https://wiki.tntu.edu.ua/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Svetik+B7Wiki ТНТУ - Внесок користувача [uk]2026-04-21T02:55:26ZВнесок користувачаMediaWiki 1.30.0https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83%D0%B2%D0%B0%D1%87:Svetik_B7&diff=13138Користувач:Svetik B72012-02-28T12:04:49Z<p>Svetik B7: Створена сторінка: Барабаш Світлана Богданівна, студентка групи СНм-51 (2011/2012рр.)</p>
<hr />
<div>Барабаш Світлана Богданівна, студентка групи СНм-51 (2011/2012рр.)</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=2011-2012%D1%80%D1%80_-_%D0%86%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%B2%D1%96%D0%B4%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D1%83_%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%85_%D0%B7_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%83_%22%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83_Design_Of_Experiment_(DOE)%22&diff=131372011-2012рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"2012-02-28T12:03:31Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div># (30.12.2011р.) [[Користувач:andry_ad|ст.гр.СНм-51 Дереш А. З.]]: Оптимізація. [[Математичне програмування]].<br />
# (14.01.2012р.) [[Користувач:lenalunak|ст.гр.СНм-51 Лунак О.М.]]:[[Огляд видів експертних систем та їх класифікація]].<br />
# (14.01.2012h.) [[Користувач:Bilinska lida|ст.гр.СНм-51 Білінська Л.В.]]:[[Історичний огляд методів дослідження електрофізіологічних сигналів в офтальмології]].<br />
# (30.12.2011р.) [[Користувач: Тетяна|ст.гр.СНм-51 Паньків.Т.В.]]:[[Огляд моделей обробки енергетичних сигналів]].<br />
# (24.01.2011р.) [[Користувач: bodyk_bs|ст.гр.СНм-51 Сікач Б.Я.]]:[[Методи виявлення розладки випадкових процесів]].<br />
# (17.02.2012р.) [[Користувач: core_st|ст.гр.СНм-51 Стойко В.І.]]:[[Розпізнавання образів: від теорії до практики]].<br />
# (21.02.2012р.) [[Користувач: Natalochka|ст.гр.СНм-51 Чура Н.Я.]]:[[Методи прогнозування водоспоживання]].<br />
# (21.02.2012р.) [[Користувач: Svetik_B7|ст.гр.СНм-51 Барабаш С.Б.]]:[[Симплекс-метод оптимізації]].<br />
# (16.02.2012р.) [[Користувач: Morituri|ст.гр.СН-51 Федчук М.І.]]:[[Коефіцієнт конкордації]].<br />
# (18.02.2012р.) [[Користувач: Sanjok|ст.гр.СН-51 Грушицький О.О.]]:[[Критерій Вальда]].<br />
# (22.02.2012р.) [[Користувач: Марія|ст.гр.СНм-51 Прошина М.Ю.]]:[[Розпізнавання образів]].<br />
# (24.02.2012р.) [[Користувач:GalkaPr|ст.гр.СНм-51 Пригодська Г.М.]]:[[Критерії згоди]].<br />
# (25.02.2012р.) [[Користувач: ulllasya|ст.гр.СНм-51 Храплива У.В.]]:[[Метод Девідона – Флетчера – Пауела]].</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=13136Симплекс-метод оптимізації2012-02-28T11:59:04Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|Барабаш С. Б.|Назаревич О. Б.|18 березня 2012}}<br />
{{Студент | Name=Світлана | Surname=Барабаш | FatherNAme=Богданівна |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-226}}<br />
{{Презентація доповіді |title= http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/1584 Симплекс-метод оптимізації}}<br />
[http://uk.wikipedia.org/wiki/Симплекс-метод Симплекс-метод] - це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод - найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
*Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
*Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
*Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
*Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
*Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
*Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
**для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
**для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
**для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
*Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==<br />
<br />
Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена крапка, якою відповідає екстремум цільової функції ''Е''.<br />
==Список літературних джерел==<br />
*Смородинский С.С., Батин Н.В. Методи і алгоритми для вирішення оптимізаційних завдань лінійного програмування. Ч.2. - Мн.: БГУИР, 1996.<br />
*Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. -- 7-е изд. -- М.: "Вильямс", 2007.<br />
<br />
==Посилання==<br />
<p>[http://uk.wikipedia.org/wiki/Симплекс-метод Симплекс-метод]</p><br />
<br />
<br />
[[Категорія:Планування експерименту]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=13135Симплекс-метод оптимізації2012-02-28T11:57:26Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|Барабаш С. Б.|Назаревич О. Б.|18 березня 2012}}<br />
{{Студент | Name=Світлана | Surname=Барабаш | FatherNAme=Богданівна |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-226}}<br />
{{Презентація доповіді |title= http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/1584 Симплекс-метод оптимізації}}<br />
[http://uk.wikipedia.org/wiki Симплекс-метод] - це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод - найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
*Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
*Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
*Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
*Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
*Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
*Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
**для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
**для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
**для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
*Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==<br />
<br />
Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена крапка, якою відповідає екстремум цільової функції ''Е''.<br />
==Список літературних джерел==<br />
*Смородинский С.С., Батин Н.В. Методи і алгоритми для вирішення оптимізаційних завдань лінійного програмування. Ч.2. - Мн.: БГУИР, 1996.<br />
*Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. -- 7-е изд. -- М.: "Вильямс", 2007.<br />
<br />
==Посилання==<br />
<p>[http://uk.wikipedia.org/wiki Симплекс-метод]</p><br />
<br />
<br />
[[Категорія:Планування експерименту]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=13134Симплекс-метод оптимізації2012-02-28T11:56:47Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|Барабаш С. Б.|Назаревич О. Б.|18 березня 2012}}<br />
{{Студент | Name=Світлана | Surname=Барабаш | FatherNAme=Богданівна |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-226}}<br />
{{Презентація доповіді |title= http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/1584 Симплекс-метод оптимізації}}<br />
[http://uk.wikipedia.org/wiki Симплекс-метод] ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
*Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
*Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
*Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
*Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
*Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
*Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
**для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
**для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
**для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
*Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==<br />
<br />
Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена крапка, якою відповідає екстремум цільової функції ''Е''.<br />
==Список літературних джерел==<br />
*Смородинский С.С., Батин Н.В. Методи і алгоритми для вирішення оптимізаційних завдань лінійного програмування. Ч.2. - Мн.: БГУИР, 1996.<br />
*Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. -- 7-е изд. -- М.: "Вильямс", 2007.<br />
<br />
==Посилання==<br />
<p>[http://uk.wikipedia.org/wiki Симплекс-метод]</p><br />
<br />
<br />
[[Категорія:Планування експерименту]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=13133Симплекс-метод оптимізації2012-02-28T11:53:51Z<p>Svetik B7: /* Список літературних джерел */</p>
<hr />
<div>{{Завдання|Барабаш С. Б.|Назаревич О. Б.|18 березня 2012}}<br />
{{Студент | Name=Світлана | Surname=Барабаш | FatherNAme=Богданівна |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-226}}<br />
{{Презентація доповіді |title= http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/1584 Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
*Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
*Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
*Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
*Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
*Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
*Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
**для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
**для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
**для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
*Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==<br />
<br />
Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена крапка, якою відповідає екстремум цільової функції ''Е''.<br />
==Список літературних джерел==<br />
*Смородинский С.С., Батин Н.В. Методи і алгоритми для вирішення оптимізаційних завдань лінійного програмування. Ч.2. - Мн.: БГУИР, 1996.<br />
*Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. -- 7-е изд. -- М.: "Вильямс", 2007.<br />
<br />
==Посилання==<br />
<p>[http://uk.wikipedia.org/wiki/Симплекс-метод]</p><br />
<p>[http://znaimo.com.ua/Симплекс-метод]</p><br />
<br />
[[Категорія:Планування експерименту]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=13132Симплекс-метод оптимізації2012-02-28T11:50:27Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|Барабаш С. Б.|Назаревич О. Б.|18 березня 2012}}<br />
{{Студент | Name=Світлана | Surname=Барабаш | FatherNAme=Богданівна |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-226}}<br />
{{Презентація доповіді |title= http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/1584 Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
*Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
*Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
*Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
*Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
*Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
*Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
**для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
**для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
**для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
*Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==<br />
<br />
Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена крапка, якою відповідає екстремум цільової функції ''Е''.<br />
==Список літературних джерел==<br />
*Смородинский С.С., Батин Н.В. Методи і алгоритми для вирішення оптимізаційних завдань лінійного програмування. Ч.2. - Мн.: БГУИР, 1996.<br />
*Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. -- 7-е изд. -- М.: "Вильямс", 2007.<br />
*http://uk.wikipedia.org/wiki/Симплекс-метод<br />
*http://znaimo.com.ua/Симплекс-метод<br />
<br />
<br />
[[Категорія:Планування експерименту]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=13131Симплекс-метод оптимізації2012-02-28T11:50:04Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|Барабаш С. Б.|Назаревич О. Б.|18 березня 2012}}<br />
{{Студент | Name=Світлана | Surname=Барабаш | FatherNAme=Богданівна |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-226}}<br />
{{Презентація доповіді |title= http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/1584 Симплекс-метод оптимізації]}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
*Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
*Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
*Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
*Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
*Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
*Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
**для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
**для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
**для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
*Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==<br />
<br />
Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена крапка, якою відповідає екстремум цільової функції ''Е''.<br />
==Список літературних джерел==<br />
*Смородинский С.С., Батин Н.В. Методи і алгоритми для вирішення оптимізаційних завдань лінійного програмування. Ч.2. - Мн.: БГУИР, 1996.<br />
*Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. -- 7-е изд. -- М.: "Вильямс", 2007.<br />
*http://uk.wikipedia.org/wiki/Симплекс-метод<br />
*http://znaimo.com.ua/Симплекс-метод<br />
<br />
<br />
[[Категорія:Планування експерименту]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=13130Симплекс-метод оптимізації2012-02-28T11:35:08Z<p>Svetik B7: /* Список літературних джерел */</p>
<hr />
<div>{{Завдання|Барабаш С. Б.|Назаревич О. Б.|18 березня 2012}}<br />
{{Студент | Name=Світлана | Surname=Барабаш | FatherNAme=Богданівна |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-226}}<br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації]}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
*Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
*Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
*Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
*Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
*Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
*Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
**для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
**для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
**для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
*Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==<br />
<br />
Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена крапка, якою відповідає екстремум цільової функції ''Е''.<br />
==Список літературних джерел==<br />
*Смородинский С.С., Батин Н.В. Методи і алгоритми для вирішення оптимізаційних завдань лінійного програмування. Ч.2. - Мн.: БГУИР, 1996.<br />
*Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. -- 7-е изд. -- М.: "Вильямс", 2007.<br />
*http://uk.wikipedia.org/wiki/Симплекс-метод<br />
*http://znaimo.com.ua/Симплекс-метод<br />
<br />
<br />
[[Категорія:Планування експерименту]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=13129Симплекс-метод оптимізації2012-02-28T11:33:38Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|Барабаш С. Б.|Назаревич О. Б.|18 березня 2012}}<br />
{{Студент | Name=Світлана | Surname=Барабаш | FatherNAme=Богданівна |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-226}}<br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації]}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
*Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
*Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
*Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
*Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
*Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
*Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
**для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
**для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
**для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
*Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==<br />
