Wiki ТНТУ - Внесок користувача [uk]

Гусениця SSA

2012-03-05T16:42:53Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Студент |img=Нема | Name=Володимир| Surname=Стодола| FatherNAme=Романович|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СН-10-099}}
'''Гусениця SSA'''(Singular spectrum analysis) - метод аналізу часових рядів, заснований на перетворенні одновимірного часового ряду в багатовимірний ряд та подальшого застосування до отриманого багатовимірному тимчасовому ряду [[Метод головних компонент|методу головних компонент]].

Спосіб перетворення одновимірного ряду в багатовимірний представляє собою «згортку» одновимірного в матрицю, що містить фрагменти одновимірного ряду, отримані з деяким зміщенням. Загальний вигляд процедури зсуву нагадує «гусеницю», тому сам метод нерідко так і називають - «Гусениця»: довжина фрагмента називається довжиною «гусениці», а величина зсуву одного фрагмента щодо іншого кроком «гусениці».

== Історія винекнення ==
*Broomhead і King (1986) пропонують використовувати SSA і М-SSA в контексті нелінійної динаміки в цілях відновлення атрактор системи з виміряних часових рядів;
*Ghil, Vautard і співробітники (Vautard і Ghil, 1989; Ghil і Vautard, 1991;. Vautard та ін, 1992) зауважив, аналогію між траєкторією матриця Broomhead і King, з одного боку, і Karhunen (1946)-Loève (1945) аналіз головних компонент у домені часу, з іншого. Таким чином, SSA може бути використаний як метод області часу і частоти для аналізу часових рядів - незалежно від аттрактора реконструкції і в тому числі випадків, в яких останній може дати збій;
*В даний час роботи, присвячені методологічним аспектам та застосування SSA обчислююься сотнями. Багато літератури надаються Elsner and Tsonis (1996), Danilov and Zhigljavsky (1997), Golyandina et al. (2001), and Ghil et al. (2002).
== Ідеї створення ==
*Першою ідеєю, що лежить в основі методу, є створення повторюваності шляхом переходу від тимчасового ряду, наприклад послідовності цін у рівновіддалені моменти часу, до послідовності векторів, що складаються з відрізків тимчасового ряду обраної довжини. Таким чином, виходить багатовимірна вибірка, іншими словами, мається на увазі, що якщо вихідний ряд мав якусь структуру, то і відрізки успадковують цю структуру.
*Другою ідеєю є аналіз отриманої багатовимірної вибірки за допомогою її сингулярного розкладання або, використовуючи статистичні аналогії, аналізу головних компонент, виділення значущих компонент і подальшому відновленні, заснованому на угрупованню і діагональному усередненні. Тим самим виходить розкладання вихідного часового ряду (його траекторної матриці) по базису, породжуваному їм самим.
== Актуальність використання SSA ==

*В даний час актуальним є аналіз і прогнозування товарних і фінансових ринків з використанням методів математичної статистики.
Традиційні підходи, засновані на використанні класичних моделей типу "тренд + шум» або «авторегресії - ковзного середнього» призводять до задовільних результатів лише для рядів досить простої структури;
*Особливістю тимчасових рядів, що відображають поведінку ринку, є те, що їх характеристики (ціни, обсяги угод, індикатори і т.д.) формуються з декількох складових: повільної - трендом, періодичної чи коливальної складової і випадкової складової описуваної випадковим процесом певного типу;
*Важливою особливістю періодичної складової, у свою чергу, є наявність періодичності зі змінним періодом і амплітудою;
*З причини розглянутих особливостей для дослідження фінансових ринків погано застосовні класичні методи аналізу, такі як аналіз Фур'є, регресійний аналіз чи вейвлет-аналіз, тому що вони використовують розкладання вихідної функції в ряд по фіксованій системі базисних функцій, що породжує властивість строгої періодичності.
Альтернативним підходом, використовуваним для аналізу та прогнозу ринків, є Сингулярний Спектральний Аналіз SSA (Singular Spectrum Analysis), заснований на динамічній модифікації методу головних компонент. Даний підхід заснований на дослідженні тимчасового ряду методом головних компонент і не вимагає попередньої стабілізації ряду. SSA дозволяє досліджувати структуру часового ряду, виділити окремі його складові та прогнозувати як сам ряд, так і тенденції розвитку його складових.

''Особливостями методу є такі його властивості, як ''
*інтерактивність ;
*візуалізація результатів обчислень.

== Модифікація методу для аналізу рядів з пропусками ==
Нехай вихідний часовий ряд складається з N елементів, частина яких невідома. Опишемо схему алгоритму для випадку відновлення першої складової ряду на основі суми двох:

Перший етап: ''розкладання''

''1. Вкладення.'' Зафіксуємо довжину вікна L:1<L<N. Процедура вкладення переводить вихідний тимчасовий ряд у послідовність L - вимірних векторів вкладення , де К = N- L +1. Частина векторів вкладення може мати пропуски. З векторів вкладення без пропусків утворюємо матрицю . яка при відсутності перепусток збігається з траекторной матрицею ряду .

''2. Знаходження базису.'' Нехай S=X`*XT ,
λ1… λL – власні числа матриці, взяті з не зростаючим порядком λ1>… λL>0

== Список використаних джерел ==

[[Категорія: Планування експерименту]]

GPGPU

2012-03-05T16:42:51Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Студент |img=Нема | Name=Мотиль| Surname= Галина| FatherNAme=Ярославівна |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СН-10-090}}
'''GPGPU'''(General-Purpose computing on Graphics Processing Units) - техніка використаня графічного процесора відеокарти для загальних обчислень, які зазвичай виконує центральний процесор.

== Передумови виникнення GPGPU ==
Вже в 2003 ріоці, Intel і AMD брали участь у спільній гонці за самий потужний процесор. Всього за кілька років у результаті цієї гонки тактові частоти суттєво зросли, особливо після виходу Intel Pentium 4.
[[Файл:Еволюція_CPU_i_GPU.jpg|200px|thumb|right|Еволюція GPU i CPU]]Але перегони швидко наближалася до межі. Після хвилі величезного приросту тактових частот (між 2001 і 2003 роками тактова частота Pentium 4 подвоїлася з 1,5 до 3 ГГц), користувачам довелося задовольнятися десятими частками гігагерц, які змогли вичавити виробники (з 2003 до 2005 тактові частоти збільшилися всього з 3 до 3,8 ГГц). Розробники архітектури CPU підійшли до закону скорочення приросту: число транзисторів, що було потрібно додати для потрібного збільшення продуктивності, ставало все більшим, заводячи в глухий кут.
Поки виробники CPU рвали на голові останнє волосся, намагаючись знайти вирішення своїх проблем, виробники GPU продовжували чудово вигравати від переваг закону Мура.
Робота GPU відносно проста. Вона полягає у прийнятті групи полігонів з одного боку і генерації групи пікселів з іншого. Полігони і пікселі незалежні один від одного, тому їх можна обробляти паралельно.
Таким чином, в GPU можна виділити велику частину кристала на обчислювальні блоки, які, на відміну від CPU, будуть реально використовуватися.
GPU відрізняється від CPU не тільки цим. Доступ до пам'яті в GPU дуже пов'язаний - коли записується піксель, то через кілька тактів буде записуватися сусідній. Розумно організовуючи пам'ять, можна отримати продуктивність, близьку до теоретичної пропускної здатності. Це означає, що GPU, на відміну від CPU, не потрібно великого кеша, оскільки його роль полягає у прискоренні операцій текстурування.
В результаті, з'явився такий напрямок, як GPGPU

''Основними властивостями якого є:''
*Використання графічного процесора для вирішення неграфічних задач;
*Вся робота з GPU іде через API (OpenGL, D3D);
*Програми використовують відразу 2 мови: одну традиційну(С++) і одну шейдерну;
*Обмеження, притаманні графічним API;

== Технологія CUDA ==
CUDA (. Compute Unified Device Architecture) — технологія GPGPU (англ. General-purpose computing on Graphics Processing Units), що дозволяє програмістам реалізовувати мовою програмування С алгоритми, що виконуватимуться на графічних процесорах Geforce восьмого покоління і старше (Geforce 8 Series, Geforce 9 Series, Geforce 200 Series), Nvidia Quadro і Tesla компанії Nvidia. Технологія CUDA розроблена компанією Nvidia.
Технологія CUDA — це середовище розробки на С, яка дозволяє програмістам і розробникам писати програмне забезпечення для вирішення складних обчислювальних завдань за менший час завдяки багатоядерній обчислювальній потужності графічних процесорів. Простіше кажучи, графічна підсистема комп'ютера з підтримкою CUDA може бути використана, як обчислювальна.
CUDA дає розробникові можливість на свій розсуд організовувати доступ до набору інструкцій графічного прискорювача і управляти його пам'яттю, організовувати на ньому складні паралельні обчислення. Графічний процесор з підтримкою CUDA стає потужною програмованою відкритою архітектурою подібно до сьогоднішніх центральних процесорів.
Все це надає в розпорядження розробника низькорівневий, розподілюваний і високошвидкісний доступ до устаткування, роблячи CUDA необхідною основою при побудові серйозних високорівневих інструментів, таких як компілятори, відладчики, математичні бібліотеки, програмні платформи.
Використовує grid-модель пам'яті, кластерне моделювання потоків і SIMD інструкції. Застосовується в основному для високозатратних графічних обчислень і розробок nvidia-сумісного графічного API. Включена можливість підключення до застосунків, що використовують OpenGL 9 і Microsoft Direct3D . Створений у версіях для Linux і Windows.
[[Файл:Pidhid_CUDA.JPG‎ |200px|thumb|right|Основний підхід в технологіяї CUDA]]Первинна версія CUDA SDK була представлена 15 лютого 2007 року. У основі CUDA API лежить розширена мова C. Для успішної трансляції коду цією мовою, до складу CUDA SDK входить власний C-компілятор командного рядка nvcc компанії Nvidia. Компілятор nvcc створений на основі відкритого компілятора Open64 і призначений для трансляції host-коду (головного коду, що управляє) і device-коду (апаратного коду) (файлів з розширенням .cu) в об'єктні файли, придатні в процесі збирання кінцевої програми або бібліотеки в будь-якому середовищі програмування.
В даній технології головна задача розбивається на підзадачі(блоки), які можна вирішувати незалежно одна від одної.
Відповідно, кожна з підзадач вирішується набором взаємодіючих між собою паралельних “ниток”.

== Роботи з текстурною пам'яттю ==
[[Файл:Texture.JPG |200px|thumb|right|Текстура]] Текстурна пам'ять успадкувала свою назву і функціональність від терміну "текстура" 3D графіки. По суті, текстурна память - це механізм кешування ділянок глобальної пам'яті. Текстура, як правило, представляє собою 2D-масив і текстурна пам'ять спочатку була оптимізована під вибірку 2D даних фіксованого розміру. Після виділення області глобальної памятті допомогою спеціальної функції(cudaBindTexture*)вказівника, що дана ділянка памяті має розглядатися як текстура.
Один блок Texture доступний відразу для декількох мультипроцесорів . Даний блок реалізує в собі фіксовану функціональність по зверненню типу read-only до певних ділянок пам'яті.
В силу такого графічного минулого текстури, пояснюють деякі можливості даного модуля:
*Фільтрація текстурних координат
*Білінійна або точкова інтерполяція
*“розумне” повернення значення, у випадку коли значення текстурних координат виходить за межі допустимої границі
*Звернення по нормальним або цілочисельним координатам
*Повернення нормалізованих значень
*Кешування даних

== Фільтрація. Згортка ==
Використовуючи текстури, можна розглянути застосування CUDA в обробці цифрових сигналів.
Якщо дані 2 функції f(x) і g(x), інтигруючихся на R, то з математичної точки зору, згортку можна представити у вигляді функції:
[[Файл:Fzgortku.JPG|200px|center|]]
Або в дискретній формі:
[[Файл:Duskrenta_zgortka.JPG|200px|center|]]
Будь-який сигнал можна розложити на суму одиничних імпульсів, зсунутих в часі і помножених на деякі коефіцієнти.

== Приклад. Gaussian Blur ==
Gaussian Blur - фільтрація, при якій можна використати врівноваження,яке буде пропорційно відстані від поточного пікселя. [[Файл:Pgays_vec.jpg |150px|thumb|right|Gaussian Blur одномірного сигналу]]
Для векторного сигналу Гаусове розмиття задає ваги по такій формулі: [[Файл:Gays mas.JPG |150px|thumb|right|Gaussian Blur двомірного сигналу]]
[[Файл:Gays_vec.JPG|200px|center|]]

Для двомірного сигналу Гаусове розмиття задається аналогічно:
[[Файл:Fgays_mas.JPG|200px|center|]]
Дана фільтрація має хорошу властивість сепарабельності: для фільтрації зображення можна спочатку провести фільтрацію по горизонталі, а потім - окремо по вертикалі.
Розмиття по суті являється низькочастотним фільтром. Можна розглянути деякі випадкову величину (шумову функцію), рівномірно розподілену. З математичним сподіванням рівним 0.Тоді коли зображення буде одноколірним, але в кожному пікселі відбулося випадкове відхилення,то розмиття призведе до того, що шум просумується в деякій області даного пікселя, і тим самим при збільшенні радіуса області, можна ефективно подавити шум.

''Приклад функції Gaussian Blur з допомогою CUDA''

texture <ucar4, 2, CudaReadModeNormalizedloat> g_Gaussian;
_global_
void GaussianX_kernel (uchar4 * pDst,
float radius,
float sigma_sq,
unit32 w,
unit32 h,
unit32 p)
{
int tidx = threadIdx.x + blockIdx.x + blockDim.x;
int tidy = threadIdx.y + blockIdx.y + blockDim.y;
if (tidx < w && tidy < h)
{
float4 r = {0.0f,0.0f, 0.0f, 0.0f};
float weight_sum=0.0f;
float weigth = 0.0f;
for (int_ic = -radius; ic <= radiuc; ic++)
{
weigth = exp(-(ic*ic))/sigma_sq);
r += tex2D (g_Gaussian,tidx + 0.5f + ic, tidy+0.5f)* weight;
weight_sum += weight;
}
r/=weight_sum;
pDst[tidx + tidy * p] = uc4(r*255.0f);
}
}

== Аналоги технології CUDA ==

 ''ATI Stream ''
набір передових апаратних і програмних технологій, що дозволяють графічному і центральному процесорам узгоджено працювати, в цілях прискорення не тільки графічних задач. Це приводить до покращення збалансованості платформ, спроможних швидше ніж раніше спарвлятися з виконанням ресурсоємних задач.
 ''BrookGPU ''
є компілятор Стенфордського університету. BrookGPU компілює програми, написані з використанням програмування Брук потокової мови, який є варіантом ANSI C. Він може використовувати OpenGL v1.3 +, DirectX v9 +.

== Список використаних джерел ==
#Боресков А.В., Харламов А.А. основи работи з технологией CUDA. – М.:ДМК Прес, 2010.
#[http://www.thg.ru/graphic/nvidia_cuda/nvidia_cuda-05.html nVidia CUDA: вычисления на видеокарте]
#[http://www.3dnews.ru/video/t-and-l www.3dnews.ru/video/t-and-l]
#[http://uk.wikipedia.org/wiki/Графічний_процесор Графічний_процесор]
#[http://www.intuit.ru/search?text=cuda Массивно-параллельные вычисления с использованием технологии CUDA]
#[http://ru.wikipedia.org/wiki/GPGPU GPGPU]

Теорія Хаосу

2012-03-05T16:42:49Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

<center>
{|
|-
{{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/795 Теорія хаосу.]}}
|}
</center>
 
{{Студент | Name=Андрій | Surname=Кривень | FatherNAme=Васильович |Faculti=ФІС | Group= СНм-51 | Zalbook=СН-10-084}}
 

'''Теорією хаосу''' називають підрозділ математики та фізики, який займається дослідженням систем, динаміка яких, за певних умов, значною мірою залежить від початкових умов, що робить довгострокове прогнозування неможливим.

==Історія розвитку ==

Теорія хаосу як така почала формуватися тільки з середини двадцятого століття, навіть незважаючи на спроби зрозуміти хаос в першій половині цього ж сторіччя. 
1880-ті роки – Анрі Пуанкаре (вважається першим дослідником хаосу) з’ясував, що можуть бути неперіодичні орбіти, які постійно і не видаляються і не наближаються до конкретної точки. 
1898 рік – Жак Адамар видав роботу про хаотичний рух вільної частинки, яка ковзала без тертя по поверхні постійної кривизни. 
1960 рік – Бенуа Мандельброт знайшов повторювані зразки в кожній групі даних про ціни на бавовну, і виявив, що помилки неминучі і повинні бути заплановані. 
1961 рік – Едвард Лоренц, працюючи над прогнозуванням погоди, випадково зацікавився хаосом. Лоренц виявив, що найменші зміни в первісних умовах викликають великі зміни в результаті. 
27 листопада 1961 р. – Аспірант лабораторії Кіотського університету Й. Уеда, експериментуючи з аналоговими обчислювальними машинами, зауважив деяку закономірність і назвав її "випадкові явища перетворень". 
1967 рік – Б.Мандельброт видав роботу "Якої довжини узбережжя Великобританії? Статистичні дані подібностей і відмінностей у вимірах", в якій довів, що дані про довжину берегової лінії змінюються в залежності від масштабу вимірювального приладу. 
1975 рік – Б.Мандельброт опублікував роботу “Фрактальна геометрія природи”, яка стала Класичною теорією хаосу. 
Грудень 1977 року – Нью-Йоркською академією наук організовано перший симпозіум присвячений теорії хаосу 
1978 рік – Мітчелл Файгенбаум видав статтю "Кількісна універсальність для нелінійних перетворень”. Особливість його роботи в полягає в тому, що він встановив універсальність в хаосі і застосовував теорію хаосу до багатьох явищ. 
1979 рік – Альберт Дж. Лібчейбр на симпозіумі в Осині представив свої експериментальні спостереження каскаду роздвоєння, що веде до хаосу.
1986 рік – Альберта Дж. Лібчейбра разом з Мітчеллом Дж. Файгенбаумом нагородили премією Вольфа у фізиці "за блискучу експериментальну демонстрацію переходів до хаосу в динамічних системах". 
1986 рік – Нью-Йоркська Академія Наук разом з національним Інститутом Мозку і центром Військово-морських досліджень організували першу важливу конференцію з хаосу в біології та медицині . 
1987 рік – Пер Бак, Чао Тан і Курт Вісенфелд надрукували статтю в газеті, де вперше описали систему самодостатності (СС), яка є одним з природних механізмів. CC пояснювала безліч природних явищ (землетруси, сонячні сплески, коливання в економічних системах, формування ландшафту, лісові пожежі, зсуви, епідемії). 
1987 рік – видана праця Джеймса Глейка “Хаос: створення нової науки”, яка стала бестселером і представила широкій публіці загальні принципи теорії хаосу і її хронологію. 

== Фізичний і динамічний хаос ==

Істотну роль у світогляді філософів древності (зокрема, представників школи Платона), відіграли поняття хаосу і порядку. За уявленнями Платона і його учнів, хаос – це стан матерії, що залишається в міру усунення можливостей прояву її властивостей. З іншого боку, з хаосу виникає все, що становить зміст світобудови, тобто з хаосу може народжуватися порядок . 
Фундаментальними, але все-таки недостатньо чітко визначеними в фізиці поняттями є "хаос" та "хаотичний рух". Згідно з Больцманом, найбільш хаотичним є рух у стані рівноваги. Однак, хаотичними називають і рухи, далекі від рівноважного (наприклад, рух у генераторах шуму, призначених для придушення сигналів). 
Різного роду турбулентні рухи в газах і рідинах також називають хаотичними. Прикладом може бути турбулентний рух рідини у трубах. Він виникає із ламінарного руху при досить великому перепаді тиску на кінцях труби. При цьому уявлення про турбулентний рух як більш хаотичний, ніж ламінарний, здається зрозумілим. Однак, такий висновок базується на змішуванні понять складності й хаотичності. При спостереженні турбулентного руху проявляється саме складність руху. Питання ж про ступінь хаотичності вимагає додаткового аналізу й для кількісних оцінок необхідні відповідні критерії. 
Широко використовується в останні роки поняття "динамічний хаос" для характеристики складних рухів у порівняно простих динамічних системах. Слово "динамічний" означає, що відсутні джерела флуктуації – джерела безладдя. 
Поняття "динамічна система" з цієї причини ідеалізоване. "Фізичним хаосом" можна назвати більш реальний хаотичний рух з врахуванням випадкових джерел руху. Його прикладом і є хаотичний рух атомів і молекул у стані рівноваги.
Математичне поняття "динамічний хаос" простежується в роботах А. Пуанкаре й А.Н. Колмогорова. Перший приклад динамічного хаосу був виявлений в роботі Едварда Лоренца в 1963 році. Він досліджував рішення рівнянь, які служать математичною моделлю конвективного руху в газах і рідинах. Мова йде про відкриту систему. Уявімо собі шар рідини, що підігрівається знизу. Конвективний рух виражається в тому, що більш нагріті елементи рідини переміщуються вгору, а холодніші – вниз. Відбувається передача тепла знизу вгору. При досить малих градієнтах температури перенесення тепла визначається за рахунок теплопровідності. Це молекулярний неорганізований процес. Він не супроводжується впорядкованим гідродинамічним рухом, який міг би, подібно до регулювання вуличного руху, управляти перенесенням тепла. Ситуація істотно змінюється, коли градієнт температури перевищує деяке критичне значення. Зміна проявляється в тому, що в рідині виникає впорядкований макроскопічний рух. Він і називається конвективним. У результаті відбувається саморегулювання теплового потоку: тепліша рідина піднімається вгору, а по краях більш холодна опускається вниз. Таким чином, розподіл зустрічних теплових потоків стає впорядкованим. Ця ситуація нагадує регулювання зустрічних потоків при вуличному русі. Є, однак, і суттєва різниця. Дійсно, регулювання вуличного руху регламентується правилами вуличного руху. При конвективному ж русі має місце процес самоорганізації. Задається лише градієнт температури. Перебудова ж руху відбувається завдяки внутрішнім властивостям самої системи. Результат цієї перебудови проявляється в тому, що на поверхні рідини з'являється дисипативна просторова структура – комірки Бенара. Завдяки такій перебудові забезпечується більша пропускна здатність, ніж при молекулярному неврегульованому теплоперенесенні. 

== Застосування теорії хаосу ==

Можливості застосування теорії хаосу розширювались одночасно з появою більш дешевих та потужніших комп'ютерів. В даний час, теорія хаосу продовжує бути дуже активною областю досліджень, залучаючи багато різних дисциплін, таких як математика, топологія, фізика, біологія, метеорологія, астрофізика, теорія інформації. В багатьох наукових дисциплінах (математика, біологія, інформатика, економіка, інженерія, фінанси, філософія, фізика, політика, психологія та робототехніка) застосовується теорія хаосу. У лабораторії хаотичну поведінку можна спостерігати в різних системах, наприклад електричні схеми, лазери, хімічні реакції, динаміка рідин і магнітно-механічних пристроїв. У природі хаотична поведінка спостерігається в русі супутників сонячної системи, еволюції магнітного поля астрономічних тіл, прирості населення в екології, динаміці потенціалів у нейронах і молекулярних коливаннях. Крім того, є навіть сумніви про існування динаміки хаосу в тектоніці плит і в економіці. Одне з найбільш успішних застосувань теорії хаосу було в екології, коли динамічні системи схожі на модель Рікера використовувалися, щоб показати залежність приросту населення від його щільності. Теорія хаосу, в даний час, також застосовується в медицині при вивченні епілепсії для уникнення приступів, враховуючи первісний стан організму. Зв'язок між хаосом і квантовою механікою досліджує така область фізики як квантова теорія хаосу. Для опису систем, які розвиваються за законами загальної теорії відносності, нещодавно з'явилася нова галузь названа хаосом відносності.

== Перелік літературних джерел ==

#Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. 3-е изд. М.: УРСС, 2001.
#http://www.astronet.ru/db/msg/1175805/page2.html#physchaos
#http://pda.coolreferat.com/Фізика_відкритих_систем_Синергетика
#http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_хаоса

{{Завдання:Виступ|Кривень Андрій Васильович (k-and-v)|24 лютого 2011|Теорія хаосу}}
[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]
[http://writing-help.org/ essay writing help]

Нейронні мережі

2012-03-05T16:42:47Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

<center>
{|
|-
{{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/769 Нейронні мережі. Реалізація в MatLab.]}}
|}
</center>
 
{{Студент | Name=Володимир | Surname=Симчак | FatherNAme=Сергійович |Faculti=ФІС | Group= СНм-51 | Zalbook=СН-10-097}}
 

== Біологічні нейронні мережі ==
Нервова система людини побудована з елементів (нейронів), має приголомшуючу складність. [[Файл:Biolneir.jpg|right|thumb|350px|Біологічний нейрон]]Близько 1011 нейронів беруть участь в приблизно 1015 передаючих зв'язках, що мають довжину метр і більше. Кожен нейрон володіє багатьма якостями, спільними з іншими елементами тіла, але його унікальною здатністю є прийом, обробка і передача електрохімічних сигналів по нервових шляхах, які утворюють комунікаційну систему мозку.
Дендрити (входи нейрона) йдуть від тіла нервової клітини до інших нейронів, де вони приймають сигнали в точках з'єднання (синапсах). Прийняті синапсом вхідні сигнали підводяться до тіла нейрона. Тут вони підсумовуються, причому одні входи стимулюють активізацію нейрона, а інші – зниження його активності. Коли сумарна активність (збудження) нейрона перевищує деякий поріг, нейрон переходить в активний стан, посилаючи по аксону (виходу нейрона) сигнал іншим нейронам. У цієї основної функціональної схеми багато спрощень і виключень, проте більшість штучних нейронних мереж моделює лише ці прості властивості.

== Історія розвитку штучних нейронних мереж ==
1943 рік — Норберт Вінер разом з співробітниками публікує роботу про кібернетику. Основною ідеєю є представлення складних біологічних процесів математичними моделями. 
1943 рік — Маккалок та Піттс формалізують поняття нейронної мережі у фундаментальній статті про логічне числення ідей і нервової активності. 
1949 рік — Хебб пропонує перший алгоритм навчання. 
У 1958 році Розенблаттом винайдений перцептрон. Перцептрон набуває популярності — його використовують для розпізнавання образів, прогнозування погоди і т. д. 
У 1960 році Уідроу спільно зі своїм студентом Хоффом на основі дельта-правила розробили ADALINE, який відразу почав використовуватися для завдань пророцтва і адаптивного управління. Зараз ADALINE (адаптивний суматор) є стандартним елементом багатьох систем обробки сигналів. 
У 1961 році під керівництвом Бонгарда розроблена програма «Кора» : «.завдання Кори — пошук розділяючого правила після того, як знайдені оператори, що дають досить чіткі характеристики об'єкту або його частин». 
У 1969 році Мінський публікує формальний доказ обмеженості перцептрона і показує, що він нездатний вирішувати деякі завдання, пов'язані з інваріантністю представлень. Інтерес до нейронних мереж різко спадає. 
1974 рік — Пол Дж. Вербос, і А. І. Галушкін одночасно винаходять алгоритм зворотного поширення помилки для навчання багатошарових перцептронів. 
1975 рік — Фукушима представляє Когнитрон — мережу, що самоорганізовується, призначену для інваріантного розпізнавання образів, але це досягається тільки за допомогою запам'ятовування практично усіх станів образу. 
1982 рік — після тривалого занепаду, інтерес до нейромереж знову зростає. Хопфілд показав, що нейронна мережа із зворотними зв'язками може бути системою, що мінімізує енергію (так звана мережа Хопфілда). Кохоненом представлені моделі мережі, що навчається без учителя (нейронна мережа Кохонена). 
1986 рік —Румельхартом, Хінтоном і Вільямсом та незалежно і одночасно Барцевим та Охониним перевідкритий та істотно розвинений метод зворотного поширення помилки. Почався вибух інтересу до навчаних нейронних мереж.

== Штучний нейрон ==
Основними компонентами нейромережі є нейрони /neurons/ (елементи, вузли), які з’єднані зв’язками. Сигнали передаються по зваженим зв’язкам (connection), з кожним з яких пов’язаний ваговий коефіцієнт (weighting coefficient) або вага.
Моделі НМ – програмні і апаратні, найбільш поширені – програмні.[[Файл:Shtneir.jpg|left|thumb|350px|Штучний нейрон]]
Використання – розпізнавання образів, прогнозування, створення асоціативної пам’яті.
Штучний нейрон імітує в першому наближенні властивості біологічного нейрона. На вхід штучного нейрона поступає множина сигналів, які є виходами інших нейронів. Кожен вхід множиться на відповідну вагу, аналогічну його синаптичній силі, і всі виходи підсумовуються, визначаючи рівень активації нейрона.
Хоча мережеві парадигми досить різноманітні, в основі майже всіх їх лежить ця конфігурація. Тут множина вхідних сигналів, позначених x1, x2,…, xn, поступає на штучний нейрон. Ці вхідні сигнали, в сукупності позначаються вектором X, відповідають сигналам, що приходять в синапси біологічного нейрона. Кожен сигнал множиться на відповідну вагу w1, w2,…, wn, і поступає на сумуючий блок, позначений Σ. Кожна вага відповідає «силі» одного біологічного синаптичного зв'язку (множина ваг в сукупності позначається вектором W). Сумуючий блок, який відповідає тілу біологічного нейрона, складає зважені входи алгебраїчно, створюючи вихід, який ми називатимемо NET.

== Активіаційні функції ==
Сигнал NET далі, як правило, перетворюється активаційною функцією F і дає вихідний нейронний сигнал OUT = F(NET). Активаційна функція F(NET) може бути: 
1. Пороговою бінарною функцією
<center> [[Файл:Math1.jpg]] </center>
де Т – деяка постійна порогова величина, або ж функція, що точніше моделює нелінійну передавальну характеристику біологічного нейрона.
 2. Лінійною обмеженою функцією
<center> [[Файл:Math2.jpg]] </center>
3. Функцією гіперболічного тангенса
<center> [[Файл:Math3.jpg]] </center>
де С > 0 – коефіцієнт ширини сигмоїди по осі абсцис (звичайно С=1).
 4. Сигмоїдною (S-подібною) або логістичною функцією
<center> [[Файл:Math4.jpg]] </center>
З виразу для сигмоїда очевидно, що вихідне значення нейрона лежить в діапазоні [0,1]. Популярність сигмоїдної функції зумовлюють наступні її властивості:
*здатність підсилювати слабкі сигнали сильніше, ніж великі, і опиратися “насиченню” від потужних сигналів;
*монотонність і диференційованість на всій осі абсцис;
*простий вираз для похідної, що дає можливість використовувати широкий спектр оптимізаційних алгоритмів.

== Персептрон ==
Перші персептрони були створені Ф.Розенблатом у 60-х роках і викликали великий інтерес. [[Файл:Perceptron.png|right|thumb|350px|Персептрон]]Первинна ейфорія змінилася розчаруванням, коли виявилося, що персептрони не здатні навчитися рішенню ряду простих задач. М.Мінський строго проаналізував цю проблему і показав, що є жорсткі обмеження на те, що можуть виконувати одношарові персептрони, і, отже, на те, чому вони можуть навчатися. Оскільки у той час методи навчання багатошарових мереж не були відомі, дослідники перейшли в більш багатообіцяючі області, і дослідження у області нейронних мереж прийшли в занепад. Відкриття методів навчання багатошарових мереж більшою мірою, ніж який-небудь інший чинник, вплинуло на відродження інтересу і дослідницьких зусиль.
Навчання персептрона:
*Ініціалізація вагових матриць W (випадкові значення)
*Подати вхід X і обчислити вихід Y для цільового вектора YT
*Якщо вихід правильний – перейти на крок 4; інакше обчислити різницю D = YT – Y; модифікувати ваги за формулою:
<center>wij(e+1) = wij(e) + α D Хі,</center>
де wij(e) – значення ваги від нейрона i до нейрона j до налагодження, wij(e+1) – значення ваги після налагодження, α – коефіцієнт швидкості навчання, Хi – вхід нейрона i, e – номер епохи (ітерації під час навчання).
*Виконувати цикл з кроку 2, поки мережа не перестане помилятися. На другому кроці у випадковому порядку пред’являються всі вхідні вектори.
Один з найпесимістичніших результатів Мінського показує, що одношаровий персептрон не може відтворити таку просту функцію, як ВИКЛЮЧАЄ АБО. Це функція від двох аргументів, кожний з яких може бути нулем або одиницею. Вона приймає значення одиниці, коли один з аргументів рівний одиниці (але не обидва).

== Багатошарові нейронні мережі ==
Багатошарові (1986 р.) мережі володіють значно більшими можливостями, ніж одношарові. [[Файл:Manynm.png|right|thumb|350px|Багатошарова НМ]]Проте багатошарові мережі можуть привести до збільшення обчислювальної потужності в порівнянні з одношаровими лише в тому випадку, якщо активаційна функція між шарами буде нелінійною. Обчислення виходу шару полягає в множенні вхідного вектора на першу вагову матрицю з подальшим множенням (якщо відсутня нелінійна активаційна функція) результуючого вектора на другу вагову матрицю (XW1)W2. Оскільки множення матриць асоціативне, то X(W1W2). Це показує, що двошарова лінійна мережа еквівалентна одному шару з ваговою матрицею, рівною добутку двох вагових матриць. Отже, для лінійної активіаційної функції будь-яка багатошарова лінійна мережа може бути замінена еквівалентною одношаровою мережею.

== Навчання нейронних мереж ==
Мережа навчається, щоб для деякої множини входів X давати бажану множину виходів Y. Кожна така вхідна (або вихідна) множина розглядається як вектор. Навчання здійснюється шляхом послідовного пред'явлення вхідних векторів з одночасним налагодженням ваг відповідно до певної процедури. В процесі навчання ваги мережі поступово стають такими, щоб кожен вхідний вектор виробляв вихідний вектор. Розрізняють алгоритми навчання з вчителем і без вчителя, детерміновані і стохастичні.
 ''Навчання з вчителем.''
 Навчання з вчителем припускає, що для кожного вхідного вектора X існує цільовий вектор YT, що є необхідним виходом. Разом вони називаються навчальною парою. Звичайно мережа навчається для деякої кількості таких навчальних пар (навчальної множини). В ході навчання зчитується вхідний вектор X, обчислюється вихід мережі Y і порівнюється з відповідним цільовим вектором YT, різниця D ~ YT – Y за допомогою зворотного зв'язку подається в мережу і змінюються ваги W відповідно до алгоритму, прагнучого мінімізувати помилку ε. Зчитування векторів навчальної множини і налагодження ваг виконується до тих пір, поки сумарна помилка для всієї навчальної множини не досягне заданого низького рівня.
 ''Навчання без вчителя''
 Не зважаючи на численні прикладні досягнення, навчання з вчителем критикувалося за свою біологічну неправдоподібність. Важко уявити навчальний механізм в мозку, який би порівнював бажані і дійсні значення виходів, виконуючи корекцію за допомогою зворотного зв'язку. Якщо допустити подібний механізм в мозку, то звідки тоді виникають бажані виходи? Навчання без вчителя є набагато правдоподібнішою моделлю навчання в біологічній системі. Розвинена Кохоненом і багатьма іншими, вона не потребує цільового вектора для виходів і, отже, не вимагає порівняння з ідеальними відповідями. Навчальна множина складається лише з вхідних векторів. Навчальний алгоритм налагоджує вагу мережі так, щоб виходили узгоджені вихідні вектори, тобто щоб пред'явлення досить близьких вхідних векторів давало однакові виходи. Процес навчання виділяє статистичні властивості навчальної множини і групує схожі вектори в класи.
 ''Алгоритми навчання''
 Більшість сучасних алгоритмів навчання виросла з концепцій Хебба. Ним запропонована модель навчання без вчителя, в якій синаптична сила (вага) зростає, якщо активовані обидва нейрони, джерело і приймач. Таким чином, часто використовувані шляхи в мережі посилюються і феномен звички і навчання через повторення одержує пояснення.
У штучній нейронній мережі, що використовує навчання по Хеббу, нарощування ваг визначається добутком рівнів збудження передаючого і приймаючого нейронів. Це можна записати як
<center>wij(e+1) = w(e) + α OUTi OUTj,</center>
де wij(e) - значення ваги від нейрона i до нейрона j до налагодження, wij(e+1) - значення ваги від нейрона i до нейрона j після налагодження, α - коефіцієнт швидкості навчання, OUTi - вихід нейрона i та вхід нейрона j, OUTj - вихід нейрона j; e – номер епохи (ітерації під час навчання).
Для навчання нейромереж в багатьох випадках використовують алгоритм зворотного розповсюдження помилки. Розв’язок задачі за допомогою нейронної мережі зводиться до наступних етапів:
#Вибрати відповідну модель мережі (наприклад, трьохшарову )
#Визначити топологію мережі (кількість елементів та їх зв’язки)
#Вказати спосіб навчання (наприклад, зі зворотним розповсюдженням помилок) і параметри навчання
Кількість прихованих елементів – не менша за кількість вхідних.

== Список використаних джерел ==
#[http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_Левенберга_—_Марквардта Алгоритм Левенберга — Марквардта]
#[http://catalog.gaw.ru/index.php?page=document&id=1438 Matlab для DSP. Нейронные сети: графический интерфейс пользователя]
#[http://www.ukrreferat.com/index.php?referat=51882 Архітектура нейронної мережі]
#[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Нейронные_сети Искусственная нейронная сеть]

[[Категорія:Планування експерименту]]

[http://editingwritingservices.org/ dissertation editing]

[http://cvresumewritingservices.org/ resume writing service]

Математичне програмування

2012-03-05T16:42:16Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/1579 Математичне програмування]}}

{{Студент | Name=Андрій | Surname=Дереш | FatherNAme=Зіновійович |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-230}}

'''Математичне програмування''' (''mathematical programming'') – область математики, що розробляє теорію і чисельні методи рішення багатовимірних граничних задач з обмеженнями. Це задачі на пошуки екстремумів функцій багатьох змінних з обмеженням на область варіювання цих змінних.

== Модель задачі математичного програмування ==
Модель задачі математичного програмування включає:
* ''Сукупність невідомих величин'' (які потрібно знайти, для вирішення поставленої задачі). Впливаючи на ці невідомі величини систему можна вдосконалювати. Їх також називають планом задачі, вектором управління, стратегії, поведінка
* ''Цільова функція'' (функція цілі). Цільова функція дозволяє вибрати найкращий варіант з множини можливих. Найкращим варіантом є екстремум цільової функції. Цільова функція позначається <math>Z=z(x)</math>. Приклад цільової функції: прибуток, об’єм випуску і реалізації, рівень обслуговування і дефіциту і т. д.
* ''Умови'' (обмеження), що накладаються на незалежні величини. Ці умови можуть бути матеріальні, фінансові, трудові, технічні, технологічні та інші. Математичні обмеження виражаються у вигляді рівнянь та нерівностей. Їх сукупність формує область допустимих значень. Об’єднання всіх обмежень, що накладаються на змінні <math>x_i</math> позначаються символом <math>\Omega</math>. Тобто <math>x\in\Omega</math>.
При таких позначеннях модель задачі математичного програмування має вигляд:

: <math>max (min) Z=z(x),x\in\Omega</math>

== Класифікація методів математичного програмування ==
* В залежності від виду цільової функції та системи обмежень методи математичного програмування поділяють на:
** [http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F Лінійне програмування] – цільова функція і функції обмежень, що входять в систему обмежень є лінійними (рівняння першого порядку)
** [http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BB%D1%96%D0%BD%D1%96%D0%B9%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F Нелінійне програмування] – цільова функція або одна із функцій обмежень, що входять в систему обмежень є нелінійними (рівняння вищих порядків)
** [http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D1%96%D0%BB%D0%BE%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F Цілочисельне(дискретне) програмування] – якщо на хоча б одну змінну <math>x_i</math> наложена умова цілочисельності
** [http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D1%96%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F Динамічне програмування] – якщо параметри цільової функції і/або система обмежень змінюються в часі або цільова функція має адитивний/мультиплікативний вигляд чи сам процес прийняття рішення має багатокроковий характер.

* В залежності чи відома вся інформація про процес заздалегідь методи математичного програмування поділяють на:
** Стохастичне програмування – відома не вся інформація про процес заздалегідь: параметри що входять в цільову функцію або в функцію обмежень є випадковими або доводиться приймати рішення в умовах ризику
** Детерміноване програмування – відома вся інформація про процес заздалегідь

* В залежності від кількості цільових функцій задачі поділяють на:
** Однокритеріальні
** [http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BA%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0_%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%96%D0%B7%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F Багатокритеріальні]

== Список використаних джерел ==
* Кузнецов А.В. Математичне програмування. - М: Вища школа, 1994. - 282 c.
* Наконечний С. І., Савіна С. С. Математичне програмування: Навч. посіб. - К.: КНЕУ, 2003. - 452 с.

== Посилання ==
* [http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/1579 Слайди доповіді]
* [http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BC%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F Задача оптимізації]

{{Завдання:Виступ|andry_ad|30 грудня 2011|Оптимізація та математичне програмування}}
[[Категорія:Планування експерименту]]

Повний факторний експеримент (ПФЕ)

2012-03-05T16:32:16Z

Shore:

{{Студент | Name= Б | Surname=Посмітюх | FatherNAme=О |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
=Повний факторний експеримент (ПФЕ)=
:Таблиця значень або рівнів факторів повинна мати лінійно не залежні стовбці,сума добутків значень будь яких двох факторів (чисел 2вох стовбців) 
повинна бути рівна нулю. Тобто повний факторний експеримент має ортогональну матрицю. 
ПФЕ- експеримент що реалізує всі можливі неповторювані комбінації рівнів незалежних змінних, кожна з яких примусово(активно) варіює на двох рівнях. 
Число цих комбінацій при N факторах рівна двом в степені N і визначає тип планування. 

==Опис експерименту:==
(задача взята з даного джерела: [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section4/pri471.htm]) 
:Мета: визначити вплив факторів механічної обробки на керамічну міцність. 
Кількість серій = значення (більше 15 серій) керамічної міцності. 
Кількість спостережень =32 (25 завершених факторних проектів). 
Величина відклику Y = Значення (більше 15 представлень) керамічної міцності. 
:Фактор 1 = Таблична швидкість (2 рівня:повільний(.025 м\с) і швидкий(.125 м\с) ) 
:Фактор 2 = Нижня Норма подачі (2 рівня:повільний(.05м\с) і швидкий (ю125м\с)) 
:Фактор 3 = Колесо Гріт (2 рівня: 140/170 и 80/100) 
:Фактор 4 = Напрямок (2 рівня: повздовжний і поперечний) 
:Фактор 5 = Партія (2 рівня: 1 и 2) 
Так як 2 ва фактора якісні (напрямок і партія), і відповідно розумно очікувати монотонниі ефекти від кількісних факторів, без включення виконань 
центральних точок. 

==Побудова матриці ПФЕ.==
:В основі повного факторнго експеременту лежить матриця планування яка включає все можливий перебір неповторюваних комбінацій рівнів. 
:Побудову матриці зручно починати з рядка де всі керовані змінні перебувають на нижньому рівні, тобто : 

<center>(z1..n= -1 ).</center>

Далі зручно скористатися правилом, що частота зміни знака для кожних 
керованих змінних у двічі менша ніж попередня. 
Відповідно отримуємо матрицю ПФЕ з пятьма факторами: 

<center>[[Файл:E-pic1.jpg]]</center>
===Властивості матриці ПФЕ===
:Відповідно для якої кількість рядків якої буде рівна кількості експериментів 2N (де в нашому випадку кількість факторів N = 5). 
Побудований таким чином план експериментів має відповідно такі властивості:
*- Симетричності відносно центра експерименту (тобто сума елементів стовбців рівна нулю); 
*- Нормування (тобто сума елементів стовбців по модулю рівна кількості експериментів); 
*- Ортогональності (Сума добутку i – того елементу одного ствобця на відповідний і – тий елемент будь-якого іншого рівна нулю); 

<center>[[Файл:pic2.jpg]] </center>

<center>Рисунок 2 – Перевірка виконання властивостей плану експериментів</center>

:Оскільки зміна вихідної величини y має випадковий характер то доводиться проводити m дослідів при кожному наборі факторів і 
відповідно результати усереднювати.Тобто весь експеримент ділиться на m серій дослідів в якому повністю реалізується матриця 
планування.Перед реалізацією плану на обєкті варто рендомізувати серію дослідів (тобто надати випадковий номер рядку матриці 
планування). Рандомізація необхідна для виключення деяких системних помилок, тобто впливу побічних факторів на величину відклику 
при верхньому або нижньому рівні фіксованого фактора.
:В нашому випадку проведено m>15 серій дослідів з метою отримання як найменшого середнього значення квадрату відхилення від 
математичного сподівання результуючої величини. І відповідно в таблиці в нас показано (керамічна міцність) відношення суми 
значень отриманих при і-тому наборі факторів в m серіях дослідів відповідно до m (кількості серій дослідів).

<center>[[Файл:pic3.jpg]] </center>

<center>Рисунок 3 – Залежність результату експерименту від наборів рівнів факторів</center>

:На рисунку 3 відображено графік зміни показника вихідної величини в порівнянні з експериментом 
у якому всі фактори перебувають на нижньому рівні і відповідно мають мінімальний вплив на вихідну 
величину. На основі цих данних я інтуєтивно прослідкував певну залежність керамічної міцності від 
того які з факторів перебувають на вищому рівні тобто виділивши множину комбінацій рівнів де в нас 
лише один фактор перебуває на вищому рівні а всі інші на нижчому обраховую певний коефіцієнт впливу 
відповідно на результат експерименту (Y) як різницю Аj=(Yxi=0 – Y) де i=1..5, j=1..5, Аj – визначений 
мною коефіцієнт впливу j – того фактора, Yxi=0 – результат експерименту при перебуванні усіх факторів на 
нижньому рівні. Відповідно побудував нову прогнозовану мною множину результатів експеременту на основі 
вище згаданого алгоритму (рисунок 4.)

Таблиця розрахунків:

<center>[[Файл:pic4.jpg]] </center> 

<center>[[Файл:pic5.jpg]] </center>

<center>Рисунок 4 – Порівняння дійсного значення результату експерименту та зпрогнозованого результату</center>

==Висновки==

:Для оцінки якості визначеного мною коефіцієнта впливу факторів проводжу розрахунок середнього відхилення зпрогнозованого значення від дійсного яке склало 46,034063 , середній процент відхилення від дійсного значення результату експерименту становить 8,7930604%, що на мою думку враховуючи стохастичну природу процесу є досить не поганим результатом і тому відповідно за даною, розробленою мною, методикою можна визначити кількісні значення коефіцієнтів впливу факторів на результуючу величину і на основі цих значень прийняти рішення, щодо важливості врахування тих чи інших факторів.

==Список використаної літератури==
*Аністратенко В.О., Федоров В.Г. "Математичне планування експериментів в АПК":Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993.-375 с.: іл. ISBN 5-11-002551-1
*http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section4/pri471.htm

[[Категорія:Планування експерименту]]

Задача дисперсійного аналізу

2012-03-05T16:32:14Z

Shore:

{{Студент | Name= І| Surname= Кливець| FatherNAme=М |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
='''''Задача дисперсійного аналізу'''''=

В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин змінюються у зв'язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних), що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.

Дисперсійний аналіз використовує властивість адитивності дисперсії випадкової величини, що обумовлено дією незалежних факторів. В залежності від числа джерел дисперсії розрізняють однофакторний та багатофакторний дисперсійний аналіз.
Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При класичному методі вивчення змінюють тільки один фактор, а решту залишають постійними. При цьому для кожного фактору проводиться своя серія спостережень, що не використовується при вивченні інших факторів. Крім того, при такому методі досліджень не вдається визначити взаємодію факторів при одночасній їх зміні. При дисперсійному аналізі кожне спостереження служить для одночасної оцінки всіх факторів та їх взаємодії.

Дисперсійний аналіз полягає у виділенні і оцінці окремих факторів, що викликають зміну досліджуваної випадкової величини. При цьому проводиться розклад сумарної вибіркової дисперсії на складові, обумовлені незалежними факторами. Кожна з цих складових є оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Щоб вирішити, чи дієвий вплив даного фактору, необхідно оцінити значимість відповідної вибіркової дисперсії у порівнянні з дисперсією відтворення, обумовленою випадковими факторами. Перевірка значимості оцінок дисперсії проводять по критерію Фішера. Коли розрахункове значення критерію Фішера виявиться меншим табличного, то вплив досліджуваного фактору немає підстав вважати значимим. Коли ж розрахункове значення критерію Фішера виявиться більшим табличного, то цей фактор впливає на зміни середніх. В подальшому ми вважаємо, що виконуються наступні припущення:

* випадкові помилки спостережень мають нормальний розподіл;

* фактори впливають тільки на зміну середніх значень, а дисперсія спостережень залишається постійною.

Фактори, що розглядаються в дисперсійному аналізі, бувають двох родів:

* з випадковими рівнями та

* з фіксованими.

В першому випадку мається на увазі, що вибір рівнів проходить з безмежної сукупності можливих рівнів та супроводжується рандомізацією. Якщо рівні вибираються випадковим чином, математична модель експерименту називається модель з випадковими рівнями факторів (випадкова модель). Коли всі рівні фіксовані - модель з фіксованими рівнями факторів. Коли частина факторів розглядається на фіксованих рівнях, рівні решти вибираються випадковим чином - модель змішаного типу.
Дисперсійний аналіз застосовується в різних формах в залежності від структури об' єкту, що досліджується; вибір відповідної форми є однією з головних трудностей в практичному застосуванні аналізу.

='''''Приклади задач дисперсійного аналізу'''''=

У виробничій практиці часто виникає така задача. Апаратники, працюючи позмінно на одному й тому ж апараті, виробляють продукт з різними якісними показниками. Наприклад, один апаратник досягає більшої стабільності вологості готової продукції, інший — меншої. Треба з'ясувати, що є причиною появи незадовільних результатів: недосконала конструкція апарату, що не дає змоги добитися якісної відтворюваності, чи неоднакова робота апаратників.

Розглянемо іншу задачу — складнішу. Припустимо, що на якість продукту впливають десять факторів. Щоб звести коливання показника до мінімуму, треба з'ясувати вплив кожного фактора на розмах цих коливань і усунути або хоча б знизити вплив найбільш сильно діючих факторів. Тільки таким чином можна добитися реальних результатів у поліпшенні якості продукту при мінімальних витратах часу і коштів.

Виникають задачі й іншого типу. При автоматизації певного процесу його аналізують з точки зору впливу ряду факторів, які одночасно діють на основний показник, що підлягає автоматичній стабілізації. Тільки оцінивши міру впливу кожного з факторів, можна правильно вибрати канал регулювання або той фактор, який треба вимірювати і враховувати в першу чергу. Наступний за силою впливу фактор може бути використано для корекції роботи системи регулювання за першим фактором.
На стадії конструкторських розробок проектувальник шукає оптимальну комбінацію елементів створюваного ним виробничого агрегату і знає ступінь впливу кожного з них на умови роботи агрегату в цілому.

У загальному вигляді подібні задачі можуть бути сформульовані так: за допомогою поточного контролю або спеціальних досліджень виробництва встановлюють несталість того чи іншого процесу або якості продукту. Разом з тим дані контролю не вказують безпосередньо на головну причину цієї несталості. Як проаналізувати ці дані, щоб з незалежною вірогідністю визначити вплив кожного з факторів на коливальність чи змінюваність показника, який вивчається?

Ця ж задача може бути поставлена і дещо в іншій формі. Характер коливань розглядуваної ознаки відносно сталий, проте розмах коливань набагато більший припустимого або бажаного. Необхідно зменшити розмах і виявити для цього, яку частку розмаху викликає той чи інший з відомих нам факторів процесу.

Подібні задачі виникають і в сільськогосподарських галузях. Припустимо, що треба визначити урожайність різних сортів однієї й тієї ж культурної рослини. Дослід можна поставити так. На кожній з трьох ділянок вирощують чотири сорти рослини, причому одна частина рослин живиться одним видом добрив, а друга — іншим. Ділянки розташовано на відкритому повітрі в однакових умовах так, щоб від рослин на одній ділянці не падала тінь на рослини іншої ділянки. На кожному майданчику ділянки вирощують однакову кількість рослин (ця вимога може порушуватися).

У загальному випадку урожай залежатиме від сорту рослини, складу добрива і ділянки. Можливий вплив на урожай і взаємодії цих факторів. Задачі, що стоять перед агрономом, можна сформулювати так:

*чи залежить урожай, усереднений за двома видами добрив і трьома ділянками, від сорту рослини?

*чи свідчать рівні урожаю про різний вплив сортів на різних ділянках?

*як якісно оцінити ці відмінності із заданим рівнем надійності?

Метод розв'язання перелічених задач (дисперсійний аналіз) основано на властивості адитивності дисперсії, яка характеризує коливальність. Іншими словами, повна дисперсія показника, що нас цікавить, дорівнює сумі складових її часткових дисперсій.

='''''Список використаної літератури:'''''=

1. Чайківський Т. Дисперсійний аналіз.:Лекція - 2003.
2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 84 с.

[[Категорія:Планування експерименту]]

Моделювання об'єкту

2012-03-05T16:32:12Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=В | Surname= Проць | FatherNAme=Г |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

=МОДЕЛЮВАННЯ ОБ'ЄКТУ І ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ=
Одним з головних завдань експерименту є здобуття і перевірка математичної моделі об'єкту, взаємозв'язку, що описує в кількісній формі, між вхідними і вихідними параметрами об'єкту. Вхідні параметри, які можуть бути змінені, називають чинниками. Для кожного чинника до виміру встановлюється область визначення, яка може бути безперервною і дискретною. Часто безперервна область визначення штучно дискретизує. У теорії планерування експерименту об'єкт досліджень прийнято представляти у вигляді «чорного ящика», а його математична модель описує функціональні зв'язки між вхідними і вихідними параметрами. Головними вимогами, що пред'являються до математичних моделей об'єктів є зручність математичного використання і інтерпретується моделі. Крім того, завжди мають бути позначені межі застосовності моделі. Якщо ці вимоги не виконуються, то при використанні і експериментальній перевірці моделей неминуче виникають методичні погрішності, і погрішності адекватності, які будуть розглянуті в наступній главі.

Можна виділити наступні завдання перевірки моделей (рис.1.1):

1.Побудувати «чорний ящик», який буде потрібним чином відгукуватися на задану вхідну дію.

2.Маючи «чорний ящик», знаючи вхідні і вихідні сигнали, отримати (змоделювати) його вміст.
[[Файл:1.1.png|thumb|center|Схематичне зображення чорного ящика]]

<center>Рис.1.1 - Схематичне зображення чорного ящика </center>
Суть процесу моделювання можна пояснити на прикладі аналізу електронної схеми, в результаті якого будуть отримані певні вихідні сигнали. Можна перевірити модель, зібравши експериментальну схему і знявши реальні вихідні сигнали. При цьому неминучі розбіжності між сигналами модельними і реальними. Аби з'ясувати причини розбіжності, необхідні експерименти з окремими елементами схеми.

Необхідне коректування моделі може бути виконане таким чином:

1.Перевірка розбіжностей — експериментальна перевірка характеристик всіх елементів і їх порівняння з модельними.

2.Виправлення характеристик окремих елементів у вихідній моделі.

3.Зіставлення отриманих залежностей з експериментальними (початковими).

Таким чином, побудова і перевірка моделі, адекватно електронної схеми, що описує роботу, в загальному випадку вимагає дуже великої кількості експериментальних вимірів. Планерування експерименту дозволяє оптимізувати число вимірів.
Наприклад, електронна схема складається з транзисторів, резисторів, конденсаторів і котушок індуктивності. Якщо номінальні значення пасивних електронних елементів (резисторів, конденсаторів і т.д) збігаються з їх реальними значеннями з необхідною точністю, то неспівпадання між модельними і реальними сигналами найчастіше виникає із-за невідповідності реальних робочих характеристик активних елементів (транзисторів, мікросхем і так далі). Тому дослідні схемотехніки піддають перевірці лише окремі вузли схеми, по суті інтуїтивно плануючи експеримент виходячи зі свого досвіду і використовуючи апріорну інформацію.
Розглянемо приклад моделювання простого чотириполюсника, що здійснює виділення що огинає (детектування) радіосигналу (рис.1.2).
Чотириполюсник складається з двох простих схем:

1.детектора на діоді 'Д' з вихідним резистором <math>{{R}_{1}}</math>.

2.інтегруючому ланцюгу <math>{{R}_{2}}C</math>.
[[Файл:1.2.png|thumb|center|приклад моделювання простого чотириполюсника]]

<center>Рис.1.2 - приклад моделювання простого чотириполюсника </center>
Сигнали на виході детектора АВ і виході інтегруючого ланцюга показані на рис.1.3. Тут криві 1 і 2 відповідають різним вольтамперным характеристикам (ВАХ) діода. Детектор відрізує негативні напівперіоди сигналу, а інтегруючий ланцюг – виділяє ту, що його огинає. Якість виділення що огинає визначатиметься відхиленням <math>\Delta </math> від «ідеального» сигналу.
[[Файл:1.3.png|thumb|center|Сигнали на виході детектора АВ і виході інтегруючого ланцюга ]]

<center>Рис.1.3 - Сигнали на виході детектора АВ і виході інтегруючого ланцюга </center>

Величина <math>\Delta </math>у свою чергу залежить від характеристик, як детектора, так і інтегруючого ланцюга. У детекторі вона визначатиметься вольтамперной характеристикою (ВАХ) діода 'Д', а в інтегруючому ланцюзі - співвідношенням між ємкістю конденсатора <math>C</math> і опором <math>{{R}_{2}}</math>.

Як видно з рис.1.3, амплітуда вихідного сигналу детектора, відповідна ВАХ-1, вище, що неминуче приведе до збільшення <math>\Delta </math> в результуючому сигналі. З іншого боку, зменшення ємкості конденсатора інтегруючого ланцюга також наводить до збільшення <math>\Delta </math>. При моделюванні схеми неспівпадання між розрахунковими і реальними сигналами вимагає внесення коректування до характеристик, що задаються в моделі.

У загальному випадку чотириполюсник може розглядатися як об'єкт, схема якого показана на рис.1.4. Характеристики окремих елементів схеми (ВАХ діода і величини останніх пасивних елементів) можуть вважатися фіксованими параметрами (керівниками). Залежно від плану експерименту ці параметри можна розглядати і як вхідні (чинники), які задаються дискретно.
[[Файл:1.4.png|thumb|center|схема чотириполюсника]]

<center>Рис.1.4 - схема чотириполюсника </center>

Експериментальні виміри прийнято розділяти на три основні види:

1)прямі виміри, при яких безпосередньо реєструються значення вимірюваної величини (наприклад, вимір напруги <math>U</math> вольтметром);

2)непрямі виміри (наприклад, виміри сили струму <math>I</math> амперметром, активного опору <math>R</math> омметром і розрахунок <math>U=RI</math>);
Тобто непрямі виміри — це здобуття величини <math>y=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...)</math> по виміряних значеннях <math>{{x}_{1}},{{x}_{2}},...</math>.

3)спільні виміри (наприклад, виміри напруги <math>U</math> і сили струму <math>I</math> при різних значеннях <math>I</math> і побудова результуючої залежності <math>U=U(I)</math>);
Тобто спільні виміри — це виміри два або декількох неоднойменних величин для побудови залежності між ними.

Планерування експерименту передбачає не лише оптимізацію числа вимірів, але і зменшення експериментальних погрішностей. Тому значну частину математичного апарату теорії планерування експерименту складають теорія помилок, теорія вірогідності і математична статистика.

=Перелік використаної літератури=
http://www.chuvsu.ru/~rte/uits/liter_uits/plan_exp/glav1_1.htm - МОДЕЛЮВАННЯ ОБ'ЄКТУ І ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ (березень 2010)

[http://cvresumewritingservices.org/ resume writing services]

[[Категорія:Планування експерименту]]

Довірчі інтервали

2012-03-05T16:32:07Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= Ю | Surname= Яскевич| FatherNAme= В|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
<center>
{|
|-
|{{Стаття Вікі| article=[http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D1%80%D1%87%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%B0%D0%BB_%D1%82%D0%B0_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D1%96 Довірчий інтервал та його межі] }} || {{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Довірчий інтервал та його межі]}}
|}</center>

= Довірчі інтервали та їх межі =
== Основні положення ==

Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю.
Нехай
<math>\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\equiv ~x~</math> - n незалежних спостережень над випадковою величиною з законом розподілу F(z/a), що залежить від параметра a, значення якого невідомо.
Довірчі межі випадкових похибок — це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.
#Визначення 1. Функція спостережень a1(x1,...,xn) (помітимо, що це випадкова величина) називається нижньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД (звичайно близьким до 1), якщо при будь-якому значенні виконується P
<math>P\{{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\le a\}\ge {{P}_{}}</math>.
#Визначення 2. Функція спостережень a2(x1,...,xn) (випадкова величина) називається верхньою довірчою границею для параметра з рівнем довіри РД , якщо при будь-якім значенні
<math>P\{{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\ge a\}\ge {{P}_{}}</math>.
#Визначення 3. Інтервал з випадковими кінцями (випадковий інтервал)
I(x) = ( a1(x), a2(x) ) ,
обумовлений двома функціями спостережень, називається довірчим інтервалом для параметра a з рівнем довіри РД , якщо при будь-якім значенні a
<math>P\left\{ I\left( x \right)\in a \right\}\equiv P\{~{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\le a\le ~{{a}_{2}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\}\ge {{P}_{}}</math>,
тобто імовірність ( що залежить від a) накрити випадковим інтервалом I(x) справжнє значення a - більше або дорівнює РД.

== Побудова довірчих границь і інтервалівтором ==

Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики
<math>\xi =\xi \left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)~</math>, по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка
<math>\xi =\hat{a}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)~</math>). Один зі способів побудови полягає в наступному. Припустимо, що деяка випадкова величина
<math>\varphi =\varphi (\xi ,\text{ }a)~~</math>, що залежить від статистики
<math>\xi </math> і невідомого параметра a така, що:
#закон розподілу відомий і не залежить від a;
#<math>\varphi (\xi ,\text{ }a)~~~</math> є неперервною та монотонною по .
Виберемо діапазон для
<math>\varphi ~~</math> інтервал
<math>({{f}_{1}},{{f}_{2}})</math> так, щоб влучення в нього було практично вірогідно:
<math>P\{\text{ }f1\le \varphi (\xi ,\text{ }a)\le f2\text{ }\}\ge P~</math>
для чого досить у якості
<math>~f1~,f2</math> взяти квантилі розподілу
<math>\varphi </math> рівня (1- РД )/2 і (1+ РД )/2 відповідно. Перейдемо в до іншого запису випадкової події. Розв’язуючи нерівності щодо параметра a, одержимо (думаючи, що
<math>\varphi </math> монотонно зростає по a):
<math>\text{P}\{\text{ g}(\xi ,\text{ f1})\le \text{a}\le \text{g}(\xi ,\text{ f2})\text{ }\}\ge \text{P}</math>.
Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра a, і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал
<math>(g(\xi ,\text{ }{{f}_{1}}),\text{ }g(\xi ,\text{ }{{f}_{2}}))</math> є довірчим для a з рівнем довіри РД . Якщо
<math>\varphi </math> спадає по a, інтервалом є
<math>(g(\xi ,\text{ }{{f}_{2}}),g(\xi ,\text{ }{{f}_{1}})\text{ })</math>.
Для побудови однобічної границі для a виберемо значення
<math>f1,f2</math> так, щоб
<math>~~~~~~\text{P}\{\varphi (\xi ,a)\ge {{f}_{1}}\}\ge {{P}_{}},~~~~~{{f}_{1}}=Q\left( 1\text{ }-\text{ }{{P}_{}} \right)</math>
чи
<math>\text{P}\{\varphi (\xi ,a)\le {{f}_{2}}\}\ge {{P}_{~}}{{,}_{~~~~}}~{{f}_{2}}=\text{ }Q\left( {{P}_{}} \right)</math>
де
<math>Q(P)</math> - квантиль рівня
<math>P</math>. Після розв’язання нерівності одержимо однобічні довірчі границі для a.

[[Файл:Безымянный.jpg]]

<center>Рисунок - Довірчі межі та довірчі ймовірності.</center>

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95.
Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.

== Рівень довіри ==

Рівень довіри РД означає, що правило визначення інтервалу дає вірний результат з імовірністю РД, що звичайно вибирається близькою до 1, однак, 1 не дорівнює. Переконаємося статистично на прикладі в тім, що довірчий інтервал з рівнем довіри РД може не містити (з малою імовірністю 1- РД ) істинне значення параметру.
*Приклад. Розглянемо наведений випадковий інтервал I(x1, ..., xn), що при будь-якім значенні а накриває це значення з великою імовірністю РД:
Р{ I(x1,...,xn) є a } = РД ,
і тому, якщо знехтувати можливістю здійснення події
<math>a\notin I</math>, що має малу імовірність (1- РД), можна вважати подія
<math>a\in I\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)</math> є практично достовірною, тобто можна вірити тому, що обчислений за конкретними спостереженнями x1,...,xn інтервал I містить невідоме значення параметра а.
Проведемо випробування інтервалу на 50 вибірках обсягу n=10 для трьох рівнів довіри РД : 0.9 , 0.99 , 0.999 (відповідно, три значення fp) .
При РД = 0.9 число невірних з k =50 результатів виявиться в околиці 5, тому що середнє число невірних
k(1- РД) = 5.
При РД =0.99 поява хоча б одна невірного з k =50 досить ймовірна: імовірність цієї події
<math>1-\text{ }{{}_{\mathbf{}}}^{k}=1-{{0.99}^{50}}\approx 0.61.</math>.
При РД =0.999 поява хоча б одна невірного є сумнівною: імовірність цієї події
<math>1-\text{ }{{}_{\mathbf{}}}^{k}=1-{{0.999}^{50}}\approx 0.05</math>.

=Список використаних джерел=

#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).

{{Завдання:Виступ|Hek|11 березня 2010|Довірчі інтервали та їх межі.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Дисперсійний аналіз

2012-03-05T16:32:05Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= А| Surname= Пімєнов | FatherNAme=В |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/414 Презентація доповіді (університетський репозиторій)

=Загальні відомості про дисперсійний аналіз=

Дисперсійний аналіз був створений спочатку для статистичної обробки агрономічних дослідів. В наш час його також використовують в економічних, технічних та соціальних експериментах.

Сутність цього аналізу полягає в тому, що загальну дисперсію досліджуваної ознаки розділяють на окремі компоненти, які обумовлені впливом певних конкретних чинників. Істотність їх впливу на цю ознаку здійснюється методом дисперсійного аналізу. Відповідно до дисперсійного аналізу будь-який його результат можна подати у вигляді суми певної кількості компонент. Так, наприклад, якщо досліджується вплив певного чинника на результат експерименту, то модель, що описує структуру останнього, можна подати так:

<center><math>{{x}_{ij}}=\overline{x}+{{\alpha }_{j}}+{{\varepsilon }_{ij}}</math></center>

де <math>{{x}_{ij}}</math> — значення ознаки X, одержане при ''i''-му експерименті на ''j''-му рівні фактора.

Під рівнем фактора розуміють певну його міру.
Наприклад, якщо фактором є добрива, які вносяться в землю з метою збільшення врожайності сільськогосподарської культури, то рівнем фактора в цьому разі є кількість добрива, що вноситься в грунт;

<math>\overline{x}</math> — загальна середня величина ознаки X;

<math>{{\alpha }_{j}}</math> — ефект впливу фактора на значення ознаки X на ''j''-му рівні;

<math>{{\varepsilon }_{ij}}</math> — випадкова компонента, що впливає на значення ознаки X в ''i''-му експерименті на ''j''-му рівні.

При цьому <math>M({{\varepsilon }_{ij}})=0</math> і <math>{{\varepsilon }_{\text{ij}}}</math>, як випадкові величини мають закон розподілу ймовірностей <math>N\left( 0;{{\sigma }^{2}} \right)</math> і між собою незалежні <math>({{K}_{ij}}=0\text{ })</math>.

Складнішою моделлю аналізу є вивчення впливу на результати експерименту кількох факторів. Зокрема при аналізі впливу двох факторів структура моделі набуває такого вигляду:

<center><math>{{x}_{ijk}}=\overline{x}+{{\alpha }_{i}}+{{\beta }_{j}}+{{\gamma }_{ij}}+{{\varepsilon }_{ijk}}</math></center>

де <math>{{x}_{i}}_{jk}</math> – значення ознаки Х в ''i''-му експерименті на ''j''-му рівні впливу фактора ''A'' і на ''k''-му рівні впливу фактора ''В''; <math>\overline{x}</math> — загальна середня величина ознаки X; <math>{{\alpha }_{i}}</math> — ефект впливу фактора ''А'' на ''i''-му рівні, <math>{{\beta }_{j}}</math> — ефект впливу фактора ''В'' на ''j''-му рівні; <math>{{\gamma }_{ij}}</math> — ефект одночасного впливу факторів ''A'' і ''В''; <math>{{\varepsilon }_{ijk}}</math> — випадкова компонента.
У разі проведення дисперсійного аналізу досліджуваний масив даних, одержаних під час експерименту, поділяють на певні групи, які різняться дією на результати експерименту певних рівнів факторів.

