динамічні'' та ''об'ємні''.

'''Динамічні насоси'''  — це насоси, в яких рідина під впливом гідродинамічних сил переміщається в камері, що постійно сполучена з вхідним і вихідним патрубками насоса.

Динамічні насоси в свою чергу поділяються на ''лопатеві насоси'', ''насоси тертя'' та ''насоси інерційного типу''. Найбільшого поширення набули лопатеві насоси.

:''Лопатеві насоси''  — це ті насоси, в яких рідина переміщається за рахунок енергії, що передається їй при обтіканні лопатей робочого колеса. Лопатеві насоси поділяються на два види: відцентрові та осьові. У відцентрових насосах рідина переміщається через робоче колесо від центру до периферії, а в осьових - через робоче колесо в напрямку його осі.
:У ''насосах тертя'' рідина переміщається за рахунок сил тертя. До насосів цього типу відносяться: вихрові, дискові, черв'ячні та гідрострумині.
:Робота ''інерційних насосів'' базується на збудженні в рідині коливань, що сприяють її руху. Конструкція всіх вібраційних насосів є однотипною. Насос складається з електромагніту, вібратора, поміщених в корпус.

'''Об'ємні насоси'''  — це насоси, в яких рідина переміщається за рахунок періодичної зміни об'єму робочої камери, що поперемінно сполучається з вхідним і вихідним патрубками насоса. До них відносяться поршневі, пластинчасті, мембранні, гвинтові, шестеренчасті, перистальтичні.

=== За призначенням ===

За призначенням насоси підрозділяють на: водопровідні, вугільні, ґрунтові, землесоси, шламові, піскові, суспензійні, нафтові.

== Застосування ==

Н. широко застосовуються в усіх без винятку галузях народного господарства в системах водо- і теплопостачання, водовідливу, переміщення гідросумішей твердих сипких матеріалів (в т. ч. вугілля, породи та відходів збагачення), нафти та нафтопродуктів тощо.

Застосовується, наприклад, для напомповування газу у |шини, підняття поди з поверхневих горизонтів гідрант; перепомповування фекалій, рідин і навіть плазми.

== Технічні характеристики ==
=== Характеристика насоса ===

Характеристика насоса - це залежність необхідного напору H від подачі Qн рідини, H(Qн).

=== Напір насоса ===

Напір насоса – різниця повних питомих енергій середовища, яке перекачують, при виході з насоса та на вході в насос.
В технічній літературі можуть використовуватися поняття масовий, ваговий та об’ємний напір. У гідравлічних розрахун-ках ГТС під загальним поняттям “напір” розуміють ваговий на-пір, який вимірюють у метрах.

==Коефіцієнт корисної дії насоса==

КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ (К.К.Д.) НАСОСА – відношення корисної потужності насоса Pі до потужності Р, споживаної ним у розглядуваній робочій точці, η = Pі / P.

== Схеми роботи насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв’язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Виробники насосів в Україні ==

Найбільш відомими в Україні центрами насособудування є такі спеціалізовані насосні заводи:
* ТОВ “Торговий дім “Південгідромаш” (м. Бердянськ Запорізької обл.),
* ВАТ “Торговий дім “Насосенергомаш” (м. Суми), СМПО (м. Суми),
* Свеський насосний завод (м. Свеса Сумської обл.).

[[Файл:Насос В.JPG|thumb|500px|]]
[[Файл:Типи коліс.JPG|thumb|500px|]]
===Насос відцентровий===

Насос відцентровий— насос лопатевий, який діє за допомогою відцентрових сил і в якому рідке середовище переміщується через робоче колесо від центра до периферії.

== Класифікація ==

Н.в. класифікують за кількома ознаками:

* за кількістю робочих коліс: одноколісні, двохколісні і багатоколісні (насоси секційні), в яких рідина проходить послідовно крізь ряд коліс, причому загальний напір насоса дорівнює сумі напорів, які створюються кожним колесом;
* за способом підведення рідини до робочого колеса — насоси с однобічним підведенням і насоси з двобічним підведенням;
* за розташуванням вала — горизонтальні та вертикальні;
* за конструкцією корпуса — з вертикальним роз'єднанням і горизонтальним роз'єднанням;
* за відводом рідини з робочого колеса — спіральні та турбінні, в яких рідина до спірального каналу (завитки) надходить через спрямовуючий апарат (нерухоме колесо з лопатками);
* за способом з'єднання з двигуном — приводні (зі шківом або редуктором), з'єднані безпосередньо через муфту та моноблок-насоси, де робоче колесо встановлене на подовженому кінці вала електродвигуна;
* за родом рідини, яка перекачується — вугільні, ґрунтові, а також водопровідні, каналізаційні, теплофікаційні, кислотні і т.ін.

У гірничій промисловості широко застосовують насоси вугільні, ґрунтові, шламові, суспензійні, а також багатоколісні секційні насоси.

== Схеми роботи відцентрових насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв'язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Характеристика відцентрового насоса ==

НАСОСА ВІДЦЕНТРОВОГО ХАРАКТЕРИСТИКА — графічні залежності напору, що його розвиває насос, споживаної потужності, кавітаційного запасу й коефіцієнта корисної дії від подачі насоса. Розрізняють паспортну (заводську) і ймовірну (в конкретній свердловині) Н.в.х. Остання може істотно відрізнятися від паспортної Н.в.х. внаслідок неякісного виготовлення конкретного насоса, відмінності в'язкості видобувної нафти від в'язкості води і наявності в продукції свердловини вільного газу.

Характеристики насоса мають декілька характерних точок або зон. Початкова точка характеристики відповідає роботі на-соса при закритій засувці на напірному патрубку (Q = 0). У цьому випадку насос розвиває напір Н0 та споживає потужність (N0 ≠ 0). Потужність, яку споживають (бл. 30% номінальної) витрачається на механічні втрати на нагрів води у насосі. Робо-та насоса при закритій засувці можлива лише на холодній воді протягом нетривалого часу (декілька хвилин).

Оптимальна точка характеристики с відповідає максимальному значенню к.к.д. Оскільки крива Q (η) має у зоні оптима-льної точки пологий характер, то на практиці використовують робочу частину характеристики насоса (зона між точками a та b). Робоча частина характеристики залежить від допустимого зниження к.к.д., яке приймають не більше 2 — 3% від його максимального значення.
Максимальна точка характеристики — кінцева точка кривої Q(Н) відповідає тому значенню подачі, після якого насос може увійти у кавітаційний режим.

Основною кривою, яка характеризує роботу насоса, є крива залежності напору від подачі Q (Н). У залежності від конс-трукції насоса форма кривої Q (Н) може бути різною. Для різних насосів існують криві, які безперервно знижуються, та кри-ві з ділянкою, що збільшується (що мають максимум). Перші називають стабільними, а другі — нестабільними (лабільними) характеристиками. У свою чергу, криві обох типів можуть бути пологими, нормальними та крутоспадними.

== Література ==
*{{МГЕ}}
* Гiдроприводи та гiдропневмоавтоматика: Пiдручник /В. О. Федорець, М. Н. Педченко, В. Б. Струтинський та iн. За ред. В. О. Федорця. — К:Вища школа,— 1995.- 463 с.  — ISBN 5-11-004086-9

Категорія:Пристрої
Категорія:Насоси

pt:Bomba (mecânica)

==Загальні відомості==

Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів як з точки зору продуктивності та універсальності, так і їх поширеності (не менше 75% промислових насосів). Найменші можна взяти в руку, а найбільші досягають декількох метрів у діаметрі. Потужність відцентрових насосів може складати від часток кіловата до багатьох тисяч кіловат.

Принцип роботи. Рідина надходить до центральної частини робочого колеса (крильчатки). Крильчатка встановлена на валу в корпусі і приводиться в обертання електричним або іншим двигуном. Енергія обертання передається крильчаткою рідині; рідина переміщається на периферію крильчатки, збирається в кільцевому колекторі (равлику) і віддаляється через вихідний патрубок. Патрубок має розширюючу форму; швидкість потоку в ньому падає, і частина кінетичної енергії рідини, взятої в робочому колесі насоса, перетвориться в потенційну енергію тиску. Збільшення тиску на виході з насоса може бути досягнуто збільшенням або частоти обертання, або діаметра крильчатки.

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T18:08:05Z

Valdemar88: /* Виробники насосів в Україні */

[[Файл:Jet pump.jpg|thumb|right|Малогабаритний насос з електроприводом]]
[[Файл:Wasserwerk pumpe01.jpg|thumb|right|Великий насос з електроприводом, .]]
[[Файл:Pompe_hydraulique.gif|thumb|tight|Умовне позначення насоса на принципових схемах]]
'''Насос''' , призначена для створення потоку рідкого або газового середовища, яка перетворює механічну енергію приводу насоса у кінетичну енергію та енергію тиску рідини чи газу. Робота насоса характеризується його подачею, напором, потужністю, коефіцієнтом корисної дії та частотою обертання.

Синонім – ''помпа, нагнітач''.

== Класифікація насосів ==
=== За принципом роботи ===
Усі насоси за принципом роботи можна розділити на два типи: ''динамічні'' та ''об'ємні''.

'''Динамічні насоси'''  — це насоси, в яких рідина під впливом гідродинамічних сил переміщається в камері, що постійно сполучена з вхідним і вихідним патрубками насоса.

Динамічні насоси в свою чергу поділяються на ''лопатеві насоси'', ''насоси тертя'' та ''насоси інерційного типу''. Найбільшого поширення набули лопатеві насоси.

:''Лопатеві насоси''  — це ті насоси, в яких рідина переміщається за рахунок енергії, що передається їй при обтіканні лопатей робочого колеса. Лопатеві насоси поділяються на два види: відцентрові та осьові. У відцентрових насосах рідина переміщається через робоче колесо від центру до периферії, а в осьових - через робоче колесо в напрямку його осі.
:У ''насосах тертя'' рідина переміщається за рахунок сил тертя. До насосів цього типу відносяться: вихрові, дискові, черв'ячні та гідрострумині.
:Робота ''інерційних насосів'' базується на збудженні в рідині коливань, що сприяють її руху. Конструкція всіх вібраційних насосів є однотипною. Насос складається з електромагніту, вібратора, поміщених в корпус.