<br />
Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена крапка, якою відповідає екстремум цільової функції ''Е''.<br />
==Список літературних джерел==<br />
*Смородинский С.С., Батин Н.В. Методи і алгоритми для вирішення оптимізаційних завдань лінійного програмування. Ч.2. - Мн.: БГУИР, 1996.<br />
*Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. -- 7-е изд. -- М.: "Вильямс", 2007.<br />
*http://uk.wikipedia.org/wiki/Симплекс-метод<br />
*http://znaimo.com.ua/Симплекс-метод<br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
[[Категорія:Планування експерименту]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12743Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T09:29:05Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
*Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
*Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
*Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
*Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
*Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
*Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
**для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
**для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
**для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
*Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==<br />
<br />
Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена крапка, якою відповідає екстремум цільової функції ''Е''.<br />
==Список літературних джерел==<br />
*Смородинский С.С., Батин Н.В. Методи і алгоритми для вирішення оптимізаційних завдань лінійного програмування. Ч.2. - Мн.: БГУИР, 1996.<br />
*Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. -- 7-е изд. -- М.: "Вильямс", 2007.<br />
*http://uk.wikipedia.org/wiki/Симплекс-метод<br />
*http://znaimo.com.ua/Симплекс-метод<br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12742Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T09:25:44Z<p>Svetik B7: /* Основна ідея симплек методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==<br />
<br />
Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена крапка, якою відповідає екстремум цільової функції ''Е''.<br />
==Список літературних джерел==<br />
*Смородинский С.С., Батин Н.В. Методи і алгоритми для вирішення оптимізаційних завдань лінійного програмування. Ч.2. - Мн.: БГУИР, 1996.<br />
*Хемди А. Таха Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. -- 7-е изд. -- М.: "Вильямс", 2007.<br />
*http://uk.wikipedia.org/wiki/Симплекс-метод<br />
*http://znaimo.com.ua/Симплекс-метод<br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12741Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T09:20:48Z<p>Svetik B7: /* Основна ідея симплек методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==<br />
<br />
Основна ідея симплекс-метода полягає в тому, що екстремум цільової функції завжди досягається в кутових точках області допустимих рішень. Симплекс-метод, званий також методом послідовного поліпшення плану, реалізує перебір кутових точок області допустимих рішень у напрямі поліпшення значення цільової функції. Основна ідея цього методу наступна. Перш за все, знаходиться яке-небудь допустиме початкове (опорне) рішення, тобто яка-небудь кутова точка області допустимих рішень. Процедура методу дозволяє відповісти на питання, чи є це рішення оптимальним. Якщо "так", то завдання вирішене. Якщо "ні", то виконується перехід до суміжної кутової точки області допустимих рішень, де значення цільової функції поліпшується, тобто до негіршого допустимого рішення. Якщо деяка кутова крапка має декілька суміжних, то обчислювальна процедура методу забезпечує перехід до тієї з них, для якої поліпшення цільової функції буде найбільшим. Процес перебору кутових точок області допустимих рішень повторюється, поки не буде знайдена крапка, якою відповідає екстремум цільової функції ''Е''.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12740Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T09:18:09Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
== Основна ідея симплек методу ==</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12739Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T09:14:49Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center><br />
<br><br />
<center><math>X(\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center><br />
Ймовірності з якими другий гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{y}_{2}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{y}_{3}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};</math></center><br />
<br><br />
<center><math>Y(0;\frac{1}{4};\frac{3}{4};0)</math></center></div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12736Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T09:10:19Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center><br />
Ймовірності з якими перший гравець може застосовувати свої стратегії рівні:<br />
<center><math>P({{x}_{1}})=V\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{2}})=V\cdot 1=\frac{3}{4}\cdot 1=\frac{3}{4};\,\,\,\,\,P({{x}_{3}})=V\cdot 0=\frac{3}{4}\cdot 0=0;</math></center></div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12735Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T09:04:50Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}<br />
Відповідно, після побудови ще однієї симплек-таблиці нарешті отримано всі додатні коефіцієнти в рядку ''F'', а це означає, що дана таблиця є найоптимальнішим варіонтом для знаходження ціни гри та ймовірностей з якими гравці застосовуватимуть свої стратегії.<br />
Ціна гри визначається наступним чином:<br />
<center><math>V=\frac{1}{{{F}_{}}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}</math></center></div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12734Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T09:00:46Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12733Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T09:00:05Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> <br />
|-<br />
| F || 4/3 || 4/3 || 0 || 0 || 7/3 || 1/3 || 1 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{3}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 3 || 0 || 1 || 0<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || -8/3 || -23/3 || 0 || 0 || -17/3 || 2/3 || -3 || 1 <br />
|}</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12732Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T08:57:13Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}<br />
Оскільки три коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно знову ж таки проводити симплекс-ітерацію, а отже будувати та заповнювати ще одну симплекс таблицю.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12731Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T08:55:24Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 1/3 || -2/3 || 0 || -1 || -2/3 || 1/3 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{2}}</math> || 1/3 || 1/3 || 1 || 0 || 1/3 || 1/3 || 0 || 0 || &infin; <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{6}}}\,</math> || 1 || 2 || 0 || '''<math>\left( 1 \right)</math>''' || 3 || 0 || 1 || 0 || 1<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1/3 || 1/3 || 0 || 3 || 10/3 || -2/3 || 0 || 1 || 1<br />
|}</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12730Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T08:50:30Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується та заповнюється початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}<br />
Оскільки чотири коефіцієнти в рядку ''F'' є від'ємними, то потрібно дальше продовжити симплекс-ітерацію, отже будується та заповнюється наступна симплекс таблиця.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12729Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T08:47:31Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12728Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T08:47:02Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br><br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12727Симплекс-метод оптимізації2012-02-23T08:46:35Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>{{x}_{2}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{s}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n}}</math> !! <math>{{x}_{n+1}}</math> !! ... !! <math>{{x}_{n+m}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || <math>{{-c}_{1}}</math> || <math>{{-c}_{2}}</math> || ... || <math>{{-c}_{s}}</math> || ... || <math>{{-c}_{n}}</math> || 0 || ... || 0 || <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+1}}</math> || <math>{{b}_{1}}</math> || <math>{{a}_{11}}</math> || <math>{{a}_{12}}</math> || ... || <math>{{a}_{s}}</math> || ... || <math>{{a}_{1n}}</math> || 1 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{1}}}{{{a}_{1s}}}</math><br />
|-<br />
|| ...<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+r}}</math> || <math>{{b}_{r}}</math> || <math>{{a}_{r1}}</math> || <math>{{a}_{r2}}</math> || ... || <math>{{a}_{rs}}</math> || ... || <math>{{a}_{rn}}</math> || 0 || ... || 0 || <math>\frac{{{b}_{r}}}{{{a}_{rs}}}</math><br />
|-<br />
| <math>{{x}_{n+m}}</math> || <math>{{b}_{m}}</math> || <math>{{a}_{m1}}</math> || <math>{{a}_{m2}}</math> || ... || <math>{{a}_{ms}}</math> || ... || <math>{{a}_{mn}}</math> || 0 || ... || 1 || <math>\frac{{{b}_{m}}}{{{a}_{ms}}}</math><br />
|}<br />
<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12690Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T21:45:36Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується початкова сиплекс таблиця:<br />
{| border=1<br />
!Базис !! План !! <math>{{x}_{1}}</math> !! <math>\downarrow {{x}_{2}}</math> !! <math>{{x}_{3}}</math> !! <math>{{x}_{4}}</math> !! <math>{{x}_{5}}</math> !! <math>{{x}_{6}}</math> !! <math>{{x}_{7}}</math> !! MRT <br />
|-<br />
| F || 0 || -1 || -1 || -1 || -1 || 0 || 0 || 0 || <br />
|-<br />
| <math>\overset{\to }{{{x}_{5}}}\,</math> || 1 || 1 || '''<math>\left( 3 \right)</math>''' || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1/3 <br />
|-<br />
| <math>{{x}_{6}}</math> || 1 || 2 || 0 || 1 || 2 || 0 || 1 || 0 || &infin;<br />
|-<br />
| <math>{{x}_{7}}</math> || 1 || 1 || 2 || 3 || 4 || 0 || 0 || 1 || 1/2<br />
|}</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12670Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T20:26:28Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже для неї можна записати наступну систему рівнянь:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}\le 1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Дальше потрібно представити стандартну форму форму задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності обмежень:<br />
<center><br />
<math>\left\{ \begin{align}<br />
& {{x}_{1}}+3{{x}_{2}}+{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& 2{{x}_{1}}+{{x}_{3}}+2{{x}_{4}}=1 \\ <br />
& {{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+3{{x}_{3}}+4{{x}_{4}}=1 \\ <br />
\end{align} \right.</math><br />
</center><br />
Цільова функція має наступний вигляд:<br />
<center><br />
<math>F={{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}\to \max </math><br />
</center><br />
Дану цільову функцію ''F'' потрібно теж переписати в аналогічному вигляді до систем обмежень:<br />
<center><br />
<math>F-{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}-{{x}_{4}}=0</math><br />
</center><br />
Дальше будується початкова сиплекс таблиця</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12666Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T20:12:47Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center> <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center><br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center><br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже запишемо для неї наступну систему рівнянь:</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12665Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T20:12:11Z<p>Svetik B7: /* Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center>.; <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center>..<br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center>.<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==<br />
<br />
Нехай матрична гра представлена наступною матрицею:<br />
<center><br />
<math>\begin{matrix}<br />
\left. \left( \begin{matrix}<br />
1 & 3 & \begin{matrix}<br />
0 & 1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
2 & 0 & \begin{matrix}<br />
1 & 2 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
1 & 2 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} \right. \right) & \begin{matrix}<br />
0 \\<br />
0 \\<br />
1 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\begin{matrix}<br />
2 & 3 & \begin{matrix}<br />
3 & 4 \\<br />
\end{matrix} \\<br />
\end{matrix} & 2\backslash 1 \\<br />
\end{matrix}</math><br />
</center><br />
Дана матриця не містить сідлової точки, отже запишемо для неї наступну систему рівнянь:</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12664Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T20:01:52Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math></center>.; <br />
<center><math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math></center>..<br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<center><math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math></center>.<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.<br />
Згідно наведених правил здійснюється перерахунок елементів для нової симплекс таблиці.<br />
#Повернення до кроку 3.<br />
== Приклад розв'язання матричної гри з використанням симплек-методу ==</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12660Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T19:51:17Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math>; <br />
<math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math>.<br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math>.<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#*для ведучого рядка ---- <math>{{\widehat{a}}_{rj}}=\frac{{{a}_{rj}}}{a_{rs}^{*}}</math>;<br />
#*для ведучого стовпця ---- <math>{{\widehat{a}}_{rs}}=1;\,\,\,{{\widehat{a}}_{is}}=0;\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,i\ne r</math>;<br />
#*для решти елементів ---- <math>{{\widehat{a}}_{ij}}=\frac{{{a}_{ij}}\cdot a_{rs}^{*}-{{a}_{rj}}\cdot {{a}_{is}}}{a_{rs}^{*}}</math>.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12657Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T19:37:35Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math>; <br />
<math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math>.<br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
<math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math>.<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.<br />
''Зауваження'': якщо коефіцієнт у ведучому стовпці рівний ''0'' або від'ємний, то у стовпці MRT ставиться нескінченність, тобто не враховується при виборі ведучого рядка; відношення не визначається для рядку ''F''.<br />
На перетині ведучого стовпця та ведучого рядка знаходиться ведучий елемент <math>{{a}_{rs}}</math>.<br />
