Wiki ТНТУ - Внесок користувача [uk]

Передавальна функція

2011-09-09T08:43:16Z

Ularedmond:

'''Передавальна функція''' - один із способів математичного опису динамічної системи. Використовується в основному в теорії керування, комунікаційних технологіях, цифровій обробці сигналів. Являє собою диференціальний оператор, що виражає зв'язок між входом і виходом лінійної стаціонарної системи. Знаючи вхідний сигнал системи й передатну функцію, можна відновити вихідний сигнал. В теорії керування передавальна функція безперервної системи являє собою відношення перетворення Лапласа вихідного сигналу до перетворення Лапласа вхідного сигналу при нульових початкових умовах.

==Лінійні стаціонарні системи==
Нехай <math> u(t) \!</math> - вхідний сигнал лінійної стаціонарної системи, а <math> y(t) \!</math> - її вихідний сигнал. Тоді передавальна функція <math> W(s) \!</math> такої системи запишеться у вигляді:
:<math> W(s) = \frac{Y(s)} {U(s)} </math>,
де <math> U(s) \!</math> та <math> Y(s) \!</math> - перетворення Лапласа сигналів <math> u(t) \!</math> та <math> y(t) \!</math> відповідно:
: <math> U(s) = \mathcal{L}\left \{ u(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{-st}\, dt </math>,

: <math> Y(s) = \mathcal{L}\left \{ y(t) \right \} \equiv \int\limits_{-\infty}^{\infty} y(t) e^{-st}\, dt </math>.

==Дискретна передавальна функція==
Для дискретних та дискретно-неперервних систем вводиться поняття '''''дискретної передавальної функції'''''. Нехай <math>u(k) \!</math> - вхідий дискретний сигнал такої системи, а <math>y(k) \!</math> - її дискретний вихідний сигнал (<math>k = 0, 1, 2, \dots \!</math>). Тоді передавальна функція <math> W(z) \!</math> такої системи запишеться у вигляді:
: <math> W(z) = \frac{Y(z)} {U(z)} </math>,
де <math> U(z) \!</math> та <math> Y(z) \!</math> - z-перетворення сигналів <math> u(k) \!</math> та <math> y(k) \!</math> відповідно:
: <math> U(z) = \mathcal{Z}\left \{ u(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^\infty u(k) z^{-k} </math>,

: <math> Y(z) = \mathcal{Z}\left \{ y(k) \right \} \equiv \sum_{k=0}^{\infty} y(k) z^{-k} </math>.

[http://cvresumewritingservices.org/ resume writing]

Передавання інформації через захищені мережі

2011-09-09T08:43:15Z

Ularedmond:

{{Студент | Name=Ганна | Surname=Паздрій | FatherNAme=Любомирівна |Faculti=ФІС | Group=СН-41 | Zalbook=ПК-07-016}}<br>
{{Презентація доповіді |title= [http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/977 Передавання інформації через захищені мережі]}}
[http://http://uk.wikipedia.org/wiki/VPN Захищена або приватна віртуальна мережа (Virtual Private Network, VPN)] - об'єднання локальних мереж і окремих комп'ютерів через відкрите зовнішнє середовище передавання інформації в єдину віртуальну мережу, яка забезпечує захист інформації, що в ній циркулює.<br>
Назва походить від протиставлення приватних (Private) мереж (корпоративних мереж, не доступних для сторонніх користувачів) публічним (Public) мережам (відкритим мережам, мережам загального доступу). Слід зауважити, що слово «private» в англійській мові є синонімом слова «secret» «таємний». Хоча термін «віртуальні приватні мережі» дуже поширений, деякі фахівці надають перевагу терміну «віртуальні захищені мережі», оскільки ця технологія стосується не приватної власності, а захисту інформації.<br>

== Проблеми побудови віртуальних захищених мереж ==

*'''Забезпечення конфіденційності'''
Найпростішим і найпоширенішим способом забезпечення конфіденційності інформації є її шифрування, або криптографічне закриття. Попри те що алгоритми шифрування є дуже складними, їх реалізація великих ускладнень не викликає (докладно про шифрування йдеться в розділі 3). А от організація криптосистеми, зокрема підсистеми керування ключами, може викликати багато проблем, насамперед у випадку, коли кількість користувачів стрімко зростає. У реалізації VPN керування ключами є одним із головних завдань, що потребує надійного та ефективного рішення.
Щоразу, коли йдеться про шифрування, згадують про його неминучий побічний ефект, що полягає у деякій втраті продуктивності. Апаратно реалізоване шифрування передбачає застосування у пристроях захисту спеціалізованих інтегральних схем прикладної орієнтації (Application Specific Integrated Circuit, ASIC), що звільняють ці пристрої від додаткового навантаження, пов'язаного з виконанням алгоритмів шифрування, і забезпечують кодування трафіку без втрати швидкості обміну. Основною перевагою апаратно реалізованих засобів шифрування над програмно реалізованими насамперед вважають забезпечення необхідних показників продуктивності. Є й інша перевага: у разі здійснення атаки на засоби захисту VPN існує загроза підміни програмних компонентів, зокрема тих, що забезпечують шифрування. Загроза несанкціонованого впливу на апаратні засоби є малоймовірною.
<br>

*'''Забезпечення цілісності'''<br>
Як і конфіденційності, цілісності досягають використанням криптографічних алгоритмів, але не шифрування, а хешування. Алгоритми хешування також потребують значних ресурсів процесора, що знов-таки свідчить на користь реалізації цих алгоритмів апаратними засобами з використанням інтегральних схем прикладної орієнтації.
<br>