Попередні методи статистичного аналізу даних використовують для порівняння двох об’єктів. Але на практиці часто виникають завдання, що стосуються групи об’єктів (наборів спостережуваних даних). Одним з методів для таких завдань є дисперсійний аналіз – статистичний метод виявлення на досліджувану випадкову величину (параметр) одночасної дії одного або декількох факторів. Дія деякого фактора на складну систему спричинює мінливість його властивостей. Фактор може бути відомий або невідомий, природного або штучного походження, як от: умови експерименту, методика вимірювань і опрацювання тощо.

За кількістю оцінюваних факторів дисперсійний аналіз поділяють на одно-, дво- та багатофакторний.
Кожен фактор може бути дискретною чи неперервною випадковою змінною, яку розділяють на декілька сталих рівнів (градацій, інтервалів). Якщо кількість вимірювань на всіх рівнях кожного з факторів однакова, то дисперсійний аналіз називають рівномірним, інакше – нерівномірним.

В основі дисперсійного аналізу є такий принцип (факт з математичної статистики): якщо на випадкову величину діють взаємно незалежні фактори ''A'', ''B'', то загальна дисперсія дорівнює сумі дисперсій, зумовлених дією окремо кожного з факторів:

<center><math>{{\sigma }^{2}}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+...</math></center>

Цей метод ґрунтується на розділенні загальної дисперсії <math>\sigma _{T}^{2}</math> на складові, що відповідають впливу різних джерел мінливості (дисперсія <math>\sigma _{R}^{2}</math>, зумовлена дією факторів, і залишкова дисперсія <math>\sigma _{D}^{2}</math>, <math>\sigma _{T}^{2}=\sigma _{R}^{2}+\sigma _{D}^{2}</math>), а застосовувані критерії дають змогу одночасно вивчати відмінності як у середніх значеннях, так і в дисперсіях.

=Однофакторний дисперсійний аналіз=

Для простоти розглянемо спочатку рівномірний дисперсійний аналіз (одну з можливих моделей), а потім наведемо необхідні модифікації для виконання нерівномірного аналізу.

Результати вимірювань запишемо у вигляді матриці з ''n'' рядків та ''p'' стовпців:

<center><math>Y=\left[ \begin{matrix}
{{y}_{11}} & ... & {{y}_{1p}} \\
... & {{y}_{ij}} & ... \\
{{y}_{n1}} & ... & {{y}_{np}} \\
\end{matrix} \right]</math></center>

Кожен стовпець (градацію фактора) треба розглядати як вибірку нормально розподілених випадкових величин <math>{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},...,{{\xi }_{p}}</math> з параметрами <math>M({{\xi }_{j}})={{\mu }_{j}}</math>, <math>D({{\xi }_{j}})={{\sigma }^{2}}</math> для всіх ''j=1,…,p'' (дисперсії однакові).

Отже, для кожної градації фактора (стовпця таблиці даних) маємо фіксоване середнє значення, що є сталим у межах експерименту.
Гіпотезу для перевірки сформулюємо так:

<center><math>{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}}={{\mu }_{2}}=...={{\mu }_{p}}=\mu </math></center>

Отже, дисперсія випадкової величини <math>{{y}_{ij}}</math>, зумовлена дією фактора на всіх рівнях, <math>\sigma _{R}^{2}=0</math>,
і вся мінливість буде спричинена неврахованими факторами:

<center><math>\sigma _{T}^{2}=\sigma _{D}^{2}</math> або <math>D({{y}_{ij}})=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{D}^{2}</math></center>

=Схема обчислень для однофакторного дисперсійного аналізу=

У математичній статистиці розроблено формальну процедуру дисперсійного аналізу (ANOVA, ANalysis Of VAriance).
Схема перевірки нульової гіпотези така.

'''А.''' Обчислюємо генеральне середнє <math>\bar{y}</math> і вибіркові середні <math>{{\bar{y}}_{i}}</math>:

<center><math>\bar{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=i}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{p}{{{y}_{ij}},N=np}}</math></center>

для рівномірного однофакторного аналізу або

<center><math>\bar{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=i}^{{{n}_{j}}}{{{y}_{ij}}}},N=\sum\limits_{j=1}^{p}{{{n}_{j}}}</math></center>

для нерівномірного однофакторного аналізу.

'''Б.''' Знаходимо суми квадратів відхилень від відповідних середніх значень:

* сума, що характеризує мінливість, зумовлену досліджуваним фактором (факторна сума),

<center><math>S{{S}_{R}}=n\sum\limits_{j=1}^{p}{{{({{{\bar{y}}}_{j}}-\bar{y})}^{2}}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{{{n}_{j}}{{({{{\bar{y}}}_{j}}-\bar{y})}^{2}}}</math></center>

* сума, що характеризує мінливість у межах кожної градації фактором (залишкова сума),

<center><math>S{{S}_{D}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{i}}}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}</math></center>

* сума, що характеризує загальну мінливість (загальна або тотальна сума),

<center><math>S{{S}_{T}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{i}}}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}</math></center>

Справджується рівність

<center><math>S{{S}_{T}}=S{{S}_{R}}+S{{S}_{D}}</math></center>

'''В.''' Визначаємо оцінки дисперсій:

<center><math>S_{T}^{2}=\frac{S{{S}_{T}}}{N-1};S_{R}^{2}=\frac{S{{S}_{R}}}{p-1};S_{D}^{2}=\frac{S{{S}_{D}}}{N-p}</math></center>

'''Г.''' Критерій Фішера для перевірки гіпотези <math>{{\text{H}}_{0}}</math> має вигляд

<center>''df 1 = p – 1, df 2 = N – p''</center>

Для заданого рівня значущості α знаходимо критичні значення статистики F(α; df 1; df 2).

Обчислені значення записуємо у вигляді таблиці (табл. 1.1), (ANOVA).

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1.1 – Результати однофакторного дисперсійного аналізу
</caption>
<tr>
<th scope="col">Різновид дисперсії </th>
<th scope="col" width="30%">Сума квадратів відхилень </th>
<th scope="col">Кількість ступенів вільності </th>
<th scope="col">Середній квадрат (оцінка дисперсії) </th>
<th scope="col">F-критерій </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Факторна (між вибірками)  </th>
<td align="center"> <math>S{{S}_{R}}</math> </td>
<td align="center"> p-1  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{A}}</math> </td>
<td align="center"> <math>\begin{align}
& M{{S}_{A}} \\
& M{{S}_{D}} \\
\end{align}</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Залишкова (у вибірці) </th>
<td align="center"> <math> SS_D </math>  </td>
<td align="center"> N-p  </td>
<td align="center"> <math> MS_D </math>  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Загальна  </th>
<td align="center"> <math> SS_T </math>  </td>
<td align="center"> N-1  </td>
<td align="center">  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
</table>

=Двофакторний дисперсійний аналіз=

На практиці часто виникає ситуація, коли досліджують вплив двох факторів. Двофакторний дисперсійний аналіз дає змогу не тільки виявити вплив кожного з факторів, а й оцінити їхню взаємодію. Двофакторний аналіз має:

* перехресну (двосторонню) класифікацію (з однаковою кількістю повторень у клітинці, з одним спостереженням у клітинці (без повторень), та з нерівномірною кількістю спостережень у клітинці);
* ієрархічну класифікацію, коли один з факторів є головним, а інший – підпорядкованим. Тоді градація фактора ''B'' є незалежною в межах кожної з градацій фактора ''A''. Якщо в кожній групі <math>Ai</math> маємо однакову кількість підгруп <math>B_j</math>, то така ієрархічна класифікація має спеціальну назву – гніздова класифікація. Для ієрархічної класифікації не виникає проблеми оцінки взаємодії факторів (її немає). Також вважаємо, що фактори не взаємодіють, коли маємо класифікацію без повторень.

=Схема обчислень для двофакторного дисперсійного аналізу=

Схема обчислень для двофакторного аналізу така:

'''А.''' Знаходимо вибіркові середні (генеральне середнє <math>\bar{y}</math>, а також середнє в рядку <math>y_{i}^{r}</math>, стовпці <math>y_{j}^{c}</math> й клітинці <math>{{\bar{y}}_{ij}}</math>):

<center><math>\bar{y}=\frac{1}{npq}\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{n}{{{y}_{ijm}};}}}</math></center>

<center><math>y_{i}^{r}=\frac{1}{np}\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{v}{{{y}_{ijm}};}}</math></center>

<center><math>y_{j}^{c}=\frac{1}{nq}\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{m=1}^{v}{{{y}_{ijm}};}}</math></center>

<center><math>{{\bar{y}}_{ij}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{m=1}^{v}{{{y}_{ijm}}}.</math></center>

'''Б.''' Обчислюємо суми квадратів відхилень від відповідних середніх:
* мінливість, зумовлену фактором ''A'',

<center><math>S{{S}_{A}}=np\sum\limits_{i=1}^{q}{{{(\bar{y}_{i}^{r}-\bar{y})}^{2}}}</math></center>

* мінливість, зумовлену фактором ''B'',

<center><math>S{{S}_{B}}=nq\sum\limits_{j=1}^{p}{{{(\bar{y}_{j}^{c}-\bar{y})}^{2}}}</math></center>

* мінливість, зумовлену взаємодією факторів ''A'' і ''B'',

<center><math>S{{S}_{AB}}=n\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{{{({{{\bar{y}}}_{ij}}-\bar{y}_{i}^{r}-\bar{y}_{j}^{c}+\bar{y})}^{2}}}}</math></center>

* мінливість у межах кожної з клітинок

<center><math>S{{S}_{D}}=\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{n}{{{({{y}_{ijm}}-{{{\bar{y}}}_{ij}})}^{2}}}}}</math></center>

* загальну мінливість спостережуваної ознаки (параметра)

<center><math>S{{S}_{T}}=\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{n}{{{({{y}_{ijm}}-\bar{y})}^{2}}}}}</math></center>

Справджується рівність

<center><math>S{{S}_{T}}=S{{S}_{A}}+S{{S}_{B}}+S{{S}_{AB}}+S{{S}_{D}}</math></center>

'''В.''' Знаходимо оцінки дисперсій (середні квадратів відхилень)

<center><math>M{{S}_{A}}=\frac{S{{S}_{A}}}{(q-1)};M{{S}_{B}}=\frac{S{{S}_{B}}}{(p-1)};</math></center>

<center><math>M{{S}_{AB}}=\frac{S{{S}_{AB}}}{(q-1)(p-1)};</math></center>

<center><math>M{{S}_{D}}=\frac{S{{S}_{D}}}{\frac{pq}{(n-1)}};M{{S}_{T}}=\frac{S{{S}_{T}}}{(N-1)},N=npq.</math></center>

Результати двофакторного дисперсійного аналізу записують у таблицю (табл. 1.2).

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1.2 – Результати двофакторного дисперсійного аналізу
</caption>
<tr>
<th scope="col">Різновид дисперсії </th>
<th scope="col" width="30%">Сума квадратів відхилень </th>
<th scope="col">Кількість ступенів вільності </th>
<th scope="col">Середній квадрат (оцінка дисперсії) </th>
<th scope="col">F-критерій </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Факторна для фактора ''A''  </th>
<td align="center"> <math>SS_A</math> </td>
<td align="center"> p-1  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{A}}</math> </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{A}}/M{{S}_{D}}</math> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Факторна для фактора ''B'' </th>
<td align="center"> <math> SS_B </math>  </td>
<td align="center"> q-1  </td>
<td align="center"> <math> MS_B </math>  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{B}}/M{{S}_{D}}</math> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Змішана для факторів ''A'' і ''B''  </th>
<td align="center"> <math> SS_A_B </math>  </td>
<td align="center"> (p-1)(q-1) </td>
<td align="center"> <math> MS_A_B </math>  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{AB}}/M{{S}_{D}}</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Залишкова </th>
<td align="center"> <math> SS_D </math>  </td>
<td align="center"> pq(n-1) </td>
<td align="center"> <math> MS_D </math>  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Загальна  </th>
<td align="center"> <math> SS_T </math>  </td>
<td align="center"> npq-1  </td>
<td align="center">  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
</table>

=Перевірка гіпотез двофакторного дисперсійного аналізу=

Нехай <math>\mu _{i}^{r},i=1,...,q</math> – математичні сподівання рядків табл. 1.3, а <math>\mu _{j}^{c},j=1,...,p</math> – математичні сподівання стовпців.

Тоді <math>{{\alpha }_{i}}=\mu _{i}^{r}-\mu </math> – ефект ''i''-ї градації фактора ''A'';

<math>{{\beta }_{j}}=\mu _{j}^{c}-\mu </math> – ефект ''j''-ї градації фактора ''B'';

<math>{{\gamma }_{ij}}={{\mu }_{ij}}-{{\alpha }_{i}}-{{\beta }_{j}}+\mu </math> – ефект ''j''-ї градації фактора ''B'' в умовах ''i''-ї градації фактора ''A'';

<math>{{\mu }_{ij}}</math> – математичне сподівання у кожній з клітинок.

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1.3 – Вхідні дані для двофакторного аналізу
</caption>
<tr>
<th scope="col">Рівні фактору </th>
<th scope="col" width="30%"><math>B_1</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col"><math>B_j</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col"><math>B_p</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="col"><math>A_1</math> </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{111},...,{y}_{11n}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{1j1},...,{y}_{1jn}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{1p1},...,{y}_{1pn}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> ... </th>
<td align="center"> ... </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"><math>A_i</math> </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{i11},...,{y}_{i1n}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{ij1},...,{y}_{ijn}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{ip1},...,{y}_{ipn}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> ... </th>
<td align="center"> ... </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"><math>A_q</math> </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{q11},...,{y}_{q1n}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{qj1},...,{y}_{qjn}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{qp1},...,{y}_{qpn}}</math> </th>
</tr>
</table>

Сформулюємо гіпотези, які стверджують, що впливи факторів ''A'' і ''B'' на всіх рівнях однакові, а взаємовпливу факторів нема:

<math>\begin{align}
& H_{0}^{A}:{{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}}=...={{\alpha }_{q}}; \\
& H_{0}^{B}:{{\beta }_{1}}={{\beta }_{2}}=...={{\beta }_{p}}; \\
\end{align}</math>

<math>H_{0}^{AB}:{{\gamma }_{ij}}=0</math> для всіх ''i'' та ''j''.

Критерії для перевірки цих гіпотез мають такий вигляд:

<math>\begin{align}
& {{F}^{A}}=\frac{M{{S}_{A}}}{M{{S}_{D}}}=\frac{S{{S}_{A}}}{S{{S}_{D}}}\frac{(N-qp)}{(q-1)} \\
& {{F}^{B}}=\frac{M{{S}_{B}}}{M{{S}_{D}}}=\frac{S{{S}_{B}}}{S{{S}_{D}}}\frac{(N-qp)}{(p-1)} \\
& {{F}^{AB}}=\frac{M{{S}_{AB}}}{M{{S}_{D}}}=\frac{S{{S}_{AB}}}{S{{S}_{D}}}\frac{(N-qp)}{(p-1)(q-1)} \\
\end{align}</math>

Якщо гіпотеза <math>{{H}_{0}}=H_{0}^{A}H_{0}^{B}H_{0}^{AB}</math> правильна (тобто одночасно виконуються всі три підгіпотези), то
<math>\frac{M{{S}_{A}}}{M{{S}_{D}}}</math>, <math>\frac{M{{S}_{B}}}{M{{S}_{D}}}</math> і <math>\frac{M{{S}_{AB}}}{M{{S}_{D}}}</math> підпорядковані розподілу Фішера з відповідними степенями вільності. Дію факторів ''A'', ''B'' і ''AB'' уважатимемо суттєвою (для заданого рівня значущості α), якщо

<math>{{F}^{A}}\ge F(\alpha ;q-1;N-pq)</math> або

<math>{{F}^{B}}\ge F(\alpha ;p-1;N-pq)</math>, або

<math>{{F}^{AB}}\ge F(\alpha ;(q-1)(p-1);N-pq).</math>

=Список використаних джерел=
# Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).
# Аністратенко В. О., Федоров В. Г. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. Посібник. – К.: Вища шк., 1993. – 375 с. іл..

{{Завдання:Виступ|Pimchikoff|4 березня 2010| Однофакторний, двофакторний і багатофакторний дисперсійний аналізи. Значимість впливів факторів на досліджувані параметри і перевірка відповідних гіпотез.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

[http://editingwritingservices.org/ essay editing]
[http://custom-essay.ws/index.php essay writing]

Статистичні критерії згоди 2

2012-03-05T16:32:01Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=В | Surname=Кобзар | FatherNAme=М |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
....... Презентація доповіді (університетський репозиторій).

=Статистичні критерії згоди=

До перевірки тієї чи іншої статистичної гіпотези доцільно підходити з різних теоретичних позицій. Кожна позиція грунтується на розподілі первинних або обчислених даних, які відрізняються від нормального розподілу. Це зумовлено обмеженим числом вимірювань або додатковими умовами при обробці дослідних даних. Характеристикою кожного розподілу є набір чисел, заздалегідь протабульованих. При перевірці гіпотези з дослідних даних складається число за тим же правилом, що й наведені в таблиці числа, і порівнюється з табличним числом. Гіпотеза визнається або відхиляється залежно від згоди дослідних і табличних чисел, тому останні називаються критеріями згоди. Як і в інших галузях науки, наприклад в теорії подібності, статистичні критерії — величини звичайно безрозмірні.

==Параметричні та непараметричні критерії згоди==

За потужністю критерії згоди діляться на дві великі групи: параметричні та непараметричні. До параметричних належать критерії, побудовані за допомогою основних параметрів (числових оцінок) вибіркової сукупності ''М'' та σ, або <math>\overline{x}</math> та ''S''. Ці критерії застосовуються лише тоді, коли генеральна сукупність, з якої взято одну або кілька вибірок, розподілена нормально, і за умови рівності основних параметрів, тобто <math>{{\overline{x}}_{1}}=~{{\overline{x}}_{2~}}</math> та <math>{{\text{S}}_{\text{1}}}={{\text{S}}_{\text{2}}}</math>.

Непараметричні критерії згоди є функціями лише змінних даної сукупності (вибірки) з їх частотами і не потребують знання типу розподілу генеральної сукупності. Тому їх застосовують при перевірці властивостей гіпотетичного розподілу.
Параметричні критерії мають сильнішу дискримінуючу (роздільну) здатність, більшу потужність порівняно з непараметричними. Коли досліджувана сукупність розподіляється за нормальним законом або не дуже відхиляється від нього, слід надавати перевагу таким критеріям.

==Ступінь вільності==
Поняття статистичного критерію тісно пов'язане з поняттям ступеня вільності. Для більшості критеріїв ступінь вільності є аргументом. Величина <math>\text{N-1}</math>, що стоїть у знаменнику формул для обчислення СКВ, є числом ступенів вільності. Під числом ступенів вільності розуміють число змінних, значення яких задаються довільно Іншими словами, це є загальне число змінних мінус число лінійних зв'язків, накладених на систему, що вивчається.
Під числом ступенів вільності розуміють різницю між числом дослідів та числом характеристик, які визначаються за утвореними даними незалежно одне від одного.

=Порівняння оцінок дисперсій=

Задача порівняння дисперсій виникає, наприклад, при виборі методу аналізу речовини з точки зору відтворюваності даних, при порівнянні точності видержування заданого технологічного режиму двома апаратниками тощо. Крім того, треба порівнювати дисперсії двох вибірок для розв'язання задачі про відсутність відмінності в їх середніх; тому спочатку використаємо F-розподіл.
Нехай треба порівняти дві різні за значенням оцінки <math>{{\text{S}}_{\text{1}}}</math> та <math>{{\text{S}}_{\text{2}}}</math> СКВ <math>{{\sigma }_{1}}</math> та <math>{{\sigma }_{2}}</math> із ступенями вільності <math>{{f}_{1}}</math> та <math>{{f}_{2}}</math> відповідно, утворених з двох різних вибірок Треба визначити, чи лежить різниця між <math>{{S}_{1}}</math> та <math>{{S}_{2}}</math> в межах можливих випадкових коливань, тобто вирішити, чи можна обидва значення <math>S_{1}^{2}</math> та <math>S_{2}^{2}</math> розглядати як оцінку однієї й тіє ж дисперсії <math>{{\sigma }_{2}}</math> генеральної сукупності. Іншими словами, слід визначити, чи належать утворені вибірки до цієї генеральної сукупності. Перевіримо нуль-гіпотезу <math>{{H}_{0}}</math> отже, припустимо, що <math>\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}={{\sigma }^{2}}</math>. Якщо це припущення виконується, то відношення <math>S_{1}^{2}/S_{2}^{2}</math> підлягає F-розподілу зі ступенями вільності math>{{f}_{1}}</math> та <math>{{f}_{2}}</math>. Тому обчислимо F-критерій Фішера <math>{{F}_{p}}=S_{1}^{2}/S_{2}^{2}</math>, де <math>{{S}_{1}}>{{S}_{2}}</math> за умовою. Потім виберемо критичне значення <math>{{F}_{KP}}</math> для заданої надійної ймовірності <math>\gamma </math> або відповідного рівня значущості <math>\alpha =1-\gamma </math> при ступенях вільності <math>{{f}_{1}}</math> чисельник та <math>{{f}_{2}}</math> знаменника.

Знайдені значення <math>{{S}_{1}}</math> та <math>{{S}_{2}}</math> є оцінками однієї й тієї ж генеральної дисперсії <math>{{\sigma }_{2}}</math>, якщо <math>{{F}_{P}}\le {{F}_{KP}}</math>, а спостережувану відмінність між ними розглядають як незначну і випадкову.
Оскільки F-критерій належить до параметричних, його можна використовувати лише тоді, коли є певність у тому, що генеральна сукупність, з якої взято вибірки, розподілена нормально.
Критерій Фішера використовують при порівнянні двох дисперсій, коли відомо, що одна з них належить генеральній сукупності. Тут число ступенів вільності для генеральної дисперсії слід брати таким, що дорівнює нескінченності.
За допомогою F-критерію при обробці активних планованих експериментів перевіряють адекватність математичної моделі, для чого обчислюють дисперсію адекватності. Його можна використовувати також при складанні моделі за результатами пасивних експериментів.
Якщо кількість порівнюваних дисперсій більша двох, то при формуванні F-критерію беруть найбільшу і найменшу дисперсії Якщо при цьому <math>{{F}_{P}}<{{F}_{KP}}</math>, то ці дисперсії відрізняються одна від одної, а решту дисперсій можна зарахувати до однієї сукупності.
Коли обсяг вибірок неоднаковий, користуються критерієм Бартлета, який грунтується на нормальному та <math>{{\chi }^{2}}</math> розподілах. Розрахунки за цим критерієм досить складні і кропіткі, описане вище застосування F-критерію у більшості випадків достатнє.

[[Категорія:Планування експерименту]]

Кореляційний аналіз

2012-03-05T16:31:59Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= І| Surname= Конєвська| FatherNAme= М|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
....... Презентація доповіді (університетський репозиторій).

=Кореляційний аналіз, мета і завдання=

'''Кореляційний аналіз''' – це статистичне дослідження (стохастичної) залежності між випадковими величинами (англ. correlation – взаємозв’язок). У найпростішому випадку досліджують дві вибірки (набори даних), у загальному – багатовимірні комплекси (групи) геологічних параметрів або об’єктів.

'''Мета кореляційного аналізу''' – забезпечити отримання деякої інформації про одну змінну за допомогою іншої змінної. В випадках, коли можливе досягнення мети, говорять, що змінні корелюють. В загальному вигляді сприйняття гіпотези про наявність кореляції означає, що зміна значення змінної А відбудеться одночасно з пропорційною зміною значення В.

Мірою залежності між експериментальними наборами даних є числа – коефіцієнти зв’язку.

Головні завдання кореляційного аналізу:

1) оцінка за вибірковими даними коефіцієнтів кореляції;

2) перевірка значущості вибіркових коефіцієнтів кореляції або кореляційного відношення;

3) оцінка близькості виявленого зв’язку до лінійного;

4) побудова довірчого інтервалу для коефіцієнтів кореляції.

Визначення сили та напрямку взаємозв’язку між змінними є однією з важливих проблем аналізу даних. В загальному випадку для цього застосовують поняття кореляції.

=Поняття кореляції=

Коефіцієнт кореляції, а в загальному випадку кореляційна функція, дозволяють встановити степінь взаємозв’язку між змінними. Кореляція може бути лінійною або нелінійною в залежності від типу залежності, яка фактично існує між змінними. Досить часто на практиці розглядають тільки лінійну кореляцію (взаємозв’язок), але більш глибокий аналіз потребує використання для дослідження процесів нелінійних залежностей. Складну нелінійну залежність можна спростити, але знати про її існування необхідно для того, щоб побудувати адекватну модель процесу.
<center> [[Файл:1.JPG]]

Рис. 1.1 - Ілюстрація «простої» кореляції
</center>
Формула для обчислення коефіцієнтів кореляції має вигляд:

[[Файл:2.jpg]]

де N − довжина вибірки даних; x, y − середні вибіркові x, y ; σx,σ y −
стандартні відхилення, тобто корені квадратні з їх дисперсій.

Наприклад,

[[Файл:3.JPG]]

де N − число вимірів змінної y ; y − середнє значення ряду {y(k)}, яке обчислюється за формулою:

[[Файл:4.JPG]]

=Часткова та напівчасткова кореляції=

У випадку двох нормальних або майже нормальних величин коефіцієнт кореляції між ними може бути використаний як міра взаємозв’язку і це підтверджено багатьма практичними результатами. Проте при інтерпретації «взаємозв’язку» часто виникають наступні труднощі: якщо одна величина корельована с іншою, то це може бути відображенням того факту, що вони обидві корельовані з деякою третьою величиною або з сукупністю величин, які залишаються за кадром і не введені в модель. Така ситуація приводить до розгляду умовних кореляцій між двома величинами при фіксованих значеннях інших величин. Це так звані часткові кореляції. Якщо кореляція між двома величинами зменшується, коли ми фіксуємо деяку іншу випадкову величину, то це означає, що їх взаємозв’язок виникає частково через вплив цієї величини. Якщо ж часткова кореляція дорівнює нулю або дуже мала, то робимо висновок, що їх взаємозв’язок цілком обумовлений власним впливом і ніяк не пов’язаний з третьою величиною.

І навпаки, якщо часткова кореляція більше початкової кореляції між двома величинами, то ми робимо висновок, що інші величини ослабили зв’язок, або приховали (замазали) кореляцію.

Розрізняють поняття напівчасткової та часткової кореляції. Розглянемо ситуацію для трьох змінних (два при Х1 та Х2 (пояснюючі, незалежні змінні) і одна змінна відклику Y (залежна змінна, змінна критерію)). Часткова та напівчасткова кореляції позбавляють впливу третьої змінної.

<center>
[[Файл:5.JPG]]

Рис. 1.2 - Ілюстрація кореляції трьох змінних
</center>

Значення напівчасткової та часткової кореляції можна виразити через множинну кореляцію. Множинна кореляція у випадку трьох змінних
обчислюється за формулою:

Напівчасткова кореляція названа так, тому що дисперсія контрольованої змінної (Х2) усувається з іншої незалежної змінної (Х1), але не із залежної змінної (Y). Тобто ми позбавляємось лише впливу Х2 на Х1.

<center>
[[Файл:1_3.jpg]]

Рис. 1.3 - Ілюстрація напівчасткової кореляції
</center>

У випадку трьох змінних формула для обчислення напівчасткової кореляції буде мати вигляд:

<math>r_{_{Y(1.2)}}^{2}=R_{Y.12}^{2}-r_{Y2}^{2}</math>

В термінах звичайних коефіцієнтів кореляції отримаємо:

<math>r_{Y(1.2)}^{2}=\frac{{{({{r}_{Y1}}-{{r}_{Y2}}{{r}_{12}})}^{2}}}{1-r_{12}^{2}}</math>

<math>{{r}_{Y(1.2)}}=\frac{{{r}_{Y1}}-{{r}_{Y2}}{{r}_{12}}}{\sqrt{1-r_{12}^{2}}}</math>

де <math>{{r}_{Y1}}</math> - проста кореляція між

<math>{{r}_{Y2}}{{r}_{12}}</math> - результат кореляції між у і х2 та х1 і х2

<math>\sqrt{1-r_{_{12}}^{2}}</math> - загальна дисперсія за винятком взаємозв’язку між <math>{{x}_{1}}</math> та <math>{{x}_{2}}</math>.

Часткова кореляція відрізняється від напівчасткової тим, що усувається вплив третьої змінної з іншої незалежної змінної, а також і з залежної змінної.

<center>
[[Файл:1_4.jpg]]

Рис. 1.4 - Ілюстрація часткової кореляції
</center>

У випадку трьох змінних формула для обчислення часткової кореляції буде мати вигляд:

<math>r_{Y1.2}^{2}=\frac{R_{Y.12}^{2}-r_{Y2}^{2}}{1-r_{Y2}^{2}}</math>

В термінах звичайних коефіцієнтів кореляції отримаємо:

<math>r_{Y1.2}^{2}=\frac{({{r}_{Y1}}-{{r}_{Y2}}{{r}_{12}})}{(1-r_{Y2}^{2})(1-r_{Y2}^{2})}</math>

<math>{{r}_{Y1.2}}=\frac{{{r}_{Y1}}-{{r}_{Y2}}{{r}_{12}}}{\sqrt{(1-r_{Y2}^{2})(1-r_{Y2}^{2})}}</math>

де <math>{{r}_{Y1}}</math> - <math>y</math> та <math>{{x}_{1}}</math>

<math>{{r}_{Y2}}{{r}_{12}}</math> - результат кореляції між у і х2 та х1 і х2

<math>\sqrt{1-r_{_{12}}^{2}}</math> - загальна дисперсія за винятком всіх часткових взаємозв’язків між <math>{{x}_{1}}</math> і <math>{{x}_{2}}</math>

Якщо кореляція між х1 і х2 та у і х2 відсутня, то <math>{{r}_{Y1.2}}={{r}_{Y1}}</math>

=Властивості коефіцієнта кореляції=

1. Коефіцієнт кореляції є в межах від -1 до +1.

<math>-1\le \rho (x,y)\le +1</math>

Якщо <math>\rho (x,y)>0</math>, то кореляція пряма, а якщо <math>\rho (x,y)<0</math> – зворотна. Пряма кореляція: більшим значенням випадкової змінної <math>x</math> відповідають більші значення <math>y</math>; зворотна кореляція: більшим значенням <math>x</math> відповідають менші <math>y</math> і навпаки, більшим <math>y</math> – менші <math>x</math>.

2. Симетрія

<math>\rho (x,y)=\rho (y,x)</math>

3. Якщо <math>x</math> та <math>y</math> пов’язані лінійним функціональним зв’язком <math>y\left( x \right)=a+bx</math>, <math>a</math> i <math>b</math> – сталі, то <math>\left| \rho (x,y) \right|=1</math>, і навпаки.

4. Якщо випадкові змінні лінійно незалежні, то <math>\rho (x,y)=0</math>, і навпаки.
Останні дві властивості можна сформулювати як необхідну й достатню умови, причому критерієм залежності випадкових величин <math>x</math> і <math>y</math> є відмінність коефіцієнта кореляції від нуля: <math>r\ne 0</math>.

=Кореляційне поле =
Графічно дані для кореляційного аналізу зображають у вигляді кореляційного поля, тобто точок на площині, кожна з яких має координати <math>({{x}_{i}},{{y}_{i}})</math> (рис.3.1)

<center>
[[Файл:6.jpg]]

Рис. 3.1. Візуальна оцінка характеру кореляційного зв’язку 
за кореляційним полем: ''a'' – пряма кореляція, <math>r>0</math>; ''б'' – зворотна кореляція, <math>r<0</math>.
</center>
 
Для прямої кореляції характерною тенденцією є збільшення одного з параметрів, якщо збільшується інший, а для оберненої, навпаки: збільшення одного супроводжується, як звичайно, зменшенням іншого. Причиною фіктивної кореляції (тобто такої, що спостережена, але не властива природним об’єктам) може бути неоднорідність сукупності даних, які відображають два різні об’єкти (рис. 3.2). Іноді методика дослідження впливає на створення видимості зв’язку там, де його немає. Наприклад, якщо вимірювати довжину і ширину без урахування орієнтації зразків, то всі точки кореляційного поля лежатимуть у секторі від 0 до 45° (замість сектора 0–90°), що помилково можна сприйняти як наявність деякого зв’язку

<center>
[[Файл:7.jpg]]

Рис. 3.2. Некорельовані дані, <math>r=0</math> і фіктивна кореляція (неоднорідні дані).
</center>

=Перевірка гіпотези про значущість коефіцієнта кореляції=

Згідно зі схемою статистичного доведення виконуємо таке.
1. Нульова гіпотеза: лінійного зв’язку немає, тоді істинний коефіцієнт кореляції дорівнює нулю:

<math>{{H}_{0}}:\rho (x,y)=0</math>

за двосторонньої альтернативи

<math>{{H}_{1}}:\rho (x,y)\ne 0</math>

2. Вибираємо <math>\alpha </math>, наприклад, <math>\alpha =0,05</math>.

3. Обчислюємо вибірковий коефіцієнт кореляції <math>r</math> і будуємо статистику

<math>t=\frac{r}{\sqrt{1-{{r}^{2}}}}\sqrt{n-2}</math>

4. Ця статистика має розподіл Стьюдента з <math>df=n-2</math> ступенями вільності, а для <math>n>60</math> можна використовувати й стандартний закон розподілу.

5. Знаходимо критичні значення статистики, тобто квантилі розподілу Стьюдента (чи стандартного для великих вибірок) для заданого рівня значущості <math>\alpha </math>. Для <math>n\le 60</math> маємо
<math>{{t}_{Kp}}={{t}_{Kp}}(\alpha ,d,f)</math>, а для <math>n>60</math> – наближену формулу
<math>{{t}_{Kp}}=\psi (\alpha )</math>,
де <math>\psi (\alpha )={{\Phi }^{-1}}(\alpha )</math> - обернена функція стандартного закону розподілу.

6. Перевіряємо критерій: якщо <math>\left| t \right|\ge {{t}_{Kp}}</math>, то нульову гіпотезу відхиляємо, тобто існує суттєвий лінійний зв’язок між даними (дані корелюють).
На практиці зручнішою є формула, яка дає критичне значення самого коефіцієнта кореляції. З рівняння статистики можна визначити
<math>{{r}_{Kp}}=\frac{{{t}_{Kp}}}{\sqrt{n-2+t_{Kp}^{2}}}</math>
Ця формула дає змогу один раз відшукати критичне значення коефіцієнта кореляції (для фіксованого <math>\alpha </math> і <math>n</math>) і використовувати його в наступній серії порівнянь парних коефіцієнтів кореляції з критичним, наприклад, для перевірки на значущість коефіцієнтів кореляційної матриці.

=Автокореляція=
Автокореляція або автокореляційна функція - це кореляція функції з самою собою зміщеною на певну величину незалежної змінної. Автокореляція використовується для знаходження закономірностей в ряді даних, таких як періодичність. Часто застосовується у статистиці та обробці сигналів для аналізу функцій або серій даних.
Математично автокореляційна функція визначається як:

<math>{{R}_{f}}(\tau )=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t){{f}^{*}}(t-\tau )}dt</math>,

де функція <math>f(t)</math> інтегрується у добутку з комплексно спряженою та зміщеною на певну величину <math>\tau </math> (часто <math>\tau </math> це час) функцією.

=Кореляційна матриця=
Нехай маємо групу з <math>k</math> випадкових змінних <math>{{x}_{1}},...,{{x}_{k}}</math> (досліджуваних параметрів), що представлені вибірками обсягу <math>n</math> кожна. Для усіх можливих різних пар індексів <math>i,j=1,2,...,k</math> можна обчислити парні коефіцієнти кореляції <math>{{r}_{ij}}=r({{x}_{i}},{{x}_{j}})</math>.
Для <math>i=j</math>, тобто для двох ідентичних наборів, можна прийняти <math>{{r}_{i}}_{j}=1</math>, що відповідає лінійній функціональній залежності <math>{{x}_{i}}={{x}_{j}}</math> (тотожності) для всіх пар значень у вибірках. Коефіцієнти кореляції запишемо у вигляді підсумкової симетричної матриці

<math>R=\left[ \begin{matrix}
1 & {{r}_{12}} & ... \\
{{r}_{21}} & 1 & ... \\
... & ... & ... \\
{{r}_{k1}} & {{r}_{k2}} & ... \\
\end{matrix} \right..</math>

Після перевірки кожного з коефіцієнтів на значущість (достатньо це зробити для елементів матриці над головною діагоналлю) і заміни коефіцієнтів, що менше <math>{{r}_{Kp}}</math>, нулем, “очищена” кореляційна матриця відображає “справжні” статистично значимі зв’язки між змінними.
Аналіз структури кореляційної матриці є дуже важливим методом для виявлення, наприклад, парагенетичних асоціацій у геохімічних дослідженнях , а також основою інших методів аналізу (наприклад, факторного). З огляду на це часто виникає завдання порівняти різні коефіцієнти кореляції. Оскільки істинні коефіцієнти кореляції <math>{{\rho }_{i}}</math>, та <math>{{\rho }_{j}}</math> невідомі, то рішення ухвалюють, користуючись їхніми вибірковими оцінками <math>{{r}_{i}}</math> та <math>{{r}_{j}}</math>на підставі статистичного доведення.

1. Формулюємо нульову гіпотезу про рівність коефіцієнтів кореляції

<math>{{H}_{0}}:{{\rho }_{i}}={{\rho }_{j}}</math>

та альтернативну їй

<math>{{H}_{1}}:{{\rho }_{i}}\ne {{\rho }_{j}}</math>

2. Вибираємо рівень значущості <math>\alpha </math>.

3. Оскільки розподіл коефіцієнтів кореляції за умови <math>\rho \ne 0</math> має значну асиметрію, то використовуємо перетворені величини

<math>z{}_{i}=\frac{1}{2}\ln \frac{1+{{r}_{i}}}{1-{{r}_{i}}}</math>

і будуємо статистику

<math>{{t}^{*}}=\frac{\left| {{z}_{i}}-{{z}_{j}} \right|}{s\sqrt{2}}</math> <math>s=1/\sqrt{n-3}</math>

4. В умовах гіпотези <math>{{H}_{0}}</math> статистика <math>{{t}^{*}}</math> має асимптотично нормальний розподіл з нульовим середнім та дисперсією, що дорівнює 1.

5. Знаходимо критичні значення статистики, тобто квантилі стандартного нормального розподілу, наприклад, для <math>\alpha =0,05</math> маємо <math>{{t}^{*}}={{\psi }^{-1}}(0,05)=1,96</math>.

6. Якщо

<math>\left| {{z}_{i}}-{{z}_{j}} \right|<{{t}^{*}}s\sqrt{2}</math>

то гіпотеза про рівність коефіцієнтів не суперечить вибірковим даним (для заданого <math>\alpha </math>).

=Список використаних джерел=

#Курсова робота на тему: “Розробка методів для обчислення часткової кореляційної функції”.
#http://uk.wikipedia.org/wikiАвтокореляція
#http://www.lnu.edu.ua/faculty/geology/phis_geo/Khomyak/E-book_Geostatistics/Part2/Lections2-3-1.htm
#Аністенко В.О., Федоров В.Г. – Математичне планування експерименту АПК.

{{Завдання:Виступ|inna|9 березня 2010|Кореляційний аналіз експериментальних даних. Кореляційна матриця. Перевірка гіпотез відносно значень кореляційної матриці}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Сфери застосування планування експерементів

2012-03-05T16:31:56Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= А| Surname=Бурак | FatherNAme= М|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/405] Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= ВСТУП. =
'''Класичне уявлення про експерименти.'''

Незважаючи на велике значення експерименту в науковому пізнанні, не існує єдиного загальновизнаного визначення відповідного терміна (це саме стосується, як уже зазначалося й інших фундаментальних понять кібернетики — «система», «модель», «інформація», «управління»). Як правило, під експериментом розуміють створення деякого комплексу умов R, в результаті яких можуть відбуватись чи не відбуватись події з деякої заданої множини S. Предметом теорії експерименту є вивчення відображення цієї множини R, яка називається комплексом умов, на множину S подій — результатів експерименту.

Наведемо ще кілька класичних інтуїтивних визначень.

'''Експеримент''' (від лат. experimentum — проба, досвід) — науково поставлене випробування, спостереження досліджуваного явища за певних фіксованих умов, завдяки чому його можна відтворити повторенням цих умов.

'''Експеримент''' — випробування, дія чи операція, спрямована на виявлення нових фактів або на перевірку гіпотез.

Зупинимося на деяких аспектах сучасного розуміння експерименту.

Нині вже усвідомлено той факт, що існують явища, які не піддаються числовому (кількісному) вимірюванню, але які можна фіксувати в «слабких», «якісних» шкалах і ці результати враховувати в моделях, дістаючи якісні, проте цілком обґрунтовані висновки.

Розпливчастість деяких спостережень визнається як їхня невід’ємна природна властивість, яку можна математично формалізувати за допомогою апарату теорії нечітких множин.

Намагаючись дістати якомога точніші результати вимірювання, дослідник має усвідомлювати, що похибки вимірювання є органічними, неусувними властивостями самого процесу вимірювання. Тому моделі, що перевіряються на практиці, мають не тільки бути гіпотезами про досліджуваний об’єкт, а й ураховувати гіпотези щодо точності вхідної інформації.

Хоча для проведення експерименту необхідна модель відповідного об’єкта, а для уточнення моделі об’єкта необхідний експеримент, тут немає хибного кола: після завершення чергового циклу наступний починається з нової, зміненої моделі. Ми починаємо з найпростішої моделі вхід—вихід («чорної скриньки») і намагаємось побудувати модель «білої скриньки».

Можна виокремити два основні напрямки в теорії планування експериментів: планування екстремальних експериментів та планування експериментів зі з’ясування механізмів явищ.

Завдання екстремального експерименту полягає у визначенні оптимальних значень функції регресії (чи комбінації факторів, за яких функція відгуку набуває екстремальних значень). Методи планування такого експерименту тісно пов’язані з регресійним та факторним аналізом і методами стохастичного програмування.

У плануванні експериментів зі з’ясування механізмів явищ розрізняють:

• експерименти з перевірки статистичних гіпотез;

• експерименти, що відсіюють другорядні та незначущі фактори;

• імітаційні експерименти, які пов’язані з комп’ютерним відтворенням досліджуваного явища. Цей тип експериментів базується на застосуванні методу Монте-Карло.

= Особливості проведення експериментів в економіці. =

При дослідженні відносно простих систем дослідник може з достатнім ступенем точності стабілізувати (зафіксувати) усі незалежні змінні. Потім, по черзі варіюючи деякі з них, можна встановити вигляд функціональної (статистичної) залежності між ними. Що ж до економіки, то варто звернути увагу на такі її особливості як об’єкта моделювання.

1. В економіці неможливі моделі за принципом подібності, широко застосовувані в техніці. Наприклад, у літакобудуванні, гідротехніці часто використовується такий прийом: будується точна копія (макет) системи (у деякому масштабі) і на цій копії відпрацьовуються з необхідним коригуванням усі режими її роботи. Однак такий прийом неприйнятний щодо економіки — не можна побудувати точну копію економіки і на ній відпрацювати різні варіанти економічної політики.

2. В економіці обмежена можливість проведення прямих (активних) експериментів. Прямі експерименти з економікою мають як позитивний, так і негативний бік. Перевага таких експериментів полягає в тому, що практично відразу виявляються короткострокові результати здійснюваної економічної політики, а недолік — в тому, що неможливо безпосередньо передбачати середньо- та довгострокові наслідки прийнятих рішень. Адже передбачати такі наслідки можна лише на основі концептуальних моделей розвитку економіки, що спираються на минулий досвід. Проте прямі експерименти з економікою вкрай небезпечні, оскільки в разі невдалої та неефективної економічної політики вони можуть призвести до стагнації економіки та негативних соціальних наслідків.

3. В економіці можливості «чистих» експериментів вельми обмежені, оскільки економічні системи належать до класу великих складних динамічних систем, в яких існують численні контури прямих і зворотних зв’язків. У таких системах не можна встановити «непроникні перегородки», що розмежовують вплив різних факторів. Такі системи називають «погано організованими», або дифузійними.

З огляду на сказане, досліджуючи економіку будь-якої країни, спираються на її минулий досвід та досвід інших країн. Такий досвід важко переоцінити, але далеко не завжди його можна безпосередньо перенести в умови конкретної економічної ситуації. Проте, зважаючи на вельми обмежену можливість безпосереднього експериментування з усією економікою, вдаються до концептуальних моделей, на яких ґрунтується побудова ЕММ. Адекватність таких моделей встановлюється за допомогою сучасної теорії планування (імітаційних) експериментів.

= Приклади планування експериментів в медицині та сільському господарстві. =

Доволі часто виникає необхідність у визначенні частоти випадків одужання після якогось захворювання - або при випробуванні того чи іншого препарату, або при порівнянні ефективності двох препаратів. Чудова особливість такого статистичного аналізу полягає в тому, що всі види неминучої природної мінливості, що становить як би "фон", на якому виявляється мінливість, пов'язана з досліджуваним фактором, що враховуються в комплексі шляхом використання відповідного розподілу ймовірностей. Якщо фонова мінливість дуже велика, то для отримання остаточних результатів може знадобитися дуже велике число спостережень, а коли вона порівняно мала, результат буде отримано значно швидше.

Якщо який-небудь ефект викликається дуже великим числом різних факторів, то цілком можливо, що фонова мінливість буде вельми велика. У таких випадках доцільно спробувати виділити деякі з цих факторів, навіть якщо їх неможливо повністю контролювати або виключити. Часто виявляється можливим розбити загальну мінливість на окремі компоненти, з яких один відповідає досліджуваного фактору, кілька інших - інших дій, які припускають можливість роздільної оцінки, і останній - інших дій, роздільна оцінка яких неможлива. Оскільки вплив останньої групи чинників, безумовно, буде слабшим, ніж вплив досліджуваного фактора, то це забезпечує більш точну статистичну перевірку.

Мистецтво розташовувати спостереження в певному порядку або проводити спеціально сплановані перевірки з метою повного використання можливостей цих методів і складає зміст предмета "планування експерименту". Тут наведені лише деякі основні переваги свідомого та продуманого планування експерименту.

Перший приклад. Потрібно порівняти болезаспокійливу дію двох різних лікарських препаратів А та В. Нехай підібрано 16 хворих і прийнято рішення розділити їх випадковим чином (щоб уникнути будь-якої свідомо чи мимоволі вноситься систематичної помилки) на дві групи, по 8 хворих в кожній . Одна група отримує препарат А, а інша - препарат В. Потім вимірюють час, протягом якого кожен з хворих відчуває полегшення, і порівнюють середні значення по обох групах. Якщо середній час для препарату А значимо перевищує середній час для препарату В, то можна зробити висновок, що перший препарат більш ефективний. (В даному випадку несуттєво, який статистичний критерій використовується. Оскільки розглядається невелика кількість об'єктів, це може бути один з критеріїв Стьюдента.)

Відомо, що хворі по-різному реагують на один і той самий лікарський препарат, тому тривалість періоду полегшення зазвичай сильно варіює, що значно знижує точність порівняння цих двох препаратів. Проте в даному експерименті відмінності між хворими не становлять для нас особливого інтересу, і це джерело похибки можна виключити такий спосіб. Замість того щоб ділити хворих на дві групи, перевіряють на кожному з них обидва препарати, призначаючи їх послідовно через досить великі проміжки часу (щоб уникнути взаємодії) і у випадковому порядку (або, можливо, в одному порядку для однієї половини хворих і в іншому порядку для іншої).

Тепер для кожного хворого визначають відносну перевагу препарату А перед препаратом В, для чого обчислюють сумарну тривалість періоду полегшення для кожного з них і знаходять різницю цих двох величин. Таким чином отримують 16 чисел, що характеризують відносну перевагу одного препарату перед іншим, що дозволяє перевірити, чи значимо відрізняється від нуля їх середнє значення. Позитивна різниця tA-tB свідчить про статистично значущу перевагу препарату А, негативна - про зворотне співвідношення. Розглядаючи показники відносної переваги, ми виключаємо вплив реакції окремих хворих і в загальному випадку добиваємося більш ефективного порівняння цих двох ліків.

Така проста перевірка методом попарного порівняння являє собою найпростіший план експерименту, який має на меті отримати максимальну кількість інформації з даного числа спостережень. Зауважимо, що цей план має і свої додаткові особливості, тому що вимагає особливої уваги до низки практичних питань, наприклад до того, щоб препарати призначалися у випадковому порядку (щоб уникнути небажаної систематичної помилки) і через досить великі проміжки часу (для виключення ефектів взаємодії) ; однак тут ми не можемо детально розглядати ці питання.

Ми показали, яким чином під час перевірки методом попарного порівняння можна контролювати або виключати з розгляду будь-яке одне важливе і явне джерело мінливості. У більш загальному випадку можуть бути сплановані факторні експерименти, за допомогою яких можна визначити внесок кожного з кількох факторів в загальну мінливість. Деякі з цих факторів можуть становити особливий інтерес, тоді як інші мають другорядне значення. Ідея та практичне застосування цього нового підходу, що належить головним чином Р. Фішером, набули широкого поширення після появи його книги "Планування експериментів", що вийшла першим виданням в 1935 р.

Більшість фундаментальних робіт в області планування експерименту було присвячено сільськогосподарським додаткам.
Другий приклад. Припустимо, потрібно зрівняти середню врожайність кількох сортів пшениці при застосуванні різних добрив в різної концентрації, враховуючи при цьому коливання в родючості грунту на досить великих ділянках землі, які можна розбити на ділянки відповідних розмірів. Для початку можна спробувати скласти план експерименту, в якому будуть розглядатися всі можливі комбінації значень, або рівнів, різних факторів. Так, якщо є чотири сорти пшениці і три різних види добрив, що застосовуються в трьох різних концентраціях, то загальна кількість комбінацій умов дорівнюватиме 36. Таким чином, вихідне число ділянок в одному блоці факторного експерименту буде дорівнює 36 - по одній ділянці на кожну комбінацію умов. Внаслідок можливого коливання в родючості грунту від одного блоку до іншого може виявитися доцільним мати не менше двох повних блоків.

Проводиться застосування факторного плану замість класичної схеми, згідно з якою кожен раз змінюється тільки один фактор, що має ряд серйозних і навіть кілька несподіваних переваг. Перш за все в цьому випадку найбільш повною є картина впливу кожного фактора, оскільки воно вивчається в самих різних умовах (внаслідок одночасної зміни інших факторів). По-друге, велика кількість комбінацій факторів, що використовуються в експерименті, полегшує передбачення результатів, які можуть бути досягнуті при певній комбінації умов. По-третє, якщо ефекти, що викликаються кожним фактором, включених в експеримент, статистично незалежні, то про кожному факторі можна отримати не менше інформації, ніж якщо б у процесі експерименту змінювався тільки один цей чинник, а інші залишалися постійними. По-четверте, якщо (як це часто буває) різні фактори не є незалежними, а викликають ефекти, які більшою чи меншою мірою корельовані, то в цьому випадку тільки факторний експеримент може дати інформацію про характер цих взаємодій. За наявності декількох взаємопов'язаних істотних факторів обійтися без постановки факторного експерименту неможливо. Для ряду часто зустрічаються спеціальних завдань розроблено велику кількість стандартних планів такого типу.

Згідно з деякими з цих найпростіших планів, експеримент проводять на декілька блоків і всередині кожного з них на окремих ділянках перевіряють вплив усіх рівнів якогось одного фактора. При правильному плануванні отримують рандомізований блочний план. У сільськогосподарських задачах блоками можуть служити ділянки землі на різних полях, а рівнями одного фактора - ступінчаста послідовність концентрацій добрив або просто різні сорти пшениці. У лабораторному експерименті, в якому, скажімо, перевіряється вплив різних раціонів харчування на щурів, раціони харчування будуть випробовуватись умовами, а щури - окремими експериментальними одиницями (відповідними ділянках в сільськогосподарському експерименті).
У розглянутої вище простій перевірці методом попарного порівняння також можна було б застосувати рандомізований блочний план; тоді кожного хворого можна було б розглядати як окремий блок, а лікарські препарати - як умови експерименту.

== Логічна схема. ==

Хоча іноді буває важко перенести плани експериментів, розроблені для однієї області, особливо для сільського господарства, у зовсім іншу область, що лежить в їх основі логічна схема часто опиняється досить сприятливою. Тому доцільно ретельно обміркувати можливість того, щоб при належноій інтерпретації елементів якого-небудь певного плану експерименту можна було б забезпечити його успішне застосування в задачах зовсім іншого характеру. Це ілюструє великі можливості математичних методів планування експерименту. В основі планування повинна, зрозуміло, лежати деяка вихідна математична модель. Опишемо найпростішу з них, яка в тому чи іншому варіанті використовується найбільш широко. Хай потрібно досліджувати вплив тільки двох факторів А та В. Припустимо, що спостерігається на деякій експериментальної одиниці вплив i-го рівня фактора А і j-го рівня фактора В можна записати у вигляді

<center><math>yij = m + ai + bj + zij</math> (1.1)</center>

де<math> yij</math> – досліджувана величина, m – загальне середнє, <math>ai</math> і <math>bj</math> - відносні вклади цих двох чинників при заданих рівнях кожного з них, a <math>zij</math> - випадкова зміна, що накладається на основну лінійну адитивну схему. Крім того, часто приймається, що всі величини мають один і той же нормальний розподіл і незалежні один від одного.

Ці обмеження досить серйозні, проте часто прийняття їх в якості першого наближення цілком виправдано. Так, якщо вплив цих факторів малий, то помітну величину будуть мати тільки лінійні члени та можливими членами другого порядку можна знехтувати. При незалежності факторів формула (1.1) цілком задовільна. Але якщо вони взаємодіють один з одним, то слід включити в неї додаткові члени сij, що враховують цю взаємодію. Можна, однак, виконати перевірку значущості на основі формули (1.1), щоб переконатися, чи потрібні члени, що характеризують взаємодію. Крім того, якщо випадкові величини zij не розподілені за нормальним законом, то можна використовувати будь-яку функцію емпіричних результатів (наприклад, квадратні корені або логарифми), для якої зберігається нормальний закон розподілу.

На основі елементарної формули (1.1) легко побудувати моделі, що враховують безліч чинників, блоків, взаємодій і інших ускладнень, спричинених практичною необхідністю в кожному даному експерименті. Справа в тому, що в дуже багатьох випадках необхідні обчислення відносно прості і виконуються безпосередньо. Зазвичай доводиться виробляти повторювані обчислення сум і сум квадратів даних, обраних відповідним чином. Результати представляють у вигляді таблиці дисперсійного аналізу, за допомогою якої можна встановити значимість всіх різних факторів, що впливають на результати експерименту.

== Послідовна схема. ==

Одним із сучасних варіантів планування експериментів, який слід розглянути окремо, є послідовна схема експерименту. В експерименті стандартного типу необхідно заздалегідь вирішити, скільки спостережень потрібно набрати. Якщо після аналізу виявиться, що кількість спостережень занадто мало, то потрібно спробувати продовжити експеримент, однак може виявитися, що на даному етапі зробити це важко або неможливо. Якщо ж з'ясується, що отримано значно більше спостережень, ніж необхідно для досягнення необхідної точності, то буде втрачено час і гроші. У медичних задачах це має особливо істотне значення. Жоден лікар не зацікавлений в тому, щоб експеримент тривав довше, ніж це строго необхідно, тому що його мета - дати своїм хворим найкращий з існуючих препаратів, як тільки він пройде клінічні випробування. Таким чином, в медицині вибір і планування експерименту найтіснішим чином пов'язані з етичними міркуваннями.

Послідовна схема передбачає проведення експерименту окремими серіями. Оцінка результатів проводиться на кожному етапі, з тим щоб негайно можна було вирішити, застосовувати препарат А, препарат В або ж продовжувати експеримент, оскільки остаточного висновку зробити ще не можна. За такої схеми експерименту тривалість його буде мінімальна і він закінчиться значно раніше, ніж у будь-якому іншому випадку. Крім того, в медицині часто буває дуже важко або навіть взагалі неможливо провести звичайну експериментальну перевірку, тому що після кількох невдалих результатів, які можуть закінчитися смертю хворого, починаються гострі суперечки про те, чи варто продовжувати експеримент взагалі. Послідовних схема означає, що заздалегідь можна ретельно і спокійно розглянути різні лінії поведінки, зумовлюється різними результатами експерименту. При цьому значно легше вибрати найкращі рішення безпосередньо в ході експерименту і сумістити вимоги етики з статистичною ефективністю.

= Приклад застосування в хімії. =

Розрахунок швидкості корозії.

Розрахунок швидкості корозії в промислових водах проводиться з метою оцінки корозійної характеристики середовища за змістом корозійно-активних компонентів. Згідно з РД 39-0147323-339-89-Р основними корозійно-активними складовими промислових вод є рН, HCO3-, Cl-, Ca2 +, Mg2 +, H2S. Оскільки рН є похідним від змісту HCO3-, H2S і вплив іонів Ca2 + і Mg2 + аналогічно, були взяті чотири складові - HCO3-, Cl-, Ca2 + + Mg2 +, H2S.

На першому етапі роботи була зібрана апріорна інформація за даними складу промислових вод за період з 1995 по 1999 роки по родовищах (таблиця 1). Джерелом інформації служили результати аналізів промислових вод, проведені хіміко-аналітичною лабораторією за період часу. Найбільш істотним в таблиці є мінімальне та максимальне утримання кожного компонента.
Як фактори були взяті:

х1 - вміст HCO3-, г / л;

х2 - вміст Ca2 + + Mg2 +, г / л;

х3 - вміст Cl-, г / л;

х4 - вміст H2S, мг / л.

Таблиця 1 - Зміна змісту корозійно-активних компонентів в стічній воді по родовищах за 1995-1999 роки

<center>[[Файл:3333.jpg]]</center>

У ході дослідження важливим було відстеження взаємодії факторів. Виходячи з цього, було прийнято математичний опис процесу у вигляді рівняння регресії для чотирьох змінних:

<math>vcor = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b11x12 + b22x22 + b33x33 + b44x44 + b12x1x2 + B13x1x3 + b14x1x4 + b23x2x3 + b24x2x4 + b34x3x4.</math>

Використання в якості моделі полінома другого порядку вимагає варіювання факторів на п'яти рівнях. Відповідно до апріорної інформацією були прийняті значення рівнів, представлені в таблиці 2.

Таблиця 2 - Значення рівнів варіювання факторів.

<center>[[Файл:444444.jpg]]</center>

Так як в якості моделі взяли поліном другого порядку для розрахунку коефіцієнтів зручно скористатися методом центрального композиційного планування (ЦКОП). В основному експерименті в центрі плану передбачався один досвід, тому значення «зоряного» плеча α береться рівним +1. Кількість експериментів рівне 25. З огляду на вимоги, які розглядаються, була складена матриця планування в умовному масштабі. При проведенні основного експерименту досліди були рандомізовані.

Таблиця 3 - Матриця планування чотирьохфакторного експерименту.

<center>[[Файл:55555.jpg‎]]</center>

Коррозия и защита в нефтегазовой промышленности: Экономическая эффективность катодной защиты обсадных колонн скважин / Под ред. Г.С. Кесельмана, В.Б. Максимова. - М.: ВНИИОЭНГ, 1974. - 74 с.
http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1156624&uri=2_3.htm
http://buklib.net/component/option,com_jbook/task,view/Itemid,36/catid,128/id,3694/

=Список використаних джерел=

#Коррозия и защита в нефтегазовой промышленности: Экономическая эффективность катодной защиты обсадных колонн скважин / Под ред. Г.С. Кесельмана, В.Б. Максимова. - М.: ВНИИОЭНГ, 1974. - 74 с.
#http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1156624&uri=2_3.htm;
#http://buklib.net/component/option,com_jbook/task,view/Itemid,36/catid,128/id,3694.

{{Завдання:Виступ|zvizdar|8 березня 2010|Приклади задач у народному господарстві, в тому числі у багатьох областях медицини та ін.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]
[http://essay-writer.org/ dissertation writers]

Матриця планування експерименту

2012-03-05T16:31:50Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= І| Surname=Галас | FatherNAme=М |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

{{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789 Матриця планування експеременту]}}

= Матриця планування експерименту =
В даному випадку розглядається планування першого порядку для якого ставляться такі вимоги:
*В якості факторів вибираються тільки контрольовані фактори.
*Забезпечується можливість незалежної зміни кожного з факторів і підтримання його на потрібному рівні.
*Для кожного фактору вказується інтервал(+/-) в межах якого проводиться експеримент.
Перед початком дослідів на основі апріорних даних вибирають рівень, який є базовим. Перший етап планування експерименту для отримання лінійної моделі заснований на варіюванні факторів на двох рівнях.

<center>[[Файл:G1.JPG]]</center>

В цьому випадку, якщо кількість факторів відома, можна знайти кількість дослідів, необхідних для реалізації всіх можливих комбінацій рівнів факторів.Вона обчислюється за формулою
<math>N={{2}^{k}}</math>, де N - кількість дослідів, k - кількість факторів, 2 - кількість рівнів. В загальному випадку експеримент, в якому реалізуються всі можливі комбінації рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Якщо кількість рівнів кожного фактора два, то маємо повний факторний експеримент типу
<math>{{2}^{k}}</math> При плануванні експерименту проводять перетворення (нормалізацію) незалежних змінних
<math>{{z}_{i}}</math>:
<math>{{z}_{i}}=\frac{{{x}_{i}}-{{x}_{i0}}}{\Delta {{x}_{i}}}</math>, що дає можливість легко побудувати ортогональну матрицю планування і полегшує подальші обчислення, оскільки верхній та нижній рівні варіювання
<math>{{z}_{iB}}</math> при
<math>{{x}_{i0}}<{{x}_{i}}</math> та
<math>{{z}_{iH}}</math> при <math>{{x}_{i0}}>{{x}_{i}}</math> дорівнюють відповідно
<math>{{z}_{iB}}=+1</math> та
<math>{{z}_{iH}}=-1</math>.
Не важко записати всі комбінації рівнів при експерименті з двома факторами. Умови експерименту можна записати у вигляді таблиці, де рядки відповідають різноманітним дослідам, а стовпці - значенням факторів.

<center>[[Файл:G2.jpg]]</center>

Такі таблиці називаються матрицями планування експерименту.Кожен стовпець в матриці планування називають вектор -стовпцем, а кожен рядок вектор-рядком. Таким чином в таблиці і ми маємо два вектора-стовпці незалежних змінних(факторів) і один вектор стовпець параметра оптимізації. Те, що записано в цій таблиці в алгебраїчній формі, можна зобразити геометрично.

[[Файл:G4.JPG]] [[Файл:G3.JPG]]

В області визначення факторів шукається точка, яка відповідає основному рівню, і через неї проводяться нові осі координат, паралельні осям натуральних значень факторів. Далі, вибираються масштаби по нових осях так, щоб інтервал варіювання для кожного фактора дорівнював одиниці.Тоді умови проведення дослідів будуть відповідати вершинам квадрату, центром якого є основний рівень, а кожна сторона паралельна одній з осей координат і дорівнює двом інтервалам. Номери вершин квадрата відповідають номерам дослідів в матриці планування. Площа, обмежена квадратом, називається областю експерименту, або областю факторного простору. Іноді зручніше вважати областю експерименту площу, обмежену кругом,який описує квадрат. В задачах інтерполяції область експерименту є область можливих значень у. Областю факторного простору для трьохфакторного експерименту буде куб.
<center>[[Файл:G6.JPG]]</center>
Запис матриці планування, особливо для багатьох факторів, громіздка. Для її скорочення зручно ввести умовні буквенні позначення рядків. Це робиться наступним чином. Порядковий номер фактора ставиться у відповідність маленькій букві латинського алфавіту:
<math>{{x}_{1}}-a,{{x}_{2}}-b,</math> і т.д. Якщо тепер для рядка матриці планування виписати латинські літери тільки для факторів, які знаходяться на верхніх рівнях, то умови досліду будуть задані однозначно. Дослід, при якому всі фактори знаходяться на нижніх рівнях позначають (1).

<center>[[Файл:G5.JPG]]</center>

Таким чином ми побудували повний факторний експеримент
<math>{{2}^{3}}</math>. Він має вісім дослідів і включає всі можливі комбінації рівнів трьох факторів. Якщо для двох факторів всі можливі комбінації рівнів легко знайти прямим перебором, то з збільшенням кількості факторів виникає необхідність в деякому правилі побудови матриць. Серед багатьох можливих зазвичай використовуються три прийоми переходу від матриць меншої розмірності до матриць більшої розмірності:
*Записаний вихідний план для одного рівня вихідного фактора, а потім повторити його для другого рівня.
*Перемножуємо стовпці для вихідного плану, записуєм для половини дослідів, потім міняєм знаки отриманого вектора на протилежні і записуємо для другої половини дослідів.
*В першому стовпці знаки міняються через один,в другому міняються через два рази, в третьому через чотири, в четвертому через вісім і т.д.
Властивості матриці планування експерименту:
* Властивість симетричності – алгебраїчна сума элементів вектор-стовпця кожного фактора рівна нулю.

<center><math>\sum\limits_{j=1}^{n}{{{x}_{ij}}=0}</math></center>

* Властивість нормування – сума квадратів елементів кожного стовпця рівна кількості дослідів.

<center><math>\sum\limits_{j=1}^{n}{{{x}_{ij}}^{2}=n}</math></center>

* Властивість ортогональності – скалярний добуток всіх вектор-стовпців(сума почленних добутків елементів будь-яких вектор-стовпців) рівна нулю.

<center><math>\sum\limits_{j=1}^{n}{{{x}_{ij}}{{x}_{uj}}=0,i\ne u}</math></center>

=Список використаних джерел=
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. /Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник.-К.Вища шк., 1993.-375 с.
#Ю.П.Адлер, Е.В.Маркова, Ю.В.Грановский /Планирование експеримента при поиске оптимальних условий:М.Наука, 1976.-280 с.
#Монтгоиери Д.К. /Планированиє експеримента и анализ данных: Пер. с англ.-Л:.Судостроение, 1980.-384 с.
#Е.Т. Володарский, Б.Н. Малиновский, Ю.М. Туз-К./Планирование и организация измерительного експреимента:Вища шк.Головное изд-во, 1987.-280 с.

{{Завдання:Виступ|Scoolf|9 березня 2010|Матриця планування експерименту}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Дрейф неоднорідностей

2012-03-05T16:23:01Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= Я| Surname=Слойка | FatherNAme=І|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

Презентація доповіді (http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/403).

= Дрейф неоднорідностей =

Наведемо результати досліджень теплофізичних характеристик соко-стружкової суміші дифузійних апаратів цукрової промисловості. Відомо, що на коефіцієнт теплопровідності λ цукрових розчинів, в основному, впливають концентрація цукру і температура розчину. На ефективну теплопровідність соко-стружкової суміші впливають також численні фактори, які при проведенні експериментів спотворюватимуть вплив основних факторів. Серед них до часового дрейфу належить наявність на поверхні стружки адсорбованого повітря, кількість якого змінюватиметься в процесі контакту соку і стружки, а також зміна концентрації цукру в стружці в процесі дифузії. Проте серед факторів є один, який до часового дрейфу не належить. Це ступінь неоднорідності суміші або, як називають його виробничники, навантаження об’єму.

Навантаження об’єму – це концентрація стружки в соці, точніше маса стружки, що припадає на одиницю об’єму суміші. Навантаження об’єму дифузійного апарата, що складає в середньому 0,4-0,5 кг/дм3, може знижуватися до 0,2-0,3 кг/дм3, або зростати до 0,6-0,7 кг/дм3, причому його зміну не можна пов’язати з плином часу. Тому при проведенні дослідження вирішено вибрати дрейф неоднорідностей за рахунок змін навантаження об’єму, а впливу решти шумових факторів уникнути, проводячи вимірювання теплопровідності в стаціонарному режимі через однаковий проміжок часу з моменту змішування стружки і соку для всіх зразків.
Перший основний параметр x1 (середню температуру зразка в стаціонарному режимі) встановлювали регулюванням потужності електронагрівача приладу, другий x2 (концентрацію цукру в соці) обчислювали по вихідній концентрації розчину c %.
<center> '''
== Розв’язання ==
''' </center>
Оскільки метою дослідів було з’ясувати, чи є навантаження об’єму шумовим чи основним фактором, планування було проведене з розрахунку простого дрейфу – ступінчастого. Рівні та інтервали вимірювання основних факторів для ПФЕ 22 наведене в таблиці 1.
За правилами ортогональності розбиваємо матрицю планування на два блоки, які є напіврепліками 22-1. Порівнюємо парну взаємодію безрозмірних факторів z1 z2 з новою незалежною змінною, яка характеризує дрейф
<center> '''z1 z2 = zд''' </center>

Таблиця 1 Вхідні дані для ПФЕ в умовах ступінчастого дрейфу
<center>[[Файл:Tab1.JPG]]</center>

У першому блоці проводилися досліди при zд = -1, як нижній рівень навантаження об’єму обрали величину 0,3 кг/дм3 , у 2-му - zд = +1, навантаження об’єму було 0,6 кг/дм3. Матриця планування та результати вимірювання вихідної функції y, тобто коефіцієнти теплопровідності λ, Вт/(м*К), наведено в таб. 2

Таблиця 2 Матриця ПФЕ для умов ступінчастого дрейфу неоднорідності
<center>[[Файл:Tab2.JPG]]</center>

Для обробки використовувалися рівняння, наведені в п.6,2 [1]. У результаті утворено математичну модель поведінки теплопровідності соко-стружкової суміші в процесі екстракції для безрозмірних факторів
<center> y = 0.480 – 0.043* z1 + 0.026*z2 </center>

Перехід до вимірних параметрів проведено за допомогою звичайних способів

<center> λ = 0,770 – 0,006*t + 0.008*c </center>
Таким чином, утворено залежність для λ тільки від основних факторів, виключивши вплив навантаження об’єму. Зазначимо, що звільнившись від впливу дрейфу (часового або неоднорідностей) можна оцінити його і вирішити, чи немає потреби перевести який-небудь із шумових факторів в основні. Для цього треба розрахувати коефіцієнт при zд за формулою.