#Модифікація симплекс таблиці по відношенню до ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12656Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T19:31:14Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math>; <math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math>.<br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max ;\,\,\,F-\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}=0}}</math>.<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.<br />
#Вибір ведучого рядка та ведучого елемента <math>{{a}_{rs}}</math>, щоб вибрати ведучий рядок (а отже зміну, яка залишає базис) необхідно скористатись MRT тестом (мінімальне відношення). Для цього необхідно записати у відповідному рядку відношення змінної зі стовпця "план" до змінної з ведучого стовпця і визначити мінімальне з цих відношень. Рядок з мінімальним значенням з відношення буде ведучим рядком.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12653Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T18:34:30Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math>; <math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math>.<br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%97%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%BA&diff=12652Зразок2012-02-22T18:33:40Z<p>Svetik B7: /* Нумерованим списком */</p>
<hr />
<div>==Списки==<br />
===Номерований список===<br />
#Перший пункт<br />
#Другий пункт<br />
##Перший підпункт<br />
##Другий підпункт<br />
#Третій пункт<br />
#Четвертий пункт<br />
<br />
===Марковані списки===<br />
*Перший пункт<br />
*Другий пункт<br />
*Третій пункт<br />
*Четвертий пункт<br />
==Таблиця==<br />
{| border=1<br />
!Заголовок 1 Стовбця !! Заголовок 2 Стовбця !!Заголовок 3 Стовбця <br />
|-<br />
| Рядок 1 Стовбець 1 || Рядок 1 Стовбець 2 || Рядок 1 Стовбець 3 <br />
|-<br />
| Рядок 2 Стовбець 1 || Рядок 2 Стовбець 2 || Рядок 2 Стовбець 3 <br />
|-<br />
| Рядок 3 Стовбець 1 || Рядок 3 Стовбець 2 || Рядок 3 Стовбець 3<br />
|}<br />
<br />
==Посилання==<br />
===Внутрішнє посилання===<br />
[[Методи_боротьби_з_Dos_або_DDos_атаками|Внутрішнє посилання на статтю методи бороть з Dos або DDos атаками]]<br />
===Зовнішні посилання===<br />
[http://uk.wikipedia.org/wiki/Методи_боротьби_з_Dos/DDos_атаками Зовнішнє посилання на статтю методи бороть з Dos або DDos атаками]<br />
==Використання шаблонів==<br />
===Шаблон презентація доповіді в репозиторії===<br />
{{Презентація доповіді |title=[http://Адреса Тема доповіді]}}<br />
===Шаблон користувач===<br />
{{Студент | Name=Імя | Surname=Прізвище | FatherNAme=По-батькові |Faculti=Факультет | Group=Група | Zalbook=№ залікової книжки}}<br />
==Список літературних джерел==<br />
===Нумерованим списком===<br />
#[http://Адреса Назва статті 1]<br />
#[http://Адреса Назва статті 2]<br />
#[http://Адреса Назва статті 3]<br />
#[http://Адреса Назва статті 4]<br />
<br />
===Маркованим списком===<br />
*[http://Адреса Назва статті 1]<br />
*[http://Адреса Назва статті 2]<br />
*[http://Адреса Назва статті 3]<br />
*[http://Адреса Назва статті 4]<br />
==Ілюстрування==<br />
Файл:Назва файлу(однозначна).gif|вирівнювання (left,right,center)|thumb|Маштабуваня|Підпис зображення(коли на нього наведено мишу)<br />
<br />
'''НЕ ПОТРІБНО ПІДПИСУВАТИ ЗОБРАЖЕННЯ МАЛЮНОК ......''' <br><br />
При наведені миші з'явиться підпис і все буде зрозуміло не потрібно захаращувати текст.<br />
====Приклад====<br />
[[Файл:Dos.gif|center|thumb|250px|DOS-атака]]<br />
<br />
==КАТЕГОРЇ==<br />
<br />
'''УВАГА! НЕ ЗАБУВАЙТЕ ДОЛУЧАТИ ВАШУ СТАТТЮ ЯК МІНІМУМ ДО ОДНІЄЇ КАТЕГОРІЇ (НАЙЧАСТІШЕ ЦЕ НАЗВА ДИСЦИПЛІНИ)'''<br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Комп'ютерні системи захисту інформації"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
<br />
[http://editingwritingservices.org/ dissertation editing]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12648Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T17:47:41Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень: <br />
<math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math>; <math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math>.<br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12647Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T17:43:24Z<p>Svetik B7: /* Алгоритм симплекс-методу */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень.<br />
<br />
<math>F=\sum\limits_{i=1}^{r}{{{C}_{i}}{{x}_{i}}\to \max }</math><br />
<br />
<math>\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ji}}{{x}_{i}}+{{x}_{n+j}}={{b}_{j}}};\,\,\,j=\overline{1,m};\,\,\,{{x}_{i}}\ge 0;\,\,\,i=\overline{1,n}</math><br />
<br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12645Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T17:31:09Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' ---- це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод ---- найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (''&le;'') обмежень.<br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію ''F'' у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку ''F'' є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку ''F''.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12644Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T17:20:33Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' - це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод - найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
<br><br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (&le;) обмежень.<br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію F у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку F є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку F.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12643Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T17:20:03Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СНм-51<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № СНм-11-226<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}<br />
'''Симплекс-метод''' - це метод розв'язання задачі лінійного програмування, в якому здійснюється скерований рух по опорних планах до знаходження оптимального розв'язку. Досить часто симплекс-метод ще називають методом покращення плану. Реальні задачі лінійного програмування містять дуже велику кількість обмежень та невідомих і виконуються на ЕОМ. Симплекс-метод - найбільш загальний алгоритм, що використовується для рішення таких задач.<br />
<br><br />
Даний метод був розроблений американським математиком Джорджем Данцігом у 1947 році.<br />
<br><br />
<br />
== Алгоритм симплекс-методу ==<br />
http://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&action=submit<br />
#Перетворення стандартної форми задачі лінійного програмування в канонічну форму шляхом додавання невід'ємних змінних до кожної нерівності типу менше рівне (&le;) обмежень.<br />
#Побудова і заповнення початкової симплекс таблиці. Симплекс таблиця є зручним інструментом для представлення канонічної форми лінійної задачі.Щоб заповнити початкову симплекс таблицю необхідно переписати цільову функцію F у вигляді аналогічному до системи обмежень, тобто:<br />
#Перевірка на оптимальність. Якщо всі коефіцієнти в рядку F є невід'ємними, то отриманий розв'язок є оптимальним, якщо хоча б один коефіцієнт є від'ємний, то необхідно продовжити симплекс ітерацію (заповнити наступну симплекс таблицю).<br />
#Вибір ведучого стовпця. Ведучим називається стовпець в якому міститься найбільший за модулем від'ємний коефіцієнт в рядку F.</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81-%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=12637Симплекс-метод оптимізації2012-02-22T16:31:38Z<p>Svetik B7: Створена сторінка: {{Студентка | Name=Світлана | Surname=Барабаш | FatherNAme=Богданівна |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-226}}…</p>
<hr />
<div>{{Студентка | Name=Світлана | Surname=Барабаш | FatherNAme=Богданівна |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-226}}<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Симплекс-метод оптимізації}}</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=2011-2012%D1%80%D1%80_-_%D0%86%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%B2%D1%96%D0%B4%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D1%83_%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%85_%D0%B7_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%83_%22%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83_Design_Of_Experiment_(DOE)%22&diff=126352011-2012рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"2012-02-22T16:28:42Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div># (30.12.2011р.) [[Користувач:andry_ad|ст.гр.СНм-51 Дереш А. З.]]: Оптимізація. [[Математичне програмування]].<br />
# (14.01.2012р.) [[Користувач:lenalunak|ст.гр.СНм-51 Лунак О.М.]]:[[Огляд видів експертних систем та їх класифікація]].<br />
# (14.01.2012h.) [[Користувач:Bilinska lida|ст.гр.СНм-51 Білінська Л.В.]]:[[Історичний огляд методів дослідження електрофізіологічних сигналів в офтальмології]].<br />
# (30.12.2011р.) [[Користувач: Тетяна|ст.гр.СНм-51 Паньків.Т.В.]]:[[Огляд моделей обробки енергетичних сигналів]].<br />
# (24.01.2011р.) [[Користувач: bodyk_bs|ст.гр.СНм-51 Сікач Б.Я.]]:[[Методи виявлення розладки випадкових процесів]].<br />
# (17.02.2012р.) [[Користувач: core_st|ст.гр.СНм-51 Стойко В.І.]]:[[Розпізнавання образів: від теорії до практики]].<br />
# (21.02.2012р.) [[Користувач: Natalochka|ст.гр.СНм-51 Чура Н.Я.]]:[[Методи прогнозування водоспоживання]].<br />
# (21.02.2012р.) [[Користувач: Sveta_B7|ст.гр.СНм-51 Барабаш С.Б.]]:[[Симплекс-метод оптимізації]].</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%96%D0%B2_%D1%96_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC_%D0%B7%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83_%D1%96%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=5452Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації2011-04-20T08:07:21Z<p>Svetik B7: /* Сертифікації засобів технічного захисту інформації */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СН-41<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № ПК-07-002<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації}}<br />
'''Кваліфікаційний аналіз''' (рос. — квалификационный анализ, англ. — evaluation) — це аналіз інформаційно-комунікаційної системи (чи обчислювальної системи), що проводиться з метою визначення рівня її захищеності та відповідності вимогам безпеки на основі критеріїв стандарту безпеки.Кваліфікація рівня безпеки є кінцевим етапом технологічного циклу створення захищених систем, безпосередньо передує процедурі сертифікації і завершується присвоєнням комунікаційній системі того чи іншого класу чи рівня безпеки.<br />
<br><br />
<br />
== Кваліфікаційний аналіз, а також вимоги до нього ==<br />
<br />
*'''Види кваліфікаційного аналізу'''<br />
#Атестацію здійснюють задля оцінювання ефективності комплексу технічного захисту інформації, яка циркулює на об'єкті, від її витоку технічними каналами відповідно до вимог чинної нормативної бази.<br />
#Державну експертизу у сфері технічного захисту інформації (ТЗІ) проводять із метою оцінювання захищеності даних, які обробляються або циркулюють в об'єктах інформаційної діяльності (приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо). На основі результатів державної експертизи підтверджують відповідність компютерних систем захисту інформації та надають Атестат відповідності. Основні вимоги та засади проведення державної експертизи регламентовано в документі Положення про державну експертизу у сфері ТЗІ.<br />
#Сертифікацію засобів забезпечення ТЗІ здійснюють із метою підтвердження їх відповідності вимогам нормативних документів. Процедуру сертифікації регламентовано в документі «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення», її проводять за участі органів сертифікації, випробувальних лабораторій та деяких інших установ. Сертифікацію можуть проходити вироби вітчизняних і зарубіжних виробників. Передбачено механізм визнання сертифікатів, наданих органами інших країн.<br />
<br />
*'''Вимоги до кваліфікаційного аналізу'''<br />
Можна висувати різні вимоги, починаючи з вимог до якості об'єкта, що підлягає аналізу, виконуваних ним функцій і коректності функціонування та завершуючи вимогами до документації на цей об'єкт.<br />
Вимоги до самого процесу кваліфікаційного аналізу регламентовано у відповідних нормативних документах. Українська нормативна база передбачає такі види кваліфікаційного аналізу:<br />
#Атестація.<br />
#Державна експертиза.<br />
#Сертифікація.<br />
В Україні державним органом, на який покладено завдання здійснення державного контролю за станом криптографічного та технічного захисту інформації, є Державна служба спеціального зв'язку та захисту інформації України (Держспецзв'язку), що діє на підставі Закону України «Про Державну службу спеціального зв'язку та захисту інформації України» № 3475-15 від 23 лютого<br />
2006 року [266]. Раніше (до 2007 року) ці функції було покладено на Департамент спеціальних телекомунікаційних систем і захисту інформації (ДСТСЗІ) Служби безпеки України.<br />
<br />
== Організація державної експертизи ==<br />
<br />
Мета державної експертизи у сфері технічного захисту інформації оцінити захищеність інформації, яка обробляється або циркулює в інформаційних, телекомунікаційних та інформаційно-телекомунікаційних системах, а також у приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо (тобто на об'єктах інформаційної діяльності).<br />
<br />
*'''Положення про державну експертизу'''<br />
У державній експертизі беруть участь:<br />
#Замовники експертизи.<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку.<br />
#Організатори експертизи.<br />
#Експерти.<br />
Державну експертизу мають проходити такі об'єкти: <br />
#КСЗІ (комплексна система захисту інформації).<br />
#Окремі технічні та програмні засоби.<br />
Види експертизи:<br />
#Первинна - основний вид експертизи, коли виконують усі необхідні заходи щодо підготовки та прийняття рішення стосовно об'єкта;<br />
#Додаткова — здійснюється до об'єктів, на які впливають нові науково-технічні обставини, або у зв'язку із завершенням терміну дії висновків первинної експертизи;<br />
#Контрольна експертиза, яку проводять за ініціативи замовника чи Держспецзв'язку, коли хтось із них має претензії до висновків первинної експертизи (таку експертизу здійснює інша організація).<br />
Експертиза відбувається за наступним планом:<br />
#Замовник надсилає на ім'я Голови (заступника Голови) Держспецзв'язку заяву на проведення експертизи КСЗІ або засобу ТЗІ. Замовник може також звернутися до цієї служби із заявою щодо проведення контрольної експертизи.<br />
#Експертна рада розглядає заяву у встановлені терміни та приймає рішення про доцільність експертизи і призначає її організатора. Стосунки між організатором і замовником регламентовано у договорі на проведення експертизи, що містить відомості про порядок фінансування, терміни експертизи тощо.<br />
#Організатор призначає експертів, яких буде залучено до виконання робіт.<br />
#Замовник надає організатору визначений НД ТЗІ комплект документації на об'єкт експертизи.<br />
#Організатор аналізує надані документи, загальні методики оцінювання ефективності засобу ТЗІ чи КСЗІ та формує програму і власні методики проведення експертизи об'єкта у визначені в договорі терміни, розробляє (за потреби) програмно-технічне забезпечення. Програма та окремі методики узгоджуються із замовником і Адміністрацією Держспецзв'язку.<br />