*'''Автентифікація та унеможливлення відмови від авторства'''<br>
Унеможливлення відмови від авторства — це додаткова функція, яку реалізовано на основі автентифікації. Захищене спілкування часто потребує не лише підтвердження того, що абонент є тим, за кого себе видає, але й незаперечних доказів того, що повідомлення отримане від конкретного користувача. Інколи захищене спілкування потребує доказового підтвердження ще й того факту, що певний користувач справді отримав деяке повідомлення. Ці функції захисту в окремих випадках розглядають як невід'ємну складову реалізації VPN.
<br>

== Способи утворення захищених віртуальних каналів ==
Будь-який із двох вузлів віртуальної мережі, між якими формується захищений тунель, може належати кінцевій чи проміжній точці потоку повідомлень, який захищають. Відповідно є різні способи утворення захищеного віртуального каналу.
<br>

Найкращим із міркувань безпеки є варіант, коли кінцеві точки тунелю збігаються з кінцевими точками потоку повідомлень. Наприклад, це може бути сервер у центральному офісі компанії та робоча станція користувача у віддаленій філії або портативний комп'ютер співробітника, який перебуває у відрядженні. Перевагою такого варіанта є те, що захист інформаційного обміну буде забезпечено на всьому шляху пакетів повідомлень. Однак такий варіант має суттєвий недолік — децентралізацію керування. Засоби утворення захищених тунелів потрібно встановлювати і належним чином настроювати на кожному клієнтському комп'ютері, що у великих мережах є занадто трудомісткою задачею.
<br>

Помітного спрощення завдань адміністрування можна досягти шляхом відмови від захисту трафіку всередині локальної мережі (або локальних мереж), що входить до складу VPN. Така ситуація є достатньо поширеною, оскільки захистити трафік у локальній мережі можна іншими засобами, зокрема реєструючи дії користувачів і вживаючи організаційних заходів. У такому випадку кінцевою точкою захищеного тунелю доцільно обрати брандмауер або граничний маршрутизатор локальної мережі. Захищений тунель утворюють лише у публічній мережі.
<br>

Складність адміністрування засобів утворення захищених тунелів, встановлених на комп'ютерах (зокрема, на портативних пристроях), з яких здійснюють від¬далений доступ, зумовлює поширення ще одного варіанта утворення такого тунелю. Як кінцеві точки захищеного тунелю у цьому випадку застосовують засоби, встановлені не на комп'ютерах користувачів, а на теренах інтернет-провайдерів.<br> Зрозуміло, що такий захист менш надійний, проте цей варіант утворення захищеного тунелю є найпростішим із міркувань адміністрування. Він має ще кілька переваг: підвищену масштабованість і керованість мережі та прозорість доступу до неї. Аргументація на користь припустимості такого зниження захищеності полягає в тому, що саме Інтернет, як і решта мереж із комутацією пакетів, несе найбільшу загрозу з боку порушників. Канали телефонної мережі та виділені лінії, що використовують між кінцевими вузлами віддаленого доступу і провайдерами, які у цьому випадку і є незахищеними, не такі вразливі. Слід визнати, що розміщення засобів утворення захищених тунелів на теренах інтернет-провайдерів дає змогу зекономити кошти, витрачені на адміністрування кінцевих вузлів, але натомість збільшує витрати на послуги провайдерів (яким ще потрібно довіряти).
<br>

==Список літературних джерел==
* Грайворонський М. В., Новіков О. М. Г14 Безпека інформаційно-комунікаційних систем. — К.: Видавнича група ВНУ, 2009. — 608 с.<br>

==Посилання==
*[http://uk.wikipedia.org/wiki/VPN VPN]
*[http://en.wikipedia.org/wiki/OpenVPN OpenVPN]
*[http://www.nestor.minsk.by/sr/2005/03/050315.html VPN и IPSec на пальцах]

[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Комп'ютерні системи захисту інформації"]]
[[Категорія:Виступ на семінарі]]

[http://custom-essay-writing-service.org/index.php essay writing service]

Планування другого порядку

2011-09-09T08:43:12Z

Ularedmond:

{{Завдання|ihor_p|Назаревич О.Б.|05 березня 2010}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/415 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Планування другого порядку =

Планування другого порядку застосовується для математичного опису об'єкта поблизу екстремальної точки статистичної характеристики або тоді, коли необхідний точніший опис в інших точках факторного простору. При цьому використовують поліном другого порядку:

<center>
<math>\operatorname{y}={{a}_{0}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{x}_{i}}+}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ij}}{{x}_{i}}{{x}_{j}}+}...+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i,i}}x_{i}^{2}}</math>
</center>

Задача, як і в ПФЕ, полягає у визначенні методом найменших квадратів за результатами спланованого експерименту коефіцієнтів цього рівня за умови, що виконуються передумови регресійного аналізу.
ПФЕ типу <math>2^n</math> дає змогу дістати роздільні оцінки як лінійних коефіцієнтів bi (після переходу до безрозмірних z), так і коефіцієнтів парних взаємодій bij. Точки ПФЕ лежать у вершині n-вимірного куба. Вектор-стовпці лінійних факторів матриці планування ортогональні між собою, тобто виконується умова

<center>
<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gj}}=0;i\ne j.}</math>
</center>

З теорії інтерполяції (апроксимації) відомо, що для розв'язання задачі знаходження роздільних оцінок параметрів апроксимуючого виразу число рівнів для кожної із змінних повинно бути на одиницю більше ступеня апроксимуючого полінома, тобто для полінома другого порядку число рівнів дорівнює трьом.
Однак, як показали дослідження, ПФЕ типу <math>3^n</math> (планування на трьох рівнях) не є раціональним через велике число дослідів.
Задача розв'язується іншим способом. До ПФЕ типу <math>2^n</math> додають центральну точку з координатами (0, 0, ..., 0) і зіркові точки з координатами (0, 0, ..., ±α), які лежать на сфері діаметра 2α (рис. 1). Зіркові точки будують на осях факторного простору. Вибір відстані від нульової точки до зіркової, яка визначається плечем α, залежить від критерію оптимальності плану.