<center>[[Файл:formul1.JPG]]</center>

У нашому прикладі

<center>[[Файл:formul2.JPG]]</center>

Потім треба розрахувати y для обох блоків у центрі плану експерименту.
Різниця між значеннями y для обох блоків дає оцінку зміни функції відклику. Розрахунки для прикладу λ за 1-м блоком:

<center>y1 = 0,48 − 0,023 = 0,457 Вт/(м∙К)</center>

за 1-м блоком:

<center>y2 = 0,48 + 0,023 = 0,503 Вт/(м∙К)</center>

Загальний дрейф функції відклику в результаті збільшення навантаження об’єму з 0,3 до 0,6 кг/м3 такий:

<center>∆y = 0,503 – 0,457 = 0,046 Вт/(м∙К)</center>

Отже функція відклику змінилася на 10% при цілком реальній у виробничих умовах зміні навантаження об’єму.
Аналіз утворених результатів показав, що цей вплив зіставлюваний з впливом незалежних змінних t і c , тому в подальшому при дослідженнях треба перейти від двофакторних до трифакторних експериментів.

[[Категорія:Планування експерименту]]

Планування другого порядку

2012-03-05T16:22:57Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=І. | Surname=Пельц | FatherNAme=В.|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/415 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Планування другого порядку =

Планування другого порядку застосовується для математичного опису об'єкта поблизу екстремальної точки статистичної характеристики або тоді, коли необхідний точніший опис в інших точках факторного простору. При цьому використовують поліном другого порядку:

<center>
<math>\operatorname{y}={{a}_{0}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{x}_{i}}+}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ij}}{{x}_{i}}{{x}_{j}}+}...+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i,i}}x_{i}^{2}}</math>
</center>

Задача, як і в ПФЕ, полягає у визначенні методом найменших квадратів за результатами спланованого експерименту коефіцієнтів цього рівня за умови, що виконуються передумови регресійного аналізу.
ПФЕ типу <math>2^n</math> дає змогу дістати роздільні оцінки як лінійних коефіцієнтів bi (після переходу до безрозмірних z), так і коефіцієнтів парних взаємодій bij. Точки ПФЕ лежать у вершині n-вимірного куба. Вектор-стовпці лінійних факторів матриці планування ортогональні між собою, тобто виконується умова

<center>
<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gj}}=0;i\ne j.}</math>
</center>

З теорії інтерполяції (апроксимації) відомо, що для розв'язання задачі знаходження роздільних оцінок параметрів апроксимуючого виразу число рівнів для кожної із змінних повинно бути на одиницю більше ступеня апроксимуючого полінома, тобто для полінома другого порядку число рівнів дорівнює трьом.
Однак, як показали дослідження, ПФЕ типу <math>3^n</math> (планування на трьох рівнях) не є раціональним через велике число дослідів.
Задача розв'язується іншим способом. До ПФЕ типу <math>2^n</math> додають центральну точку з координатами (0, 0, ..., 0) і зіркові точки з координатами (0, 0, ..., ±α), які лежать на сфері діаметра 2α (рис. 1). Зіркові точки будують на осях факторного простору. Вибір відстані від нульової точки до зіркової, яка визначається плечем α, залежить від критерію оптимальності плану.

<center>[[Файл:ОЦКП.jpg]]</center>
<center>Рисунок 1 - Ортогональне центральне композиційне планування</center>

Розглянемо планування, оптимальне з точки зору незалежності оцінок bi,i Його називають ''ортогональним центральним композиційним плануванням (ОЦКП)'', тобто планом, в якому критерієм оптимальності є ортогональність стовпців матриці планування.
Композиційним таке планування, як й інші форми планування другого порядку, називається тому, що новий план дістають шляхом компонування первинного двофакторного плану з деякою кількістю додаткових точок. Оскільки в числі цих додаткових точок обов'язково фігурує центральна, в якій всі змінні хi мають середній рівень, а zi=0, плани називають центральними.
Ортогональність матриці композиційного планування забезпечується виконанням рівностей

<center>

<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{g,o}^{2}z_{y,i}^{2}=0,\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}z_{gj}^{2}=0,i\ne j}.}</math>

</center>

де і-номер фактора; j-номер рядка; g-номер досліду. Для ортогоналізації першого з цих співвідношень застосовується перехід до нової змінної
<center>
<math>\overset{-}{z}\,_{i}^{2}=z_{i}^{2}-\frac{\sum{z_{gi}^{2}}}{N}=z_{i}^{2}-\overset{-}{z}\,_{i}^{2}</math>
</center>
де N-загальне число експериментів.
Величина zi залежить тільки від числа факторів n і числа дослідів N, яке звичайно вибирається так, що

<center>

<math>\operatorname{N}={{N}_{n}}+{{N}_{a}}+{{N}_{0}}={{2}^{n}}+2n+1,</math>

</center>

де Nn = <math>2^n</math>-кількість вершин гіперкуба при ПФЕ; Nα = 2n-число зіркових точок; N0= 1- число дослідів у центрі плану. Якщо N вибрати так, то zi визначають за формулою

<center>

<math>\operatorname{z}_{i}^{2}=\frac{{{2}^{n}}+2{{\alpha }^{2}}}{N}.</math>

</center>

Тому ортогоналізація другої з вищенаведених умов досягається вибором бажаного α.
Для зручності підготовки і планування величини α, N, Nn, Nα обчислені і табульовані залежно від числа факторів (табл. 1).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця1 - Підготовка ОЦКП другого порядку.
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>1 </td>
<td>4 </td>
<td>2 </td>
<td>9 </td>
<td>1,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>1 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>1,215 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>25 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>43 </td>
<td>1,596 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>1 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>77 </td>
<td>1,706 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>1 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>143 </td>
<td>1,909 </td>
</tr>
</table>

Сформуємо матриці ОЦКП для двох факторів. При n = 2 отримаємо α = 1,0 (див. табл. 1), для обчислення скористаємося наведеними формулами. Оскільки <math>z1^2=(4+2)/9=0,667</math>, то стовпець добувається відніманням одного і того ж числа 0,67 від числа стовпця <math>zi^2</math> того ж рядка (табл. 2).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця2 - Матриця ОЦКП другого порядку для двофакторного експерименту
</caption>
<tr>
<th scope="col">Дослід </th>
<th scope="col">j </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{1c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{2c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Вершини квадрата </th>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Зіркові точки </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Центр </th>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
</table>

Реалізація експериментів за ОЦКП здійснюється за тією ж методикою, що і ПФЕ. Таким чином, через випадковий характер зміни вихідної величини у у кожній точці хg проводиться m паралельних дослідів і обчислюється середнє значення функції відклику

<center><math>{{\overset{-}{y}}_{g}}=\frac{\sum\limits_{d=1}^{m}{{{y}_{g}}d}}{m}</math></center>

Перед реалізацією проводиться рандомізація рядків матриці планування.
Перевірка відтворюваності, як і в ПФЕ, виконується за критерієм Кохрена, після чого обчислюється оцінка дисперсії відтворюваності

<center>

<math>S_{y}^{2}=S_{vidtv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{S_{g}^{2}}}{N}.</math>

</center>

Методика утворення математичної моделі незначно відрізняється від методики опису результатів ПФЕ.
Коефіцієнти регресії при ОЦКП обчислюються за формулою

<center><math>{{b}_{i}}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{y}_{g}}}}{\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

У цьому плануванні оцінки дисперсій коефіцієнтів bi (точність їхнього обчислення) не однакові, оскільки не однаковий знаменник у формулі дисперсії

<center><math>S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{m\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

В ПФЕ знаменник однаковий і дорівнює mN. Це істотний недолік ОЦКП, і ''тому часто надають перевагу складнішому за обчислювальними процедурами рототабельному плануванню''.

= [[Рототабельне планування]] =

У зв'язку з тим, що дисперсії коефіцієнтів рівняння регресії при ОЦКП нерівномірні, ортогональність матриці часто не є досить сильним критерієм оптимальності планування другого порядку. Його заміняють критерієм ротоптабельності, тобто однаковості дисперсій коефіцієнтів при повороті координатних осей на будь-який кут. Зазначимо, що при плануванні першого порядку ортогональність матриці просто збігається з її рототабельністю, тому ПФЕ доцільно називати рототабельним.
Щоб зробити план другого порядку рототабельним, вибирають для сфери, на якій розташовуються зіркові точки, радіус (зіркове плече) за формулою

<center><math>\alpha ={{2}^{n/2}}.</math></center>

Інша умова рототабельності — збільшення числа дослідів на поверхні нульової сфери, тобто в центрі плану. У зв'язку з цим виникає повна назва методу: ''центральне композиційне рототабельне планування'' (ЦКРП).
Таким чином ЦКРП багато в чому нагадує ортогональне планування, проте метод рототабельного планування експерименту дає змогу дістати точніший математичний опис поверхні відклику порівняно з ОЦКП, завдяки збільшенню числа дослідів у центрі плану і спеціальному вибору величини зіркового плеча α.
Як і для ОЦКП, основні характеристики матриць рототабельного планування табульовані (табл. 3). Позначення тут ті самі, що і для ОЦКП (див. табл. 2). При ЦКРП, починаючи з n = 5, можна застосувати ДФЕ(дробовий факторний експеримент).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 3 – Підготовка ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>5 </td>
<td>4 </td>
<td>4 </td>
<td>13 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>6 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>20 </td>
<td>1,680 </td>
</tr>
<tr>
<td>4 </td>
<td>7 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>31 </td>
<td>2,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>10 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>52 </td>
<td>2,378 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>91 </td>
<td>1,828 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>21 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>163 </td>
<td>1,333 </td>
</tr>
</table>

При рототабельному плануванні для обчислення коефіцієнтів моделі і відповідних оцінок дисперсій знаходять спеціальні комплекси:

<center><math>\begin{align}
& B=\frac{nN}{(n+2)(N-{{N}_{0}})}; \\
& A=\frac{1}{2B[(n+2)B-n]}; \\
& C=\frac{N}{N-{{N}_{0}}}, \\
\end{align}</math></center>

де n-число факторів; N-загальне число дослідів у плануванні; N0-число дослідів у центрі плану.
За результатами експериментів обчислюють такі суми:

<center><math>\begin{align}
& {{S}_{0}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}; \\
& {{S}_{i}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}{{z}_{gi}};i=1,2,...,n; \\
& {{S}_{ik}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gk}}{{y}_{g}}};i\ne k; \\
& {{S}_{ii}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}{{y}_{g}}};i=1,2,...,n. \\
\end{align}</math></center>

Коефіцієнти моделі тут розраховують за формулами

<center><math>\begin{align}
& {{b}_{0}}=\frac{2AB}{N}[{{S}_{0}}B(n+2)-C\sum{{{S}_{ii}}}]; \\
& {{b}_{i}}=\frac{C{{S}_{i}}}{N}; \\
& {{b}_{ik}}=\frac{{{C}^{2}}{{S}_{ik}}}{BN},i\ne k; \\
& {{b}_{ii}}=\frac{AC}{N}\{{{S}_{ii}}[B(n+2)-n]+C(1-B)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{S}_{ii}}-2B{{S}_{0}}}\}. \\
& \\
\end{align}</math></center>

Оцінки дисперсій для обчислених коефіцієнтів знаходять за такими формулами:

<center><math>\begin{align}
& S_{b0}^{2}=\frac{2AB(n+2)}{N}S_{y}^{2}; \\
& S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{N-{{N}_{0}}};i=1,2,...,n; \\
& S_{bik}^{2}=\frac{{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N},i\ne k; \\
& {{S}_{bii}}=\frac{A{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N}[B(n+1)-(n-1)]. \\
\end{align}</math></center>

У цих формулах дисперсія відтворюваності <math>S_{y}^{2}</math> визначається за результатами дослідів у нульовій точці

<center><math>\begin{align}
& S_{y}^{2}=\frac{1}{{{N}_{0}}-1}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{({{y}_{ge}}-\overset{-}{y}\,)}^{2}}}; \\
& \overset{-}{y}\,=\frac{1}{{{N}_{0}}}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{y}_{ge.}}} \\
\end{align}</math></center>

Дисперсія адекватності оцінюється за формулою

<center><math>S_{adekv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{({{y}_{ge}}-{{y}_{grozr}})}^{2}}-S_{y}^{2}({{N}_{0}}-1)}}{N-\frac{(n+2)(n+1)}{2}(N-1)},</math></center>

якшо число ступенів вільності

<center><math>{{f}_{adekv}}={{N}_{0}}-\frac{(n+2)(n+1)}{2}-({{N}_{0}}-1).</math></center>
==Приклад==

Скласти матрицю ЦКРП на прикладі побудови математичної моделі технологічного процесу крупоутворення (див.: Пищевая технология.— 1976.— № 4.— С. 121—124).

'''Розв'язання'''. Як функції відклику прийнято <math>y_1</math>, % — середня зольність крупи пшениці після перших трьох систем для дертя (швидкість обертання рифлених вальців усіх систем 6 м/с); <math>y_2</math>, % — сумарний вихід всіх крупок, які добуваються в процесі крупоутворення; <math>y_3</math>, кДж/(кг • %) — витрата енергії на одержання 1 % продукту з 1 кг зерна.
Незалежними змінними є, %: <math>x_1</math> — вихід крупи на першій системі для дертя; <math>x_2</math> — те ж на другій системі; <math>x_3</math> — те ж, для трьох систем для дертя. Інтервал варіювання для всіх <math>x_i</math>, вибрано з умови охоплення області їхньої реальної зміни. Рівні змінних становили, %:

<table width="90%" border="1">
<tr>
<th scope="col">Незалежні змінні </th>
<th scope="col">Нижній </th>
<th scope="col">Основний </th>
<th scope="col">Верхній </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_1</math> </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>15</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_2</math> </th>
<td><center>30</center> </td>
<td><center>40</center> </td>
<td><center>50</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_3</math> </th>
<td><center>65</center> </td>
<td><center>70</center> </td>
<td><center>75</center> </td>
</tr>
</table>

У зв'язку з тим, що режими крупоутворення вивчалися досить детально, стало можливим ставити експерименти в області факторного простору, для якої значення всіх у близькі до оптимальних, а для опису цієї області застосувати відразу планування другого порядку. Було реалізовано центральний композиційний рототабельний план, який включає ПФЕ <math>2^3</math>, шість зіркових та шість центральних точок. Послідовність проведення дослідів була рандомізована, кожен дослід проводився тричі. У табл. 4 наведено матрицю планування та середні значення функцій відклику для кожного її рядка.
За вищенаведеними формулами розраховані такі коефіцієнти в рівняннях регресії для всіх функцій відклику:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{1}}=0,65+0,0084{{z}_{1}}+0,0048{{z}_{2}}+0,0630{{z}_{3}}+0,0150{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,0050{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,0400{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,0038z_{1}^{2}+0,0076z_{2}^{2}+0,0314z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{2}}=43,5+1,37{{z}_{1}}+0,34{{z}_{2}}+0,89{{z}_{3}}-1,41{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,61{{z}_{1}}{{z}_{3}}+ \\
& +0,74{{z}_{2}}{{z}_{3}}-0,83z_{1}^{2}-1,71z_{2}^{2}-1,52z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{3}}=6,4-0,28{{z}_{1}}-0,11{{z}_{2}}+0,61{{z}_{3}}+0,03{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,03{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,05{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,33z_{1}^{2}+0,68z_{2}^{2}+0,69z_{3}^{2}. \\
\end{align}</math>
</center>

Оцінки дисперсій для коефіцієнтів у цих рівняннях наведено в табл. 5.
Коефіцієнти при <math>z^2</math> на порядок перевищують помилку в їхньому визначенні для всіх функцій відклику, отже, лінійними рівняннями описати їх не можна. Адекватність утворених нелінійних рівнянь було перевірено за F-критерієм.

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 4 – Реалізація матриці ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col"> </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>y_1c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_2c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_3c</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,75</center> </td>
<td><center>40,5</center> </td>
<td><center>8,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,68</center> </td>
<td><center>36,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>41,3</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,72</center> </td>
<td><center>41,0</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>37,0</center> </td>
<td><center>7,9</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>38,2</center> </td>
<td><center>9,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,62</center> </td>
<td><center>34,9</center> </td>
<td><center>8,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,67</center> </td>
<td><center>44,7</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>39,4</center> </td>
<td><center>7,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>11</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>

<tr>
<td><center>12</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>37,8</center> </td>
<td><center>8,5</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>13</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>14</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>39,3</center> </td>
<td><center>7,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>15</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>41,6</center> </td>
<td><center>6,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>16</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>6,6</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>17</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>18</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>42,9</center> </td>
<td><center>6,1</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>19</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>20</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,0</center> </td>
<td><center>6,5</center> </td>
</tr>
</table>

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 5 – Оцінка дисперсій коефіцієнтів рівняння регресії за ЦКРП
</caption>
<tr>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{y}}_{i}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b1}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b2}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b3}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><math>y_1</math> </td>
<td>0,0053 </td>
<td>0,0035 </td>
<td>0,0034 </td>
<td>0,0046 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_2</math> </td>
<td>0,48 </td>
<td>0,31 </td>
<td>0,30 </td>
<td>0,41 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_3</math> </td>
<td>0,13 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,11 </td>
</tr>

</table>

= Перелік використаних джерел =

#http://tstu.edu.ua/(березень2010)
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експериментів в АПК http://tstu.edu.ua/(березень2010)

[http://custom-essay-writing-service.org/index.php custom writing]

[http://custom-essay-writing-service.org/index.php custom essay writing]

[[Категорія:Планування експерименту]]

Дробовий факторний експеримент

2012-03-05T16:22:51Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= С | Surname=Вельмик | FatherNAme=В|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

= Вступ =

Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.

=Дробовий факторний експеримент=

Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.

<table width="40%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ
</caption>
<tr>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_0</math> </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x_1x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>y</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">2 </th>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">3 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> <math>y_3</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center">4 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> <math>y_4</math>  </td>
</tr>
</table>

При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.

<table width="40%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ
</caption>
<tr>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_0</math> </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math> </th>
<th scope="col"><math>y</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">2 </th>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">3 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> <math>y_3</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center">4 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> <math>y_4</math>  </td>
</tr>
</table>

При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.

=Дробові репліки=

Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де
*k-кількість експериментів;
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.

При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки.
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії.
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів
</caption>
<tr>
<th scope="col">Кількість факторів </th>
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка </th>
<th scope="col">Умовне позначення </th>
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки </th>
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 3  </th>
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math>  </td>
<td align="center"> 4  </td>
<td align="center"> 8  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 4  </th>
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 16  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 5  </th>
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 32  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 6  </th>
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 64  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 7  </th>
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 128  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 5  </th>
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 32  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 6  </th>
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 64  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 7  </th>
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 128  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 8  </th>
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 256  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 9  </th>
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 512  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 10  </th>
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 1024  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 11  </th>
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 2048  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 12  </th>
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 4096  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 13  </th>
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 8192  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 14  </th>
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 16384  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 15  </th>
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 32768  </td>
</tr>
</table>

Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень.

=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=

Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:

Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.

<table width="50%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками
</caption>
<tr>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x_3</math> </th>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x_3</math> </th>

</tr>
<tr>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
</tr>

<tr>
<th scope="col"> 2  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<th scope="col"> 2  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 3  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<th scope="col"> 3  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 4  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<th scope="col"> 4  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
</tr>
</table>

Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3</math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів:

<center><math> b_1=b_1+b_{23},b_1=b_1-b_{23} </math></center>
<center><math> b_2=b_2+b_{13},b_2=b_2-b_{13} </math></center>
<center><math> b_3=b_3+b_{12},b_3=b_3-b_{12} </math></center>
У практичних задачах потрійні і більш високого порядку взаємодії значно частіше, ніж подвійні, дорівнюють нулю і тому їх можна відкинути. Для одержання лінійної моделі рекомендують вибирати дробові репліки з можливо більшою розв'язувальною здатністю, тобто репліки, у яких лінійні ефекти змішані з ефектами взаємодії близькими до нуля. При виборі дробової репліки важливо також ураховувати насиченість плану
Піврепліки, в яких основні ефекти змішані з двухфакторним добутком називаються насиченими планами з роздільною здатність III.
При відсутній інформації про ефекти взаємодій двухфакторного добутку експериментатор прагне вибрати репліку з найбільшою роздільною здатністю. Якщо існує якась інформація про ефекти взаємодій, то вона повинна використовуватись при виборі репліки.
Також існують насичені плани з роздільною здатністю 4, репліки в яких всі парні взаємодії змішані між собою.
=Ефективність реплік=
*Ефективність репліки залежить від системи змішування. Репліки, у яких лінійні ефекти змішані з взаємодіями найвищого порядку, є найбільш ефективними, оскільки володіють найбільшою роздільною здатністю.
*Для звільнення лінійних ефектів від взаємодій першого порядку можна використовувати метод «перевалу». Сенс методу в додаванні нової репліки, всі знаки якої протилежні початковій репліці.
*Із зростанням числа факторів швидко збільшується число реплік різного дробу. Ці репліки характеризуються узагальнюючими визначальними контрастами, які виходять перемножуванням по два, по три і так далі початкових визначальних контрастів.

=Список використаних джерел=
#1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).
#2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
#3. Конкретні методики викладання. Щетініна О.К., Карпенко О.Н., Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Прогнозування за допомогою нейронних мереж

2012-03-05T16:22:46Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Юля | Surname=Чорнопольська | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/401] Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Означення нейронної мережі =

'''Штучні нейронні мережі (ШНМ)''' – математичні моделі, а також їх програмні або апаратні реалізації, побудовані за принципом організації й функціонування біологічних нейронних мереж – мереж нервових кліток живого організму. Це поняття виникло при вивченні процесів, що протікають у мозку, і при спробі змоделювати ці процеси. Першою такою спробою були нейронні мережі Маккалока й Піттса. Згодом, після розробки алгоритмів навчання, одержувані моделі стали використовувати в практичних цілях: у завданнях прогнозування, для розпізнавання образів, у завданнях керування й ін.

ШНМ являють собою систему з'єднаних і взаємодіючих між собою простих процесорів (штучних нейронів). Такі процесори звичайно досить прості, особливо в порівнянні із процесорами, використовуваними в персональних комп'ютерах. Кожний процесор подібної мережі має справу тільки із сигналами, які він періодично одержує, і сигналами, які він періодично посилає іншим процесорам. Проте, з'єднавши їх в досить велику мережу з керованою взаємодією, такі локально прості процесори разом здатні виконувати досить складні завдання.
З погляду машинного навчання, нейронна мережа являє собою окремий випадок методів розпізнавання образів, методів кластеризації й т.п. З математичної точки зору, навчання нейронних мереж – це багатопараметричне завдання нелінійної оптимізації. З погляду кібернетики, нейронна мережа використовується в завданнях адаптивного керування і як алгоритми для робототехніки. З погляду розвитку обчислювальної техніки й програмування, нейронна мережа – спосіб розв'язку проблеми ефективного паралелізму. А з погляду штучного інтелекту, ИНС є основним напрямком у структурному підході по вивченню можливості побудови (моделювання) природнього інтелекту за допомогою комп'ютерних алгоритмів.

Нейронні мережі не програмуються у звичному змісті цього слова, вони навчаються. Можливість навчання – одне з головних переваг нейронних мереж перед традиційними алгоритмами. Технічно навчання полягає в знаходженні коефіцієнтів зв'язків між нейронами. У процесі навчання нейронна мережа здатна виявляти складні залежності між вхідними даними й вихідними, а також виконувати узагальнення. Це значить, що, у випадку успішного навчання, мережа зможе повернути вірний результат на підставі даних, які були відсутні в навчальній вибірці, а також неповних і/або «зашумлених», частково перекручених даних.

== Біологічний нейрон ==

Нейрон (нервова клітка) складається з тіла клітини –соми (soma, cell body), і двох типів зовнішніх деревоподібних відгалужень: аксона (axon) і дендритів (dendrites). Тіло клітини вміщує ядро (nucleus), що містить інформацію про властивості нейрона, і плазму, яка продукує необхідні для нейрона матеріали. Нейрон отримує сигнали (імпульси) від інших нейронів через дендрити (приймачі) і передає сигнали, згенеровані тілом клітки, вздовж аксона (передавач), що наприкінці розгалужується на волокна (strands). На закінченнях волокон знаходяться синапси (synapses).
<center>
[[Файл:1.png‎]]

Рисунок 1. – Схема біологічного нейрона
</center>
Синапс є функціональним вузлом між двома нейронами (волокно аксона одного нейрона і дендрит іншого). Коли імпульс досягає синаптичного закінчення, продукуються хімічні речовини, названі нейротрансмітерами. Нейротрансмітери проходять через синаптичну щілину, збуджуючи або гальмуючи, у залежності від типу синапсу, здатність нейрона-приймача генерувати електричні імпульси. Результативність синапсу налаштовується минаючими через нього сигналами, тому синапси навчаються в залежності від активності процесів, у яких вони приймають участь. Нейрони взаємодіють за допомогою короткої серії імпульсів. Повідомлення передається за допомогою частотно-імпульсної модуляції.

== Структура штучного нейрона ==

Нейрон є складовою частиною нейронної мережі. На рисунку 2.1 представлена його структура. Він складається з елементів трьох типів: помножувачів (синапсів), суматора і нелінійного перетворювача. Синапси здійснюють зв’язок між нейронами, множать вхідний сигнал на число, що характеризує силу зв’язку, (вагу синапса). Суматор виконує додавання сигналів, що надходять по синаптичним зв’язках від інших нейронів і зовнішніх вхідних сигналів. Нелінійний перетворювач реалізує нелінійну функцію одного аргументу – виходу суматора. Ця функція називається функцією активації чи передатною функцією нейрона.
<center>
[[Файл:2.png‎]]

Рисунок 2. – Структура штучного нейрона
</center>

== Архітектура нейронної мережі ==

Існуючі на даний час, нейромережі є групуванням штучних нейронів. Це групування обумовлено створенням з'єднанних між собою прошарків.
На рис. 3 показана типова структура штучних нейромереж. Хоча існують мережі, які містять лише один прошарок, або навіть один елемент, більшість застосувань вимагають мережі, які містять як мінімум три нормальних типи прошарків – вхідний, прихований та вихідний. Прошарок вхідних нейронів отримує дані або з вхідних файлів, або безпосередньо з електронних давачів. Вихідний прошарок пересилає інформацію безпосередньо до зовнішнього середовища, до вторинного комп'ютерного процесу, або до інших пристроїв. Між цими двома прошарками може бути багато прихованих прошарків, які містять багато нейронів у різноманітних зв'язаних структурах. Входи та виходи кожного з прихованих нейронів просто йдуть до інших нейронів.

<center>[[Файл:3.png‎]]

Рисунок 3. – Діаграма простої нейронної мережі
</center>

Напрямок зв'язку від одного нейрону до іншого є важливим аспектом нейромереж. У більшості мереж кожен нейрон прихованого прошарку отримує сигнали від всіх нейронів попереднього прошарку та звичайно від нейронів вхідного прошарку. Після виконання операцій над сигналами, нейрон передає свій вихід до всіх нейронів наступних прошарків, забезпечуючи шлях передачі вперед (feedforward) на вихід.
Багатошарові нейронні мережі можна поділити на:
- мережі прямого розповсюдження ;
- мережі зі зворотними зв’язками.
У мережах прямого розповсюдження нейрони вхідного шару отримають вхідні сигнали, перетворюють і передають їх нейронам першого шару, останні – нейронам другого, потім третього і так дальше аж до вихідного шару, який видає їх користувачу. У мережах зі зворотними зв’язками інформація з подальших шарів передається на попередні.

== Навчання штучної нейронної мережі ==

Здатність до навчання є фундаментальною властивістю мозку. Процес навчання може розглядатися як визначення архітектури мережі і налаштування ваг зв'язків для ефективного виконання спеціальної задачі. Нейромережа налаштовує ваги зв'язків по наявній навчальній множині. Властивість мережі навчатися на прикладах робить їх більш привабливими в порівнянні із системами, які функціонують згідно визначеній системі правил, сформульованої експертами.

Для процесу навчання необхідно мати модель зовнішнього середовища, у якій функціонує нейронна мережа – потрібну для вирішення задачі інформацію. По-друге, необхідно визначити, як модифікувати вагові параметри мережі. Алгоритм навчання означає процедуру, в якій використовуються правила навчання для налаштування ваг.

Існують три загальні парадигми навчання: "з вчителем", "без вчителя" (самонавчання) і змішана.

У першому випадку нейромережа має у своєму розпорядженні правильні відповіді (виходи мережі) на кожен вхідний приклад. Ваги налаштовуються так, щоб мережа виробляла відповіді як можна більш близькі до відомих правильних відповідей.

Навчання "без вчителя" не вимагає знання правильних відповідей на кожен приклад навчальної вибірки. У цьому випадку розкривається внутрішня структура даних та кореляція між зразками в навчальній множині, що дозволяє розподілити зразки по категоріях.

При змішаному навчанні частина ваг визначається за допомогою навчання зі вчителем, у той час як інша визначається за допомогою самонавчання.

У загальному використанні є багато правил навчання, але більшість з цих правил є деякою зміною відомого та найстаршого правила навчання, правила Хеба. Дослідження різних правил навчання триває, і нові ідеї регулярно публікуються в наукових та комерційних виданнях. Представимо декілька основних правил навчання.

'''Правило Хеба'''

Опис правила з'явився у його книзі "Організація поведінки" у 1949 р. "Якщо нейрон отримує вхідний сигнал від іншого нейрону і обидва є високо активними (математично мають такий самий знак), вага між нейронами повинна бути підсилена". При збудженні одночасно двох нейронів з виходами (хj, уі) на t-тому кроці навчання вага синаптичного з'єднання між ними зростає, в інакшому випадку - зменшується, тобто

<math>Wij(k)=r xj (k) yi (k)</math>,

де r - коефіцієнт швидкості навчання.

Може застосовуватись при навчанні "з вчителем" і "без вчителя".

'''Правило Хопфілда'''

Є подібним до правила Хеба за винятком того, що воно визначає величину підсилення або послаблення. "Якщо одночасно вихідний та вхідний сигнал нейрона є активними або неактивними, збільшуємо вагу з'єднання оцінкою навчання, інакше зменшуємо вагу оцінкою навчання".

'''Правило "дельта".'''

Це правило є подальшою зміною правила Хеба і є одним із найбільш загально використовуваних. Це правило базується на простій ідеї неперервної зміни синаптичних ваг для зменшення різниці ("дельта") між значенням бажаного та біжучого вихідного сигналу нейрона.

<math>Wij= xj (di - yi).</math>

За цим правилом мінімізується середньоквадратична похибка мережі. Це правило також згадується як правило навчання Відрова-Хофа та правило навчання найменших середніх квадратів.

У правилі "дельта" похибка отримана у вихідному прошарку перетворюється похідною передатної функції і послідовно пошарово поширюється назад на попередні прошарки для корекції синаптичних ваг. Процес зворотного поширення похибок мережі триває до досягнення першого прошарку.

При використанні правила "дельта" важливим є невпорядкованість множини вхідних даних. При добре впорядкованому або структурованому представленні навчальної множини результат мережі може не збігтися до бажаної точності і мережа буде вважатись нездатною до навчання.

'''Правило градієнтного спуску'''

Це правило подібне до правила "дельта" використанням похідної від передатної функції для змінювання похибки "дельта" перед тим, як застосувати її до ваг з'єднань. До кінцевого коефіцієнта зміни, що діє на вагу, додається пропорційна константа, яка пов'язана з оцінкою навчання. І хоча процес навчання збігається до точки стабільності дуже повільно, це правило поширене і є загально використовуване.

Доведено, що різні оцінки навчання для різних прошарків мережі допомагає процесу навчання збігатись швидше. Оцінки навчання для прошарків, близьких до виходу, встановлюються меншими, ніж для рівнів, ближчих до входу.

'''Навчання методом змагання'''

На відміну від навчання Хеба, у якому множина вихідних нейронів може збуджуватись одночасно, при навчанні методом змагання вихідні нейрони змагаються між собою за активізацію. Це явище, відоме як правило "переможець отримує все". Подібне навчання має місце в біологічних нейронних мережах. Навчання за допомогою змагання дозволяє кластеризувати вхідні дані: подібні приклади групуються мережею відповідно до кореляцій і представляються одним елементом.

При навчанні модифікуються синаптичні ваги нейрона-переможця. Ефект цього правила досягається за рахунок такої зміни збереженого в мережі зразка (вектора синаптичних ваг нейрона-переможця), при якому він стає подібним до вхідного приклада. Нейрон з найбільшим вихідним сигналом оголошується переможцем і має можливість гальмувати своїх конкурентів і збуджувати сусідів. Використовується вихідний сигнал нейрона-переможця і тільки йому та його сусідам дозволяється коректувати свої ваги з'єднань.

<math>Wij (k+1)= Wij(k)+r [xj - Wij(k)]</math>

Розмір області сусідства може змінюватись під час періоду навчання. Звичайна парадигма повинна починатись з великої області визначення сусідства і зменшуватись під час процесу навчання. Оскільки елемент-переможець визначається по найвищій відповідності до вхідного зразку, мережі Коxонена моделюють розподіл входів. Це правило використовується в самоорганізованих картах.

= Задачі прогнозування =
Особливе значення мають задачі передбачення та прогнозування часових рядів, серед яких виділяються завдання з набором певних специфічних ознак, тому варто провести їх класифікацію. Задачі дослідження явищ, розвиток яких пов'язаний із часом, можна поділити на декілька класів:

'''За характером основних ознак об'єкту:'''

• прогнозування явищ, реалізації яких представлені у вигляді детермінованих часових рядів. Такі задачі, зокрема, можна вирішити шляхом застосування методів математичного аналізу;

• прогнозування явищ, реалізації яких представлені у вигляді індетермінованих часових рядів. Вирішення цих задач традиційно здійснюється шляхом застосування методів теорії ймовірностей та математичної статистики. Зокрема, реалізації таких явищ, можуть мати вигляд:

а) стаціонарного часового ряду, який характеризується однорідністю в часі, без суттєвих змін характеру коливань та їх середньої амплітуди;

б) нестаціонарного часового ряду, який характеризується певною тенденцією розвитку в часі; при дослідженні нестаціонарних процесів можна виділити ділянки, на яких процес можна вважати стаціонарним; вибір проміжку для формування навчальної множини в такому випадку обирається згідно задачі прогнозування;

'''За числом ознак об'єкту досліджень:'''

• одновимірна задача; явище представлене лише однією ознакою, зміни якої відбуваються в часі;

• багатовимірна задача; об'єкт або явище представлені кількома ознаками; задача прогнозування може бути розширена завдяки представленню даних в просторі.

'''За часом випередження розрізняють види прогнозів:'''

• згладжування, R= 0;

• короткотерміновий прогноз, R= 1… 2;

• середньотерміновий прогноз, R= 3 … 7;

• довготерміновий прогноз, R= 10 … 15.

Очевидно, що вид прогнозу суттєво впливає на вибір засобів і методику його реалізації.

= Загальні підходи до прогнозування за допомогою нейронних мереж =

Дані про поведінку об'єкта, ознаки якого пов'язані з часом, представлені як результати спостережень в рівномірні відліки часу. Для моментів часу t=1, 2, ..., n дані спостережень набувають вигляду часового ряду х(t1), х(t2), ..., х(tn). Інформація про значення часового ряду до моменту n дозволяє давати оцінки параметрів x(tn+1), x(n+2), ..., x(n+m). Для здійснення прогнозування елементів часових рядів широко використовують так званий метод "часових вікон".

В залежності від кількості ознак, що представляють значення рядів при формуванні множин даних, виділимо задачі двох типів.

== Однопараметрична задача прогнозування ==

Нехай часовий ряд x(t) задано відліками процесу x(t1), x(t2),..., x(tі) в дискретні моменти часу t. Задамо ширину (кількість дискретних відліків) вхідного часового вікна m, ширину вихідного вікна р. Вхідне та вихідне вікна накладаються на дані ряду, починаючи з першого елемента (рис. 4).

<center>[[Файл:4.png‎]]

Рисунок 4. – Формування множин даних для однопараметричної задачі за методом "часових вікон"
</center>

Вхідне вікно формує дані для входів нейронної мережі, а вихідне, відповідно, для виходів. Подібна пара вхідного та вихідного векторів приймається за одну реалізацію часового ряду. При зсуві часових вікон за часовим рядом з кроком s, отримуємо другу і наступні реалізації.

Значення ширини вікон та кроку зміщення повинні узгоджуватись з особливостями часового ряду, що забезпечується шляхом проведення експериментів. Нехай вхідне вікно має ширину m, вихідне вікно р=1, крок зміщення s=1. Тоді сформована множина значень для однопараметричної задачі матиме вигляд, наведений нижче:

Таблиця 1. – Множина даних для однопараметричної задачі

<center>[[Файл:5.png]]</center>

==Багатопараметрична задача прогнозування ==

В багатопараметричних задачах прогнозування підходи до розв'язання проблеми залишаються подібними (рис.5).

<center> [[Файл:6.png]]

Рисунок 5. – Формування множин даних для багатопараметричної задачі
</center>

Нехай потрібно спрогнозувати взаємозалежні величини x(t), y(t), ..., z(t). Якщо прийняти ширину вхідного вікна m, вихідного р=1, кроку зміщення s=1, можна сформувати множину даних наступним чином:

Таблиця 2. – Множина даних для багатопараметричної задачі

<center> [[Файл:7.png]]</center>

Функціонування нейромережі здійснюється у відповідності з показаним методом часових вікон, зберігаючи значення ширини вікон та кроку зсуву.
Конкретизація підходів до реалізації прогнозування в значній мірі залежить також від особливостей явища, що досліджується.

== Однокрокове прогнозування (передбачення)==
Задача однокрокового прогнозування зводиться до задачі відображення, коли один вхідний вектор відображається у вихідний (рис. 6).

<center> [[Файл:8.png]]

Рисунок 12. – Послідовність використання нейромереж для задач передбачення
</center>

У випадку однопараметричної задачі передбачення навчальна множина до моменту n, за умови m=3, p=1, s=1, матиме вигляд наведений в таблиці 3.
Таблиця 3. – Навчальна множина для однопараметричної задачі передбачення

<center> [[Файл:9.png]]</center>

В режимі навчання встановлюються коефіцієнти ваг зв'язків, після чого стає можливим перехід до режиму функціонування. Для передбачення на входи нейромережі надходять значення останньої реалізації навчальної множини <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. На виході формується прогнозована величина x*(tn+1).

Для багатопараметричної задачі передбачення на входи навченої нейромережі подаються вектори <math>x(tn-2)</math>, <math>y(tn-2)</math>, <math>z(tn-2)</math>, <math>x(tn-1</math>), <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>. На виходи нейромережі надходять передбачені величини x*(tn+1), y*(tn+1), z*(tn+1), які відкладаються у вихідний вектор передбачених даних.

Показаний режим є однокроковим, який працює в режимі відображення (реальний вхід®прогнозований вихід). Передбачення застосовують також для моделювання дискретних послідовностей, що не пов'язані з часом. Враховуючи специфіку часових рядів, такий тип прогнозу не завжди є доцільним, але для певних випадків короткотермінових прогнозів ним можливо скористатись.

== Багатокрокове прогнозування ==

Багатокрокове прогнозування застосовують лише для явищ, ознаки яких представлені у вигляді часових рядів.

Для однопараметричної задачі прогнозування навчальна множина матиме вигляд наведений в табл. 3. Під час навчання мережа налаштовує коефіцієнти ваг зв'язків і поліномів передатних функцій, які в подальшому і визначають режим функціонування. Багатокрокове прогнозування часового ряду здійснюється наступним чином (рис. 6). На входи нейромережі подається вектор відомих значень <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. На виході формується прогнозована величина <math>x*(tn+1)</math>, яка визначає вектор прогнозованих виходів і одночасно долучається до значень навчальної множини, тобто, приймається як достовірна. Далі на входи подається вектор <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, а на виході отримується <math>x*(tn+2)</math> і наступні прогнозовані значення.

<center> [[Файл:10.png]]

Рисунок 6. – Послідовність використання НМ для задач багатокрокового прогнозування
</center>
Для багатопараметричної задачі прогнозування на входи навченої нейромережі подаються вектори <math>x(tn-2)</math>, <math>y(tn-2)</math>, <math>z(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>. На виході продукуються величини x*(tn+1), y*(tn+1), z*(tn+1), які формують вектор вихідних значень і послідовно долучаються до значень навчальної множини. При зсуві вікна на крок прогнозу вихідні дані, що були спродуковані мережею, сприймаються як реальні і приймають участь у прогнозуванні наступного значення виходу, тобто на входи подаємо вектор <math>x(tn-1)</math>, <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, <math>y*(tn+1)</math>, <math>z*(tn+1)</math>, а на виході отримуємо x*(tn+2), y*(tn+2), z*(tn+2) і наступні прогнозовані значення.

Багатокрокове прогнозування дозволяє робити коротко- та середньотермінові прогнози, оскільки суттєвий вплив на точність має накопичення похибки на кожному кроці прогнозування. При застосуванні довготермінового багатокрокового прогнозування спостерігається характерне для багатьох прогнозуючих систем поступове затухання процесу, фазові зсуви і інші спотворення картини прогнозу. Такий тип прогнозування підходить для часових рядів, які підпадають під означення стаціонарного процесу з невеликою випадковою складовою.

== Багатокрокове прогнозування з перенавчанням нейромережі на кожному кроці прогнозу ==

Швидкі неітераційні алгоритми навчання дозволяють запропонувати новий тип багатокрокового прогнозу, який може бути застосований при довготермінових прогнозах із збереженням задовільної точності прогнозування.
Аналогічно з попереднім алгоритмом прогнозування на входи мережі у режимі функціонування надходить остання реалізація навчальної множини <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. Прогнозоване значення виходу <math>x*(tn+1)</math> відкладається у векторі прогнозованих вихідних значень і в якості достовірного додається до реальних значень навчальної множини. Навчальна множина збільшується на одне часове вікно. Відбувається процес перенавчання мережі на збільшеній навчальній множині, під час якого визначаються нові вагові коефіцієнти k синаптичних зв'язків і поліномів передатних функцій нейронів (рис. 7).

<center> [[Файл:11.png]]

Рисунок 7. – Послідовність використання нейромережі для задач багатокрокового прогнозування з перенавчанням
</center>

Реалізація <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, як значення наступного вхідного вікна подається на входи мережі в режимі функціонування. Мережа продукує нове вихідне значення <math>x*(tn+2)</math>, яке відповідно також відкладається у вектор продукованих виходів і долучається до реальних значень навчальної множини, з метою подальшого перенавчання мережі та встановлення поновлених коефіцієнтів поліномів передатних функцій і синаптичних зв'язків. Ітераційна процедура перенавчання поширюється до прогнозованого значення <math>x*(tN)</math>.

Такий підхід дозволяє при великих інтервалах випередження усунути затухання прогностичних властивостей мережі за рахунок постійного коректування вагових коефіцієнтів синаптичних зв'язків.

Відзначимо, що алгоритм багатокрокового прогнозування з перенавчанням мережі для традиційних мереж прямого поширення з ітераційним навчанням є практично нездійсненним через великі часові затримки, необхідні на переналаштовування коефіцієнтів мережі.

== Нейромережеві моделі бізнес-прогнозування ==
Зараз, найперспективнішим методом прогнозування є використання нейронних мереж. Можна назвати багато переваг нейронних мереж над іншими алгоритмами, нижче наведено два основні.

При використанні нейронних мереж легко досліджувати залежність прогнозованої величини від незалежних змінних. Наприклад, є припущення, що продажі на наступному тижні якимось чином залежать від наступних параметрів:

• продажів в останній тиждень

• продажів у передостанній тиждень

• часу прокручування рекламних роликів (TRP)

• кількості робочих днів

• температури

Крім того, продажі носять сезонний характер, мають тренд і якось залежать від активності конкурентів.

Хотілося б побудувати систему, яка б усе це природнім чином враховувала і будувала б короткострокові прогнози.

У такій постановці завдання застосування більшої частини класичних методів прогнозування буде просто неможливою.

Використовуючи ж навіть найпростішу нейромережеву архітектуру (перцептрон з одним схованим шаром) і базу даних (із продажами й усіма параметрами) легко одержати працюючу систему прогнозування. Причому враховувати, чи не враховувати зовнішні параметри системою буде визначатися включенням, або виключенням відповідного входу в нейронну мережу.

Експерт може скористатися яким-небудь алгоритмом визначення важливості і відразу визначити значимість вхідних змінних, щоб потім виключити з розгляду параметри, що мають незначний вплив.

Ще одна серйозна перевага нейронних мереж полягає в тому, що експерт не є заручником вибору математичної моделі поведінки часового ряду. Побудова нейромережевої моделі відбувається адаптивно під час навчання, без участі експерта. При цьому нейронній мережі пред'являються приклади з бази даних і вона сама підлаштовується під ці дані.

Недоліком нейронних мереж є їхня недетермінованість. Мається на увазі те, що після навчання є "чорний ящик", який якимось чином працює, але логіка прийняття розв'язків нейромережею зовсім схована від експерта. У принципі, існують алгоритми "витягу знань із нейронної мережі", які формалізують навчену нейронну мережу до списку логічних правил, тим самим створюючи на основі мережі експертну систему. На жаль, ці алгоритми не вбудовуються в нейромережеві пакети, до того ж набори правил, які генеруються такими алгоритмами досить об'ємні.

Проте, для людей, що вміють працювати з нейронними мережами й знаючими нюанси налаштування, навчання й застосування, у практичних завданнях непрозорість нейронних мереж не є настільки серйозним недоліком.
Використання багатошарових персептронов

Найпростіший варіант застосування штучних нейронних мереж у завданнях бізнес-прогнозування – використання звичайного перцептрона з одним, двома, або трьома прихованими шарами. При цьому на входи нейронної мережі звичайно подається набір параметрів, на основі якого ( на думку експерта) можна успішно прогнозувати. Виходом звичайно є прогноз мережі на майбутній момент часу.

<center> [[Файл:12.png]] </center>

Розглянемо приклад прогнозування продажів. На малюнку представлений графік, що віддображає історію продажів деякого продукту по тижнях. У даних явно помітна виражена сезонність. Для простоти припустимо, що ніяких інших потрібних даних у нас немає. Тоді мережу логічно будувати в такий спосіб. Для прогнозування на майбутній тиждень треба подавати дані про продажі за останні тижні, а також дані про продажі в плині декількох тижнів підряд рік тому, щоб мережа бачила динаміку продажів один сезон назад, коли ця динаміка була схожа на справжню за рахунок сезонності.

Якщо вхідних параметрів багато, рекомендується не скидати їх відразу в нейронну мережу, а спробувати спочатку провести перед обробку даних, для того щоб понизити їхню розмірність, або представити в правильному виді. У більшості практичних завдань по прогнозуванню продажів перед обробка складається з різних частин. От лише один приклад.

Нехай у попередньому прикладі в нас є не тільки історична база даних про продажі продукту, які ми прогнозуємо, але й дані про його рекламу на телебаченні. Ці дані можуть виглядати в такий спосіб

По осі часу відкладені номери тижнів і рекламні індекси для кожного тижня. Видно, що в шістнадцятому й сімнадцятому тижні реклами не було взагалі. Очевидно, що неправильно дані про рекламу подавати в у такому виді, оскільки визначає продажу не сама реклама як така, а образи й враження у свідомості покупця, які ця реклама створює. І така реклама має тривалу дію - навіть через кілька місяців після закінчення реклами на телебаченні люди будуть пам'ятати продукт і купувати його, хоча, швидше за все, продажу будуть поступово падати. Тому намагаючись подавати в мережу такі дані про рекламу ми робимо неправильну постановку завдання й, як мінімум, ускладнимо мережі процес навчання.

При використанні багатошарових нейронних мереж у бізнес-прогнозуванні в загальному і прогнозуванні продажів зокрема корисно також пам'ятати про те, що потрібно акуратно робити нормування й що для вихідного нейрона краще використовувати лінійну передатну функцію. Узагальнюючі властивості від цього небагато погіршуються, але мережа буде набагато краще працювати з даними, що містять тренд.

=Список використаних джерел=

#http://masters.donntu.edu.ua/2003/fvti/paukov/library/neurow.htm
#http://victoria.lviv.ua/html/oio/
#Уоссермен Ф.. Нейрокомпьютерна техніка. - М.: Світ, 1992
Круглов В. В., Борисов В. В. Искусственные нейронные сети. Теорія и практика. – М.: Горячая линия - Телеком, 2001. – 382 с.
#Мак-Каллок У. С., Питтс В. Логическое исчисление идей, относящихся к нервной активности // В сб.: «Автоматы» под ред. К. Э. Шеннона и Дж. Маккарти. — М.: Изд-во иностр. лит., 1956. — с.363-384. (Перевод английской статьи 1943 г.).
#http://www.neuroproject.ru/forecasting_tutorial.php#mlp
#Нейронные сети. Саймон Хайкин. – М.: Вильямс, 2006. – 1103

{{Завдання:Виступ|ulyasi4ka|04 березня 2010| Прогнозування за допомогою нейронних мереж }}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

[http://essaywritingservices.org/prices.php write my essay]

Попередня обробка експериментальних даних

2012-03-05T16:22:41Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= Наталя| Surname= Росинець | FatherNAme= Андріївна|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

===Попередня обробка експериментальних даних. Критерії відсіювання завідомо помилкових даних===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/382 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Зміст та завдання попередньої обробки експериментальних даних ==
Результати вимірювань – це випадкові величини, тобто в ході експерименту інформація спотворена перешкодами, і за одних і тих же умов можна отримати різні дані.
 
Зміст попередньої обробки даних полягає у відсіюванні грубих похибок і оцінці достовірності результатів вимірювань. Попередня обробка результатів вимірювань необхідна для того, щоб надалі, при побудові функцій відгуку, з найбільшою ефективністю використовувати статистичні методи і коректно аналізувати отримані результати.
 
Завданням попередньої обробки даних є перевірка відповідності результатів вимірювання нормальному закону і визначення параметрів цього розподілу. Якщо відгук суперечить нормальному розподілу, то слід визначити, якому закону розподілу підлягають дослідні дані або, якщо це можливо, перетворити досліджуваний розподіл до нормального вигляду.

== Методи обробки експериментальних даних ==

=== Метод найменших квадратів ===
Для обробки експериментальних даних найчастіше на практиці використовують метод найменших квадратів - один з методів теорії помилок, що використовується для оцінки невідомих величин за наслідками вимірювань, що містить випадкові помилки (спричиняються різного роду випадковими причинами, які діють при кожному з окремих вимірювань непередбаченим чином).
 
Метод найменших квадратів запропонував К. Гаус (1794—95) і А. Лежандром (1805—06). Строге математичне обґрунтовування методу було дано А. А. Марковим (старшим) і А. Н. Колмогоровим. Нині цей метод є одним з найважливіших розділів математичної статистики і широко використовується для статистичних висновків в різних областях науки і техніки.
 
Суть методу найменших квадратів (по Гаусу) полягає в припущені, що «збиток» від заміни точного (невідомого) значення фізичної величини m її наближеним значенням X, обчисленим за наслідками спостережень, пропорційний квадрату помилки:<math>{{(X-m)}^{2}}</math>.
 
Оптимальною оцінкою визнають величину X , позбавлену систематичної помилки, для якої середнє значення «збитку» мінімальне.
Задачу пошуку оптимальної оцінки звужують і як Х вибирають лінійну функцію від результатів спостережень, позбавлену систематичної помилки, і таку, для якої середнє значення «збитку» мінімальне в класі всіх лінійних функцій. Якщо випадкові помилки спостережень мають нормальний розподіл і оцінювана величина m залежить від середніх значень результатів спостережень лінійно, то рішення цієї задачі одночасно буде і рішенням загальної задачі. Оцінка X, обчислена згідно методу найменших квадратів — найвірогідніше значення невідомого параметра m.
 
Метод найменших квадратів дає найбільш бажаний результат тоді, коли випадкова помилка має порівняно невелику величину. В іншому разі необхідним є проведення попередньої обробки експериментальних даних, яка полягає в наступному: вихідні записи випадкових величин згладжуються певним способом, що дає змогу виявити основну тенденцію у їхній зміні.

=== Метод виключення перешкод ===
Метод виключення перешкод полягає у проведенні на око середньої лінії, яка враховує тільки основні коливання змінної. Інформація, що надалі буде зніматись із цієї середньої лінії, при математичній обробці даних буде використовуватись як вихідна.
 
Значення випадкової величини, що не збігаються із середньою лінією, прямо не впливатимуть на подальші висновки.

=== Метод оновлюваної середньої ===
Метод оновлюваної середньої полягає у використанні рекурентної формули для обчислення середнього арифметичного . Якщо випадкова величина х надходить у вигляді дискретних вимірів і для (N - 1) - го виміру обчислено середнє значення , то поява нового виміру змінює попереднє середнє значення на величину
<center><math>\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
 
При згладжуванні цим методом у кожній точці на часовій осі виміряне значення замінюється на середнє, розраховане на даний момент часу.
 
Послідовність обчислених за рекурентною формулою середніх значень є позбавленим від перешкод рядом вимірів змінної х, який використовується при подальшій обробці.
 
<center>'''Приклад'''</center>
----
 
Розглянемо згладжування методом оновлюваної середньої наступного ряду вимірювань величини х:
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
Перше значення збігається з х1. Друге значення обчислюється за рекурентною формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}={{x}_{N-1}}+\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
Отже:<math>{{\bar{x}}_{2}}=3.4+\frac{1}{2}(3.1-3.4)=3.25</math>;<math>{{\bar{x}}_{3}}=3.25+\frac{1}{3}(5.4-3.25)=3.96</math>;
<math>{{\bar{x}}_{4}}=3.65</math>;<math>{{\bar{x}}_{5}}=3.50</math>;<math>{{\bar{x}}_{6}}=3.46</math>;<math>{{\bar{x}}_{7}}=3.35</math>;<math>{{\bar{x}}_{8}}=3.47</math>;<math>{{\bar{x}}_{9}}=3.44</math>;<math>{{\bar{x}}_{10}}=3.30</math>.
 
Результати згладжування експериментальних даних зображено на рисунку:
 
[[Файл:n-1.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування експериментальних даних]]
 

=== Метод ковзної середньої ===
Метод ковзної середньої полягає в послідовному усередненні на деякому інтервалі <math>{{\tau }_{y}}</math> значень вимірюваної величини х. Рухаючи <math>{{\tau }_{y}}</math> уздовж осі часу для всіх точок <math>{{\tau }_{i}}</math>, що попали в нього, відповідні значення <math>{{x}_{i}}</math> замінимо середніми значеннями; віднесемо ці значення до середини відповідного інтервалу.
Операція згладжування виконується за формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
де і – номер інтервалу; (l+1) – число вимірювань у і-тому інтервалі; <math>(i+\frac{l}{2})</math> - номер замінюваного вимірювання.
 
Якщо попередня оцінка виконана невдало і після згладжування залишаються перешкоди, утворені дані знову можна піддати усередненню і робити це багаторазово, до бажаного результату.
 
<center>'''Приклад'''</center>
----
 
Для ряду вимірювань
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
обчислимо згладжені значення на інтервалі l+1=3,використовуючи формулу:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
Отже, <math>{{\bar{x}}_{1+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{2}}=\frac{1}{3}(3.4+3.1+5.4)=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{2+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{3}}=\frac{1}{3}(3.1+5.4+2.7)=3.73</math>; <math>{{\bar{x}}_{4}}=3.66</math>; <math>{{\bar{x}}_{5}}=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{6}}=2.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{7}}=3.43</math>; <math>{{\bar{x}}_{8}}=3.40</math>; <math>{{\bar{x}}_{9}}=3.16</math>
 
На рисунку наведено результат згладжування:
 
[[Файл:n-2.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
 
Іноді при згладжуванні заокруглюють наближення, використовуючи середні значення для не перекриваючих один одного інтервалів. Для цього обчислюють середнє значення за трьома першими точками, приписують результат середині інтервалу, а для наступного обчислення середньої використовують 4-ту, 5-ту і 6-ту точки і т. д.
 
[[Файл:n-3.JPEG|640x170px|border|center|Заокруглення наближення при зглажуванні]]
 
В обох випадках частина початкової і кінцевої інформації втрачається.

=== Метод експоненційного згладжування ===
Цей метод має найширші можливості. Тут використовують наступні формули:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}=\alpha \cdot {{x}_{N}}+(1-\alpha ){{\bar{x}}_{N-1}}</math>або<math>{{\bar{x}}_{N}}={{\bar{x}}_{N-1}}+\alpha \cdot ({{x}_{N}}-{{\bar{x}}_{N-1}})</math></center>
 
де <math>\alpha </math> - параметр згладжування, який вибирається в діапазоні 0..1. Тут обчислювана середня заміняє відповідне значення вимірюваної змінної.
 
Від величини <math>\alpha </math> залежать згладжуючи властивості методу. При різних <math>\alpha </math> можна добувати з вихідної інформації високочастотні або низькочастотні складові. Таким чином, з’являється можливість боротися з низько – і високочастотними шумами, тобто зі швидко – і повільно змінними у часі перешкодами.
 
При малих , близьких до 0 <math>\alpha </math>, сукупність обчислених середніх відобразить низькочастотні зміни вимірюваної змінної, позбавивши їх швидкозмінних перешкод. У цьому випадку говорять про ''інерційне згладжування'', при якому обчислювана середня мало залежить від останнього вимірювання і значною мірою від середньої, утвореної на попередньому кроці.
 
Якщо обрана величина <math>\alpha </math> - близька до 1 (наприклад, становить 0,6), то згладжування буде мало інерційним, значення ближчими до вимірюваних значень х, тобто високі частоти зберігатимуться:
 
[[Файл:n-4.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
 

== Критерії відсіювання завідомо помилкових даних ==

Дані, які відповідають умовам, що змінилися, називають грубими помилками або значеннями, що різко виділяються (аномальними).
У разі відсіву грубих помилок формулюється нульова гіпотеза:
<math>{{H}_{0}}</math>: "Серед результатів спостережень (вибіркових, дослідних даних) немає значень, що різко виділяються (аномальних)".
 
Альтернативною гіпотезою може бути:
або <math>H_{1}^{(1)}</math>: "Серед результатів спостережень є тільки одна груба помилка"
або <math>H_{1}^{(2)}</math>: "Серед результатів спостережень є дві або більш грубих помилок".
Найпоширенішими і теоретично обґрунтованими в цьому випадку є
*критерій Н.В. Смірнова (використовується при <math>H_{1}^{(1)}</math>)
*критерій Діксона (застосовується як при <math>H_{1}^{(1)}</math> так і при <math>H_{1}^{(2)}</math>)
 

=== Критерій Н. В. Смірнова ===

Якщо відомо, що є тільки одне аномальне значення (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>), то воно буде крайнім членом варіаційного ряду. Тому перевіряти вибірку на наявність однієї грубої помилки природно за допомогою статистики (якщо сумнів викликає перший член варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}=\min {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{1}}=\frac{\bar{x}-{{x}_{1}}}{{{s}_{x}}}</math></center>
 
або якщо сумніви викликає максимальний член варіаційного ряду <math>{{x}_{n}}=\max {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{n}}=\frac{{{x}_{n}}-\bar{x}}{{{s}_{x}}}</math></center>
 
Цей критерій вперше був запропонований Н.В. Смірновим. Він досліджував розподіл цих статистик і склав таблиці процентних точок
<math>{{u}_{\alpha ,n}}</math>. При вибраному рівні значущості критична область для критерію Н.В. Смірнова будується таким чином:
<center><math>{{u}_{1}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math> або <math>{{u}_{n}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math></center>
де <math>{{u}_{\alpha ,n}}</math> – це табличні значення
 
У випадку якщо виконується остання умова (статистика потрапляє в критичну область), то нульова гіпотеза відхиляється, тобто викид х1 або хn не випадковий і не характерний для даної сукупності даних, а визначається умовами, що змінилися або грубими помилками при проведенні дослідів.
 
В цьому випадку значення або виключають з розгляду, а знайдені раніше оцінки піддаються коректуванню з урахуванням відкинутого результату.

=== Критерій Діксона ===

В критерії Діксона застосовується статистика:
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найбільше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-i}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{j+1}}}</math></center>
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найменше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{1+i}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{n-j}}-{{x}_{1}}}</math></center>
 
Де <math>{{x}_{n}},{{x}_{n-i}},{{x}_{j+1}}</math> – члени варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le {{x}_{3}}...\le {{x}_{i}}...\le {{x}_{n}}</math>
 
Діксоном були отримані розподіли для статистик <math>{{r}_{10}},{{r}_{11}},{{r}_{12}},{{r}_{20}},{{r}_{21}},{{r}_{22}}</math> при об’ємі вибірки 3 <=n<=30.
 
Наприклад, статистика
<center><math>{{r}_{10}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{1}}}</math></center>
 
використовується для перевірки максимального або мінімального члена варіаційного ряду (одна груба помилка, альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>) при 3 <= n <= 7.
Якщо при тому ж об'ємі вибірки передбачається наявність двох і більше значень, що різко виділяються (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(2)}</math>), то використовується статистика <math>{{r}_{20}}</math>.
 
Статистики критерію Діксона, що використовуються при інших об'ємах вибірки, приведені в таблиці:
 
[[Файл:n-5.JPEG|640x170px|border|center|Статистики критерію Діксона]]
 

=Перелік використаних джерел=

# Большая Советская Энциклопедия // режим доступу: http://bse.sci-lib.com/article086042.html (станом на 13.02.10)
# Н. А. Спирин, В. В. Лавров. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента. – Екатеринбург: 2004, - 257 с.
# В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.

[http://custom-essay.ws/index.php essay papers]

[http://custom-essay.ws/index.php essay writing]

[[Категорія:Планування експерименту]]

Планування експерименту при дисперсійному аналізі Латинські і греко-латинські квадрати Латинські куби

2012-03-05T16:22:35Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Михайло | Surname=Сиротюк | FatherNAme=Володимирович|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

===Планування експерименту при дисперсійному аналізі. Латинські і греко-латинські квадрати. Латинські куби===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/380 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Планування експерименту при дисперсійному аналізі ==
В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин змінюються у зв’язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних), що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.
 
Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При вивченні впливу на процес двох факторів число необхідних експериментів N (без повторення дослідів) визначається добутком рівнів факторів, що досліджуються. Якщо число рівнів n однакове, то об’єм експерименту при двофакторному дисперсійному аналізі рівне N=n2. При такій кількості дослідів в експерименті зустрічаються всі можливі комбінації факторів. Такий експеримент називається ''повним факторним експериментом'' (ПФЕ). Експеримент в якому пропущені деякі комбінації рівнів, називається ''подрібнений факторний експеримент'' (ДФЕ) [1].
 
В деяких випадках експериментатор свідомо йде на виключення можливих поєднань рівнів факторів, спираючись на міркування економії часу, коштів чи засобів. При двох і більше факторах і необхідності підтримувати кожний з них на кількох рівнях, таке скорочення загального числа дослідів необхідне.
Скорочення перебору рівнів завжди призводить до втрати частини інформації. Тому при ДФЕ важливо так запланувати експеримент, щоб губилась найменш суттєва при даній постановці задачі інформація. Особливо широко використовується ДФЕ, в якому губиться лише інформація про взаємодію факторів. Це дозволяється в тих випадках, коли ефекти взаємодії відсутні чи настільки малі, що їх можна не враховувати.
 
Число дослідів можна значно скоротити, якщо скористатись ДФЕ по схемі латинського квадрату, використаного вперше Фішером.

== Латинські квадрати ==

Латинський квадрат n x n – це квадратна таблиця, складена з n елементів (чисел чи букв) таким чином, що кожний елемент повторюється в кожній стрічці і кожному стовпчику тільки один раз. Рядки латинського квадрату відповідають різним рівням першого фактора, а стовпці – другого. Рівні третього (основного) фактору позначають літерами латинського алфавіту, які подають на перетині відповідних рядків і стовпців.
 
[[Файл:1.JPEG|1030x300px|border|center|Латинський квадрат 3х3]]
<center>Рис.1 - Латинський квадрат 3х3</center>
 
Стандартні чи канонічні латинські квадрати - це такі квадрати, у яких перша стрічка та перший стовпець побудовані в алфавітному
порядку (елементи квадрату – букви) чи в порядку натурального ряду (елементи квадрату – числа) [1]. Однокрокова циклічна перестановка в кінець стрічки – найбільш простий спосіб побудови латинського квадрату.
 
Застосовуючи латинські квадрати, зазвичай, виходять з того, що ефекти взаємодії між факторами незначні. Тоді результати ксперименту можна представити у вигляді лінійної моделі.

=== Дисперсійний аналіз латинського квадрату ===
При проведенні дисперсійного аналізу латинського квадрату без повторних дослідів зручно користуватись наступним алгоритмом розрахунку. Для цього визначають:
 
1.Суми по стрічках Аі, стовпцях Bj та латинських літерах Cq. Наприклад, для латинського квадрата 3 х 3:
*Сума по стрічках
<center><math>{{A}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}};{{A}_{2}}={{y}_{4}}+{{y}_{5}}+{{y}_{6}};{{A}_{3}}={{y}_{7}}+{{y}_{8}}+{{y}_{9}}</math></center>
*Сума по стовпцях:
<center><math>{{B}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{4}}+{{y}_{7}};{{B}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{5}}+{{y}_{8}};{{B}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{6}}+{{y}_{9}}</math></center>
*Сума по латинським буквам:
<center><math>{{C}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{6}}+{{y}_{8}};{{C}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{4}}+{{y}_{9}};{{C}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{5}}+{{y}_{7}}</math></center>
2.Суму квадратів всіх дослідів:
<center><math>S{{S}_{1}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{y_{ij}^{2}}}</math></center>
3.Суму квадратів сум по стрічках, поділену на число спостережень в стрічці:
<center><math>S{{S}_{2}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{2}}</math></center>
4.Суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число спостережень в стовпці:
<center><math>S{{S}_{3}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{2}}</math></center>
5.Суму квадратів сум по латинських буквах, поділену на число спостережень, що відповідає кожній букві:
<center><math>S{{S}_{4}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{q=1}^{n}{C_{q}^{2}}</math></center>
6.Квадрат загальної суми, поділений на число всіх спостережень (коректуючий член):
<center><math>S{{S}_{5}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{q=1}^{n}{{{C}_{q}}} \right)}^{2}}</math></center>
7.Суму квадратів для стрічки:
<center><math>S{{S}_{A}}=S{{S}_{2}}-S{{S}_{5}}</math></center>
8.Суму квадратів для стовпця:
<center><math>S{{S}_{B}}=S{{S}_{3}}-S{{S}_{5}}</math></center>
9.Суму квадратів для латинської букви:
<center><math>S{{S}_{C}}=S{{S}_{4}}-S{{S}_{5}}</math></center>
10.Загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх спостережень та коректуючим членом
<center><math>S{{S}_{zag}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{5}}</math></center>
11.Залишкову суму квадратів:
<center><math>S{{S}_{zal}}=S{{S}_{zag}}-S{{S}_{}}-S{{S}_{}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{2}}-S{{S}_{3}}-S{{S}_{4}}+2S{{S}_{5}}</math></center>
Залишкова сума квадратів складається з дисперсії, обумовленої помилкою досліду, і дисперсії, обумовленої взаємодією факторів, якщо такі мають місце:
12.Дисперсію <math>s_{A}^{2}</math>:
<center><math>s_{A}^{2}=\frac{S{{S}_{A}}}{n-1}</math></center>
13.Дисперсію <math>s_{B}^{2}</math>:
<center><math>s_{B}^{2}=\frac{S{{S}_{B}}}{n-1}</math></center>
14.Дисперсію <math>s_{C}^{2}</math>:
<center><math>s_{C}^{2}=\frac{S{{S}_{C}}}{n-1}</math></center>
15.Дисперсію <math>s_{pom}^{2}</math>:
<center><math>s_{pom}^{2}=\frac{S{{S}_{zal}}}{(n-1)(n-1)}</math></center>
 

== Греко–латинські квадрати ==

Планування за латинським квадратом дозволяє ввести в дослідження три фактора. Для чотирьох факторів хороші властивості має план експерименту по схемі греко-латинського квадрату. Число рівнів для всіх факторів повинно бути однакове.
 