'''Об'ємні насоси'''  — це насоси, в яких рідина переміщається за рахунок періодичної зміни об'єму робочої камери, що поперемінно сполучається з вхідним і вихідним патрубками насоса. До них відносяться поршневі, пластинчасті, мембранні, гвинтові, шестеренчасті, перистальтичні.

=== За призначенням ===

За призначенням насоси підрозділяють на: водопровідні, вугільні, ґрунтові, землесоси, шламові, піскові, суспензійні, нафтові.

== Застосування ==

Н. широко застосовуються в усіх без винятку галузях народного господарства в системах водо- і теплопостачання, водовідливу, переміщення гідросумішей твердих сипких матеріалів (в т. ч. вугілля, породи та відходів збагачення), нафти та нафтопродуктів тощо.

Застосовується, наприклад, для напомповування газу у |шини, підняття поди з поверхневих горизонтів гідрант; перепомповування фекалій, рідин і навіть плазми.

== Технічні характеристики ==
=== Характеристика насоса ===

Характеристика насоса - це залежність необхідного напору H від подачі Qн рідини, H(Qн).

=== Напір насоса ===

Напір насоса – різниця повних питомих енергій середовища, яке перекачують, при виході з насоса та на вході в насос.
В технічній літературі можуть використовуватися поняття масовий, ваговий та об’ємний напір. У гідравлічних розрахун-ках ГТС під загальним поняттям “напір” розуміють ваговий на-пір, який вимірюють у метрах.

==Коефіцієнт корисної дії насоса==

КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ (К.К.Д.) НАСОСА – відношення корисної потужності насоса Pі до потужності Р, споживаної ним у розглядуваній робочій точці, η = Pі / P.

== Схеми роботи насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв’язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Виробники насосів в Україні ==

Найбільш відомими в Україні центрами насособудування є такі спеціалізовані насосні заводи:
* ТОВ “Торговий дім “Південгідромаш” (м. Бердянськ Запорізької обл.),
* ВАТ “Торговий дім “Насосенергомаш” (м. Суми), СМПО (м. Суми),
* Свеський насосний завод (м. Свеса Сумської обл.).

[[Файл:Насос В.JPG|thumb|500px|]]
[[Файл:Типи коліс.JPG|thumb|500px|]]
==Насос відцентровий==

Насос відцентровий— насос лопатевий, який діє за допомогою відцентрових сил і в якому рідке середовище переміщується через робоче колесо від центра до периферії.

== Класифікація ==

Н.в. класифікують за кількома ознаками:

* за кількістю робочих коліс: одноколісні, двохколісні і багатоколісні (насоси секційні), в яких рідина проходить послідовно крізь ряд коліс, причому загальний напір насоса дорівнює сумі напорів, які створюються кожним колесом;
* за способом підведення рідини до робочого колеса — насоси с однобічним підведенням і насоси з двобічним підведенням;
* за розташуванням вала — горизонтальні та вертикальні;
* за конструкцією корпуса — з вертикальним роз'єднанням і горизонтальним роз'єднанням;
* за відводом рідини з робочого колеса — спіральні та турбінні, в яких рідина до спірального каналу (завитки) надходить через спрямовуючий апарат (нерухоме колесо з лопатками);
* за способом з'єднання з двигуном — приводні (зі шківом або редуктором), з'єднані безпосередньо через муфту та моноблок-насоси, де робоче колесо встановлене на подовженому кінці вала електродвигуна;
* за родом рідини, яка перекачується — вугільні, ґрунтові, а також водопровідні, каналізаційні, теплофікаційні, кислотні і т.ін.

У гірничій промисловості широко застосовують насоси вугільні, ґрунтові, шламові, суспензійні, а також багатоколісні секційні насоси.

== Схеми роботи відцентрових насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв'язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Характеристика відцентрового насоса ==

НАСОСА ВІДЦЕНТРОВОГО ХАРАКТЕРИСТИКА — графічні залежності напору, що його розвиває насос, споживаної потужності, кавітаційного запасу й коефіцієнта корисної дії від подачі насоса. Розрізняють паспортну (заводську) і ймовірну (в конкретній свердловині) Н.в.х. Остання може істотно відрізнятися від паспортної Н.в.х. внаслідок неякісного виготовлення конкретного насоса, відмінності в'язкості видобувної нафти від в'язкості води і наявності в продукції свердловини вільного газу.

Характеристики насоса мають декілька характерних точок або зон. Початкова точка характеристики відповідає роботі на-соса при закритій засувці на напірному патрубку (Q = 0). У цьому випадку насос розвиває напір Н0 та споживає потужність (N0 ≠ 0). Потужність, яку споживають (бл. 30% номінальної) витрачається на механічні втрати на нагрів води у насосі. Робо-та насоса при закритій засувці можлива лише на холодній воді протягом нетривалого часу (декілька хвилин).

Оптимальна точка характеристики с відповідає максимальному значенню к.к.д. Оскільки крива Q (η) має у зоні оптима-льної точки пологий характер, то на практиці використовують робочу частину характеристики насоса (зона між точками a та b). Робоча частина характеристики залежить від допустимого зниження к.к.д., яке приймають не більше 2 — 3% від його максимального значення.
Максимальна точка характеристики — кінцева точка кривої Q(Н) відповідає тому значенню подачі, після якого насос може увійти у кавітаційний режим.

Основною кривою, яка характеризує роботу насоса, є крива залежності напору від подачі Q (Н). У залежності від конс-трукції насоса форма кривої Q (Н) може бути різною. Для різних насосів існують криві, які безперервно знижуються, та кри-ві з ділянкою, що збільшується (що мають максимум). Перші називають стабільними, а другі — нестабільними (лабільними) характеристиками. У свою чергу, криві обох типів можуть бути пологими, нормальними та крутоспадними.

== Література ==
*{{МГЕ}}
* Гiдроприводи та гiдропневмоавтоматика: Пiдручник /В. О. Федорець, М. Н. Педченко, В. Б. Струтинський та iн. За ред. В. О. Федорця. — К:Вища школа,— 1995.- 463 с.  — ISBN 5-11-004086-9

Категорія:Пристрої
Категорія:Насоси

pt:Bomba (mecânica)

==Загальні відомості==

Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів як з точки зору продуктивності та універсальності, так і їх поширеності (не менше 75% промислових насосів). Найменші можна взяти в руку, а найбільші досягають декількох метрів у діаметрі. Потужність відцентрових насосів може складати від часток кіловата до багатьох тисяч кіловат.

Принцип роботи. Рідина надходить до центральної частини робочого колеса (крильчатки). Крильчатка встановлена на валу в корпусі і приводиться в обертання електричним або іншим двигуном. Енергія обертання передається крильчаткою рідині; рідина переміщається на периферію крильчатки, збирається в кільцевому колекторі (равлику) і віддаляється через вихідний патрубок. Патрубок має розширюючу форму; швидкість потоку в ньому падає, і частина кінетичної енергії рідини, взятої в робочому колесі насоса, перетвориться в потенційну енергію тиску. Збільшення тиску на виході з насоса може бути досягнуто збільшенням або частоти обертання, або діаметра крильчатки.

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T18:06:23Z

Valdemar88:

[[Файл:Jet pump.jpg|thumb|right|Малогабаритний насос з електроприводом]]
[[Файл:Wasserwerk pumpe01.jpg|thumb|right|Великий насос з електроприводом, .]]
[[Файл:Pompe_hydraulique.gif|thumb|tight|Умовне позначення насоса на принципових схемах]]
'''Насос''' , призначена для створення потоку рідкого або газового середовища, яка перетворює механічну енергію приводу насоса у кінетичну енергію та енергію тиску рідини чи газу. Робота насоса характеризується його подачею, напором, потужністю, коефіцієнтом корисної дії та частотою обертання.

Синонім – ''помпа, нагнітач''.

== Класифікація насосів ==
=== За принципом роботи ===
Усі насоси за принципом роботи можна розділити на два типи: ''динамічні'' та ''об'ємні''.

'''Динамічні насоси'''  — це насоси, в яких рідина під впливом гідродинамічних сил переміщається в камері, що постійно сполучена з вхідним і вихідним патрубками насоса.

Динамічні насоси в свою чергу поділяються на ''лопатеві насоси'', ''насоси тертя'' та ''насоси інерційного типу''. Найбільшого поширення набули лопатеві насоси.

:''Лопатеві насоси''  — це ті насоси, в яких рідина переміщається за рахунок енергії, що передається їй при обтіканні лопатей робочого колеса. Лопатеві насоси поділяються на два види: відцентрові та осьові. У відцентрових насосах рідина переміщається через робоче колесо від центру до периферії, а в осьових - через робоче колесо в напрямку його осі.
:У ''насосах тертя'' рідина переміщається за рахунок сил тертя. До насосів цього типу відносяться: вихрові, дискові, черв'ячні та гідрострумині.
:Робота ''інерційних насосів'' базується на збудженні в рідині коливань, що сприяють її руху. Конструкція всіх вібраційних насосів є однотипною. Насос складається з електромагніту, вібратора, поміщених в корпус.

'''Об'ємні насоси'''  — це насоси, в яких рідина переміщається за рахунок періодичної зміни об'єму робочої камери, що поперемінно сполучається з вхідним і вихідним патрубками насоса. До них відносяться поршневі, пластинчасті, мембранні, гвинтові, шестеренчасті, перистальтичні.

=== За призначенням ===

За призначенням насоси підрозділяють на: водопровідні, вугільні, ґрунтові, землесоси, шламові, піскові, суспензійні, нафтові.

== Застосування ==

Н. широко застосовуються в усіх без винятку галузях народного господарства в системах водо- і теплопостачання, водовідливу, переміщення гідросумішей твердих сипких матеріалів (в т. ч. вугілля, породи та відходів збагачення), нафти та нафтопродуктів тощо.

Застосовується, наприклад, для напомповування газу у |шини, підняття поди з поверхневих горизонтів гідрант; перепомповування фекалій, рідин і навіть плазми.