#Згідно з програмами та методиками здійснюють безпосередню експертизу, результати якої оформлюють у вигляді протоколу, який підписують експерти. Протокол затверджує організатор.<br />
#У разі виявлення невідповідностей об'єкта вимогам НД ТЗІ організатор може запропонувати замовнику доопрацювати об'єкт з метою усунення наявних недоліків.<br />
#Організатор складає та підписує експертний висновок, який визначає відповідність об'єкта експертизи вимогам НД ТЗІ.<br />
#Експертний висновок подають до Адміністрації Держспецзв'язку. Експертна рада його розглядає та, якщо висновок задовольняє всі вимоги, реєструє і передає замовнику. Замовник також отримує атестат відповідності, підписаний Головою Держспецзв'язку.<br />
<br />
== Сертифікації засобів технічного захисту інформації ==<br />
<br />
Сертифікацію засобів технічного захисту інформації здійснюють згідно з документом «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення». Керівними органами, які організовують і координують роботи із сертифікації, є такі:<br />
#Національний орган із сертифікації Державний комітет стандартизації, метрології та сертифікації України (Держстандарт України).<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку України.<br />
Метою сертифікації є встановити відповідність засобів технічного захисту інформації вимогам нормативних документів України з питань технічного захисту інформації, а також вимогам аналогічних іноземних нормативних документів, які діють в Україні. Організації, задіяні у процесі сертифікації, мають зберігати конфіденційність інформації, що становить професійну або комерційну таємницю.<br />
Процедура сертифікації складається з таких етапів.<br />
#Подання заявки на сертифікацію.<br />
#Розгляд заявки, прийняття рішення з визначенням схеми сертифікації.<br />
#Обстеження чи атестація виробництва засобів ТЗІ, які подано на сертифікацію, або сертифікація (оцінювання) системи якості, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
#Добирання зразків для випробувань із тих виробів, що пройшли приймальний контроль виробника та готові до реалізації. Процедуру добирання здійснюють у присутності представника заявника та оформлюють документально.<br />
#Ідентифікація засобів ТЗІ на підставі відповідності поданих на випробування зразків (та їхнього технічного стану) нормативним документам на цю продукцію.Зразки, що не пройшли ідентифікації, до випробувань не допускають. За результатами ідентифікації складають акт.<br />
#Випробування зразків. До випробувальної лабораторії доправляють зразки в опломбованому або запечатаному вигляді разом з актом їх добирання та ідентифікації. Якщо сертифікують невелику партію виробів (не більше 5), орган сертифікації може прийняти рішення не піддавати їх випробуванням, що можуть призвести до пошкодження зразків. Результати випробувань заносять до протоколу.<br />
#Аналіз результатів випробувань зразків і прийняття рішення щодо надання їм сертифіката відповідності.<br />
#Надання сертифіката відповідності, укладання ліцензійної угоди та занесення сертифікованих засобів до відповідного реєстру. Сертифікат відповідності надається на один виріб, партію із зазначенням кількості виробів або на засоби, які підприємство випускає серійно протягом терміну, встановленого ліцензійною угодою, з правом маркування знаком відповідності кожної одиниці випущеної продукції.<br />
#Технічний нагляд за сертифікованими засобами під час їх виробництва здійснюють орган сертифікації, що надав сертифікат, органи із сертифікації систем якості чи територіальні центри стандартизації, метрології та сертифікації.<br />
#Результати сертифікації (копії сертифіката відповідності) орган сертифікації доправляє до Держстандарту і Держспецзв'язку України.<br />
Сертифікація системи якості — остаточне її оцінювання, яке здійснюють уповноважені органи за ініціативи замовника або на підставі рішення органу сертифікації, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
<br><br />
<br />
==Список літературних джерел==<br />
* Грайворонський М. В., Новіков О. М. Г14 Безпека інформаційно-комунікаційних систем. — К.: Видавнича група ВНУ, 2009. — 608 с.<br />
* Барсуков В.С. Безпека: технології, засоби, послуги / В.С. Борсуків. - М., 2001 - 496 с. <br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Комп'ютерні системи захисту інформації"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%96%D0%B2_%D1%96_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC_%D0%B7%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83_%D1%96%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=5451Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації2011-04-20T08:05:38Z<p>Svetik B7: /* Організація державної експертизи */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СН-41<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № ПК-07-002<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації}}<br />
'''Кваліфікаційний аналіз''' (рос. — квалификационный анализ, англ. — evaluation) — це аналіз інформаційно-комунікаційної системи (чи обчислювальної системи), що проводиться з метою визначення рівня її захищеності та відповідності вимогам безпеки на основі критеріїв стандарту безпеки.Кваліфікація рівня безпеки є кінцевим етапом технологічного циклу створення захищених систем, безпосередньо передує процедурі сертифікації і завершується присвоєнням комунікаційній системі того чи іншого класу чи рівня безпеки.<br />
<br><br />
<br />
== Кваліфікаційний аналіз, а також вимоги до нього ==<br />
<br />
*'''Види кваліфікаційного аналізу'''<br />
#Атестацію здійснюють задля оцінювання ефективності комплексу технічного захисту інформації, яка циркулює на об'єкті, від її витоку технічними каналами відповідно до вимог чинної нормативної бази.<br />
#Державну експертизу у сфері технічного захисту інформації (ТЗІ) проводять із метою оцінювання захищеності даних, які обробляються або циркулюють в об'єктах інформаційної діяльності (приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо). На основі результатів державної експертизи підтверджують відповідність компютерних систем захисту інформації та надають Атестат відповідності. Основні вимоги та засади проведення державної експертизи регламентовано в документі Положення про державну експертизу у сфері ТЗІ.<br />
#Сертифікацію засобів забезпечення ТЗІ здійснюють із метою підтвердження їх відповідності вимогам нормативних документів. Процедуру сертифікації регламентовано в документі «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення», її проводять за участі органів сертифікації, випробувальних лабораторій та деяких інших установ. Сертифікацію можуть проходити вироби вітчизняних і зарубіжних виробників. Передбачено механізм визнання сертифікатів, наданих органами інших країн.<br />
<br />
*'''Вимоги до кваліфікаційного аналізу'''<br />
Можна висувати різні вимоги, починаючи з вимог до якості об'єкта, що підлягає аналізу, виконуваних ним функцій і коректності функціонування та завершуючи вимогами до документації на цей об'єкт.<br />
Вимоги до самого процесу кваліфікаційного аналізу регламентовано у відповідних нормативних документах. Українська нормативна база передбачає такі види кваліфікаційного аналізу:<br />
#Атестація.<br />
#Державна експертиза.<br />
#Сертифікація.<br />
В Україні державним органом, на який покладено завдання здійснення державного контролю за станом криптографічного та технічного захисту інформації, є Державна служба спеціального зв'язку та захисту інформації України (Держспецзв'язку), що діє на підставі Закону України «Про Державну службу спеціального зв'язку та захисту інформації України» № 3475-15 від 23 лютого<br />
2006 року [266]. Раніше (до 2007 року) ці функції було покладено на Департамент спеціальних телекомунікаційних систем і захисту інформації (ДСТСЗІ) Служби безпеки України.<br />
<br />
== Організація державної експертизи ==<br />
<br />
Мета державної експертизи у сфері технічного захисту інформації оцінити захищеність інформації, яка обробляється або циркулює в інформаційних, телекомунікаційних та інформаційно-телекомунікаційних системах, а також у приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо (тобто на об'єктах інформаційної діяльності).<br />
<br />
*'''Положення про державну експертизу'''<br />
У державній експертизі беруть участь:<br />
#Замовники експертизи.<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку.<br />
#Організатори експертизи.<br />
#Експерти.<br />
Державну експертизу мають проходити такі об'єкти: <br />
#КСЗІ (комплексна система захисту інформації).<br />
#Окремі технічні та програмні засоби.<br />
Види експертизи:<br />
#Первинна - основний вид експертизи, коли виконують усі необхідні заходи щодо підготовки та прийняття рішення стосовно об'єкта;<br />
#Додаткова — здійснюється до об'єктів, на які впливають нові науково-технічні обставини, або у зв'язку із завершенням терміну дії висновків первинної експертизи;<br />
#Контрольна експертиза, яку проводять за ініціативи замовника чи Держспецзв'язку, коли хтось із них має претензії до висновків первинної експертизи (таку експертизу здійснює інша організація).<br />
Експертиза відбувається за наступним планом:<br />
#Замовник надсилає на ім'я Голови (заступника Голови) Держспецзв'язку заяву на проведення експертизи КСЗІ або засобу ТЗІ. Замовник може також звернутися до цієї служби із заявою щодо проведення контрольної експертизи.<br />
#Експертна рада розглядає заяву у встановлені терміни та приймає рішення про доцільність експертизи і призначає її організатора. Стосунки між організатором і замовником регламентовано у договорі на проведення експертизи, що містить відомості про порядок фінансування, терміни експертизи тощо.<br />
#Організатор призначає експертів, яких буде залучено до виконання робіт.<br />
#Замовник надає організатору визначений НД ТЗІ комплект документації на об'єкт експертизи.<br />
#Організатор аналізує надані документи, загальні методики оцінювання ефективності засобу ТЗІ чи КСЗІ та формує програму і власні методики проведення експертизи об'єкта у визначені в договорі терміни, розробляє (за потреби) програмно-технічне забезпечення. Програма та окремі методики узгоджуються із замовником і Адміністрацією Держспецзв'язку.<br />
#Згідно з програмами та методиками здійснюють безпосередню експертизу, результати якої оформлюють у вигляді протоколу, який підписують експерти. Протокол затверджує організатор.<br />
#У разі виявлення невідповідностей об'єкта вимогам НД ТЗІ організатор може запропонувати замовнику доопрацювати об'єкт з метою усунення наявних недоліків.<br />
#Організатор складає та підписує експертний висновок, який визначає відповідність об'єкта експертизи вимогам НД ТЗІ.<br />
#Експертний висновок подають до Адміністрації Держспецзв'язку. Експертна рада його розглядає та, якщо висновок задовольняє всі вимоги, реєструє і передає замовнику. Замовник також отримує атестат відповідності, підписаний Головою Держспецзв'язку.<br />
<br />
== Сертифікації засобів технічного захисту інформації ==<br />
<br />
Сертифікацію засобів технічного захисту інформації здійснюють згідно з документом «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення». Керівними органами, які організовують і координують роботи із сертифікації, є такі:<br />
#Національний орган із сертифікації Державний комітет стандартизації, метрології та сертифікації України (Держстандарт України).<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку України.<br />
Метою сертифікації є встановити відповідність засобів технічного захисту інформації вимогам нормативних документів України з питань технічного захисту інформації, а також вимогам аналогічних іноземних нормативних документів, які діють в Україні. Організації, задіяні у процесі сертифікації, мають зберігати конфіденційність інформації, що становить професійну або комерційну таємницю.<br />
Процедура сертифікації складається з таких етапів.<br />
#Подання заявки на сертифікацію.<br />
#Розгляд заявки, прийняття рішення з визначенням схеми сертифікації.<br />
#Обстеження чи атестація виробництва засобів ТЗІ, які подано на сертифікацію, або сертифікація (оцінювання) системи якості, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
#Добирання зразків для випробувань із тих виробів, що пройшли приймальний контроль виробника та готові до реалізації. Процедуру добирання здійснюють у присутності представника заявника та оформлюють документально.<br />
#Ідентифікація засобів ТЗІ на підставі відповідності поданих на випробування зразків (та їхнього технічного стану) нормативним документам на цю продукцію.<br />
Зразки, що не пройшли ідентифікації, до випробувань не допускають. За результатами ідентифікації складають акт.<br />
#Випробування зразків. До випробувальної лабораторії доправляють зразки в опломбованому або запечатаному вигляді разом з актом їх добирання та ідентифікації. Якщо сертифікують невелику партію виробів (не більше 5), орган сертифікації може прийняти рішення не піддавати їх випробуванням, що можуть призвести до пошкодження зразків. Результати випробувань заносять до протоколу.<br />
#Аналіз результатів випробувань зразків і прийняття рішення щодо надання їм сертифіката відповідності.<br />
#Надання сертифіката відповідності, укладання ліцензійної угоди та занесення сертифікованих засобів до відповідного реєстру. Сертифікат відповідності надається на один виріб, партію із зазначенням кількості виробів або на засоби, які підприємство випускає серійно протягом терміну, встановленого ліцензійною угодою, з правом маркування знаком відповідності кожної одиниці випущеної продукції.<br />
#Технічний нагляд за сертифікованими засобами під час їх виробництва здійснюють орган сертифікації, що надав сертифікат, органи із сертифікації систем якості чи територіальні центри стандартизації, метрології та сертифікації.<br />
#Результати сертифікації (копії сертифіката відповідності) орган сертифікації доправляє до Держстандарту і Держспецзв'язку України.<br />
Сертифікація системи якості — остаточне її оцінювання, яке здійснюють уповноважені органи за ініціативи замовника або на підставі рішення органу сертифікації, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
<br><br />
<br />
==Список літературних джерел==<br />
* Грайворонський М. В., Новіков О. М. Г14 Безпека інформаційно-комунікаційних систем. — К.: Видавнича група ВНУ, 2009. — 608 с.<br />
* Барсуков В.С. Безпека: технології, засоби, послуги / В.С. Борсуків. - М., 2001 - 496 с. <br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Комп'ютерні системи захисту інформації"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%96%D0%B2_%D1%96_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC_%D0%B7%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83_%D1%96%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=5450Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації2011-04-20T08:04:50Z<p>Svetik B7: /* Сертифікації засобів технічного захисту інформації */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СН-41<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № ПК-07-002<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації}}<br />