[[Файл:2-a.JPEG|700x210px|border|center|Греко-латинський квадрат 3х3]]
<center>Рис.2 - Греко-латинський квадрат 3х3</center>
[[Файл:3.JPEG|1030x300px|border|center|Греко-латинський квадрат 5х5]]
<center>Рис.3 - Греко-латинський квадрат 5х5</center>
 
В греко-латинських квадратах є <math>{{n}^{2}}</math> різких комбінацій рівнів факторів замість <math>{{n}^{4}}</math> комбінацій повного чотирифакторного експерименту. Тому греко-латинський квадрат являє собою <math>1/{{n}^{2}}</math> репліку від ПФЕ.
Дисперсійний аналіз греко-латинського квадрату проводять так само, як і аналіз звичайного латинського квадрата, з врахуванням четвертого фактора D.
Використання греко-латинських та гіпер-греко-латинських квадратів в якості планів експерименту одночасно дає економію в числі дослідів та приводить до спрощення обчислень.

== Латинські куби ==

Повному факторному експерименту для трьох факторів <math>{{n}^{3}}</math> (n>2) відповідає кубічне розміщення з n елементів, що містить n3 позицій. Трьом ребрам кубу відповідають фактори А, В, С з рівнями 0, 1, 2, …, n-1. Коли ввести в план четвертий фактор D і рівні цього фактору (0, 1, 2, …, n-1) розмістити у відповідних до дослідів точках кубічного розміщення, то одержимо латинський куб розміру n першого порядку [1].
Планування експерименту по латинському кубу першого порядку дозволяє включити в розгляд чотири фактори (A, B, C i D). Відмінність від греко-латинського квадрату, котрий також дає можливість вивчити вплив чотирьох факторів є в тому, що в латинському кубі три фактори (A, B, C) рахуються головними і один фактор (D) складає елімінуюче групування, а в греко-латинському квадраті головними рахуються два фактори А та В, а C i D складають подвійне елімінуюче групування. Число дослідів в кубі в n раз більше, ніж в греко-латинському квадраті.
Два латинських куба розміром n першого порядку ортогональні, коли при накладанні їх один на одного кожний елемент одного кубу зустрічається з кожним елементом другого кубу n разів. Два таких ортогональних куба, накладених один на одного, представляють греко-латинський куб розміру n першого порядку. Планування по схемі греко-латинського кубу дозволяє ввести в експеримент п’ятий фактор.

=Перелік використаних джерел=

# Дисперсійний аналіз // режим доступу: http://lp.edu.ua/fileadmin/ICCT/top/pub/Chaykivskyy/mm/da.pdf (станом на 14.02.10)
# В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.
[http://editingwritingservices.org/hesitating.php creative writing services]

[[Категорія:Планування експерименту]]

Методи прогнозування

2012-03-05T16:22:28Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= Євген| Surname=Олійник | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/411 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Методи прогнозування =

До недавнього часу (середини 80-х років минулого століття) існувало декілька загальновизнаних методів прогнозування тимчасових рядів:

• Економетричні

• Регресійні

• Методи Бокса-дженкінса (ARIMA, ARMA)

Проте, починаючи з кінця 80-х років, в науковій літературі були опубліковані ряд статей з нейромережевої тематики, в яких був приведений ефективний алгоритм навчання нейронних мереж і доведена можливість їх використання для найширшого кола завдань.

Ці статті відродили інтерес до нейромереж в науковому співтоваристві і останні дуже скоро почали широко використовуватися при дослідженнях в самих різних областях науки від експериментальної фізики і хімії до економіки.

= Методи прогнозування, засновані на згладжуванні, експоненційному згладжуванні і ковзному середньому =

== "Наївні" моделі прогнозування ==

При створенні "наївних" моделей передбачається, що деякий основний період прогнозованого тимчасового ряду краще всього описує майбутнє цього прогнозованого ряду, тому в цих моделях прогноз, як правило, є дуже простою функцією від значень прогнозованої змінної в недалекому минулому.

Найпростішою моделлю є

<center> <math>Y_{t+1}=Y_{t}</math> </center>

що відповідає припущенню, що "завтра буде як сьогодні"[4].

Поза всяким сумнівом, від такої примітивної моделі не варто чекати великої точності. Вона не тільки не враховує механізми, що визначають прогнозовані дані (цей серйозний недолік взагалі притаменний багатьом статистичним методам прогнозування), але і не захищена від випадкових коливань, вона не враховує сезонні коливання і тенденції. Втім, можна будувати "наївні" моделі дещо по-іншому

<center>

<math>\begin{align}
& Y_{t+1}=Y_{t}+\left[ Y_{t}-Y_{t-1} \right], \\
& Y_{t+1}=Y_{t}\cdot \left[ Y_{t}/Y_{t-1} \right], \\
\end{align}</math>

</center>

такими способами ми намагаємося пристосувати модель до можливих тенденцій

<center>
<math>Y_{t+1}=Y_{t-S}</math>
</center>

це спроба врахувати сезонні коливання.

[[Файл:23.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.1 - Прогнозування найпростішими методами. </center>

[[Файл:24.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.2 - Прогнозування найпростішими методами. </center>

== Середні і ковзаючі середні ==

Найпростішою моделлю, заснованою на простому усереднюванні [4] є

<center>
<math>Y_{t+1}=\frac{1}{t}\left[ Y_{t}+Y_{t-1}+...+Y_{1} \right]</math>
</center>

і у відмінності від найпростішої "наївної" моделі, якій відповідав принцип "завтра буде як сьогодні", цій моделі відповідає принцип "завтра буде як було в середньому за останній час". Така модель, звичайно стійкіша до коливань, оскільки в ній згладжуються випадкові викиди щодо середнього. Не дивлячись на це, цей метод ідеологічно настільки ж примітивний як і "наївні" моделі і йому властиві майже ті ж самі недоліки.

У приведеній вище формулі передбачалося, що ряд усереднюється по достатньо тривалому інтервалу часу. Проте як правило, значення тимчасового ряду з недалекого минулого краще описують прогноз, ніж усі попередні значення цього ж ряду. Тоді можна використовувати для прогнозування ковзне середнє

<center>
<math>Y_{t+1}=\frac{1}{T+1}\left[ Y_{t}+Y_{t-1}+...+Y_{t-T} \right]</math>
</center>

Сенс його полягає в тому, що модель бачить тільки найближче минуле (на T відліків за часом в глибину) і грунтуючись тільки на цих даних будує прогноз.

При прогнозуванні досить часто використовується метод експоненціальних середніх, який постійно адаптується до даних за рахунок нових значень. Формула, що описує цю модель записується як

<center> <math>Y_{t+1}=\alpha Y_{t}+\left( 1-a \right)\hat{Y}_{t},</math>
</center>

де <math>Y_{t+1}</math> – прогноз на наступний період часу

<math>Y_{t}</math> – реальне значення у момент часу t

<math>\hat{Y}</math> – минулий прогноз на момент часу t

а – постійна згладжування (0<=a<=1)

У цьому методі є внутрішній параметр а, який визначає залежність прогнозу від усіх розглянутих даних, причому вплив даних на прогноз експоненціально зменшується із "віком" даних. Залежність впливу даних на прогноз при різних коефіцієнтах а приведена на графіці.

[[Файл:qa.png|border|center|Залежність впливу даних на прогноз при різних коефіцієнтах а ]]
<center>Рис.3 - Залежність впливу даних на прогноз при різних коефіцієнтах а </center>

Видно, що при a→1, експоненціальна модель прагне до найпростішої "наївної" моделі. При a→0, прогнозована величина стає рівною попередньому прогнозу.

Якщо проводиться прогнозування з використанням моделі експоненціального згладжування, зазвичай на деякому тестовому наборі будуються прогнози при a=[0.01, 0.02 ..., 0.98, 0.99] і відстежується, при якому а точність прогнозування вища. Це значення а потім використовується при прогнозуванні надалі.

Хоча описані вище моделі ("наївні" алгоритми, методи, засновані на середніх, ковзних середніх і експоненціальному згладжуванні) використовуються при бізнес-прогнозуванні в не дуже складних ситуаціях, наприклад, при прогнозуванні продажу на спокійних і сталих західних ринках, не рекомендовано використовувати ці методи в завданнях прогнозування з причини явної примітивності і неадекватності моделей.

Разом з цим хотілося б відзначити, що описані алгоритми цілком успішно можна використовувати як супутні і допоміжні для передобробки даних в завданнях прогнозування. Наприклад, для прогнозування продажу в більшості випадків необхідно проводити декомпозицію тимчасових рядів (тобто виділяти окремо тенденційну, сезонну і нерегулярну складові). Одним з методів виділення тенденційних складових є використання експоненціального згладжування.

[[Файл:26.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.4 - Прогнозування ковзаючим середнім. </center>

[[Файл:27.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.5 - Спад адекватності при ковзаючому середньому. </center>

= Методи Хольта і Брауна =

В середині минулого століття Хольт запропонував вдосконалений метод експоненціального згладжування, згодом названий його ім'ям. У запропонованому алгоритмі значення рівня і тенденції згладжуються за допомогою експоненціального згладжування. Причому параметри згладжування у них різні.
<center>
<math>\left\{ \begin{matrix}
\Omega _{t}=\alpha Y_{t}+\left( 1-\alpha \right)\left( \Omega _{t-1}-T_{t-1} \right), \\
T_{t}=\beta \left( \Omega _{t}-\Omega _{t-1} \right)+\left( 1-\beta \right)T_{t-1}, \\
\hat{Y}_{t+p}=\Omega _{t}+pT_{t} \\
\end{matrix} \right.</math>
</center>
Тут перше рівняння описує згладжений ряд загального рівня.

Друге рівняння служить для оцінки тенденції.

Третє рівняння визначає прогноз на p відліків за часом вперед.

Постійні згладжування в методі Хольта ідеологічно грають ту ж роль, що і постійна в простому експоненціальному згладжуванні. Підбираються вони, наприклад, шляхом перебору по цих параметрах з якимсь кроком. Можна використовувати і менш складні в сенсі кількості обчислень алгоритми. Головне, що завжди можна підібрати таку пару параметрів, яка дає велику точність моделі на тестовому наборі і потім використовувати цю пару параметрів при реальному прогнозуванні.

Окремим випадком методу Хольта є метод Брауна, коли <math>\alpha =\beta </math> .

= Метод Вінтерса =

Хоча описаний вище метод Хольта (метод двохпараметричного експоненціального згладжування) і не є зовсім простим (щодо "наївних" моделей і моделей, заснованих на усереднюванні), він не дозволяє враховувати сезонні коливання при прогнозуванні. Кажучи акуратніше, цей метод не може їх "бачити" в передісторії. Існує розширення методу Хольта до трьохпараметричного експоненціального згладжування. Цей алгоритм називається методом Вінтерса. При цьому робиться спроба врахувати сезонні складові даних. Система рівнянь, що описують метод Вінтерса виглядає таким чином:
<center>
<math>\left\{ \begin{matrix}
\Omega _{t}=\alpha \frac{Y_{t}}{S_{t-s}}+\left( 1-\alpha \right)\left( \Omega _{t-1}-T_{t-1} \right), \\
T_{t}=\beta \left( \Omega _{t}-\Omega _{t-1} \right)+\left( 1-\beta \right)T_{t-1}, \\
S_{t}=\Upsilon \frac{Y_{t}}{\Omega _{t}}+\left( 1-\Upsilon \right)S_{t-s}, \\
\hat{Y}_{t+p}=\left( \Omega _{t}+pT_{t} \right)S_{t-s+p} \\
\end{matrix} \right.</math>
</center>
Дріб в першому рівнянні служить для виключення сезонності з Y(t). Після виключення сезонності алгоритм працює з "чистими" даними, в яких немає сезонних коливань. З'являються вони вже в самому фінальному прогнозі, коли "чистий" прогноз, порахований майже по методу Хольта умножається на сезонний коефіцієнт.

[[Файл:25.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.6 - Прогнозування методи Вінтерса. </center>

= Регресійні методи прогнозування =
Разом з описаними вище методами, заснованими на експоненціальному згладжуванні, вже достатньо довгий час для прогнозування використовуються регресійні алгоритми. Коротко суть алгоритмів такого класу можна описати так.
Існує прогнозована змінна Y (залежна змінна) і відібраний заздалегідь комплект змінних, від яких вона залежить, - X1, X2 ..., XN (незалежні змінні). Природа незалежних змінних може бути різною. Наприклад, якщо припустити, що Y - рівень попиту на деякий продукт в наступному місяці, то незалежними змінними можуть бути рівень попиту на цей же продукт в минулий і позаминулий місяці, витрати на рекламу, рівень платоспроможності населення, економічна обстановка, діяльність конкурентів і багато що інше. Головне - уміти формалізувати всі зовнішні чинники, від яких може залежати рівень попиту в числовій формі.

Модель множинної регресії в загальному випадку описується виразом
<center>
<math>Y=F\left( X_{1},\,X_{2},\,...,\,X_{N} \right)+\varepsilon </math>
</center>
У простішому варіанті лінійної регресійної моделі залежність залежної змінної від незалежних має вигляд:
<center>
<math>Y=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\beta _{2}X_{2}+...+\beta _{N}X_{N}+\varepsilon </math>
</center>
Тут <math>\beta _{1},\beta _{2},\,...,\,\beta _{N}-</math> підбирані коефіцієнти регресії

<math>\varepsilon -</math> компонента помилки. Передбачається, що всі помилки незалежні і нормально розподілені.
Для побудови регресійних моделей необхідно мати базу даних спостережень приблизно такого вигляду:
<center>
<table width="382" border="1">
<tr>
<th width="22" scope="col"> </th>
<th colspan="5" scope="col">Змінні</th>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>

<td colspan="4" bgcolor="#BDE0BA"><div align="center">Незалежні</div></td>
<td width="86" bgcolor="#C1BEE9">Залежна</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">№</th>
<td width="44" bgcolor="#BDE0BA">X1</td>
<td width="65" bgcolor="#BDE0BA">X2</td>

<td width="65" bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td width="60" bgcolor="#BDE0BA">XN</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">1</th>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_11</td>

<td bgcolor="#BDE0BA">x_12</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_1N</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y_1</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">2</th>

<td bgcolor="#BDE0BA">x_21</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_22</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_2N</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y_2</td>
</tr>

<tr>
<th scope="row">...</th>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>

<td bgcolor="#C1BEE9">...</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">m</th>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_M1</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_M2</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>

<td bgcolor="#BDE0BA">x_MN</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y_m</td>
</tr>
</table>
</center>

За допомогою таблиці значень минулих спостережень можна підібрати (наприклад, методом найменших квадратів) коефіцієнти регресії, побудувавши тим самим модель.

При роботі з регресією треба дотримуватися певної обережності і обов'язково перевірити на адекватність знайдені моделі. Існують різні способи такої перевірки. Обов'язковим є статистичний аналіз залишків, тест Дарбіна-Уотсона. Корисно, як і у випадку з нейронними мережами, мати незалежний набір прикладів, на яких можна перевірити якість роботи моделі.

= Методи Бокса-Дженкінса (ARIMA)=

В середині 90-х років минулого століття був розроблений принципово новий і достатньо могутній клас алгоритмів для прогнозування тимчасових рядів. Велику частину роботи по дослідженню методології і перевірці моделей була проведена двома статистиками, Г.Е.П. Боксом ([http://en.wikipedia.org/wiki/George_E._P._Box G.E.P. Box]) і Г.М. Дженкинсом ([http://en.wikipedia.org/wiki/Gwilym_Jenkins G.M. Jenkins]). З тих пір побудова подібних моделей і отримання на їх основі прогнозів іноді називатися методами Бокса-Дженкінса. В це сімейство входить декілька алгоритмів, найвідомішим і використовуваним з них є алгоритм ARIMA. Він вбудований практично в будь-який спеціалізований пакет для прогнозування. У класичному варіанті ARIMA не використовуються незалежні змінні. Моделі спираються тільки на інформацію, що міститься в передісторії прогнозованих рядів, що обмежує можливості алгоритму. В даний час в науковій літературі часто згадуються варіанти моделей ARIMA, що дозволяють враховувати незалежні змінні. У даній доповіді вони розглядатись не будуть, обмежимось тільки загальновідомим класичним варіантом. На відміну від розглянутих раніше методик прогнозування тимчасових рядів, в методології ARIMA не передбачається якої-небудь чіткої моделі для прогнозування даної тимчасової серії. Задається лише загальний клас моделей, що описують часовий ряд і що дозволяють якось виражати поточне значення змінної через її попередні значення. Потім алгоритм, підстроюючи внутрішні параметри, сам вибирає найбільш відповідну модель прогнозування. Як вже наголошувалося вище, існує ціла ієрархія моделей Бокса-Дженкінса. Логічно її можна визначити так
<center>
AR(p)+MA(q)→ARMA(p,q)→ARMA(p,q)(P,Q)→ARIMA(p,q,r)(P,Q,R)→...
</center>
== AR(p) -авторегресивна модель порядку р ==

Модель має вигляд:
<center>
<math>Y\left( t \right)=f_{0}+f_{1}\cdot Y\left( t-1 \right)+f_{2}\cdot Y\left( t-2 \right)+...+f_{p}\cdot Y\left( t-p \right)+E\left( t \right)</math>
</center>

де
Y(t) –залежна змінна у момент часу t. <math>f_{0},f_{1},f_{2}...,f_{p}</math> - оцінювані параметри. E(t) - помилка від впливу змінних, які не враховуються в даній моделі. Завдання полягає в тому, щоб визначити <math>f_{0},f_{1},f_{2}...,f_{p}</math>. Їх можна оцінити різними способами. Найправильніше шукати їх через систему рівнянь Юла-Уолкера, для складання цієї системи буде потрібно розрахунок значень автокореляційної функції. Можна поступити простішим способом - порахувати їх методом найменших квадратів.

== MA(q) -модель з ковзаючим середнім порядку q ==

Модель має вигляд:
<center>
<math>Y\left( t \right)=m+e\left( t \right)-w_{1}\cdot e\left( t-1 \right)-w_{2}\cdot e\left( t-2 \right)-...-w_{p}\cdot e\left( t-p \right)</math>
</center>

Де Y(t) -залежна змінна у момент часу t. <math>w_{0},w_{1},w_{2}...,w_{p}</math> - оцінювані параметри.

== Авторегресійне ковзне середнє ARMA(p,q) ==

Під позначенням ARMA(p,q) [3] розуміється модель, p авторегресійних складових, що містить q, ковзаючих середніх.

Точніше модель ARMA(p,q) включає моделі AR(p) і MA(q):
<center>
<math>X_{t}=c+e_{t}+\sum\limits_{i=1}^{q}{\theta _{i}e_{t-i}}+\sum\limits_{i=1}^{p}{\phi _{i}X_{t-i}},</math>
</center>
Зазвичай значення помилки <math>e_{t}</math> вважають незалежними однаково розподіленими випадковими величинами, узятими з нормального розподілу з нульовим середнім: <math>e_{t}\sim N\left( 0,\sigma ^{2} \right),</math> де <math>\sigma ^{2}</math> — дисперсія. Припущення можна ослабити, але це може привести до зміни властивостей моделі. Наприклад, якщо не припускати незалежності і однакового розподілу помилок, поведінка моделі суттєво міняється.

== ARIMA (p,d,q) ==

У завданні аналізу тимчасового ряду з складною структурою часто використовуються моделі класу ARIMA(p,d,q)[2] (авторегресійне інтегрування ковзаючого середнього - Autoregressive Integrated Moving Average) порядку (p,d,q), які моделюють різні ситуації, що зустрічаються при аналізі стаціонарних і нестаціонарних рядів. Залежно від аналізованого ряду модель ARIMA (p,d,q) може трансформуватися до авторегресійної моделі AR(p), моделі ковзного середнього MA(q) або змішаній моделі ARMA (p,q). При переході від нестаціонарного ряду до стаціонарного значення параметра d, що визначає порядок різниці, приймається рівним 0 або 1, тобто цей параметр має тільки цілочисельні значення. Зазвичай обмежуються вибором між d = 0 і d = 1. Проте з поля зору дослідників випадає ситуація, коли параметр d може приймати дробові значення.

== ARFIMA(p,d,q) ==

Для ситуації розгляду дробових значень порядку різниці, в роботах зарубіжних учених, в першу чергу, C.W.Granger, J.R.Hosking, P.M.Robinson, R. Beran, був запропонований новий клас моделей ARFIMA(p,d,q)[2] (F: fractional - дріб), що допускає можливість нецілого параметра d і авторегресійний дріб інтегрований процес ковзного середнього. Такі ряди володіють своєю специфікою: самоподібністю, дробовою розмірністю, поволі спадаючою кореляцією. Прогнозування тимчасових рядів за допомогою моделі ARFIMA(p,d,q) відкриває ширші перспективи для підвищення точності прогнозу.

== Модель вигляду ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S ==

ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S [1],

де: p - авторегресійні доданки;

D - різниці;

q - доданки ковзаючого середнього;

P – сезонні авторегресійні доданки;

D – сезонні різниці на інтервалі S;

Q – доданки сезонного ковзаючого середнього

= Метод "Гусениці" SSA =

Метод SSALRF[6,7]

Метод “Гусеніца”-SSA може бути використаний для різних загальних завдань дослідження тимчасових рядів, зокрема - для виділення сигналу і знаходження його ЛРФ. При його використанні по ряду <math>F_{N}</math> будується траєкторна матриця X заданого розміру L x K, 1 < L < N.

K = N – L + 1 (L називається довжиною вікна), обчислюються власні числа <math>\left\{ \lambda _{i} \right\}_{i=1}^{L},</math> власні <math>\left\{ \lambda _{i} \right\}_{i=1}^{L},</math>і факторні <math>\left\{ V_{i} \right\}_{i=1}^{L}</math> вектора матриці <math>XX^{T}</math>, формуючи сингулярне розкладання <math>X=\sum\limits_{i}{\sqrt{\lambda _{i}}U_{i}V_{i}^{T}}</math>. Набір <math>\left( \sqrt{\lambda _{i}}U_{i}V_{i} \right)</math> називається сингулярною трійкою. Ряду зіставляється траєкторний простір, аддитивній складовій ряду при виконанні умов роздільності відповідає власний траєкторний підпростір в цьому просторі.

В умовах наближеної роздільності метод дозволяє знайти підпростір близьке до траєкторного простору даної аддитивної складової.

Опишемо алгоритм методу SSALRF, в нім можна виділити наступну послідовність кроків.

Алгоритм [5]

#Вибір довжини вікна L і побудова траєкторної матриці <math>X\in \mathbb{R}^{L\times K}</math> по ряду <math>F_{N}</math>;
#Сингулярне розкладання траєкторної матриці <math>X=\sum\limits_{i}{\sqrt{\lambda _{i}}U_{i}V_{i}^{T}}</math> ;
#Вибір сингулярних трійок, відповідних сигналу <math>S_{N}</math>;
#Побудова по власних векторах вибраних сингулярних трійок наближеної ЛРФ сигналу порядку L – 1;
#Знаходження кореня характеристичного полінома цієї ЛРФ;
#Пошук головного кореня серед всієї безлічі коренів;
#Отримання наближеною мінімальною ЛРФ (порядка 2) сигналу по головному кореню.

[[Файл:28.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.1 - Типи трендів. </center>

[[Файл:29.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.2 - Декомпозиція на сезони, тренди та наступне прогнозування. </center>

= Перелік використаних джерел =

#http://ipu-conf.ru/kmu/sbornik_VMKPU2008.pdf (лютий 2010)
#http://www.guap.ru/guap/main/avtoref_krichevsky.doc (лютий 2010)
#http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title= Авторегрессионное_скользящее_среднее (лютий 2010)
#http://www.neuroproject.ru/forecasting_tutorial.php#mlp Методы прогнозирования (лютий 2010)
#http://www.pdmi.ras.ru/~theo/autossa/files/SSAvsREGR--paper.pdf Метод SSALRF (лютий 2010)
#http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/Forum/topic77.htm Конференция по эконометрике » AR, ARMA, ARIMA, FARIMA (лютий 2010)
#[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0 Метод_Хольта]
#[http://www.ipredict.it/Methods/ Методи прогнозування (eng.)]

{{Завдання:Виступ|Hotcoffe|30 лютого 2010|Методи прогнозування.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Особливості планування експериментів

2012-03-05T16:22:23Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Володимир | Surname= Готович| FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
[[Файл:DSCF6865.jpg‎|230px|border|right|Виступ]]
{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

'''Повний факторний експеримент''' - це [[Експеримент|експеримент]], в якому реалізуються всі можливі поєднання рівнів [[Поршневий компресор|факторів]].

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/379 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

=Особливості планування експериментів=

Опишемо послідовність Дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.
#Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.
#Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 % факторів визначають 80 % властивостей системи.
#Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного фактора два - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти. Для врахування квадратичних ефектів необхідно використовувати три рівні, для кубічних ефектів - чотири і т. д Аналіз значно спрощується, якщо брати тільки рівновіддалені одне від одного значення рівнів. У цьому випадку маємо так зване ортогональне планування, або ортогональний експеримент.
Для множинних експериментів з чистом факторів більше одного дисперсійний аналіз передбачає використання для заключного аналізу ортогонального експерименту. Це означає, що оцінки відгуків у межах аналізу мають бути некорельованими. На практиці ортогональність гарантує використання тих самих випадкових послідовностей чисел під час виконання експериментів у межах кожної комбінації рівнів обробки.

=Повний факторний експеримент=

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьох рівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3x2 Запишемо в
<center>
 
Таблиця 1. Матриця двофакторного експерименту
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="71" rowspan="2" valign="top">Фактор А </td>
<td colspan="2" valign="top">Фактор В </td>
</tr>
<tr>
<td width="67" valign="top">Рівень 1</td>
<td width="91" valign="top"> Рівень 2</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 1</td>
<td width="67" valign="top">y111 
y112</td>
<td width="91" valign="top">y121 
y122</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 2</td>
<td width="67" valign="top"> Y211 
y212</td>
<td width="91" valign="top"> y221 
y222 </td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 3</td>
<td width="67" valign="top"> y311 
y312 </td>
<td width="91" valign="top">y321 
y322 </td>
</tr>
</table>
</center>
У загальному випадку: значення фактора yijg, де g - номер спостереження, і та j - номери рівнів факторів А та В відповідно. Нехай математичне сподівання вихідної змінної М(уijg) – nij Тоді очікувану функцію відгуку можна записати у такому вигляді:
<center>
<math>{{y}_{ijg}}={{\eta }_{ij}}+{{e}_{ijg}},i=\overline{1,I};j=\overline{1,J};g=1,2,3,...,</math>            (1)
</center>
де eijg, - похибка досліду (або шум), яка вважається незалежною нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням нуль і дисперсією σ2, або
<center>
<math>{{e}_{ijg}}=HHP(0,{{\sigma }^{2}}).</math>            (2)
</center>
Покажемо, що моделі для планування експериментів є окремими випадками моделей лінійної регресії [21]. Знайдою середнє за всіма дослідами:
<center>
<math>\mu =\frac{\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{}}\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{IJ}=\eta,</math>            (3)
</center>
де крапка означає усереднення по всіх значеннях відповідного індексу.
Якщо знайти середнє значення відгуку для фактора А на рівні і з усіма рівнями фактора В, то
<center>
<math>{{A}_{i}}=\frac{\sum\limits_{j\in J}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{J}={{\eta }_{i\bullet }}.</math>            (4)
</center>
Тоді αAi, - головний ефект фактора А на рівні і визначається як різниця між його середнім і загальним середнім:
<center>
<math>\alpha _{i}^{A}={{A}_{i}}-\mu ={{\eta }_{j}}-\eta .</math>             (5)
</center>
З виразів (3)-(5) видно, що середнє головного ефекту дорівнює нулю, тому що
<center>
<math>\sum\limits_{i=1}^{I}{\alpha _{i}^{A}=\frac{1}{J}\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j}{{{\eta }_{ij}}-\sum\limits_{i}{\mu =I\mu -I\mu =0}}}}.</math>             (6)
</center>
Головний ефект фактора В на рівні j визначаємо як
<center>
<math>\alpha _{j}^{B}={{B}_{j}}-\mu =\frac{1}{I}\sum\limits_{i}{{{\eta }_{ij}}-\mu =\eta -\eta.}</math>             (7)
</center>
Аналогічно
<center>
<math>\sum\limits_{j=1}^{J}{\alpha _{j}^{\beta }=0.}</math>             (8)
</center>
Якщо припустити, що фактори не взаємодіють між собою, то одержимо таку модель для планування проведення експерименту:
<center>
<math>M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}.</math>             (9)
</center>
З виразу (9) маємо
<center>
<math>{{\eta }_{i1}}-{{\eta }_{i2}}=\alpha _{1}^{B}-\alpha _{2}^{B}.</math>             (10)
</center>
Вираз (10) є вірним для всіх рівнів і фактора А.
Відобразивши графічно, як фактор А впливає на рівень і фактора В, одержимо паралельні криві відгуку (рис. 1). Якщо є взаємодія між факторами А \ В, то зміна фактора А викликає різноманітні зміни відгуку на різних рівнях фактора В. Таку взаємодію між рівнями і та j факторів А, В відповідно визначаємо як
<center>
<math>\alpha _{ij}^{AB}={{\eta }_{ij}}-{{A}_{i}}-{{B}_{j}}+\mu ={{\eta }_{ij}}-{{\eta }_{i}}-{{\eta }_{j}}+\eta .</math>             (11)
</center>
[[Файл:Gvf.png‎|378x159px|border|center|Графік впливів факторів]]

<center>Рис.1 - Графік впливів факторів</center>

Аналогічно, як було у виразах (6) і (8), маємо:
<center>
<math>\alpha _{j}^{AB}=\alpha _{i}^{AB}.</math>            
</center>
Тоді загальна модель з урахуванням взаємодії двох факторів буде такою:
<center>
<math>M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}+\alpha _{ij}^{AB}.</math>             (12)
</center>
Верхні індекси позначають фактори, що взаємодіють між собою, а нижні - рівні, для яких визначається ефект.
Покажемо, що модель факторного експерименту с окремим випадком рівняння регресії. Для простоти будемо вважати, що немає взаємодії між факторами і повторень дослідів. Використовуючи вирази (1) і (9), отримаємо систему рівнянь
<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+{{e}_{12}}; \\
& ... \\
& {{y}_{32}}=\mu +\alpha _{3}^{A}+\alpha _{3}^{B}+{{e}_{32}}; \\
\end{align}</math>             (13)
</center>
яку в матричному вигляді можна записати так:
<center>
<math>{Y}=X{\beta }+{e},</math>             (14)
</center>
де
<center>
<math>{{{Y}}^{T}}=[{{y}_{11}},{{y}_{12}},...,{{y}_{32}}],</math>             (15)
</center>
X- матриця причинних або незалежних (фіктивних) факторів:

<center>
<math>X=\left[ \begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right],</math>             (16)
</center>
де перший стовпчик - це значення µ, другий, третій і четвертий – αAi п'ятий і шостий - αβi, і = 1, 2, 3; j = 1, 2; - вектор ефектів або параметрів. Транспонований вектор
<center>
<math>{{{\beta }}^{T}}=[\mu ,\alpha _{1}^{A},\alpha _{2}^{A},\alpha _{3}^{A},\alpha _{1}^{B},\alpha _{2}^{B}].</math>             (17)
</center>
Вектор помилок:
<center>
<math>{{{e}}^{T}}=[{{e}_{11}},{{e}_{12}},...,{{e}_{32}}].</math>             (18)
</center>
На основі виразів (6) і (8) отримаємо двосторонні умови:
<center>
<math>\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{A}+\alpha _{3}^{A}=0;</math>            (19)

<math>\alpha _{1}^{B}+\alpha _{2}^{B}=0.</math>             (20)
</center>
Обмеження (19) і (20) разом із так званими нормальними рівняннями вигляду
<center>
<math>{{X}^{T}}{Y}={{X}^{T}}X{\beta }</math>             (21)
</center>
дають лише одні оцінки МНК. З регресійного аналізу відомо, що у разі справедливості виразу (11) ці оцінки одночасно будуть і оцінками максимальної правдоподібності, а також лінійними незміщеними оцінками з мінімальними значеннями дисперсії.
Таким чином, моделі факторних планів - це окремий випадок загальної лінійної регресійної моделі Вектор параметрів β містить сумарне середнє, головні ефекти і взаємодії; матриця незалежних змінних X складається лише з двох значень – 0 і 1 (використовують також позначення +1 та-1. або просто символи «+» і «-»). Отже, планування експерименту означає, що X вибирається таким чином, щоб оцінки мали деякі бажані властивості.

=Дворівневий факторний план=

Повний факторний експеримент передбачає реалізацію всіх можливих комбінацій рівнів факторів. У найпростішому випадку значення факторів задають на двох рівнях. За наявності к факторів, загальна кількість комбінацій буде 2k.
Розглянемо графічну інтерпретацію факторного експерименту (рис.2). Вважатимемо, що нижньому рівню фактора відповідає значення -1. верхньому +1, а основному – 0. Виконати подібне перетворення можна так:
<center>
<math>{{\widetilde{x}}_{i}}=\frac{({{x}_{i}}-{{x}_{i0}})}{ x},i=\overline{1,k}.</math>            
</center>
[[Файл:P2.png‎|508x193px|border|center|Графічне зображення плану 22]]

<center>Рис.2 - Графічне зображення плану 22</center>

Розглянемо результати проведення експериментів, зведені в табл. 2.
<center>
Таблиця 2. План дворівневого факторного експерименту

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="71" rowspan="2" valign="top">Фактор А </td>
<td colspan="2" valign="top">Фактор В </td>
</tr>
<tr>
<td width="67" valign="top">Рівень 1</td>
<td width="91" valign="top"> Рівень 2</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 1</td>
<td width="67" valign="top">y111 
y112</td>
<td width="91" valign="top">y121 
y122</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 2</td>
<td width="67" valign="top"> Y211 
y212</td>
<td width="91" valign="top"> y221 
y222 </td>
</tr>
</table>
</center>
На основі даних табл. 2 можна записати таку систему рівнянь:
<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{12}^{AB}+{{e}_{12}}; \\
& {{y}_{21}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{21}^{AB}+{{e}_{21}}; \\
& {{y}_{22}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{22}^{AB}+{{e}_{22}}; \\
\end{align}</math>             (22)
</center>
Оцінки параметрів моделі (22) за МНК можна знайти з урахуванням додаткових умов, які випливають із виразів (6), (8) і (11). Тоді отримаємо:
<center>
<math>\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};</math>             (23)

<math>\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};</math>             (24)

<math>\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>             (25)

<math>\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>            (26)

<math>\alpha _{22}^{AB}=-\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>             (27)
</center>
Підставивши вирази (23)-(27) у вираз (22), отримаємо систему рівнянь:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{12}}; \\
& {{y}_{21}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{21}}; \\
& {{y}_{22}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{22}}; \\
\end{align}</math>             (28)
</center>
Запишемо систему рівнянь (28) у матричному вигляді
<center>
<math>{Y}=X{\beta }+{e,}</math>             (29)

<math>{{{Y}}^{T}}=({{y}_{11}},{{y}_{12}},{{y}_{21}},{{y}_{22}}),</math>             (30)

<math>X=\left[ \begin{matrix}
+1 & -1 & -1 & +1 \\
+1 & -1 & +1 & -1 \\
+1 & +1 & -1 & -1 \\
+1 & +1 & +1 & +1 \\
\end{matrix} \right],</math>             (31)

<math>{{{\beta }}^{T}}=(\mu ,\alpha _{2}^{A},\alpha _{2}^{B},\alpha _{11}^{AB}),</math>             (32)

<math>{{{e}}^{T}}=({{e}_{11}},{{e}_{12}},{{e}_{21}},{{e}_{22}}).</math>             (33)
</center>
Зауважимо, що стовпчики матриці X - ортогональні, тобто
<center>
<math>{x}_{i}^{T}{{{x}}_{j}}=0,(i\ne j),</math>            
(34)</center>

де і ) - будь-які два стовпчики матриці X. Очевидно, що X - невироджена матриця. Отже, оцінки МНК вектора такі: (35)
З виразу (34) і за умови, що

<center>
<math>{x}_{i}^{T}{{{x}}_{j}}=0,(i\ne j),</math>             (36)
</center>
де N - число дослідів (у нашому випадку N = 4), отримаємо

<center>
<math>({{X}^{T}}X)=NI,</math>             (37)
</center>
де І - одинична матриця.
Тоді деякий h-й елемент ХT визначається як
<center>
<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}},(h=\overline{1,H})},</math>             (38)
</center>
де Xgh – g-й елемент вектора ; Н - загальне число параметрів (у даному випадку чотири). Підставимо вирази (37) і (38) у вираз (35). Тоді
<center>
<math>{{b}_{n}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}}.}</math>             (39)
</center>
Звідси
<center>
<math>{{b}_{1}}=\widehat{\mu }=\frac{1}{4}({{y}_{11}}+{{y}_{12}}+{{y}_{21}}+{{y}_{22}})=y</math>             (41)
</center>
Порівняємо вираз (41) з визначенням головного ефекту :
<center>
<math>\alpha _{2}^{A}=\eta -\eta.</math>             (42)
</center>
Як бачимо, оцінка головного ефекту співпадає зі значенням самого ефекту. Таким самим способом можна показати, що оцінки за МНК головного ефекту і ефекту взаємодії утворюються просто за аналогією з їхніми визначеннями (7) і (11).
Зверніть увагу, в матриці X перший стовпчик стосується тільки сумарного середнього ц і містить лише одиниці зі знаком плюс. Другий та третій стовпчики відповідають головним ефектам і факторів А і В відповідно. Елемент g (g= ) цих стовпчиків приймає значення – 1, якщо фактор знаходиться на
нижньому рівні, та +1 на верхньому рівні. Для якісних факторів нижній і верхній рівні є лише мнемонічними символами.
Четвертий стовпчик матриці X показує результат взаємодії двох факторів . Елементи цього стовпчика - добуток елементів другого і третього стовпчиків Тоді регресій ну модель можна записати як
<center>
<math>{{y}_{g}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{2}{{{d}_{gs}}{{\beta }_{s}}+({{d}_{g1}}{{d}_{g2}}){{\beta }_{12}}+{{e}_{g}},g=\overline{1,N}},</math>             (43)
</center>
де dgs, – -1. якщо фактор S в g-му досліді приймає значення нижнього рівня і dg, – +1 – у протилежному випадку. β0- загальне середнє µ; βs – головний ефект S-го фактора (наприклад, ); β12 ефект взаємодії двох факторів ()
Рівняння (43) - це повний поліном другого степеня без квадратичних членів (немає членів ).

=Факторний план 2k=

Розглянемо факторний план для випадку, коли k = 3 (табл 3).
<center>
Таблиця 3. Матрица повного факторного експерименту 2k

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="78" valign="top">Комбінації </td>
<td width="226" colspan="3" valign="top">Фактори </td>
<td width="76" rowspan="2" valign="top"> 
Відгук </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">факторів </td>
<td width="68" valign="top">А </td>
<td width="72" valign="top">В </td>
<td width="80" valign="top">С</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">1</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">1</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">2</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">-1 </td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">a</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">3</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">4</td>
<td width="68" valign="top">+ 1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">ab </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">5</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">6</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1 </td>
<td width="76" valign="top">ас</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">7</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">+ 1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">bc </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">8</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">abc </td>
</tr>
</table>
</center>

Для k факторів стовпчик S-го фактора (s = ) містить спочатку 2r-1 значень -1, потім 2s-1 значень +1, 2s-1 значень -1 і т. д.
Відгук системи визначається згідно з наступним правилом: якщо в досліді фактор А приймає значення верхнього рівня, то у відгуку символ а присутній, якщо нижнього рівня - відсутній Аналогічно обчислюється відгук для всіх інших факторів. Значення +1 у таблиці показує, що в даному досліді фактор приймає значення верхнього рівня, а - 1 - нижнього. Загальне число дослідів N = 2k.
З матриці плану очевидно, що в одній половині дослідів фактор А приймає значення верхнього рівня, а в іншій - нижнього. Оцінка головного ефекту фактора А обчислюється за формулою

<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{\sum\limits_{i}{{{y}_{i}}}}{{N}{2}}-\frac{\sum\limits_{j}{{{y}_{j}}}}{{N}{2}}.</math>             (44)
</center>
У цьому виразі індекс і відповідає відгукам для тих комбінацій факторів, при яких фактор А приймає значення на верхньому рівні, а; - відповідно на нижньому. Тому вираз (44) еквівалентний виразу
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{2}{N}\left\{ \sum\limits_{i}{(+1){{y}_{i}}+\sum\limits_{j}{(-1){{y}_{j}}}} \right\}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g1}}{{y}_{g}},}</math>            
</center>

де xg1 - g-й елемент стовпчика 1-го фактора У загальному випадку оцінка головного ефекту фактора s має такий вигляд:
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{s}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gs}}{{y}_{g}}},(s=\overline{1,k}).</math>             (45)
</center>
Можна показати, що аналогічно виразам (22) – (42) оцінка у виразі (45) – це оцінка за методом найменших квадратів головного ефекту фактора s. Можна довести, що оцінки за методом найменших квадратів для ефекту взаємодії факторів j, m, r визначаються як
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{j,m,...,r}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{({{x}_{gj}}{{x}_{gm}}...{{x}_{gr}}){{y}_{g}}.}</math>             (46)
</center>
Оцінки загального середнього за методам найменших квадратів обчислюються за формулою

<center>
<math>\widehat{\mu }=\overline{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g0}}{{y}_{g}},}</math>             (47)
</center>
де
<center>
<math>{{x}_{g0}}=1,g=\overline{1,N}.</math>            

Факторний експеримент 2k містить 2k комбінацій факторів або точок експерименту в k-вимірному просторі з координатами ±1,як зображено на рис. 1.

[[Файл:G23.png‎|321x243px|border|center|Графічне зображення плану 23]]

<center>Рис.3 - Графічне зображення плану 23</center>

Якщо позначити число дослідів через N, то можна визначити матрицю плану.

<center>
<math>D=\{{{d}_{ij}}\},(i=\overline{1,N};j=\overline{1,k}),</math>            
</center>

де dij= -1, якщо j-й фактор приймає значення на нижньому рівні в і-й комбінації.
Після додавання стовпчика з одних одиниць і всіх стовпчиків добутків шуканих факторів одержимо з матриці D матрицю незалежних змінних X.
Наведемо матриці D і X (табл. 4) для випадку, коли к = 3, в яких опущено одиниці.
<center>
Таблиця 4. Матриці плану і незалежних змінних

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td colspan="4" valign="top">Матриця плану D</td>
<td colspan="15" valign="top">Матриця незалежних змінних X </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">1 </td>
<td width="47" valign="top"> 2 </td>
<td width="46" valign="top">3 </td>
<td width="13" valign="top">I </td>
<td width="19" valign="top">1</td>
<td width="28" valign="top">2 </td>
<td width="19" valign="top">3 </td>
<td width="25" valign="top">12 </td>
<td width="29" valign="top">13 </td>
<td width="25" valign="top">23 </td>
<td width="41" valign="top">123 </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+ </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">-</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top"> – </td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+ </td>
<td width="47" valign="top">+ </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top"> – </td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
</table>
</center>
Загальне середнє, головні ефекти та всі ефекти взаємодії можна оцінити, якщо помножити відповідний стовпчик матриці X на стовпчик спостереження У. Рівняння регресії з k факторами на двох рівнях тоді записується так:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{J}{{{x}_{ij}}{{\gamma }_{j}}+{{e}_{i}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{k}{{{d}_{is}}{{\beta }_{s}}+\sum\limits_{s=1}^{k-1}{\sum\limits_{z=s+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}){{\beta }_{sz}}+}}}} \\
& +\sum\limits_{s=1}^{k-2}{\sum\limits_{z=s+1}^{k-1}{\sum\limits_{\upsilon =z+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}{{d}_{i\upsilon }}){{\beta }_{sz\upsilon }}+...+}}}({{d}_{i1}}{{d}_{i2}}...{{d}_{ik}}){{\beta }_{123}}...k+{{e}_{i}}, \\
\end{align}</math>            
</center>
де xij і dij – елементи матриць X, D відповідно; J = 2к – число параметрів регресії уj. Ці параметри позначають загальне середнє β0. головний ефект βs ефекти двофакторної взаємодії β s2 .., ефекти взаємодії k факторів β12…k .

=Дробовий дворівневий факторний експеримент=

Планування експерименту звичайно застосовується для визначення важливих факторів, що істотно впливають на відгук (відсівний експеримент). Враховуючи те. що із зростанням числа факторів кількість комбінацій факторів швидко збільшується, необхідно виділити найбільш важливі фактори, тобто попередньо відсіяти незначущі фактори. Для цього використовуються плани порядку 2 k-р, коли ефекти взаємодії більш високого порядку приймаються рівними нулю (вважається, що поліном низького порядку дасть адекватне регресійне рівняння).
Кількість дослідів у повному факторному експерименті значно перевищує кількість обумовлених коефіцієнтів лінійної моделі головного експерименту, тобто повний факторний експеримент є надмірним. Якщо припустити, що деякі ефекти в цих планах є нульовими, то для побудови моделі знадобиться менше ніж 2к дослідів. Щоб зробити такий вибір, необхідно знайти, до яких наслідків призведе відкидання деяких дослідів Розглянемо приклад повного факторного експерименту 23 (табл.5).
<center>
Таблиця 5. Матриця повного факторного експерименту 23

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" width="30%">
<tr>
<td width="61" rowspan="2" valign="top">№ 
Досліду</td>
<td colspan="10" valign="top">Матриця незалежних зміних X </td>
</tr>
<tr>
<td width="30" valign="top">I </td>
<td width="22" valign="top">1 </td>
<td width="24" valign="top"> 2</td>
<td width="23" valign="top">3 </td>
<td width="36" valign="top">12 </td>
<td width="33" valign="top">13 </td>
<td width="24" valign="top">23 </td>
<td width="40" valign="top">123 </td>
<td width="54" valign="top">М(y) </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">1</td>
<td width="30" valign="top">+</td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">1 </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">2</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">а </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">3</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">4</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">аb </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">5</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">6</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">ас </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">7</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">bс </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">8</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">аbс </td>
</tr>
</table>
</center>
Припустимо, що проведено лише чотири досліди, для яких
<center>
x1x2х3 = +1.
</center>
Тоді викреслимо із плану 1-й, 4-й. 6-й, 7-й рядки (отримаємо табл. 6) і покажемо. як обчислити оцінки ефектів парної взаємодії із неповного факторного експерименту для чотирьох дослідів, що залишились. Наприклад, для стовпчика І отримаємо оцінку головного ефекту
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{2}{N}({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}}),</math>             (48)
</center>
де число дослідів N = 4.
<center>
Таблиця 6. Неповний факторний експеримент (x1 x2 х3 =+ 1 )

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" width="25%">
<tr>
<td width="19%" valign="top">№ </td>
<td colspan="8" valign="top">Матриця незалежних змінних X </td>
<td width="16%" rowspan="2" valign="top"> 
M(y) </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" height="30" valign="top">Досліду </td>
<td width="8%" valign="top">I </td>
<td width="6%" valign="top">1 </td>
<td width="6%" valign="top">2</td>
<td width="6%" valign="top">3 </td>
<td width="7%" valign="top">12 </td>
<td width="8%" valign="top">13 </td>
<td width="7%" valign="top">23 </td>
<td width="17%" valign="top">123 </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">2</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">–</td>

<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="8%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">а </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">3</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">5</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">– </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="8%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">8</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">abc </td>
</tr>
</table>
</center>

З формули (48) видно, що фактор знаходиться на верхньому рівні в дослідах 2 і 8. а на нижньому рівні - в дослідах 3 і 5. Звідси ефект фактора А:
<center>
<math>\frac{a+abc}{2}-\frac{b-c}{2}=\frac{1}{2}(a+b-c+abc).</math>            
</center>
Розглянемо тепер стовпчик , з якого одержуємо:
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{BC}}=\frac{2}{N}({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}}).</math>             (49)
</center>
Взаємодія між двома факторами, що мають два рівні, визначиться таким чином. Якщо фактор С приймає значення верхнього рівня, то ефект фактора В визначається як
<center>
<math>{{\eta }_{22}}={{\eta }_{12}},</math>             (50)
</center>
а якщо фактор С приймає значення нижнього рівня, то ефект фактора В відповідно буде
<center>
<math>{{\eta }_{21}}-{{\eta }_{11}}.</math>             (51)
</center>
Взаємодія між факторами В і С матиме місце тільки у випадку, якщо значення виразів (50) і (51) будуть різні. Тоді взаємодія визначатиметься як «середня» різниця між (50) і (51), а саме:
<center>
<math>{{\alpha }^{BC}}=\frac{1}{2}\left[ ({{\eta }_{22}}-{{\eta }_{12}})-({{\eta }_{21}}-{{\eta }_{11}}) \right],</math>            
</center>
тобто ефект взаємодії між факторами В і С – це середнє арифметичне різниці значень ефектів В і С на їх верхніх і нижніх рівнях відповідно.
Ефект взаємодії між факторами В і С, за умови що фактори В і С знаходяться на верхньому та нижньому рівнях відповідно, можна визначити як abc - с. Якщо фактор С приймає значення на нижньому рівні, ефект В можна оцінити як b а Половина різниці між цими ефектами становить
<center>
<math>\frac{1}{2}(abc-c)-(b-a)=\frac{1}{2}(abc-c-b+a).</math>             (52)
</center>
Порівняємо вирази (49) і (48). Маємо такі ж оцінки дія ал і вeC. Або іншим шляхом це можна показати. використовуючи останній стовпчик табл. 6:
<center>
<math>M({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}})=a-b-c+abc.</math>             (53)
</center>
Запишемо праву частину виразу (53) як
<center>
<math>\begin{align}
& a-b-c+abc=\frac{2}{N}(-1+a-b+ab-c+ac-bc+abc)+ \\
& +\frac{2}{N}(+1+a-b-ab-c-ac+bc+abc) \\
& \\
\end{align}</math>            
</center>
при N = А, або, враховуючи вирази (45) і (46), як
<center>
<math>a-b-c+abc={{\alpha }^{A}}+{{\alpha }^{BC}}.</math>             (54)
</center>
Об'єднавши вирази (53) і (54), отримуємо
<center>
<math>M({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}})={{\alpha }^{A}}+{{\alpha }^{BC}}.</math>            
</center>
Із дробового факторного експерименту в цьому прикладі випливає, що мають місце однакові значення для головного ефекту фактора А та ефекту взаємодії факторій В і С. Не так звані змішані ефекти або ефекти, що оцінюються спільно. Якщо ефект взаємодії дорівнює нулю, значення виразу (у2 – y3 – y5 +y8) буде незміщеною оцінкою αA головного ефекту фактора А.
Таким чином, для побудови плану 2k відкидаємо ті рядки з повного факторного експерименту, що мають значення +1 дія деякого ефекту. Це так звані напіврепліки, тобто тут використовується половина повного факторного експерименту. Аналогічно, для другої напіврепліки необхідно відкинути ті рядки, які мають значення -1 для деякого ефекту.
При великій кількості факторів k навіть напіврепліки (тобто плани 2k-1) можуть виявитись занадто громіздкими. У цих планах деякі ефекти взаємодії високого порядку можна прирівняти до нуля, та взяти меншу частину від повного факторного експерименту. Репліки, що становлять (1/2)p частину повного факторного плану з k факторами, називають планом типу 2k-p
Плани можна застосовувати послідовно, тобто спочатку одержати спостереження для одних комбінацій рівнів факторів, потім для інших і після аналізу цих спостережень вирішити, для якої комбінації (старої або нової) слід провести додаткові спостереження. Нові спостереження знову аналізуються (звичайно разом з попередніми) для ухвалення рішення про подальші спостереження і т. д У планах 2k-p можна спочатку провести частину експерименту, проаналізувати спостереження, і якщо цей аналіз покаже, то дана частина експерименту занадто мала для оцінки всіх можливих ефектів, експеримент розширюють таким чином, щоб він дав змогу оцінити вплив усіх факторів.

=Висновки=

#Для будь-якого експерименту з моделлю має існувати можливість його повторного проведення іншими дослідниками.
#Вихідні дані імітаційних експериментів потрібно структурувати та інтерпретувати таким чином, щоб їх можна було використовувати для прийняття рішень стосовно структури і параметрів системи або моделі.
#Планування експерименту це розробка такого плану проведення експерименту. який дає можливість за мінімальну кількість прогонів моделі і за мінімальних затрат ресурсів зробити статистично значущі висновки або знайти найкращі рішення щодо функціонування системи.
#Імітаційне моделювання провадиться, як правило, з метою визначення деяких екстремальних значень характеристик модельованої системи (оптимізуючий експеримент) або для виявлення важливих факторів, що впливають на модельовану систему (висівний експеримент)
#Оцінювання точності результатів моделювання пов'язане з побудовою довірчих інтервалів для вихідних змінних (відгуків) моделі.
#Застосування методів зниження дисперсії дає змогу при заданому обсязі вибірки збільшити точність оцінювання відгуку або при заданій точності скоротити обсяг вибірки.
#Під час моделювання рідких подій застосовують імітаційно-аналігичні моделі, основою яких є імітація повільних процесів та згортання швидких процесів завдяки укрупненням станів системи та усередненням її характеристик.

=Список використаних джерел=

#Моделювання систем - Томашевский В.М.:BHV, 2005. – 352с.
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
#Теория эксперимента: Курс лекций. - А, В. Блохин. - Мн.: БГУ, 2002. - 67 с.

{{Завдання:Виступ|Залецький Михайло|17 лютого 2010|Регресійні моделі при повному дворівневий дробовому факторному експерименті. Визначення коефіцієнтів регресії}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Проведення експерименту

2012-03-05T16:22:13Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Наталя | Surname=Трушик | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/378 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Загальне поняття експерименту =
Є декілька визначень поняттю експеримент[2]:
#Спроба, дослід, які потребують підтвердження чи спростування.
#Форма пізнання об'єктивної дійсності, один з основних методів наукового дослідження, в якому вивчення явищ відбувається в доцільно вибраних або штучно створених умовах, що забезпечують появу тих процесів, спостереження яких необхідне для встановлення закономірних зв'язків між явищами.

=Види експериментів[5]=
#За галузями наук:
#*фізичні;
#*хімічні;
#*психологічні і т.д.
#За способом формування умов досліду:
#*природні умови;
#*штучні умови.
#За метою досліджень:
#*констатуючі;
#*пошукові;
#*вирішальні.
#За організацією та місцем виконання:
#*польові;
#*виробничі;
#*лабораторні.
#За характером впливу на об’єкт дослідження:
#*інформаційні;
#*енергетичні;
#*матеріальні.
#За типом моделей, що вивчаються під час досліду:
#*матеріальні;
#*уявні (віртуальні).
#За числом факторів, які контролюються:
#*однофакторні;
#*багатофакторні.
#За можливістю впливу на умови проведення експерименту:
#*активні;
#*пасивні.
#За реалізацією всіх можливих поєднань рівнів факторів:
#*повні факторні;
#*дробові факторні.

=Проведення експерименту=

Для проведення експерименту необхідно створити певні умови. Сукупність умов, в яких відбувається експеримент, має назву експериментальної ситуації. Експериментальна ситуація має гарантувати, що саме досліджуваний у цьому експерименті чинник, а не будь-який інший, є причиною зафіксованих у ході експерименту змін в об'єкті.

Експеримент ґрунтується на розробці певної гіпотетичної моделі розглядуваного явища. На підставі цієї моделі явище описують як систему змінних, серед яких виокремлюють незалежні та залежні змінні. Незалежна змінна – це той новий чинник, що його вводять у діяльність експериментальної групи. Він повинен мати такі якості, як усталеність, самостійність, можливість справляти вплив на стан об'єкта дослідження. Залежною змінною називають такий чинник, який змінюється під впливом незалежної змінної.

Головним дослідницьким документом при проведенні експерименту є його протокол(журнал). У ньому зазначають найменування теми експериментального дослідження й час його проведення.

Спочатку аналізується обстановка до введення експериментального чинника.

У протоколі має бути відзначено, які показники виокремлені як незалежні та залежні змінні, а також за допомоги яких процедур фіксуються дані щодо всіх контрольованих змінних. Далі фіксуються початок дії експериментального чинника та те, як власне вплинула експериментальна ситуація на поведінку всієї системи

==Основні етапи проведення експерименту[3]==

#Висування експериментальної гіпотези. Експериментальна гіпотеза, на відміну від теоретичної, повинна бути сформульована у вигляді висловлення: «Якщо... те...». Крім того, вона повинна бути конкретизована. Це означає, що вхідні у висловлення «якщо А, то В» змінні А і В повинні контролюватися в експерименті: А – управлятися експериментатором, а В – реєструватися безпосередньо або за допомогою апаратури.
#Планування проведення експерименту. Планується час і місце проведення експерименту, вибирається експериментатор, складаються інструкції.
#Підготовка експерименту. Дослідник готує експериментальне помешкання й устаткування. Дослідник повинен вибрати експериментальний інструмент, що дозволяв би йому:
#*управляти незалежною перемінною;
#*реєструвати залежну перемінну.
#:Крім того, умови експерименту (помешкання, ситуація, час і ін.) повинні або повторювати вплив зовнішніх змінних, або зберігати константність розміру їхнього впливу на залежну змінну. Якщо це необхідно, проводиться декілька спробних дослідів для налагодження процедури експерименту.
#Проведення експерименту. Експериментатор повинен чітко знати і дотримуватись порядку дій у ході дослідження (перед експериментатором можуть лежати інструкція, у якій зафіксований цей порядок) В експерименті може брати участь і асистент. Він бере на себе допоміжні задачі. Частіше усього саме асистент веде протокол. Експеримент у залежності від цілей дослідження може бути частково або цілком автоматизованим.
#Статистична обробка експериментальних даних. Після проведення експерименту отримані в результаті дослідження дані опрацьовуються статистично. Звичайно методи опрацювання даних вибираються на стадії планування експерименту або ж ще раніше – при висуванні експериментальної гіпотези.
#Висновки й інтерпретація результатів. Цей етап є завершальним у дослідницькому циклі. Результатом експериментального дослідження є підтвердження або спростування експериментальної гіпотези.

=Анкета для збору апріорної інформації=

При підготовці до проведення експерименту необхідно вияснити ряд питань, від яких в певній мірі залежить успішність досягнення поставленої задачі. З цією метою складають анкету для збору апріорної інформації та ведуть журнал(протокол) експерименту по якому потім даний експеримент можна відтворити[1].

Туди включають наступні пункти:
#Короткий опис процесу, об’єкту.
#Формулювання цілі(мети) дослідження
#Список параметрів, що фіксуються в ході досліджень. Для цього можна використати наступну таблицю[4].

<table width="700px" border="1">
<tr>
<th scope="col">№ параметра </th>
<th scope="col">Назва </th>
<th scope="col">Розмірність </th>
<th scope="col">Точність </th>
<th scope="col">Примітка </th>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
</tr>
</table>

#Список факторів:
#*всіх “запідозрюваних” факторів, що впливають на досліджуваний об’єкт;
#*факторів, включених в даний експеримент.

Потрібно зазначити, чи існує можливість встановлення факторів на будь-якому заданому рівні, чи не змінюється їх значення під час проведення експерименту, чи не можуть деякі комбінації факторів привести до зупинки процесу(напр. Вибух, не технологічність і т.д.)

Список цих факторів можна оформити в вигляді наступної таблиці[4].

<table width="90%" border="1">
<tr>
<th scope="col">№ параметра </th>
<th scope="col">Назва </th>
<th scope="col">Розмірність </th>
<th scope="col">Точність </th>
<th scope="col">К-сть рівнів </th>
<th scope="col">Інтервал варювання </th>
<th scope="col">Перший рівень </th>
<th scope="col">К-сть паралельних дослідів </th>
<th scope="col">Примітка </th>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
</tr>
</table>

#Бажана кількість експериментів, час проведення одного експерименту та дослідження взагалі.
#Вартість і затрати праці при проведенні одного досліду.
#Можливість проведення паралельних дослідів і вимірів.
#Бажана стратегія проведення дослідів(наприклад, по одному в день)
#Результати проведення досліджень

Результати досліджень слід оформляти в спеціальних таблицях(матрицях планування).

Якщо для фіксованих рівнів факторів проводиться багато паралельних дослідів, тобто коли в кожній окремій комірці з номером (i,j) необхідно розмістити багато експериментальних даних, всю таблицю можна розбити на певні частини, в кожній з яких фіксуються експериментальні дані, коли, наприклад, міняється один фактор, а другий фіксований на певному рівні. Більше того, оформити окремо можна і кожну комірку, в якій крім результатів вимірювань може бути включена додаткова інформація: дата проведення окремих досліджень; час цих досліджень; безпосередньо результати досліджень і т.д.

Акуратно оформлена таблиця дозволяє економити час при вводі даних в ЕОМ, проводити відповідний аналіз даних та інше.

Журнал оформляють наперед в відповідності до методики і плану дослідження так, щоб був зрозумілим порядок дій. Першу сторінку можна присвятити вибору цілі дослідження і параметрам оптимізації, з вказанням їх розмірностей. Бажано перечислити всі параметри, котрі можуть служити характеристиками процесу і вказати, який між ними існує зв’язок. На другій сторінці перечисляють фактори і розміщують таблицю рівнів факторів, інтервалів їх варіювання та розмірностей. Для матриці планування доцільно виділити розгортку журналу, щоб мати можливість в разі потреби доповнити її додатковими стовпцями, записати повторні дослідження, примітки. При складанні робочої матриці планування також необхідно виділити місце для стовпців, в яких відмічаються дати проведення дослідів і прізвища лаборантів, котрі ці досліди проводять(в випадку, коли експеримент проводять декілька людей). Окремі сторінки потрібно виділити для підрахунків, які необхідні для виявлення кількості всіх компонентів досліду, а також для аналізу результатів експерименту. Вкінці відводиться місце для висвітлення висновків експерименту.

=Список використаних джерел=

#Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановський Планирование експеримента при поиске оптимальних условий, М.,«Наука», 1976
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Експеримент (січень 2010)
#http://refsmarket.org.ua/viewfree_4_10412.html (січень 2010)
#Методичні вказівки до проведення лабораторної роботи №1 «Постановка експерименту по дослідженню залежності функціонального стану людини від дії факторів у вигляді фізичного навантаження». Укладач М.В.Приймак. Тернопіль ТДТУ 2003
#http://www.leneyka.ru/2009/01/21/klasifikaciya-eksperimentiv.html (лютий 2010)

{{Завдання:Виступ|Nata|10 лютого 2010|Проведення експерименту. Анкета для збору даних}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Фактори експерименту

2012-03-05T16:17:09Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Євген | Surname=Олійник | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Планування експерименту =

Завдання, для вирішення яких може використовуватися планування експерименту, надзвичайно різноманітні. До них відносяться: пошук оптимальних умов,
побудова інтерполяційних формул, вибір істотних факторів, оцінка та уточнення констант теоретичних моделей, вибір найбільш прийнятних з деякої безлічі гіпотез про механізми явищ, дослідження діаграм склад - властивість і т.д.
Пошук оптимальних умов є одним з найбільш поширених науково - технічних завдань. Вони виникають в той момент, коли встановлена можливість проведення процесу і необхідно знайти найкращі (оптимальні) умови його реалізації.
Такі завдання називаються завданнями оптимізації. Процес їх рішення називається процесом оптимізації або просто оптимізацією. Вибір оптимального складу багатокомпонентних сумішей та сплавів, підвищення продуктивності діючих установок, підвищення якості продукції, зниження витрат на її отримання - ось приклади задач оптимізації.

= Фактори експерименту =
== Фактори - основа експерименту ==

Після вибору об'єкту дослідження і параметра оптимізації потрібно розглянути всі фактори, які можуть впливати на процес. Якщо який-небудь суттєвий фактор виявиться неврахованим і приймає довільні значення, не контрольовані експериментатором, то це значно збільшить похибку досліду. При підтримці цього фактору на певному рівні може бути отримане помилкове уявлення про оптимум, оскільки немає гарантії, що отриманий рівень є оптимальним.

З іншого боку велике число факторів збільшує число дослідів і розмірність факторного простору. Відомо, що число дослідів рівне

<math>N=P^K</math>,

де:
*N - число дослідів;
*р - число рівнів;
*K - число факторів. [4]

Отже, вибір факторів є вельми суттєвим, оскільки від цього залежить успіх оптимізації.

== Характеристика факторів ==
Фактором називається вимірювана змінна величина, що приймає в деякий момент часу певне значення і що впливає на об'єкт дослідження.

Фактори повинні мати область визначення, усередині якої задаються його конкретні значення. Область визначення може бути безперервною або дискретною. При плануванні експерименту значення факторів приймаються дискретними, що пов'язане з рівнями факторів. У практичних завданнях області визначення факторів мають обмеження, які носять або принциповий, або технічний характер.

Фактори розділяються на кількісні і якісні.

До кількісних відносяться ті Фактори, які можна вимірювати, зважувати і так далі.

Якісні Фактори - це різні речовини, технологічні процеси, прилади, виконавці і тому подібне.

Хоча до якісних факторів не застосовується числова шкала, але при плануванні експерименту до них застосовують умовну порядкову шкалу відповідно до рівнів, тобто проводиться кодування. Порядок рівнів тут довільний, але після кодування він фіксується.

== Вимоги до факторів ==

Фактори повинні бути керованими, це означає, що вибране потрібне значення фактора можна підтримувати постійним протягом всього досліду. Планувати експеримент можна тільки в тому випадку, якщо рівні факторів підкоряються волі експериментатора.

<table width="90%" border="1">
<caption>
Наприклад, вирощування сільськогосподарських культур залежить від ряду факторів.
</caption>
<tr>
<th scope="col">Назва фактору </th>
<th scope="col">Вид фактору </th>
<th scope="col">Характеристика </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Щільність посіву </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>Від щільності посіву залежить врожайність, щільність має свої оптимальні значення. Так коли щільність буде за малою, то більша кількість опадів, буде просто випаровуватись, від чого страждатимуть рослини. При надто щільному посіві рослини не отримуватимуть потрібну кількість сонячних променів. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Використання мінеральних добрив </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>При використанні мінеральних добрив, слід враховувати їх характеристики, при надмірному використанні добрив, вони спалюють кореневу систему рослин, що зменшує врожайність. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Обробіток </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>Фактор який впливає на врожайність, коли він буде недостатнім, то корисну культуру витіснять інші не корисні рослини. Це мабуть єдиний фактор який не має верхньої межі. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Вид культури </th>
<td>Контр. якісний </td>
<td>Звісно людина сама вибирає яку культуру їй садити, таким чином усі фактори для отримання найкращого результату врожайності для різних культур матимуть різні значення. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Дата посіву </th>
<td>Контр. якісний </td>
<td>Певні культури необхідно садити в певні часові проміжки часу задля отримання максимальної врожайності (озима пшениця) </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість опадів </th>
<td>Не контр. кількісний </td>
<td>На ці фактори людина ніяк не може вплинути, тому його не можна враховувати в експериментах. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість сонячних днів </th>
<td>Не контр. кількісний </td>
<td>На ці фактори людина ніяк не може вплинути, тому його не можна враховувати в експериментах. </td>
</tr>
</table>

Щоб точно визначити фактор, потрібно вказати послідовність дій (операцій), за допомогою яких встановлюються його конкретні значення. Таке визначення називається операційним. Так, якщо фактором є тиск в деякому апараті, то абсолютно необхідно вказати, в якій точці і за допомогою якого приладу він вимірюється і як він встановлюється. Введення операційного визначення забезпечує однозначне розуміння фактору.

Точність вимірів факторів повинна бути максимально високою. Ступінь точності визначається діапазоном зміни факторів. У тривалих процесах, вимірюваних багатьма годинами, хвилини можна не враховувати, а в швидких процесах доводиться враховувати долі секунди.

Дослідження суттєво ускладнюється, якщо фактор вимірюється з великою помилкою або значення факторів важко підтримувати на вибраному рівні (рівень фактора «пливе»), то доводиться застосовувати спеціальні методи дослідження, наприклад, конфлюентний аналіз [1, 2].

Фактори повинні бути однозначні. Важко управляти фактором, який є функцією інших факторів. Але в плануванні можуть брати участь інші фактори, такі, як співвідношення між компонентами, їх логарифми і тому подібне.

Необхідність введення складних факторів виникає за бажання представити динамічні особливості об'єкту в статичній формі.

Наприклад, потрібно знайти оптимальний режим підйому температури в реакторі. Якщо щодо температури відомо, що вона повинна наростати лінійно, то як Фактор замість функції (в даному випадку лінійної) можна використовувати тангенс кута нахилу, тобто градієнт.

[[Файл:Xy.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення режиму підйому температури в реакторі]]

<center>Рис.1 - Режими підйому температури в реакторі</center>

При плануванні експерименту одночасно оцінюють декілька факторів, тому необхідно знати вимоги до сукупності факторів. Перш за все висувається вимога сумісності. Сумісність факторів означає, що всі їх комбінації здійсненні і безпечні.

[[Файл:F1.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення cумісності факторних просторів.]]

<center>Рис.2 - Схематичне зображення cумісності факторних просторів</center>

Несумісність факторів спостерігається на межах областей їх визначення. Позбавитися від неї можна скороченням областей. Ситуація ускладнюється, якщо несумісність виявляється усередині областей визначення. Одне з можливих рішень - розбиття на підобласті і вирішення двох окремих завдань.

При плануванні експерименту важлива незалежність факторів, тобто можливість встановлення фактора на будь-якому рівні незалежно від рівнів інших факторів. Якщо ця умова нездійсненна, то неможливо планувати експеримент.