<center>[[Файл:ОЦКП.jpg]]</center>
<center>Рисунок 1 - Ортогональне центральне композиційне планування</center>

Розглянемо планування, оптимальне з точки зору незалежності оцінок bi,i Його називають ''ортогональним центральним композиційним плануванням (ОЦКП)'', тобто планом, в якому критерієм оптимальності є ортогональність стовпців матриці планування.
Композиційним таке планування, як й інші форми планування другого порядку, називається тому, що новий план дістають шляхом компонування первинного двофакторного плану з деякою кількістю додаткових точок. Оскільки в числі цих додаткових точок обов'язково фігурує центральна, в якій всі змінні хi мають середній рівень, а zi=0, плани називають центральними.
Ортогональність матриці композиційного планування забезпечується виконанням рівностей

<center>

<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{g,o}^{2}z_{y,i}^{2}=0,\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}z_{gj}^{2}=0,i\ne j}.}</math>

</center>

де і-номер фактора; j-номер рядка; g-номер досліду. Для ортогоналізації першого з цих співвідношень застосовується перехід до нової змінної
<center>
<math>\overset{-}{z}\,_{i}^{2}=z_{i}^{2}-\frac{\sum{z_{gi}^{2}}}{N}=z_{i}^{2}-\overset{-}{z}\,_{i}^{2}</math>
</center>
де N-загальне число експериментів.
Величина zi залежить тільки від числа факторів n і числа дослідів N, яке звичайно вибирається так, що

<center>

<math>\operatorname{N}={{N}_{n}}+{{N}_{a}}+{{N}_{0}}={{2}^{n}}+2n+1,</math>

</center>

де Nn = <math>2^n</math>-кількість вершин гіперкуба при ПФЕ; Nα = 2n-число зіркових точок; N0= 1- число дослідів у центрі плану. Якщо N вибрати так, то zi визначають за формулою

<center>

<math>\operatorname{z}_{i}^{2}=\frac{{{2}^{n}}+2{{\alpha }^{2}}}{N}.</math>

</center>

Тому ортогоналізація другої з вищенаведених умов досягається вибором бажаного α.
Для зручності підготовки і планування величини α, N, Nn, Nα обчислені і табульовані залежно від числа факторів (табл. 1).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця1 - Підготовка ОЦКП другого порядку.
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>1 </td>
<td>4 </td>
<td>2 </td>
<td>9 </td>
<td>1,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>1 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>1,215 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>25 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>43 </td>
<td>1,596 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>1 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>77 </td>
<td>1,706 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>1 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>143 </td>
<td>1,909 </td>
</tr>
</table>

Сформуємо матриці ОЦКП для двох факторів. При n = 2 отримаємо α = 1,0 (див. табл. 1), для обчислення скористаємося наведеними формулами. Оскільки <math>z1^2=(4+2)/9=0,667</math>, то стовпець добувається відніманням одного і того ж числа 0,67 від числа стовпця <math>zi^2</math> того ж рядка (табл. 2).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця2 - Матриця ОЦКП другого порядку для двофакторного експерименту
</caption>
<tr>
<th scope="col">Дослід </th>
<th scope="col">j </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{1c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{2c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Вершини квадрата </th>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Зіркові точки </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Центр </th>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
</table>

Реалізація експериментів за ОЦКП здійснюється за тією ж методикою, що і ПФЕ. Таким чином, через випадковий характер зміни вихідної величини у у кожній точці хg проводиться m паралельних дослідів і обчислюється середнє значення функції відклику

<center><math>{{\overset{-}{y}}_{g}}=\frac{\sum\limits_{d=1}^{m}{{{y}_{g}}d}}{m}</math></center>

Перед реалізацією проводиться рандомізація рядків матриці планування.
Перевірка відтворюваності, як і в ПФЕ, виконується за критерієм Кохрена, після чого обчислюється оцінка дисперсії відтворюваності

<center>

<math>S_{y}^{2}=S_{vidtv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{S_{g}^{2}}}{N}.</math>

</center>

Методика утворення математичної моделі незначно відрізняється від методики опису результатів ПФЕ.
Коефіцієнти регресії при ОЦКП обчислюються за формулою

<center><math>{{b}_{i}}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{y}_{g}}}}{\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

У цьому плануванні оцінки дисперсій коефіцієнтів bi (точність їхнього обчислення) не однакові, оскільки не однаковий знаменник у формулі дисперсії

<center><math>S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{m\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

В ПФЕ знаменник однаковий і дорівнює mN. Це істотний недолік ОЦКП, і ''тому часто надають перевагу складнішому за обчислювальними процедурами рототабельному плануванню''.