'''Кваліфікаційний аналіз''' (рос. — квалификационный анализ, англ. — evaluation) — це аналіз інформаційно-комунікаційної системи (чи обчислювальної системи), що проводиться з метою визначення рівня її захищеності та відповідності вимогам безпеки на основі критеріїв стандарту безпеки.Кваліфікація рівня безпеки є кінцевим етапом технологічного циклу створення захищених систем, безпосередньо передує процедурі сертифікації і завершується присвоєнням комунікаційній системі того чи іншого класу чи рівня безпеки.<br />
<br><br />
<br />
== Кваліфікаційний аналіз, а також вимоги до нього ==<br />
<br />
*'''Види кваліфікаційного аналізу'''<br />
#Атестацію здійснюють задля оцінювання ефективності комплексу технічного захисту інформації, яка циркулює на об'єкті, від її витоку технічними каналами відповідно до вимог чинної нормативної бази.<br />
#Державну експертизу у сфері технічного захисту інформації (ТЗІ) проводять із метою оцінювання захищеності даних, які обробляються або циркулюють в об'єктах інформаційної діяльності (приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо). На основі результатів державної експертизи підтверджують відповідність компютерних систем захисту інформації та надають Атестат відповідності. Основні вимоги та засади проведення державної експертизи регламентовано в документі Положення про державну експертизу у сфері ТЗІ.<br />
#Сертифікацію засобів забезпечення ТЗІ здійснюють із метою підтвердження їх відповідності вимогам нормативних документів. Процедуру сертифікації регламентовано в документі «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення», її проводять за участі органів сертифікації, випробувальних лабораторій та деяких інших установ. Сертифікацію можуть проходити вироби вітчизняних і зарубіжних виробників. Передбачено механізм визнання сертифікатів, наданих органами інших країн.<br />
<br />
*'''Вимоги до кваліфікаційного аналізу'''<br />
Можна висувати різні вимоги, починаючи з вимог до якості об'єкта, що підлягає аналізу, виконуваних ним функцій і коректності функціонування та завершуючи вимогами до документації на цей об'єкт.<br />
Вимоги до самого процесу кваліфікаційного аналізу регламентовано у відповідних нормативних документах. Українська нормативна база передбачає такі види кваліфікаційного аналізу:<br />
#Атестація.<br />
#Державна експертиза.<br />
#Сертифікація.<br />
В Україні державним органом, на який покладено завдання здійснення державного контролю за станом криптографічного та технічного захисту інформації, є Державна служба спеціального зв'язку та захисту інформації України (Держспецзв'язку), що діє на підставі Закону України «Про Державну службу спеціального зв'язку та захисту інформації України» № 3475-15 від 23 лютого<br />
2006 року [266]. Раніше (до 2007 року) ці функції було покладено на Департамент спеціальних телекомунікаційних систем і захисту інформації (ДСТСЗІ) Служби безпеки України.<br />
<br />
== Організація державної експертизи ==<br />
<br />
Мета державної експертизи у сфері технічного захисту інформації оцінити захищеність інформації, яка обробляється або циркулює в інформаційних, телекомунікаційних та інформаційно-телекомунікаційних системах, а також у приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо (тобто на об'єктах інформаційної діяльності).<br />
<br />
*'''Положення про державну експертизу'''<br />
У державній експертизі беруть участь:<br />
#Замовники експертизи.<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку.<br />
#Організатори експертизи.<br />
#Експерти.<br />
Державну експертизу мають проходити такі об'єкти: <br />
#КСЗІ (комплексна система захисту інформації).<br />
#Окремі технічні та програмні засоби.<br />
Види експертизи:<br />
#Первинною - основний вид експертизи, коли виконують усі необхідні заходи щодо підготовки та прийняття рішення стосовно об'єкта;<br />
#Додатковою — здійснюється до об'єктів, на які впливають нові науково-технічні обставини, або у зв'язку із завершенням терміну дії висновків первинної експертизи;<br />
#Контрольною експертиза, яку проводять за ініціативи замовника чи Держспецзв'язку, коли хтось із них має претензії до висновків первинної експертизи (таку експертизу здійснює інша організація).<br />
Експертиза відбувається за наступним планом:<br />
#Замовник надсилає на ім'я Голови (заступника Голови) Держспецзв'язку заяву на проведення експертизи КСЗІ або засобу ТЗІ. Замовник може також звернутися до цієї служби із заявою щодо проведення контрольної експертизи.<br />
#Експертна рада розглядає заяву у встановлені терміни та приймає рішення про доцільність експертизи і призначає її організатора. Стосунки між організатором і замовником регламентовано у договорі на проведення експертизи, що містить відомості про порядок фінансування, терміни експертизи тощо.<br />
#Організатор призначає експертів, яких буде залучено до виконання робіт.<br />
#Замовник надає організатору визначений НД ТЗІ комплект документації на об'єкт експертизи.<br />
#Організатор аналізує надані документи, загальні методики оцінювання ефективності засобу ТЗІ чи КСЗІ та формує програму і власні методики проведення експертизи об'єкта у визначені в договорі терміни, розробляє (за потреби) програмно-технічне забезпечення. Програма та окремі методики узгоджуються із замовником і Адміністрацією Держспецзв'язку.<br />
#Згідно з програмами та методиками здійснюють безпосередню експертизу, результати якої оформлюють у вигляді протоколу, який підписують експерти. Протокол затверджує організатор.<br />
#У разі виявлення невідповідностей об'єкта вимогам НД ТЗІ організатор може запропонувати замовнику доопрацювати об'єкт з метою усунення наявних недоліків.<br />
#Організатор складає та підписує експертний висновок, який визначає відповідність об'єкта експертизи вимогам НД ТЗІ.<br />
#Експертний висновок подають до Адміністрації Держспецзв'язку. Експертна рада його розглядає та, якщо висновок задовольняє всі вимоги, реєструє і передає замовнику. Замовник також отримує атестат відповідності, підписаний Головою Держспецзв'язку.<br />
<br />
== Сертифікації засобів технічного захисту інформації ==<br />
<br />
Сертифікацію засобів технічного захисту інформації здійснюють згідно з документом «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення». Керівними органами, які організовують і координують роботи із сертифікації, є такі:<br />
#Національний орган із сертифікації Державний комітет стандартизації, метрології та сертифікації України (Держстандарт України).<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку України.<br />
Метою сертифікації є встановити відповідність засобів технічного захисту інформації вимогам нормативних документів України з питань технічного захисту інформації, а також вимогам аналогічних іноземних нормативних документів, які діють в Україні. Організації, задіяні у процесі сертифікації, мають зберігати конфіденційність інформації, що становить професійну або комерційну таємницю.<br />
Процедура сертифікації складається з таких етапів.<br />
#Подання заявки на сертифікацію.<br />
#Розгляд заявки, прийняття рішення з визначенням схеми сертифікації.<br />
#Обстеження чи атестація виробництва засобів ТЗІ, які подано на сертифікацію, або сертифікація (оцінювання) системи якості, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
#Добирання зразків для випробувань із тих виробів, що пройшли приймальний контроль виробника та готові до реалізації. Процедуру добирання здійснюють у присутності представника заявника та оформлюють документально.<br />
#Ідентифікація засобів ТЗІ на підставі відповідності поданих на випробування зразків (та їхнього технічного стану) нормативним документам на цю продукцію.<br />
Зразки, що не пройшли ідентифікації, до випробувань не допускають. За результатами ідентифікації складають акт.<br />
#Випробування зразків. До випробувальної лабораторії доправляють зразки в опломбованому або запечатаному вигляді разом з актом їх добирання та ідентифікації. Якщо сертифікують невелику партію виробів (не більше 5), орган сертифікації може прийняти рішення не піддавати їх випробуванням, що можуть призвести до пошкодження зразків. Результати випробувань заносять до протоколу.<br />
#Аналіз результатів випробувань зразків і прийняття рішення щодо надання їм сертифіката відповідності.<br />
#Надання сертифіката відповідності, укладання ліцензійної угоди та занесення сертифікованих засобів до відповідного реєстру. Сертифікат відповідності надається на один виріб, партію із зазначенням кількості виробів або на засоби, які підприємство випускає серійно протягом терміну, встановленого ліцензійною угодою, з правом маркування знаком відповідності кожної одиниці випущеної продукції.<br />
#Технічний нагляд за сертифікованими засобами під час їх виробництва здійснюють орган сертифікації, що надав сертифікат, органи із сертифікації систем якості чи територіальні центри стандартизації, метрології та сертифікації.<br />
#Результати сертифікації (копії сертифіката відповідності) орган сертифікації доправляє до Держстандарту і Держспецзв'язку України.<br />
Сертифікація системи якості — остаточне її оцінювання, яке здійснюють уповноважені органи за ініціативи замовника або на підставі рішення органу сертифікації, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
<br><br />
<br />
==Список літературних джерел==<br />
* Грайворонський М. В., Новіков О. М. Г14 Безпека інформаційно-комунікаційних систем. — К.: Видавнича група ВНУ, 2009. — 608 с.<br />
* Барсуков В.С. Безпека: технології, засоби, послуги / В.С. Борсуків. - М., 2001 - 496 с. <br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Комп'ютерні системи захисту інформації"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%96%D0%B2_%D1%96_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC_%D0%B7%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83_%D1%96%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=5449Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації2011-04-20T08:04:00Z<p>Svetik B7: /* Сертифікації засобів технічного захисту інформації */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СН-41<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № ПК-07-002<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації}}<br />
'''Кваліфікаційний аналіз''' (рос. — квалификационный анализ, англ. — evaluation) — це аналіз інформаційно-комунікаційної системи (чи обчислювальної системи), що проводиться з метою визначення рівня її захищеності та відповідності вимогам безпеки на основі критеріїв стандарту безпеки.Кваліфікація рівня безпеки є кінцевим етапом технологічного циклу створення захищених систем, безпосередньо передує процедурі сертифікації і завершується присвоєнням комунікаційній системі того чи іншого класу чи рівня безпеки.<br />
<br><br />
<br />
== Кваліфікаційний аналіз, а також вимоги до нього ==<br />
<br />
*'''Види кваліфікаційного аналізу'''<br />
#Атестацію здійснюють задля оцінювання ефективності комплексу технічного захисту інформації, яка циркулює на об'єкті, від її витоку технічними каналами відповідно до вимог чинної нормативної бази.<br />
#Державну експертизу у сфері технічного захисту інформації (ТЗІ) проводять із метою оцінювання захищеності даних, які обробляються або циркулюють в об'єктах інформаційної діяльності (приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо). На основі результатів державної експертизи підтверджують відповідність компютерних систем захисту інформації та надають Атестат відповідності. Основні вимоги та засади проведення державної експертизи регламентовано в документі Положення про державну експертизу у сфері ТЗІ.<br />
#Сертифікацію засобів забезпечення ТЗІ здійснюють із метою підтвердження їх відповідності вимогам нормативних документів. Процедуру сертифікації регламентовано в документі «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення», її проводять за участі органів сертифікації, випробувальних лабораторій та деяких інших установ. Сертифікацію можуть проходити вироби вітчизняних і зарубіжних виробників. Передбачено механізм визнання сертифікатів, наданих органами інших країн.<br />
<br />
*'''Вимоги до кваліфікаційного аналізу'''<br />
Можна висувати різні вимоги, починаючи з вимог до якості об'єкта, що підлягає аналізу, виконуваних ним функцій і коректності функціонування та завершуючи вимогами до документації на цей об'єкт.<br />
Вимоги до самого процесу кваліфікаційного аналізу регламентовано у відповідних нормативних документах. Українська нормативна база передбачає такі види кваліфікаційного аналізу:<br />
#Атестація.<br />
#Державна експертиза.<br />
#Сертифікація.<br />
В Україні державним органом, на який покладено завдання здійснення державного контролю за станом криптографічного та технічного захисту інформації, є Державна служба спеціального зв'язку та захисту інформації України (Держспецзв'язку), що діє на підставі Закону України «Про Державну службу спеціального зв'язку та захисту інформації України» № 3475-15 від 23 лютого<br />
2006 року [266]. Раніше (до 2007 року) ці функції було покладено на Департамент спеціальних телекомунікаційних систем і захисту інформації (ДСТСЗІ) Служби безпеки України.<br />
<br />
== Організація державної експертизи ==<br />
<br />
Мета державної експертизи у сфері технічного захисту інформації оцінити захищеність інформації, яка обробляється або циркулює в інформаційних, телекомунікаційних та інформаційно-телекомунікаційних системах, а також у приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо (тобто на об'єктах інформаційної діяльності).<br />
<br />
*'''Положення про державну експертизу'''<br />
У державній експертизі беруть участь:<br />
#Замовники експертизи.<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку.<br />
#Організатори експертизи.<br />
#Експерти.<br />
Державну експертизу мають проходити такі об'єкти: <br />
#КСЗІ (комплексна система захисту інформації).<br />
#Окремі технічні та програмні засоби.<br />
Види експертизи:<br />
#Первинною - основний вид експертизи, коли виконують усі необхідні заходи щодо підготовки та прийняття рішення стосовно об'єкта;<br />
#Додатковою — здійснюється до об'єктів, на які впливають нові науково-технічні обставини, або у зв'язку із завершенням терміну дії висновків первинної експертизи;<br />
#Контрольною експертиза, яку проводять за ініціативи замовника чи Держспецзв'язку, коли хтось із них має претензії до висновків первинної експертизи (таку експертизу здійснює інша організація).<br />
Експертиза відбувається за наступним планом:<br />
#Замовник надсилає на ім'я Голови (заступника Голови) Держспецзв'язку заяву на проведення експертизи КСЗІ або засобу ТЗІ. Замовник може також звернутися до цієї служби із заявою щодо проведення контрольної експертизи.<br />
#Експертна рада розглядає заяву у встановлені терміни та приймає рішення про доцільність експертизи і призначає її організатора. Стосунки між організатором і замовником регламентовано у договорі на проведення експертизи, що містить відомості про порядок фінансування, терміни експертизи тощо.<br />
#Організатор призначає експертів, яких буде залучено до виконання робіт.<br />
#Замовник надає організатору визначений НД ТЗІ комплект документації на об'єкт експертизи.<br />
#Організатор аналізує надані документи, загальні методики оцінювання ефективності засобу ТЗІ чи КСЗІ та формує програму і власні методики проведення експертизи об'єкта у визначені в договорі терміни, розробляє (за потреби) програмно-технічне забезпечення. Програма та окремі методики узгоджуються із замовником і Адміністрацією Держспецзв'язку.<br />