== Вибір рівнів варіювання факторів і основного рівня ==

Фактор вважається заданим, якщо вказані його назва і область визначення. У вибраній області визначення він може мати декілька значень, які відповідають числу його різних станів. Вибрані для експерименту кількісні або якісні стани фактору носять назву рівнів фактору.

У плануванні експерименту значення факторів, відповідні певним рівням їх варіювання, виражають в кодованих величинах. Під інтервалом варіювання фактору мається на увазі різниця між двома його значеннями, прийнята за одиницю при кодуванні. [5]

<table width="90%" border="1">
<caption>
Фактори, що визначають оптимальні будинки для продажу:
</caption>
<tr>
<th scope="col">Фактор </th>
<th scope="col">Вид фактору </th>
<th scope="col">К-сть рівнів </th>
<th scope="col">Характеристика </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Наявність телефону </th>
<td>Якісний </td>
<td>2 </td>
<td>Телефон в квартирі або є або його немає. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Ремонт </th>
<td>Якісний </td>
<td>3 </td>
<td>Ремонт можна оцінити як відмінний, задовільний та незадовільний. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Відстань до центру міста </th>
<td>Кількісний </td>
<td>100 </td>
<td>Визначає відстань від даного будинку до центру міста із кроком 100 м. максимальна відстань до центру міста 10 км. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість кімнат </th>
<td>Кількісний </td>
<td>5 </td>
<td>1-кімн. 2-кімн. 3-кімн. 4-кімн. Більше 4 кімн. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Площа 1 кімн…. </th>
<td>Кількісний </td>
<td>Х </td>
<td>Відповідно визначається кількість рівнів і крок, верифікації. </td>
</tr>
</table>

При виборі області визначення факторів особливу увагу приділяють на вибір нульової точки, або нульового (основного) рівня. Вибір нульової точки еквівалентний визначенню початкового стану об'єкту дослідження. Оптимізація пов'язана з поліпшенням стану об'єкту в порівнянні з станом в нульовій точці. Тому бажано, щоб дана точка була в області оптимуму або якомога ближче до нього, тоді прискорюється пошук оптимальних рішень. [3]

У випадку лабораторної роботи №1 де фактором виступає кількість присідань і задається значеннями від 0 до 30 із кроком в 10 присідань, маємо: кількість рівнів 4 за нульовий рівень приймаємо рівень 3 – 20 присідань.

Якщо проведенню експерименту передували інші дослідження з даного питання, то за нульову береться така точка, якій відповідає найкраще значення параметра оптимізації, встановленого в результаті формалізації апріорної інформації. В цьому випадку нульовими рівнями факторів є значення останніх спостережень, поєднання яких відповідають координатам нульової точки.

Часто при постановці завдання область визначення факторів буває заданою, будучи локалізованою областю факторного простору. Тоді центр цієї області береться за нульову точку.

Припустимо, в деякому завданні фактор (температура) міг змінюватися від 140 до 180˚С. Природно, за нульовий рівень було прийнято середнє значення фактора, відповідно рівне 160˚С.

Після встановлення нульової точки вибирають інтервали варіювання факторів. Це пов'язано з визначенням таких значень факторів, які в кодованих величинах відповідають +1 і -1. Інтервали варіювання вибирають з урахуванням того, що значення факторів, відповідні рівням +1 і -1, повинні бути достатньо відмінні від значення, відповідному нульовому рівню. Тому у всіх випадках величина інтервалу варіювання повинна бути більше подвоєної квадратичної помилки фіксації даного фактору.

<math>I=2\cdot(\sum^{n}_{i=1} {p_i})^2</math>

де ''p''''i'' – величина закладеної ''i''-ї похибки.

З іншого боку, надмірне збільшення величини інтервалів варіювання небажано, оскільки це може привести до зниження ефективності пошуку оптимуму. А дуже малий інтервал варіювання зменшує область експерименту, що уповільнює пошук оптимуму.

При виборі інтервалу варіювання доцільно враховувати, якщо це можливо, число рівнів варіювання факторів в області експерименту. Від числа рівнів залежать об'єм експерименту і ефективність оптимізації.

У загальному вигляді залежність числа дослідів від числа рівнів факторів має вигляд:

<math>N=P^K</math>,

де:
*N - число дослідів;
*р - число рівнів;
*K - число факторів. [4]

Мінімальне число рівнів, що зазвичай використовують на першій стадії роботи, рівне 2. Це верхній і нижній рівні, що позначаються в кодованих координатах через +1 і -1. Варіювання факторів на двох рівнях використовується у відсіваючих експериментах, на стадії руху в область оптимуму і при описі об'єкту дослідження лінійними моделями. Але таке число рівнів недостатньо для побудови моделей другого порядку (адже фактор приймає тільки два значення, а через дві точки можна провести безліч ліній різної кривизни).

[[Файл:v1.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення пошуку оптимуму, методом відсіювання.]]

<center>Рис.3 - Схематичне зображення пошуку оптимуму, методом відсіювання.</center>

Із збільшенням числа рівнів підвищується чутливість експерименту, але одночасно зростає число дослідів. При побудові моделей другого порядку необхідні 3, 4 або 5 рівнів, причому тут наявність непарних рівнів указує на проведення дослідів в нульових (основних) рівнях.

У кожному окремому випадку число рівнів вибирають з урахуванням умов завдання і передбачуваних методів планування експерименту.

[[Файл:v2.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення пошуку оптимуму, інших порядків.]]

<center>Рис.4 - Схематичне зображення пошуку оптимуму, інших порядків.</center>

Тут необхідно враховувати наявність якісних і дискретних факторів. У експериментах, пов'язаних з побудовою лінійних моделей, наявність цих факторів, як правило, не викликають додаткових труднощів. При плануванні другого порядку якісні Фактори не застосовні, оскільки вони не мають ясного фізичного сенсу для нульового рівня. Для дискретних факторів часто застосовують перетворення вимірювальних шкал, щоб забезпечити фіксацію значень факторів на всіх рівнях.

=Список використаних джерел=

#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).

{{Завдання:Виступ|Hotcoffe|27 січня 2010|Рівні факторів. Нульовий рівень. Інтервал варіювання фактору.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Фактори експерименту

2012-03-05T16:16:48Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Студент | Name=Євген | Surname=Олійник | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Планування експерименту =

Завдання, для вирішення яких може використовуватися планування експерименту, надзвичайно різноманітні. До них відносяться: пошук оптимальних умов,
побудова інтерполяційних формул, вибір істотних факторів, оцінка та уточнення констант теоретичних моделей, вибір найбільш прийнятних з деякої безлічі гіпотез про механізми явищ, дослідження діаграм склад - властивість і т.д.
Пошук оптимальних умов є одним з найбільш поширених науково - технічних завдань. Вони виникають в той момент, коли встановлена можливість проведення процесу і необхідно знайти найкращі (оптимальні) умови його реалізації.
Такі завдання називаються завданнями оптимізації. Процес їх рішення називається процесом оптимізації або просто оптимізацією. Вибір оптимального складу багатокомпонентних сумішей та сплавів, підвищення продуктивності діючих установок, підвищення якості продукції, зниження витрат на її отримання - ось приклади задач оптимізації.

= Фактори експерименту =
== Фактори - основа експерименту ==

Після вибору об'єкту дослідження і параметра оптимізації потрібно розглянути всі фактори, які можуть впливати на процес. Якщо який-небудь суттєвий фактор виявиться неврахованим і приймає довільні значення, не контрольовані експериментатором, то це значно збільшить похибку досліду. При підтримці цього фактору на певному рівні може бути отримане помилкове уявлення про оптимум, оскільки немає гарантії, що отриманий рівень є оптимальним.

З іншого боку велике число факторів збільшує число дослідів і розмірність факторного простору. Відомо, що число дослідів рівне

<math>N=P^K</math>,

де:
*N - число дослідів;
*р - число рівнів;
*K - число факторів. [4]

Отже, вибір факторів є вельми суттєвим, оскільки від цього залежить успіх оптимізації.

== Характеристика факторів ==
Фактором називається вимірювана змінна величина, що приймає в деякий момент часу певне значення і що впливає на об'єкт дослідження.

Фактори повинні мати область визначення, усередині якої задаються його конкретні значення. Область визначення може бути безперервною або дискретною. При плануванні експерименту значення факторів приймаються дискретними, що пов'язане з рівнями факторів. У практичних завданнях області визначення факторів мають обмеження, які носять або принциповий, або технічний характер.

Фактори розділяються на кількісні і якісні.

До кількісних відносяться ті Фактори, які можна вимірювати, зважувати і так далі.

Якісні Фактори - це різні речовини, технологічні процеси, прилади, виконавці і тому подібне.

Хоча до якісних факторів не застосовується числова шкала, але при плануванні експерименту до них застосовують умовну порядкову шкалу відповідно до рівнів, тобто проводиться кодування. Порядок рівнів тут довільний, але після кодування він фіксується.

== Вимоги до факторів ==

Фактори повинні бути керованими, це означає, що вибране потрібне значення фактора можна підтримувати постійним протягом всього досліду. Планувати експеримент можна тільки в тому випадку, якщо рівні факторів підкоряються волі експериментатора.

<table width="90%" border="1">
<caption>
Наприклад, вирощування сільськогосподарських культур залежить від ряду факторів.
</caption>
<tr>
<th scope="col">Назва фактору </th>
<th scope="col">Вид фактору </th>
<th scope="col">Характеристика </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Щільність посіву </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>Від щільності посіву залежить врожайність, щільність має свої оптимальні значення. Так коли щільність буде за малою, то більша кількість опадів, буде просто випаровуватись, від чого страждатимуть рослини. При надто щільному посіві рослини не отримуватимуть потрібну кількість сонячних променів. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Використання мінеральних добрив </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>При використанні мінеральних добрив, слід враховувати їх характеристики, при надмірному використанні добрив, вони спалюють кореневу систему рослин, що зменшує врожайність. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Обробіток </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>Фактор який впливає на врожайність, коли він буде недостатнім, то корисну культуру витіснять інші не корисні рослини. Це мабуть єдиний фактор який не має верхньої межі. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Вид культури </th>
<td>Контр. якісний </td>
<td>Звісно людина сама вибирає яку культуру їй садити, таким чином усі фактори для отримання найкращого результату врожайності для різних культур матимуть різні значення. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Дата посіву </th>
<td>Контр. якісний </td>
<td>Певні культури необхідно садити в певні часові проміжки часу задля отримання максимальної врожайності (озима пшениця) </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість опадів </th>
<td>Не контр. кількісний </td>
<td>На ці фактори людина ніяк не може вплинути, тому його не можна враховувати в експериментах. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість сонячних днів </th>
<td>Не контр. кількісний </td>
<td>На ці фактори людина ніяк не може вплинути, тому його не можна враховувати в експериментах. </td>
</tr>
</table>

Щоб точно визначити фактор, потрібно вказати послідовність дій (операцій), за допомогою яких встановлюються його конкретні значення. Таке визначення називається операційним. Так, якщо фактором є тиск в деякому апараті, то абсолютно необхідно вказати, в якій точці і за допомогою якого приладу він вимірюється і як він встановлюється. Введення операційного визначення забезпечує однозначне розуміння фактору.

Точність вимірів факторів повинна бути максимально високою. Ступінь точності визначається діапазоном зміни факторів. У тривалих процесах, вимірюваних багатьма годинами, хвилини можна не враховувати, а в швидких процесах доводиться враховувати долі секунди.

Дослідження суттєво ускладнюється, якщо фактор вимірюється з великою помилкою або значення факторів важко підтримувати на вибраному рівні (рівень фактора «пливе»), то доводиться застосовувати спеціальні методи дослідження, наприклад, конфлюентний аналіз [1, 2].

Фактори повинні бути однозначні. Важко управляти фактором, який є функцією інших факторів. Але в плануванні можуть брати участь інші фактори, такі, як співвідношення між компонентами, їх логарифми і тому подібне.

Необхідність введення складних факторів виникає за бажання представити динамічні особливості об'єкту в статичній формі.

Наприклад, потрібно знайти оптимальний режим підйому температури в реакторі. Якщо щодо температури відомо, що вона повинна наростати лінійно, то як Фактор замість функції (в даному випадку лінійної) можна використовувати тангенс кута нахилу, тобто градієнт.

[[Файл:Xy.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення режиму підйому температури в реакторі]]

<center>Рис.1 - Режими підйому температури в реакторі</center>

При плануванні експерименту одночасно оцінюють декілька факторів, тому необхідно знати вимоги до сукупності факторів. Перш за все висувається вимога сумісності. Сумісність факторів означає, що всі їх комбінації здійсненні і безпечні.

[[Файл:F1.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення cумісності факторних просторів.]]

<center>Рис.2 - Схематичне зображення cумісності факторних просторів</center>

Несумісність факторів спостерігається на межах областей їх визначення. Позбавитися від неї можна скороченням областей. Ситуація ускладнюється, якщо несумісність виявляється усередині областей визначення. Одне з можливих рішень - розбиття на підобласті і вирішення двох окремих завдань.

При плануванні експерименту важлива незалежність факторів, тобто можливість встановлення фактора на будь-якому рівні незалежно від рівнів інших факторів. Якщо ця умова нездійсненна, то неможливо планувати експеримент.

== Вибір рівнів варіювання факторів і основного рівня ==

Фактор вважається заданим, якщо вказані його назва і область визначення. У вибраній області визначення він може мати декілька значень, які відповідають числу його різних станів. Вибрані для експерименту кількісні або якісні стани фактору носять назву рівнів фактору.

У плануванні експерименту значення факторів, відповідні певним рівням їх варіювання, виражають в кодованих величинах. Під інтервалом варіювання фактору мається на увазі різниця між двома його значеннями, прийнята за одиницю при кодуванні. [5]

<table width="90%" border="1">
<caption>
Фактори, що визначають оптимальні будинки для продажу:
</caption>
<tr>
<th scope="col">Фактор </th>
<th scope="col">Вид фактору </th>
<th scope="col">К-сть рівнів </th>
<th scope="col">Характеристика </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Наявність телефону </th>
<td>Якісний </td>
<td>2 </td>
<td>Телефон в квартирі або є або його немає. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Ремонт </th>
<td>Якісний </td>
<td>3 </td>
<td>Ремонт можна оцінити як відмінний, задовільний та незадовільний. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Відстань до центру міста </th>
<td>Кількісний </td>
<td>100 </td>
<td>Визначає відстань від даного будинку до центру міста із кроком 100 м. максимальна відстань до центру міста 10 км. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість кімнат </th>
<td>Кількісний </td>
<td>5 </td>
<td>1-кімн. 2-кімн. 3-кімн. 4-кімн. Більше 4 кімн. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Площа 1 кімн…. </th>
<td>Кількісний </td>
<td>Х </td>
<td>Відповідно визначається кількість рівнів і крок, верифікації. </td>
</tr>
</table>

При виборі області визначення факторів особливу увагу приділяють на вибір нульової точки, або нульового (основного) рівня. Вибір нульової точки еквівалентний визначенню початкового стану об'єкту дослідження. Оптимізація пов'язана з поліпшенням стану об'єкту в порівнянні з станом в нульовій точці. Тому бажано, щоб дана точка була в області оптимуму або якомога ближче до нього, тоді прискорюється пошук оптимальних рішень. [3]

У випадку лабораторної роботи №1 де фактором виступає кількість присідань і задається значеннями від 0 до 30 із кроком в 10 присідань, маємо: кількість рівнів 4 за нульовий рівень приймаємо рівень 3 – 20 присідань.

Якщо проведенню експерименту передували інші дослідження з даного питання, то за нульову береться така точка, якій відповідає найкраще значення параметра оптимізації, встановленого в результаті формалізації апріорної інформації. В цьому випадку нульовими рівнями факторів є значення останніх спостережень, поєднання яких відповідають координатам нульової точки.

Часто при постановці завдання область визначення факторів буває заданою, будучи локалізованою областю факторного простору. Тоді центр цієї області береться за нульову точку.

Припустимо, в деякому завданні фактор (температура) міг змінюватися від 140 до 180˚С. Природно, за нульовий рівень було прийнято середнє значення фактора, відповідно рівне 160˚С.

Після встановлення нульової точки вибирають інтервали варіювання факторів. Це пов'язано з визначенням таких значень факторів, які в кодованих величинах відповідають +1 і -1. Інтервали варіювання вибирають з урахуванням того, що значення факторів, відповідні рівням +1 і -1, повинні бути достатньо відмінні від значення, відповідному нульовому рівню. Тому у всіх випадках величина інтервалу варіювання повинна бути більше подвоєної квадратичної помилки фіксації даного фактору.

<math>I=2\cdot(\sum^{n}_{i=1} {p_i})^2</math>

де ''p''''i'' – величина закладеної ''i''-ї похибки.

З іншого боку, надмірне збільшення величини інтервалів варіювання небажано, оскільки це може привести до зниження ефективності пошуку оптимуму. А дуже малий інтервал варіювання зменшує область експерименту, що уповільнює пошук оптимуму.

При виборі інтервалу варіювання доцільно враховувати, якщо це можливо, число рівнів варіювання факторів в області експерименту. Від числа рівнів залежать об'єм експерименту і ефективність оптимізації.

У загальному вигляді залежність числа дослідів від числа рівнів факторів має вигляд:

<math>N=P^K</math>,

де:
*N - число дослідів;
*р - число рівнів;
*K - число факторів. [4]

Мінімальне число рівнів, що зазвичай використовують на першій стадії роботи, рівне 2. Це верхній і нижній рівні, що позначаються в кодованих координатах через +1 і -1. Варіювання факторів на двох рівнях використовується у відсіваючих експериментах, на стадії руху в область оптимуму і при описі об'єкту дослідження лінійними моделями. Але таке число рівнів недостатньо для побудови моделей другого порядку (адже фактор приймає тільки два значення, а через дві точки можна провести безліч ліній різної кривизни).

[[Файл:v1.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення пошуку оптимуму, методом відсіювання.]]

<center>Рис.3 - Схематичне зображення пошуку оптимуму, методом відсіювання.</center>

Із збільшенням числа рівнів підвищується чутливість експерименту, але одночасно зростає число дослідів. При побудові моделей другого порядку необхідні 3, 4 або 5 рівнів, причому тут наявність непарних рівнів указує на проведення дослідів в нульових (основних) рівнях.

У кожному окремому випадку число рівнів вибирають з урахуванням умов завдання і передбачуваних методів планування експерименту.

[[Файл:v2.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення пошуку оптимуму, інших порядків.]]

<center>Рис.4 - Схематичне зображення пошуку оптимуму, інших порядків.</center>

Тут необхідно враховувати наявність якісних і дискретних факторів. У експериментах, пов'язаних з побудовою лінійних моделей, наявність цих факторів, як правило, не викликають додаткових труднощів. При плануванні другого порядку якісні Фактори не застосовні, оскільки вони не мають ясного фізичного сенсу для нульового рівня. Для дискретних факторів часто застосовують перетворення вимірювальних шкал, щоб забезпечити фіксацію значень факторів на всіх рівнях.

=Список використаних джерел=

#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).

{{Завдання:Виступ|Hotcoffe|27 січня 2010|Рівні факторів. Нульовий рівень. Інтервал варіювання фактору.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Історія та роль Роналда Фішера та планування експерименту

2012-03-05T16:15:07Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
<center>
{|
|-
|{{Стаття Вікі| article=[http://uk.wikipedia.org/wiki/Рональд_Фішер Рональд Фішер] }} || {{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/413 Історія та роль Р.Фішера а планування експерименту]}}
|}
</center>
{{Студент | Name=П. | Surname=Сарбун | FatherNAme=П. |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
'''''Планування експерименту ''''' (англ. experimental design techniques) - комплекс заходів, спрямованих на ефективну постановку дослідів. Основна мета планування експерименту - досягнення максимальної точності вимірювань при мінімальній кількості проведених дослідів і збереженні статистичної достовірності результатів.

== Історія винекнення дисципліни ==

Планування експерименту виникло в 20-х роках XX століття з потреби усунути або хоча б зменшити систематичні помилки в сільськогосподарських дослідженнях шляхом рандомізації умов проведення експерименту. Процедура планування виявилася спрямована не тільки на зменшення дисперсії оцінюваних параметрів, але також і на рандомізації щодо супутніх, спонтанно змінюються і неконтрольованих змінних. У результаті вдалося позбутися від зсуву в оцінках. З 1918 р. Р. Фішер почав свою відому серію робіт на Рочемстедской агробіологічний станції в Англії. У 1935 році з'явилася його монографія «Design of Experiments», що дала назву всьому напрямку.

У 1942 році А. Кишен розглянув планування експерименту з латинським кубів, яке стало подальшим розвитком теорії латинських квадратів. Потім Р. Фішер незалежно опублікував відомості про ортогональних гіпер-греко-латинських кубах і гіпер-кубах. Незабаром після цього в 1946 р. Р. Рао розглянув їх комбінаторні властивості. Подальшому розвитку теорії латинських квадратів присвячені роботи Х. Манна (1947 - 1950 рр..). Перше глибоке математичне дослідження блок-схеми виконано Р. Боуз в 1939 р. Спочатку була розроблена теорія збалансованих неполноблочних планів. Потім Р. Боуз, К. Нер і Р. Рао узагальнили ці плани і розробили теорію частково збалансованих неполноблочних планів. З тих пір вивчення блок-схем приділяється велика увага як з боку фахівців з планування експерименту (Ф. Йетс, Г. Кокс, В. Кохрен, В. Федерер, К. Гульден, О. Кемптгорн та інші), так і з боку фахівців за комбінаторним аналізу (Боуз, Ф. Шімамото, В. Клатсворсі, С. Шрікханде, А. Гофман та ін.)

Дослідження Р. Фішера знаменують початок першого етапу розвитку методів планування експерименту. Фішер розробив метод факторного планування. Також запропонував для цього методу просту обчислювальну схему. Факторний планування набуло широкого розповсюдження. Особливістю факторного експерименту є необхідність ставити відразу велику кількість дослідів. У 1945 р. Д. Фінні ввів дробові репліки від факторного експерименту. Це дозволило скоротити число дослідів і відкрило дорогу технічних програм планування. Інша можливість скорочення необхідного числа дослідів була показана в 1946 р. Р. Плакеттом і Д. Берманом, які ввели насичені факторні плани. Г. Хотеллінг в 1941 р. запропонував знаходити екстремум за експериментальними даними з використанням статечних розкладів і градієнта. Наступним важливим етапом було введення принципу послідовного крокової експериментування. Цей принцип, висловлений в 1947 р. М. Фрідманом і Л. Севіджем, дозволив поширити на експериментальне визначення екстремуму - ітерацію.Щоб побудувати сучасну теорію планування експерименту, не вистачало однієї ланки - формалізації об'єкта дослідження. Ця ланка з'явилося в 1947 р. після створення Н. Вінером теорії кібернетики. Кібернетичному поняття «чорний ящик», грає в плануванні важливу роль. У 1951 р. роботою американських вчених Дж. Боксу і К. Вілсона почався новий етап розвитку планування експерименту. У ній сформульована і доведена до практичних рекомендацій ідея послідовного експериментального визначення оптимальних умов проведення процесів з використанням оцінки коефіцієнтів статечних розкладів методом найменших квадратів, рух по градієнту і відшукання інтерполяційного полінома в області екстремуму функції відгуку (майже стаціонарної області).

У 1954 - 1955 рр.. ЛШ. Бокс, а потім П. Юл. показали, що планування експерименту можна використовувати при дослідженні фізико-хімічних процесів, якщо апріорі висловлені один або кілька можливих гіпотез. Напрямок отримав розвиток у роботах Н. П. Клепікова, С. Н. Соколова і В. В. Федорова у ядерній фізиці. Третій етап розвитку теорії планування експерименту почався в 1957 р., коли Бокс застосував свій метод у промисловості. Цей метод став називатися «еволюційним плануванням». У 1958 р. Г. Шиффа запропонував новий метод планування експерименту для вивчення фізико-хімічних діаграм склад - властивість під назвою «симплексної решітки». Розвиток теорії планування експерименту в СРСР відображено в роботах В. В. Налімова, Ю. П. Адлера, Ю. В. Грановського, Е. В. Марковой.[3]

== Біографія Рональда Ейлмера Фішера ==
Сер Рональд Ейлмер Фішер (англ. Sir Ronald Aylmer Fisher, 17 лютого 1890 — 29 липня 1962) — англійський статистик, біолог-еволюціоніст та генетик. Річард Докінз назвав його «найвеличнішим послідовником Дарвіна». Фішер народився в лондонському Іст-Фінчлі, в сім'ї Джорджа і Кеті Фішер. Його батько був успішним торговцем предметами витонченого мистецтва.

Дитинство його було щасливим, його обожнювали три старші сестри, старший брат і матір, яка померла, коли Рональду було 14. Його батько через 18 місяців збанкрутів, провівши декілька невдалих операцій. Хоча у Фішера був поганий зір, він був не по роках розвиненим учнем і у віці 16 років виграв «Neeld Medal» (конкурс з математики) в школі Харроу (лат. Harrow School). Унаслідок все того ж поганого зору, його навчали математиці без використання «паперу і пера», що розвинуло здатність уявляти завдання в термінах геометрії. Фішер був знаменитий умінням отримувати відповідь, опускаючи проміжні етапи. Він також виявляв сильну цікавість до біології, особливо, до еволюційного учення.

== Основи планування експерименту ==

Планування експерименту – процедура вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних та достатніх для вирішення задачі досліджень із заданою точністю. Розрізняють два підходи планування експерименту: класичний, при якому по черзі змінюється кожен фактор до визначення часткового максимуму при постійних значеннях інших факторів, статистичний, де одночасно змінюють багато факторів. При цьому суттєвим є: мінімізація числа дослідів; одночасне варіювання всіма параметрами; використання математичного апарата, який формалізує дії експериментатора; вибір чіткої стратегії, що дозволяє приймати обґрунтовані рішення після кожної серії експериментів. Загалом розрізняють такі експериментальні плани: дисперсного аналізу; відбору суттєвих факторів; багатофакторного аналізу; одержання поверхні відгуку; динамічних задач планування; вивчення механізмів явищ; побудови діаграм «склад — властивість», «склад — стан».

Початок плануванню експерименту поклали праці англійського математика Р. Фішера (1935), що довів перевагу використання на першому етапі досліджень факторного ортогонального планування експериментів, де варіюють тільки на двох рівнях. При цьому використання дробового факторного плану значно скорочує число необхідних експериментів. Англійськими хіміками Боксом і Вілсоном запропонований метод крутого сходження (рух по градієнту), що дозволяє найбільш коротким шляхом визначити координати екстремуму досліджуваного процесу. Для математичного опису екстремальної області застосовують різні методи планування експерименту, у основі яких лежить представлення екстремальної області поліномами другого порядку, що адекватно описують досліджуваний процес. До таких планів належить план Бокса — Бенкена — один з різновидів статистичних планів, які застосовуються при плануванні наукових і, особливо, промислових експериментів. Ці плани дозволяють отримувати максимальну кількість об’єктивної інформації про вплив чинників, що вивчаються, на виробничий процес за допомогою найменшого числа спостережень (дослідів). Вони належать до симетричних некомпозиційних трирівневих планів другого порядку і являють собою поєднання дворівневого (–1, +1) повного факторного експерименту з неповноблочним збалансованим планом. Область планування — гіперкуб, причому кожний з чинників приймає значення на трьох рівнях: –1, 0 і +1. Плани Бокса — Бенкена за рядом статистичних характеристик перевершують центрально-композиційні ортогональні і ротатабельні плани, що широко застосовуються в промисловому експерименті. Для вивчення промислового процесу застосовують еволюційні планування експерименту, де дослідник повинен весь час пристосовуватися до умов виробництва, що змінюються. Специфічним є планування з відсіванням експериментів. Сучасна теорія планування експерименту склалася у 1960-х роках. Її методи тісно пов’язані з теорією наближення функцій і математичним програмуванням. Розроблені оптимальні плани і досліджені їхні властивості для широкого класу моделей. Планування експерименту та обробка даних здійснюється за допомогою комп’ютерних програм: Windows з різними версіями Mathcad, Statistica, Axum7, Statgraphics Plus, Simulink і ін.

=== Основи планування експерименту за Рональдом Фішером ===
Методологія проектування експерименту була запропонована Рональдом А. Фішером у його інноваційній книзі «Планування експериментів» (1935). Для прикладу він описав, як перевірити гіпотезу про те, що певна жінка може лише на смак визначити, молоко чи чай було спочатку налито в чашку. Звучить легковажно, але це допомогло вченому проілюструвати найважливіші ідеї планування експерименту.

*''Порівняння''
У багатьох галузях досліджень важко точно відтворити результати вимірювань. Порівняння між умовами відтворити набагато легше і тому їм, як правило, надають перевагу. Часто порівняння проводять зі стандартними чи традиційними умовами, що виступають в якості базових.

*''Рандомізація''
Існує математична теорія, що вивчає наслідки роздроблення підрозділів одиниць за допомогою довільних механізмів, таких як таблиці випадкових чисел, або використання пристроїв рандомізації, таких як гральні карти або кості. При умові, що вибірка адекватна, ризики, пов'язані з випадковим розподілом (наприклад, відсутність репрезентативної вибірки в опитуванні, чи серйозний дисбаланс в ключових характеристиках між групами умов та групами контролю) можна обчислити і, отже, вони можуть бути знижені до прийнятного рівня. Довільний не означає безсистемний, тому необхідно забезпечити використання відповідних випадкових методів.

*''Реплікація ''
У вимірах зміни можуть відбуватися як при повторному вимірюванні, так і між реплікованими предметами або процесами. Багаторазові вимірювання реплікованих елементів необхідні для обчислення розміру похибки.

*''Блокування''
Блокування це організація експериментальних елементів в групи (блоки), які схожі один на одного. Блокування зменшує відомі, але безвідносні джерела відмінностей між підрозділами і тим самим сприяє більшій точності в оцінці джерела коливань, що досліджується.

*''Ортогональність''
Ортогональність стосується форм порівняння (контрасту), який може ефективно здійснюватися. Контрасти можуть бути представлені векторами і групи ортогональних контрастів некорельовані і незалежно розподілені, якщо дані відповідають нормі. Через цю незалежність кожна ортогональна умова надає решті іншу інформацію. Якщо є умова Т і Т - 1 ортогональні контрасти, то всю інформацію, яка може бути отримана в результаті проведення експерименту можна отримати з багатьох контрастів.

*''Факторіальні експерименти''
Використання факторіального експерименту замість факторів по одному. Вони є ефективними при оцінці наслідків і можливої взаємодії декількох факторів (незалежних змінних).
Аналіз планування експерименту був побудований на основі аналізу різниці, колекції моделей, в яких спостерігається різниця розділена на компоненти завдяки різним факторам, які оцінюються та / або тестуються.

== Зовнішні посилання ==
* [http://www.en.wikipedia.org/wiki/Design_of_experiments/ Стаття "Планування експерименту" на en.wikipedia.org]
* [http://www.digital.library.adelaide.edu.au/coll/special//fisher/ Біографія Фішера]
* [http://www.hss.cmu.edu/philosophy/seidenfeld/relating%20to%20Fisher/Fisher%20on%20Design.pdf Fisher on Design]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Фишер,_Рональд_Эйлмер Стаття про Фішера на ru.wikipedia.org]
* [http://www.rapidshare.com/files/189515782/The_Design_of_Experiments_By_Sir_Ronald_A._Fisher.rar The Design of Experiments By Sir Ronald A.Fisher]

{{Завдання:Виступ|Сарабун П.П.|20 січня 2010|Історія виникнення дисципліни "Теорія експерименту" і роль у цьому Фішера (1890-1960) - англійського статистика і генетика }}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Історія та роль Роналда Фішера та планування експерименту

2012-03-05T16:14:48Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
<center>
{|
|-
|{{Стаття Вікі| article=[http://uk.wikipedia.org/wiki/Рональд_Фішер Рональд Фішер] }} || {{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/413 Історія та роль Р.Фішера а планування експерименту]}}
|}
</center>
{{Студент | Name=П. | Surname=Сарбун | FatherNAme=П. |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм}}
'''''Планування експерименту ''''' (англ. experimental design techniques) - комплекс заходів, спрямованих на ефективну постановку дослідів. Основна мета планування експерименту - досягнення максимальної точності вимірювань при мінімальній кількості проведених дослідів і збереженні статистичної достовірності результатів.

== Історія винекнення дисципліни ==

Планування експерименту виникло в 20-х роках XX століття з потреби усунути або хоча б зменшити систематичні помилки в сільськогосподарських дослідженнях шляхом рандомізації умов проведення експерименту. Процедура планування виявилася спрямована не тільки на зменшення дисперсії оцінюваних параметрів, але також і на рандомізації щодо супутніх, спонтанно змінюються і неконтрольованих змінних. У результаті вдалося позбутися від зсуву в оцінках. З 1918 р. Р. Фішер почав свою відому серію робіт на Рочемстедской агробіологічний станції в Англії. У 1935 році з'явилася його монографія «Design of Experiments», що дала назву всьому напрямку.

У 1942 році А. Кишен розглянув планування експерименту з латинським кубів, яке стало подальшим розвитком теорії латинських квадратів. Потім Р. Фішер незалежно опублікував відомості про ортогональних гіпер-греко-латинських кубах і гіпер-кубах. Незабаром після цього в 1946 р. Р. Рао розглянув їх комбінаторні властивості. Подальшому розвитку теорії латинських квадратів присвячені роботи Х. Манна (1947 - 1950 рр..). Перше глибоке математичне дослідження блок-схеми виконано Р. Боуз в 1939 р. Спочатку була розроблена теорія збалансованих неполноблочних планів. Потім Р. Боуз, К. Нер і Р. Рао узагальнили ці плани і розробили теорію частково збалансованих неполноблочних планів. З тих пір вивчення блок-схем приділяється велика увага як з боку фахівців з планування експерименту (Ф. Йетс, Г. Кокс, В. Кохрен, В. Федерер, К. Гульден, О. Кемптгорн та інші), так і з боку фахівців за комбінаторним аналізу (Боуз, Ф. Шімамото, В. Клатсворсі, С. Шрікханде, А. Гофман та ін.)

Дослідження Р. Фішера знаменують початок першого етапу розвитку методів планування експерименту. Фішер розробив метод факторного планування. Також запропонував для цього методу просту обчислювальну схему. Факторний планування набуло широкого розповсюдження. Особливістю факторного експерименту є необхідність ставити відразу велику кількість дослідів. У 1945 р. Д. Фінні ввів дробові репліки від факторного експерименту. Це дозволило скоротити число дослідів і відкрило дорогу технічних програм планування. Інша можливість скорочення необхідного числа дослідів була показана в 1946 р. Р. Плакеттом і Д. Берманом, які ввели насичені факторні плани. Г. Хотеллінг в 1941 р. запропонував знаходити екстремум за експериментальними даними з використанням статечних розкладів і градієнта. Наступним важливим етапом було введення принципу послідовного крокової експериментування. Цей принцип, висловлений в 1947 р. М. Фрідманом і Л. Севіджем, дозволив поширити на експериментальне визначення екстремуму - ітерацію.Щоб побудувати сучасну теорію планування експерименту, не вистачало однієї ланки - формалізації об'єкта дослідження. Ця ланка з'явилося в 1947 р. після створення Н. Вінером теорії кібернетики. Кібернетичному поняття «чорний ящик», грає в плануванні важливу роль. У 1951 р. роботою американських вчених Дж. Боксу і К. Вілсона почався новий етап розвитку планування експерименту. У ній сформульована і доведена до практичних рекомендацій ідея послідовного експериментального визначення оптимальних умов проведення процесів з використанням оцінки коефіцієнтів статечних розкладів методом найменших квадратів, рух по градієнту і відшукання інтерполяційного полінома в області екстремуму функції відгуку (майже стаціонарної області).

У 1954 - 1955 рр.. ЛШ. Бокс, а потім П. Юл. показали, що планування експерименту можна використовувати при дослідженні фізико-хімічних процесів, якщо апріорі висловлені один або кілька можливих гіпотез. Напрямок отримав розвиток у роботах Н. П. Клепікова, С. Н. Соколова і В. В. Федорова у ядерній фізиці. Третій етап розвитку теорії планування експерименту почався в 1957 р., коли Бокс застосував свій метод у промисловості. Цей метод став називатися «еволюційним плануванням». У 1958 р. Г. Шиффа запропонував новий метод планування експерименту для вивчення фізико-хімічних діаграм склад - властивість під назвою «симплексної решітки». Розвиток теорії планування експерименту в СРСР відображено в роботах В. В. Налімова, Ю. П. Адлера, Ю. В. Грановського, Е. В. Марковой.[3]

== Біографія Рональда Ейлмера Фішера ==
Сер Рональд Ейлмер Фішер (англ. Sir Ronald Aylmer Fisher, 17 лютого 1890 — 29 липня 1962) — англійський статистик, біолог-еволюціоніст та генетик. Річард Докінз назвав його «найвеличнішим послідовником Дарвіна». Фішер народився в лондонському Іст-Фінчлі, в сім'ї Джорджа і Кеті Фішер. Його батько був успішним торговцем предметами витонченого мистецтва.

Дитинство його було щасливим, його обожнювали три старші сестри, старший брат і матір, яка померла, коли Рональду було 14. Його батько через 18 місяців збанкрутів, провівши декілька невдалих операцій. Хоча у Фішера був поганий зір, він був не по роках розвиненим учнем і у віці 16 років виграв «Neeld Medal» (конкурс з математики) в школі Харроу (лат. Harrow School). Унаслідок все того ж поганого зору, його навчали математиці без використання «паперу і пера», що розвинуло здатність уявляти завдання в термінах геометрії. Фішер був знаменитий умінням отримувати відповідь, опускаючи проміжні етапи. Він також виявляв сильну цікавість до біології, особливо, до еволюційного учення.

== Основи планування експерименту ==

Планування експерименту – процедура вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних та достатніх для вирішення задачі досліджень із заданою точністю. Розрізняють два підходи планування експерименту: класичний, при якому по черзі змінюється кожен фактор до визначення часткового максимуму при постійних значеннях інших факторів, статистичний, де одночасно змінюють багато факторів. При цьому суттєвим є: мінімізація числа дослідів; одночасне варіювання всіма параметрами; використання математичного апарата, який формалізує дії експериментатора; вибір чіткої стратегії, що дозволяє приймати обґрунтовані рішення після кожної серії експериментів. Загалом розрізняють такі експериментальні плани: дисперсного аналізу; відбору суттєвих факторів; багатофакторного аналізу; одержання поверхні відгуку; динамічних задач планування; вивчення механізмів явищ; побудови діаграм «склад — властивість», «склад — стан».

Початок плануванню експерименту поклали праці англійського математика Р. Фішера (1935), що довів перевагу використання на першому етапі досліджень факторного ортогонального планування експериментів, де варіюють тільки на двох рівнях. При цьому використання дробового факторного плану значно скорочує число необхідних експериментів. Англійськими хіміками Боксом і Вілсоном запропонований метод крутого сходження (рух по градієнту), що дозволяє найбільш коротким шляхом визначити координати екстремуму досліджуваного процесу. Для математичного опису екстремальної області застосовують різні методи планування експерименту, у основі яких лежить представлення екстремальної області поліномами другого порядку, що адекватно описують досліджуваний процес. До таких планів належить план Бокса — Бенкена — один з різновидів статистичних планів, які застосовуються при плануванні наукових і, особливо, промислових експериментів. Ці плани дозволяють отримувати максимальну кількість об’єктивної інформації про вплив чинників, що вивчаються, на виробничий процес за допомогою найменшого числа спостережень (дослідів). Вони належать до симетричних некомпозиційних трирівневих планів другого порядку і являють собою поєднання дворівневого (–1, +1) повного факторного експерименту з неповноблочним збалансованим планом. Область планування — гіперкуб, причому кожний з чинників приймає значення на трьох рівнях: –1, 0 і +1. Плани Бокса — Бенкена за рядом статистичних характеристик перевершують центрально-композиційні ортогональні і ротатабельні плани, що широко застосовуються в промисловому експерименті. Для вивчення промислового процесу застосовують еволюційні планування експерименту, де дослідник повинен весь час пристосовуватися до умов виробництва, що змінюються. Специфічним є планування з відсіванням експериментів. Сучасна теорія планування експерименту склалася у 1960-х роках. Її методи тісно пов’язані з теорією наближення функцій і математичним програмуванням. Розроблені оптимальні плани і досліджені їхні властивості для широкого класу моделей. Планування експерименту та обробка даних здійснюється за допомогою комп’ютерних програм: Windows з різними версіями Mathcad, Statistica, Axum7, Statgraphics Plus, Simulink і ін.

=== Основи планування експерименту за Рональдом Фішером ===
Методологія проектування експерименту була запропонована Рональдом А. Фішером у його інноваційній книзі «Планування експериментів» (1935). Для прикладу він описав, як перевірити гіпотезу про те, що певна жінка може лише на смак визначити, молоко чи чай було спочатку налито в чашку. Звучить легковажно, але це допомогло вченому проілюструвати найважливіші ідеї планування експерименту.

*''Порівняння''
У багатьох галузях досліджень важко точно відтворити результати вимірювань. Порівняння між умовами відтворити набагато легше і тому їм, як правило, надають перевагу. Часто порівняння проводять зі стандартними чи традиційними умовами, що виступають в якості базових.

*''Рандомізація''
Існує математична теорія, що вивчає наслідки роздроблення підрозділів одиниць за допомогою довільних механізмів, таких як таблиці випадкових чисел, або використання пристроїв рандомізації, таких як гральні карти або кості. При умові, що вибірка адекватна, ризики, пов'язані з випадковим розподілом (наприклад, відсутність репрезентативної вибірки в опитуванні, чи серйозний дисбаланс в ключових характеристиках між групами умов та групами контролю) можна обчислити і, отже, вони можуть бути знижені до прийнятного рівня. Довільний не означає безсистемний, тому необхідно забезпечити використання відповідних випадкових методів.

*''Реплікація ''
У вимірах зміни можуть відбуватися як при повторному вимірюванні, так і між реплікованими предметами або процесами. Багаторазові вимірювання реплікованих елементів необхідні для обчислення розміру похибки.

*''Блокування''
Блокування це організація експериментальних елементів в групи (блоки), які схожі один на одного. Блокування зменшує відомі, але безвідносні джерела відмінностей між підрозділами і тим самим сприяє більшій точності в оцінці джерела коливань, що досліджується.

*''Ортогональність''
Ортогональність стосується форм порівняння (контрасту), який може ефективно здійснюватися. Контрасти можуть бути представлені векторами і групи ортогональних контрастів некорельовані і незалежно розподілені, якщо дані відповідають нормі. Через цю незалежність кожна ортогональна умова надає решті іншу інформацію. Якщо є умова Т і Т - 1 ортогональні контрасти, то всю інформацію, яка може бути отримана в результаті проведення експерименту можна отримати з багатьох контрастів.

*''Факторіальні експерименти''
Використання факторіального експерименту замість факторів по одному. Вони є ефективними при оцінці наслідків і можливої взаємодії декількох факторів (незалежних змінних).
Аналіз планування експерименту був побудований на основі аналізу різниці, колекції моделей, в яких спостерігається різниця розділена на компоненти завдяки різним факторам, які оцінюються та / або тестуються.

== Зовнішні посилання ==
* [http://www.en.wikipedia.org/wiki/Design_of_experiments/ Стаття "Планування експерименту" на en.wikipedia.org]
* [http://www.digital.library.adelaide.edu.au/coll/special//fisher/ Біографія Фішера]
* [http://www.hss.cmu.edu/philosophy/seidenfeld/relating%20to%20Fisher/Fisher%20on%20Design.pdf Fisher on Design]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Фишер,_Рональд_Эйлмер Стаття про Фішера на ru.wikipedia.org]
* [http://www.rapidshare.com/files/189515782/The_Design_of_Experiments_By_Sir_Ronald_A._Fisher.rar The Design of Experiments By Sir Ronald A.Fisher]

{{Завдання:Виступ|Сарабун П.П.|20 січня 2010|Історія виникнення дисципліни "Теорія експерименту" і роль у цьому Фішера (1890-1960) - англійського статистика і генетика }}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Історія та роль Роналда Фішера та планування експерименту

2012-03-05T16:13:13Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
<center>
{|
|-
|{{Стаття Вікі| article=[http://uk.wikipedia.org/wiki/Рональд_Фішер Рональд Фішер] }} || {{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/413 Історія та роль Р.Фішера а планування експерименту]}}
|}
</center>
{{Завдання|Сарабун П.П.|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}
{{Студент | Name=П. | Surname=Сарбун | FatherNAme=П. |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм}}

'''''Планування експерименту ''''' (англ. experimental design techniques) - комплекс заходів, спрямованих на ефективну постановку дослідів. Основна мета планування експерименту - досягнення максимальної точності вимірювань при мінімальній кількості проведених дослідів і збереженні статистичної достовірності результатів.

== Історія винекнення дисципліни ==

Планування експерименту виникло в 20-х роках XX століття з потреби усунути або хоча б зменшити систематичні помилки в сільськогосподарських дослідженнях шляхом рандомізації умов проведення експерименту. Процедура планування виявилася спрямована не тільки на зменшення дисперсії оцінюваних параметрів, але також і на рандомізації щодо супутніх, спонтанно змінюються і неконтрольованих змінних. У результаті вдалося позбутися від зсуву в оцінках. З 1918 р. Р. Фішер почав свою відому серію робіт на Рочемстедской агробіологічний станції в Англії. У 1935 році з'явилася його монографія «Design of Experiments», що дала назву всьому напрямку.

У 1942 році А. Кишен розглянув планування експерименту з латинським кубів, яке стало подальшим розвитком теорії латинських квадратів. Потім Р. Фішер незалежно опублікував відомості про ортогональних гіпер-греко-латинських кубах і гіпер-кубах. Незабаром після цього в 1946 р. Р. Рао розглянув їх комбінаторні властивості. Подальшому розвитку теорії латинських квадратів присвячені роботи Х. Манна (1947 - 1950 рр..). Перше глибоке математичне дослідження блок-схеми виконано Р. Боуз в 1939 р. Спочатку була розроблена теорія збалансованих неполноблочних планів. Потім Р. Боуз, К. Нер і Р. Рао узагальнили ці плани і розробили теорію частково збалансованих неполноблочних планів. З тих пір вивчення блок-схем приділяється велика увага як з боку фахівців з планування експерименту (Ф. Йетс, Г. Кокс, В. Кохрен, В. Федерер, К. Гульден, О. Кемптгорн та інші), так і з боку фахівців за комбінаторним аналізу (Боуз, Ф. Шімамото, В. Клатсворсі, С. Шрікханде, А. Гофман та ін.)

Дослідження Р. Фішера знаменують початок першого етапу розвитку методів планування експерименту. Фішер розробив метод факторного планування. Також запропонував для цього методу просту обчислювальну схему. Факторний планування набуло широкого розповсюдження. Особливістю факторного експерименту є необхідність ставити відразу велику кількість дослідів. У 1945 р. Д. Фінні ввів дробові репліки від факторного експерименту. Це дозволило скоротити число дослідів і відкрило дорогу технічних програм планування. Інша можливість скорочення необхідного числа дослідів була показана в 1946 р. Р. Плакеттом і Д. Берманом, які ввели насичені факторні плани. Г. Хотеллінг в 1941 р. запропонував знаходити екстремум за експериментальними даними з використанням статечних розкладів і градієнта. Наступним важливим етапом було введення принципу послідовного крокової експериментування. Цей принцип, висловлений в 1947 р. М. Фрідманом і Л. Севіджем, дозволив поширити на експериментальне визначення екстремуму - ітерацію.Щоб побудувати сучасну теорію планування експерименту, не вистачало однієї ланки - формалізації об'єкта дослідження. Ця ланка з'явилося в 1947 р. після створення Н. Вінером теорії кібернетики. Кібернетичному поняття «чорний ящик», грає в плануванні важливу роль. У 1951 р. роботою американських вчених Дж. Боксу і К. Вілсона почався новий етап розвитку планування експерименту. У ній сформульована і доведена до практичних рекомендацій ідея послідовного експериментального визначення оптимальних умов проведення процесів з використанням оцінки коефіцієнтів статечних розкладів методом найменших квадратів, рух по градієнту і відшукання інтерполяційного полінома в області екстремуму функції відгуку (майже стаціонарної області).

У 1954 - 1955 рр.. ЛШ. Бокс, а потім П. Юл. показали, що планування експерименту можна використовувати при дослідженні фізико-хімічних процесів, якщо апріорі висловлені один або кілька можливих гіпотез. Напрямок отримав розвиток у роботах Н. П. Клепікова, С. Н. Соколова і В. В. Федорова у ядерній фізиці. Третій етап розвитку теорії планування експерименту почався в 1957 р., коли Бокс застосував свій метод у промисловості. Цей метод став називатися «еволюційним плануванням». У 1958 р. Г. Шиффа запропонував новий метод планування експерименту для вивчення фізико-хімічних діаграм склад - властивість під назвою «симплексної решітки». Розвиток теорії планування експерименту в СРСР відображено в роботах В. В. Налімова, Ю. П. Адлера, Ю. В. Грановського, Е. В. Марковой.[3]

== Біографія Рональда Ейлмера Фішера ==
Сер Рональд Ейлмер Фішер (англ. Sir Ronald Aylmer Fisher, 17 лютого 1890 — 29 липня 1962) — англійський статистик, біолог-еволюціоніст та генетик. Річард Докінз назвав його «найвеличнішим послідовником Дарвіна». Фішер народився в лондонському Іст-Фінчлі, в сім'ї Джорджа і Кеті Фішер. Його батько був успішним торговцем предметами витонченого мистецтва.

Дитинство його було щасливим, його обожнювали три старші сестри, старший брат і матір, яка померла, коли Рональду було 14. Його батько через 18 місяців збанкрутів, провівши декілька невдалих операцій. Хоча у Фішера був поганий зір, він був не по роках розвиненим учнем і у віці 16 років виграв «Neeld Medal» (конкурс з математики) в школі Харроу (лат. Harrow School). Унаслідок все того ж поганого зору, його навчали математиці без використання «паперу і пера», що розвинуло здатність уявляти завдання в термінах геометрії. Фішер був знаменитий умінням отримувати відповідь, опускаючи проміжні етапи. Він також виявляв сильну цікавість до біології, особливо, до еволюційного учення.

== Основи планування експерименту ==

Планування експерименту – процедура вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних та достатніх для вирішення задачі досліджень із заданою точністю. Розрізняють два підходи планування експерименту: класичний, при якому по черзі змінюється кожен фактор до визначення часткового максимуму при постійних значеннях інших факторів, статистичний, де одночасно змінюють багато факторів. При цьому суттєвим є: мінімізація числа дослідів; одночасне варіювання всіма параметрами; використання математичного апарата, який формалізує дії експериментатора; вибір чіткої стратегії, що дозволяє приймати обґрунтовані рішення після кожної серії експериментів. Загалом розрізняють такі експериментальні плани: дисперсного аналізу; відбору суттєвих факторів; багатофакторного аналізу; одержання поверхні відгуку; динамічних задач планування; вивчення механізмів явищ; побудови діаграм «склад — властивість», «склад — стан».

Початок плануванню експерименту поклали праці англійського математика Р. Фішера (1935), що довів перевагу використання на першому етапі досліджень факторного ортогонального планування експериментів, де варіюють тільки на двох рівнях. При цьому використання дробового факторного плану значно скорочує число необхідних експериментів. Англійськими хіміками Боксом і Вілсоном запропонований метод крутого сходження (рух по градієнту), що дозволяє найбільш коротким шляхом визначити координати екстремуму досліджуваного процесу. Для математичного опису екстремальної області застосовують різні методи планування експерименту, у основі яких лежить представлення екстремальної області поліномами другого порядку, що адекватно описують досліджуваний процес. До таких планів належить план Бокса — Бенкена — один з різновидів статистичних планів, які застосовуються при плануванні наукових і, особливо, промислових експериментів. Ці плани дозволяють отримувати максимальну кількість об’єктивної інформації про вплив чинників, що вивчаються, на виробничий процес за допомогою найменшого числа спостережень (дослідів). Вони належать до симетричних некомпозиційних трирівневих планів другого порядку і являють собою поєднання дворівневого (–1, +1) повного факторного експерименту з неповноблочним збалансованим планом. Область планування — гіперкуб, причому кожний з чинників приймає значення на трьох рівнях: –1, 0 і +1. Плани Бокса — Бенкена за рядом статистичних характеристик перевершують центрально-композиційні ортогональні і ротатабельні плани, що широко застосовуються в промисловому експерименті. Для вивчення промислового процесу застосовують еволюційні планування експерименту, де дослідник повинен весь час пристосовуватися до умов виробництва, що змінюються. Специфічним є планування з відсіванням експериментів. Сучасна теорія планування експерименту склалася у 1960-х роках. Її методи тісно пов’язані з теорією наближення функцій і математичним програмуванням. Розроблені оптимальні плани і досліджені їхні властивості для широкого класу моделей. Планування експерименту та обробка даних здійснюється за допомогою комп’ютерних програм: Windows з різними версіями Mathcad, Statistica, Axum7, Statgraphics Plus, Simulink і ін.

=== Основи планування експерименту за Рональдом Фішером ===
Методологія проектування експерименту була запропонована Рональдом А. Фішером у його інноваційній книзі «Планування експериментів» (1935). Для прикладу він описав, як перевірити гіпотезу про те, що певна жінка може лише на смак визначити, молоко чи чай було спочатку налито в чашку. Звучить легковажно, але це допомогло вченому проілюструвати найважливіші ідеї планування експерименту.

*''Порівняння''
У багатьох галузях досліджень важко точно відтворити результати вимірювань. Порівняння між умовами відтворити набагато легше і тому їм, як правило, надають перевагу. Часто порівняння проводять зі стандартними чи традиційними умовами, що виступають в якості базових.

*''Рандомізація''
Існує математична теорія, що вивчає наслідки роздроблення підрозділів одиниць за допомогою довільних механізмів, таких як таблиці випадкових чисел, або використання пристроїв рандомізації, таких як гральні карти або кості. При умові, що вибірка адекватна, ризики, пов'язані з випадковим розподілом (наприклад, відсутність репрезентативної вибірки в опитуванні, чи серйозний дисбаланс в ключових характеристиках між групами умов та групами контролю) можна обчислити і, отже, вони можуть бути знижені до прийнятного рівня. Довільний не означає безсистемний, тому необхідно забезпечити використання відповідних випадкових методів.

*''Реплікація ''
У вимірах зміни можуть відбуватися як при повторному вимірюванні, так і між реплікованими предметами або процесами. Багаторазові вимірювання реплікованих елементів необхідні для обчислення розміру похибки.

*''Блокування''
Блокування це організація експериментальних елементів в групи (блоки), які схожі один на одного. Блокування зменшує відомі, але безвідносні джерела відмінностей між підрозділами і тим самим сприяє більшій точності в оцінці джерела коливань, що досліджується.

*''Ортогональність''
Ортогональність стосується форм порівняння (контрасту), який може ефективно здійснюватися. Контрасти можуть бути представлені векторами і групи ортогональних контрастів некорельовані і незалежно розподілені, якщо дані відповідають нормі. Через цю незалежність кожна ортогональна умова надає решті іншу інформацію. Якщо є умова Т і Т - 1 ортогональні контрасти, то всю інформацію, яка може бути отримана в результаті проведення експерименту можна отримати з багатьох контрастів.

*''Факторіальні експерименти''
Використання факторіального експерименту замість факторів по одному. Вони є ефективними при оцінці наслідків і можливої взаємодії декількох факторів (незалежних змінних).
Аналіз планування експерименту був побудований на основі аналізу різниці, колекції моделей, в яких спостерігається різниця розділена на компоненти завдяки різним факторам, які оцінюються та / або тестуються.

== Зовнішні посилання ==
* [http://www.en.wikipedia.org/wiki/Design_of_experiments/ Стаття "Планування експерименту" на en.wikipedia.org]
* [http://www.digital.library.adelaide.edu.au/coll/special//fisher/ Біографія Фішера]
* [http://www.hss.cmu.edu/philosophy/seidenfeld/relating%20to%20Fisher/Fisher%20on%20Design.pdf Fisher on Design]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Фишер,_Рональд_Эйлмер Стаття про Фішера на ru.wikipedia.org]
* [http://www.rapidshare.com/files/189515782/The_Design_of_Experiments_By_Sir_Ronald_A._Fisher.rar The Design of Experiments By Sir Ronald A.Fisher]

{{Завдання:Виступ|Сарабун П.П.|20 січня 2010|Історія виникнення дисципліни "Теорія експерименту" і роль у цьому Фішера (1890-1960) - англійського статистика і генетика }}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Дрейф неоднорідностей

2012-03-05T16:06:21Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Завдання|sloyka_yaroslav|Назаревич О.Б.|07 березня 2010}}

Презентація доповіді (http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/403).

= Дрейф неоднорідностей =

Наведемо результати досліджень теплофізичних характеристик соко-стружкової суміші дифузійних апаратів цукрової промисловості. Відомо, що на коефіцієнт теплопровідності λ цукрових розчинів, в основному, впливають концентрація цукру і температура розчину. На ефективну теплопровідність соко-стружкової суміші впливають також численні фактори, які при проведенні експериментів спотворюватимуть вплив основних факторів. Серед них до часового дрейфу належить наявність на поверхні стружки адсорбованого повітря, кількість якого змінюватиметься в процесі контакту соку і стружки, а також зміна концентрації цукру в стружці в процесі дифузії. Проте серед факторів є один, який до часового дрейфу не належить. Це ступінь неоднорідності суміші або, як називають його виробничники, навантаження об’єму.

Навантаження об’єму – це концентрація стружки в соці, точніше маса стружки, що припадає на одиницю об’єму суміші. Навантаження об’єму дифузійного апарата, що складає в середньому 0,4-0,5 кг/дм3, може знижуватися до 0,2-0,3 кг/дм3, або зростати до 0,6-0,7 кг/дм3, причому його зміну не можна пов’язати з плином часу. Тому при проведенні дослідження вирішено вибрати дрейф неоднорідностей за рахунок змін навантаження об’єму, а впливу решти шумових факторів уникнути, проводячи вимірювання теплопровідності в стаціонарному режимі через однаковий проміжок часу з моменту змішування стружки і соку для всіх зразків.
Перший основний параметр x1 (середню температуру зразка в стаціонарному режимі) встановлювали регулюванням потужності електронагрівача приладу, другий x2 (концентрацію цукру в соці) обчислювали по вихідній концентрації розчину c %.
<center> '''
== Розв’язання ==
''' </center>
Оскільки метою дослідів було з’ясувати, чи є навантаження об’єму шумовим чи основним фактором, планування було проведене з розрахунку простого дрейфу – ступінчастого. Рівні та інтервали вимірювання основних факторів для ПФЕ 22 наведене в таблиці 1.
За правилами ортогональності розбиваємо матрицю планування на два блоки, які є напіврепліками 22-1. Порівнюємо парну взаємодію безрозмірних факторів z1 z2 з новою незалежною змінною, яка характеризує дрейф
<center> '''z1 z2 = zд''' </center>

Таблиця 1 Вхідні дані для ПФЕ в умовах ступінчастого дрейфу
<center>[[Файл:Tab1.JPG]]</center>

У першому блоці проводилися досліди при zд = -1, як нижній рівень навантаження об’єму обрали величину 0,3 кг/дм3 , у 2-му - zд = +1, навантаження об’єму було 0,6 кг/дм3. Матриця планування та результати вимірювання вихідної функції y, тобто коефіцієнти теплопровідності λ, Вт/(м*К), наведено в таб. 2

Таблиця 2 Матриця ПФЕ для умов ступінчастого дрейфу неоднорідності
<center>[[Файл:Tab2.JPG]]</center>

Для обробки використовувалися рівняння, наведені в п.6,2 [1]. У результаті утворено математичну модель поведінки теплопровідності соко-стружкової суміші в процесі екстракції для безрозмірних факторів
<center> y = 0.480 – 0.043* z1 + 0.026*z2 </center>

Перехід до вимірних параметрів проведено за допомогою звичайних способів

<center> λ = 0,770 – 0,006*t + 0.008*c </center>
Таким чином, утворено залежність для λ тільки від основних факторів, виключивши вплив навантаження об’єму. Зазначимо, що звільнившись від впливу дрейфу (часового або неоднорідностей) можна оцінити його і вирішити, чи немає потреби перевести який-небудь із шумових факторів в основні. Для цього треба розрахувати коефіцієнт при zд за формулою.

<center>[[Файл:formul1.JPG]]</center>

У нашому прикладі

<center>[[Файл:formul2.JPG]]</center>

Потім треба розрахувати y для обох блоків у центрі плану експерименту.
Різниця між значеннями y для обох блоків дає оцінку зміни функції відклику. Розрахунки для прикладу λ за 1-м блоком:

<center>y1 = 0,48 − 0,023 = 0,457 Вт/(м∙К)</center>

за 1-м блоком:

<center>y2 = 0,48 + 0,023 = 0,503 Вт/(м∙К)</center>

Загальний дрейф функції відклику в результаті збільшення навантаження об’єму з 0,3 до 0,6 кг/м3 такий:

<center>∆y = 0,503 – 0,457 = 0,046 Вт/(м∙К)</center>

Отже функція відклику змінилася на 10% при цілком реальній у виробничих умовах зміні навантаження об’єму.
Аналіз утворених результатів показав, що цей вплив зіставлюваний з впливом незалежних змінних t і c , тому в подальшому при дослідженнях треба перейти від двофакторних до трифакторних експериментів.

[[Категорія:Планування експерименту]]

Планування другого порядку

2012-03-05T16:06:18Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Завдання|ihor_p|Назаревич О.Б.|05 березня 2010}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/415 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Планування другого порядку =

Планування другого порядку застосовується для математичного опису об'єкта поблизу екстремальної точки статистичної характеристики або тоді, коли необхідний точніший опис в інших точках факторного простору. При цьому використовують поліном другого порядку:

<center>
<math>\operatorname{y}={{a}_{0}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{x}_{i}}+}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ij}}{{x}_{i}}{{x}_{j}}+}...+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i,i}}x_{i}^{2}}</math>
</center>

Задача, як і в ПФЕ, полягає у визначенні методом найменших квадратів за результатами спланованого експерименту коефіцієнтів цього рівня за умови, що виконуються передумови регресійного аналізу.
ПФЕ типу <math>2^n</math> дає змогу дістати роздільні оцінки як лінійних коефіцієнтів bi (після переходу до безрозмірних z), так і коефіцієнтів парних взаємодій bij. Точки ПФЕ лежать у вершині n-вимірного куба. Вектор-стовпці лінійних факторів матриці планування ортогональні між собою, тобто виконується умова

<center>
<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gj}}=0;i\ne j.}</math>
</center>

З теорії інтерполяції (апроксимації) відомо, що для розв'язання задачі знаходження роздільних оцінок параметрів апроксимуючого виразу число рівнів для кожної із змінних повинно бути на одиницю більше ступеня апроксимуючого полінома, тобто для полінома другого порядку число рівнів дорівнює трьом.
Однак, як показали дослідження, ПФЕ типу <math>3^n</math> (планування на трьох рівнях) не є раціональним через велике число дослідів.
Задача розв'язується іншим способом. До ПФЕ типу <math>2^n</math> додають центральну точку з координатами (0, 0, ..., 0) і зіркові точки з координатами (0, 0, ..., ±α), які лежать на сфері діаметра 2α (рис. 1). Зіркові точки будують на осях факторного простору. Вибір відстані від нульової точки до зіркової, яка визначається плечем α, залежить від критерію оптимальності плану.

<center>[[Файл:ОЦКП.jpg]]</center>
<center>Рисунок 1 - Ортогональне центральне композиційне планування</center>

Розглянемо планування, оптимальне з точки зору незалежності оцінок bi,i Його називають ''ортогональним центральним композиційним плануванням (ОЦКП)'', тобто планом, в якому критерієм оптимальності є ортогональність стовпців матриці планування.
Композиційним таке планування, як й інші форми планування другого порядку, називається тому, що новий план дістають шляхом компонування первинного двофакторного плану з деякою кількістю додаткових точок. Оскільки в числі цих додаткових точок обов'язково фігурує центральна, в якій всі змінні хi мають середній рівень, а zi=0, плани називають центральними.
Ортогональність матриці композиційного планування забезпечується виконанням рівностей

<center>

<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{g,o}^{2}z_{y,i}^{2}=0,\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}z_{gj}^{2}=0,i\ne j}.}</math>

</center>

де і-номер фактора; j-номер рядка; g-номер досліду. Для ортогоналізації першого з цих співвідношень застосовується перехід до нової змінної
<center>
<math>\overset{-}{z}\,_{i}^{2}=z_{i}^{2}-\frac{\sum{z_{gi}^{2}}}{N}=z_{i}^{2}-\overset{-}{z}\,_{i}^{2}</math>
</center>
де N-загальне число експериментів.
Величина zi залежить тільки від числа факторів n і числа дослідів N, яке звичайно вибирається так, що

<center>

<math>\operatorname{N}={{N}_{n}}+{{N}_{a}}+{{N}_{0}}={{2}^{n}}+2n+1,</math>

</center>

де Nn = <math>2^n</math>-кількість вершин гіперкуба при ПФЕ; Nα = 2n-число зіркових точок; N0= 1- число дослідів у центрі плану. Якщо N вибрати так, то zi визначають за формулою

<center>

<math>\operatorname{z}_{i}^{2}=\frac{{{2}^{n}}+2{{\alpha }^{2}}}{N}.</math>

</center>

Тому ортогоналізація другої з вищенаведених умов досягається вибором бажаного α.
Для зручності підготовки і планування величини α, N, Nn, Nα обчислені і табульовані залежно від числа факторів (табл. 1).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця1 - Підготовка ОЦКП другого порядку.
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>1 </td>
<td>4 </td>
<td>2 </td>
<td>9 </td>
<td>1,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>1 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>1,215 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>25 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>43 </td>
<td>1,596 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>1 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>77 </td>
<td>1,706 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>1 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>143 </td>
<td>1,909 </td>
</tr>
</table>

Сформуємо матриці ОЦКП для двох факторів. При n = 2 отримаємо α = 1,0 (див. табл. 1), для обчислення скористаємося наведеними формулами. Оскільки <math>z1^2=(4+2)/9=0,667</math>, то стовпець добувається відніманням одного і того ж числа 0,67 від числа стовпця <math>zi^2</math> того ж рядка (табл. 2).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця2 - Матриця ОЦКП другого порядку для двофакторного експерименту
</caption>
<tr>
<th scope="col">Дослід </th>
<th scope="col">j </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{1c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{2c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Вершини квадрата </th>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Зіркові точки </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Центр </th>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
</table>

Реалізація експериментів за ОЦКП здійснюється за тією ж методикою, що і ПФЕ. Таким чином, через випадковий характер зміни вихідної величини у у кожній точці хg проводиться m паралельних дослідів і обчислюється середнє значення функції відклику

<center><math>{{\overset{-}{y}}_{g}}=\frac{\sum\limits_{d=1}^{m}{{{y}_{g}}d}}{m}</math></center>

Перед реалізацією проводиться рандомізація рядків матриці планування.
Перевірка відтворюваності, як і в ПФЕ, виконується за критерієм Кохрена, після чого обчислюється оцінка дисперсії відтворюваності

<center>

<math>S_{y}^{2}=S_{vidtv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{S_{g}^{2}}}{N}.</math>

</center>

Методика утворення математичної моделі незначно відрізняється від методики опису результатів ПФЕ.
Коефіцієнти регресії при ОЦКП обчислюються за формулою

<center><math>{{b}_{i}}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{y}_{g}}}}{\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

У цьому плануванні оцінки дисперсій коефіцієнтів bi (точність їхнього обчислення) не однакові, оскільки не однаковий знаменник у формулі дисперсії

<center><math>S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{m\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

В ПФЕ знаменник однаковий і дорівнює mN. Це істотний недолік ОЦКП, і ''тому часто надають перевагу складнішому за обчислювальними процедурами рототабельному плануванню''.