= Рототабельне планування =

У зв'язку з тим, що дисперсії коефіцієнтів рівняння регресії при ОЦКП нерівномірні, ортогональність матриці часто не є досить сильним критерієм оптимальності планування другого порядку. Його заміняють критерієм ротоптабельності, тобто однаковості дисперсій коефіцієнтів при повороті координатних осей на будь-який кут. Зазначимо, що при плануванні першого порядку ортогональність матриці просто збігається з її рототабельністю, тому ПФЕ доцільно називати рототабельним.
Щоб зробити план другого порядку рототабельним, вибирають для сфери, на якій розташовуються зіркові точки, радіус (зіркове плече) за формулою

<center><math>\alpha ={{2}^{n/2}}.</math></center>

Інша умова рототабельності — збільшення числа дослідів на поверхні нульової сфери, тобто в центрі плану. У зв'язку з цим виникає повна назва методу: ''центральне композиційне рототабельне планування'' (ЦКРП).
Таким чином ЦКРП багато в чому нагадує ортогональне планування, проте метод рототабельного планування експерименту дає змогу дістати точніший математичний опис поверхні відклику порівняно з ОЦКП, завдяки збільшенню числа дослідів у центрі плану і спеціальному вибору величини зіркового плеча α.
Як і для ОЦКП, основні характеристики матриць рототабельного планування табульовані (табл. 3). Позначення тут ті самі, що і для ОЦКП (див. табл. 2). При ЦКРП, починаючи з n = 5, можна застосувати ДФЕ(дробовий факторний експеримент).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 3 – Підготовка ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>5 </td>
<td>4 </td>
<td>4 </td>
<td>13 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>6 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>20 </td>
<td>1,680 </td>
</tr>
<tr>
<td>4 </td>
<td>7 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>31 </td>
<td>2,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>10 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>52 </td>
<td>2,378 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>91 </td>
<td>1,828 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>21 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>163 </td>
<td>1,333 </td>
</tr>
</table>

При рототабельному плануванні для обчислення коефіцієнтів моделі і відповідних оцінок дисперсій знаходять спеціальні комплекси:

<center><math>\begin{align}
& B=\frac{nN}{(n+2)(N-{{N}_{0}})}; \\
& A=\frac{1}{2B[(n+2)B-n]}; \\
& C=\frac{N}{N-{{N}_{0}}}, \\
\end{align}</math></center>

де n-число факторів; N-загальне число дослідів у плануванні; N0-число дослідів у центрі плану.
За результатами експериментів обчислюють такі суми:

<center><math>\begin{align}
& {{S}_{0}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}; \\
& {{S}_{i}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}{{z}_{gi}};i=1,2,...,n; \\
& {{S}_{ik}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gk}}{{y}_{g}}};i\ne k; \\
& {{S}_{ii}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}{{y}_{g}}};i=1,2,...,n. \\
\end{align}</math></center>

Коефіцієнти моделі тут розраховують за формулами

<center><math>\begin{align}
& {{b}_{0}}=\frac{2AB}{N}[{{S}_{0}}B(n+2)-C\sum{{{S}_{ii}}}]; \\
& {{b}_{i}}=\frac{C{{S}_{i}}}{N}; \\
& {{b}_{ik}}=\frac{{{C}^{2}}{{S}_{ik}}}{BN},i\ne k; \\
& {{b}_{ii}}=\frac{AC}{N}\{{{S}_{ii}}[B(n+2)-n]+C(1-B)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{S}_{ii}}-2B{{S}_{0}}}\}. \\
& \\
\end{align}</math></center>

Оцінки дисперсій для обчислених коефіцієнтів знаходять за такими формулами:

<center><math>\begin{align}
& S_{b0}^{2}=\frac{2AB(n+2)}{N}S_{y}^{2}; \\
& S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{N-{{N}_{0}}};i=1,2,...,n; \\
& S_{bik}^{2}=\frac{{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N},i\ne k; \\
& {{S}_{bii}}=\frac{A{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N}[B(n+1)-(n-1)]. \\
\end{align}</math></center>

У цих формулах дисперсія відтворюваності <math>S_{y}^{2}</math> визначається за результатами дослідів у нульовій точці

<center><math>\begin{align}
& S_{y}^{2}=\frac{1}{{{N}_{0}}-1}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{({{y}_{ge}}-\overset{-}{y}\,)}^{2}}}; \\
& \overset{-}{y}\,=\frac{1}{{{N}_{0}}}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{y}_{ge.}}} \\
\end{align}</math></center>

Дисперсія адекватності оцінюється за формулою

<center><math>S_{adekv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{({{y}_{ge}}-{{y}_{grozr}})}^{2}}-S_{y}^{2}({{N}_{0}}-1)}}{N-\frac{(n+2)(n+1)}{2}(N-1)},</math></center>

якшо число ступенів вільності

<center><math>{{f}_{adekv}}={{N}_{0}}-\frac{(n+2)(n+1)}{2}-({{N}_{0}}-1).</math></center>
==Приклад==

Скласти матрицю ЦКРП на прикладі побудови математичної моделі технологічного процесу крупоутворення (див.: Пищевая технология.— 1976.— № 4.— С. 121—124).