== Технічні характеристики ==
=== Характеристика насоса ===

Характеристика насоса - це залежність необхідного напору H від подачі Qн рідини, H(Qн).

=== Напір насоса ===

Напір насоса – різниця повних питомих енергій середовища, яке перекачують, при виході з насоса та на вході в насос.
В технічній літературі можуть використовуватися поняття масовий, ваговий та об’ємний напір. У гідравлічних розрахун-ках ГТС під загальним поняттям “напір” розуміють ваговий на-пір, який вимірюють у метрах.

==Коефіцієнт корисної дії насоса==

КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ (К.К.Д.) НАСОСА – відношення корисної потужності насоса Pі до потужності Р, споживаної ним у розглядуваній робочій точці, η = Pі / P.

== Схеми роботи насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв’язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ – здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Виробники насосів в Україні ==

Найбільш відомими в Україні центрами насособудування є такі спеціалізовані насосні заводи:
* ТОВ “Торговий дім “Південгідромаш” (м. Бердянськ Запорізької обл.),
* ВАТ “Торговий дім “Насосенергомаш” (м. Суми), СМПО (м. Суми),
* Свеський насосний завод (м. Свеса Сумської обл.).

[[Файл:Насос В.JPG|thumb|500px|]]
[[Файл:Типи коліс.JPG|thumb|500px|]]
'''Насос відцентровий''' — насос лопатевий, який діє за допомогою відцентрових сил і в якому рідке середовище переміщується через робоче колесо від центра до периферії.

== Класифікація ==

Н.в. класифікують за кількома ознаками:

* за кількістю робочих коліс: одноколісні, двохколісні і багатоколісні (насоси секційні), в яких рідина проходить послідовно крізь ряд коліс, причому загальний напір насоса дорівнює сумі напорів, які створюються кожним колесом;
* за способом підведення рідини до робочого колеса — насоси с однобічним підведенням і насоси з двобічним підведенням;
* за розташуванням вала — горизонтальні та вертикальні;
* за конструкцією корпуса — з вертикальним роз'єднанням і горизонтальним роз'єднанням;
* за відводом рідини з робочого колеса — спіральні та турбінні, в яких рідина до спірального каналу (завитки) надходить через спрямовуючий апарат (нерухоме колесо з лопатками);
* за способом з'єднання з двигуном — приводні (зі шківом або редуктором), з'єднані безпосередньо через муфту та моноблок-насоси, де робоче колесо встановлене на подовженому кінці вала електродвигуна;
* за родом рідини, яка перекачується — вугільні, ґрунтові, а також водопровідні, каналізаційні, теплофікаційні, кислотні і т.ін.

У гірничій промисловості широко застосовують насоси вугільні, ґрунтові, шламові, суспензійні, а також багатоколісні секційні насоси.

== Схеми роботи відцентрових насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв'язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ  — здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Характеристика відцентрового насоса ==

НАСОСА ВІДЦЕНТРОВОГО ХАРАКТЕРИСТИКА — графічні залежності напору, що його розвиває насос, споживаної потужності, кавітаційного запасу й коефіцієнта корисної дії від подачі насоса. Розрізняють паспортну (заводську) і ймовірну (в конкретній свердловині) Н.в.х. Остання може істотно відрізнятися від паспортної Н.в.х. внаслідок неякісного виготовлення конкретного насоса, відмінності в'язкості видобувної нафти від в'язкості води і наявності в продукції свердловини вільного газу.

Характеристики насоса мають декілька характерних точок або зон. Початкова точка характеристики відповідає роботі на-соса при закритій засувці на напірному патрубку (Q = 0). У цьому випадку насос розвиває напір Н0 та споживає потужність (N0 ≠ 0). Потужність, яку споживають (бл. 30% номінальної) витрачається на механічні втрати на нагрів води у насосі. Робо-та насоса при закритій засувці можлива лише на холодній воді протягом нетривалого часу (декілька хвилин).

Оптимальна точка характеристики с відповідає максимальному значенню к.к.д. Оскільки крива Q (η) має у зоні оптима-льної точки пологий характер, то на практиці використовують робочу частину характеристики насоса (зона між точками a та b). Робоча частина характеристики залежить від допустимого зниження к.к.д., яке приймають не більше 2 — 3% від його максимального значення.
Максимальна точка характеристики — кінцева точка кривої Q(Н) відповідає тому значенню подачі, після якого насос може увійти у кавітаційний режим.

Основною кривою, яка характеризує роботу насоса, є крива залежності напору від подачі Q (Н). У залежності від конс-трукції насоса форма кривої Q (Н) може бути різною. Для різних насосів існують криві, які безперервно знижуються, та кри-ві з ділянкою, що збільшується (що мають максимум). Перші називають стабільними, а другі — нестабільними (лабільними) характеристиками. У свою чергу, криві обох типів можуть бути пологими, нормальними та крутоспадними.

== Література ==
*{{МГЕ}}
* Гiдроприводи та гiдропневмоавтоматика: Пiдручник /В. О. Федорець, М. Н. Педченко, В. Б. Струтинський та iн. За ред. В. О. Федорця. — К:Вища школа,— 1995.- 463 с.  — ISBN 5-11-004086-9

Категорія:Пристрої
Категорія:Насоси

pt:Bomba (mecânica)

==Загальні відомості==

Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів як з точки зору продуктивності та універсальності, так і їх поширеності (не менше 75% промислових насосів). Найменші можна взяти в руку, а найбільші досягають декількох метрів у діаметрі. Потужність відцентрових насосів може складати від часток кіловата до багатьох тисяч кіловат.

Принцип роботи. Рідина надходить до центральної частини робочого колеса (крильчатки). Крильчатка встановлена на валу в корпусі і приводиться в обертання електричним або іншим двигуном. Енергія обертання передається крильчаткою рідині; рідина переміщається на периферію крильчатки, збирається в кільцевому колекторі (равлику) і віддаляється через вихідний патрубок. Патрубок має розширюючу форму; швидкість потоку в ньому падає, і частина кінетичної енергії рідини, взятої в робочому колесі насоса, перетвориться в потенційну енергію тиску. Збільшення тиску на виході з насоса може бути досягнуто збільшенням або частоти обертання, або діаметра крильчатки.

Файл:Типи коліс.JPG

2011-12-05T18:06:12Z

Valdemar88:

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T18:01:51Z

Valdemar88:

Файл:Pompe hydraulique.gif

2011-12-05T17:55:46Z

Valdemar88:

Файл:Wasserwerk pumpe01.jpg

2011-12-05T17:55:16Z

Valdemar88:

Файл:Jet pump.jpg

2011-12-05T17:53:52Z

Valdemar88:

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T17:53:00Z

Valdemar88: /* Див. також */

[[Файл:Jet pump.jpg|thumb|right|Малогабаритний насос з електроприводом]]
[[Файл:Wasserwerk pumpe01.jpg|thumb|right|Великий насос з електроприводом, [[Німеччина]].]]
[[Файл:Pompe_hydraulique.gif|thumb|tight|Умовне позначення насоса на принципових схемах]]
'''Насос''' ({{lang-ru|насос}}, {{lang-en|pump}}, {{lang-de|Pumpe f}}) — [[гідравлічна машина]], призначена для створення потоку рідкого або газового середовища, яка перетворює механічну енергію приводу насоса у кінетичну енергію та енергію тиску рідини чи газу. Робота насоса характеризується його [[подача насоса|подачею]], напором, потужністю, коефіцієнтом корисної дії та частотою обертання.

Синонім – ''[[помпа]], нагнітач''.

== Класифікація насосів ==
=== За принципом роботи ===
Усі насоси за принципом роботи можна розділити на два типи: ''динамічні'' та ''[[Насос об'ємний|об'ємні]]''.

'''Динамічні насоси'''  — це насоси, в яких рідина під впливом гідродинамічних сил переміщається в камері, що постійно сполучена з вхідним і вихідним патрубками насоса.

Динамічні насоси в свою чергу поділяються на ''[[Насос лопатевий|лопатеві насоси]]'', ''[[Насос тертя|насоси тертя]]'' та ''насоси інерційного типу''. Найбільшого поширення набули лопатеві насоси.

:''[[Насос лопатевий|Лопатеві насоси]]''  — це ті насоси, в яких рідина переміщається за рахунок енергії, що передається їй при обтіканні лопатей робочого колеса. Лопатеві насоси поділяються на два види: [[Відцентровий насос|відцентрові]] та [[Осьовий насос|осьові]]. У відцентрових насосах рідина переміщається через робоче колесо від центру до периферії, а в осьових - через робоче колесо в напрямку його осі.
:У ''[[Насос тертя|насосах тертя]]'' рідина переміщається за рахунок сил тертя. До насосів цього типу відносяться: вихрові, дискові, черв'ячні та гідрострумині.
:Робота ''інерційних насосів'' базується на збудженні в рідині коливань, що сприяють її руху. Конструкція всіх вібраційних насосів є однотипною. Насос складається з електромагніту, вібратора, поміщених в корпус.

'''[[Насос об'ємний|Об'ємні насоси]]'''  — це насоси, в яких рідина переміщається за рахунок періодичної зміни об'єму робочої камери, що поперемінно сполучається з вхідним і вихідним патрубками насоса. До них відносяться поршневі, пластинчасті, мембранні, гвинтові, шестеренчасті, перистальтичні.

=== За призначенням ===

За призначенням насоси підрозділяють на: водопровідні, вугільні, ґрунтові, землесоси, шламові, піскові, суспензійні, нафтові.

== Застосування ==

Н. широко застосовуються в усіх без винятку галузях народного господарства в системах водо- і теплопостачання, водовідливу, переміщення гідросумішей твердих сипких матеріалів (в т. ч. вугілля, породи та відходів збагачення), нафти та нафтопродуктів тощо.

Застосовується, наприклад, для напомповування газу у [[Шина (авт.)|шини]], підняття поди з поверхневих горизонтів ([[гідрант]]); перепомповування фекалій, рідин і навіть [[Плазма (агрегатний стан)|плазми]].

== Технічні характеристики ==
=== Характеристика насоса ===

Характеристика насоса - це залежність необхідного напору H від [[подача насоса|подачі]] Qн рідини, H(Qн).