= [[Рототабельне планування]] =

У зв'язку з тим, що дисперсії коефіцієнтів рівняння регресії при ОЦКП нерівномірні, ортогональність матриці часто не є досить сильним критерієм оптимальності планування другого порядку. Його заміняють критерієм ротоптабельності, тобто однаковості дисперсій коефіцієнтів при повороті координатних осей на будь-який кут. Зазначимо, що при плануванні першого порядку ортогональність матриці просто збігається з її рототабельністю, тому ПФЕ доцільно називати рототабельним.
Щоб зробити план другого порядку рототабельним, вибирають для сфери, на якій розташовуються зіркові точки, радіус (зіркове плече) за формулою

<center><math>\alpha ={{2}^{n/2}}.</math></center>

Інша умова рототабельності — збільшення числа дослідів на поверхні нульової сфери, тобто в центрі плану. У зв'язку з цим виникає повна назва методу: ''центральне композиційне рототабельне планування'' (ЦКРП).
Таким чином ЦКРП багато в чому нагадує ортогональне планування, проте метод рототабельного планування експерименту дає змогу дістати точніший математичний опис поверхні відклику порівняно з ОЦКП, завдяки збільшенню числа дослідів у центрі плану і спеціальному вибору величини зіркового плеча α.
Як і для ОЦКП, основні характеристики матриць рототабельного планування табульовані (табл. 3). Позначення тут ті самі, що і для ОЦКП (див. табл. 2). При ЦКРП, починаючи з n = 5, можна застосувати ДФЕ(дробовий факторний експеримент).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 3 – Підготовка ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>5 </td>
<td>4 </td>
<td>4 </td>
<td>13 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>6 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>20 </td>
<td>1,680 </td>
</tr>
<tr>
<td>4 </td>
<td>7 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>31 </td>
<td>2,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>10 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>52 </td>
<td>2,378 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>91 </td>
<td>1,828 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>21 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>163 </td>
<td>1,333 </td>
</tr>
</table>

При рототабельному плануванні для обчислення коефіцієнтів моделі і відповідних оцінок дисперсій знаходять спеціальні комплекси:

<center><math>\begin{align}
& B=\frac{nN}{(n+2)(N-{{N}_{0}})}; \\
& A=\frac{1}{2B[(n+2)B-n]}; \\
& C=\frac{N}{N-{{N}_{0}}}, \\
\end{align}</math></center>

де n-число факторів; N-загальне число дослідів у плануванні; N0-число дослідів у центрі плану.
За результатами експериментів обчислюють такі суми:

<center><math>\begin{align}
& {{S}_{0}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}; \\
& {{S}_{i}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}{{z}_{gi}};i=1,2,...,n; \\
& {{S}_{ik}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gk}}{{y}_{g}}};i\ne k; \\
& {{S}_{ii}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}{{y}_{g}}};i=1,2,...,n. \\
\end{align}</math></center>

Коефіцієнти моделі тут розраховують за формулами

<center><math>\begin{align}
& {{b}_{0}}=\frac{2AB}{N}[{{S}_{0}}B(n+2)-C\sum{{{S}_{ii}}}]; \\
& {{b}_{i}}=\frac{C{{S}_{i}}}{N}; \\
& {{b}_{ik}}=\frac{{{C}^{2}}{{S}_{ik}}}{BN},i\ne k; \\
& {{b}_{ii}}=\frac{AC}{N}\{{{S}_{ii}}[B(n+2)-n]+C(1-B)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{S}_{ii}}-2B{{S}_{0}}}\}. \\
& \\
\end{align}</math></center>

Оцінки дисперсій для обчислених коефіцієнтів знаходять за такими формулами:

<center><math>\begin{align}
& S_{b0}^{2}=\frac{2AB(n+2)}{N}S_{y}^{2}; \\
& S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{N-{{N}_{0}}};i=1,2,...,n; \\
& S_{bik}^{2}=\frac{{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N},i\ne k; \\
& {{S}_{bii}}=\frac{A{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N}[B(n+1)-(n-1)]. \\
\end{align}</math></center>

У цих формулах дисперсія відтворюваності <math>S_{y}^{2}</math> визначається за результатами дослідів у нульовій точці

<center><math>\begin{align}
& S_{y}^{2}=\frac{1}{{{N}_{0}}-1}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{({{y}_{ge}}-\overset{-}{y}\,)}^{2}}}; \\
& \overset{-}{y}\,=\frac{1}{{{N}_{0}}}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{y}_{ge.}}} \\
\end{align}</math></center>

Дисперсія адекватності оцінюється за формулою

<center><math>S_{adekv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{({{y}_{ge}}-{{y}_{grozr}})}^{2}}-S_{y}^{2}({{N}_{0}}-1)}}{N-\frac{(n+2)(n+1)}{2}(N-1)},</math></center>

якшо число ступенів вільності

<center><math>{{f}_{adekv}}={{N}_{0}}-\frac{(n+2)(n+1)}{2}-({{N}_{0}}-1).</math></center>
==Приклад==

Скласти матрицю ЦКРП на прикладі побудови математичної моделі технологічного процесу крупоутворення (див.: Пищевая технология.— 1976.— № 4.— С. 121—124).

'''Розв'язання'''. Як функції відклику прийнято <math>y_1</math>, % — середня зольність крупи пшениці після перших трьох систем для дертя (швидкість обертання рифлених вальців усіх систем 6 м/с); <math>y_2</math>, % — сумарний вихід всіх крупок, які добуваються в процесі крупоутворення; <math>y_3</math>, кДж/(кг • %) — витрата енергії на одержання 1 % продукту з 1 кг зерна.
Незалежними змінними є, %: <math>x_1</math> — вихід крупи на першій системі для дертя; <math>x_2</math> — те ж на другій системі; <math>x_3</math> — те ж, для трьох систем для дертя. Інтервал варіювання для всіх <math>x_i</math>, вибрано з умови охоплення області їхньої реальної зміни. Рівні змінних становили, %:

<table width="90%" border="1">
<tr>
<th scope="col">Незалежні змінні </th>
<th scope="col">Нижній </th>
<th scope="col">Основний </th>
<th scope="col">Верхній </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_1</math> </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>15</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_2</math> </th>
<td><center>30</center> </td>
<td><center>40</center> </td>
<td><center>50</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_3</math> </th>
<td><center>65</center> </td>
<td><center>70</center> </td>
<td><center>75</center> </td>
</tr>
</table>

У зв'язку з тим, що режими крупоутворення вивчалися досить детально, стало можливим ставити експерименти в області факторного простору, для якої значення всіх у близькі до оптимальних, а для опису цієї області застосувати відразу планування другого порядку. Було реалізовано центральний композиційний рототабельний план, який включає ПФЕ <math>2^3</math>, шість зіркових та шість центральних точок. Послідовність проведення дослідів була рандомізована, кожен дослід проводився тричі. У табл. 4 наведено матрицю планування та середні значення функцій відклику для кожного її рядка.
За вищенаведеними формулами розраховані такі коефіцієнти в рівняннях регресії для всіх функцій відклику:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{1}}=0,65+0,0084{{z}_{1}}+0,0048{{z}_{2}}+0,0630{{z}_{3}}+0,0150{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,0050{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,0400{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,0038z_{1}^{2}+0,0076z_{2}^{2}+0,0314z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{2}}=43,5+1,37{{z}_{1}}+0,34{{z}_{2}}+0,89{{z}_{3}}-1,41{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,61{{z}_{1}}{{z}_{3}}+ \\
& +0,74{{z}_{2}}{{z}_{3}}-0,83z_{1}^{2}-1,71z_{2}^{2}-1,52z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{3}}=6,4-0,28{{z}_{1}}-0,11{{z}_{2}}+0,61{{z}_{3}}+0,03{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,03{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,05{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,33z_{1}^{2}+0,68z_{2}^{2}+0,69z_{3}^{2}. \\
\end{align}</math>
</center>

Оцінки дисперсій для коефіцієнтів у цих рівняннях наведено в табл. 5.
Коефіцієнти при <math>z^2</math> на порядок перевищують помилку в їхньому визначенні для всіх функцій відклику, отже, лінійними рівняннями описати їх не можна. Адекватність утворених нелінійних рівнянь було перевірено за F-критерієм.

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 4 – Реалізація матриці ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col"> </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>y_1c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_2c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_3c</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,75</center> </td>
<td><center>40,5</center> </td>
<td><center>8,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,68</center> </td>
<td><center>36,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>41,3</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,72</center> </td>
<td><center>41,0</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>37,0</center> </td>
<td><center>7,9</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>38,2</center> </td>
<td><center>9,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,62</center> </td>
<td><center>34,9</center> </td>
<td><center>8,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,67</center> </td>
<td><center>44,7</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>39,4</center> </td>
<td><center>7,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>11</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>

<tr>
<td><center>12</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>37,8</center> </td>
<td><center>8,5</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>13</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>14</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>39,3</center> </td>
<td><center>7,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>15</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>41,6</center> </td>
<td><center>6,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>16</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>6,6</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>17</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>18</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>42,9</center> </td>
<td><center>6,1</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>19</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>20</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,0</center> </td>
<td><center>6,5</center> </td>
</tr>
</table>

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 5 – Оцінка дисперсій коефіцієнтів рівняння регресії за ЦКРП
</caption>
<tr>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{y}}_{i}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b1}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b2}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b3}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><math>y_1</math> </td>
<td>0,0053 </td>
<td>0,0035 </td>
<td>0,0034 </td>
<td>0,0046 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_2</math> </td>
<td>0,48 </td>
<td>0,31 </td>
<td>0,30 </td>
<td>0,41 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_3</math> </td>
<td>0,13 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,11 </td>
</tr>

</table>

= Перелік використаних джерел =

#http://tstu.edu.ua/(березень2010)
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експериментів в АПК http://tstu.edu.ua/(березень2010)

[http://custom-essay-writing-service.org/index.php custom writing]

[http://custom-essay-writing-service.org/index.php custom essay writing]

[[Категорія:Планування експерименту]]

Дробовий факторний експеримент

2012-03-05T16:06:14Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}

= Вступ =

Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.

=Дробовий факторний експеримент=

Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.

<table width="40%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ
</caption>
<tr>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_0</math> </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x_1x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>y</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">2 </th>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">3 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> <math>y_3</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center">4 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> <math>y_4</math>  </td>
</tr>
</table>

При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.

<table width="40%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ
</caption>
<tr>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_0</math> </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math> </th>
<th scope="col"><math>y</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">2 </th>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">3 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> <math>y_3</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center">4 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> <math>y_4</math>  </td>
</tr>
</table>

При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.

=Дробові репліки=

Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де
*k-кількість експериментів;
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.

При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки.
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії.
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів
</caption>
<tr>
<th scope="col">Кількість факторів </th>
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка </th>
<th scope="col">Умовне позначення </th>
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки </th>
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 3  </th>
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math>  </td>
<td align="center"> 4  </td>
<td align="center"> 8  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 4  </th>
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 16  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 5  </th>
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 32  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 6  </th>
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 64  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 7  </th>
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 128  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 5  </th>
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 32  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 6  </th>
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 64  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 7  </th>
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 128  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 8  </th>
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 256  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 9  </th>
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 512  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 10  </th>
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 1024  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 11  </th>
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 2048  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 12  </th>
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 4096  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 13  </th>
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 8192  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 14  </th>
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 16384  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 15  </th>
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 32768  </td>
</tr>
</table>

Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень.

=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=

Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:

Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.

<table width="50%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками
</caption>
<tr>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x_3</math> </th>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x_3</math> </th>

</tr>
<tr>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
</tr>

<tr>
<th scope="col"> 2  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<th scope="col"> 2  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 3  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<th scope="col"> 3  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 4  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<th scope="col"> 4  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
</tr>
</table>

Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3</math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів:

<center><math> b_1=b_1+b_{23},b_1=b_1-b_{23} </math></center>
<center><math> b_2=b_2+b_{13},b_2=b_2-b_{13} </math></center>
<center><math> b_3=b_3+b_{12},b_3=b_3-b_{12} </math></center>
У практичних задачах потрійні і більш високого порядку взаємодії значно частіше, ніж подвійні, дорівнюють нулю і тому їх можна відкинути. Для одержання лінійної моделі рекомендують вибирати дробові репліки з можливо більшою розв'язувальною здатністю, тобто репліки, у яких лінійні ефекти змішані з ефектами взаємодії близькими до нуля. При виборі дробової репліки важливо також ураховувати насиченість плану
Піврепліки, в яких основні ефекти змішані з двухфакторним добутком називаються насиченими планами з роздільною здатність III.
При відсутній інформації про ефекти взаємодій двухфакторного добутку експериментатор прагне вибрати репліку з найбільшою роздільною здатністю. Якщо існує якась інформація про ефекти взаємодій, то вона повинна використовуватись при виборі репліки.
Також існують насичені плани з роздільною здатністю 4, репліки в яких всі парні взаємодії змішані між собою.
=Ефективність реплік=
*Ефективність репліки залежить від системи змішування. Репліки, у яких лінійні ефекти змішані з взаємодіями найвищого порядку, є найбільш ефективними, оскільки володіють найбільшою роздільною здатністю.
*Для звільнення лінійних ефектів від взаємодій першого порядку можна використовувати метод «перевалу». Сенс методу в додаванні нової репліки, всі знаки якої протилежні початковій репліці.
*Із зростанням числа факторів швидко збільшується число реплік різного дробу. Ці репліки характеризуються узагальнюючими визначальними контрастами, які виходять перемножуванням по два, по три і так далі початкових визначальних контрастів.

=Список використаних джерел=
#1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).
#2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
#3. Конкретні методики викладання. Щетініна О.К., Карпенко О.Н., Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Прогнозування за допомогою нейронних мереж

2012-03-05T16:06:11Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Завдання|ulyasi4ka|Назаревич О.Б.|04 квітня 2010}}

[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/401] Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Означення нейронної мережі =

'''Штучні нейронні мережі (ШНМ)''' – математичні моделі, а також їх програмні або апаратні реалізації, побудовані за принципом організації й функціонування біологічних нейронних мереж – мереж нервових кліток живого організму. Це поняття виникло при вивченні процесів, що протікають у мозку, і при спробі змоделювати ці процеси. Першою такою спробою були нейронні мережі Маккалока й Піттса. Згодом, після розробки алгоритмів навчання, одержувані моделі стали використовувати в практичних цілях: у завданнях прогнозування, для розпізнавання образів, у завданнях керування й ін.

ШНМ являють собою систему з'єднаних і взаємодіючих між собою простих процесорів (штучних нейронів). Такі процесори звичайно досить прості, особливо в порівнянні із процесорами, використовуваними в персональних комп'ютерах. Кожний процесор подібної мережі має справу тільки із сигналами, які він періодично одержує, і сигналами, які він періодично посилає іншим процесорам. Проте, з'єднавши їх в досить велику мережу з керованою взаємодією, такі локально прості процесори разом здатні виконувати досить складні завдання.
З погляду машинного навчання, нейронна мережа являє собою окремий випадок методів розпізнавання образів, методів кластеризації й т.п. З математичної точки зору, навчання нейронних мереж – це багатопараметричне завдання нелінійної оптимізації. З погляду кібернетики, нейронна мережа використовується в завданнях адаптивного керування і як алгоритми для робототехніки. З погляду розвитку обчислювальної техніки й програмування, нейронна мережа – спосіб розв'язку проблеми ефективного паралелізму. А з погляду штучного інтелекту, ИНС є основним напрямком у структурному підході по вивченню можливості побудови (моделювання) природнього інтелекту за допомогою комп'ютерних алгоритмів.

Нейронні мережі не програмуються у звичному змісті цього слова, вони навчаються. Можливість навчання – одне з головних переваг нейронних мереж перед традиційними алгоритмами. Технічно навчання полягає в знаходженні коефіцієнтів зв'язків між нейронами. У процесі навчання нейронна мережа здатна виявляти складні залежності між вхідними даними й вихідними, а також виконувати узагальнення. Це значить, що, у випадку успішного навчання, мережа зможе повернути вірний результат на підставі даних, які були відсутні в навчальній вибірці, а також неповних і/або «зашумлених», частково перекручених даних.

== Біологічний нейрон ==

Нейрон (нервова клітка) складається з тіла клітини –соми (soma, cell body), і двох типів зовнішніх деревоподібних відгалужень: аксона (axon) і дендритів (dendrites). Тіло клітини вміщує ядро (nucleus), що містить інформацію про властивості нейрона, і плазму, яка продукує необхідні для нейрона матеріали. Нейрон отримує сигнали (імпульси) від інших нейронів через дендрити (приймачі) і передає сигнали, згенеровані тілом клітки, вздовж аксона (передавач), що наприкінці розгалужується на волокна (strands). На закінченнях волокон знаходяться синапси (synapses).
<center>
[[Файл:1.png‎]]

Рисунок 1. – Схема біологічного нейрона
</center>
Синапс є функціональним вузлом між двома нейронами (волокно аксона одного нейрона і дендрит іншого). Коли імпульс досягає синаптичного закінчення, продукуються хімічні речовини, названі нейротрансмітерами. Нейротрансмітери проходять через синаптичну щілину, збуджуючи або гальмуючи, у залежності від типу синапсу, здатність нейрона-приймача генерувати електричні імпульси. Результативність синапсу налаштовується минаючими через нього сигналами, тому синапси навчаються в залежності від активності процесів, у яких вони приймають участь. Нейрони взаємодіють за допомогою короткої серії імпульсів. Повідомлення передається за допомогою частотно-імпульсної модуляції.

== Структура штучного нейрона ==

Нейрон є складовою частиною нейронної мережі. На рисунку 2.1 представлена його структура. Він складається з елементів трьох типів: помножувачів (синапсів), суматора і нелінійного перетворювача. Синапси здійснюють зв’язок між нейронами, множать вхідний сигнал на число, що характеризує силу зв’язку, (вагу синапса). Суматор виконує додавання сигналів, що надходять по синаптичним зв’язках від інших нейронів і зовнішніх вхідних сигналів. Нелінійний перетворювач реалізує нелінійну функцію одного аргументу – виходу суматора. Ця функція називається функцією активації чи передатною функцією нейрона.
<center>
[[Файл:2.png‎]]

Рисунок 2. – Структура штучного нейрона
</center>

== Архітектура нейронної мережі ==

Існуючі на даний час, нейромережі є групуванням штучних нейронів. Це групування обумовлено створенням з'єднанних між собою прошарків.
На рис. 3 показана типова структура штучних нейромереж. Хоча існують мережі, які містять лише один прошарок, або навіть один елемент, більшість застосувань вимагають мережі, які містять як мінімум три нормальних типи прошарків – вхідний, прихований та вихідний. Прошарок вхідних нейронів отримує дані або з вхідних файлів, або безпосередньо з електронних давачів. Вихідний прошарок пересилає інформацію безпосередньо до зовнішнього середовища, до вторинного комп'ютерного процесу, або до інших пристроїв. Між цими двома прошарками може бути багато прихованих прошарків, які містять багато нейронів у різноманітних зв'язаних структурах. Входи та виходи кожного з прихованих нейронів просто йдуть до інших нейронів.

<center>[[Файл:3.png‎]]

Рисунок 3. – Діаграма простої нейронної мережі
</center>

Напрямок зв'язку від одного нейрону до іншого є важливим аспектом нейромереж. У більшості мереж кожен нейрон прихованого прошарку отримує сигнали від всіх нейронів попереднього прошарку та звичайно від нейронів вхідного прошарку. Після виконання операцій над сигналами, нейрон передає свій вихід до всіх нейронів наступних прошарків, забезпечуючи шлях передачі вперед (feedforward) на вихід.
Багатошарові нейронні мережі можна поділити на:
- мережі прямого розповсюдження ;
- мережі зі зворотними зв’язками.
У мережах прямого розповсюдження нейрони вхідного шару отримають вхідні сигнали, перетворюють і передають їх нейронам першого шару, останні – нейронам другого, потім третього і так дальше аж до вихідного шару, який видає їх користувачу. У мережах зі зворотними зв’язками інформація з подальших шарів передається на попередні.

== Навчання штучної нейронної мережі ==

Здатність до навчання є фундаментальною властивістю мозку. Процес навчання може розглядатися як визначення архітектури мережі і налаштування ваг зв'язків для ефективного виконання спеціальної задачі. Нейромережа налаштовує ваги зв'язків по наявній навчальній множині. Властивість мережі навчатися на прикладах робить їх більш привабливими в порівнянні із системами, які функціонують згідно визначеній системі правил, сформульованої експертами.

Для процесу навчання необхідно мати модель зовнішнього середовища, у якій функціонує нейронна мережа – потрібну для вирішення задачі інформацію. По-друге, необхідно визначити, як модифікувати вагові параметри мережі. Алгоритм навчання означає процедуру, в якій використовуються правила навчання для налаштування ваг.

Існують три загальні парадигми навчання: "з вчителем", "без вчителя" (самонавчання) і змішана.

У першому випадку нейромережа має у своєму розпорядженні правильні відповіді (виходи мережі) на кожен вхідний приклад. Ваги налаштовуються так, щоб мережа виробляла відповіді як можна більш близькі до відомих правильних відповідей.

Навчання "без вчителя" не вимагає знання правильних відповідей на кожен приклад навчальної вибірки. У цьому випадку розкривається внутрішня структура даних та кореляція між зразками в навчальній множині, що дозволяє розподілити зразки по категоріях.

При змішаному навчанні частина ваг визначається за допомогою навчання зі вчителем, у той час як інша визначається за допомогою самонавчання.

У загальному використанні є багато правил навчання, але більшість з цих правил є деякою зміною відомого та найстаршого правила навчання, правила Хеба. Дослідження різних правил навчання триває, і нові ідеї регулярно публікуються в наукових та комерційних виданнях. Представимо декілька основних правил навчання.

'''Правило Хеба'''

Опис правила з'явився у його книзі "Організація поведінки" у 1949 р. "Якщо нейрон отримує вхідний сигнал від іншого нейрону і обидва є високо активними (математично мають такий самий знак), вага між нейронами повинна бути підсилена". При збудженні одночасно двох нейронів з виходами (хj, уі) на t-тому кроці навчання вага синаптичного з'єднання між ними зростає, в інакшому випадку - зменшується, тобто

<math>Wij(k)=r xj (k) yi (k)</math>,

де r - коефіцієнт швидкості навчання.

Може застосовуватись при навчанні "з вчителем" і "без вчителя".

'''Правило Хопфілда'''

Є подібним до правила Хеба за винятком того, що воно визначає величину підсилення або послаблення. "Якщо одночасно вихідний та вхідний сигнал нейрона є активними або неактивними, збільшуємо вагу з'єднання оцінкою навчання, інакше зменшуємо вагу оцінкою навчання".

'''Правило "дельта".'''

Це правило є подальшою зміною правила Хеба і є одним із найбільш загально використовуваних. Це правило базується на простій ідеї неперервної зміни синаптичних ваг для зменшення різниці ("дельта") між значенням бажаного та біжучого вихідного сигналу нейрона.

<math>Wij= xj (di - yi).</math>

За цим правилом мінімізується середньоквадратична похибка мережі. Це правило також згадується як правило навчання Відрова-Хофа та правило навчання найменших середніх квадратів.

У правилі "дельта" похибка отримана у вихідному прошарку перетворюється похідною передатної функції і послідовно пошарово поширюється назад на попередні прошарки для корекції синаптичних ваг. Процес зворотного поширення похибок мережі триває до досягнення першого прошарку.

При використанні правила "дельта" важливим є невпорядкованість множини вхідних даних. При добре впорядкованому або структурованому представленні навчальної множини результат мережі може не збігтися до бажаної точності і мережа буде вважатись нездатною до навчання.

'''Правило градієнтного спуску'''

Це правило подібне до правила "дельта" використанням похідної від передатної функції для змінювання похибки "дельта" перед тим, як застосувати її до ваг з'єднань. До кінцевого коефіцієнта зміни, що діє на вагу, додається пропорційна константа, яка пов'язана з оцінкою навчання. І хоча процес навчання збігається до точки стабільності дуже повільно, це правило поширене і є загально використовуване.

Доведено, що різні оцінки навчання для різних прошарків мережі допомагає процесу навчання збігатись швидше. Оцінки навчання для прошарків, близьких до виходу, встановлюються меншими, ніж для рівнів, ближчих до входу.

'''Навчання методом змагання'''

На відміну від навчання Хеба, у якому множина вихідних нейронів може збуджуватись одночасно, при навчанні методом змагання вихідні нейрони змагаються між собою за активізацію. Це явище, відоме як правило "переможець отримує все". Подібне навчання має місце в біологічних нейронних мережах. Навчання за допомогою змагання дозволяє кластеризувати вхідні дані: подібні приклади групуються мережею відповідно до кореляцій і представляються одним елементом.

При навчанні модифікуються синаптичні ваги нейрона-переможця. Ефект цього правила досягається за рахунок такої зміни збереженого в мережі зразка (вектора синаптичних ваг нейрона-переможця), при якому він стає подібним до вхідного приклада. Нейрон з найбільшим вихідним сигналом оголошується переможцем і має можливість гальмувати своїх конкурентів і збуджувати сусідів. Використовується вихідний сигнал нейрона-переможця і тільки йому та його сусідам дозволяється коректувати свої ваги з'єднань.

<math>Wij (k+1)= Wij(k)+r [xj - Wij(k)]</math>

Розмір області сусідства може змінюватись під час періоду навчання. Звичайна парадигма повинна починатись з великої області визначення сусідства і зменшуватись під час процесу навчання. Оскільки елемент-переможець визначається по найвищій відповідності до вхідного зразку, мережі Коxонена моделюють розподіл входів. Це правило використовується в самоорганізованих картах.

= Задачі прогнозування =
Особливе значення мають задачі передбачення та прогнозування часових рядів, серед яких виділяються завдання з набором певних специфічних ознак, тому варто провести їх класифікацію. Задачі дослідження явищ, розвиток яких пов'язаний із часом, можна поділити на декілька класів:

'''За характером основних ознак об'єкту:'''

• прогнозування явищ, реалізації яких представлені у вигляді детермінованих часових рядів. Такі задачі, зокрема, можна вирішити шляхом застосування методів математичного аналізу;

• прогнозування явищ, реалізації яких представлені у вигляді індетермінованих часових рядів. Вирішення цих задач традиційно здійснюється шляхом застосування методів теорії ймовірностей та математичної статистики. Зокрема, реалізації таких явищ, можуть мати вигляд:

а) стаціонарного часового ряду, який характеризується однорідністю в часі, без суттєвих змін характеру коливань та їх середньої амплітуди;

б) нестаціонарного часового ряду, який характеризується певною тенденцією розвитку в часі; при дослідженні нестаціонарних процесів можна виділити ділянки, на яких процес можна вважати стаціонарним; вибір проміжку для формування навчальної множини в такому випадку обирається згідно задачі прогнозування;

'''За числом ознак об'єкту досліджень:'''

• одновимірна задача; явище представлене лише однією ознакою, зміни якої відбуваються в часі;

• багатовимірна задача; об'єкт або явище представлені кількома ознаками; задача прогнозування може бути розширена завдяки представленню даних в просторі.

'''За часом випередження розрізняють види прогнозів:'''

• згладжування, R= 0;

• короткотерміновий прогноз, R= 1… 2;

• середньотерміновий прогноз, R= 3 … 7;

• довготерміновий прогноз, R= 10 … 15.

Очевидно, що вид прогнозу суттєво впливає на вибір засобів і методику його реалізації.

= Загальні підходи до прогнозування за допомогою нейронних мереж =

Дані про поведінку об'єкта, ознаки якого пов'язані з часом, представлені як результати спостережень в рівномірні відліки часу. Для моментів часу t=1, 2, ..., n дані спостережень набувають вигляду часового ряду х(t1), х(t2), ..., х(tn). Інформація про значення часового ряду до моменту n дозволяє давати оцінки параметрів x(tn+1), x(n+2), ..., x(n+m). Для здійснення прогнозування елементів часових рядів широко використовують так званий метод "часових вікон".

В залежності від кількості ознак, що представляють значення рядів при формуванні множин даних, виділимо задачі двох типів.

== Однопараметрична задача прогнозування ==

Нехай часовий ряд x(t) задано відліками процесу x(t1), x(t2),..., x(tі) в дискретні моменти часу t. Задамо ширину (кількість дискретних відліків) вхідного часового вікна m, ширину вихідного вікна р. Вхідне та вихідне вікна накладаються на дані ряду, починаючи з першого елемента (рис. 4).

<center>[[Файл:4.png‎]]

Рисунок 4. – Формування множин даних для однопараметричної задачі за методом "часових вікон"
</center>

Вхідне вікно формує дані для входів нейронної мережі, а вихідне, відповідно, для виходів. Подібна пара вхідного та вихідного векторів приймається за одну реалізацію часового ряду. При зсуві часових вікон за часовим рядом з кроком s, отримуємо другу і наступні реалізації.

Значення ширини вікон та кроку зміщення повинні узгоджуватись з особливостями часового ряду, що забезпечується шляхом проведення експериментів. Нехай вхідне вікно має ширину m, вихідне вікно р=1, крок зміщення s=1. Тоді сформована множина значень для однопараметричної задачі матиме вигляд, наведений нижче:

Таблиця 1. – Множина даних для однопараметричної задачі

<center>[[Файл:5.png]]</center>

==Багатопараметрична задача прогнозування ==

В багатопараметричних задачах прогнозування підходи до розв'язання проблеми залишаються подібними (рис.5).

<center> [[Файл:6.png]]

Рисунок 5. – Формування множин даних для багатопараметричної задачі
</center>

Нехай потрібно спрогнозувати взаємозалежні величини x(t), y(t), ..., z(t). Якщо прийняти ширину вхідного вікна m, вихідного р=1, кроку зміщення s=1, можна сформувати множину даних наступним чином:

Таблиця 2. – Множина даних для багатопараметричної задачі

<center> [[Файл:7.png]]</center>

Функціонування нейромережі здійснюється у відповідності з показаним методом часових вікон, зберігаючи значення ширини вікон та кроку зсуву.
Конкретизація підходів до реалізації прогнозування в значній мірі залежить також від особливостей явища, що досліджується.

== Однокрокове прогнозування (передбачення)==
Задача однокрокового прогнозування зводиться до задачі відображення, коли один вхідний вектор відображається у вихідний (рис. 6).

<center> [[Файл:8.png]]

Рисунок 12. – Послідовність використання нейромереж для задач передбачення
</center>

У випадку однопараметричної задачі передбачення навчальна множина до моменту n, за умови m=3, p=1, s=1, матиме вигляд наведений в таблиці 3.
Таблиця 3. – Навчальна множина для однопараметричної задачі передбачення

<center> [[Файл:9.png]]</center>

В режимі навчання встановлюються коефіцієнти ваг зв'язків, після чого стає можливим перехід до режиму функціонування. Для передбачення на входи нейромережі надходять значення останньої реалізації навчальної множини <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. На виході формується прогнозована величина x*(tn+1).

Для багатопараметричної задачі передбачення на входи навченої нейромережі подаються вектори <math>x(tn-2)</math>, <math>y(tn-2)</math>, <math>z(tn-2)</math>, <math>x(tn-1</math>), <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>. На виходи нейромережі надходять передбачені величини x*(tn+1), y*(tn+1), z*(tn+1), які відкладаються у вихідний вектор передбачених даних.

Показаний режим є однокроковим, який працює в режимі відображення (реальний вхід®прогнозований вихід). Передбачення застосовують також для моделювання дискретних послідовностей, що не пов'язані з часом. Враховуючи специфіку часових рядів, такий тип прогнозу не завжди є доцільним, але для певних випадків короткотермінових прогнозів ним можливо скористатись.

== Багатокрокове прогнозування ==

Багатокрокове прогнозування застосовують лише для явищ, ознаки яких представлені у вигляді часових рядів.

Для однопараметричної задачі прогнозування навчальна множина матиме вигляд наведений в табл. 3. Під час навчання мережа налаштовує коефіцієнти ваг зв'язків і поліномів передатних функцій, які в подальшому і визначають режим функціонування. Багатокрокове прогнозування часового ряду здійснюється наступним чином (рис. 6). На входи нейромережі подається вектор відомих значень <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. На виході формується прогнозована величина <math>x*(tn+1)</math>, яка визначає вектор прогнозованих виходів і одночасно долучається до значень навчальної множини, тобто, приймається як достовірна. Далі на входи подається вектор <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, а на виході отримується <math>x*(tn+2)</math> і наступні прогнозовані значення.

<center> [[Файл:10.png]]

Рисунок 6. – Послідовність використання НМ для задач багатокрокового прогнозування
</center>
Для багатопараметричної задачі прогнозування на входи навченої нейромережі подаються вектори <math>x(tn-2)</math>, <math>y(tn-2)</math>, <math>z(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>. На виході продукуються величини x*(tn+1), y*(tn+1), z*(tn+1), які формують вектор вихідних значень і послідовно долучаються до значень навчальної множини. При зсуві вікна на крок прогнозу вихідні дані, що були спродуковані мережею, сприймаються як реальні і приймають участь у прогнозуванні наступного значення виходу, тобто на входи подаємо вектор <math>x(tn-1)</math>, <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, <math>y*(tn+1)</math>, <math>z*(tn+1)</math>, а на виході отримуємо x*(tn+2), y*(tn+2), z*(tn+2) і наступні прогнозовані значення.

Багатокрокове прогнозування дозволяє робити коротко- та середньотермінові прогнози, оскільки суттєвий вплив на точність має накопичення похибки на кожному кроці прогнозування. При застосуванні довготермінового багатокрокового прогнозування спостерігається характерне для багатьох прогнозуючих систем поступове затухання процесу, фазові зсуви і інші спотворення картини прогнозу. Такий тип прогнозування підходить для часових рядів, які підпадають під означення стаціонарного процесу з невеликою випадковою складовою.

== Багатокрокове прогнозування з перенавчанням нейромережі на кожному кроці прогнозу ==

Швидкі неітераційні алгоритми навчання дозволяють запропонувати новий тип багатокрокового прогнозу, який може бути застосований при довготермінових прогнозах із збереженням задовільної точності прогнозування.
Аналогічно з попереднім алгоритмом прогнозування на входи мережі у режимі функціонування надходить остання реалізація навчальної множини <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. Прогнозоване значення виходу <math>x*(tn+1)</math> відкладається у векторі прогнозованих вихідних значень і в якості достовірного додається до реальних значень навчальної множини. Навчальна множина збільшується на одне часове вікно. Відбувається процес перенавчання мережі на збільшеній навчальній множині, під час якого визначаються нові вагові коефіцієнти k синаптичних зв'язків і поліномів передатних функцій нейронів (рис. 7).

<center> [[Файл:11.png]]

Рисунок 7. – Послідовність використання нейромережі для задач багатокрокового прогнозування з перенавчанням
</center>

Реалізація <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, як значення наступного вхідного вікна подається на входи мережі в режимі функціонування. Мережа продукує нове вихідне значення <math>x*(tn+2)</math>, яке відповідно також відкладається у вектор продукованих виходів і долучається до реальних значень навчальної множини, з метою подальшого перенавчання мережі та встановлення поновлених коефіцієнтів поліномів передатних функцій і синаптичних зв'язків. Ітераційна процедура перенавчання поширюється до прогнозованого значення <math>x*(tN)</math>.

Такий підхід дозволяє при великих інтервалах випередження усунути затухання прогностичних властивостей мережі за рахунок постійного коректування вагових коефіцієнтів синаптичних зв'язків.

Відзначимо, що алгоритм багатокрокового прогнозування з перенавчанням мережі для традиційних мереж прямого поширення з ітераційним навчанням є практично нездійсненним через великі часові затримки, необхідні на переналаштовування коефіцієнтів мережі.

== Нейромережеві моделі бізнес-прогнозування ==
Зараз, найперспективнішим методом прогнозування є використання нейронних мереж. Можна назвати багато переваг нейронних мереж над іншими алгоритмами, нижче наведено два основні.

При використанні нейронних мереж легко досліджувати залежність прогнозованої величини від незалежних змінних. Наприклад, є припущення, що продажі на наступному тижні якимось чином залежать від наступних параметрів:

• продажів в останній тиждень

• продажів у передостанній тиждень

• часу прокручування рекламних роликів (TRP)

• кількості робочих днів

• температури

Крім того, продажі носять сезонний характер, мають тренд і якось залежать від активності конкурентів.

Хотілося б побудувати систему, яка б усе це природнім чином враховувала і будувала б короткострокові прогнози.

У такій постановці завдання застосування більшої частини класичних методів прогнозування буде просто неможливою.

Використовуючи ж навіть найпростішу нейромережеву архітектуру (перцептрон з одним схованим шаром) і базу даних (із продажами й усіма параметрами) легко одержати працюючу систему прогнозування. Причому враховувати, чи не враховувати зовнішні параметри системою буде визначатися включенням, або виключенням відповідного входу в нейронну мережу.

Експерт може скористатися яким-небудь алгоритмом визначення важливості і відразу визначити значимість вхідних змінних, щоб потім виключити з розгляду параметри, що мають незначний вплив.

Ще одна серйозна перевага нейронних мереж полягає в тому, що експерт не є заручником вибору математичної моделі поведінки часового ряду. Побудова нейромережевої моделі відбувається адаптивно під час навчання, без участі експерта. При цьому нейронній мережі пред'являються приклади з бази даних і вона сама підлаштовується під ці дані.

Недоліком нейронних мереж є їхня недетермінованість. Мається на увазі те, що після навчання є "чорний ящик", який якимось чином працює, але логіка прийняття розв'язків нейромережею зовсім схована від експерта. У принципі, існують алгоритми "витягу знань із нейронної мережі", які формалізують навчену нейронну мережу до списку логічних правил, тим самим створюючи на основі мережі експертну систему. На жаль, ці алгоритми не вбудовуються в нейромережеві пакети, до того ж набори правил, які генеруються такими алгоритмами досить об'ємні.

Проте, для людей, що вміють працювати з нейронними мережами й знаючими нюанси налаштування, навчання й застосування, у практичних завданнях непрозорість нейронних мереж не є настільки серйозним недоліком.
Використання багатошарових персептронов

Найпростіший варіант застосування штучних нейронних мереж у завданнях бізнес-прогнозування – використання звичайного перцептрона з одним, двома, або трьома прихованими шарами. При цьому на входи нейронної мережі звичайно подається набір параметрів, на основі якого ( на думку експерта) можна успішно прогнозувати. Виходом звичайно є прогноз мережі на майбутній момент часу.

<center> [[Файл:12.png]] </center>

Розглянемо приклад прогнозування продажів. На малюнку представлений графік, що віддображає історію продажів деякого продукту по тижнях. У даних явно помітна виражена сезонність. Для простоти припустимо, що ніяких інших потрібних даних у нас немає. Тоді мережу логічно будувати в такий спосіб. Для прогнозування на майбутній тиждень треба подавати дані про продажі за останні тижні, а також дані про продажі в плині декількох тижнів підряд рік тому, щоб мережа бачила динаміку продажів один сезон назад, коли ця динаміка була схожа на справжню за рахунок сезонності.

Якщо вхідних параметрів багато, рекомендується не скидати їх відразу в нейронну мережу, а спробувати спочатку провести перед обробку даних, для того щоб понизити їхню розмірність, або представити в правильному виді. У більшості практичних завдань по прогнозуванню продажів перед обробка складається з різних частин. От лише один приклад.

Нехай у попередньому прикладі в нас є не тільки історична база даних про продажі продукту, які ми прогнозуємо, але й дані про його рекламу на телебаченні. Ці дані можуть виглядати в такий спосіб

По осі часу відкладені номери тижнів і рекламні індекси для кожного тижня. Видно, що в шістнадцятому й сімнадцятому тижні реклами не було взагалі. Очевидно, що неправильно дані про рекламу подавати в у такому виді, оскільки визначає продажу не сама реклама як така, а образи й враження у свідомості покупця, які ця реклама створює. І така реклама має тривалу дію - навіть через кілька місяців після закінчення реклами на телебаченні люди будуть пам'ятати продукт і купувати його, хоча, швидше за все, продажу будуть поступово падати. Тому намагаючись подавати в мережу такі дані про рекламу ми робимо неправильну постановку завдання й, як мінімум, ускладнимо мережі процес навчання.

При використанні багатошарових нейронних мереж у бізнес-прогнозуванні в загальному і прогнозуванні продажів зокрема корисно також пам'ятати про те, що потрібно акуратно робити нормування й що для вихідного нейрона краще використовувати лінійну передатну функцію. Узагальнюючі властивості від цього небагато погіршуються, але мережа буде набагато краще працювати з даними, що містять тренд.

=Список використаних джерел=

#http://masters.donntu.edu.ua/2003/fvti/paukov/library/neurow.htm
#http://victoria.lviv.ua/html/oio/
#Уоссермен Ф.. Нейрокомпьютерна техніка. - М.: Світ, 1992
Круглов В. В., Борисов В. В. Искусственные нейронные сети. Теорія и практика. – М.: Горячая линия - Телеком, 2001. – 382 с.
#Мак-Каллок У. С., Питтс В. Логическое исчисление идей, относящихся к нервной активности // В сб.: «Автоматы» под ред. К. Э. Шеннона и Дж. Маккарти. — М.: Изд-во иностр. лит., 1956. — с.363-384. (Перевод английской статьи 1943 г.).
#http://www.neuroproject.ru/forecasting_tutorial.php#mlp
#Нейронные сети. Саймон Хайкин. – М.: Вильямс, 2006. – 1103

{{Завдання:Виступ|ulyasi4ka|04 березня 2010| Прогнозування за допомогою нейронних мереж }}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

[http://essaywritingservices.org/prices.php write my essay]

Попередня обробка експериментальних даних

2012-03-05T16:06:06Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Завдання|Росинець Наталія Андріївна|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}

===Попередня обробка експериментальних даних. Критерії відсіювання завідомо помилкових даних===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/382 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Зміст та завдання попередньої обробки експериментальних даних ==
Результати вимірювань – це випадкові величини, тобто в ході експерименту інформація спотворена перешкодами, і за одних і тих же умов можна отримати різні дані.
 
Зміст попередньої обробки даних полягає у відсіюванні грубих похибок і оцінці достовірності результатів вимірювань. Попередня обробка результатів вимірювань необхідна для того, щоб надалі, при побудові функцій відгуку, з найбільшою ефективністю використовувати статистичні методи і коректно аналізувати отримані результати.
 
Завданням попередньої обробки даних є перевірка відповідності результатів вимірювання нормальному закону і визначення параметрів цього розподілу. Якщо відгук суперечить нормальному розподілу, то слід визначити, якому закону розподілу підлягають дослідні дані або, якщо це можливо, перетворити досліджуваний розподіл до нормального вигляду.

== Методи обробки експериментальних даних ==

=== Метод найменших квадратів ===
Для обробки експериментальних даних найчастіше на практиці використовують метод найменших квадратів - один з методів теорії помилок, що використовується для оцінки невідомих величин за наслідками вимірювань, що містить випадкові помилки (спричиняються різного роду випадковими причинами, які діють при кожному з окремих вимірювань непередбаченим чином).
 
Метод найменших квадратів запропонував К. Гаус (1794—95) і А. Лежандром (1805—06). Строге математичне обґрунтовування методу було дано А. А. Марковим (старшим) і А. Н. Колмогоровим. Нині цей метод є одним з найважливіших розділів математичної статистики і широко використовується для статистичних висновків в різних областях науки і техніки.
 
Суть методу найменших квадратів (по Гаусу) полягає в припущені, що «збиток» від заміни точного (невідомого) значення фізичної величини m її наближеним значенням X, обчисленим за наслідками спостережень, пропорційний квадрату помилки:<math>{{(X-m)}^{2}}</math>.
 
Оптимальною оцінкою визнають величину X , позбавлену систематичної помилки, для якої середнє значення «збитку» мінімальне.
Задачу пошуку оптимальної оцінки звужують і як Х вибирають лінійну функцію від результатів спостережень, позбавлену систематичної помилки, і таку, для якої середнє значення «збитку» мінімальне в класі всіх лінійних функцій. Якщо випадкові помилки спостережень мають нормальний розподіл і оцінювана величина m залежить від середніх значень результатів спостережень лінійно, то рішення цієї задачі одночасно буде і рішенням загальної задачі. Оцінка X, обчислена згідно методу найменших квадратів — найвірогідніше значення невідомого параметра m.
 
Метод найменших квадратів дає найбільш бажаний результат тоді, коли випадкова помилка має порівняно невелику величину. В іншому разі необхідним є проведення попередньої обробки експериментальних даних, яка полягає в наступному: вихідні записи випадкових величин згладжуються певним способом, що дає змогу виявити основну тенденцію у їхній зміні.

=== Метод виключення перешкод ===
Метод виключення перешкод полягає у проведенні на око середньої лінії, яка враховує тільки основні коливання змінної. Інформація, що надалі буде зніматись із цієї середньої лінії, при математичній обробці даних буде використовуватись як вихідна.
 
Значення випадкової величини, що не збігаються із середньою лінією, прямо не впливатимуть на подальші висновки.

=== Метод оновлюваної середньої ===
Метод оновлюваної середньої полягає у використанні рекурентної формули для обчислення середнього арифметичного . Якщо випадкова величина х надходить у вигляді дискретних вимірів і для (N - 1) - го виміру обчислено середнє значення , то поява нового виміру змінює попереднє середнє значення на величину
<center><math>\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
 
При згладжуванні цим методом у кожній точці на часовій осі виміряне значення замінюється на середнє, розраховане на даний момент часу.
 
Послідовність обчислених за рекурентною формулою середніх значень є позбавленим від перешкод рядом вимірів змінної х, який використовується при подальшій обробці.
 
<center>'''Приклад'''</center>
----
 
Розглянемо згладжування методом оновлюваної середньої наступного ряду вимірювань величини х:
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
Перше значення збігається з х1. Друге значення обчислюється за рекурентною формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}={{x}_{N-1}}+\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
Отже:<math>{{\bar{x}}_{2}}=3.4+\frac{1}{2}(3.1-3.4)=3.25</math>;<math>{{\bar{x}}_{3}}=3.25+\frac{1}{3}(5.4-3.25)=3.96</math>;
<math>{{\bar{x}}_{4}}=3.65</math>;<math>{{\bar{x}}_{5}}=3.50</math>;<math>{{\bar{x}}_{6}}=3.46</math>;<math>{{\bar{x}}_{7}}=3.35</math>;<math>{{\bar{x}}_{8}}=3.47</math>;<math>{{\bar{x}}_{9}}=3.44</math>;<math>{{\bar{x}}_{10}}=3.30</math>.
 
Результати згладжування експериментальних даних зображено на рисунку:
 
[[Файл:n-1.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування експериментальних даних]]
 

=== Метод ковзної середньої ===
Метод ковзної середньої полягає в послідовному усередненні на деякому інтервалі <math>{{\tau }_{y}}</math> значень вимірюваної величини х. Рухаючи <math>{{\tau }_{y}}</math> уздовж осі часу для всіх точок <math>{{\tau }_{i}}</math>, що попали в нього, відповідні значення <math>{{x}_{i}}</math> замінимо середніми значеннями; віднесемо ці значення до середини відповідного інтервалу.
Операція згладжування виконується за формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
де і – номер інтервалу; (l+1) – число вимірювань у і-тому інтервалі; <math>(i+\frac{l}{2})</math> - номер замінюваного вимірювання.
 
Якщо попередня оцінка виконана невдало і після згладжування залишаються перешкоди, утворені дані знову можна піддати усередненню і робити це багаторазово, до бажаного результату.
 
<center>'''Приклад'''</center>
----
 
Для ряду вимірювань
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
обчислимо згладжені значення на інтервалі l+1=3,використовуючи формулу:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
Отже, <math>{{\bar{x}}_{1+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{2}}=\frac{1}{3}(3.4+3.1+5.4)=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{2+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{3}}=\frac{1}{3}(3.1+5.4+2.7)=3.73</math>; <math>{{\bar{x}}_{4}}=3.66</math>; <math>{{\bar{x}}_{5}}=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{6}}=2.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{7}}=3.43</math>; <math>{{\bar{x}}_{8}}=3.40</math>; <math>{{\bar{x}}_{9}}=3.16</math>
 
На рисунку наведено результат згладжування:
 
[[Файл:n-2.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
 
Іноді при згладжуванні заокруглюють наближення, використовуючи середні значення для не перекриваючих один одного інтервалів. Для цього обчислюють середнє значення за трьома першими точками, приписують результат середині інтервалу, а для наступного обчислення середньої використовують 4-ту, 5-ту і 6-ту точки і т. д.
 
[[Файл:n-3.JPEG|640x170px|border|center|Заокруглення наближення при зглажуванні]]
 
В обох випадках частина початкової і кінцевої інформації втрачається.

=== Метод експоненційного згладжування ===
Цей метод має найширші можливості. Тут використовують наступні формули:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}=\alpha \cdot {{x}_{N}}+(1-\alpha ){{\bar{x}}_{N-1}}</math>або<math>{{\bar{x}}_{N}}={{\bar{x}}_{N-1}}+\alpha \cdot ({{x}_{N}}-{{\bar{x}}_{N-1}})</math></center>
 
де <math>\alpha </math> - параметр згладжування, який вибирається в діапазоні 0..1. Тут обчислювана середня заміняє відповідне значення вимірюваної змінної.
 
Від величини <math>\alpha </math> залежать згладжуючи властивості методу. При різних <math>\alpha </math> можна добувати з вихідної інформації високочастотні або низькочастотні складові. Таким чином, з’являється можливість боротися з низько – і високочастотними шумами, тобто зі швидко – і повільно змінними у часі перешкодами.
 
При малих , близьких до 0 <math>\alpha </math>, сукупність обчислених середніх відобразить низькочастотні зміни вимірюваної змінної, позбавивши їх швидкозмінних перешкод. У цьому випадку говорять про ''інерційне згладжування'', при якому обчислювана середня мало залежить від останнього вимірювання і значною мірою від середньої, утвореної на попередньому кроці.
 
Якщо обрана величина <math>\alpha </math> - близька до 1 (наприклад, становить 0,6), то згладжування буде мало інерційним, значення ближчими до вимірюваних значень х, тобто високі частоти зберігатимуться:
 
[[Файл:n-4.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
 

== Критерії відсіювання завідомо помилкових даних ==

Дані, які відповідають умовам, що змінилися, називають грубими помилками або значеннями, що різко виділяються (аномальними).
У разі відсіву грубих помилок формулюється нульова гіпотеза:
<math>{{H}_{0}}</math>: "Серед результатів спостережень (вибіркових, дослідних даних) немає значень, що різко виділяються (аномальних)".
 
Альтернативною гіпотезою може бути:
або <math>H_{1}^{(1)}</math>: "Серед результатів спостережень є тільки одна груба помилка"
або <math>H_{1}^{(2)}</math>: "Серед результатів спостережень є дві або більш грубих помилок".
Найпоширенішими і теоретично обґрунтованими в цьому випадку є
*критерій Н.В. Смірнова (використовується при <math>H_{1}^{(1)}</math>)
*критерій Діксона (застосовується як при <math>H_{1}^{(1)}</math> так і при <math>H_{1}^{(2)}</math>)
 

=== Критерій Н. В. Смірнова ===

Якщо відомо, що є тільки одне аномальне значення (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>), то воно буде крайнім членом варіаційного ряду. Тому перевіряти вибірку на наявність однієї грубої помилки природно за допомогою статистики (якщо сумнів викликає перший член варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}=\min {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{1}}=\frac{\bar{x}-{{x}_{1}}}{{{s}_{x}}}</math></center>
 
або якщо сумніви викликає максимальний член варіаційного ряду <math>{{x}_{n}}=\max {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{n}}=\frac{{{x}_{n}}-\bar{x}}{{{s}_{x}}}</math></center>
 
Цей критерій вперше був запропонований Н.В. Смірновим. Він досліджував розподіл цих статистик і склав таблиці процентних точок
<math>{{u}_{\alpha ,n}}</math>. При вибраному рівні значущості критична область для критерію Н.В. Смірнова будується таким чином:
<center><math>{{u}_{1}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math> або <math>{{u}_{n}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math></center>
де <math>{{u}_{\alpha ,n}}</math> – це табличні значення
 
У випадку якщо виконується остання умова (статистика потрапляє в критичну область), то нульова гіпотеза відхиляється, тобто викид х1 або хn не випадковий і не характерний для даної сукупності даних, а визначається умовами, що змінилися або грубими помилками при проведенні дослідів.
 
В цьому випадку значення або виключають з розгляду, а знайдені раніше оцінки піддаються коректуванню з урахуванням відкинутого результату.

=== Критерій Діксона ===

В критерії Діксона застосовується статистика:
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найбільше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-i}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{j+1}}}</math></center>
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найменше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{1+i}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{n-j}}-{{x}_{1}}}</math></center>
 
Де <math>{{x}_{n}},{{x}_{n-i}},{{x}_{j+1}}</math> – члени варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le {{x}_{3}}...\le {{x}_{i}}...\le {{x}_{n}}</math>
 
Діксоном були отримані розподіли для статистик <math>{{r}_{10}},{{r}_{11}},{{r}_{12}},{{r}_{20}},{{r}_{21}},{{r}_{22}}</math> при об’ємі вибірки 3 <=n<=30.
 
Наприклад, статистика
<center><math>{{r}_{10}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{1}}}</math></center>
 
використовується для перевірки максимального або мінімального члена варіаційного ряду (одна груба помилка, альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>) при 3 <= n <= 7.
Якщо при тому ж об'ємі вибірки передбачається наявність двох і більше значень, що різко виділяються (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(2)}</math>), то використовується статистика <math>{{r}_{20}}</math>.
 
Статистики критерію Діксона, що використовуються при інших об'ємах вибірки, приведені в таблиці:
 
[[Файл:n-5.JPEG|640x170px|border|center|Статистики критерію Діксона]]
 

=Перелік використаних джерел=

# Большая Советская Энциклопедия // режим доступу: http://bse.sci-lib.com/article086042.html (станом на 13.02.10)
# Н. А. Спирин, В. В. Лавров. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента. – Екатеринбург: 2004, - 257 с.
# В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.

[http://custom-essay.ws/index.php essay papers]

[http://custom-essay.ws/index.php essay writing]

[[Категорія:Планування експерименту]]

Планування експерименту при дисперсійному аналізі Латинські і греко-латинські квадрати Латинські куби

2012-03-05T16:06:03Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Завдання|Сиротюк Михайло Володимирович|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}

===Планування експерименту при дисперсійному аналізі. Латинські і греко-латинські квадрати. Латинські куби===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/380 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Планування експерименту при дисперсійному аналізі ==
В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин змінюються у зв’язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних), що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.
 
Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При вивченні впливу на процес двох факторів число необхідних експериментів N (без повторення дослідів) визначається добутком рівнів факторів, що досліджуються. Якщо число рівнів n однакове, то об’єм експерименту при двофакторному дисперсійному аналізі рівне N=n2. При такій кількості дослідів в експерименті зустрічаються всі можливі комбінації факторів. Такий експеримент називається ''повним факторним експериментом'' (ПФЕ). Експеримент в якому пропущені деякі комбінації рівнів, називається ''подрібнений факторний експеримент'' (ДФЕ) [1].
 
В деяких випадках експериментатор свідомо йде на виключення можливих поєднань рівнів факторів, спираючись на міркування економії часу, коштів чи засобів. При двох і більше факторах і необхідності підтримувати кожний з них на кількох рівнях, таке скорочення загального числа дослідів необхідне.
Скорочення перебору рівнів завжди призводить до втрати частини інформації. Тому при ДФЕ важливо так запланувати експеримент, щоб губилась найменш суттєва при даній постановці задачі інформація. Особливо широко використовується ДФЕ, в якому губиться лише інформація про взаємодію факторів. Це дозволяється в тих випадках, коли ефекти взаємодії відсутні чи настільки малі, що їх можна не враховувати.
 
Число дослідів можна значно скоротити, якщо скористатись ДФЕ по схемі латинського квадрату, використаного вперше Фішером.

== Латинські квадрати ==

Латинський квадрат n x n – це квадратна таблиця, складена з n елементів (чисел чи букв) таким чином, що кожний елемент повторюється в кожній стрічці і кожному стовпчику тільки один раз. Рядки латинського квадрату відповідають різним рівням першого фактора, а стовпці – другого. Рівні третього (основного) фактору позначають літерами латинського алфавіту, які подають на перетині відповідних рядків і стовпців.
 
[[Файл:1.JPEG|1030x300px|border|center|Латинський квадрат 3х3]]
<center>Рис.1 - Латинський квадрат 3х3</center>
 
Стандартні чи канонічні латинські квадрати - це такі квадрати, у яких перша стрічка та перший стовпець побудовані в алфавітному
порядку (елементи квадрату – букви) чи в порядку натурального ряду (елементи квадрату – числа) [1]. Однокрокова циклічна перестановка в кінець стрічки – найбільш простий спосіб побудови латинського квадрату.
 
Застосовуючи латинські квадрати, зазвичай, виходять з того, що ефекти взаємодії між факторами незначні. Тоді результати ксперименту можна представити у вигляді лінійної моделі.

=== Дисперсійний аналіз латинського квадрату ===
При проведенні дисперсійного аналізу латинського квадрату без повторних дослідів зручно користуватись наступним алгоритмом розрахунку. Для цього визначають:
 
1.Суми по стрічках Аі, стовпцях Bj та латинських літерах Cq. Наприклад, для латинського квадрата 3 х 3:
*Сума по стрічках
<center><math>{{A}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}};{{A}_{2}}={{y}_{4}}+{{y}_{5}}+{{y}_{6}};{{A}_{3}}={{y}_{7}}+{{y}_{8}}+{{y}_{9}}</math></center>
*Сума по стовпцях:
<center><math>{{B}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{4}}+{{y}_{7}};{{B}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{5}}+{{y}_{8}};{{B}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{6}}+{{y}_{9}}</math></center>
*Сума по латинським буквам:
<center><math>{{C}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{6}}+{{y}_{8}};{{C}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{4}}+{{y}_{9}};{{C}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{5}}+{{y}_{7}}</math></center>
2.Суму квадратів всіх дослідів:
<center><math>S{{S}_{1}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{y_{ij}^{2}}}</math></center>
3.Суму квадратів сум по стрічках, поділену на число спостережень в стрічці:
<center><math>S{{S}_{2}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{2}}</math></center>
4.Суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число спостережень в стовпці:
<center><math>S{{S}_{3}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{2}}</math></center>
5.Суму квадратів сум по латинських буквах, поділену на число спостережень, що відповідає кожній букві:
<center><math>S{{S}_{4}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{q=1}^{n}{C_{q}^{2}}</math></center>
6.Квадрат загальної суми, поділений на число всіх спостережень (коректуючий член):
<center><math>S{{S}_{5}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{q=1}^{n}{{{C}_{q}}} \right)}^{2}}</math></center>
7.Суму квадратів для стрічки:
<center><math>S{{S}_{A}}=S{{S}_{2}}-S{{S}_{5}}</math></center>
8.Суму квадратів для стовпця:
<center><math>S{{S}_{B}}=S{{S}_{3}}-S{{S}_{5}}</math></center>
9.Суму квадратів для латинської букви:
<center><math>S{{S}_{C}}=S{{S}_{4}}-S{{S}_{5}}</math></center>
10.Загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх спостережень та коректуючим членом
<center><math>S{{S}_{zag}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{5}}</math></center>
11.Залишкову суму квадратів:
<center><math>S{{S}_{zal}}=S{{S}_{zag}}-S{{S}_{}}-S{{S}_{}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{2}}-S{{S}_{3}}-S{{S}_{4}}+2S{{S}_{5}}</math></center>
Залишкова сума квадратів складається з дисперсії, обумовленої помилкою досліду, і дисперсії, обумовленої взаємодією факторів, якщо такі мають місце:
12.Дисперсію <math>s_{A}^{2}</math>:
<center><math>s_{A}^{2}=\frac{S{{S}_{A}}}{n-1}</math></center>
13.Дисперсію <math>s_{B}^{2}</math>:
<center><math>s_{B}^{2}=\frac{S{{S}_{B}}}{n-1}</math></center>
14.Дисперсію <math>s_{C}^{2}</math>:
<center><math>s_{C}^{2}=\frac{S{{S}_{C}}}{n-1}</math></center>
15.Дисперсію <math>s_{pom}^{2}</math>:
<center><math>s_{pom}^{2}=\frac{S{{S}_{zal}}}{(n-1)(n-1)}</math></center>
 

== Греко–латинські квадрати ==

Планування за латинським квадратом дозволяє ввести в дослідження три фактора. Для чотирьох факторів хороші властивості має план експерименту по схемі греко-латинського квадрату. Число рівнів для всіх факторів повинно бути однакове.
 
[[Файл:2-a.JPEG|700x210px|border|center|Греко-латинський квадрат 3х3]]
<center>Рис.2 - Греко-латинський квадрат 3х3</center>
[[Файл:3.JPEG|1030x300px|border|center|Греко-латинський квадрат 5х5]]
<center>Рис.3 - Греко-латинський квадрат 5х5</center>
 
В греко-латинських квадратах є <math>{{n}^{2}}</math> різких комбінацій рівнів факторів замість <math>{{n}^{4}}</math> комбінацій повного чотирифакторного експерименту. Тому греко-латинський квадрат являє собою <math>1/{{n}^{2}}</math> репліку від ПФЕ.
Дисперсійний аналіз греко-латинського квадрату проводять так само, як і аналіз звичайного латинського квадрата, з врахуванням четвертого фактора D.
Використання греко-латинських та гіпер-греко-латинських квадратів в якості планів експерименту одночасно дає економію в числі дослідів та приводить до спрощення обчислень.

== Латинські куби ==

Повному факторному експерименту для трьох факторів <math>{{n}^{3}}</math> (n>2) відповідає кубічне розміщення з n елементів, що містить n3 позицій. Трьом ребрам кубу відповідають фактори А, В, С з рівнями 0, 1, 2, …, n-1. Коли ввести в план четвертий фактор D і рівні цього фактору (0, 1, 2, …, n-1) розмістити у відповідних до дослідів точках кубічного розміщення, то одержимо латинський куб розміру n першого порядку [1].
Планування експерименту по латинському кубу першого порядку дозволяє включити в розгляд чотири фактори (A, B, C i D). Відмінність від греко-латинського квадрату, котрий також дає можливість вивчити вплив чотирьох факторів є в тому, що в латинському кубі три фактори (A, B, C) рахуються головними і один фактор (D) складає елімінуюче групування, а в греко-латинському квадраті головними рахуються два фактори А та В, а C i D складають подвійне елімінуюче групування. Число дослідів в кубі в n раз більше, ніж в греко-латинському квадраті.
Два латинських куба розміром n першого порядку ортогональні, коли при накладанні їх один на одного кожний елемент одного кубу зустрічається з кожним елементом другого кубу n разів. Два таких ортогональних куба, накладених один на одного, представляють греко-латинський куб розміру n першого порядку. Планування по схемі греко-латинського кубу дозволяє ввести в експеримент п’ятий фактор.

=Перелік використаних джерел=

# Дисперсійний аналіз // режим доступу: http://lp.edu.ua/fileadmin/ICCT/top/pub/Chaykivskyy/mm/da.pdf (станом на 14.02.10)
# В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.
[http://editingwritingservices.org/hesitating.php creative writing services]

[[Категорія:Планування експерименту]]

Методи прогнозування

2012-03-05T16:05:59Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Завдання|hotcoffe|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/411 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Методи прогнозування =

До недавнього часу (середини 80-х років минулого століття) існувало декілька загальновизнаних методів прогнозування тимчасових рядів:

• Економетричні

• Регресійні

• Методи Бокса-дженкінса (ARIMA, ARMA)

Проте, починаючи з кінця 80-х років, в науковій літературі були опубліковані ряд статей з нейромережевої тематики, в яких був приведений ефективний алгоритм навчання нейронних мереж і доведена можливість їх використання для найширшого кола завдань.

Ці статті відродили інтерес до нейромереж в науковому співтоваристві і останні дуже скоро почали широко використовуватися при дослідженнях в самих різних областях науки від експериментальної фізики і хімії до економіки.

= Методи прогнозування, засновані на згладжуванні, експоненційному згладжуванні і ковзному середньому =

== "Наївні" моделі прогнозування ==

При створенні "наївних" моделей передбачається, що деякий основний період прогнозованого тимчасового ряду краще всього описує майбутнє цього прогнозованого ряду, тому в цих моделях прогноз, як правило, є дуже простою функцією від значень прогнозованої змінної в недалекому минулому.

Найпростішою моделлю є

<center> <math>Y_{t+1}=Y_{t}</math> </center>

що відповідає припущенню, що "завтра буде як сьогодні"[4].

Поза всяким сумнівом, від такої примітивної моделі не варто чекати великої точності. Вона не тільки не враховує механізми, що визначають прогнозовані дані (цей серйозний недолік взагалі притаменний багатьом статистичним методам прогнозування), але і не захищена від випадкових коливань, вона не враховує сезонні коливання і тенденції. Втім, можна будувати "наївні" моделі дещо по-іншому

<center>

<math>\begin{align}
& Y_{t+1}=Y_{t}+\left[ Y_{t}-Y_{t-1} \right], \\
& Y_{t+1}=Y_{t}\cdot \left[ Y_{t}/Y_{t-1} \right], \\
\end{align}</math>

</center>

такими способами ми намагаємося пристосувати модель до можливих тенденцій

<center>
<math>Y_{t+1}=Y_{t-S}</math>
</center>

це спроба врахувати сезонні коливання.

[[Файл:23.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.1 - Прогнозування найпростішими методами. </center>

[[Файл:24.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.2 - Прогнозування найпростішими методами. </center>

== Середні і ковзаючі середні ==

Найпростішою моделлю, заснованою на простому усереднюванні [4] є

<center>
<math>Y_{t+1}=\frac{1}{t}\left[ Y_{t}+Y_{t-1}+...+Y_{1} \right]</math>
</center>

і у відмінності від найпростішої "наївної" моделі, якій відповідав принцип "завтра буде як сьогодні", цій моделі відповідає принцип "завтра буде як було в середньому за останній час". Така модель, звичайно стійкіша до коливань, оскільки в ній згладжуються випадкові викиди щодо середнього. Не дивлячись на це, цей метод ідеологічно настільки ж примітивний як і "наївні" моделі і йому властиві майже ті ж самі недоліки.

У приведеній вище формулі передбачалося, що ряд усереднюється по достатньо тривалому інтервалу часу. Проте як правило, значення тимчасового ряду з недалекого минулого краще описують прогноз, ніж усі попередні значення цього ж ряду. Тоді можна використовувати для прогнозування ковзне середнє

<center>
<math>Y_{t+1}=\frac{1}{T+1}\left[ Y_{t}+Y_{t-1}+...+Y_{t-T} \right]</math>
</center>

Сенс його полягає в тому, що модель бачить тільки найближче минуле (на T відліків за часом в глибину) і грунтуючись тільки на цих даних будує прогноз.

При прогнозуванні досить часто використовується метод експоненціальних середніх, який постійно адаптується до даних за рахунок нових значень. Формула, що описує цю модель записується як

<center> <math>Y_{t+1}=\alpha Y_{t}+\left( 1-a \right)\hat{Y}_{t},</math>
</center>

де <math>Y_{t+1}</math> – прогноз на наступний період часу

<math>Y_{t}</math> – реальне значення у момент часу t

<math>\hat{Y}</math> – минулий прогноз на момент часу t

а – постійна згладжування (0<=a<=1)

У цьому методі є внутрішній параметр а, який визначає залежність прогнозу від усіх розглянутих даних, причому вплив даних на прогноз експоненціально зменшується із "віком" даних. Залежність впливу даних на прогноз при різних коефіцієнтах а приведена на графіці.

[[Файл:qa.png|border|center|Залежність впливу даних на прогноз при різних коефіцієнтах а ]]
<center>Рис.3 - Залежність впливу даних на прогноз при різних коефіцієнтах а </center>

Видно, що при a→1, експоненціальна модель прагне до найпростішої "наївної" моделі. При a→0, прогнозована величина стає рівною попередньому прогнозу.

Якщо проводиться прогнозування з використанням моделі експоненціального згладжування, зазвичай на деякому тестовому наборі будуються прогнози при a=[0.01, 0.02 ..., 0.98, 0.99] і відстежується, при якому а точність прогнозування вища. Це значення а потім використовується при прогнозуванні надалі.

Хоча описані вище моделі ("наївні" алгоритми, методи, засновані на середніх, ковзних середніх і експоненціальному згладжуванні) використовуються при бізнес-прогнозуванні в не дуже складних ситуаціях, наприклад, при прогнозуванні продажу на спокійних і сталих західних ринках, не рекомендовано використовувати ці методи в завданнях прогнозування з причини явної примітивності і неадекватності моделей.

Разом з цим хотілося б відзначити, що описані алгоритми цілком успішно можна використовувати як супутні і допоміжні для передобробки даних в завданнях прогнозування. Наприклад, для прогнозування продажу в більшості випадків необхідно проводити декомпозицію тимчасових рядів (тобто виділяти окремо тенденційну, сезонну і нерегулярну складові). Одним з методів виділення тенденційних складових є використання експоненціального згладжування.

[[Файл:26.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.4 - Прогнозування ковзаючим середнім. </center>

[[Файл:27.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.5 - Спад адекватності при ковзаючому середньому. </center>

= Методи Хольта і Брауна =

В середині минулого століття Хольт запропонував вдосконалений метод експоненціального згладжування, згодом названий його ім'ям. У запропонованому алгоритмі значення рівня і тенденції згладжуються за допомогою експоненціального згладжування. Причому параметри згладжування у них різні.
<center>
<math>\left\{ \begin{matrix}
\Omega _{t}=\alpha Y_{t}+\left( 1-\alpha \right)\left( \Omega _{t-1}-T_{t-1} \right), \\
T_{t}=\beta \left( \Omega _{t}-\Omega _{t-1} \right)+\left( 1-\beta \right)T_{t-1}, \\
\hat{Y}_{t+p}=\Omega _{t}+pT_{t} \\
\end{matrix} \right.</math>
</center>
Тут перше рівняння описує згладжений ряд загального рівня.

Друге рівняння служить для оцінки тенденції.

Третє рівняння визначає прогноз на p відліків за часом вперед.

Постійні згладжування в методі Хольта ідеологічно грають ту ж роль, що і постійна в простому експоненціальному згладжуванні. Підбираються вони, наприклад, шляхом перебору по цих параметрах з якимсь кроком. Можна використовувати і менш складні в сенсі кількості обчислень алгоритми. Головне, що завжди можна підібрати таку пару параметрів, яка дає велику точність моделі на тестовому наборі і потім використовувати цю пару параметрів при реальному прогнозуванні.