'''Розв'язання'''. Як функції відклику прийнято <math>y_1</math>, % — середня зольність крупи пшениці після перших трьох систем для дертя (швидкість обертання рифлених вальців усіх систем 6 м/с); <math>y_2</math>, % — сумарний вихід всіх крупок, які добуваються в процесі крупоутворення; <math>y_3</math>, кДж/(кг • %) — витрата енергії на одержання 1 % продукту з 1 кг зерна.
Незалежними змінними є, %: <math>x_1</math> — вихід крупи на першій системі для дертя; <math>x_2</math> — те ж на другій системі; <math>x_3</math> — те ж, для трьох систем для дертя. Інтервал варіювання для всіх <math>x_i</math>, вибрано з умови охоплення області їхньої реальної зміни. Рівні змінних становили, %:

<table width="90%" border="1">
<tr>
<th scope="col">Незалежні змінні </th>
<th scope="col">Нижній </th>
<th scope="col">Основний </th>
<th scope="col">Верхній </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_1</math> </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>15</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_2</math> </th>
<td><center>30</center> </td>
<td><center>40</center> </td>
<td><center>50</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_3</math> </th>
<td><center>65</center> </td>
<td><center>70</center> </td>
<td><center>75</center> </td>
</tr>
</table>

У зв'язку з тим, що режими крупоутворення вивчалися досить детально, стало можливим ставити експерименти в області факторного простору, для якої значення всіх у близькі до оптимальних, а для опису цієї області застосувати відразу планування другого порядку. Було реалізовано центральний композиційний рототабельний план, який включає ПФЕ <math>2^3</math>, шість зіркових та шість центральних точок. Послідовність проведення дослідів була рандомізована, кожен дослід проводився тричі. У табл. 4 наведено матрицю планування та середні значення функцій відклику для кожного її рядка.
За вищенаведеними формулами розраховані такі коефіцієнти в рівняннях регресії для всіх функцій відклику:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{1}}=0,65+0,0084{{z}_{1}}+0,0048{{z}_{2}}+0,0630{{z}_{3}}+0,0150{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,0050{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,0400{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,0038z_{1}^{2}+0,0076z_{2}^{2}+0,0314z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{2}}=43,5+1,37{{z}_{1}}+0,34{{z}_{2}}+0,89{{z}_{3}}-1,41{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,61{{z}_{1}}{{z}_{3}}+ \\
& +0,74{{z}_{2}}{{z}_{3}}-0,83z_{1}^{2}-1,71z_{2}^{2}-1,52z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{3}}=6,4-0,28{{z}_{1}}-0,11{{z}_{2}}+0,61{{z}_{3}}+0,03{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,03{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,05{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,33z_{1}^{2}+0,68z_{2}^{2}+0,69z_{3}^{2}. \\
\end{align}</math>
</center>

Оцінки дисперсій для коефіцієнтів у цих рівняннях наведено в табл. 5.
Коефіцієнти при <math>z^2</math> на порядок перевищують помилку в їхньому визначенні для всіх функцій відклику, отже, лінійними рівняннями описати їх не можна. Адекватність утворених нелінійних рівнянь було перевірено за F-критерієм.

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 4 – Реалізація матриці ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col"> </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>y_1c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_2c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_3c</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,75</center> </td>
<td><center>40,5</center> </td>
<td><center>8,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,68</center> </td>
<td><center>36,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>41,3</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,72</center> </td>
<td><center>41,0</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>37,0</center> </td>
<td><center>7,9</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>38,2</center> </td>
<td><center>9,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,62</center> </td>
<td><center>34,9</center> </td>
<td><center>8,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,67</center> </td>
<td><center>44,7</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>39,4</center> </td>
<td><center>7,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>11</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>

<tr>
<td><center>12</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>37,8</center> </td>
<td><center>8,5</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>13</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>14</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>39,3</center> </td>
<td><center>7,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>15</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>41,6</center> </td>
<td><center>6,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>16</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>6,6</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>17</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>18</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>42,9</center> </td>
<td><center>6,1</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>19</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>20</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,0</center> </td>
<td><center>6,5</center> </td>
</tr>
</table>

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 5 – Оцінка дисперсій коефіцієнтів рівняння регресії за ЦКРП
</caption>
<tr>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{y}}_{i}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b1}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b2}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b3}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><math>y_1</math> </td>
<td>0,0053 </td>
<td>0,0035 </td>
<td>0,0034 </td>
<td>0,0046 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_2</math> </td>
<td>0,48 </td>
<td>0,31 </td>
<td>0,30 </td>
<td>0,41 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_3</math> </td>
<td>0,13 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,11 </td>
</tr>

</table>

= Перелік використаних джерел =

#http://tstu.edu.ua/(березень2010)
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експериментів в АПК http://tstu.edu.ua/(березень2010)

[http://custom-essay-writing-service.org/index.php custom writing]

[http://custom-essay-writing-service.org/index.php custom essay writing]

Повний факторний експеримент

2011-09-09T08:43:09Z

Ularedmond:

{{Завдання|Гуменюу І.|Назаревич О. Б.| 20 березня 2011}}

{{Студент |img=Нема | Name=Гуменюк| Surname= Ірина| FatherNAme= |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СН-10-078}}
Повний факторний експеримент (ПФЕ) – експеримент, що реалізує всі можливі неповторювані комбінації незалежних змінних, кожна з яких примусово (активно) варіює на двох рівнях. Число цих комбінацій при n факторах <math>N = 2^n</math> і визначає тип планування.
==Основні відомості ==

ПФЕ дає можливість знайти роздільні оцінки коефіцієнтів bі. Оскільки використовується поліном першого порядку, то план такого експерименту називають планом першого порядку.
*Знаходження моделі методом ПФЕ складається з:
*планування експерименту;
*власне експерименту;
*перевірки відтворюваності (однорідності вибіркових дисперсій);
*утворення математичної моделі об’єкта з перевіркою статистичної значущості вибіркових коефіцієнтів регресії;
*перевірки адекватності математичного опису.