=== Потужність насоса ===

ПОТУЖНІСТЬ НАСОСА ({{lang-ru|мощность насоса}}; {{lang-en|pump horsepower, pump power}}, {{lang-de|Pumpenleistung f}}) – [[енергія]], яка підводиться до насоса від [[двигун]]а за одиницю часу.

=== Напір насоса ===

Напір насоса – різниця повних питомих енергій середовища, яке перекачують, при виході з насоса та на вході в насос.
В технічній літературі можуть використовуватися поняття масовий, ваговий та об’ємний напір. У гідравлічних розрахун-ках ГТС під загальним поняттям “напір” розуміють ваговий на-пір, який вимірюють у метрах.

==Коефіцієнт корисної дії насоса==

КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ (К.К.Д.) НАСОСА – відношення корисної потужності насоса Pі до потужності Р, споживаної ним у розглядуваній робочій точці, η = Pі / P.

== Схеми роботи насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ , ({{lang-ru|параллельная работа центробежных насосов}}, {{lang-en|parallel operation of centrifugal pumps}}, {{lang-de|Parallelbetrieb m der Zentrifugalpumpen}}) – сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв’язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ ({{lang-ru|последовательная работа центробежных насосов}}, {{lang-en|series operation of centrifugal pumps}}, {{lang-de|Folgebetrieb m der Zentrifugalpumpen}}) – здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Виробники насосів в Україні ==

Найбільш відомими в Україні центрами насособудування є такі спеціалізовані насосні заводи:
* ТОВ “Торговий дім “Південгідромаш” (м. Бердянськ Запорізької обл.),
* ВАТ “Торговий дім “Насосенергомаш” (м. Суми), СМПО (м. Суми),
* Свеський насосний завод (м. Свеса Сумської обл.).

== Література ==
*{{МГЕ}}
* Гiдроприводи та гiдропневмоавтоматика: Пiдручник /В. О. Федорець, М. Н. Педченко, В. Б. Струтинський та iн. За ред. В. О. Федорця. — К:Вища школа,— 1995.- 463 с.  — ISBN 5-11-004086-9

[[Категорія:Пристрої]]
[[Категорія:Насоси]]

[[pt:Bomba (mecânica)]]

==Загальні відомості==

Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів як з точки зору продуктивності та універсальності, так і їх поширеності (не менше 75% промислових насосів). Найменші можна взяти в руку, а найбільші досягають декількох метрів у діаметрі. Потужність відцентрових насосів може складати від часток кіловата до багатьох тисяч кіловат.

Принцип роботи. Рідина надходить до центральної частини робочого колеса (крильчатки). Крильчатка встановлена на валу в корпусі і приводиться в обертання електричним або іншим двигуном. Енергія обертання передається крильчаткою рідині; рідина переміщається на периферію крильчатки, збирається в кільцевому колекторі (равлику) і віддаляється через вихідний патрубок. Патрубок має розширюючу форму; швидкість потоку в ньому падає, і частина кінетичної енергії рідини, взятої в робочому колесі насоса, перетвориться в потенційну енергію тиску. Збільшення тиску на виході з насоса може бути досягнуто збільшенням або частоти обертання, або діаметра крильчатки.

Відцентровий лопатевий насос

2011-12-05T17:52:40Z

Valdemar88:

[[Файл:Jet pump.jpg|thumb|right|Малогабаритний насос з електроприводом]]
[[Файл:Wasserwerk pumpe01.jpg|thumb|right|Великий насос з електроприводом, [[Німеччина]].]]
[[Файл:Pompe_hydraulique.gif|thumb|tight|Умовне позначення насоса на принципових схемах]]
'''Насос''' ({{lang-ru|насос}}, {{lang-en|pump}}, {{lang-de|Pumpe f}}) — [[гідравлічна машина]], призначена для створення потоку рідкого або газового середовища, яка перетворює механічну енергію приводу насоса у кінетичну енергію та енергію тиску рідини чи газу. Робота насоса характеризується його [[подача насоса|подачею]], напором, потужністю, коефіцієнтом корисної дії та частотою обертання.

Синонім – ''[[помпа]], нагнітач''.

== Класифікація насосів ==
=== За принципом роботи ===
Усі насоси за принципом роботи можна розділити на два типи: ''динамічні'' та ''[[Насос об'ємний|об'ємні]]''.

'''Динамічні насоси'''  — це насоси, в яких рідина під впливом гідродинамічних сил переміщається в камері, що постійно сполучена з вхідним і вихідним патрубками насоса.

Динамічні насоси в свою чергу поділяються на ''[[Насос лопатевий|лопатеві насоси]]'', ''[[Насос тертя|насоси тертя]]'' та ''насоси інерційного типу''. Найбільшого поширення набули лопатеві насоси.

:''[[Насос лопатевий|Лопатеві насоси]]''  — це ті насоси, в яких рідина переміщається за рахунок енергії, що передається їй при обтіканні лопатей робочого колеса. Лопатеві насоси поділяються на два види: [[Відцентровий насос|відцентрові]] та [[Осьовий насос|осьові]]. У відцентрових насосах рідина переміщається через робоче колесо від центру до периферії, а в осьових - через робоче колесо в напрямку його осі.
:У ''[[Насос тертя|насосах тертя]]'' рідина переміщається за рахунок сил тертя. До насосів цього типу відносяться: вихрові, дискові, черв'ячні та гідрострумині.
:Робота ''інерційних насосів'' базується на збудженні в рідині коливань, що сприяють її руху. Конструкція всіх вібраційних насосів є однотипною. Насос складається з електромагніту, вібратора, поміщених в корпус.

'''[[Насос об'ємний|Об'ємні насоси]]'''  — це насоси, в яких рідина переміщається за рахунок періодичної зміни об'єму робочої камери, що поперемінно сполучається з вхідним і вихідним патрубками насоса. До них відносяться поршневі, пластинчасті, мембранні, гвинтові, шестеренчасті, перистальтичні.

=== За призначенням ===

За призначенням насоси підрозділяють на: водопровідні, вугільні, ґрунтові, землесоси, шламові, піскові, суспензійні, нафтові.

== Застосування ==

Н. широко застосовуються в усіх без винятку галузях народного господарства в системах водо- і теплопостачання, водовідливу, переміщення гідросумішей твердих сипких матеріалів (в т. ч. вугілля, породи та відходів збагачення), нафти та нафтопродуктів тощо.

Застосовується, наприклад, для напомповування газу у [[Шина (авт.)|шини]], підняття поди з поверхневих горизонтів ([[гідрант]]); перепомповування фекалій, рідин і навіть [[Плазма (агрегатний стан)|плазми]].

== Технічні характеристики ==
=== Характеристика насоса ===

Характеристика насоса - це залежність необхідного напору H від [[подача насоса|подачі]] Qн рідини, H(Qн).

=== Потужність насоса ===

ПОТУЖНІСТЬ НАСОСА ({{lang-ru|мощность насоса}}; {{lang-en|pump horsepower, pump power}}, {{lang-de|Pumpenleistung f}}) – [[енергія]], яка підводиться до насоса від [[двигун]]а за одиницю часу.

=== Напір насоса ===

Напір насоса – різниця повних питомих енергій середовища, яке перекачують, при виході з насоса та на вході в насос.
В технічній літературі можуть використовуватися поняття масовий, ваговий та об’ємний напір. У гідравлічних розрахун-ках ГТС під загальним поняттям “напір” розуміють ваговий на-пір, який вимірюють у метрах.

==Коефіцієнт корисної дії насоса==

КОЕФІЦІЄНТ КОРИСНОЇ ДІЇ (К.К.Д.) НАСОСА – відношення корисної потужності насоса Pі до потужності Р, споживаної ним у розглядуваній робочій точці, η = Pі / P.

== Схеми роботи насосів ==

* ПАРАЛЕЛЬНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ , ({{lang-ru|параллельная работа центробежных насосов}}, {{lang-en|parallel operation of centrifugal pumps}}, {{lang-de|Parallelbetrieb m der Zentrifugalpumpen}}) – сумісна робота кількох насосів на один загальний або кілька зв’язаних між собою напірних трубопроводів. Для побудови сумарної характеристики двох однакових насосів необхідно подвоїти абсциси одного насоса при однакових ординатах (напорах). Продуктивність кожного насоса, які вибирають для паралельної роботи, має дорівнювати половині розрахункової витрати, а напір відповідати повній витраті. При зупинці одного насоса продуктивність другого та споживана потужність збільшуються. Найбільш ефективною парале-льна робота буде при пологій характеристиці трубопроводу та плавному зниженні характеристики насоса. Аналогічним чином відбувається паралельна робота трьох однакових насосів.

* ПОСЛІДОВНА РОБОТА ВІДЦЕНТРОВИХ НАСОСІВ ({{lang-ru|последовательная работа центробежных насосов}}, {{lang-en|series operation of centrifugal pumps}}, {{lang-de|Folgebetrieb m der Zentrifugalpumpen}}) – здійснюється подачею води одним насосом у всмоктувальний патрубок другого при необхідності збільшити напір, зберігаючи витрату сталою (або майже сталою).

== Виробники насосів в Україні ==

Найбільш відомими в Україні центрами насособудування є такі спеціалізовані насосні заводи:
* ТОВ “Торговий дім “Південгідромаш” (м. Бердянськ Запорізької обл.),
* ВАТ “Торговий дім “Насосенергомаш” (м. Суми), СМПО (м. Суми),
* Свеський насосний завод (м. Свеса Сумської обл.).