Окремим випадком методу Хольта є метод Брауна, коли <math>\alpha =\beta </math> .

= Метод Вінтерса =

Хоча описаний вище метод Хольта (метод двохпараметричного експоненціального згладжування) і не є зовсім простим (щодо "наївних" моделей і моделей, заснованих на усереднюванні), він не дозволяє враховувати сезонні коливання при прогнозуванні. Кажучи акуратніше, цей метод не може їх "бачити" в передісторії. Існує розширення методу Хольта до трьохпараметричного експоненціального згладжування. Цей алгоритм називається методом Вінтерса. При цьому робиться спроба врахувати сезонні складові даних. Система рівнянь, що описують метод Вінтерса виглядає таким чином:
<center>
<math>\left\{ \begin{matrix}
\Omega _{t}=\alpha \frac{Y_{t}}{S_{t-s}}+\left( 1-\alpha \right)\left( \Omega _{t-1}-T_{t-1} \right), \\
T_{t}=\beta \left( \Omega _{t}-\Omega _{t-1} \right)+\left( 1-\beta \right)T_{t-1}, \\
S_{t}=\Upsilon \frac{Y_{t}}{\Omega _{t}}+\left( 1-\Upsilon \right)S_{t-s}, \\
\hat{Y}_{t+p}=\left( \Omega _{t}+pT_{t} \right)S_{t-s+p} \\
\end{matrix} \right.</math>
</center>
Дріб в першому рівнянні служить для виключення сезонності з Y(t). Після виключення сезонності алгоритм працює з "чистими" даними, в яких немає сезонних коливань. З'являються вони вже в самому фінальному прогнозі, коли "чистий" прогноз, порахований майже по методу Хольта умножається на сезонний коефіцієнт.

[[Файл:25.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.6 - Прогнозування методи Вінтерса. </center>

= Регресійні методи прогнозування =
Разом з описаними вище методами, заснованими на експоненціальному згладжуванні, вже достатньо довгий час для прогнозування використовуються регресійні алгоритми. Коротко суть алгоритмів такого класу можна описати так.
Існує прогнозована змінна Y (залежна змінна) і відібраний заздалегідь комплект змінних, від яких вона залежить, - X1, X2 ..., XN (незалежні змінні). Природа незалежних змінних може бути різною. Наприклад, якщо припустити, що Y - рівень попиту на деякий продукт в наступному місяці, то незалежними змінними можуть бути рівень попиту на цей же продукт в минулий і позаминулий місяці, витрати на рекламу, рівень платоспроможності населення, економічна обстановка, діяльність конкурентів і багато що інше. Головне - уміти формалізувати всі зовнішні чинники, від яких може залежати рівень попиту в числовій формі.

Модель множинної регресії в загальному випадку описується виразом
<center>
<math>Y=F\left( X_{1},\,X_{2},\,...,\,X_{N} \right)+\varepsilon </math>
</center>
У простішому варіанті лінійної регресійної моделі залежність залежної змінної від незалежних має вигляд:
<center>
<math>Y=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\beta _{2}X_{2}+...+\beta _{N}X_{N}+\varepsilon </math>
</center>
Тут <math>\beta _{1},\beta _{2},\,...,\,\beta _{N}-</math> підбирані коефіцієнти регресії

<math>\varepsilon -</math> компонента помилки. Передбачається, що всі помилки незалежні і нормально розподілені.
Для побудови регресійних моделей необхідно мати базу даних спостережень приблизно такого вигляду:
<center>
<table width="382" border="1">
<tr>
<th width="22" scope="col"> </th>
<th colspan="5" scope="col">Змінні</th>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>

<td colspan="4" bgcolor="#BDE0BA"><div align="center">Незалежні</div></td>
<td width="86" bgcolor="#C1BEE9">Залежна</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">№</th>
<td width="44" bgcolor="#BDE0BA">X1</td>
<td width="65" bgcolor="#BDE0BA">X2</td>

<td width="65" bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td width="60" bgcolor="#BDE0BA">XN</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">1</th>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_11</td>

<td bgcolor="#BDE0BA">x_12</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_1N</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y_1</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">2</th>

<td bgcolor="#BDE0BA">x_21</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_22</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_2N</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y_2</td>
</tr>

<tr>
<th scope="row">...</th>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>

<td bgcolor="#C1BEE9">...</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">m</th>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_M1</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_M2</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>

<td bgcolor="#BDE0BA">x_MN</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y_m</td>
</tr>
</table>
</center>

За допомогою таблиці значень минулих спостережень можна підібрати (наприклад, методом найменших квадратів) коефіцієнти регресії, побудувавши тим самим модель.

При роботі з регресією треба дотримуватися певної обережності і обов'язково перевірити на адекватність знайдені моделі. Існують різні способи такої перевірки. Обов'язковим є статистичний аналіз залишків, тест Дарбіна-Уотсона. Корисно, як і у випадку з нейронними мережами, мати незалежний набір прикладів, на яких можна перевірити якість роботи моделі.

= Методи Бокса-Дженкінса (ARIMA)=

В середині 90-х років минулого століття був розроблений принципово новий і достатньо могутній клас алгоритмів для прогнозування тимчасових рядів. Велику частину роботи по дослідженню методології і перевірці моделей була проведена двома статистиками, Г.Е.П. Боксом ([http://en.wikipedia.org/wiki/George_E._P._Box G.E.P. Box]) і Г.М. Дженкинсом ([http://en.wikipedia.org/wiki/Gwilym_Jenkins G.M. Jenkins]). З тих пір побудова подібних моделей і отримання на їх основі прогнозів іноді називатися методами Бокса-Дженкінса. В це сімейство входить декілька алгоритмів, найвідомішим і використовуваним з них є алгоритм ARIMA. Він вбудований практично в будь-який спеціалізований пакет для прогнозування. У класичному варіанті ARIMA не використовуються незалежні змінні. Моделі спираються тільки на інформацію, що міститься в передісторії прогнозованих рядів, що обмежує можливості алгоритму. В даний час в науковій літературі часто згадуються варіанти моделей ARIMA, що дозволяють враховувати незалежні змінні. У даній доповіді вони розглядатись не будуть, обмежимось тільки загальновідомим класичним варіантом. На відміну від розглянутих раніше методик прогнозування тимчасових рядів, в методології ARIMA не передбачається якої-небудь чіткої моделі для прогнозування даної тимчасової серії. Задається лише загальний клас моделей, що описують часовий ряд і що дозволяють якось виражати поточне значення змінної через її попередні значення. Потім алгоритм, підстроюючи внутрішні параметри, сам вибирає найбільш відповідну модель прогнозування. Як вже наголошувалося вище, існує ціла ієрархія моделей Бокса-Дженкінса. Логічно її можна визначити так
<center>
AR(p)+MA(q)→ARMA(p,q)→ARMA(p,q)(P,Q)→ARIMA(p,q,r)(P,Q,R)→...
</center>
== AR(p) -авторегресивна модель порядку р ==

Модель має вигляд:
<center>
<math>Y\left( t \right)=f_{0}+f_{1}\cdot Y\left( t-1 \right)+f_{2}\cdot Y\left( t-2 \right)+...+f_{p}\cdot Y\left( t-p \right)+E\left( t \right)</math>
</center>

де
Y(t) –залежна змінна у момент часу t. <math>f_{0},f_{1},f_{2}...,f_{p}</math> - оцінювані параметри. E(t) - помилка від впливу змінних, які не враховуються в даній моделі. Завдання полягає в тому, щоб визначити <math>f_{0},f_{1},f_{2}...,f_{p}</math>. Їх можна оцінити різними способами. Найправильніше шукати їх через систему рівнянь Юла-Уолкера, для складання цієї системи буде потрібно розрахунок значень автокореляційної функції. Можна поступити простішим способом - порахувати їх методом найменших квадратів.

== MA(q) -модель з ковзаючим середнім порядку q ==

Модель має вигляд:
<center>
<math>Y\left( t \right)=m+e\left( t \right)-w_{1}\cdot e\left( t-1 \right)-w_{2}\cdot e\left( t-2 \right)-...-w_{p}\cdot e\left( t-p \right)</math>
</center>

Де Y(t) -залежна змінна у момент часу t. <math>w_{0},w_{1},w_{2}...,w_{p}</math> - оцінювані параметри.

== Авторегресійне ковзне середнє ARMA(p,q) ==

Під позначенням ARMA(p,q) [3] розуміється модель, p авторегресійних складових, що містить q, ковзаючих середніх.

Точніше модель ARMA(p,q) включає моделі AR(p) і MA(q):
<center>
<math>X_{t}=c+e_{t}+\sum\limits_{i=1}^{q}{\theta _{i}e_{t-i}}+\sum\limits_{i=1}^{p}{\phi _{i}X_{t-i}},</math>
</center>
Зазвичай значення помилки <math>e_{t}</math> вважають незалежними однаково розподіленими випадковими величинами, узятими з нормального розподілу з нульовим середнім: <math>e_{t}\sim N\left( 0,\sigma ^{2} \right),</math> де <math>\sigma ^{2}</math> — дисперсія. Припущення можна ослабити, але це може привести до зміни властивостей моделі. Наприклад, якщо не припускати незалежності і однакового розподілу помилок, поведінка моделі суттєво міняється.

== ARIMA (p,d,q) ==

У завданні аналізу тимчасового ряду з складною структурою часто використовуються моделі класу ARIMA(p,d,q)[2] (авторегресійне інтегрування ковзаючого середнього - Autoregressive Integrated Moving Average) порядку (p,d,q), які моделюють різні ситуації, що зустрічаються при аналізі стаціонарних і нестаціонарних рядів. Залежно від аналізованого ряду модель ARIMA (p,d,q) може трансформуватися до авторегресійної моделі AR(p), моделі ковзного середнього MA(q) або змішаній моделі ARMA (p,q). При переході від нестаціонарного ряду до стаціонарного значення параметра d, що визначає порядок різниці, приймається рівним 0 або 1, тобто цей параметр має тільки цілочисельні значення. Зазвичай обмежуються вибором між d = 0 і d = 1. Проте з поля зору дослідників випадає ситуація, коли параметр d може приймати дробові значення.

== ARFIMA(p,d,q) ==

Для ситуації розгляду дробових значень порядку різниці, в роботах зарубіжних учених, в першу чергу, C.W.Granger, J.R.Hosking, P.M.Robinson, R. Beran, був запропонований новий клас моделей ARFIMA(p,d,q)[2] (F: fractional - дріб), що допускає можливість нецілого параметра d і авторегресійний дріб інтегрований процес ковзного середнього. Такі ряди володіють своєю специфікою: самоподібністю, дробовою розмірністю, поволі спадаючою кореляцією. Прогнозування тимчасових рядів за допомогою моделі ARFIMA(p,d,q) відкриває ширші перспективи для підвищення точності прогнозу.

== Модель вигляду ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S ==

ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S [1],

де: p - авторегресійні доданки;

D - різниці;

q - доданки ковзаючого середнього;

P – сезонні авторегресійні доданки;

D – сезонні різниці на інтервалі S;

Q – доданки сезонного ковзаючого середнього

= Метод "Гусениці" SSA =

Метод SSALRF[6,7]

Метод “Гусеніца”-SSA може бути використаний для різних загальних завдань дослідження тимчасових рядів, зокрема - для виділення сигналу і знаходження його ЛРФ. При його використанні по ряду <math>F_{N}</math> будується траєкторна матриця X заданого розміру L x K, 1 < L < N.

K = N – L + 1 (L називається довжиною вікна), обчислюються власні числа <math>\left\{ \lambda _{i} \right\}_{i=1}^{L},</math> власні <math>\left\{ \lambda _{i} \right\}_{i=1}^{L},</math>і факторні <math>\left\{ V_{i} \right\}_{i=1}^{L}</math> вектора матриці <math>XX^{T}</math>, формуючи сингулярне розкладання <math>X=\sum\limits_{i}{\sqrt{\lambda _{i}}U_{i}V_{i}^{T}}</math>. Набір <math>\left( \sqrt{\lambda _{i}}U_{i}V_{i} \right)</math> називається сингулярною трійкою. Ряду зіставляється траєкторний простір, аддитивній складовій ряду при виконанні умов роздільності відповідає власний траєкторний підпростір в цьому просторі.

В умовах наближеної роздільності метод дозволяє знайти підпростір близьке до траєкторного простору даної аддитивної складової.

Опишемо алгоритм методу SSALRF, в нім можна виділити наступну послідовність кроків.

Алгоритм [5]

#Вибір довжини вікна L і побудова траєкторної матриці <math>X\in \mathbb{R}^{L\times K}</math> по ряду <math>F_{N}</math>;
#Сингулярне розкладання траєкторної матриці <math>X=\sum\limits_{i}{\sqrt{\lambda _{i}}U_{i}V_{i}^{T}}</math> ;
#Вибір сингулярних трійок, відповідних сигналу <math>S_{N}</math>;
#Побудова по власних векторах вибраних сингулярних трійок наближеної ЛРФ сигналу порядку L – 1;
#Знаходження кореня характеристичного полінома цієї ЛРФ;
#Пошук головного кореня серед всієї безлічі коренів;
#Отримання наближеною мінімальною ЛРФ (порядка 2) сигналу по головному кореню.

[[Файл:28.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.1 - Типи трендів. </center>

[[Файл:29.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.2 - Декомпозиція на сезони, тренди та наступне прогнозування. </center>

= Перелік використаних джерел =

#http://ipu-conf.ru/kmu/sbornik_VMKPU2008.pdf (лютий 2010)
#http://www.guap.ru/guap/main/avtoref_krichevsky.doc (лютий 2010)
#http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title= Авторегрессионное_скользящее_среднее (лютий 2010)
#http://www.neuroproject.ru/forecasting_tutorial.php#mlp Методы прогнозирования (лютий 2010)
#http://www.pdmi.ras.ru/~theo/autossa/files/SSAvsREGR--paper.pdf Метод SSALRF (лютий 2010)
#http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/Forum/topic77.htm Конференция по эконометрике » AR, ARMA, ARIMA, FARIMA (лютий 2010)
#[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0 Метод_Хольта]
#[http://www.ipredict.it/Methods/ Методи прогнозування (eng.)]

{{Завдання:Виступ|Hotcoffe|30 лютого 2010|Методи прогнозування.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Особливості планування експериментів

2012-03-05T16:05:56Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Завдання|Mars|Назаревич О.Б.|17 лютого 2010}} [[Файл:DSCF6865.jpg‎|230px|border|right|Виступ]]
{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

'''Повний факторний експеримент''' - це [[Експеримент|експеримент]], в якому реалізуються всі можливі поєднання рівнів [[Поршневий компресор|факторів]].

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/379 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

=Особливості планування експериментів=

Опишемо послідовність Дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.
#Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.
#Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 % факторів визначають 80 % властивостей системи.
#Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного фактора два - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти. Для врахування квадратичних ефектів необхідно використовувати три рівні, для кубічних ефектів - чотири і т. д Аналіз значно спрощується, якщо брати тільки рівновіддалені одне від одного значення рівнів. У цьому випадку маємо так зване ортогональне планування, або ортогональний експеримент.
Для множинних експериментів з чистом факторів більше одного дисперсійний аналіз передбачає використання для заключного аналізу ортогонального експерименту. Це означає, що оцінки відгуків у межах аналізу мають бути некорельованими. На практиці ортогональність гарантує використання тих самих випадкових послідовностей чисел під час виконання експериментів у межах кожної комбінації рівнів обробки.

=Повний факторний експеримент=

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьох рівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3x2 Запишемо в
<center>
 
Таблиця 1. Матриця двофакторного експерименту
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="71" rowspan="2" valign="top">Фактор А </td>
<td colspan="2" valign="top">Фактор В </td>
</tr>
<tr>
<td width="67" valign="top">Рівень 1</td>
<td width="91" valign="top"> Рівень 2</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 1</td>
<td width="67" valign="top">y111 
y112</td>
<td width="91" valign="top">y121 
y122</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 2</td>
<td width="67" valign="top"> Y211 
y212</td>
<td width="91" valign="top"> y221 
y222 </td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 3</td>
<td width="67" valign="top"> y311 
y312 </td>
<td width="91" valign="top">y321 
y322 </td>
</tr>
</table>
</center>
У загальному випадку: значення фактора yijg, де g - номер спостереження, і та j - номери рівнів факторів А та В відповідно. Нехай математичне сподівання вихідної змінної М(уijg) – nij Тоді очікувану функцію відгуку можна записати у такому вигляді:
<center>
<math>{{y}_{ijg}}={{\eta }_{ij}}+{{e}_{ijg}},i=\overline{1,I};j=\overline{1,J};g=1,2,3,...,</math>            (1)
</center>
де eijg, - похибка досліду (або шум), яка вважається незалежною нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням нуль і дисперсією σ2, або
<center>
<math>{{e}_{ijg}}=HHP(0,{{\sigma }^{2}}).</math>            (2)
</center>
Покажемо, що моделі для планування експериментів є окремими випадками моделей лінійної регресії [21]. Знайдою середнє за всіма дослідами:
<center>
<math>\mu =\frac{\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{}}\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{IJ}=\eta,</math>            (3)
</center>
де крапка означає усереднення по всіх значеннях відповідного індексу.
Якщо знайти середнє значення відгуку для фактора А на рівні і з усіма рівнями фактора В, то
<center>
<math>{{A}_{i}}=\frac{\sum\limits_{j\in J}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{J}={{\eta }_{i\bullet }}.</math>            (4)
</center>
Тоді αAi, - головний ефект фактора А на рівні і визначається як різниця між його середнім і загальним середнім:
<center>
<math>\alpha _{i}^{A}={{A}_{i}}-\mu ={{\eta }_{j}}-\eta .</math>             (5)
</center>
З виразів (3)-(5) видно, що середнє головного ефекту дорівнює нулю, тому що
<center>
<math>\sum\limits_{i=1}^{I}{\alpha _{i}^{A}=\frac{1}{J}\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j}{{{\eta }_{ij}}-\sum\limits_{i}{\mu =I\mu -I\mu =0}}}}.</math>             (6)
</center>
Головний ефект фактора В на рівні j визначаємо як
<center>
<math>\alpha _{j}^{B}={{B}_{j}}-\mu =\frac{1}{I}\sum\limits_{i}{{{\eta }_{ij}}-\mu =\eta -\eta.}</math>             (7)
</center>
Аналогічно
<center>
<math>\sum\limits_{j=1}^{J}{\alpha _{j}^{\beta }=0.}</math>             (8)
</center>
Якщо припустити, що фактори не взаємодіють між собою, то одержимо таку модель для планування проведення експерименту:
<center>
<math>M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}.</math>             (9)
</center>
З виразу (9) маємо
<center>
<math>{{\eta }_{i1}}-{{\eta }_{i2}}=\alpha _{1}^{B}-\alpha _{2}^{B}.</math>             (10)
</center>
Вираз (10) є вірним для всіх рівнів і фактора А.
Відобразивши графічно, як фактор А впливає на рівень і фактора В, одержимо паралельні криві відгуку (рис. 1). Якщо є взаємодія між факторами А \ В, то зміна фактора А викликає різноманітні зміни відгуку на різних рівнях фактора В. Таку взаємодію між рівнями і та j факторів А, В відповідно визначаємо як
<center>
<math>\alpha _{ij}^{AB}={{\eta }_{ij}}-{{A}_{i}}-{{B}_{j}}+\mu ={{\eta }_{ij}}-{{\eta }_{i}}-{{\eta }_{j}}+\eta .</math>             (11)
</center>
[[Файл:Gvf.png‎|378x159px|border|center|Графік впливів факторів]]

<center>Рис.1 - Графік впливів факторів</center>

Аналогічно, як було у виразах (6) і (8), маємо:
<center>
<math>\alpha _{j}^{AB}=\alpha _{i}^{AB}.</math>            
</center>
Тоді загальна модель з урахуванням взаємодії двох факторів буде такою:
<center>
<math>M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}+\alpha _{ij}^{AB}.</math>             (12)
</center>
Верхні індекси позначають фактори, що взаємодіють між собою, а нижні - рівні, для яких визначається ефект.
Покажемо, що модель факторного експерименту с окремим випадком рівняння регресії. Для простоти будемо вважати, що немає взаємодії між факторами і повторень дослідів. Використовуючи вирази (1) і (9), отримаємо систему рівнянь
<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+{{e}_{12}}; \\
& ... \\
& {{y}_{32}}=\mu +\alpha _{3}^{A}+\alpha _{3}^{B}+{{e}_{32}}; \\
\end{align}</math>             (13)
</center>
яку в матричному вигляді можна записати так:
<center>
<math>{Y}=X{\beta }+{e},</math>             (14)
</center>
де
<center>
<math>{{{Y}}^{T}}=[{{y}_{11}},{{y}_{12}},...,{{y}_{32}}],</math>             (15)
</center>
X- матриця причинних або незалежних (фіктивних) факторів:

<center>
<math>X=\left[ \begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right],</math>             (16)
</center>
де перший стовпчик - це значення µ, другий, третій і четвертий – αAi п'ятий і шостий - αβi, і = 1, 2, 3; j = 1, 2; - вектор ефектів або параметрів. Транспонований вектор
<center>
<math>{{{\beta }}^{T}}=[\mu ,\alpha _{1}^{A},\alpha _{2}^{A},\alpha _{3}^{A},\alpha _{1}^{B},\alpha _{2}^{B}].</math>             (17)
</center>
Вектор помилок:
<center>
<math>{{{e}}^{T}}=[{{e}_{11}},{{e}_{12}},...,{{e}_{32}}].</math>             (18)
</center>
На основі виразів (6) і (8) отримаємо двосторонні умови:
<center>
<math>\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{A}+\alpha _{3}^{A}=0;</math>            (19)

<math>\alpha _{1}^{B}+\alpha _{2}^{B}=0.</math>             (20)
</center>
Обмеження (19) і (20) разом із так званими нормальними рівняннями вигляду
<center>
<math>{{X}^{T}}{Y}={{X}^{T}}X{\beta }</math>             (21)
</center>
дають лише одні оцінки МНК. З регресійного аналізу відомо, що у разі справедливості виразу (11) ці оцінки одночасно будуть і оцінками максимальної правдоподібності, а також лінійними незміщеними оцінками з мінімальними значеннями дисперсії.
Таким чином, моделі факторних планів - це окремий випадок загальної лінійної регресійної моделі Вектор параметрів β містить сумарне середнє, головні ефекти і взаємодії; матриця незалежних змінних X складається лише з двох значень – 0 і 1 (використовують також позначення +1 та-1. або просто символи «+» і «-»). Отже, планування експерименту означає, що X вибирається таким чином, щоб оцінки мали деякі бажані властивості.

=Дворівневий факторний план=

Повний факторний експеримент передбачає реалізацію всіх можливих комбінацій рівнів факторів. У найпростішому випадку значення факторів задають на двох рівнях. За наявності к факторів, загальна кількість комбінацій буде 2k.
Розглянемо графічну інтерпретацію факторного експерименту (рис.2). Вважатимемо, що нижньому рівню фактора відповідає значення -1. верхньому +1, а основному – 0. Виконати подібне перетворення можна так:
<center>
<math>{{\widetilde{x}}_{i}}=\frac{({{x}_{i}}-{{x}_{i0}})}{ x},i=\overline{1,k}.</math>            
</center>
[[Файл:P2.png‎|508x193px|border|center|Графічне зображення плану 22]]

<center>Рис.2 - Графічне зображення плану 22</center>

Розглянемо результати проведення експериментів, зведені в табл. 2.
<center>
Таблиця 2. План дворівневого факторного експерименту

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="71" rowspan="2" valign="top">Фактор А </td>
<td colspan="2" valign="top">Фактор В </td>
</tr>
<tr>
<td width="67" valign="top">Рівень 1</td>
<td width="91" valign="top"> Рівень 2</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 1</td>
<td width="67" valign="top">y111 
y112</td>
<td width="91" valign="top">y121 
y122</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 2</td>
<td width="67" valign="top"> Y211 
y212</td>
<td width="91" valign="top"> y221 
y222 </td>
</tr>
</table>
</center>
На основі даних табл. 2 можна записати таку систему рівнянь:
<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{12}^{AB}+{{e}_{12}}; \\
& {{y}_{21}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{21}^{AB}+{{e}_{21}}; \\
& {{y}_{22}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{22}^{AB}+{{e}_{22}}; \\
\end{align}</math>             (22)
</center>
Оцінки параметрів моделі (22) за МНК можна знайти з урахуванням додаткових умов, які випливають із виразів (6), (8) і (11). Тоді отримаємо:
<center>
<math>\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};</math>             (23)

<math>\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};</math>             (24)

<math>\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>             (25)

<math>\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>            (26)

<math>\alpha _{22}^{AB}=-\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>             (27)
</center>
Підставивши вирази (23)-(27) у вираз (22), отримаємо систему рівнянь:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{12}}; \\
& {{y}_{21}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{21}}; \\
& {{y}_{22}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{22}}; \\
\end{align}</math>             (28)
</center>
Запишемо систему рівнянь (28) у матричному вигляді
<center>
<math>{Y}=X{\beta }+{e,}</math>             (29)

<math>{{{Y}}^{T}}=({{y}_{11}},{{y}_{12}},{{y}_{21}},{{y}_{22}}),</math>             (30)

<math>X=\left[ \begin{matrix}
+1 & -1 & -1 & +1 \\
+1 & -1 & +1 & -1 \\
+1 & +1 & -1 & -1 \\
+1 & +1 & +1 & +1 \\
\end{matrix} \right],</math>             (31)

<math>{{{\beta }}^{T}}=(\mu ,\alpha _{2}^{A},\alpha _{2}^{B},\alpha _{11}^{AB}),</math>             (32)

<math>{{{e}}^{T}}=({{e}_{11}},{{e}_{12}},{{e}_{21}},{{e}_{22}}).</math>             (33)
</center>
Зауважимо, що стовпчики матриці X - ортогональні, тобто
<center>
<math>{x}_{i}^{T}{{{x}}_{j}}=0,(i\ne j),</math>            
(34)</center>

де і ) - будь-які два стовпчики матриці X. Очевидно, що X - невироджена матриця. Отже, оцінки МНК вектора такі: (35)
З виразу (34) і за умови, що

<center>
<math>{x}_{i}^{T}{{{x}}_{j}}=0,(i\ne j),</math>             (36)
</center>
де N - число дослідів (у нашому випадку N = 4), отримаємо

<center>
<math>({{X}^{T}}X)=NI,</math>             (37)
</center>
де І - одинична матриця.
Тоді деякий h-й елемент ХT визначається як
<center>
<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}},(h=\overline{1,H})},</math>             (38)
</center>
де Xgh – g-й елемент вектора ; Н - загальне число параметрів (у даному випадку чотири). Підставимо вирази (37) і (38) у вираз (35). Тоді
<center>
<math>{{b}_{n}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}}.}</math>             (39)
</center>
Звідси
<center>
<math>{{b}_{1}}=\widehat{\mu }=\frac{1}{4}({{y}_{11}}+{{y}_{12}}+{{y}_{21}}+{{y}_{22}})=y</math>             (41)
</center>
Порівняємо вираз (41) з визначенням головного ефекту :
<center>
<math>\alpha _{2}^{A}=\eta -\eta.</math>             (42)
</center>
Як бачимо, оцінка головного ефекту співпадає зі значенням самого ефекту. Таким самим способом можна показати, що оцінки за МНК головного ефекту і ефекту взаємодії утворюються просто за аналогією з їхніми визначеннями (7) і (11).
Зверніть увагу, в матриці X перший стовпчик стосується тільки сумарного середнього ц і містить лише одиниці зі знаком плюс. Другий та третій стовпчики відповідають головним ефектам і факторів А і В відповідно. Елемент g (g= ) цих стовпчиків приймає значення – 1, якщо фактор знаходиться на
нижньому рівні, та +1 на верхньому рівні. Для якісних факторів нижній і верхній рівні є лише мнемонічними символами.
Четвертий стовпчик матриці X показує результат взаємодії двох факторів . Елементи цього стовпчика - добуток елементів другого і третього стовпчиків Тоді регресій ну модель можна записати як
<center>
<math>{{y}_{g}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{2}{{{d}_{gs}}{{\beta }_{s}}+({{d}_{g1}}{{d}_{g2}}){{\beta }_{12}}+{{e}_{g}},g=\overline{1,N}},</math>             (43)
</center>
де dgs, – -1. якщо фактор S в g-му досліді приймає значення нижнього рівня і dg, – +1 – у протилежному випадку. β0- загальне середнє µ; βs – головний ефект S-го фактора (наприклад, ); β12 ефект взаємодії двох факторів ()
Рівняння (43) - це повний поліном другого степеня без квадратичних членів (немає членів ).

=Факторний план 2k=

Розглянемо факторний план для випадку, коли k = 3 (табл 3).
<center>
Таблиця 3. Матрица повного факторного експерименту 2k

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="78" valign="top">Комбінації </td>
<td width="226" colspan="3" valign="top">Фактори </td>
<td width="76" rowspan="2" valign="top"> 
Відгук </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">факторів </td>
<td width="68" valign="top">А </td>
<td width="72" valign="top">В </td>
<td width="80" valign="top">С</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">1</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">1</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">2</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">-1 </td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">a</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">3</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">4</td>
<td width="68" valign="top">+ 1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">ab </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">5</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">6</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1 </td>
<td width="76" valign="top">ас</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">7</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">+ 1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">bc </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">8</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">abc </td>
</tr>
</table>
</center>

Для k факторів стовпчик S-го фактора (s = ) містить спочатку 2r-1 значень -1, потім 2s-1 значень +1, 2s-1 значень -1 і т. д.
Відгук системи визначається згідно з наступним правилом: якщо в досліді фактор А приймає значення верхнього рівня, то у відгуку символ а присутній, якщо нижнього рівня - відсутній Аналогічно обчислюється відгук для всіх інших факторів. Значення +1 у таблиці показує, що в даному досліді фактор приймає значення верхнього рівня, а - 1 - нижнього. Загальне число дослідів N = 2k.
З матриці плану очевидно, що в одній половині дослідів фактор А приймає значення верхнього рівня, а в іншій - нижнього. Оцінка головного ефекту фактора А обчислюється за формулою

<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{\sum\limits_{i}{{{y}_{i}}}}{{N}{2}}-\frac{\sum\limits_{j}{{{y}_{j}}}}{{N}{2}}.</math>             (44)
</center>
У цьому виразі індекс і відповідає відгукам для тих комбінацій факторів, при яких фактор А приймає значення на верхньому рівні, а; - відповідно на нижньому. Тому вираз (44) еквівалентний виразу
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{2}{N}\left\{ \sum\limits_{i}{(+1){{y}_{i}}+\sum\limits_{j}{(-1){{y}_{j}}}} \right\}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g1}}{{y}_{g}},}</math>            
</center>

де xg1 - g-й елемент стовпчика 1-го фактора У загальному випадку оцінка головного ефекту фактора s має такий вигляд:
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{s}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gs}}{{y}_{g}}},(s=\overline{1,k}).</math>             (45)
</center>
Можна показати, що аналогічно виразам (22) – (42) оцінка у виразі (45) – це оцінка за методом найменших квадратів головного ефекту фактора s. Можна довести, що оцінки за методом найменших квадратів для ефекту взаємодії факторів j, m, r визначаються як
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{j,m,...,r}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{({{x}_{gj}}{{x}_{gm}}...{{x}_{gr}}){{y}_{g}}.}</math>             (46)
</center>
Оцінки загального середнього за методам найменших квадратів обчислюються за формулою

<center>
<math>\widehat{\mu }=\overline{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g0}}{{y}_{g}},}</math>             (47)
</center>
де
<center>
<math>{{x}_{g0}}=1,g=\overline{1,N}.</math>            

Факторний експеримент 2k містить 2k комбінацій факторів або точок експерименту в k-вимірному просторі з координатами ±1,як зображено на рис. 1.

[[Файл:G23.png‎|321x243px|border|center|Графічне зображення плану 23]]

<center>Рис.3 - Графічне зображення плану 23</center>

Якщо позначити число дослідів через N, то можна визначити матрицю плану.

<center>
<math>D=\{{{d}_{ij}}\},(i=\overline{1,N};j=\overline{1,k}),</math>            
</center>

де dij= -1, якщо j-й фактор приймає значення на нижньому рівні в і-й комбінації.
Після додавання стовпчика з одних одиниць і всіх стовпчиків добутків шуканих факторів одержимо з матриці D матрицю незалежних змінних X.
Наведемо матриці D і X (табл. 4) для випадку, коли к = 3, в яких опущено одиниці.
<center>
Таблиця 4. Матриці плану і незалежних змінних

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td colspan="4" valign="top">Матриця плану D</td>
<td colspan="15" valign="top">Матриця незалежних змінних X </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">1 </td>
<td width="47" valign="top"> 2 </td>
<td width="46" valign="top">3 </td>
<td width="13" valign="top">I </td>
<td width="19" valign="top">1</td>
<td width="28" valign="top">2 </td>
<td width="19" valign="top">3 </td>
<td width="25" valign="top">12 </td>
<td width="29" valign="top">13 </td>
<td width="25" valign="top">23 </td>
<td width="41" valign="top">123 </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+ </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">-</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top"> – </td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+ </td>
<td width="47" valign="top">+ </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top"> – </td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
</table>
</center>
Загальне середнє, головні ефекти та всі ефекти взаємодії можна оцінити, якщо помножити відповідний стовпчик матриці X на стовпчик спостереження У. Рівняння регресії з k факторами на двох рівнях тоді записується так:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{J}{{{x}_{ij}}{{\gamma }_{j}}+{{e}_{i}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{k}{{{d}_{is}}{{\beta }_{s}}+\sum\limits_{s=1}^{k-1}{\sum\limits_{z=s+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}){{\beta }_{sz}}+}}}} \\
& +\sum\limits_{s=1}^{k-2}{\sum\limits_{z=s+1}^{k-1}{\sum\limits_{\upsilon =z+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}{{d}_{i\upsilon }}){{\beta }_{sz\upsilon }}+...+}}}({{d}_{i1}}{{d}_{i2}}...{{d}_{ik}}){{\beta }_{123}}...k+{{e}_{i}}, \\
\end{align}</math>            
</center>
де xij і dij – елементи матриць X, D відповідно; J = 2к – число параметрів регресії уj. Ці параметри позначають загальне середнє β0. головний ефект βs ефекти двофакторної взаємодії β s2 .., ефекти взаємодії k факторів β12…k .

=Дробовий дворівневий факторний експеримент=

Планування експерименту звичайно застосовується для визначення важливих факторів, що істотно впливають на відгук (відсівний експеримент). Враховуючи те. що із зростанням числа факторів кількість комбінацій факторів швидко збільшується, необхідно виділити найбільш важливі фактори, тобто попередньо відсіяти незначущі фактори. Для цього використовуються плани порядку 2 k-р, коли ефекти взаємодії більш високого порядку приймаються рівними нулю (вважається, що поліном низького порядку дасть адекватне регресійне рівняння).
Кількість дослідів у повному факторному експерименті значно перевищує кількість обумовлених коефіцієнтів лінійної моделі головного експерименту, тобто повний факторний експеримент є надмірним. Якщо припустити, що деякі ефекти в цих планах є нульовими, то для побудови моделі знадобиться менше ніж 2к дослідів. Щоб зробити такий вибір, необхідно знайти, до яких наслідків призведе відкидання деяких дослідів Розглянемо приклад повного факторного експерименту 23 (табл.5).
<center>
Таблиця 5. Матриця повного факторного експерименту 23

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" width="30%">
<tr>
<td width="61" rowspan="2" valign="top">№ 
Досліду</td>
<td colspan="10" valign="top">Матриця незалежних зміних X </td>
</tr>
<tr>
<td width="30" valign="top">I </td>
<td width="22" valign="top">1 </td>
<td width="24" valign="top"> 2</td>
<td width="23" valign="top">3 </td>
<td width="36" valign="top">12 </td>
<td width="33" valign="top">13 </td>
<td width="24" valign="top">23 </td>
<td width="40" valign="top">123 </td>
<td width="54" valign="top">М(y) </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">1</td>
<td width="30" valign="top">+</td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">1 </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">2</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">а </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">3</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">4</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">аb </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">5</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">6</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">ас </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">7</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">bс </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">8</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">аbс </td>
</tr>
</table>
</center>
Припустимо, що проведено лише чотири досліди, для яких
<center>
x1x2х3 = +1.
</center>
Тоді викреслимо із плану 1-й, 4-й. 6-й, 7-й рядки (отримаємо табл. 6) і покажемо. як обчислити оцінки ефектів парної взаємодії із неповного факторного експерименту для чотирьох дослідів, що залишились. Наприклад, для стовпчика І отримаємо оцінку головного ефекту
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{2}{N}({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}}),</math>             (48)
</center>
де число дослідів N = 4.
<center>
Таблиця 6. Неповний факторний експеримент (x1 x2 х3 =+ 1 )

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" width="25%">
<tr>
<td width="19%" valign="top">№ </td>
<td colspan="8" valign="top">Матриця незалежних змінних X </td>
<td width="16%" rowspan="2" valign="top"> 
M(y) </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" height="30" valign="top">Досліду </td>
<td width="8%" valign="top">I </td>
<td width="6%" valign="top">1 </td>
<td width="6%" valign="top">2</td>
<td width="6%" valign="top">3 </td>
<td width="7%" valign="top">12 </td>
<td width="8%" valign="top">13 </td>
<td width="7%" valign="top">23 </td>
<td width="17%" valign="top">123 </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">2</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">–</td>

<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="8%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">а </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">3</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">5</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">– </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="8%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">8</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">abc </td>
</tr>
</table>
</center>

З формули (48) видно, що фактор знаходиться на верхньому рівні в дослідах 2 і 8. а на нижньому рівні - в дослідах 3 і 5. Звідси ефект фактора А:
<center>
<math>\frac{a+abc}{2}-\frac{b-c}{2}=\frac{1}{2}(a+b-c+abc).</math>            
</center>
Розглянемо тепер стовпчик , з якого одержуємо:
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{BC}}=\frac{2}{N}({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}}).</math>             (49)
</center>
Взаємодія між двома факторами, що мають два рівні, визначиться таким чином. Якщо фактор С приймає значення верхнього рівня, то ефект фактора В визначається як
<center>
<math>{{\eta }_{22}}={{\eta }_{12}},</math>             (50)
</center>
а якщо фактор С приймає значення нижнього рівня, то ефект фактора В відповідно буде
<center>
<math>{{\eta }_{21}}-{{\eta }_{11}}.</math>             (51)
</center>
Взаємодія між факторами В і С матиме місце тільки у випадку, якщо значення виразів (50) і (51) будуть різні. Тоді взаємодія визначатиметься як «середня» різниця між (50) і (51), а саме:
<center>
<math>{{\alpha }^{BC}}=\frac{1}{2}\left[ ({{\eta }_{22}}-{{\eta }_{12}})-({{\eta }_{21}}-{{\eta }_{11}}) \right],</math>            
</center>
тобто ефект взаємодії між факторами В і С – це середнє арифметичне різниці значень ефектів В і С на їх верхніх і нижніх рівнях відповідно.
Ефект взаємодії між факторами В і С, за умови що фактори В і С знаходяться на верхньому та нижньому рівнях відповідно, можна визначити як abc - с. Якщо фактор С приймає значення на нижньому рівні, ефект В можна оцінити як b а Половина різниці між цими ефектами становить
<center>
<math>\frac{1}{2}(abc-c)-(b-a)=\frac{1}{2}(abc-c-b+a).</math>             (52)
</center>
Порівняємо вирази (49) і (48). Маємо такі ж оцінки дія ал і вeC. Або іншим шляхом це можна показати. використовуючи останній стовпчик табл. 6:
<center>
<math>M({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}})=a-b-c+abc.</math>             (53)
</center>
Запишемо праву частину виразу (53) як
<center>
<math>\begin{align}
& a-b-c+abc=\frac{2}{N}(-1+a-b+ab-c+ac-bc+abc)+ \\
& +\frac{2}{N}(+1+a-b-ab-c-ac+bc+abc) \\
& \\
\end{align}</math>            
</center>
при N = А, або, враховуючи вирази (45) і (46), як
<center>
<math>a-b-c+abc={{\alpha }^{A}}+{{\alpha }^{BC}}.</math>             (54)
</center>
Об'єднавши вирази (53) і (54), отримуємо
<center>
<math>M({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}})={{\alpha }^{A}}+{{\alpha }^{BC}}.</math>            
</center>
Із дробового факторного експерименту в цьому прикладі випливає, що мають місце однакові значення для головного ефекту фактора А та ефекту взаємодії факторій В і С. Не так звані змішані ефекти або ефекти, що оцінюються спільно. Якщо ефект взаємодії дорівнює нулю, значення виразу (у2 – y3 – y5 +y8) буде незміщеною оцінкою αA головного ефекту фактора А.
Таким чином, для побудови плану 2k відкидаємо ті рядки з повного факторного експерименту, що мають значення +1 дія деякого ефекту. Це так звані напіврепліки, тобто тут використовується половина повного факторного експерименту. Аналогічно, для другої напіврепліки необхідно відкинути ті рядки, які мають значення -1 для деякого ефекту.
При великій кількості факторів k навіть напіврепліки (тобто плани 2k-1) можуть виявитись занадто громіздкими. У цих планах деякі ефекти взаємодії високого порядку можна прирівняти до нуля, та взяти меншу частину від повного факторного експерименту. Репліки, що становлять (1/2)p частину повного факторного плану з k факторами, називають планом типу 2k-p
Плани можна застосовувати послідовно, тобто спочатку одержати спостереження для одних комбінацій рівнів факторів, потім для інших і після аналізу цих спостережень вирішити, для якої комбінації (старої або нової) слід провести додаткові спостереження. Нові спостереження знову аналізуються (звичайно разом з попередніми) для ухвалення рішення про подальші спостереження і т. д У планах 2k-p можна спочатку провести частину експерименту, проаналізувати спостереження, і якщо цей аналіз покаже, то дана частина експерименту занадто мала для оцінки всіх можливих ефектів, експеримент розширюють таким чином, щоб він дав змогу оцінити вплив усіх факторів.

=Висновки=

#Для будь-якого експерименту з моделлю має існувати можливість його повторного проведення іншими дослідниками.
#Вихідні дані імітаційних експериментів потрібно структурувати та інтерпретувати таким чином, щоб їх можна було використовувати для прийняття рішень стосовно структури і параметрів системи або моделі.
#Планування експерименту це розробка такого плану проведення експерименту. який дає можливість за мінімальну кількість прогонів моделі і за мінімальних затрат ресурсів зробити статистично значущі висновки або знайти найкращі рішення щодо функціонування системи.
#Імітаційне моделювання провадиться, як правило, з метою визначення деяких екстремальних значень характеристик модельованої системи (оптимізуючий експеримент) або для виявлення важливих факторів, що впливають на модельовану систему (висівний експеримент)
#Оцінювання точності результатів моделювання пов'язане з побудовою довірчих інтервалів для вихідних змінних (відгуків) моделі.
#Застосування методів зниження дисперсії дає змогу при заданому обсязі вибірки збільшити точність оцінювання відгуку або при заданій точності скоротити обсяг вибірки.
#Під час моделювання рідких подій застосовують імітаційно-аналігичні моделі, основою яких є імітація повільних процесів та згортання швидких процесів завдяки укрупненням станів системи та усередненням її характеристик.

=Список використаних джерел=

#Моделювання систем - Томашевский В.М.:BHV, 2005. – 352с.
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
#Теория эксперимента: Курс лекций. - А, В. Блохин. - Мн.: БГУ, 2002. - 67 с.

{{Завдання:Виступ|Залецький Михайло|17 лютого 2010|Регресійні моделі при повному дворівневий дробовому факторному експерименті. Визначення коефіцієнтів регресії}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Проведення експерименту

2012-03-05T16:05:46Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Завдання|Nata|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}
{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/378 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Загальне поняття експерименту =
Є декілька визначень поняттю експеримент[2]:
#Спроба, дослід, які потребують підтвердження чи спростування.
#Форма пізнання об'єктивної дійсності, один з основних методів наукового дослідження, в якому вивчення явищ відбувається в доцільно вибраних або штучно створених умовах, що забезпечують появу тих процесів, спостереження яких необхідне для встановлення закономірних зв'язків між явищами.

=Види експериментів[5]=
#За галузями наук:
#*фізичні;
#*хімічні;
#*психологічні і т.д.
#За способом формування умов досліду:
#*природні умови;
#*штучні умови.
#За метою досліджень:
#*констатуючі;
#*пошукові;
#*вирішальні.
#За організацією та місцем виконання:
#*польові;
#*виробничі;
#*лабораторні.
#За характером впливу на об’єкт дослідження:
#*інформаційні;
#*енергетичні;
#*матеріальні.
#За типом моделей, що вивчаються під час досліду:
#*матеріальні;
#*уявні (віртуальні).
#За числом факторів, які контролюються:
#*однофакторні;
#*багатофакторні.
#За можливістю впливу на умови проведення експерименту:
#*активні;
#*пасивні.
#За реалізацією всіх можливих поєднань рівнів факторів:
#*повні факторні;
#*дробові факторні.

=Проведення експерименту=

Для проведення експерименту необхідно створити певні умови. Сукупність умов, в яких відбувається експеримент, має назву експериментальної ситуації. Експериментальна ситуація має гарантувати, що саме досліджуваний у цьому експерименті чинник, а не будь-який інший, є причиною зафіксованих у ході експерименту змін в об'єкті.

Експеримент ґрунтується на розробці певної гіпотетичної моделі розглядуваного явища. На підставі цієї моделі явище описують як систему змінних, серед яких виокремлюють незалежні та залежні змінні. Незалежна змінна – це той новий чинник, що його вводять у діяльність експериментальної групи. Він повинен мати такі якості, як усталеність, самостійність, можливість справляти вплив на стан об'єкта дослідження. Залежною змінною називають такий чинник, який змінюється під впливом незалежної змінної.

Головним дослідницьким документом при проведенні експерименту є його протокол(журнал). У ньому зазначають найменування теми експериментального дослідження й час його проведення.

Спочатку аналізується обстановка до введення експериментального чинника.

У протоколі має бути відзначено, які показники виокремлені як незалежні та залежні змінні, а також за допомоги яких процедур фіксуються дані щодо всіх контрольованих змінних. Далі фіксуються початок дії експериментального чинника та те, як власне вплинула експериментальна ситуація на поведінку всієї системи

==Основні етапи проведення експерименту[3]==

#Висування експериментальної гіпотези. Експериментальна гіпотеза, на відміну від теоретичної, повинна бути сформульована у вигляді висловлення: «Якщо... те...». Крім того, вона повинна бути конкретизована. Це означає, що вхідні у висловлення «якщо А, то В» змінні А і В повинні контролюватися в експерименті: А – управлятися експериментатором, а В – реєструватися безпосередньо або за допомогою апаратури.
#Планування проведення експерименту. Планується час і місце проведення експерименту, вибирається експериментатор, складаються інструкції.
#Підготовка експерименту. Дослідник готує експериментальне помешкання й устаткування. Дослідник повинен вибрати експериментальний інструмент, що дозволяв би йому:
#*управляти незалежною перемінною;
#*реєструвати залежну перемінну.
#:Крім того, умови експерименту (помешкання, ситуація, час і ін.) повинні або повторювати вплив зовнішніх змінних, або зберігати константність розміру їхнього впливу на залежну змінну. Якщо це необхідно, проводиться декілька спробних дослідів для налагодження процедури експерименту.
#Проведення експерименту. Експериментатор повинен чітко знати і дотримуватись порядку дій у ході дослідження (перед експериментатором можуть лежати інструкція, у якій зафіксований цей порядок) В експерименті може брати участь і асистент. Він бере на себе допоміжні задачі. Частіше усього саме асистент веде протокол. Експеримент у залежності від цілей дослідження може бути частково або цілком автоматизованим.
#Статистична обробка експериментальних даних. Після проведення експерименту отримані в результаті дослідження дані опрацьовуються статистично. Звичайно методи опрацювання даних вибираються на стадії планування експерименту або ж ще раніше – при висуванні експериментальної гіпотези.
#Висновки й інтерпретація результатів. Цей етап є завершальним у дослідницькому циклі. Результатом експериментального дослідження є підтвердження або спростування експериментальної гіпотези.

=Анкета для збору апріорної інформації=

При підготовці до проведення експерименту необхідно вияснити ряд питань, від яких в певній мірі залежить успішність досягнення поставленої задачі. З цією метою складають анкету для збору апріорної інформації та ведуть журнал(протокол) експерименту по якому потім даний експеримент можна відтворити[1].

Туди включають наступні пункти:
#Короткий опис процесу, об’єкту.
#Формулювання цілі(мети) дослідження
#Список параметрів, що фіксуються в ході досліджень. Для цього можна використати наступну таблицю[4].

<table width="700px" border="1">
<tr>
<th scope="col">№ параметра </th>
<th scope="col">Назва </th>
<th scope="col">Розмірність </th>
<th scope="col">Точність </th>
<th scope="col">Примітка </th>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
</tr>
</table>

#Список факторів:
#*всіх “запідозрюваних” факторів, що впливають на досліджуваний об’єкт;
#*факторів, включених в даний експеримент.

Потрібно зазначити, чи існує можливість встановлення факторів на будь-якому заданому рівні, чи не змінюється їх значення під час проведення експерименту, чи не можуть деякі комбінації факторів привести до зупинки процесу(напр. Вибух, не технологічність і т.д.)

Список цих факторів можна оформити в вигляді наступної таблиці[4].

<table width="90%" border="1">
<tr>
<th scope="col">№ параметра </th>
<th scope="col">Назва </th>
<th scope="col">Розмірність </th>
<th scope="col">Точність </th>
<th scope="col">К-сть рівнів </th>
<th scope="col">Інтервал варювання </th>
<th scope="col">Перший рівень </th>
<th scope="col">К-сть паралельних дослідів </th>
<th scope="col">Примітка </th>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
</tr>
</table>

#Бажана кількість експериментів, час проведення одного експерименту та дослідження взагалі.
#Вартість і затрати праці при проведенні одного досліду.
#Можливість проведення паралельних дослідів і вимірів.
#Бажана стратегія проведення дослідів(наприклад, по одному в день)
#Результати проведення досліджень

Результати досліджень слід оформляти в спеціальних таблицях(матрицях планування).

Якщо для фіксованих рівнів факторів проводиться багато паралельних дослідів, тобто коли в кожній окремій комірці з номером (i,j) необхідно розмістити багато експериментальних даних, всю таблицю можна розбити на певні частини, в кожній з яких фіксуються експериментальні дані, коли, наприклад, міняється один фактор, а другий фіксований на певному рівні. Більше того, оформити окремо можна і кожну комірку, в якій крім результатів вимірювань може бути включена додаткова інформація: дата проведення окремих досліджень; час цих досліджень; безпосередньо результати досліджень і т.д.

Акуратно оформлена таблиця дозволяє економити час при вводі даних в ЕОМ, проводити відповідний аналіз даних та інше.

Журнал оформляють наперед в відповідності до методики і плану дослідження так, щоб був зрозумілим порядок дій. Першу сторінку можна присвятити вибору цілі дослідження і параметрам оптимізації, з вказанням їх розмірностей. Бажано перечислити всі параметри, котрі можуть служити характеристиками процесу і вказати, який між ними існує зв’язок. На другій сторінці перечисляють фактори і розміщують таблицю рівнів факторів, інтервалів їх варіювання та розмірностей. Для матриці планування доцільно виділити розгортку журналу, щоб мати можливість в разі потреби доповнити її додатковими стовпцями, записати повторні дослідження, примітки. При складанні робочої матриці планування також необхідно виділити місце для стовпців, в яких відмічаються дати проведення дослідів і прізвища лаборантів, котрі ці досліди проводять(в випадку, коли експеримент проводять декілька людей). Окремі сторінки потрібно виділити для підрахунків, які необхідні для виявлення кількості всіх компонентів досліду, а також для аналізу результатів експерименту. Вкінці відводиться місце для висвітлення висновків експерименту.

=Список використаних джерел=

#Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановський Планирование експеримента при поиске оптимальних условий, М.,«Наука», 1976
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Експеримент (січень 2010)
#http://refsmarket.org.ua/viewfree_4_10412.html (січень 2010)
#Методичні вказівки до проведення лабораторної роботи №1 «Постановка експерименту по дослідженню залежності функціонального стану людини від дії факторів у вигляді фізичного навантаження». Укладач М.В.Приймак. Тернопіль ТДТУ 2003
#http://www.leneyka.ru/2009/01/21/klasifikaciya-eksperimentiv.html (лютий 2010)

{{Завдання:Виступ|Nata|10 лютого 2010|Проведення експерименту. Анкета для збору даних}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Фактори експерименту

2012-03-05T16:05:41Z

Shore:

{{Невідредаговано}}

{{Завдання|hotcoffe|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Планування експерименту =

Завдання, для вирішення яких може використовуватися планування експерименту, надзвичайно різноманітні. До них відносяться: пошук оптимальних умов,
побудова інтерполяційних формул, вибір істотних факторів, оцінка та уточнення констант теоретичних моделей, вибір найбільш прийнятних з деякої безлічі гіпотез про механізми явищ, дослідження діаграм склад - властивість і т.д.
Пошук оптимальних умов є одним з найбільш поширених науково - технічних завдань. Вони виникають в той момент, коли встановлена можливість проведення процесу і необхідно знайти найкращі (оптимальні) умови його реалізації.
Такі завдання називаються завданнями оптимізації. Процес їх рішення називається процесом оптимізації або просто оптимізацією. Вибір оптимального складу багатокомпонентних сумішей та сплавів, підвищення продуктивності діючих установок, підвищення якості продукції, зниження витрат на її отримання - ось приклади задач оптимізації.

= Фактори експерименту =
== Фактори - основа експерименту ==

Після вибору об'єкту дослідження і параметра оптимізації потрібно розглянути всі фактори, які можуть впливати на процес. Якщо який-небудь суттєвий фактор виявиться неврахованим і приймає довільні значення, не контрольовані експериментатором, то це значно збільшить похибку досліду. При підтримці цього фактору на певному рівні може бути отримане помилкове уявлення про оптимум, оскільки немає гарантії, що отриманий рівень є оптимальним.

З іншого боку велике число факторів збільшує число дослідів і розмірність факторного простору. Відомо, що число дослідів рівне

<math>N=P^K</math>,

де:
*N - число дослідів;
*р - число рівнів;
*K - число факторів. [4]

Отже, вибір факторів є вельми суттєвим, оскільки від цього залежить успіх оптимізації.

== Характеристика факторів ==
Фактором називається вимірювана змінна величина, що приймає в деякий момент часу певне значення і що впливає на об'єкт дослідження.

Фактори повинні мати область визначення, усередині якої задаються його конкретні значення. Область визначення може бути безперервною або дискретною. При плануванні експерименту значення факторів приймаються дискретними, що пов'язане з рівнями факторів. У практичних завданнях області визначення факторів мають обмеження, які носять або принциповий, або технічний характер.

Фактори розділяються на кількісні і якісні.

До кількісних відносяться ті Фактори, які можна вимірювати, зважувати і так далі.

Якісні Фактори - це різні речовини, технологічні процеси, прилади, виконавці і тому подібне.

Хоча до якісних факторів не застосовується числова шкала, але при плануванні експерименту до них застосовують умовну порядкову шкалу відповідно до рівнів, тобто проводиться кодування. Порядок рівнів тут довільний, але після кодування він фіксується.

== Вимоги до факторів ==

Фактори повинні бути керованими, це означає, що вибране потрібне значення фактора можна підтримувати постійним протягом всього досліду. Планувати експеримент можна тільки в тому випадку, якщо рівні факторів підкоряються волі експериментатора.

<table width="90%" border="1">
<caption>
Наприклад, вирощування сільськогосподарських культур залежить від ряду факторів.
</caption>
<tr>
<th scope="col">Назва фактору </th>
<th scope="col">Вид фактору </th>
<th scope="col">Характеристика </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Щільність посіву </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>Від щільності посіву залежить врожайність, щільність має свої оптимальні значення. Так коли щільність буде за малою, то більша кількість опадів, буде просто випаровуватись, від чого страждатимуть рослини. При надто щільному посіві рослини не отримуватимуть потрібну кількість сонячних променів. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Використання мінеральних добрив </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>При використанні мінеральних добрив, слід враховувати їх характеристики, при надмірному використанні добрив, вони спалюють кореневу систему рослин, що зменшує врожайність. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Обробіток </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>Фактор який впливає на врожайність, коли він буде недостатнім, то корисну культуру витіснять інші не корисні рослини. Це мабуть єдиний фактор який не має верхньої межі. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Вид культури </th>
<td>Контр. якісний </td>
<td>Звісно людина сама вибирає яку культуру їй садити, таким чином усі фактори для отримання найкращого результату врожайності для різних культур матимуть різні значення. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Дата посіву </th>
<td>Контр. якісний </td>
<td>Певні культури необхідно садити в певні часові проміжки часу задля отримання максимальної врожайності (озима пшениця) </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість опадів </th>
<td>Не контр. кількісний </td>
<td>На ці фактори людина ніяк не може вплинути, тому його не можна враховувати в експериментах. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість сонячних днів </th>
<td>Не контр. кількісний </td>
<td>На ці фактори людина ніяк не може вплинути, тому його не можна враховувати в експериментах. </td>
</tr>
</table>

Щоб точно визначити фактор, потрібно вказати послідовність дій (операцій), за допомогою яких встановлюються його конкретні значення. Таке визначення називається операційним. Так, якщо фактором є тиск в деякому апараті, то абсолютно необхідно вказати, в якій точці і за допомогою якого приладу він вимірюється і як він встановлюється. Введення операційного визначення забезпечує однозначне розуміння фактору.

Точність вимірів факторів повинна бути максимально високою. Ступінь точності визначається діапазоном зміни факторів. У тривалих процесах, вимірюваних багатьма годинами, хвилини можна не враховувати, а в швидких процесах доводиться враховувати долі секунди.

Дослідження суттєво ускладнюється, якщо фактор вимірюється з великою помилкою або значення факторів важко підтримувати на вибраному рівні (рівень фактора «пливе»), то доводиться застосовувати спеціальні методи дослідження, наприклад, конфлюентний аналіз [1, 2].

Фактори повинні бути однозначні. Важко управляти фактором, який є функцією інших факторів. Але в плануванні можуть брати участь інші фактори, такі, як співвідношення між компонентами, їх логарифми і тому подібне.

Необхідність введення складних факторів виникає за бажання представити динамічні особливості об'єкту в статичній формі.

Наприклад, потрібно знайти оптимальний режим підйому температури в реакторі. Якщо щодо температури відомо, що вона повинна наростати лінійно, то як Фактор замість функції (в даному випадку лінійної) можна використовувати тангенс кута нахилу, тобто градієнт.

[[Файл:Xy.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення режиму підйому температури в реакторі]]

<center>Рис.1 - Режими підйому температури в реакторі</center>

При плануванні експерименту одночасно оцінюють декілька факторів, тому необхідно знати вимоги до сукупності факторів. Перш за все висувається вимога сумісності. Сумісність факторів означає, що всі їх комбінації здійсненні і безпечні.

[[Файл:F1.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення cумісності факторних просторів.]]

<center>Рис.2 - Схематичне зображення cумісності факторних просторів</center>

Несумісність факторів спостерігається на межах областей їх визначення. Позбавитися від неї можна скороченням областей. Ситуація ускладнюється, якщо несумісність виявляється усередині областей визначення. Одне з можливих рішень - розбиття на підобласті і вирішення двох окремих завдань.

При плануванні експерименту важлива незалежність факторів, тобто можливість встановлення фактора на будь-якому рівні незалежно від рівнів інших факторів. Якщо ця умова нездійсненна, то неможливо планувати експеримент.

== Вибір рівнів варіювання факторів і основного рівня ==

Фактор вважається заданим, якщо вказані його назва і область визначення. У вибраній області визначення він може мати декілька значень, які відповідають числу його різних станів. Вибрані для експерименту кількісні або якісні стани фактору носять назву рівнів фактору.

У плануванні експерименту значення факторів, відповідні певним рівням їх варіювання, виражають в кодованих величинах. Під інтервалом варіювання фактору мається на увазі різниця між двома його значеннями, прийнята за одиницю при кодуванні. [5]

<table width="90%" border="1">
<caption>
Фактори, що визначають оптимальні будинки для продажу:
</caption>
<tr>
<th scope="col">Фактор </th>
<th scope="col">Вид фактору </th>
<th scope="col">К-сть рівнів </th>
<th scope="col">Характеристика </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Наявність телефону </th>
<td>Якісний </td>
<td>2 </td>
<td>Телефон в квартирі або є або його немає. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Ремонт </th>
<td>Якісний </td>
<td>3 </td>
<td>Ремонт можна оцінити як відмінний, задовільний та незадовільний. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Відстань до центру міста </th>
<td>Кількісний </td>
<td>100 </td>
<td>Визначає відстань від даного будинку до центру міста із кроком 100 м. максимальна відстань до центру міста 10 км. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість кімнат </th>
<td>Кількісний </td>
<td>5 </td>
<td>1-кімн. 2-кімн. 3-кімн. 4-кімн. Більше 4 кімн. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Площа 1 кімн…. </th>
<td>Кількісний </td>
<td>Х </td>
<td>Відповідно визначається кількість рівнів і крок, верифікації. </td>
</tr>
</table>

При виборі області визначення факторів особливу увагу приділяють на вибір нульової точки, або нульового (основного) рівня. Вибір нульової точки еквівалентний визначенню початкового стану об'єкту дослідження. Оптимізація пов'язана з поліпшенням стану об'єкту в порівнянні з станом в нульовій точці. Тому бажано, щоб дана точка була в області оптимуму або якомога ближче до нього, тоді прискорюється пошук оптимальних рішень. [3]

У випадку лабораторної роботи №1 де фактором виступає кількість присідань і задається значеннями від 0 до 30 із кроком в 10 присідань, маємо: кількість рівнів 4 за нульовий рівень приймаємо рівень 3 – 20 присідань.

Якщо проведенню експерименту передували інші дослідження з даного питання, то за нульову береться така точка, якій відповідає найкраще значення параметра оптимізації, встановленого в результаті формалізації апріорної інформації. В цьому випадку нульовими рівнями факторів є значення останніх спостережень, поєднання яких відповідають координатам нульової точки.

Часто при постановці завдання область визначення факторів буває заданою, будучи локалізованою областю факторного простору. Тоді центр цієї області береться за нульову точку.

Припустимо, в деякому завданні фактор (температура) міг змінюватися від 140 до 180˚С. Природно, за нульовий рівень було прийнято середнє значення фактора, відповідно рівне 160˚С.

Після встановлення нульової точки вибирають інтервали варіювання факторів. Це пов'язано з визначенням таких значень факторів, які в кодованих величинах відповідають +1 і -1. Інтервали варіювання вибирають з урахуванням того, що значення факторів, відповідні рівням +1 і -1, повинні бути достатньо відмінні від значення, відповідному нульовому рівню. Тому у всіх випадках величина інтервалу варіювання повинна бути більше подвоєної квадратичної помилки фіксації даного фактору.

<math>I=2\cdot(\sum^{n}_{i=1} {p_i})^2</math>

де ''p''''i'' – величина закладеної ''i''-ї похибки.

З іншого боку, надмірне збільшення величини інтервалів варіювання небажано, оскільки це може привести до зниження ефективності пошуку оптимуму. А дуже малий інтервал варіювання зменшує область експерименту, що уповільнює пошук оптимуму.

При виборі інтервалу варіювання доцільно враховувати, якщо це можливо, число рівнів варіювання факторів в області експерименту. Від числа рівнів залежать об'єм експерименту і ефективність оптимізації.

У загальному вигляді залежність числа дослідів від числа рівнів факторів має вигляд:

<math>N=P^K</math>,

де:
*N - число дослідів;
*р - число рівнів;
*K - число факторів. [4]

Мінімальне число рівнів, що зазвичай використовують на першій стадії роботи, рівне 2. Це верхній і нижній рівні, що позначаються в кодованих координатах через +1 і -1. Варіювання факторів на двох рівнях використовується у відсіваючих експериментах, на стадії руху в область оптимуму і при описі об'єкту дослідження лінійними моделями. Але таке число рівнів недостатньо для побудови моделей другого порядку (адже фактор приймає тільки два значення, а через дві точки можна провести безліч ліній різної кривизни).

[[Файл:v1.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення пошуку оптимуму, методом відсіювання.]]

<center>Рис.3 - Схематичне зображення пошуку оптимуму, методом відсіювання.</center>

Із збільшенням числа рівнів підвищується чутливість експерименту, але одночасно зростає число дослідів. При побудові моделей другого порядку необхідні 3, 4 або 5 рівнів, причому тут наявність непарних рівнів указує на проведення дослідів в нульових (основних) рівнях.

У кожному окремому випадку число рівнів вибирають з урахуванням умов завдання і передбачуваних методів планування експерименту.

[[Файл:v2.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення пошуку оптимуму, інших порядків.]]

<center>Рис.4 - Схематичне зображення пошуку оптимуму, інших порядків.</center>

Тут необхідно враховувати наявність якісних і дискретних факторів. У експериментах, пов'язаних з побудовою лінійних моделей, наявність цих факторів, як правило, не викликають додаткових труднощів. При плануванні другого порядку якісні Фактори не застосовні, оскільки вони не мають ясного фізичного сенсу для нульового рівня. Для дискретних факторів часто застосовують перетворення вимірювальних шкал, щоб забезпечити фіксацію значень факторів на всіх рівнях.

=Список використаних джерел=

#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).

{{Завдання:Виступ|Hotcoffe|27 січня 2010|Рівні факторів. Нульовий рівень. Інтервал варіювання фактору.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Історія та роль Роналда Фішера та планування експерименту

2012-03-05T16:05:10Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
<center>
{|
|-
|{{Стаття Вікі| article=[http://uk.wikipedia.org/wiki/Рональд_Фішер Рональд Фішер] }} || {{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/413 Історія та роль Р.Фішера а планування експерименту]}}
|}
</center>
{{Завдання|Сарабун П.П.|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}

'''''Планування експерименту ''''' (англ. experimental design techniques) - комплекс заходів, спрямованих на ефективну постановку дослідів. Основна мета планування експерименту - досягнення максимальної точності вимірювань при мінімальній кількості проведених дослідів і збереженні статистичної достовірності результатів.

== Історія винекнення дисципліни ==

Планування експерименту виникло в 20-х роках XX століття з потреби усунути або хоча б зменшити систематичні помилки в сільськогосподарських дослідженнях шляхом рандомізації умов проведення експерименту. Процедура планування виявилася спрямована не тільки на зменшення дисперсії оцінюваних параметрів, але також і на рандомізації щодо супутніх, спонтанно змінюються і неконтрольованих змінних. У результаті вдалося позбутися від зсуву в оцінках. З 1918 р. Р. Фішер почав свою відому серію робіт на Рочемстедской агробіологічний станції в Англії. У 1935 році з'явилася його монографія «Design of Experiments», що дала назву всьому напрямку.

У 1942 році А. Кишен розглянув планування експерименту з латинським кубів, яке стало подальшим розвитком теорії латинських квадратів. Потім Р. Фішер незалежно опублікував відомості про ортогональних гіпер-греко-латинських кубах і гіпер-кубах. Незабаром після цього в 1946 р. Р. Рао розглянув їх комбінаторні властивості. Подальшому розвитку теорії латинських квадратів присвячені роботи Х. Манна (1947 - 1950 рр..). Перше глибоке математичне дослідження блок-схеми виконано Р. Боуз в 1939 р. Спочатку була розроблена теорія збалансованих неполноблочних планів. Потім Р. Боуз, К. Нер і Р. Рао узагальнили ці плани і розробили теорію частково збалансованих неполноблочних планів. З тих пір вивчення блок-схем приділяється велика увага як з боку фахівців з планування експерименту (Ф. Йетс, Г. Кокс, В. Кохрен, В. Федерер, К. Гульден, О. Кемптгорн та інші), так і з боку фахівців за комбінаторним аналізу (Боуз, Ф. Шімамото, В. Клатсворсі, С. Шрікханде, А. Гофман та ін.)

Дослідження Р. Фішера знаменують початок першого етапу розвитку методів планування експерименту. Фішер розробив метод факторного планування. Також запропонував для цього методу просту обчислювальну схему. Факторний планування набуло широкого розповсюдження. Особливістю факторного експерименту є необхідність ставити відразу велику кількість дослідів. У 1945 р. Д. Фінні ввів дробові репліки від факторного експерименту. Це дозволило скоротити число дослідів і відкрило дорогу технічних програм планування. Інша можливість скорочення необхідного числа дослідів була показана в 1946 р. Р. Плакеттом і Д. Берманом, які ввели насичені факторні плани. Г. Хотеллінг в 1941 р. запропонував знаходити екстремум за експериментальними даними з використанням статечних розкладів і градієнта. Наступним важливим етапом було введення принципу послідовного крокової експериментування. Цей принцип, висловлений в 1947 р. М. Фрідманом і Л. Севіджем, дозволив поширити на експериментальне визначення екстремуму - ітерацію.Щоб побудувати сучасну теорію планування експерименту, не вистачало однієї ланки - формалізації об'єкта дослідження. Ця ланка з'явилося в 1947 р. після створення Н. Вінером теорії кібернетики. Кібернетичному поняття «чорний ящик», грає в плануванні важливу роль. У 1951 р. роботою американських вчених Дж. Боксу і К. Вілсона почався новий етап розвитку планування експерименту. У ній сформульована і доведена до практичних рекомендацій ідея послідовного експериментального визначення оптимальних умов проведення процесів з використанням оцінки коефіцієнтів статечних розкладів методом найменших квадратів, рух по градієнту і відшукання інтерполяційного полінома в області екстремуму функції відгуку (майже стаціонарної області).