#Згідно з програмами та методиками здійснюють безпосередню експертизу, результати якої оформлюють у вигляді протоколу, який підписують експерти. Протокол затверджує організатор.<br />
#У разі виявлення невідповідностей об'єкта вимогам НД ТЗІ організатор може запропонувати замовнику доопрацювати об'єкт з метою усунення наявних недоліків.<br />
#Організатор складає та підписує експертний висновок, який визначає відповідність об'єкта експертизи вимогам НД ТЗІ.<br />
#Експертний висновок подають до Адміністрації Держспецзв'язку. Експертна рада його розглядає та, якщо висновок задовольняє всі вимоги, реєструє і передає замовнику. Замовник також отримує атестат відповідності, підписаний Головою Держспецзв'язку.<br />
<br />
== Сертифікації засобів технічного захисту інформації ==<br />
<br />
Сертифікацію засобів технічного захисту інформації здійснюють згідно з документом «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення». Керівними органами, які організовують і координують роботи із сертифікації, є такі:<br />
#Національний орган із сертифікації Державний комітет стандартизації, метрології та сертифікації України (Держстандарт України).<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку України.<br />
Метою сертифікації є встановити відповідність засобів технічного захисту інформації вимогам нормативних документів України з питань технічного захисту інформації, а також вимогам аналогічних іноземних нормативних документів, які діють в Україні. Організації, задіяні у процесі сертифікації, мають зберігати конфіденційність інформації, що становить професійну або комерційну таємницю.<br />
Процедура сертифікації складається з таких етапів.<br />
#Подання заявки на сертифікацію.<br />
#Розгляд заявки, прийняття рішення з визначенням схеми сертифікації.<br />
#Обстеження чи атестація виробництва засобів ТЗІ, які подано на сертифікацію, або сертифікація (оцінювання) системи якості, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
#Добирання зразків для випробувань із тих виробів, що пройшли приймальний контроль виробника та готові до реалізації. Процедуру добирання здійснюють у присутності представника заявника та оформлюють документально.<br />
#Ідентифікація засобів ТЗІ на підставі відповідності поданих на випробування зразків (та їхнього технічного стану) нормативним документам на цю продукцію.<br />
Зразки, що не пройшли ідентифікації, до випробувань не допускають. За результатами ідентифікації складають акт.<br />
#Випробування зразків. До випробувальної лабораторії доправляють зразки в опломбованому або запечатаному вигляді разом з актом їх добирання та ідентифікації. Якщо сертифікують невелику партію виробів (не більше 5), орган сертифікації може прийняти рішення не піддавати їх випробуванням, що можуть призвести до пошкодження зразків. Результати випробувань заносять до протоколу.<br />
#Аналіз результатів випробувань зразків і прийняття рішення щодо надання їм сертифіката відповідності.<br />
#Надання сертифіката відповідності, укладання ліцензійної угоди та занесення сертифікованих засобів до відповідного реєстру. Сертифікат відповідності на¬дається на один виріб, партію із зазначенням кількості виробів або на засоби, які підприємство випускає серійно протягом терміну, встановленого ліцензійною угодою, з правом маркування знаком відповідності кожної одиниці випущеної продукції.<br />
#Технічний нагляд за сертифікованими засобами під час їх виробництва здійснюють орган сертифікації, що надав сертифікат, органи із сертифікації систем якості чи територіальні центри стандартизації, метрології та сертифікації.<br />
#Результати сертифікації (копії сертифіката відповідності) орган сертифікації доправляє до Держстандарту і Держспецзв'язку України.<br />
Сертифікація системи якості — остаточне її оцінювання, яке здійснюють уповноважені органи за ініціативи замовника або на підставі рішення органу сертифікації, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
<br><br />
<br />
==Список літературних джерел==<br />
* Грайворонський М. В., Новіков О. М. Г14 Безпека інформаційно-комунікаційних систем. — К.: Видавнича група ВНУ, 2009. — 608 с.<br />
* Барсуков В.С. Безпека: технології, засоби, послуги / В.С. Борсуків. - М., 2001 - 496 с. <br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Комп'ютерні системи захисту інформації"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%96%D0%B2_%D1%96_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC_%D0%B7%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83_%D1%96%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=5448Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації2011-04-20T08:03:07Z<p>Svetik B7: /* Організація державної експертизи */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СН-41<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № ПК-07-002<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації}}<br />
'''Кваліфікаційний аналіз''' (рос. — квалификационный анализ, англ. — evaluation) — це аналіз інформаційно-комунікаційної системи (чи обчислювальної системи), що проводиться з метою визначення рівня її захищеності та відповідності вимогам безпеки на основі критеріїв стандарту безпеки.Кваліфікація рівня безпеки є кінцевим етапом технологічного циклу створення захищених систем, безпосередньо передує процедурі сертифікації і завершується присвоєнням комунікаційній системі того чи іншого класу чи рівня безпеки.<br />
<br><br />
<br />
== Кваліфікаційний аналіз, а також вимоги до нього ==<br />
<br />
*'''Види кваліфікаційного аналізу'''<br />
#Атестацію здійснюють задля оцінювання ефективності комплексу технічного захисту інформації, яка циркулює на об'єкті, від її витоку технічними каналами відповідно до вимог чинної нормативної бази.<br />
#Державну експертизу у сфері технічного захисту інформації (ТЗІ) проводять із метою оцінювання захищеності даних, які обробляються або циркулюють в об'єктах інформаційної діяльності (приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо). На основі результатів державної експертизи підтверджують відповідність компютерних систем захисту інформації та надають Атестат відповідності. Основні вимоги та засади проведення державної експертизи регламентовано в документі Положення про державну експертизу у сфері ТЗІ.<br />
#Сертифікацію засобів забезпечення ТЗІ здійснюють із метою підтвердження їх відповідності вимогам нормативних документів. Процедуру сертифікації регламентовано в документі «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення», її проводять за участі органів сертифікації, випробувальних лабораторій та деяких інших установ. Сертифікацію можуть проходити вироби вітчизняних і зарубіжних виробників. Передбачено механізм визнання сертифікатів, наданих органами інших країн.<br />
<br />
*'''Вимоги до кваліфікаційного аналізу'''<br />
Можна висувати різні вимоги, починаючи з вимог до якості об'єкта, що підлягає аналізу, виконуваних ним функцій і коректності функціонування та завершуючи вимогами до документації на цей об'єкт.<br />
Вимоги до самого процесу кваліфікаційного аналізу регламентовано у відповідних нормативних документах. Українська нормативна база передбачає такі види кваліфікаційного аналізу:<br />
#Атестація.<br />
#Державна експертиза.<br />
#Сертифікація.<br />
В Україні державним органом, на який покладено завдання здійснення державного контролю за станом криптографічного та технічного захисту інформації, є Державна служба спеціального зв'язку та захисту інформації України (Держспецзв'язку), що діє на підставі Закону України «Про Державну службу спеціального зв'язку та захисту інформації України» № 3475-15 від 23 лютого<br />
2006 року [266]. Раніше (до 2007 року) ці функції було покладено на Департамент спеціальних телекомунікаційних систем і захисту інформації (ДСТСЗІ) Служби безпеки України.<br />
<br />
== Організація державної експертизи ==<br />
<br />
Мета державної експертизи у сфері технічного захисту інформації оцінити захищеність інформації, яка обробляється або циркулює в інформаційних, телекомунікаційних та інформаційно-телекомунікаційних системах, а також у приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо (тобто на об'єктах інформаційної діяльності).<br />
<br />
*'''Положення про державну експертизу'''<br />
У державній експертизі беруть участь:<br />
#Замовники експертизи.<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку.<br />
#Організатори експертизи.<br />
#Експерти.<br />
Державну експертизу мають проходити такі об'єкти: <br />
#КСЗІ (комплексна система захисту інформації).<br />
#Окремі технічні та програмні засоби.<br />
Види експертизи:<br />
#Первинною - основний вид експертизи, коли виконують усі необхідні заходи щодо підготовки та прийняття рішення стосовно об'єкта;<br />
#Додатковою — здійснюється до об'єктів, на які впливають нові науково-технічні обставини, або у зв'язку із завершенням терміну дії висновків первинної експертизи;<br />
#Контрольною експертиза, яку проводять за ініціативи замовника чи Держспецзв'язку, коли хтось із них має претензії до висновків первинної експертизи (таку експертизу здійснює інша організація).<br />
Експертиза відбувається за наступним планом:<br />
#Замовник надсилає на ім'я Голови (заступника Голови) Держспецзв'язку заяву на проведення експертизи КСЗІ або засобу ТЗІ. Замовник може також звернутися до цієї служби із заявою щодо проведення контрольної експертизи.<br />
#Експертна рада розглядає заяву у встановлені терміни та приймає рішення про доцільність експертизи і призначає її організатора. Стосунки між організатором і замовником регламентовано у договорі на проведення експертизи, що містить відомості про порядок фінансування, терміни експертизи тощо.<br />
#Організатор призначає експертів, яких буде залучено до виконання робіт.<br />
#Замовник надає організатору визначений НД ТЗІ комплект документації на об'єкт експертизи.<br />
#Організатор аналізує надані документи, загальні методики оцінювання ефективності засобу ТЗІ чи КСЗІ та формує програму і власні методики проведення експертизи об'єкта у визначені в договорі терміни, розробляє (за потреби) програмно-технічне забезпечення. Програма та окремі методики узгоджуються із замовником і Адміністрацією Держспецзв'язку.<br />
#Згідно з програмами та методиками здійснюють безпосередню експертизу, результати якої оформлюють у вигляді протоколу, який підписують експерти. Протокол затверджує організатор.<br />
#У разі виявлення невідповідностей об'єкта вимогам НД ТЗІ організатор може запропонувати замовнику доопрацювати об'єкт з метою усунення наявних недоліків.<br />
#Організатор складає та підписує експертний висновок, який визначає відповідність об'єкта експертизи вимогам НД ТЗІ.<br />
#Експертний висновок подають до Адміністрації Держспецзв'язку. Експертна рада його розглядає та, якщо висновок задовольняє всі вимоги, реєструє і передає замовнику. Замовник також отримує атестат відповідності, підписаний Головою Держспецзв'язку.<br />
<br />
== Сертифікації засобів технічного захисту інформації ==<br />
<br />
Сертифікацію засобів технічного захисту інформації здійснюють згідно з документом «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загаль¬ного призначення». Керівними органами, які організовують і координують роботи із сертифікації, є такі:<br />
#Національний орган із сертифікації Державний комітет стандартизації, метрології та сертифікації України (Держстандарт України).<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку України.<br />
Метою сертифікації є встановити відповідність засобів технічного захисту інформації вимогам нормативних документів України з питань технічного захисту інформації, а також вимогам аналогічних іноземних нормативних документів, які діють в Україні. Організації, задіяні у процесі сертифікації, мають зберігати конфіденційність інформації, що становить професійну або комерційну таємницю.<br />
Процедура сертифікації складається з таких етапів.<br />
#Подання заявки на сертифікацію.<br />
#Розгляд заявки, прийняття рішення з визначенням схеми сертифікації.<br />
#Обстеження чи атестація виробництва засобів ТЗІ, які подано на сертифікацію, або сертифікація (оцінювання) системи якості, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
#Добирання зразків для випробувань із тих виробів, що пройшли приймальний контроль виробника та готові до реалізації. Процедуру добирання здійснюють у присутності представника заявника та оформлюють документально.<br />
#Ідентифікація засобів ТЗІ на підставі відповідності поданих на випробування зразків (та їхнього технічного стану) нормативним документам на цю продукцію.<br />
Зразки, що не пройшли ідентифікації, до випробувань не допускають. За результатами ідентифікації складають акт.<br />
#Випробування зразків. До випробувальної лабораторії доправляють зразки в опломбованому або запечатаному вигляді разом з актом їх добирання та ідентифікації. Якщо сертифікують невелику партію виробів (не більше 5), орган сертифікації може прийняти рішення не піддавати їх випробуванням, що можуть призвести до пошкодження зразків. Результати випробувань заносять до протоколу.<br />
#Аналіз результатів випробувань зразків і прийняття рішення щодо надання їм сертифіката відповідності.<br />
#Надання сертифіката відповідності, укладання ліцензійної угоди та занесення сертифікованих засобів до відповідного реєстру. Сертифікат відповідності на¬дається на один виріб, партію із зазначенням кількості виробів або на засоби, які підприємство випускає серійно протягом терміну, встановленого ліцензійною угодою, з правом маркування знаком відповідності кожної одиниці випущеної продукції.<br />
#Технічний нагляд за сертифікованими засобами під час їх виробництва здійснюють орган сертифікації, що надав сертифікат, органи із сертифікації систем якості чи територіальні центри стандартизації, метрології та сертифікації.<br />
#Результати сертифікації (копії сертифіката відповідності) орган сертифікації доправляє до Держстандарту і Держспецзв'язку України.<br />
Сертифікація системи якості — остаточне її оцінювання, яке здійснюють уповноважені органи за ініціативи замовника або на підставі рішення органу сертифікації, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
<br><br />
<br />
==Список літературних джерел==<br />
* Грайворонський М. В., Новіков О. М. Г14 Безпека інформаційно-комунікаційних систем. — К.: Видавнича група ВНУ, 2009. — 608 с.<br />
* Барсуков В.С. Безпека: технології, засоби, послуги / В.С. Борсуків. - М., 2001 - 496 с. <br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Комп'ютерні системи захисту інформації"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%96%D0%B2_%D1%96_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC_%D0%B7%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83_%D1%96%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=5447Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації2011-04-20T08:00:35Z<p>Svetik B7: /* Кваліфікаційний аналіз, а також вимоги до нього */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СН-41<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № ПК-07-002<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації}}<br />