==Двофакторний експеримент==

Для двофакторної задачі область факторного простору, що підлягає вивченню, має вигляд прямокутника (рисунок 2) з координатами кутових точок: 1 – (х1, х2); 2 – (х1, х2); 3 – (х1, х2); 4 – (х1, х2).
[[Файл:dvovmart.jpg|center|300px]]
Перехід до безрозмірної (нормалізованої) форми змінних відповідає переходу до нової системи координат з початком у центрі досліджуваної області. Підставивши у формулу перетворення координати точок 1, 2, 3 і 4 дістанемо координати цих точок у новій системі: 1 (+1, – 1); 2 (–1, – 1); 3 (+1, +1); 4 (–1, +1)
[[Файл:dvovmart2.jpg|center|300px]]
Ці координати іноді позначають малими латин¬ськими літерами. Для кодування двофакторного плану вико¬ристовують тільки а і b, а також символ (1). Перша точка позначається літерою а. Це свідчить про те, що на верхньому рівні знаходиться тільки перший фактор. Відповідно b означає, що на рівні +1 є другий фактор. Добуток ab від¬повідає точці 3. Символ (1) використовується для позначення точки з двома факторами на нижньому рівні.

=== Матриця планування двофакторного експерименту ===

Показані точки по порядку матимуть позначення: а, (1), ab, b. Координати точок записують у вигляді матриці планування експерименту. Матрицю планування разом з результатами експериментів (вектор-стовпцем функції відклику) зображено в таблиці.
[[Файл:dvovmart3.jpg|center|300px]]

==Трифакторний експеримент==

Матрицю <math>2^2</math> легко перетворити в матрицю <math>2^3</math> іншим способом (повторивши двічі): один раз при новому факторі х3, взятому на нижньому рівні, а другий — при х3 = +1. Утворена матриця може бути зображена рядком (1), а, b, ab, с, ас, bc, abc
[[Файл:dvovmart4.jpg|center|300px]]
Число рядків матриці планування, тобто число дослідів, зростає за показниковою функцією <math>2^n</math>. Далі покажемо, що не всі досліди потребують реалізації, якщо виконуються певні передумови.

===Матриця планування трифакторного експерименту===

Побудуємо матрицю планування для трифакторної за¬дачі. При цьому слід пам'ятати, що ПФЕ — це весь можли¬вий перебір неповторювальних комбінацій рівнів. Матрицю зручно починати з рядка, де всі керовані змінні перебувають на нижньому рівні, тобто z1 = —1, z2 = —1, z3 = —1.
Наступні рядки (багатовимірні точки) вибирають за прави¬лом: при відрядковому переборі всіх варіантів частота зміни знака керованих змінних для кожної наступної змінної удві¬чі менша, ніж для попередньої. Оскільки всі змінні можуть набувати тільки значень +1 та —1, це дає змогу з метою спрощення записувати в матрицю (таблиця) тільки знаки «+» і «-». Фіктивна змінна z0 по всіх рядках має знак «+». Кількість рядків <math>2^n = 2^3 = 8</math>.
[[Файл:dvovmart5.jpg|center|400px]]

==Перелік літературних джерел==
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. /Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник.-К.Вища шк., 1993.-375 с.
#Е.Т. Володарский, Б.Н. Малиновский, Ю.М. Туз-К./Планирование и организация измерительного експреимента:Вища шк.Головное изд-во, 1987.-280 с.
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.

[[Категорія:Планування експерименту]]

[http://custom-essay-writing-service.org/index.php article writing service]

Попередня обробка експериментальних даних

2011-09-09T08:43:07Z

Ularedmond:

{{Завдання|Росинець Наталія Андріївна|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}

===Попередня обробка експериментальних даних. Критерії відсіювання завідомо помилкових даних===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/382 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Зміст та завдання попередньої обробки експериментальних даних ==
Результати вимірювань – це випадкові величини, тобто в ході експерименту інформація спотворена перешкодами, і за одних і тих же умов можна отримати різні дані.
<br>
Зміст попередньої обробки даних полягає у відсіюванні грубих похибок і оцінці достовірності результатів вимірювань. Попередня обробка результатів вимірювань необхідна для того, щоб надалі, при побудові функцій відгуку, з найбільшою ефективністю використовувати статистичні методи і коректно аналізувати отримані результати.
<br>
Завданням попередньої обробки даних є перевірка відповідності результатів вимірювання нормальному закону і визначення параметрів цього розподілу. Якщо відгук суперечить нормальному розподілу, то слід визначити, якому закону розподілу підлягають дослідні дані або, якщо це можливо, перетворити досліджуваний розподіл до нормального вигляду.

== Методи обробки експериментальних даних ==

=== Метод найменших квадратів ===
Для обробки експериментальних даних найчастіше на практиці використовують метод найменших квадратів - один з методів теорії помилок, що використовується для оцінки невідомих величин за наслідками вимірювань, що містить випадкові помилки (спричиняються різного роду випадковими причинами, які діють при кожному з окремих вимірювань непередбаченим чином).
<br>
Метод найменших квадратів запропонував К. Гаус (1794—95) і А. Лежандром (1805—06). Строге математичне обґрунтовування методу було дано А. А. Марковим (старшим) і А. Н. Колмогоровим. Нині цей метод є одним з найважливіших розділів математичної статистики і широко використовується для статистичних висновків в різних областях науки і техніки.
<br>
Суть методу найменших квадратів (по Гаусу) полягає в припущені, що «збиток» від заміни точного (невідомого) значення фізичної величини m її наближеним значенням X, обчисленим за наслідками спостережень, пропорційний квадрату помилки:<math>{{(X-m)}^{2}}</math>.
<br>
Оптимальною оцінкою визнають величину X , позбавлену систематичної помилки, для якої середнє значення «збитку» мінімальне.
Задачу пошуку оптимальної оцінки звужують і як Х вибирають лінійну функцію від результатів спостережень, позбавлену систематичної помилки, і таку, для якої середнє значення «збитку» мінімальне в класі всіх лінійних функцій. Якщо випадкові помилки спостережень мають нормальний розподіл і оцінювана величина m залежить від середніх значень результатів спостережень лінійно, то рішення цієї задачі одночасно буде і рішенням загальної задачі. Оцінка X, обчислена згідно методу найменших квадратів — найвірогідніше значення невідомого параметра m.
<br>
Метод найменших квадратів дає найбільш бажаний результат тоді, коли випадкова помилка має порівняно невелику величину. В іншому разі необхідним є проведення попередньої обробки експериментальних даних, яка полягає в наступному: вихідні записи випадкових величин згладжуються певним способом, що дає змогу виявити основну тенденцію у їхній зміні.