== Див. також ==

* [[Компресор]]
* [[Помпа пожежна]]
* [[Гідравлічна потужність насоса]]
* [[Дозувальний насос]]
* [[Ґрунтовий насос]]
* [[Вакуум-насос]]
* [[Буровий насос]]
* [[Гідронасос]]
* [[Дозувальний насос]]
* [[Насос вугільний]]‎
* [[Насос відцентровий секційний]]
* [[Насос відцентровий]]‎
* [[Насос вихровий]]‎
* [[Насос вставний]]
* [[Насос ґвинтовий]]‎
* [[Насос діафрагмовий]]‎
* [[Насос діафрагмово-поршневий]]
* [[Насос дисковий]]‎
* [[Насос-живильник]]
* [[Насос заглибний]]
* [[Насос лопатевий]]
* [[Насос магістральний]]
* [[Насос-мотор]]
* [[Насос об'ємний]]
* [[Насос осьовий]]
* [[Насос пластинчастий]]
* [[Насос плунжерний]]
* [[Насос поршневий]]‎
* [[Насос радіально-поршневий]]
* [[Насос роторний]]
* [[Насос свердловинний]]
* [[Насос струминний]]‎
* [[Насос тертя]]
* [[Насос трюмний]]
* [[Насос шестирінчастий]]
* [[Насос шиберний]]
* [[Насос шламовий]]
* [[Насос шланговий]]
* [[Насос штанговий]]
* [[Насосно-компресорна колона]]
* [[Помпа]]

== Література ==
*{{МГЕ}}
* Гiдроприводи та гiдропневмоавтоматика: Пiдручник /В. О. Федорець, М. Н. Педченко, В. Б. Струтинський та iн. За ред. В. О. Федорця. — К:Вища школа,— 1995.- 463 с.  — ISBN 5-11-004086-9

[[Категорія:Пристрої]]
[[Категорія:Насоси]]

[[pt:Bomba (mecânica)]]

==Загальні відомості==

Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів як з точки зору продуктивності та універсальності, так і їх поширеності (не менше 75% промислових насосів). Найменші можна взяти в руку, а найбільші досягають декількох метрів у діаметрі. Потужність відцентрових насосів може складати від часток кіловата до багатьох тисяч кіловат.

Принцип роботи. Рідина надходить до центральної частини робочого колеса (крильчатки). Крильчатка встановлена на валу в корпусі і приводиться в обертання електричним або іншим двигуном. Енергія обертання передається крильчаткою рідині; рідина переміщається на периферію крильчатки, збирається в кільцевому колекторі (равлику) і віддаляється через вихідний патрубок. Патрубок має розширюючу форму; швидкість потоку в ньому падає, і частина кінетичної енергії рідини, взятої в робочому колесі насоса, перетвориться в потенційну енергію тиску. Збільшення тиску на виході з насоса може бути досягнуто збільшенням або частоти обертання, або діаметра крильчатки.

Відцентровий лопатевий насос

2011-09-14T20:05:15Z

Valdemar88: Створена сторінка: ==Загальні відомості== Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів …

==Загальні відомості==

Лопастеві насоси (а серед них - відцентрові) - основний тип насосів як з точки зору продуктивності та універсальності, так і їх поширеності (не менше 75% промислових насосів). Найменші можна взяти в руку, а найбільші досягають декількох метрів у діаметрі. Потужність відцентрових насосів може складати від часток кіловата до багатьох тисяч кіловат.

Принцип роботи. Рідина надходить до центральної частини робочого колеса (крильчатки). Крильчатка встановлена на валу в корпусі і приводиться в обертання електричним або іншим двигуном. Енергія обертання передається крильчаткою рідині; рідина переміщається на периферію крильчатки, збирається в кільцевому колекторі (равлику) і віддаляється через вихідний патрубок. Патрубок має розширюючу форму; швидкість потоку в ньому падає, і частина кінетичної енергії рідини, взятої в робочому колесі насоса, перетвориться в потенційну енергію тиску. Збільшення тиску на виході з насоса може бути досягнуто збільшенням або частоти обертання, або діаметра крильчатки.

Обговорення:Відцентровий лопатевий насос

2011-09-14T20:03:27Z

Valdemar88: Створена сторінка: ГАЩИН ВОЛОДИМИР КАБ 31

ГАЩИН ВОЛОДИМИР КАБ 31

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T20:16:35Z

Valdemar88: /* Практичне застосування */

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''' - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі народився 29 січня 1700р. в Гронінгені (Голландія), де його батько викладав математику в університеті

Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. Рівняння Бернуллі дозволяє зрозуміти багато явищ гідромеханіки і аеромеханіки. Воно використовується при розрахунку різних трубопроводів, насосів і витратомірів, дослідженні процесів фільтрації і т.п. Разом з деякими іншими співвідношеннями рівняння Бернуллі, записане для середовища зі змінною густиною "РВ", складає основу газової динаміки. Д. Бернуллі спільно з Л. Ейлером належить головна заслуга у розробці механіки рідких тіл. Понад п'ятдесят років (з 1727 по 1778 рр..) Д.Бернуллі займався вивченням коливань. У своїх перших працях він досліджував малі коливання вантажів, підвішених на гнучкої нитки, а також підвішеного важкого однорідного каната. У наступних працях він вивчав коливання струн і стрижнів, ввів поняття простого гармонійного коливання і обгрунтував положення про те, що загальне коливання системи виходить від складання простих гармонійних коливань. Цей важливий принцип отримав згодом назву принципу суперпозиції (накладення) коливань. Данила Бернуллі разом з Д'Аламбером, Л. Ейлером і Лагранжем можна вважати засновником математичної фізики.
Також Д.Бернуллі ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.
У 1738 році Даніель Бернуллі відкрив закон, на якому після і почалося базуватися літакобудування. І за його принципом вже у дев'ятнадцятому столітті багато людей, що почали займатися повітроплаванням, почали використовувати при створенні планерів. Джордж Кейлі, якого зараз називають «батьком аероплана», в 1853 році збудував і вдало випробував перший у світі планер. Який далі був модернізований до керованого.
У 1738 році світу був представлений новий інтеграл,який взяв свою назву,згідно із його першовідкривачем '''Інтеграл Бернуллі'''

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно
<math>\rho \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}=\rho F-Rp</math>,де ''Rp'' градієнт тиску . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''
Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю конєктивну частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.

Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> (кооф.провідності)=0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :

<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}(\frac{V^{2}}{2}+p+u)=0</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.

Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо '''інтеграл Бернуллі'''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї посудини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкій посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 = 0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{p_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T20:12:59Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу */

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''' - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі народився 29 січня 1700р. в Гронінгені (Голландія), де його батько викладав математику в університеті

Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. Рівняння Бернуллі дозволяє зрозуміти багато явищ гідромеханіки і аеромеханіки. Воно використовується при розрахунку різних трубопроводів, насосів і витратомірів, дослідженні процесів фільтрації і т.п. Разом з деякими іншими співвідношеннями рівняння Бернуллі, записане для середовища зі змінною густиною "РВ", складає основу газової динаміки. Д. Бернуллі спільно з Л. Ейлером належить головна заслуга у розробці механіки рідких тіл. Понад п'ятдесят років (з 1727 по 1778 рр..) Д.Бернуллі займався вивченням коливань. У своїх перших працях він досліджував малі коливання вантажів, підвішених на гнучкої нитки, а також підвішеного важкого однорідного каната. У наступних працях він вивчав коливання струн і стрижнів, ввів поняття простого гармонійного коливання і обгрунтував положення про те, що загальне коливання системи виходить від складання простих гармонійних коливань. Цей важливий принцип отримав згодом назву принципу суперпозиції (накладення) коливань. Данила Бернуллі разом з Д'Аламбером, Л. Ейлером і Лагранжем можна вважати засновником математичної фізики.
Також Д.Бернуллі ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.
У 1738 році Даніель Бернуллі відкрив закон, на якому після і почалося базуватися літакобудування. І за його принципом вже у дев'ятнадцятому столітті багато людей, що почали займатися повітроплаванням, почали використовувати при створенні планерів. Джордж Кейлі, якого зараз називають «батьком аероплана», в 1853 році збудував і вдало випробував перший у світі планер. Який далі був модернізований до керованого.
У 1738 році світу був представлений новий інтеграл,який взяв свою назву,згідно із його першовідкривачем '''Інтеграл Бернуллі'''

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно
<math>\rho \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}=\rho F-Rp</math>,де ''Rp'' градієнт тиску . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''
Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю конєктивну частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.

Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> (кооф.провідності)=0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :

<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}(\frac{V^{2}}{2}+p+u)=0</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.

Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо '''інтеграл Бернуллі'''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{p_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T19:49:28Z

Valdemar88: /* Практичне застосування */

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''' - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі народився 29 січня 1700р. в Гронінгені (Голландія), де його батько викладав математику в університеті

Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. Рівняння Бернуллі дозволяє зрозуміти багато явищ гідромеханіки і аеромеханіки. Воно використовується при розрахунку різних трубопроводів, насосів і витратомірів, дослідженні процесів фільтрації і т.п. Разом з деякими іншими співвідношеннями рівняння Бернуллі, записане для середовища зі змінною густиною "РВ", складає основу газової динаміки. Д. Бернуллі спільно з Л. Ейлером належить головна заслуга у розробці механіки рідких тіл. Понад п'ятдесят років (з 1727 по 1778 рр..) Д.Бернуллі займався вивченням коливань. У своїх перших працях він досліджував малі коливання вантажів, підвішених на гнучкої нитки, а також підвішеного важкого однорідного каната. У наступних працях він вивчав коливання струн і стрижнів, ввів поняття простого гармонійного коливання і обгрунтував положення про те, що загальне коливання системи виходить від складання простих гармонійних коливань. Цей важливий принцип отримав згодом назву принципу суперпозиції (накладення) коливань. Данила Бернуллі разом з Д'Аламбером, Л. Ейлером і Лагранжем можна вважати засновником математичної фізики.
Також Д.Бернуллі ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.
У 1738 році Даніель Бернуллі відкрив закон, на якому після і почалося базуватися літакобудування. І за його принципом вже у дев'ятнадцятому столітті багато людей, що почали займатися повітроплаванням, почали використовувати при створенні планерів. Джордж Кейлі, якого зараз називають «батьком аероплана», в 1853 році збудував і вдало випробував перший у світі планер. Який далі був модернізований до керованого.
У 1738 році світу був представлений новий інтеграл,який взяв свою назву,згідно із його першовідкривачем '''Інтеграл Бернуллі'''

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' градієнт тиску . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''
Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю конєктивну частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.

Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> (кооф.провідності)=0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :

<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}(\frac{V^{2}}{2}+p+u)=0</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.

Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо '''інтеграл Бернуллі'''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{p_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Обговорення:Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T19:48:36Z

Valdemar88:

Гащин Володимир КА - 22
# "відкрита чудова теорема" - а) теореми доводять; б)термін "чудова" не технічний і не науковий; в)портрет Бернуллі суті питання не розкриває
# треба вказати з яких попередніх допущень воно отримано
# треба пояснити фізичний зміст цього рівняння, межі його застосування;
# є ще варіант інтегралу Бернуллі для відносного руху нестисливої рідини (рух по трубці, що обертається);
# є ще варіант інтегралу Бернуллі для газів (я на лекції казав);
# висвітлити практичне застосування інтегралу у різних випадках.
# розділ "Інтеграл" непотрібний
# є ще інші книжки з гідравліки, ближчі до інженерного спрямування, є ще google.

Христос Воскрес!!! Олег Ксаверович,які ще будуть зауваження ? - перегляньте будь ласка поточний варіант ...

:1) Перегрупував розділи і малюнки, видалив лишнє.
:2) Треба історичну довідку зробити історичною довідкою
:3) Треба уважно вичитати текст і формули (якась нумерація формул неправильна).
:4) Доповідь готувати за структурою статті
:5) Тиск позначається ''p'' (пе маленьке) то всюди повинен так позначатись.

дуже дякую!

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T19:47:54Z

Valdemar88: /* Практичне застосування */

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''' - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі народився 29 січня 1700р. в Гронінгені (Голландія), де його батько викладав математику в університеті

Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. Рівняння Бернуллі дозволяє зрозуміти багато явищ гідромеханіки і аеромеханіки. Воно використовується при розрахунку різних трубопроводів, насосів і витратомірів, дослідженні процесів фільтрації і т.п. Разом з деякими іншими співвідношеннями рівняння Бернуллі, записане для середовища зі змінною густиною "РВ", складає основу газової динаміки. Д. Бернуллі спільно з Л. Ейлером належить головна заслуга у розробці механіки рідких тіл. Понад п'ятдесят років (з 1727 по 1778 рр..) Д.Бернуллі займався вивченням коливань. У своїх перших працях він досліджував малі коливання вантажів, підвішених на гнучкої нитки, а також підвішеного важкого однорідного каната. У наступних працях він вивчав коливання струн і стрижнів, ввів поняття простого гармонійного коливання і обгрунтував положення про те, що загальне коливання системи виходить від складання простих гармонійних коливань. Цей важливий принцип отримав згодом назву принципу суперпозиції (накладення) коливань. Данила Бернуллі разом з Д'Аламбером, Л. Ейлером і Лагранжем можна вважати засновником математичної фізики.
Також Д.Бернуллі ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.
У 1738 році Даніель Бернуллі відкрив закон, на якому після і почалося базуватися літакобудування. І за його принципом вже у дев'ятнадцятому столітті багато людей, що почали займатися повітроплаванням, почали використовувати при створенні планерів. Джордж Кейлі, якого зараз називають «батьком аероплана», в 1853 році збудував і вдало випробував перший у світі планер. Який далі був модернізований до керованого.
У 1738 році світу був представлений новий інтеграл,який взяв свою назву,згідно із його першовідкривачем '''Інтеграл Бернуллі'''

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' градієнт тиску . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''
Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю конєктивну частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.

Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> (кооф.провідності)=0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :

<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}(\frac{V^{2}}{2}+p+u)=0</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.

Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо '''інтеграл Бернуллі'''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{p_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T19:46:49Z

Valdemar88: /* Кінцевий вигляд інтегралу */

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''' - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі народився 29 січня 1700р. в Гронінгені (Голландія), де його батько викладав математику в університеті

Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. Рівняння Бернуллі дозволяє зрозуміти багато явищ гідромеханіки і аеромеханіки. Воно використовується при розрахунку різних трубопроводів, насосів і витратомірів, дослідженні процесів фільтрації і т.п. Разом з деякими іншими співвідношеннями рівняння Бернуллі, записане для середовища зі змінною густиною "РВ", складає основу газової динаміки. Д. Бернуллі спільно з Л. Ейлером належить головна заслуга у розробці механіки рідких тіл. Понад п'ятдесят років (з 1727 по 1778 рр..) Д.Бернуллі займався вивченням коливань. У своїх перших працях він досліджував малі коливання вантажів, підвішених на гнучкої нитки, а також підвішеного важкого однорідного каната. У наступних працях він вивчав коливання струн і стрижнів, ввів поняття простого гармонійного коливання і обгрунтував положення про те, що загальне коливання системи виходить від складання простих гармонійних коливань. Цей важливий принцип отримав згодом назву принципу суперпозиції (накладення) коливань. Данила Бернуллі разом з Д'Аламбером, Л. Ейлером і Лагранжем можна вважати засновником математичної фізики.
Також Д.Бернуллі ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.
У 1738 році Даніель Бернуллі відкрив закон, на якому після і почалося базуватися літакобудування. І за його принципом вже у дев'ятнадцятому столітті багато людей, що почали займатися повітроплаванням, почали використовувати при створенні планерів. Джордж Кейлі, якого зараз називають «батьком аероплана», в 1853 році збудував і вдало випробував перший у світі планер. Який далі був модернізований до керованого.
У 1738 році світу був представлений новий інтеграл,який взяв свою назву,згідно із його першовідкривачем '''Інтеграл Бернуллі'''

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' градієнт тиску . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''
Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю конєктивну частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.

Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> (кооф.провідності)=0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :

<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}(\frac{V^{2}}{2}+p+u)=0</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.

Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо '''інтеграл Бернуллі'''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T19:44:43Z

Valdemar88: /* Окремі випадки */

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''' - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі народився 29 січня 1700р. в Гронінгені (Голландія), де його батько викладав математику в університеті

Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. Рівняння Бернуллі дозволяє зрозуміти багато явищ гідромеханіки і аеромеханіки. Воно використовується при розрахунку різних трубопроводів, насосів і витратомірів, дослідженні процесів фільтрації і т.п. Разом з деякими іншими співвідношеннями рівняння Бернуллі, записане для середовища зі змінною густиною "РВ", складає основу газової динаміки. Д. Бернуллі спільно з Л. Ейлером належить головна заслуга у розробці механіки рідких тіл. Понад п'ятдесят років (з 1727 по 1778 рр..) Д.Бернуллі займався вивченням коливань. У своїх перших працях він досліджував малі коливання вантажів, підвішених на гнучкої нитки, а також підвішеного важкого однорідного каната. У наступних працях він вивчав коливання струн і стрижнів, ввів поняття простого гармонійного коливання і обгрунтував положення про те, що загальне коливання системи виходить від складання простих гармонійних коливань. Цей важливий принцип отримав згодом назву принципу суперпозиції (накладення) коливань. Данила Бернуллі разом з Д'Аламбером, Л. Ейлером і Лагранжем можна вважати засновником математичної фізики.
Також Д.Бернуллі ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.
У 1738 році Даніель Бернуллі відкрив закон, на якому після і почалося базуватися літакобудування. І за його принципом вже у дев'ятнадцятому столітті багато людей, що почали займатися повітроплаванням, почали використовувати при створенні планерів. Джордж Кейлі, якого зараз називають «батьком аероплана», в 1853 році збудував і вдало випробував перший у світі планер. Який далі був модернізований до керованого.
У 1738 році світу був представлений новий інтеграл,який взяв свою назву,згідно із його першовідкривачем '''Інтеграл Бернуллі'''

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' градієнт тиску . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''
Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю конєктивну частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.

Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> (кооф.провідності)=0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :

<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}(\frac{V^{2}}{2}+p+u)=0</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.

Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо '''інтеграл Бернуллі'''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T19:44:01Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу */

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''' - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі народився 29 січня 1700р. в Гронінгені (Голландія), де його батько викладав математику в університеті

Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. Рівняння Бернуллі дозволяє зрозуміти багато явищ гідромеханіки і аеромеханіки. Воно використовується при розрахунку різних трубопроводів, насосів і витратомірів, дослідженні процесів фільтрації і т.п. Разом з деякими іншими співвідношеннями рівняння Бернуллі, записане для середовища зі змінною густиною "РВ", складає основу газової динаміки. Д. Бернуллі спільно з Л. Ейлером належить головна заслуга у розробці механіки рідких тіл. Понад п'ятдесят років (з 1727 по 1778 рр..) Д.Бернуллі займався вивченням коливань. У своїх перших працях він досліджував малі коливання вантажів, підвішених на гнучкої нитки, а також підвішеного важкого однорідного каната. У наступних працях він вивчав коливання струн і стрижнів, ввів поняття простого гармонійного коливання і обгрунтував положення про те, що загальне коливання системи виходить від складання простих гармонійних коливань. Цей важливий принцип отримав згодом назву принципу суперпозиції (накладення) коливань. Данила Бернуллі разом з Д'Аламбером, Л. Ейлером і Лагранжем можна вважати засновником математичної фізики.
Також Д.Бернуллі ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.
У 1738 році Даніель Бернуллі відкрив закон, на якому після і почалося базуватися літакобудування. І за його принципом вже у дев'ятнадцятому столітті багато людей, що почали займатися повітроплаванням, почали використовувати при створенні планерів. Джордж Кейлі, якого зараз називають «батьком аероплана», в 1853 році збудував і вдало випробував перший у світі планер. Який далі був модернізований до керованого.
У 1738 році світу був представлений новий інтеграл,який взяв свою назву,згідно із його першовідкривачем '''Інтеграл Бернуллі'''

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' градієнт тиску . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''
Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю конєктивну частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.

Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> (кооф.провідності)=0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :

<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}(\frac{V^{2}}{2}+p+u)=0</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.

Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо '''інтеграл Бернуллі'''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>p=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>p=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T19:42:54Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу */

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''' - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі народився 29 січня 1700р. в Гронінгені (Голландія), де його батько викладав математику в університеті

Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. Рівняння Бернуллі дозволяє зрозуміти багато явищ гідромеханіки і аеромеханіки. Воно використовується при розрахунку різних трубопроводів, насосів і витратомірів, дослідженні процесів фільтрації і т.п. Разом з деякими іншими співвідношеннями рівняння Бернуллі, записане для середовища зі змінною густиною "РВ", складає основу газової динаміки. Д. Бернуллі спільно з Л. Ейлером належить головна заслуга у розробці механіки рідких тіл. Понад п'ятдесят років (з 1727 по 1778 рр..) Д.Бернуллі займався вивченням коливань. У своїх перших працях він досліджував малі коливання вантажів, підвішених на гнучкої нитки, а також підвішеного важкого однорідного каната. У наступних працях він вивчав коливання струн і стрижнів, ввів поняття простого гармонійного коливання і обгрунтував положення про те, що загальне коливання системи виходить від складання простих гармонійних коливань. Цей важливий принцип отримав згодом назву принципу суперпозиції (накладення) коливань. Данила Бернуллі разом з Д'Аламбером, Л. Ейлером і Лагранжем можна вважати засновником математичної фізики.
Також Д.Бернуллі ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.
У 1738 році Даніель Бернуллі відкрив закон, на якому після і почалося базуватися літакобудування. І за його принципом вже у дев'ятнадцятому столітті багато людей, що почали займатися повітроплаванням, почали використовувати при створенні планерів. Джордж Кейлі, якого зараз називають «батьком аероплана», в 1853 році збудував і вдало випробував перший у світі планер. Який далі був модернізований до керованого.
У 1738 році світу був представлений новий інтеграл,який взяв свою назву,згідно із його першовідкривачем '''Інтеграл Бернуллі'''

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' градієнт тиску . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''
Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю конєктивну частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.

Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> (кооф.провідності)=0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :

<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t}(\frac{V^{2}}{2}+p+u)=0</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>p=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>p=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T19:32:09Z

Valdemar88:

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''' - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі народився 29 січня 1700р. в Гронінгені (Голландія), де його батько викладав математику в університеті

Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. Рівняння Бернуллі дозволяє зрозуміти багато явищ гідромеханіки і аеромеханіки. Воно використовується при розрахунку різних трубопроводів, насосів і витратомірів, дослідженні процесів фільтрації і т.п. Разом з деякими іншими співвідношеннями рівняння Бернуллі, записане для середовища зі змінною густиною "РВ", складає основу газової динаміки. Д. Бернуллі спільно з Л. Ейлером належить головна заслуга у розробці механіки рідких тіл. Понад п'ятдесят років (з 1727 по 1778 рр..) Д.Бернуллі займався вивченням коливань. У своїх перших працях він досліджував малі коливання вантажів, підвішених на гнучкої нитки, а також підвішеного важкого однорідного каната. У наступних працях він вивчав коливання струн і стрижнів, ввів поняття простого гармонійного коливання і обгрунтував положення про те, що загальне коливання системи виходить від складання простих гармонійних коливань. Цей важливий принцип отримав згодом назву принципу суперпозиції (накладення) коливань. Данила Бернуллі разом з Д'Аламбером, Л. Ейлером і Лагранжем можна вважати засновником математичної фізики.
Також Д.Бернуллі ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.
У 1738 році Даніель Бернуллі відкрив закон, на якому після і почалося базуватися літакобудування. І за його принципом вже у дев'ятнадцятому столітті багато людей, що почали займатися повітроплаванням, почали використовувати при створенні планерів. Джордж Кейлі, якого зараз називають «батьком аероплана», в 1853 році збудував і вдало випробував перший у світі планер. Який далі був модернізований до керованого.
У 1738 році світу був представлений новий інтеграл,який взяв свою назву,згідно із його першовідкривачем '''Інтеграл Бернуллі'''

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +p+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>p=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>p=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T19:31:11Z

Valdemar88: /* Окремі випадки */

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''') - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі народився 29 січня 1700р. в Гронінгені (Голландія), де його батько викладав математику в університеті

Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. Рівняння Бернуллі дозволяє зрозуміти багато явищ гідромеханіки і аеромеханіки. Воно використовується при розрахунку різних трубопроводів, насосів і витратомірів, дослідженні процесів фільтрації і т.п. Разом з деякими іншими співвідношеннями рівняння Бернуллі, записане для середовища зі змінною густиною "РВ", складає основу газової динаміки. Д. Бернуллі спільно з Л. Ейлером належить головна заслуга у розробці механіки рідких тіл. Понад п'ятдесят років (з 1727 по 1778 рр..) Д.Бернуллі займався вивченням коливань. У своїх перших працях він досліджував малі коливання вантажів, підвішених на гнучкої нитки, а також підвішеного важкого однорідного каната. У наступних працях він вивчав коливання струн і стрижнів, ввів поняття простого гармонійного коливання і обгрунтував положення про те, що загальне коливання системи виходить від складання простих гармонійних коливань. Цей важливий принцип отримав згодом назву принципу суперпозиції (накладення) коливань. Данила Бернуллі разом з Д'Аламбером, Л. Ейлером і Лагранжем можна вважати засновником математичної фізики.
Також Д.Бернуллі ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.
У 1738 році Даніель Бернуллі відкрив закон, на якому після і почалося базуватися літакобудування. І за його принципом вже у дев'ятнадцятому столітті багато людей, що почали займатися повітроплаванням, почали використовувати при створенні планерів. Джордж Кейлі, якого зараз називають «батьком аероплана», в 1853 році збудував і вдало випробував перший у світі планер. Який далі був модернізований до керованого.
У 1738 році світу був представлений новий інтеграл,який взяв свою назву,згідно із його першовідкривачем '''Інтеграл Бернуллі'''

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +p+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>p=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>p=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T19:29:58Z

Valdemar88: /* Історична довідка */

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''') - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі народився 29 січня 1700р. в Гронінгені (Голландія), де його батько викладав математику в університеті

Внесок Д.Бернуллі в науку важко переоцінити. Разом з М.В. Ломоносовим він стояв біля витоків кінетичної теорії газів. У його працях можна знайти передбачення законів Гей-Люссака, Клайперона і Шарля. Бернуллі був першим, хто висловив думку про те, що тиск газу обумовлене тепловим рухом молекул. У гідродинаміці Д.Бернуллі дав рівняння сталого руху ідеальної нестисливої рідини. Воно виражає собою закон збереження енергії. Рівняння Бернуллі дозволяє зрозуміти багато явищ гідромеханіки і аеромеханіки. Воно використовується при розрахунку різних трубопроводів, насосів і витратомірів, дослідженні процесів фільтрації і т.п. Разом з деякими іншими співвідношеннями рівняння Бернуллі, записане для середовища зі змінною густиною "РВ", складає основу газової динаміки. Д. Бернуллі спільно з Л. Ейлером належить головна заслуга у розробці механіки рідких тіл. Понад п'ятдесят років (з 1727 по 1778 рр..) Д.Бернуллі займався вивченням коливань. У своїх перших працях він досліджував малі коливання вантажів, підвішених на гнучкої нитки, а також підвішеного важкого однорідного каната. У наступних працях він вивчав коливання струн і стрижнів, ввів поняття простого гармонійного коливання і обгрунтував положення про те, що загальне коливання системи виходить від складання простих гармонійних коливань. Цей важливий принцип отримав згодом назву принципу суперпозиції (накладення) коливань. Данила Бернуллі разом з Д'Аламбером, Л. Ейлером і Лагранжем можна вважати засновником математичної фізики.
Також Д.Бернуллі ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.
У 1738 році Даніель Бернуллі відкрив закон, на якому після і почалося базуватися літакобудування. І за його принципом вже у дев'ятнадцятому столітті багато людей, що почали займатися повітроплаванням, почали використовувати при створенні планерів. Джордж Кейлі, якого зараз називають «батьком аероплана», в 1853 році збудував і вдало випробував перший у світі планер. Який далі був модернізований до керованого.
У 1738 році світу був представлений новий інтеграл,який взяв свою назву,згідно із його першовідкривачем '''Інтеграл Бернуллі'''

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +p+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-26T19:16:01Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу */

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|thumb|300px|Даниїл Бернуллі]]
'''Інтегра́л Берну́ллі''') - рівняння гідродинаміки, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу взаємозв'язок між тиском <math>p</math>, що встановився, (<math>p=F(\rho)</math>) швидкістю <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та силовою функцією <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

== Історична довідка ==

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка» для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем. Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році.
Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+p+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''p''-для якої є свій інтеграл: <math>p=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття p=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>p=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +p+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+p+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.

==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>

==Практичне застосування==
[[Файл:1010.jpg|thumb|250px|]]
Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аеро- і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-25T21:38:42Z

Valdemar88: /* Головна теорема інтегрального числення */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потоку ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-25T21:37:20Z

Valdemar88:

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухcі всі ці точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Обговорення:Інтеграл Бернуллі

2011-04-25T11:26:56Z

Valdemar88:

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T23:09:05Z

Valdemar88: /* Окремі випадки */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:58:31Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>
Тоді стала інтегрування

<math>const=\frac{k}{k-1}\frac{p_{0}}{\rho _{0}}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:56:39Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

Одережане рівняння для ідеального газу використовують в суакупності з рівняннями нерозривності та термодинамічного процесу.Постійну інтегрування можна виразити через параметри газу у стані спокою.Вцьому випадку <math>u=0,p=p_{0},\rho =\rho _{0},</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:48:09Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

Таким чином,''інтеграл Бернуллі''матиме таку форму запису:

<math>\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+\frac{u^{2}}{2}=const.</math> (9.17)

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:45:07Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

де k - показник адіабати.