'''Кваліфікаційний аналіз''' (рос. — квалификационный анализ, англ. — evaluation) — це аналіз інформаційно-комунікаційної системи (чи обчислювальної системи), що проводиться з метою визначення рівня її захищеності та відповідності вимогам безпеки на основі критеріїв стандарту безпеки.Кваліфікація рівня безпеки є кінцевим етапом технологічного циклу створення захищених систем, безпосередньо передує процедурі сертифікації і завершується присвоєнням комунікаційній системі того чи іншого класу чи рівня безпеки.<br />
<br><br />
<br />
== Кваліфікаційний аналіз, а також вимоги до нього ==<br />
<br />
*'''Види кваліфікаційного аналізу'''<br />
#Атестацію здійснюють задля оцінювання ефективності комплексу технічного захисту інформації, яка циркулює на об'єкті, від її витоку технічними каналами відповідно до вимог чинної нормативної бази.<br />
#Державну експертизу у сфері технічного захисту інформації (ТЗІ) проводять із метою оцінювання захищеності даних, які обробляються або циркулюють в об'єктах інформаційної діяльності (приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо). На основі результатів державної експертизи підтверджують відповідність компютерних систем захисту інформації та надають Атестат відповідності. Основні вимоги та засади проведення державної експертизи регламентовано в документі Положення про державну експертизу у сфері ТЗІ.<br />
#Сертифікацію засобів забезпечення ТЗІ здійснюють із метою підтвердження їх відповідності вимогам нормативних документів. Процедуру сертифікації регламентовано в документі «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення», її проводять за участі органів сертифікації, випробувальних лабораторій та деяких інших установ. Сертифікацію можуть проходити вироби вітчизняних і зарубіжних виробників. Передбачено механізм визнання сертифікатів, наданих органами інших країн.<br />
<br />
*'''Вимоги до кваліфікаційного аналізу'''<br />
Можна висувати різні вимоги, починаючи з вимог до якості об'єкта, що підлягає аналізу, виконуваних ним функцій і коректності функціонування та завершуючи вимогами до документації на цей об'єкт.<br />
Вимоги до самого процесу кваліфікаційного аналізу регламентовано у відповідних нормативних документах. Українська нормативна база передбачає такі види кваліфікаційного аналізу:<br />
#Атестація.<br />
#Державна експертиза.<br />
#Сертифікація.<br />
В Україні державним органом, на який покладено завдання здійснення державного контролю за станом криптографічного та технічного захисту інформації, є Державна служба спеціального зв'язку та захисту інформації України (Держспецзв'язку), що діє на підставі Закону України «Про Державну службу спеціального зв'язку та захисту інформації України» № 3475-15 від 23 лютого<br />
2006 року [266]. Раніше (до 2007 року) ці функції було покладено на Департамент спеціальних телекомунікаційних систем і захисту інформації (ДСТСЗІ) Служби безпеки України.<br />
<br />
== Організація державної експертизи ==<br />
<br />
Мета державної експертизи у сфері технічного захисту інформації оцінити захищеність інформації, яка обробляється або циркулює в інформаційних, теле¬комунікаційних та інформаційно-телекомунікаційних системах, а також у примі¬щеннях, інженерно-технічних спорудах тощо (тобто на об'єктах інформаційної діяльності).<br />
<br />
*'''Положення про державну експертизу'''<br />
У державній експертизі беруть участь:<br />
#Замовники експертизи.<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку.<br />
#Організатори експертизи.<br />
#Експерти.<br />
Державну експертизу мають проходити такі об'єкти: <br />
#КСЗІ (комплексна система захисту інформації).<br />
#Окремі технічні та програмні засоби.<br />
Види експертизи:<br />
#Первинною - основний вид експертизи, коли виконують усі необхідні заходи щодо підготовки та прийняття рішення стосовно об'єкта;<br />
#Додатковою — здійснюється до об'єктів, на які впливають нові науково-тех¬нічні обставини, або у зв'язку із завершенням терміну дії висновків первинної експертизи;<br />
#Контрольною експертиза, яку проводять за ініціативи замовника чи Держспецзв'язку, коли хтось із них має претензії до висновків первинної експертизи (таку експертизу здійснює інша організація).<br />
Експертиза відбувається за наступним планом:<br />
#Замовник надсилає на ім'я Голови (заступника Голови) Держспецзв'язку заяву на проведення експертизи КСЗІ або засобу ТЗІ. Замовник може також звернутися до цієї служби із заявою щодо проведення контрольної експертизи.<br />
#Експертна рада розглядає заяву у встановлені терміни та приймає рішення про доцільність експертизи і призначає її організатора. Стосунки між організато¬ром і замовником регламентовано у договорі на проведення експертизи, що містить відомості про порядок фінансування, терміни експертизи тощо.<br />
#Організатор призначає експертів, яких буде залучено до виконання робіт.<br />
#Замовник надає організатору визначений НД ТЗІ комплект документації на об'єкт експертизи.<br />
#Організатор аналізує надані документи, загальні методики оцінювання ефек¬тивності засобу ТЗІ чи КСЗІ та формує програму і власні методики проведен¬ня експертизи об'єкта у визначені в договорі терміни, розробляє (за потреби) програмно-технічне забезпечення. Програма та окремі методики узгоджують¬ся із замовником і Адміністрацією Держспецзв'язку.<br />
#Згідно з програмами та методиками здійснюють безпосередню експертизу, ре¬зультати якої оформлюють у вигляді протоколу, який підписують експерти. Протокол затверджує організатор.<br />
#У разі виявлення невідповідностей об'єкта вимогам НД ТЗІ організатор може запропонувати замовнику доопрацювати об'єкт з метою усунення наявних недоліків.<br />
#Організатор складає та підписує експертний висновок, який визначає відпо¬відність об'єкта експертизи вимогам НД ТЗІ.<br />
#Експертний висновок подають до Адміністрації Держспецзв'язку. Експертна рада його розглядає та, якщо висновок задовольняє всі вимоги, реєструє і пе¬редає замовнику. Замовник також отримує атестат відповідності, підписаний Головою Держспецзв'язку.<br />
<br />
== Сертифікації засобів технічного захисту інформації ==<br />
<br />
Сертифікацію засобів технічного захисту інформації здійснюють згідно з документом «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загаль¬ного призначення». Керівними органами, які організовують і координують роботи із сертифікації, є такі:<br />
#Національний орган із сертифікації Державний комітет стандартизації, метрології та сертифікації України (Держстандарт України).<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку України.<br />
Метою сертифікації є встановити відповідність засобів технічного захисту інформації вимогам нормативних документів України з питань технічного захисту інформації, а також вимогам аналогічних іноземних нормативних документів, які діють в Україні. Організації, задіяні у процесі сертифікації, мають зберігати конфіденційність інформації, що становить професійну або комерційну таємницю.<br />
Процедура сертифікації складається з таких етапів.<br />
#Подання заявки на сертифікацію.<br />
#Розгляд заявки, прийняття рішення з визначенням схеми сертифікації.<br />
#Обстеження чи атестація виробництва засобів ТЗІ, які подано на сертифікацію, або сертифікація (оцінювання) системи якості, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
#Добирання зразків для випробувань із тих виробів, що пройшли приймальний контроль виробника та готові до реалізації. Процедуру добирання здійснюють у присутності представника заявника та оформлюють документально.<br />
#Ідентифікація засобів ТЗІ на підставі відповідності поданих на випробування зразків (та їхнього технічного стану) нормативним документам на цю продукцію.<br />
Зразки, що не пройшли ідентифікації, до випробувань не допускають. За результатами ідентифікації складають акт.<br />
#Випробування зразків. До випробувальної лабораторії доправляють зразки в опломбованому або запечатаному вигляді разом з актом їх добирання та ідентифікації. Якщо сертифікують невелику партію виробів (не більше 5), орган сертифікації може прийняти рішення не піддавати їх випробуванням, що можуть призвести до пошкодження зразків. Результати випробувань заносять до протоколу.<br />
#Аналіз результатів випробувань зразків і прийняття рішення щодо надання їм сертифіката відповідності.<br />
#Надання сертифіката відповідності, укладання ліцензійної угоди та занесення сертифікованих засобів до відповідного реєстру. Сертифікат відповідності на¬дається на один виріб, партію із зазначенням кількості виробів або на засоби, які підприємство випускає серійно протягом терміну, встановленого ліцензійною угодою, з правом маркування знаком відповідності кожної одиниці випущеної продукції.<br />
#Технічний нагляд за сертифікованими засобами під час їх виробництва здійснюють орган сертифікації, що надав сертифікат, органи із сертифікації систем якості чи територіальні центри стандартизації, метрології та сертифікації.<br />
#Результати сертифікації (копії сертифіката відповідності) орган сертифікації доправляє до Держстандарту і Держспецзв'язку України.<br />
Сертифікація системи якості — остаточне її оцінювання, яке здійснюють уповноважені органи за ініціативи замовника або на підставі рішення органу сертифікації, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
<br><br />
<br />
==Список літературних джерел==<br />
* Грайворонський М. В., Новіков О. М. Г14 Безпека інформаційно-комунікаційних систем. — К.: Видавнича група ВНУ, 2009. — 608 с.<br />
* Барсуков В.С. Безпека: технології, засоби, послуги / В.С. Борсуків. - М., 2001 - 496 с. <br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Комп'ютерні системи захисту інформації"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%96%D0%B2_%D1%96_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC_%D0%B7%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83_%D1%96%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=5445Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації2011-04-20T06:30:26Z<p>Svetik B7: /* Список літературних джерел */</p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СН-41<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № ПК-07-002<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації}}<br />
'''Кваліфікаційний аналіз''' (рос. — квалификационный анализ, англ. — evaluation) — це аналіз інформаційно-комунікаційної системи (чи обчислювальної системи), що проводиться з метою визначення рівня її захищеності та відповідності вимогам безпеки на основі критеріїв стандарту безпеки.Кваліфікація рівня безпеки є кінцевим етапом технологічного циклу створення захищених систем, безпосередньо передує процедурі сертифікації і завершується присвоєнням комунікаційній системі того чи іншого класу чи рівня безпеки.<br />
<br><br />
<br />
== Кваліфікаційний аналіз, а також вимоги до нього ==<br />
<br />
*'''Види кваліфікаційного аналізу'''<br />
#Атестацію здійснюють задля оцінювання ефективності комплексу технічного захисту інформації, яка циркулює на об'єкті, від її витоку технічними каналами відповідно до вимог чинної нормативної бази.<br />
#Державну експертизу у сфері технічного захисту інформації проводять із метою оцінювання захищеності даних, які обробляються або циркулюють в об'єктах інформаційної діяльності (приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо). На основі результатів державної експертизи підтверджують відповідність компютерних систем захисту інформації та надають Атестат відповідності. Основні вимоги та засади проведення державної експертизи регламентовано в документі Положення про державну експертизу у сфері ТЗІ.<br />
#Сертифікацію засобів забезпечення ТЗІ здійснюють із метою підтвердження їх відповідності вимогам нормативних документів. Процедуру сертифікації регламентовано в документі «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення», її проводять за участі органів сертифікації, випробувальних лабораторій та деяких інших установ. Сертифікацію можуть проходити вироби вітчизняних і зарубіжних виробників. Передбачено механізм визнання сертифікатів, наданих органами інших країн.<br />
<br />
*'''Вимоги до кваліфікаційного аналізу'''<br />
Можна висувати різні вимоги, починаючи з вимог до якості об'єкта, що підлягає аналізу, виконуваних ним функцій і коректності функціонування та завершуючи вимогами до документації на цей об'єкт.<br />
Вимоги до самого процесу кваліфікаційного аналізу регламентовано у відповідних нормативних документах. Українська нормативна база передбачає такі види кваліфікаційного аналізу:<br />
#Атестація.<br />
#Державна експертиза.<br />
#Сертифікація.<br />
В Україні державним органом, на який покладено завдання здійснення дер¬жавного контролю за станом криптографічного та технічного захисту інфор¬мації, є Державна служба спеціального зв'язку та захисту інформації України (Держспецзв'язку), що діє на підставі Закону України «Про Державну службу спеціального зв'язку та захисту інформації України» № 3475-15 від 23 лютого<br />
2006 року [266]. Раніше (до 2007 року) ці функції було покладено на Департа¬мент спеціальних телекомунікаційних систем і захисту інформації (ДСТСЗІ) Служби безпеки України.<br />
<br />
== Організація державної експертизи ==<br />
<br />
Мета державної експертизи у сфері технічного захисту інформації оцінити захищеність інформації, яка обробляється або циркулює в інформаційних, теле¬комунікаційних та інформаційно-телекомунікаційних системах, а також у примі¬щеннях, інженерно-технічних спорудах тощо (тобто на об'єктах інформаційної діяльності).<br />
<br />
*'''Положення про державну експертизу'''<br />
У державній експертизі беруть участь:<br />
#Замовники експертизи.<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку.<br />
#Організатори експертизи.<br />
#Експерти.<br />
Державну експертизу мають проходити такі об'єкти: <br />
#КСЗІ (комплексна система захисту інформації).<br />
#Окремі технічні та програмні засоби.<br />
Види експертизи:<br />
#Первинною - основний вид експертизи, коли виконують усі необхідні заходи щодо підготовки та прийняття рішення стосовно об'єкта;<br />
#Додатковою — здійснюється до об'єктів, на які впливають нові науково-тех¬нічні обставини, або у зв'язку із завершенням терміну дії висновків первинної експертизи;<br />
#Контрольною експертиза, яку проводять за ініціативи замовника чи Держспецзв'язку, коли хтось із них має претензії до висновків первинної експертизи (таку експертизу здійснює інша організація).<br />
Експертиза відбувається за наступним планом:<br />
#Замовник надсилає на ім'я Голови (заступника Голови) Держспецзв'язку заяву на проведення експертизи КСЗІ або засобу ТЗІ. Замовник може також звернутися до цієї служби із заявою щодо проведення контрольної експертизи.<br />
#Експертна рада розглядає заяву у встановлені терміни та приймає рішення про доцільність експертизи і призначає її організатора. Стосунки між організато¬ром і замовником регламентовано у договорі на проведення експертизи, що містить відомості про порядок фінансування, терміни експертизи тощо.<br />
#Організатор призначає експертів, яких буде залучено до виконання робіт.<br />
#Замовник надає організатору визначений НД ТЗІ комплект документації на об'єкт експертизи.<br />
#Організатор аналізує надані документи, загальні методики оцінювання ефек¬тивності засобу ТЗІ чи КСЗІ та формує програму і власні методики проведен¬ня експертизи об'єкта у визначені в договорі терміни, розробляє (за потреби) програмно-технічне забезпечення. Програма та окремі методики узгоджують¬ся із замовником і Адміністрацією Держспецзв'язку.<br />