=== Метод виключення перешкод ===
Метод виключення перешкод полягає у проведенні на око середньої лінії, яка враховує тільки основні коливання змінної. Інформація, що надалі буде зніматись із цієї середньої лінії, при математичній обробці даних буде використовуватись як вихідна.
<br>
Значення випадкової величини, що не збігаються із середньою лінією, прямо не впливатимуть на подальші висновки.

=== Метод оновлюваної середньої ===
Метод оновлюваної середньої полягає у використанні рекурентної формули для обчислення середнього арифметичного . Якщо випадкова величина х надходить у вигляді дискретних вимірів і для (N - 1) - го виміру обчислено середнє значення , то поява нового виміру змінює попереднє середнє значення на величину
<center><math>\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
<br>
При згладжуванні цим методом у кожній точці на часовій осі виміряне значення замінюється на середнє, розраховане на даний момент часу.
<br>
Послідовність обчислених за рекурентною формулою середніх значень є позбавленим від перешкод рядом вимірів змінної х, який використовується при подальшій обробці.
<br>
<center>'''Приклад'''</center>
----
<br>
Розглянемо згладжування методом оновлюваної середньої наступного ряду вимірювань величини х:
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
Перше значення збігається з х1. Друге значення обчислюється за рекурентною формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}={{x}_{N-1}}+\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
Отже:<math>{{\bar{x}}_{2}}=3.4+\frac{1}{2}(3.1-3.4)=3.25</math>;<math>{{\bar{x}}_{3}}=3.25+\frac{1}{3}(5.4-3.25)=3.96</math>;
<math>{{\bar{x}}_{4}}=3.65</math>;<math>{{\bar{x}}_{5}}=3.50</math>;<math>{{\bar{x}}_{6}}=3.46</math>;<math>{{\bar{x}}_{7}}=3.35</math>;<math>{{\bar{x}}_{8}}=3.47</math>;<math>{{\bar{x}}_{9}}=3.44</math>;<math>{{\bar{x}}_{10}}=3.30</math>.
<br>
Результати згладжування експериментальних даних зображено на рисунку:
<br>
[[Файл:n-1.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування експериментальних даних]]
<br>

=== Метод ковзної середньої ===
Метод ковзної середньої полягає в послідовному усередненні на деякому інтервалі <math>{{\tau }_{y}}</math> значень вимірюваної величини х. Рухаючи <math>{{\tau }_{y}}</math> уздовж осі часу для всіх точок <math>{{\tau }_{i}}</math>, що попали в нього, відповідні значення <math>{{x}_{i}}</math> замінимо середніми значеннями; віднесемо ці значення до середини відповідного інтервалу.
Операція згладжування виконується за формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
де і – номер інтервалу; (l+1) – число вимірювань у і-тому інтервалі; <math>(i+\frac{l}{2})</math> - номер замінюваного вимірювання.
<br>
Якщо попередня оцінка виконана невдало і після згладжування залишаються перешкоди, утворені дані знову можна піддати усередненню і робити це багаторазово, до бажаного результату.
<br>
<center>'''Приклад'''</center>
----
<br>
Для ряду вимірювань
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
обчислимо згладжені значення на інтервалі l+1=3,використовуючи формулу:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
Отже, <math>{{\bar{x}}_{1+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{2}}=\frac{1}{3}(3.4+3.1+5.4)=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{2+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{3}}=\frac{1}{3}(3.1+5.4+2.7)=3.73</math>; <math>{{\bar{x}}_{4}}=3.66</math>; <math>{{\bar{x}}_{5}}=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{6}}=2.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{7}}=3.43</math>; <math>{{\bar{x}}_{8}}=3.40</math>; <math>{{\bar{x}}_{9}}=3.16</math>
<br>
На рисунку наведено результат згладжування:
<br>
[[Файл:n-2.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
<br>
Іноді при згладжуванні заокруглюють наближення, використовуючи середні значення для не перекриваючих один одного інтервалів. Для цього обчислюють середнє значення за трьома першими точками, приписують результат середині інтервалу, а для наступного обчислення середньої використовують 4-ту, 5-ту і 6-ту точки і т. д.
<br>
[[Файл:n-3.JPEG|640x170px|border|center|Заокруглення наближення при зглажуванні]]
<br>
В обох випадках частина початкової і кінцевої інформації втрачається.