Диференціал тиску

<math>dp=Ck\rho ^{k-1}dp</math>

і тоді

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} \rho }=Ck\int \rho ^{k-2}d\rho =C\frac{k}{k-1}\rho ^{k-1}+const</math>

а з урахуванням (9.16)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }=\frac{k}{k-1}\frac{p}{\rho }+const</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:36:25Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

<math>\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const</math> (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:35:32Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

\int \frac{\mathrm{d} p}{ \rho }+\frac{u^{2}}{2}=const (9.15)

Рівняння (9.15)називають ''інтегралом Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу
''

Для випадку адіабатичної течії газу

<math>\frac{p}{\rho ^{k}}=C</math> чи <math>p=C\rho ^{k}</math> (9.16)

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:24:53Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math> (9.14)

Інтегруємо рівняння (9.14)

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:21:53Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

<math>-\frac{1}{\rho }dp=u_{x}du_{x}+u_{y}du_{y}+u_{z}du_{z}</math>

АБО

<math>\frac{dp}{\rho }+d(\frac{u^{2}}{2})=0</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:15:46Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

Оскільки : <math>{\mathrm{d} x}=u_{x}dt,dy=u_{y}dt,dz=u_{z}dt</math> то маємо :

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:11:58Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

<math>-\frac{1}{\rho }(\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z})=\frac{\mathrm{d} u_{x}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} x}+\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}{\mathrm{d} y}+\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} z}{\mathrm{d} z}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:05:10Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

Наведену систему рівнянь перетворимо,звівши її до одного.Для цього ліву і праву частину кожного з рівнянь помножимо відповідно на <math>{\mathrm{d} x} , {\mathrm{d} y} ,{\mathrm{d} z}
</math>
і складемо ліві та праві частини усіх трьох рівнянь:

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.

Інтеграл Бернуллі

2011-04-24T22:01:33Z

Valdemar88: /* Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу */

Д.Бернуллі (1700-1783) ввів термін «гідродинаміка »
для того, щоб об'єднати дві науки: гідростатику і гідравліку. Д. Бернуллі відкрив теорему, відому під його іменем.

[[Файл:Danielbernoulli.jpg|400px]]

Це так звана загальна теорема усталеного течії, з якою закон Торрічеллі виходить як наслідок. Під сталим течією (mouvement permanent) мається на увазі такий рух рідини, при якому в кожній точці простору, займаного рідиною, величини і напрямки швидкостей точок рідини і величина тиску не змінюються з плином часу. При такому рухів все ті точки рідини, які послідовно проходять через одну і ту ж точку простору, рухаються одна за одною по одній і тій же траєкторії; кожну таку траєкторію можна назвати лінією струму. Якщо взяти майданчик малих розмірів, нормальну до траєкторії і через всі точки контуру майданчика провести лінії струму, то вони утворюють поверхню, усередині якої буде полягати деяка струмінь поточної рідини, поперечні перерізи якої, взагалі кажучи, будуть неоднакові в різних місцях.

== Головна теорема інтегрального числення ==
'''Інтеграл''' — центральне поняття інтегрального числення, узагальнення поняття суми для функції, визначеній на континуумі. Існує кілька різновидів визначених інтегралів.

Якщо у функції <math> f(x) </math> існує первісна <math> F(x) </math>, то
: <math> I = \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) </math>

Ця формула називається основною формулою інтегрального числення.

'''Інтегра́л Берну́ллі'''(Інтеграл був представлений Д. Бернуллі у 1738 році) - рівнянь гідродинаміки — це інтеграл, що визначає в кожній точці потокe ідеальної рідини або баротропного газу,тиску <math>p</math>, що встановився: (<math>p=F(\rho)</math>) через швидкість <math> \vec v</math> потоку у відповідній точці та через силову функцію <math> \vec u(x,y,z)</math> об'ємних сил.

==Інтеграл Бернуллі для елементарної струминки стислової рідини або газу==

Рівняння Ейлера можуть бути використані для опису руху газів.У цьому випадку масовими силами можна знехтувати ,і рівняння Ейлера набудуть вигляду :

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial u_{x}}{\partial t}
</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} y}=\frac{\mathrm{d} u_{y}}{\mathrm{d} t}</math>

<math>-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{d} z}=\frac{\mathrm{d} u_{z}}{\mathrm{d} t}</math>

==Інтеграл Бернуллі у загальному вигляді,з урахуванням стиску газу==

Витоки даного рівняння безпосередньо виходять від рівняння '''Ейлора''',відповідно <math>\rho\frac{\partial }{\partial t}=\rho\underset{F}{\rightarrow}</math>-Rp,де ''Rp'' . Це рівняння має назву - '''рівняння ідеальної рідини.'''Інший його вигляд:

<math>\rho \left ( \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} t}+V\cdot R\cdot V \right )=\rho \cdot F-R\cdot p</math>
цю коєктивеу частину заміняємо за відомою формолою векторного аналізу :
<math>\rho \left ( \frac{\partial w}{\partial t}+R\left [ V^{2}/2 \right ]+rot V\cdot U \right )=\rho F-Rp
</math>.
Коли ми говоримо,що ідеальна рідина/газ,то <math>\mu</math> (коофіцієнт в'язкості)=0 і <math> \lambda</math> =0 теж!це так зване визначення для ідеальної рідини/газу.

Якщо вважати,що рух вимірювального елемента - стаціонарний
(<math>\frac{V}{\partial t}=0</math>) і зовнішні сили мають потенціал (<math>F=\sigma U</math>),тоді при наступних умовах поділивши на ''р'' матимемо :
<math>R\left ( \frac{V^{2}}{2}+P+U \right )=-\left ( rotV\cdot U \right )=-{\partial U}\cdot V
</math>,тому що (<math>W=\frac{1}{2}\cdot rotV</math>) (W - кутова швидкість).

Ми ввели функцію ''P''-для якої є свій інтеграл: <math>P=\int \frac{\partial p}{\rho }</math> слід зауважити,що траєкторія руху рідини співпадає із лінією потоку і крім <math>\mu =0,\frac{V}{\partial t}=0,F={\partial U}</math> введемо 4 поняття P=p(g) функція від щільності є <math>\gamma</math> .

<math>P=\int \frac{\partial p}{\rho \left ( p,\gamma \right )}</math> функція тиску.Тепер ми бачемо,що права частина =0,маємо :

<math>\left ( a \right ) \frac{\partial V}{\partial l}\left \left ( \frac{V^{2}}{2} +P+U\right )=0
</math>

звітси маємо : <math> \frac{V^{2}}{2}+P+U=H\left ( \gamma \right )=const\left ( \gamma \right )</math>.Якщо проінтегрувати функцію тиску,то отримаємо інтеграл ''Бернуллі''.
==Кінцевий вигляд інтегралу==

рівнянь гідродинаміки - інтеграл, що визначає тиск рв кожній точці усталеного потоку ідеальної однорідної рідини або баротропного газу <math>P=f(\rho )</math>через швидкість потоку <math>V</math> у відповідній точці і через силову функцію <math>u(x,y,z)</math> об'ємних сил:
: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = C - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u</math> 
Стала <math>C</math> має для кожної лінії струменю своє значення, що змінюється з переходом від одної лінії струменю до іншої. Якщо рух потенційний, то стала <math>C</math> одна і таж для всього потоку. 
Для руху, що не встановився, інтеграл Бернулі (називають інколи ''інтегралом Коші—Лагранжа'') має місце за наявності потенціалу швидкостей: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \frac{\partial \phi}{ \partial t} - \frac{1}{2}\left | \vec v^2 \right | + \vec u + f(t)</math>, 
причому <math> \mathbf{v} = \text{grad}\, \phi(x,y,z,t)</math> а <math>f(t)</math> — довільна функція часу. 
Для нестискуваних рідин ліва частина рівнянь приводиться до вигляду <math>\frac{p}{\rho}</math> для баротропного газу (<math>p=F(\rho)</math>) — до вигляду: 
<math>\int \frac{dp}{\rho}\ = \int F'(\rho) \frac{d \rho}{\rho}\ </math> 

==Окремі випадки==
1)Випадок коли <math>\rho =const</math> тоді <math>P=\frac{p}{\rho }+const</math>.
2) Випадок,коли ми можемо вирахувати функцію тиску,в даному випадку проходить ізотермічний потік.T=const тоді <math>\frac{p}{\rho }=RT=const
</math>. <math>P=RT\cdot Ln\left ( p \right )+const</math>
3)

==Практичне застосування==

Інтеграл безпосередньо застосовується і використовується в аэро і гідродинаміці – співвідношення, що зв’язує газо- або гідродинамічні змінні уздовж лінії струму сталого баротропного плину ідеальної рідини або газу в потенційному полі масових сил.''Гідроаеромеханіки'' - наука про рух і рівновагу рідин і газів.

Як приклад використання інтеграла Бернуллі можна визначити швидкість витікання нестисливої рідини з посудини (рис. 5). У разі закінчення рідини з цієї судини рівень рідини знижується, тобто швидкість поверхні рідини, взагалі кажучи, відмінна від нуля. Однак при досить широкому посудині з вузьким отвором витікання можна прийняти, що V1 "0. Оскільки по всій поверхні рідини в посудині тиск р1 = const, то постійна уздовж лінії струму на всіх лініях струму буде однаковою. Інтеграл Бернуллі вздовж якої-небудь лінії струму, наприклад, що з'єднує точки 1 (на поверхні) і 2 (у вихідного отвору)

<math>\frac{{V_{}2}^{2}}{2}+\frac{Patm}{\rho }+gz_{2}=\frac{P_{1}}{\rho }+gz_{1}</math>

де ратм - атмосферний тиск у вихідного отвору. Звідси легко отримати формулу для швидкості закінчення V2. В окремому випадку ратм = р1 отримуємо так звану формулу Торічеллі для витікання рідини з широкого посудини з вузьким вихідним отвором.

<math>V_{2}=\sqrt{2gh}</math>

на ім'я італійського вченого Е. Торрічеллі (1608-1647). Тут h = (z1 - z2). Для ванни з висотою налитої води приблизно 0,5 м швидкість витікання V2 »3,1 м / сек.

[[Файл:1010.jpg]]

Рівняння руху ідеальної рідини мають ще один інтеграл для нестаціонарних течій, який називається інтегралом Коші - Лагранжа. Він справедливий для течій, в яких відсутні вихори. Його часто, наприклад, використовують при розгляді хвильових рухів рідини чи газу.

Інтеграл Бернулі запропоновано Д.Бернуллі (D. Bernoulli, 1738)

== Література ==

''Милн-Томсон Л. М.'' «Теоретическая гидродинамика». пер. з англ., М., 1964.

Б. и. предложен Д. Бернулли (D. Bernoulli, 1738). Лит.:[1] Мил н-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, пер. с англ., М., 1964. Л. Н. Сретенский.