#Згідно з програмами та методиками здійснюють безпосередню експертизу, ре¬зультати якої оформлюють у вигляді протоколу, який підписують експерти. Протокол затверджує організатор.<br />
#У разі виявлення невідповідностей об'єкта вимогам НД ТЗІ організатор може запропонувати замовнику доопрацювати об'єкт з метою усунення наявних недоліків.<br />
#Організатор складає та підписує експертний висновок, який визначає відпо¬відність об'єкта експертизи вимогам НД ТЗІ.<br />
#Експертний висновок подають до Адміністрації Держспецзв'язку. Експертна рада його розглядає та, якщо висновок задовольняє всі вимоги, реєструє і пе¬редає замовнику. Замовник також отримує атестат відповідності, підписаний Головою Держспецзв'язку.<br />
<br />
== Сертифікації засобів технічного захисту інформації ==<br />
<br />
Сертифікацію засобів технічного захисту інформації здійснюють згідно з документом «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загаль¬ного призначення». Керівними органами, які організовують і координують роботи із сертифікації, є такі:<br />
#Національний орган із сертифікації Державний комітет стандартизації, метрології та сертифікації України (Держстандарт України).<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку України.<br />
Метою сертифікації є встановити відповідність засобів технічного захисту інформації вимогам нормативних документів України з питань технічного захисту інформації, а також вимогам аналогічних іноземних нормативних документів, які діють в Україні. Організації, задіяні у процесі сертифікації, мають зберігати конфіденційність інформації, що становить професійну або комерційну таємницю.<br />
Процедура сертифікації складається з таких етапів.<br />
#Подання заявки на сертифікацію.<br />
#Розгляд заявки, прийняття рішення з визначенням схеми сертифікації.<br />
#Обстеження чи атестація виробництва засобів ТЗІ, які подано на сертифікацію, або сертифікація (оцінювання) системи якості, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
#Добирання зразків для випробувань із тих виробів, що пройшли приймальний контроль виробника та готові до реалізації. Процедуру добирання здійснюють у присутності представника заявника та оформлюють документально.<br />
#Ідентифікація засобів ТЗІ на підставі відповідності поданих на випробування зразків (та їхнього технічного стану) нормативним документам на цю продукцію.<br />
Зразки, що не пройшли ідентифікації, до випробувань не допускають. За результатами ідентифікації складають акт.<br />
#Випробування зразків. До випробувальної лабораторії доправляють зразки в опломбованому або запечатаному вигляді разом з актом їх добирання та ідентифікації. Якщо сертифікують невелику партію виробів (не більше 5), орган сертифікації може прийняти рішення не піддавати їх випробуванням, що можуть призвести до пошкодження зразків. Результати випробувань заносять до протоколу.<br />
#Аналіз результатів випробувань зразків і прийняття рішення щодо надання їм сертифіката відповідності.<br />
#Надання сертифіката відповідності, укладання ліцензійної угоди та занесення сертифікованих засобів до відповідного реєстру. Сертифікат відповідності на¬дається на один виріб, партію із зазначенням кількості виробів або на засоби, які підприємство випускає серійно протягом терміну, встановленого ліцензійною угодою, з правом маркування знаком відповідності кожної одиниці випущеної продукції.<br />
#Технічний нагляд за сертифікованими засобами під час їх виробництва здійснюють орган сертифікації, що надав сертифікат, органи із сертифікації систем якості чи територіальні центри стандартизації, метрології та сертифікації.<br />
#Результати сертифікації (копії сертифіката відповідності) орган сертифікації доправляє до Держстандарту і Держспецзв'язку України.<br />
Сертифікація системи якості — остаточне її оцінювання, яке здійснюють уповноважені органи за ініціативи замовника або на підставі рішення органу сертифікації, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
<br><br />
<br />
==Список літературних джерел==<br />
* Грайворонський М. В., Новіков О. М. Г14 Безпека інформаційно-комунікаційних систем. — К.: Видавнича група ВНУ, 2009. — 608 с.<br />
* Барсуков В.С. Безпека: технології, засоби, послуги / В.С. Борсуків. - М., 2001 - 496 с. <br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Комп'ютерні системи захисту інформації"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]</div>Svetik B7https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D1%96%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D0%B7%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B1%D1%96%D0%B2_%D1%96_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC_%D0%B7%D0%B0%D1%85%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83_%D1%96%D0%BD%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%97&diff=5444Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації2011-04-20T06:29:01Z<p>Svetik B7: </p>
<hr />
<div>{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"<br />
<br />
|-<br />
| '''Прізвище''' || Барабаш<br />
|-<br />
| '''Ім'я''' || Світлана<br />
|-<br />
| '''По-батькові''' || Богданівна<br />
|-<br />
| '''Факультет''' || ФІС<br />
|-<br />
| '''Група''' || СН-41<br />
|-<br />
| '''Залікова книжка''' || № ПК-07-002<br />
|}<br />
<br><br />
{{Презентація доповіді |title= Кваліфікаційний аналіз засобів і систем захисту інформації}}<br />
'''Кваліфікаційний аналіз''' (рос. — квалификационный анализ, англ. — evaluation) — це аналіз інформаційно-комунікаційної системи (чи обчислювальної системи), що проводиться з метою визначення рівня її захищеності та відповідності вимогам безпеки на основі критеріїв стандарту безпеки.Кваліфікація рівня безпеки є кінцевим етапом технологічного циклу створення захищених систем, безпосередньо передує процедурі сертифікації і завершується присвоєнням комунікаційній системі того чи іншого класу чи рівня безпеки.<br />
<br><br />
<br />
== Кваліфікаційний аналіз, а також вимоги до нього ==<br />
<br />
*'''Види кваліфікаційного аналізу'''<br />
#Атестацію здійснюють задля оцінювання ефективності комплексу технічного захисту інформації, яка циркулює на об'єкті, від її витоку технічними каналами відповідно до вимог чинної нормативної бази.<br />
#Державну експертизу у сфері технічного захисту інформації проводять із метою оцінювання захищеності даних, які обробляються або циркулюють в об'єктах інформаційної діяльності (приміщеннях, інженерно-технічних спорудах тощо). На основі результатів державної експертизи підтверджують відповідність компютерних систем захисту інформації та надають Атестат відповідності. Основні вимоги та засади проведення державної експертизи регламентовано в документі Положення про державну експертизу у сфері ТЗІ.<br />
#Сертифікацію засобів забезпечення ТЗІ здійснюють із метою підтвердження їх відповідності вимогам нормативних документів. Процедуру сертифікації регламентовано в документі «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загального призначення», її проводять за участі органів сертифікації, випробувальних лабораторій та деяких інших установ. Сертифікацію можуть проходити вироби вітчизняних і зарубіжних виробників. Передбачено механізм визнання сертифікатів, наданих органами інших країн.<br />
<br />
*'''Вимоги до кваліфікаційного аналізу'''<br />
Можна висувати різні вимоги, починаючи з вимог до якості об'єкта, що підлягає аналізу, виконуваних ним функцій і коректності функціонування та завершуючи вимогами до документації на цей об'єкт.<br />
Вимоги до самого процесу кваліфікаційного аналізу регламентовано у відповідних нормативних документах. Українська нормативна база передбачає такі види кваліфікаційного аналізу:<br />
#Атестація.<br />
#Державна експертиза.<br />
#Сертифікація.<br />
В Україні державним органом, на який покладено завдання здійснення дер¬жавного контролю за станом криптографічного та технічного захисту інфор¬мації, є Державна служба спеціального зв'язку та захисту інформації України (Держспецзв'язку), що діє на підставі Закону України «Про Державну службу спеціального зв'язку та захисту інформації України» № 3475-15 від 23 лютого<br />
2006 року [266]. Раніше (до 2007 року) ці функції було покладено на Департа¬мент спеціальних телекомунікаційних систем і захисту інформації (ДСТСЗІ) Служби безпеки України.<br />
<br />
== Організація державної експертизи ==<br />
<br />
Мета державної експертизи у сфері технічного захисту інформації оцінити захищеність інформації, яка обробляється або циркулює в інформаційних, теле¬комунікаційних та інформаційно-телекомунікаційних системах, а також у примі¬щеннях, інженерно-технічних спорудах тощо (тобто на об'єктах інформаційної діяльності).<br />
<br />
*'''Положення про державну експертизу'''<br />
У державній експертизі беруть участь:<br />
#Замовники експертизи.<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку.<br />
#Організатори експертизи.<br />
#Експерти.<br />
Державну експертизу мають проходити такі об'єкти: <br />
#КСЗІ (комплексна система захисту інформації).<br />
#Окремі технічні та програмні засоби.<br />
Види експертизи:<br />
#Первинною - основний вид експертизи, коли виконують усі необхідні заходи щодо підготовки та прийняття рішення стосовно об'єкта;<br />
#Додатковою — здійснюється до об'єктів, на які впливають нові науково-тех¬нічні обставини, або у зв'язку із завершенням терміну дії висновків первинної експертизи;<br />
#Контрольною експертиза, яку проводять за ініціативи замовника чи Держспецзв'язку, коли хтось із них має претензії до висновків первинної експертизи (таку експертизу здійснює інша організація).<br />
Експертиза відбувається за наступним планом:<br />
#Замовник надсилає на ім'я Голови (заступника Голови) Держспецзв'язку заяву на проведення експертизи КСЗІ або засобу ТЗІ. Замовник може також звернутися до цієї служби із заявою щодо проведення контрольної експертизи.<br />
#Експертна рада розглядає заяву у встановлені терміни та приймає рішення про доцільність експертизи і призначає її організатора. Стосунки між організато¬ром і замовником регламентовано у договорі на проведення експертизи, що містить відомості про порядок фінансування, терміни експертизи тощо.<br />
#Організатор призначає експертів, яких буде залучено до виконання робіт.<br />
#Замовник надає організатору визначений НД ТЗІ комплект документації на об'єкт експертизи.<br />
#Організатор аналізує надані документи, загальні методики оцінювання ефек¬тивності засобу ТЗІ чи КСЗІ та формує програму і власні методики проведен¬ня експертизи об'єкта у визначені в договорі терміни, розробляє (за потреби) програмно-технічне забезпечення. Програма та окремі методики узгоджують¬ся із замовником і Адміністрацією Держспецзв'язку.<br />
#Згідно з програмами та методиками здійснюють безпосередню експертизу, ре¬зультати якої оформлюють у вигляді протоколу, який підписують експерти. Протокол затверджує організатор.<br />
#У разі виявлення невідповідностей об'єкта вимогам НД ТЗІ організатор може запропонувати замовнику доопрацювати об'єкт з метою усунення наявних недоліків.<br />
#Організатор складає та підписує експертний висновок, який визначає відпо¬відність об'єкта експертизи вимогам НД ТЗІ.<br />
#Експертний висновок подають до Адміністрації Держспецзв'язку. Експертна рада його розглядає та, якщо висновок задовольняє всі вимоги, реєструє і пе¬редає замовнику. Замовник також отримує атестат відповідності, підписаний Головою Держспецзв'язку.<br />
<br />
== Сертифікації засобів технічного захисту інформації ==<br />
<br />
Сертифікацію засобів технічного захисту інформації здійснюють згідно з документом «Порядок проведення робіт із сертифікації засобів забезпечення технічного захисту інформації загаль¬ного призначення». Керівними органами, які організовують і координують роботи із сертифікації, є такі:<br />
#Національний орган із сертифікації Державний комітет стандартизації, метрології та сертифікації України (Держстандарт України).<br />
#Адміністрація Держспецзв'язку України.<br />
Метою сертифікації є встановити відповідність засобів технічного захисту інформації вимогам нормативних документів України з питань технічного захисту інформації, а також вимогам аналогічних іноземних нормативних документів, які діють в Україні. Організації, задіяні у процесі сертифікації, мають зберігати конфіденційність інформації, що становить професійну або комерційну таємницю.<br />
Процедура сертифікації складається з таких етапів.<br />
#Подання заявки на сертифікацію.<br />
#Розгляд заявки, прийняття рішення з визначенням схеми сертифікації.<br />
#Обстеження чи атестація виробництва засобів ТЗІ, які подано на сертифікацію, або сертифікація (оцінювання) системи якості, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
#Добирання зразків для випробувань із тих виробів, що пройшли приймальний контроль виробника та готові до реалізації. Процедуру добирання здійснюють у присутності представника заявника та оформлюють документально.<br />
#Ідентифікація засобів ТЗІ на підставі відповідності поданих на випробування зразків (та їхнього технічного стану) нормативним документам на цю продукцію.<br />
Зразки, що не пройшли ідентифікації, до випробувань не допускають. За результатами ідентифікації складають акт.<br />
#Випробування зразків. До випробувальної лабораторії доправляють зразки в опломбованому або запечатаному вигляді разом з актом їх добирання та ідентифікації. Якщо сертифікують невелику партію виробів (не більше 5), орган сертифікації може прийняти рішення не піддавати їх випробуванням, що можуть призвести до пошкодження зразків. Результати випробувань заносять до протоколу.<br />
#Аналіз результатів випробувань зразків і прийняття рішення щодо надання їм сертифіката відповідності.<br />
#Надання сертифіката відповідності, укладання ліцензійної угоди та занесення сертифікованих засобів до відповідного реєстру. Сертифікат відповідності на¬дається на один виріб, партію із зазначенням кількості виробів або на засоби, які підприємство випускає серійно протягом терміну, встановленого ліцензійною угодою, з правом маркування знаком відповідності кожної одиниці випущеної продукції.<br />
#Технічний нагляд за сертифікованими засобами під час їх виробництва здійснюють орган сертифікації, що надав сертифікат, органи із сертифікації систем якості чи територіальні центри стандартизації, метрології та сертифікації.<br />
#Результати сертифікації (копії сертифіката відповідності) орган сертифікації доправляє до Держстандарту і Держспецзв'язку України.<br />
Сертифікація системи якості — остаточне її оцінювання, яке здійснюють уповноважені органи за ініціативи замовника або на підставі рішення органу сертифікації, якщо це передбачено схемою сертифікації.<br />
<br><br />
<br />
==Список літературних джерел==<br />
* Грайворонський М. В., Новіков О. М. Г14 Безпека інформаційно-комунікаційних систем. — К.: Видавнича група ВНУ, 2009. — 608 с: іл. 18ВЫ 966-552-167-5 .<br />
* Барсуков В.С. Безпека: технології, засоби, послуги / В.С. Борсуків. - М., 2001 - 496 с. <br />
<br />
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Комп'ютерні системи захисту інформації"]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]</div>Svetik B7