=== Метод експоненційного згладжування ===
Цей метод має найширші можливості. Тут використовують наступні формули:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}=\alpha \cdot {{x}_{N}}+(1-\alpha ){{\bar{x}}_{N-1}}</math>або<math>{{\bar{x}}_{N}}={{\bar{x}}_{N-1}}+\alpha \cdot ({{x}_{N}}-{{\bar{x}}_{N-1}})</math></center>
<br>
де <math>\alpha </math> - параметр згладжування, який вибирається в діапазоні 0..1. Тут обчислювана середня заміняє відповідне значення вимірюваної змінної.
<br>
Від величини <math>\alpha </math> залежать згладжуючи властивості методу. При різних <math>\alpha </math> можна добувати з вихідної інформації високочастотні або низькочастотні складові. Таким чином, з’являється можливість боротися з низько – і високочастотними шумами, тобто зі швидко – і повільно змінними у часі перешкодами.
<br>
При малих , близьких до 0 <math>\alpha </math>, сукупність обчислених середніх відобразить низькочастотні зміни вимірюваної змінної, позбавивши їх швидкозмінних перешкод. У цьому випадку говорять про ''інерційне згладжування'', при якому обчислювана середня мало залежить від останнього вимірювання і значною мірою від середньої, утвореної на попередньому кроці.
<br>
Якщо обрана величина <math>\alpha </math> - близька до 1 (наприклад, становить 0,6), то згладжування буде мало інерційним, значення ближчими до вимірюваних значень х, тобто високі частоти зберігатимуться:
<br>
[[Файл:n-4.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
<br>

== Критерії відсіювання завідомо помилкових даних ==

Дані, які відповідають умовам, що змінилися, називають грубими помилками або значеннями, що різко виділяються (аномальними).
У разі відсіву грубих помилок формулюється нульова гіпотеза:
<math>{{H}_{0}}</math>: "Серед результатів спостережень (вибіркових, дослідних даних) немає значень, що різко виділяються (аномальних)".
<br>
Альтернативною гіпотезою може бути:
або <math>H_{1}^{(1)}</math>: "Серед результатів спостережень є тільки одна груба помилка"
або <math>H_{1}^{(2)}</math>: "Серед результатів спостережень є дві або більш грубих помилок".
Найпоширенішими і теоретично обґрунтованими в цьому випадку є
*критерій Н.В. Смірнова (використовується при <math>H_{1}^{(1)}</math>)
*критерій Діксона (застосовується як при <math>H_{1}^{(1)}</math> так і при <math>H_{1}^{(2)}</math>)
<br>

=== Критерій Н. В. Смірнова ===

Якщо відомо, що є тільки одне аномальне значення (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>), то воно буде крайнім членом варіаційного ряду. Тому перевіряти вибірку на наявність однієї грубої помилки природно за допомогою статистики (якщо сумнів викликає перший член варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}=\min {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{1}}=\frac{\bar{x}-{{x}_{1}}}{{{s}_{x}}}</math></center>
<br>
або якщо сумніви викликає максимальний член варіаційного ряду <math>{{x}_{n}}=\max {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{n}}=\frac{{{x}_{n}}-\bar{x}}{{{s}_{x}}}</math></center>
<br>
Цей критерій вперше був запропонований Н.В. Смірновим. Він досліджував розподіл цих статистик і склав таблиці процентних точок
<math>{{u}_{\alpha ,n}}</math>. При вибраному рівні значущості критична область для критерію Н.В. Смірнова будується таким чином:
<center><math>{{u}_{1}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math> або <math>{{u}_{n}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math></center>
де <math>{{u}_{\alpha ,n}}</math> – це табличні значення
<br>
У випадку якщо виконується остання умова (статистика потрапляє в критичну область), то нульова гіпотеза відхиляється, тобто викид х1 або хn не випадковий і не характерний для даної сукупності даних, а визначається умовами, що змінилися або грубими помилками при проведенні дослідів.
<br>
В цьому випадку значення або виключають з розгляду, а знайдені раніше оцінки піддаються коректуванню з урахуванням відкинутого результату.

=== Критерій Діксона ===

В критерії Діксона застосовується статистика:
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найбільше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-i}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{j+1}}}</math></center>
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найменше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{1+i}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{n-j}}-{{x}_{1}}}</math></center>
<br>
Де <math>{{x}_{n}},{{x}_{n-i}},{{x}_{j+1}}</math> – члени варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le {{x}_{3}}...\le {{x}_{i}}...\le {{x}_{n}}</math>
<br>
Діксоном були отримані розподіли для статистик <math>{{r}_{10}},{{r}_{11}},{{r}_{12}},{{r}_{20}},{{r}_{21}},{{r}_{22}}</math> при об’ємі вибірки 3 <=n<=30.
<br>
Наприклад, статистика
<center><math>{{r}_{10}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{1}}}</math></center>
<br>
використовується для перевірки максимального або мінімального члена варіаційного ряду (одна груба помилка, альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>) при 3 <= n <= 7.
Якщо при тому ж об'ємі вибірки передбачається наявність двох і більше значень, що різко виділяються (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(2)}</math>), то використовується статистика <math>{{r}_{20}}</math>.
<br>
Статистики критерію Діксона, що використовуються при інших об'ємах вибірки, приведені в таблиці:
<br>
[[Файл:n-5.JPEG|640x170px|border|center|Статистики критерію Діксона]]
<br>

=Перелік використаних джерел=

# Большая Советская Энциклопедия // режим доступу: http://bse.sci-lib.com/article086042.html (станом на 13.02.10)
# Н. А. Спирин, В. В. Лавров. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента. – Екатеринбург: 2004, - 257 с.
# В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.

[http://custom-essay.ws/index.php essay papers]

[http://custom-essay.ws/index.php essay writing]