У 1954 - 1955 рр.. ЛШ. Бокс, а потім П. Юл. показали, що планування експерименту можна використовувати при дослідженні фізико-хімічних процесів, якщо апріорі висловлені один або кілька можливих гіпотез. Напрямок отримав розвиток у роботах Н. П. Клепікова, С. Н. Соколова і В. В. Федорова у ядерній фізиці. Третій етап розвитку теорії планування експерименту почався в 1957 р., коли Бокс застосував свій метод у промисловості. Цей метод став називатися «еволюційним плануванням». У 1958 р. Г. Шиффа запропонував новий метод планування експерименту для вивчення фізико-хімічних діаграм склад - властивість під назвою «симплексної решітки». Розвиток теорії планування експерименту в СРСР відображено в роботах В. В. Налімова, Ю. П. Адлера, Ю. В. Грановського, Е. В. Марковой.[3]

== Біографія Рональда Ейлмера Фішера ==
Сер Рональд Ейлмер Фішер (англ. Sir Ronald Aylmer Fisher, 17 лютого 1890 — 29 липня 1962) — англійський статистик, біолог-еволюціоніст та генетик. Річард Докінз назвав його «найвеличнішим послідовником Дарвіна». Фішер народився в лондонському Іст-Фінчлі, в сім'ї Джорджа і Кеті Фішер. Його батько був успішним торговцем предметами витонченого мистецтва.

Дитинство його було щасливим, його обожнювали три старші сестри, старший брат і матір, яка померла, коли Рональду було 14. Його батько через 18 місяців збанкрутів, провівши декілька невдалих операцій. Хоча у Фішера був поганий зір, він був не по роках розвиненим учнем і у віці 16 років виграв «Neeld Medal» (конкурс з математики) в школі Харроу (лат. Harrow School). Унаслідок все того ж поганого зору, його навчали математиці без використання «паперу і пера», що розвинуло здатність уявляти завдання в термінах геометрії. Фішер був знаменитий умінням отримувати відповідь, опускаючи проміжні етапи. Він також виявляв сильну цікавість до біології, особливо, до еволюційного учення.

== Основи планування експерименту ==

Планування експерименту – процедура вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних та достатніх для вирішення задачі досліджень із заданою точністю. Розрізняють два підходи планування експерименту: класичний, при якому по черзі змінюється кожен фактор до визначення часткового максимуму при постійних значеннях інших факторів, статистичний, де одночасно змінюють багато факторів. При цьому суттєвим є: мінімізація числа дослідів; одночасне варіювання всіма параметрами; використання математичного апарата, який формалізує дії експериментатора; вибір чіткої стратегії, що дозволяє приймати обґрунтовані рішення після кожної серії експериментів. Загалом розрізняють такі експериментальні плани: дисперсного аналізу; відбору суттєвих факторів; багатофакторного аналізу; одержання поверхні відгуку; динамічних задач планування; вивчення механізмів явищ; побудови діаграм «склад — властивість», «склад — стан».

Початок плануванню експерименту поклали праці англійського математика Р. Фішера (1935), що довів перевагу використання на першому етапі досліджень факторного ортогонального планування експериментів, де варіюють тільки на двох рівнях. При цьому використання дробового факторного плану значно скорочує число необхідних експериментів. Англійськими хіміками Боксом і Вілсоном запропонований метод крутого сходження (рух по градієнту), що дозволяє найбільш коротким шляхом визначити координати екстремуму досліджуваного процесу. Для математичного опису екстремальної області застосовують різні методи планування експерименту, у основі яких лежить представлення екстремальної області поліномами другого порядку, що адекватно описують досліджуваний процес. До таких планів належить план Бокса — Бенкена — один з різновидів статистичних планів, які застосовуються при плануванні наукових і, особливо, промислових експериментів. Ці плани дозволяють отримувати максимальну кількість об’єктивної інформації про вплив чинників, що вивчаються, на виробничий процес за допомогою найменшого числа спостережень (дослідів). Вони належать до симетричних некомпозиційних трирівневих планів другого порядку і являють собою поєднання дворівневого (–1, +1) повного факторного експерименту з неповноблочним збалансованим планом. Область планування — гіперкуб, причому кожний з чинників приймає значення на трьох рівнях: –1, 0 і +1. Плани Бокса — Бенкена за рядом статистичних характеристик перевершують центрально-композиційні ортогональні і ротатабельні плани, що широко застосовуються в промисловому експерименті. Для вивчення промислового процесу застосовують еволюційні планування експерименту, де дослідник повинен весь час пристосовуватися до умов виробництва, що змінюються. Специфічним є планування з відсіванням експериментів. Сучасна теорія планування експерименту склалася у 1960-х роках. Її методи тісно пов’язані з теорією наближення функцій і математичним програмуванням. Розроблені оптимальні плани і досліджені їхні властивості для широкого класу моделей. Планування експерименту та обробка даних здійснюється за допомогою комп’ютерних програм: Windows з різними версіями Mathcad, Statistica, Axum7, Statgraphics Plus, Simulink і ін.

=== Основи планування експерименту за Рональдом Фішером ===
Методологія проектування експерименту була запропонована Рональдом А. Фішером у його інноваційній книзі «Планування експериментів» (1935). Для прикладу він описав, як перевірити гіпотезу про те, що певна жінка може лише на смак визначити, молоко чи чай було спочатку налито в чашку. Звучить легковажно, але це допомогло вченому проілюструвати найважливіші ідеї планування експерименту.

*''Порівняння''
У багатьох галузях досліджень важко точно відтворити результати вимірювань. Порівняння між умовами відтворити набагато легше і тому їм, як правило, надають перевагу. Часто порівняння проводять зі стандартними чи традиційними умовами, що виступають в якості базових.

*''Рандомізація''
Існує математична теорія, що вивчає наслідки роздроблення підрозділів одиниць за допомогою довільних механізмів, таких як таблиці випадкових чисел, або використання пристроїв рандомізації, таких як гральні карти або кості. При умові, що вибірка адекватна, ризики, пов'язані з випадковим розподілом (наприклад, відсутність репрезентативної вибірки в опитуванні, чи серйозний дисбаланс в ключових характеристиках між групами умов та групами контролю) можна обчислити і, отже, вони можуть бути знижені до прийнятного рівня. Довільний не означає безсистемний, тому необхідно забезпечити використання відповідних випадкових методів.

*''Реплікація ''
У вимірах зміни можуть відбуватися як при повторному вимірюванні, так і між реплікованими предметами або процесами. Багаторазові вимірювання реплікованих елементів необхідні для обчислення розміру похибки.

*''Блокування''
Блокування це організація експериментальних елементів в групи (блоки), які схожі один на одного. Блокування зменшує відомі, але безвідносні джерела відмінностей між підрозділами і тим самим сприяє більшій точності в оцінці джерела коливань, що досліджується.

*''Ортогональність''
Ортогональність стосується форм порівняння (контрасту), який може ефективно здійснюватися. Контрасти можуть бути представлені векторами і групи ортогональних контрастів некорельовані і незалежно розподілені, якщо дані відповідають нормі. Через цю незалежність кожна ортогональна умова надає решті іншу інформацію. Якщо є умова Т і Т - 1 ортогональні контрасти, то всю інформацію, яка може бути отримана в результаті проведення експерименту можна отримати з багатьох контрастів.

*''Факторіальні експерименти''
Використання факторіального експерименту замість факторів по одному. Вони є ефективними при оцінці наслідків і можливої взаємодії декількох факторів (незалежних змінних).
Аналіз планування експерименту був побудований на основі аналізу різниці, колекції моделей, в яких спостерігається різниця розділена на компоненти завдяки різним факторам, які оцінюються та / або тестуються.

== Зовнішні посилання ==
* [http://www.en.wikipedia.org/wiki/Design_of_experiments/ Стаття "Планування експерименту" на en.wikipedia.org]
* [http://www.digital.library.adelaide.edu.au/coll/special//fisher/ Біографія Фішера]
* [http://www.hss.cmu.edu/philosophy/seidenfeld/relating%20to%20Fisher/Fisher%20on%20Design.pdf Fisher on Design]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Фишер,_Рональд_Эйлмер Стаття про Фішера на ru.wikipedia.org]
* [http://www.rapidshare.com/files/189515782/The_Design_of_Experiments_By_Sir_Ronald_A._Fisher.rar The Design of Experiments By Sir Ronald A.Fisher]

{{Завдання:Виступ|Сарабун П.П.|20 січня 2010|Історія виникнення дисципліни "Теорія експерименту" і роль у цьому Фішера (1890-1960) - англійського статистика і генетика }}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Непараметрична регресія

2012-03-05T15:59:38Z

Shore:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Володимир | Surname=Шостак | FatherNAme=Михайлович |Faculti=ФІС | Group=СН-51 | Zalbook=СН-11-222}}
'''Непараметрична регресія''', на відміну від параметричних підходів, використовує модель, яка не описується кінцевим числом параметрів.

== Вступ ==
:Мета регресійного аналіза полягає у здійсненні розумної апроксимації невідомої функції відгуку <math>Y(X)</math> по відомим точкам <math>(X_i,Y_i)_{i = 1}^{m}</math>. У випадку малих помилок спостереження стає можливим сконцентрувати увагу на важливих деталях середньої залежності <math>Y</math> від <math>X</math> при її інтерпретації.

== Відмінність від параметричних підходів ==
:Процедура апроксимації зазвичай називається '''''згладжуванням'''''. По суті ця апроксимація функції відгуку <math>Y</math> може бути виконана двома способами. Досить часто використовується параметричний підхід, що полягає у припущенні, що функція відгуку <math>Y</math> має деяку визначену функціональну форму, наприклад, це пряма лінія з невідомим вільним членом і нахилом. Альтернативою цьому може служити спроба оцінити <math>Y</math> непараметричним чином, без вказівки конкретного її виду. Перший підхід до аналізу регресійної залежності називається параметричним, оскільки передбачається, що вид функції повністю описується кінцевим набором параметрів. Типовий приклад параметричної моделі являє собою поліноміальне рівняння регресії, коли параметрами є коефіцієнти при невідомих. Однак при параметричному підході передбачається, що крива може бути представлена в термінах параметричної моделі, або, принаймні, є впевненість в тому, що помилка апроксимації для найкращого параметричного наближення є дуже мале. Навпаки, в непараметричної моделі регресійної залежності не проводиться проектування даних в "прокрустове ложе" фіксованого параметризації. Попереднє завдання параметричної моделі може виявитися занадто обмежувальним, або надто малою розмірності для апроксимації непередбачених характеристик, в той час, як непараметричне згладжування надає гнучкі засобам аналізу невідомих регресійних залежностей.

:Непараметричний підхід приводить, таким чином, до гнучкого функціонального виду кривої регресії.

== Різновиди ==

== Ядерне згладжування==
:Одним із найпростіших методів є [[ядерне згладжування]]. Цей метод простий у застосуванні, не вимагає додаткових математичних відомостей і зрозумілий на інтуїтивному рівні. Ядерне згладжування в багатьох випадках є підходящим засобом. Існують різноманітні альтернативні методи згладжування такі, наприклад, як сплайни, але в [Хардле В., Заг 3] показується, що в асимптотичному сенсі вони еквівалентні [[ядерне згладжування | ядерному згладжуванню]].

: Ключем до проведення '''якісного непараметричного оцінювання''' є вибір відповідної ширини вікна для наявного завдання. Хоча ядерна функція <math>K</math> залишається важливою, її головна роль полягає в забезпеченні диференцируємості і гладкісті отримуваної оцінки. Ширина вікна <math>h</math>, з іншого боку, визначає поведінку оцінки в кінцевих вибірках, що ядерна функція зробити просто не в змозі. Існують чотири загальні підходи до вибору ширини вікна:
#референтні евристичні правила;
#методи підстановки;
#методи крос-валідації;
#бутстраповские методи.

Заради охайності підкреслимо, що диктовані дані методи вибору ширини вікна <math>h</math> не завжди гарантують гарний результат.
:Виходячи з мінімізації глобальної помилки потрібно <math>h</math> брати рівним:
::<math>h_{opt}=\[ \frac{\int{K^2(z)dz}}{ \(\int{z^2K^2(z)dz} \)^2 \int{\[y''(x)\]^2dx} }\]^{-1/5} m^{-1/5} </math>, де <math>y(x)</math> - невідома апроксимируюча залежність.

=== Референтні евристичні правила ===
:Референтні евристичні правила вибору ширини вікна використовують стандартне сімейство розподілів для визначення <math>h_{opt}</math>.
Розглянемо оцінку Парзена-Розенблата для одновимірної функції щільності
:: <math>\hat{y}(x)=\frac{1}{mh} \sum_{i=0}^m{K\( \frac{X_i-x}{h}\)}</math>.
:У випадку сімейства нормальних розподілів і гаусівського ядра <math>h_{opt}=1.059*\sigma m^{-1/5}</math>. На практиці застосовується <math>\hat{\sigma}</math>, вибіркове стандартне відхилення.

=== Методи підстановки ===
Методи підстановки, такі як в Sheather, Jones (1991), полягають у підстановці оцінок невідомої константи <math>\int{\[y''(x)\]^2dx</math> в формулу для оптимальної ширини вікна на основі первинної оцінки <math>y''(x)</math>, яка в свою чергу заснована на «'''''попередній'''''» ширині вікна, наприклад, знайденої за правилом <math>1.059*\sigma m^{-1/5}</math> . Всі інші константи у виразі для <math>h_{opt}</math> відомі після вибору ядерної функції <math>K</math> (отже <math>\int{K^2(z)dz}</math> і <math>\int{z^2K^2(z)dz}</math> відомі). Хоча такі правила популярні, зацікавлений читач може звернутися до праць Loader (1999), де обговорюються відносні переваги методів підстановки в порівнянні з іншими методами вибору ширини вікна, обговорюваними нижче.

=== Методи крос-валідації ===
:Методи крос-валідації заснований на основе найменших квадратів – це повністю автоматичний і диктуються даними методу вибору згладжуваного параметра. Цей метод заснований на принципі вибору ширини вікна, мінімалізує інтегральну среднеквадратичну помилку отримуваної оцінки. Інтеграл квадрата різниці <math>y(x)</math> и <math>\hat{y}(x)</math> має вигляд

::<math>\int{\[y(x) - \hat{y}(x)\]^2dx } = \int{y^2(x)dx} - 2*\int{y(x)\hat{y}(x)dx} + \int{\hat{y}^2(x)dx}</math>

[[Файл:300px-Example_density.jpg|300px|thumb|right|Рис. 1. Оцінка щільності крос-валідаціїна на основі найменших квадратів]]
:Можна замінити ці величини їх вибірковими аналогами, зробити поправку на зсув і отримати цільову функцію, яку потім можна мінімізувати за допомогою чисельних методів. Цей підхід був запропонований в роботах Rudemo (1982) і Bowman (1984). Для розуміння сутності коментарів у Loader (1999) на '''Рис. 1''' зображені оцінки бімодальної щільності - ядерна оцінка при застосуванні правила підстановки і крос-валідації на основі найменших квадратів. '''Рис. 1'''показує, що насправді правило підстановки надмірно згладжує, приводячи до істотного зсуву в лівій вершині. Крос-валідація на основі найменших квадратів виправляє це, як зазначає Loader (1999), але ціною додаткової варіації в правій вершині.
: Одна з проблем даного підходу - його чутливість до наявності округлених або Дискретизований даних, а також до дрібномасштабних ефектів у даних.
:З прикладу випливає, що, можливо, ядерну оцінку з фіксованим параметром <math>h</math> можна поліпшити, і існують «адаптивні» ядерні оцінки, які дозволяють <math>h</math> змінюватися в точці <math>x</math> або <math>X_i</math>; см. Abramson (1982) і Breiman, Meisel, Purcell (1977). Ці оцінки, однак, сприяють введенню помилкового шуму в оцінку щільності. Однак метод з фіксованим <math>h</math> домінує в прикладних дослідженнях.

=== Бутстраповскі методи ===
: Faraway, Jhun (1990) запропонували метод вибору ширини вікна <math>h</math> на основі бутстрапа, шляхом оцінювання інтегральної середньоквадратичної помилки для кожної фіксованої ширини вікна, і потім мінімізації її по всіх значенях. Даний підхід використовує згладжений бутстраповский метод на основі початкової оцінки щільності. Один з недоліків цього підходу в тому, що цільова функція є випадковою, що може привести до проблем при чисельної мінімізації, а також його обчислювальна складність.

----

Ядерні ваги визначають деяку ділянку навколо точки <math>x</math> що лежить на сітці. Наступне питання згладжування - поліноміальний наближення функції <math>y</math> в цій ділянці.
==== Локально поліноміальні наближення ====
[[Файл:300px-Example_polynom.jpg|300px|thumb|right|Рис. 2. Локально поліноміальні зглажування]]
:Найпростішим поліномом наближення в такій околиці є константа. Ядерна оцінка мінімізує суму квадратів нев'язок в околиці точки <math>x</math>, форма і розмір якої визначається ядром <math>K</math>.
:Локально поліноміальні наближення і його зв'язок з ядерним згладжуванням детально досліджені в працях (Muller 1987), де показана їх '''еквівалентність'''.
:Детальніше також див. [[Алгоритм LOWESS]]

== k-NN оцінки==
[[Файл:300px-Example_knn.jpg|300px|thumb|right|Рис. 3. k-NN зглажування]]
:Конструкція оцінок [[Метод найближчих сусідів | найближчих сусідів]] відрізняється від ядерних оцінок. Ядерна оцінка визначається як зважене середнє зміних відгуку у фіксованій ділянці точки <math>x</math>, причому ваги визначалися ядром <math>K</math> і шириною вікна <math>h</math>. Оцінка '''''k-найближчих сусідів''''' являє собою середнє, зважене в мінливих ділянок. Ця ділянка визначається тільки тими значеннями змінної <math>X</math>, які в <math>k</math> є найближчими до <math>x</math> по евкліду ('''звичайної''') віддалі. Послідовність <math>k-NN</math> ваг була введена в роботі Loftsgaarden, Quesenberry (1965) для близької задачі оцінювання щільності і використовувалася в Cover, Hart (1967) для цілей класифікації.
: Параметр згладжування <math>k</math> визначає ступінь гладкості оцінки кривої. Він грає ту ж роль, що і ширина вікна для ядерних зглажувань. Вплив змінного <math>k</math> на якісні характеристики оцінки '''аналогочіно випадку ядерних оцінок з прямокутним ядром'''.

:На '''Рис. 3.''' Зображений приклад порівняння ядерного згладжування з [[ядерне згладжування | квартіческім ядром]] і <math>k-NN</math> згладжування. Ширина вікна вибиралася методом [[крос-перевірки]]. Дані пропусколись через вікна шириною <math>h = 0.25</math> для ядерного згладжування на відрізку <math>[0,3]</math> і <math>h = 0.15</math> для осі значень. Отримані криві регресії практично збігаються для <math>x\le 1</math>, де лежить велика частина даних. При більших значенях <math>x</math> спостерігається істотна розбіжність кривих: ядерна оцінка показує очевидне бімодальне співвідношення, а симетризовавша оцінка найближчих сусідів вказує або на асимптоту, або навіть на слабке спадання із зростанням доходу. В контексті завдання, здається, що останнє містить більше сенсу з точки зору економіки ...

== Оцінки ортогональніх розкладань ==
[[Файл:300px-Example_fur.jpg|300px|thumb|right|Рис. 4. Згладжування c допомогою ортогональних розкладань]]
Припустимо, що функція регресії може бути представлена у вигляді ряду Фур'є
::<math>y(x)=\sum_{j=0}^{\infty}\beta_j\varphi_j(x)</math>,
:де <math>{\{\varphi_j\}}_{j=0}^\infty</math> - відома система базисних функцій, а <math>{\{\beta_j\}}_{j=0}^\infty</math> - невідомі коефіцієнти Фур'е. В работі Szego (1959) наведені умови, за яких таке подання можливе. Добре відомими системами базисних функцій є [[поліноми Лагерра]] та [[поліноми Лежандра]]. Як тільки фіксований базис функцій, проблема оцінювання функції регресії може бути зведена до оцінювання коефіцієнтів Фур'є. Звичайно, існує певна складність, яка полягає в тому, що може бути нескінченно багато ненульових коефіцієнтів <math>\beta_j</math>. Таким чином, при заданому кінцевому обсязі вибірки <math>m</math> можна ефективно оцінити лише підмножину коефіцієнтів.

: Приклад застосування показаний на'' 'Рис. 4.'' '

== Зглажування сплайнами ==
[[Файл:300px-Example_spline.jpg|300px|thumb|right|Рис. 5. Зглажування за допомогою сплайнів]]
Загальною мірою близькості до даних для деякої кривої <math>g</math> є сума квадратів нев'язок
::<math>\sum_{i=1}^{n}{(Y_i-g(X_i))}^2</math>

:Якщо <math>g</math> може будь кривою - необмеженої в функціональному сенсі - то цей захід, що має сенс відстані, дорівнює нулю для всякої кривої <math>g</math>, інтерполюється дані. Підхід, заснований на згладжуванні сплайнами, виключає цю небажану інтерполяцію даних за рахунок досягнення компромісу між двома суперечливими цілями: отримати гарну апроксимацію даних і отримати криву, яка не має надто швидких локальних змін.
:Відомі різні способи кількісної оцінки локальних змін. Можна визначити міру плавності кривої, засновану, наприклад, на першій, другій, і більш старших похідних. Для успішного розкриття основної ідеї найзручніше ввести інтеграл від квадрата другої похідної, тобто для кількісної оцінки локального зміни використовувати '''''штраф за порушення плавності'''''
::<math>\int {(g''(x))}^2dx</math>.
:Приклад згладжування сплайнами представлений на '''Рис. 5.'''Інтерпретація даних: дані про мотоциклі [Значення <math>X</math> (в мс) після змодельованого зіткнення з мотоциклом. Мінлива відгуку <math>Y</math> - прискорення (в g) посмертного тестування об'єкта. З Schmidt, Mattern, Schiiler (1981)]

== Перелік менш поширених методів==
[[Файл:300px-Example_regr.jpg|thumb|right|300px|Рис. 6. Регрессограмма]]
=== Рекурентні методи ===
:Припустимо, що дані <math>\{(X_i,Y_i)\}_{i\ ge l}</math> спостерігаються не як вибірка фіксованого обсягу <math>m</math>, а як послідовність пар <math>(X_1,Y_1), (X_2,Y_2),\ldots</math> надходять з виходу деякого пристрою спостереження. Такі пристрої присутні в задачах контролю (surveillance problems), управління (control operations) або втручання (intervention problems). У загальному випадку можна розглядати дані як часовий ряд. Оскільки непараметричні оцінки зазвичай визначаються по всій вибірці, її доводиться перераховувати при надходженні нових даних. Отже, з обчислювальної точки зору краще, щоб оцінка регресії, заснована на <math>(n + 1)</math> точках, будувалася виходячи з <math>(n + 1)</math> -го спостереження <math>(X_{n + i},Y_{n +1})</math> та оцінки, отриманої за першими <math>n</math> точкам, без виклику попередніх даних з пам'яті комп'ютера.

=== Регрессограмма ===
: Цей термін був введений Тьюкі (Tukey, 1961) для того, щоб підкреслити зв'язок цієї оцінки з гістограмою. Регрессограмма являє собою середнє тих значень змінних відгуку, для яких відповідні величини <math>X</math> потрапляють в один з інтервалів розбиття простору спостережень змінної <math>X</math> Tukey (1947) - її можна розглядати як апроксимацію <math>y(x)</math> ступінчастою функцією, і вона фактично є ядерною оцінкою (з прямокутним ядром), обчисленої в середніх точках інтервалів розбиття. На '''Рис. 6.''' Зображені дані про роботу мотоцикла і регрессограмма при кроці розбиття 4.

=== Медіанне згладжування ===
[[Файл:300px-Example_med.jpg|300px|thumb|right|Рис. 7. Медіанне згладжування]]
:Припустимо, що метою апроксимації є крива умов медіани <math>med(Y|X = x)</math>, а не крива умовного середнього. Послідовність '''''"локальних медиан"''''' для значень змінної відгуку визначає э '''''медіанний зглажувач'''''. Медіанне згладжування зіграло важливу роль в історичному розвитку методів згладжування.

: Ця оцінка має очевидну аналогію з <math>k-NN</math> - оцінкою, але відрізняється, принаймні, у двох аспектах: медіанне згладжування стійко по відношенню до великих викидів, і за допомогою цього методу з'являється можливість моделювати розриви кривої регресії <math> med(Y|X = x)</math>. На '''Рис. 7.''' На прикладі даних про мотоциклах ('''див. Пояснення до Рис. 5''') наведено порівняння двох методів оцінювання - медіанного згладжування і <math>k-NN</math> - оцінки.
: Цей приклад виявляє властивість робастності медіанного згладжування. Медіанна оцінка не схильна до впливу групи можливих викидів в районі точки <math>x = 35 </math>, і вона трохи ближче до основної маси даних у двох '''''«областях сплесків»''''' <math>(x = 20,32)</math>. Деякий недолік полягає в тому, що за своєю природою оцінка медіанного згладжування є грубою характеристикою.

== Література ==
# ''Хардле В.'' [http://optimization.nlprog.ru/read/ru/8776859F6322A5AF21D45220A9B5B57E110C2E84/index.htm/Прикладная непараметрическая регрессия.]- 1989.
# ''Расин, Джеффри'' «Непараметрическая эконометрика: вводный курс». - Квантиль, №4, 2008. - 7–56стр.

== Ссилки ==

# ''Abramson, I.S.'' On bandwidth variation in kernel estimates – a square root law. Annals of Statistics 10. – 1982 . - 1217–1223 стр.
# ''Bowman, A.W.'' An alternative method of cross-validation for the smoothing of density estimates. Biometrika 7. - 1984 . - 353 –360 стр.
# ''Breiman, L., W. Meisel, E. Purcell'' Variable kernel estimates of multivariate densities. Technometrics 19. - 1977 . - 135 –144 стр.
# ''Cover, T. M. and Hart, P. E.'' Nearest neighbor pattern classification. IEEE Transactions on Information Theory, 13. - 1967 . - 21 -27 стр.
# ''Faraway, J., M. Jhun'' Bootstrap choice of bandwidth for density estimation. Journal of the American Statistical Association 85.- 1990.-1119–1122 стр.
# ''Loader, C.R.''Bandwidth selection: Classical or plug-in? Annals of Statistics 27.-1999. - 415–438 стр.
# ''Loftsgaarden, D. O., Quesenberry, G. P.'' A nonparametric estimate of a multivariate density function. Annals of Mathematical Statistics, 36.-1965.-1049-1051 стр.
# ''Muller H. G.'' Weighted local regression and kernel methods for nonparametric curve fitting. Journal of the American Statistical Association, 82.-1987.-231-238 стр.
# ''Rudemo, M.'' Empirical choice of histograms and kernel density estimators. Scandinavian Journal of Statistics 9.-1982. -65–78 стр.
# ''Schmidt, G. Mattern, R., Schiiler, F.'' Biomechanical investigation to determine physical and traumatological differentiation criteria for the maximum load capacity of head and vertebral column with and without protective helmet under effects of impact. EEC Research Program on Biomechanics of Impacts. Final Report Phase III, Project 65, Institut fur Rechtsmedizin, Universitat Heidelberg, West Germany.-1981.- 231-238 стр.
# ''Sheather, S., M. Jones'' A reliable data-based bandwidth selection method for kernel density estimation. Journal of Royal Statistical Society, Series B 53.-1991. - 683–690 стр.
# ''Szego, G.'' Orthogonal polynomials. Amer. Math. Soc. Coll. PubL, 23.-1959.
# ''Tukey, J. W.'' Nonparametric estimation II. Statistically equivalent blocks and tolerance regions. The continuous case. Annals of Mathematical Statistics, 18.-1947. - 529-539 стр.

==Див. також==
* [[Ядерне зглажуваня]]
* [[Регресійний аналіз]]

[[Категорія:Планування експерименту]]

[[Категорія:Планування експерименту]]

==Посилання==
*[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%80%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%8F#.D0.9C.D0.B5.D0.B4.D0.B8.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D0.BE.D0.B5_.D1.81.D0.B3.D0.BB.D0.B0.D0.B6.D0.B8.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.B8.D0.B5/ Непараметрическая регрессия]

Фактори експерименту

2012-02-29T16:38:16Z

Shore:

{{Завдання|hotcoffe|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Планування експерименту =

Завдання, для вирішення яких може використовуватися планування експерименту, надзвичайно різноманітні. До них відносяться: пошук оптимальних умов,
побудова інтерполяційних формул, вибір істотних факторів, оцінка та уточнення констант теоретичних моделей, вибір найбільш прийнятних з деякої безлічі гіпотез про механізми явищ, дослідження діаграм склад - властивість і т.д.
Пошук оптимальних умов є одним з найбільш поширених науково - технічних завдань. Вони виникають в той момент, коли встановлена можливість проведення процесу і необхідно знайти найкращі (оптимальні) умови його реалізації.
Такі завдання називаються завданнями оптимізації. Процес їх рішення називається процесом оптимізації або просто оптимізацією. Вибір оптимального складу багатокомпонентних сумішей та сплавів, підвищення продуктивності діючих установок, підвищення якості продукції, зниження витрат на її отримання - ось приклади задач оптимізації.

= Фактори експерименту =
== Фактори - основа експерименту ==

Після вибору об'єкту дослідження і параметра оптимізації потрібно розглянути всі фактори, які можуть впливати на процес. Якщо який-небудь суттєвий фактор виявиться неврахованим і приймає довільні значення, не контрольовані експериментатором, то це значно збільшить похибку досліду. При підтримці цього фактору на певному рівні може бути отримане помилкове уявлення про оптимум, оскільки немає гарантії, що отриманий рівень є оптимальним.

З іншого боку велике число факторів збільшує число дослідів і розмірність факторного простору. Відомо, що число дослідів рівне

<math>N=P^K</math>,

де:
*N - число дослідів;
*р - число рівнів;
*K - число факторів. [4]

Отже, вибір факторів є вельми суттєвим, оскільки від цього залежить успіх оптимізації.

== Характеристика факторів ==
Фактором називається вимірювана змінна величина, що приймає в деякий момент часу певне значення і що впливає на об'єкт дослідження.

Фактори повинні мати область визначення, усередині якої задаються його конкретні значення. Область визначення може бути безперервною або дискретною. При плануванні експерименту значення факторів приймаються дискретними, що пов'язане з рівнями факторів. У практичних завданнях області визначення факторів мають обмеження, які носять або принциповий, або технічний характер.

Фактори розділяються на кількісні і якісні.

До кількісних відносяться ті Фактори, які можна вимірювати, зважувати і так далі.

Якісні Фактори - це різні речовини, технологічні процеси, прилади, виконавці і тому подібне.

Хоча до якісних факторів не застосовується числова шкала, але при плануванні експерименту до них застосовують умовну порядкову шкалу відповідно до рівнів, тобто проводиться кодування. Порядок рівнів тут довільний, але після кодування він фіксується.

== Вимоги до факторів ==

Фактори повинні бути керованими, це означає, що вибране потрібне значення фактора можна підтримувати постійним протягом всього досліду. Планувати експеримент можна тільки в тому випадку, якщо рівні факторів підкоряються волі експериментатора.

<table width="90%" border="1">
<caption>
Наприклад, вирощування сільськогосподарських культур залежить від ряду факторів.
</caption>
<tr>
<th scope="col">Назва фактору </th>
<th scope="col">Вид фактору </th>
<th scope="col">Характеристика </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Щільність посіву </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>Від щільності посіву залежить врожайність, щільність має свої оптимальні значення. Так коли щільність буде за малою, то більша кількість опадів, буде просто випаровуватись, від чого страждатимуть рослини. При надто щільному посіві рослини не отримуватимуть потрібну кількість сонячних променів. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Використання мінеральних добрив </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>При використанні мінеральних добрив, слід враховувати їх характеристики, при надмірному використанні добрив, вони спалюють кореневу систему рослин, що зменшує врожайність. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Обробіток </th>
<td>Контр. кількісний </td>
<td>Фактор який впливає на врожайність, коли він буде недостатнім, то корисну культуру витіснять інші не корисні рослини. Це мабуть єдиний фактор який не має верхньої межі. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Вид культури </th>
<td>Контр. якісний </td>
<td>Звісно людина сама вибирає яку культуру їй садити, таким чином усі фактори для отримання найкращого результату врожайності для різних культур матимуть різні значення. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Дата посіву </th>
<td>Контр. якісний </td>
<td>Певні культури необхідно садити в певні часові проміжки часу задля отримання максимальної врожайності (озима пшениця) </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість опадів </th>
<td>Не контр. кількісний </td>
<td>На ці фактори людина ніяк не може вплинути, тому його не можна враховувати в експериментах. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість сонячних днів </th>
<td>Не контр. кількісний </td>
<td>На ці фактори людина ніяк не може вплинути, тому його не можна враховувати в експериментах. </td>
</tr>
</table>

Щоб точно визначити фактор, потрібно вказати послідовність дій (операцій), за допомогою яких встановлюються його конкретні значення. Таке визначення називається операційним. Так, якщо фактором є тиск в деякому апараті, то абсолютно необхідно вказати, в якій точці і за допомогою якого приладу він вимірюється і як він встановлюється. Введення операційного визначення забезпечує однозначне розуміння фактору.

Точність вимірів факторів повинна бути максимально високою. Ступінь точності визначається діапазоном зміни факторів. У тривалих процесах, вимірюваних багатьма годинами, хвилини можна не враховувати, а в швидких процесах доводиться враховувати долі секунди.

Дослідження суттєво ускладнюється, якщо фактор вимірюється з великою помилкою або значення факторів важко підтримувати на вибраному рівні (рівень фактора «пливе»), то доводиться застосовувати спеціальні методи дослідження, наприклад, конфлюентний аналіз [1, 2].

Фактори повинні бути однозначні. Важко управляти фактором, який є функцією інших факторів. Але в плануванні можуть брати участь інші фактори, такі, як співвідношення між компонентами, їх логарифми і тому подібне.

Необхідність введення складних факторів виникає за бажання представити динамічні особливості об'єкту в статичній формі.

Наприклад, потрібно знайти оптимальний режим підйому температури в реакторі. Якщо щодо температури відомо, що вона повинна наростати лінійно, то як Фактор замість функції (в даному випадку лінійної) можна використовувати тангенс кута нахилу, тобто градієнт.

[[Файл:Xy.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення режиму підйому температури в реакторі]]

<center>Рис.1 - Режими підйому температури в реакторі</center>

При плануванні експерименту одночасно оцінюють декілька факторів, тому необхідно знати вимоги до сукупності факторів. Перш за все висувається вимога сумісності. Сумісність факторів означає, що всі їх комбінації здійсненні і безпечні.

[[Файл:F1.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення cумісності факторних просторів.]]

<center>Рис.2 - Схематичне зображення cумісності факторних просторів</center>

Несумісність факторів спостерігається на межах областей їх визначення. Позбавитися від неї можна скороченням областей. Ситуація ускладнюється, якщо несумісність виявляється усередині областей визначення. Одне з можливих рішень - розбиття на підобласті і вирішення двох окремих завдань.

При плануванні експерименту важлива незалежність факторів, тобто можливість встановлення фактора на будь-якому рівні незалежно від рівнів інших факторів. Якщо ця умова нездійсненна, то неможливо планувати експеримент.

== Вибір рівнів варіювання факторів і основного рівня ==

Фактор вважається заданим, якщо вказані його назва і область визначення. У вибраній області визначення він може мати декілька значень, які відповідають числу його різних станів. Вибрані для експерименту кількісні або якісні стани фактору носять назву рівнів фактору.

У плануванні експерименту значення факторів, відповідні певним рівням їх варіювання, виражають в кодованих величинах. Під інтервалом варіювання фактору мається на увазі різниця між двома його значеннями, прийнята за одиницю при кодуванні. [5]

<table width="90%" border="1">
<caption>
Фактори, що визначають оптимальні будинки для продажу:
</caption>
<tr>
<th scope="col">Фактор </th>
<th scope="col">Вид фактору </th>
<th scope="col">К-сть рівнів </th>
<th scope="col">Характеристика </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Наявність телефону </th>
<td>Якісний </td>
<td>2 </td>
<td>Телефон в квартирі або є або його немає. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Ремонт </th>
<td>Якісний </td>
<td>3 </td>
<td>Ремонт можна оцінити як відмінний, задовільний та незадовільний. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Відстань до центру міста </th>
<td>Кількісний </td>
<td>100 </td>
<td>Визначає відстань від даного будинку до центру міста із кроком 100 м. максимальна відстань до центру міста 10 км. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Кількість кімнат </th>
<td>Кількісний </td>
<td>5 </td>
<td>1-кімн. 2-кімн. 3-кімн. 4-кімн. Більше 4 кімн. </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Площа 1 кімн…. </th>
<td>Кількісний </td>
<td>Х </td>
<td>Відповідно визначається кількість рівнів і крок, верифікації. </td>
</tr>
</table>

При виборі області визначення факторів особливу увагу приділяють на вибір нульової точки, або нульового (основного) рівня. Вибір нульової точки еквівалентний визначенню початкового стану об'єкту дослідження. Оптимізація пов'язана з поліпшенням стану об'єкту в порівнянні з станом в нульовій точці. Тому бажано, щоб дана точка була в області оптимуму або якомога ближче до нього, тоді прискорюється пошук оптимальних рішень. [3]

У випадку лабораторної роботи №1 де фактором виступає кількість присідань і задається значеннями від 0 до 30 із кроком в 10 присідань, маємо: кількість рівнів 4 за нульовий рівень приймаємо рівень 3 – 20 присідань.

Якщо проведенню експерименту передували інші дослідження з даного питання, то за нульову береться така точка, якій відповідає найкраще значення параметра оптимізації, встановленого в результаті формалізації апріорної інформації. В цьому випадку нульовими рівнями факторів є значення останніх спостережень, поєднання яких відповідають координатам нульової точки.

Часто при постановці завдання область визначення факторів буває заданою, будучи локалізованою областю факторного простору. Тоді центр цієї області береться за нульову точку.

Припустимо, в деякому завданні фактор (температура) міг змінюватися від 140 до 180˚С. Природно, за нульовий рівень було прийнято середнє значення фактора, відповідно рівне 160˚С.

Після встановлення нульової точки вибирають інтервали варіювання факторів. Це пов'язано з визначенням таких значень факторів, які в кодованих величинах відповідають +1 і -1. Інтервали варіювання вибирають з урахуванням того, що значення факторів, відповідні рівням +1 і -1, повинні бути достатньо відмінні від значення, відповідному нульовому рівню. Тому у всіх випадках величина інтервалу варіювання повинна бути більше подвоєної квадратичної помилки фіксації даного фактору.

<math>I=2\cdot(\sum^{n}_{i=1} {p_i})^2</math>

де ''p''''i'' – величина закладеної ''i''-ї похибки.

З іншого боку, надмірне збільшення величини інтервалів варіювання небажано, оскільки це може привести до зниження ефективності пошуку оптимуму. А дуже малий інтервал варіювання зменшує область експерименту, що уповільнює пошук оптимуму.

При виборі інтервалу варіювання доцільно враховувати, якщо це можливо, число рівнів варіювання факторів в області експерименту. Від числа рівнів залежать об'єм експерименту і ефективність оптимізації.

У загальному вигляді залежність числа дослідів від числа рівнів факторів має вигляд:

<math>N=P^K</math>,

де:
*N - число дослідів;
*р - число рівнів;
*K - число факторів. [4]

Мінімальне число рівнів, що зазвичай використовують на першій стадії роботи, рівне 2. Це верхній і нижній рівні, що позначаються в кодованих координатах через +1 і -1. Варіювання факторів на двох рівнях використовується у відсіваючих експериментах, на стадії руху в область оптимуму і при описі об'єкту дослідження лінійними моделями. Але таке число рівнів недостатньо для побудови моделей другого порядку (адже фактор приймає тільки два значення, а через дві точки можна провести безліч ліній різної кривизни).

[[Файл:v1.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення пошуку оптимуму, методом відсіювання.]]

<center>Рис.3 - Схематичне зображення пошуку оптимуму, методом відсіювання.</center>

Із збільшенням числа рівнів підвищується чутливість експерименту, але одночасно зростає число дослідів. При побудові моделей другого порядку необхідні 3, 4 або 5 рівнів, причому тут наявність непарних рівнів указує на проведення дослідів в нульових (основних) рівнях.

У кожному окремому випадку число рівнів вибирають з урахуванням умов завдання і передбачуваних методів планування експерименту.

[[Файл:v2.png|730x200px|border|center|Схематичне зображення пошуку оптимуму, інших порядків.]]

<center>Рис.4 - Схематичне зображення пошуку оптимуму, інших порядків.</center>

Тут необхідно враховувати наявність якісних і дискретних факторів. У експериментах, пов'язаних з побудовою лінійних моделей, наявність цих факторів, як правило, не викликають додаткових труднощів. При плануванні другого порядку якісні Фактори не застосовні, оскільки вони не мають ясного фізичного сенсу для нульового рівня. Для дискретних факторів часто застосовують перетворення вимірювальних шкал, щоб забезпечити фіксацію значень факторів на всіх рівнях.

=Список використаних джерел=

#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).

{{Завдання:Виступ|Hotcoffe|27 січня 2010|Рівні факторів. Нульовий рівень. Інтервал варіювання фактору.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Сфери застосування планування експерементів

2012-02-29T16:38:10Z

Shore:

{{Завдання|zvizdar|Назаревич О.Б.|8 квітня 2010}}

[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/405] Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= ВСТУП. =
'''Класичне уявлення про експерименти.'''

Незважаючи на велике значення експерименту в науковому пізнанні, не існує єдиного загальновизнаного визначення відповідного терміна (це саме стосується, як уже зазначалося й інших фундаментальних понять кібернетики — «система», «модель», «інформація», «управління»). Як правило, під експериментом розуміють створення деякого комплексу умов R, в результаті яких можуть відбуватись чи не відбуватись події з деякої заданої множини S. Предметом теорії експерименту є вивчення відображення цієї множини R, яка називається комплексом умов, на множину S подій — результатів експерименту.

Наведемо ще кілька класичних інтуїтивних визначень.

'''Експеримент''' (від лат. experimentum — проба, досвід) — науково поставлене випробування, спостереження досліджуваного явища за певних фіксованих умов, завдяки чому його можна відтворити повторенням цих умов.

'''Експеримент''' — випробування, дія чи операція, спрямована на виявлення нових фактів або на перевірку гіпотез.

Зупинимося на деяких аспектах сучасного розуміння експерименту.

Нині вже усвідомлено той факт, що існують явища, які не піддаються числовому (кількісному) вимірюванню, але які можна фіксувати в «слабких», «якісних» шкалах і ці результати враховувати в моделях, дістаючи якісні, проте цілком обґрунтовані висновки.

Розпливчастість деяких спостережень визнається як їхня невід’ємна природна властивість, яку можна математично формалізувати за допомогою апарату теорії нечітких множин.

Намагаючись дістати якомога точніші результати вимірювання, дослідник має усвідомлювати, що похибки вимірювання є органічними, неусувними властивостями самого процесу вимірювання. Тому моделі, що перевіряються на практиці, мають не тільки бути гіпотезами про досліджуваний об’єкт, а й ураховувати гіпотези щодо точності вхідної інформації.

Хоча для проведення експерименту необхідна модель відповідного об’єкта, а для уточнення моделі об’єкта необхідний експеримент, тут немає хибного кола: після завершення чергового циклу наступний починається з нової, зміненої моделі. Ми починаємо з найпростішої моделі вхід—вихід («чорної скриньки») і намагаємось побудувати модель «білої скриньки».

Можна виокремити два основні напрямки в теорії планування експериментів: планування екстремальних експериментів та планування експериментів зі з’ясування механізмів явищ.

Завдання екстремального експерименту полягає у визначенні оптимальних значень функції регресії (чи комбінації факторів, за яких функція відгуку набуває екстремальних значень). Методи планування такого експерименту тісно пов’язані з регресійним та факторним аналізом і методами стохастичного програмування.

У плануванні експериментів зі з’ясування механізмів явищ розрізняють:

• експерименти з перевірки статистичних гіпотез;

• експерименти, що відсіюють другорядні та незначущі фактори;

• імітаційні експерименти, які пов’язані з комп’ютерним відтворенням досліджуваного явища. Цей тип експериментів базується на застосуванні методу Монте-Карло.

= Особливості проведення експериментів в економіці. =

При дослідженні відносно простих систем дослідник може з достатнім ступенем точності стабілізувати (зафіксувати) усі незалежні змінні. Потім, по черзі варіюючи деякі з них, можна встановити вигляд функціональної (статистичної) залежності між ними. Що ж до економіки, то варто звернути увагу на такі її особливості як об’єкта моделювання.

1. В економіці неможливі моделі за принципом подібності, широко застосовувані в техніці. Наприклад, у літакобудуванні, гідротехніці часто використовується такий прийом: будується точна копія (макет) системи (у деякому масштабі) і на цій копії відпрацьовуються з необхідним коригуванням усі режими її роботи. Однак такий прийом неприйнятний щодо економіки — не можна побудувати точну копію економіки і на ній відпрацювати різні варіанти економічної політики.

2. В економіці обмежена можливість проведення прямих (активних) експериментів. Прямі експерименти з економікою мають як позитивний, так і негативний бік. Перевага таких експериментів полягає в тому, що практично відразу виявляються короткострокові результати здійснюваної економічної політики, а недолік — в тому, що неможливо безпосередньо передбачати середньо- та довгострокові наслідки прийнятих рішень. Адже передбачати такі наслідки можна лише на основі концептуальних моделей розвитку економіки, що спираються на минулий досвід. Проте прямі експерименти з економікою вкрай небезпечні, оскільки в разі невдалої та неефективної економічної політики вони можуть призвести до стагнації економіки та негативних соціальних наслідків.

3. В економіці можливості «чистих» експериментів вельми обмежені, оскільки економічні системи належать до класу великих складних динамічних систем, в яких існують численні контури прямих і зворотних зв’язків. У таких системах не можна встановити «непроникні перегородки», що розмежовують вплив різних факторів. Такі системи називають «погано організованими», або дифузійними.

З огляду на сказане, досліджуючи економіку будь-якої країни, спираються на її минулий досвід та досвід інших країн. Такий досвід важко переоцінити, але далеко не завжди його можна безпосередньо перенести в умови конкретної економічної ситуації. Проте, зважаючи на вельми обмежену можливість безпосереднього експериментування з усією економікою, вдаються до концептуальних моделей, на яких ґрунтується побудова ЕММ. Адекватність таких моделей встановлюється за допомогою сучасної теорії планування (імітаційних) експериментів.

= Приклади планування експериментів в медицині та сільському господарстві. =

Доволі часто виникає необхідність у визначенні частоти випадків одужання після якогось захворювання - або при випробуванні того чи іншого препарату, або при порівнянні ефективності двох препаратів. Чудова особливість такого статистичного аналізу полягає в тому, що всі види неминучої природної мінливості, що становить як би "фон", на якому виявляється мінливість, пов'язана з досліджуваним фактором, що враховуються в комплексі шляхом використання відповідного розподілу ймовірностей. Якщо фонова мінливість дуже велика, то для отримання остаточних результатів може знадобитися дуже велике число спостережень, а коли вона порівняно мала, результат буде отримано значно швидше.

Якщо який-небудь ефект викликається дуже великим числом різних факторів, то цілком можливо, що фонова мінливість буде вельми велика. У таких випадках доцільно спробувати виділити деякі з цих факторів, навіть якщо їх неможливо повністю контролювати або виключити. Часто виявляється можливим розбити загальну мінливість на окремі компоненти, з яких один відповідає досліджуваного фактору, кілька інших - інших дій, які припускають можливість роздільної оцінки, і останній - інших дій, роздільна оцінка яких неможлива. Оскільки вплив останньої групи чинників, безумовно, буде слабшим, ніж вплив досліджуваного фактора, то це забезпечує більш точну статистичну перевірку.

Мистецтво розташовувати спостереження в певному порядку або проводити спеціально сплановані перевірки з метою повного використання можливостей цих методів і складає зміст предмета "планування експерименту". Тут наведені лише деякі основні переваги свідомого та продуманого планування експерименту.

Перший приклад. Потрібно порівняти болезаспокійливу дію двох різних лікарських препаратів А та В. Нехай підібрано 16 хворих і прийнято рішення розділити їх випадковим чином (щоб уникнути будь-якої свідомо чи мимоволі вноситься систематичної помилки) на дві групи, по 8 хворих в кожній . Одна група отримує препарат А, а інша - препарат В. Потім вимірюють час, протягом якого кожен з хворих відчуває полегшення, і порівнюють середні значення по обох групах. Якщо середній час для препарату А значимо перевищує середній час для препарату В, то можна зробити висновок, що перший препарат більш ефективний. (В даному випадку несуттєво, який статистичний критерій використовується. Оскільки розглядається невелика кількість об'єктів, це може бути один з критеріїв Стьюдента.)

Відомо, що хворі по-різному реагують на один і той самий лікарський препарат, тому тривалість періоду полегшення зазвичай сильно варіює, що значно знижує точність порівняння цих двох препаратів. Проте в даному експерименті відмінності між хворими не становлять для нас особливого інтересу, і це джерело похибки можна виключити такий спосіб. Замість того щоб ділити хворих на дві групи, перевіряють на кожному з них обидва препарати, призначаючи їх послідовно через досить великі проміжки часу (щоб уникнути взаємодії) і у випадковому порядку (або, можливо, в одному порядку для однієї половини хворих і в іншому порядку для іншої).

Тепер для кожного хворого визначають відносну перевагу препарату А перед препаратом В, для чого обчислюють сумарну тривалість періоду полегшення для кожного з них і знаходять різницю цих двох величин. Таким чином отримують 16 чисел, що характеризують відносну перевагу одного препарату перед іншим, що дозволяє перевірити, чи значимо відрізняється від нуля їх середнє значення. Позитивна різниця tA-tB свідчить про статистично значущу перевагу препарату А, негативна - про зворотне співвідношення. Розглядаючи показники відносної переваги, ми виключаємо вплив реакції окремих хворих і в загальному випадку добиваємося більш ефективного порівняння цих двох ліків.

Така проста перевірка методом попарного порівняння являє собою найпростіший план експерименту, який має на меті отримати максимальну кількість інформації з даного числа спостережень. Зауважимо, що цей план має і свої додаткові особливості, тому що вимагає особливої уваги до низки практичних питань, наприклад до того, щоб препарати призначалися у випадковому порядку (щоб уникнути небажаної систематичної помилки) і через досить великі проміжки часу (для виключення ефектів взаємодії) ; однак тут ми не можемо детально розглядати ці питання.

Ми показали, яким чином під час перевірки методом попарного порівняння можна контролювати або виключати з розгляду будь-яке одне важливе і явне джерело мінливості. У більш загальному випадку можуть бути сплановані факторні експерименти, за допомогою яких можна визначити внесок кожного з кількох факторів в загальну мінливість. Деякі з цих факторів можуть становити особливий інтерес, тоді як інші мають другорядне значення. Ідея та практичне застосування цього нового підходу, що належить головним чином Р. Фішером, набули широкого поширення після появи його книги "Планування експериментів", що вийшла першим виданням в 1935 р.

Більшість фундаментальних робіт в області планування експерименту було присвячено сільськогосподарським додаткам.
Другий приклад. Припустимо, потрібно зрівняти середню врожайність кількох сортів пшениці при застосуванні різних добрив в різної концентрації, враховуючи при цьому коливання в родючості грунту на досить великих ділянках землі, які можна розбити на ділянки відповідних розмірів. Для початку можна спробувати скласти план експерименту, в якому будуть розглядатися всі можливі комбінації значень, або рівнів, різних факторів. Так, якщо є чотири сорти пшениці і три різних види добрив, що застосовуються в трьох різних концентраціях, то загальна кількість комбінацій умов дорівнюватиме 36. Таким чином, вихідне число ділянок в одному блоці факторного експерименту буде дорівнює 36 - по одній ділянці на кожну комбінацію умов. Внаслідок можливого коливання в родючості грунту від одного блоку до іншого може виявитися доцільним мати не менше двох повних блоків.

Проводиться застосування факторного плану замість класичної схеми, згідно з якою кожен раз змінюється тільки один фактор, що має ряд серйозних і навіть кілька несподіваних переваг. Перш за все в цьому випадку найбільш повною є картина впливу кожного фактора, оскільки воно вивчається в самих різних умовах (внаслідок одночасної зміни інших факторів). По-друге, велика кількість комбінацій факторів, що використовуються в експерименті, полегшує передбачення результатів, які можуть бути досягнуті при певній комбінації умов. По-третє, якщо ефекти, що викликаються кожним фактором, включених в експеримент, статистично незалежні, то про кожному факторі можна отримати не менше інформації, ніж якщо б у процесі експерименту змінювався тільки один цей чинник, а інші залишалися постійними. По-четверте, якщо (як це часто буває) різні фактори не є незалежними, а викликають ефекти, які більшою чи меншою мірою корельовані, то в цьому випадку тільки факторний експеримент може дати інформацію про характер цих взаємодій. За наявності декількох взаємопов'язаних істотних факторів обійтися без постановки факторного експерименту неможливо. Для ряду часто зустрічаються спеціальних завдань розроблено велику кількість стандартних планів такого типу.

Згідно з деякими з цих найпростіших планів, експеримент проводять на декілька блоків і всередині кожного з них на окремих ділянках перевіряють вплив усіх рівнів якогось одного фактора. При правильному плануванні отримують рандомізований блочний план. У сільськогосподарських задачах блоками можуть служити ділянки землі на різних полях, а рівнями одного фактора - ступінчаста послідовність концентрацій добрив або просто різні сорти пшениці. У лабораторному експерименті, в якому, скажімо, перевіряється вплив різних раціонів харчування на щурів, раціони харчування будуть випробовуватись умовами, а щури - окремими експериментальними одиницями (відповідними ділянках в сільськогосподарському експерименті).
У розглянутої вище простій перевірці методом попарного порівняння також можна було б застосувати рандомізований блочний план; тоді кожного хворого можна було б розглядати як окремий блок, а лікарські препарати - як умови експерименту.

== Логічна схема. ==

Хоча іноді буває важко перенести плани експериментів, розроблені для однієї області, особливо для сільського господарства, у зовсім іншу область, що лежить в їх основі логічна схема часто опиняється досить сприятливою. Тому доцільно ретельно обміркувати можливість того, щоб при належноій інтерпретації елементів якого-небудь певного плану експерименту можна було б забезпечити його успішне застосування в задачах зовсім іншого характеру. Це ілюструє великі можливості математичних методів планування експерименту. В основі планування повинна, зрозуміло, лежати деяка вихідна математична модель. Опишемо найпростішу з них, яка в тому чи іншому варіанті використовується найбільш широко. Хай потрібно досліджувати вплив тільки двох факторів А та В. Припустимо, що спостерігається на деякій експериментальної одиниці вплив i-го рівня фактора А і j-го рівня фактора В можна записати у вигляді

<center><math>yij = m + ai + bj + zij</math> (1.1)</center>

де<math> yij</math> – досліджувана величина, m – загальне середнє, <math>ai</math> і <math>bj</math> - відносні вклади цих двох чинників при заданих рівнях кожного з них, a <math>zij</math> - випадкова зміна, що накладається на основну лінійну адитивну схему. Крім того, часто приймається, що всі величини мають один і той же нормальний розподіл і незалежні один від одного.

Ці обмеження досить серйозні, проте часто прийняття їх в якості першого наближення цілком виправдано. Так, якщо вплив цих факторів малий, то помітну величину будуть мати тільки лінійні члени та можливими членами другого порядку можна знехтувати. При незалежності факторів формула (1.1) цілком задовільна. Але якщо вони взаємодіють один з одним, то слід включити в неї додаткові члени сij, що враховують цю взаємодію. Можна, однак, виконати перевірку значущості на основі формули (1.1), щоб переконатися, чи потрібні члени, що характеризують взаємодію. Крім того, якщо випадкові величини zij не розподілені за нормальним законом, то можна використовувати будь-яку функцію емпіричних результатів (наприклад, квадратні корені або логарифми), для якої зберігається нормальний закон розподілу.

На основі елементарної формули (1.1) легко побудувати моделі, що враховують безліч чинників, блоків, взаємодій і інших ускладнень, спричинених практичною необхідністю в кожному даному експерименті. Справа в тому, що в дуже багатьох випадках необхідні обчислення відносно прості і виконуються безпосередньо. Зазвичай доводиться виробляти повторювані обчислення сум і сум квадратів даних, обраних відповідним чином. Результати представляють у вигляді таблиці дисперсійного аналізу, за допомогою якої можна встановити значимість всіх різних факторів, що впливають на результати експерименту.

== Послідовна схема. ==

Одним із сучасних варіантів планування експериментів, який слід розглянути окремо, є послідовна схема експерименту. В експерименті стандартного типу необхідно заздалегідь вирішити, скільки спостережень потрібно набрати. Якщо після аналізу виявиться, що кількість спостережень занадто мало, то потрібно спробувати продовжити експеримент, однак може виявитися, що на даному етапі зробити це важко або неможливо. Якщо ж з'ясується, що отримано значно більше спостережень, ніж необхідно для досягнення необхідної точності, то буде втрачено час і гроші. У медичних задачах це має особливо істотне значення. Жоден лікар не зацікавлений в тому, щоб експеримент тривав довше, ніж це строго необхідно, тому що його мета - дати своїм хворим найкращий з існуючих препаратів, як тільки він пройде клінічні випробування. Таким чином, в медицині вибір і планування експерименту найтіснішим чином пов'язані з етичними міркуваннями.

Послідовна схема передбачає проведення експерименту окремими серіями. Оцінка результатів проводиться на кожному етапі, з тим щоб негайно можна було вирішити, застосовувати препарат А, препарат В або ж продовжувати експеримент, оскільки остаточного висновку зробити ще не можна. За такої схеми експерименту тривалість його буде мінімальна і він закінчиться значно раніше, ніж у будь-якому іншому випадку. Крім того, в медицині часто буває дуже важко або навіть взагалі неможливо провести звичайну експериментальну перевірку, тому що після кількох невдалих результатів, які можуть закінчитися смертю хворого, починаються гострі суперечки про те, чи варто продовжувати експеримент взагалі. Послідовних схема означає, що заздалегідь можна ретельно і спокійно розглянути різні лінії поведінки, зумовлюється різними результатами експерименту. При цьому значно легше вибрати найкращі рішення безпосередньо в ході експерименту і сумістити вимоги етики з статистичною ефективністю.

= Приклад застосування в хімії. =

Розрахунок швидкості корозії.

Розрахунок швидкості корозії в промислових водах проводиться з метою оцінки корозійної характеристики середовища за змістом корозійно-активних компонентів. Згідно з РД 39-0147323-339-89-Р основними корозійно-активними складовими промислових вод є рН, HCO3-, Cl-, Ca2 +, Mg2 +, H2S. Оскільки рН є похідним від змісту HCO3-, H2S і вплив іонів Ca2 + і Mg2 + аналогічно, були взяті чотири складові - HCO3-, Cl-, Ca2 + + Mg2 +, H2S.

На першому етапі роботи була зібрана апріорна інформація за даними складу промислових вод за період з 1995 по 1999 роки по родовищах (таблиця 1). Джерелом інформації служили результати аналізів промислових вод, проведені хіміко-аналітичною лабораторією за період часу. Найбільш істотним в таблиці є мінімальне та максимальне утримання кожного компонента.
Як фактори були взяті:

х1 - вміст HCO3-, г / л;

х2 - вміст Ca2 + + Mg2 +, г / л;

х3 - вміст Cl-, г / л;

х4 - вміст H2S, мг / л.

Таблиця 1 - Зміна змісту корозійно-активних компонентів в стічній воді по родовищах за 1995-1999 роки

<center>[[Файл:3333.jpg]]</center>

У ході дослідження важливим було відстеження взаємодії факторів. Виходячи з цього, було прийнято математичний опис процесу у вигляді рівняння регресії для чотирьох змінних:

<math>vcor = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b11x12 + b22x22 + b33x33 + b44x44 + b12x1x2 + B13x1x3 + b14x1x4 + b23x2x3 + b24x2x4 + b34x3x4.</math>

Використання в якості моделі полінома другого порядку вимагає варіювання факторів на п'яти рівнях. Відповідно до апріорної інформацією були прийняті значення рівнів, представлені в таблиці 2.

Таблиця 2 - Значення рівнів варіювання факторів.

<center>[[Файл:444444.jpg]]</center>

Так як в якості моделі взяли поліном другого порядку для розрахунку коефіцієнтів зручно скористатися методом центрального композиційного планування (ЦКОП). В основному експерименті в центрі плану передбачався один досвід, тому значення «зоряного» плеча α береться рівним +1. Кількість експериментів рівне 25. З огляду на вимоги, які розглядаються, була складена матриця планування в умовному масштабі. При проведенні основного експерименту досліди були рандомізовані.

Таблиця 3 - Матриця планування чотирьохфакторного експерименту.

<center>[[Файл:55555.jpg‎]]</center>

Коррозия и защита в нефтегазовой промышленности: Экономическая эффективность катодной защиты обсадных колонн скважин / Под ред. Г.С. Кесельмана, В.Б. Максимова. - М.: ВНИИОЭНГ, 1974. - 74 с.
http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1156624&uri=2_3.htm
http://buklib.net/component/option,com_jbook/task,view/Itemid,36/catid,128/id,3694/

=Список використаних джерел=

#Коррозия и защита в нефтегазовой промышленности: Экономическая эффективность катодной защиты обсадных колонн скважин / Под ред. Г.С. Кесельмана, В.Б. Максимова. - М.: ВНИИОЭНГ, 1974. - 74 с.
#http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1156624&uri=2_3.htm;
#http://buklib.net/component/option,com_jbook/task,view/Itemid,36/catid,128/id,3694.

{{Завдання:Виступ|zvizdar|8 березня 2010|Приклади задач у народному господарстві, в тому числі у багатьох областях медицини та ін.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]
[http://essay-writer.org/ dissertation writers]

Прогнозування за допомогою нейронних мереж

2012-02-29T16:38:04Z

Shore:

{{Завдання|ulyasi4ka|Назаревич О.Б.|04 квітня 2010}}

[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/401] Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Означення нейронної мережі =

'''Штучні нейронні мережі (ШНМ)''' – математичні моделі, а також їх програмні або апаратні реалізації, побудовані за принципом організації й функціонування біологічних нейронних мереж – мереж нервових кліток живого організму. Це поняття виникло при вивченні процесів, що протікають у мозку, і при спробі змоделювати ці процеси. Першою такою спробою були нейронні мережі Маккалока й Піттса. Згодом, після розробки алгоритмів навчання, одержувані моделі стали використовувати в практичних цілях: у завданнях прогнозування, для розпізнавання образів, у завданнях керування й ін.

ШНМ являють собою систему з'єднаних і взаємодіючих між собою простих процесорів (штучних нейронів). Такі процесори звичайно досить прості, особливо в порівнянні із процесорами, використовуваними в персональних комп'ютерах. Кожний процесор подібної мережі має справу тільки із сигналами, які він періодично одержує, і сигналами, які він періодично посилає іншим процесорам. Проте, з'єднавши їх в досить велику мережу з керованою взаємодією, такі локально прості процесори разом здатні виконувати досить складні завдання.
З погляду машинного навчання, нейронна мережа являє собою окремий випадок методів розпізнавання образів, методів кластеризації й т.п. З математичної точки зору, навчання нейронних мереж – це багатопараметричне завдання нелінійної оптимізації. З погляду кібернетики, нейронна мережа використовується в завданнях адаптивного керування і як алгоритми для робототехніки. З погляду розвитку обчислювальної техніки й програмування, нейронна мережа – спосіб розв'язку проблеми ефективного паралелізму. А з погляду штучного інтелекту, ИНС є основним напрямком у структурному підході по вивченню можливості побудови (моделювання) природнього інтелекту за допомогою комп'ютерних алгоритмів.

Нейронні мережі не програмуються у звичному змісті цього слова, вони навчаються. Можливість навчання – одне з головних переваг нейронних мереж перед традиційними алгоритмами. Технічно навчання полягає в знаходженні коефіцієнтів зв'язків між нейронами. У процесі навчання нейронна мережа здатна виявляти складні залежності між вхідними даними й вихідними, а також виконувати узагальнення. Це значить, що, у випадку успішного навчання, мережа зможе повернути вірний результат на підставі даних, які були відсутні в навчальній вибірці, а також неповних і/або «зашумлених», частково перекручених даних.

== Біологічний нейрон ==

Нейрон (нервова клітка) складається з тіла клітини –соми (soma, cell body), і двох типів зовнішніх деревоподібних відгалужень: аксона (axon) і дендритів (dendrites). Тіло клітини вміщує ядро (nucleus), що містить інформацію про властивості нейрона, і плазму, яка продукує необхідні для нейрона матеріали. Нейрон отримує сигнали (імпульси) від інших нейронів через дендрити (приймачі) і передає сигнали, згенеровані тілом клітки, вздовж аксона (передавач), що наприкінці розгалужується на волокна (strands). На закінченнях волокон знаходяться синапси (synapses).
<center>
[[Файл:1.png‎]]

Рисунок 1. – Схема біологічного нейрона
</center>
Синапс є функціональним вузлом між двома нейронами (волокно аксона одного нейрона і дендрит іншого). Коли імпульс досягає синаптичного закінчення, продукуються хімічні речовини, названі нейротрансмітерами. Нейротрансмітери проходять через синаптичну щілину, збуджуючи або гальмуючи, у залежності від типу синапсу, здатність нейрона-приймача генерувати електричні імпульси. Результативність синапсу налаштовується минаючими через нього сигналами, тому синапси навчаються в залежності від активності процесів, у яких вони приймають участь. Нейрони взаємодіють за допомогою короткої серії імпульсів. Повідомлення передається за допомогою частотно-імпульсної модуляції.

== Структура штучного нейрона ==

Нейрон є складовою частиною нейронної мережі. На рисунку 2.1 представлена його структура. Він складається з елементів трьох типів: помножувачів (синапсів), суматора і нелінійного перетворювача. Синапси здійснюють зв’язок між нейронами, множать вхідний сигнал на число, що характеризує силу зв’язку, (вагу синапса). Суматор виконує додавання сигналів, що надходять по синаптичним зв’язках від інших нейронів і зовнішніх вхідних сигналів. Нелінійний перетворювач реалізує нелінійну функцію одного аргументу – виходу суматора. Ця функція називається функцією активації чи передатною функцією нейрона.
<center>
[[Файл:2.png‎]]

Рисунок 2. – Структура штучного нейрона
</center>

== Архітектура нейронної мережі ==

Існуючі на даний час, нейромережі є групуванням штучних нейронів. Це групування обумовлено створенням з'єднанних між собою прошарків.
На рис. 3 показана типова структура штучних нейромереж. Хоча існують мережі, які містять лише один прошарок, або навіть один елемент, більшість застосувань вимагають мережі, які містять як мінімум три нормальних типи прошарків – вхідний, прихований та вихідний. Прошарок вхідних нейронів отримує дані або з вхідних файлів, або безпосередньо з електронних давачів. Вихідний прошарок пересилає інформацію безпосередньо до зовнішнього середовища, до вторинного комп'ютерного процесу, або до інших пристроїв. Між цими двома прошарками може бути багато прихованих прошарків, які містять багато нейронів у різноманітних зв'язаних структурах. Входи та виходи кожного з прихованих нейронів просто йдуть до інших нейронів.

<center>[[Файл:3.png‎]]

Рисунок 3. – Діаграма простої нейронної мережі
</center>

Напрямок зв'язку від одного нейрону до іншого є важливим аспектом нейромереж. У більшості мереж кожен нейрон прихованого прошарку отримує сигнали від всіх нейронів попереднього прошарку та звичайно від нейронів вхідного прошарку. Після виконання операцій над сигналами, нейрон передає свій вихід до всіх нейронів наступних прошарків, забезпечуючи шлях передачі вперед (feedforward) на вихід.
Багатошарові нейронні мережі можна поділити на:
- мережі прямого розповсюдження ;
- мережі зі зворотними зв’язками.
У мережах прямого розповсюдження нейрони вхідного шару отримають вхідні сигнали, перетворюють і передають їх нейронам першого шару, останні – нейронам другого, потім третього і так дальше аж до вихідного шару, який видає їх користувачу. У мережах зі зворотними зв’язками інформація з подальших шарів передається на попередні.

== Навчання штучної нейронної мережі ==

Здатність до навчання є фундаментальною властивістю мозку. Процес навчання може розглядатися як визначення архітектури мережі і налаштування ваг зв'язків для ефективного виконання спеціальної задачі. Нейромережа налаштовує ваги зв'язків по наявній навчальній множині. Властивість мережі навчатися на прикладах робить їх більш привабливими в порівнянні із системами, які функціонують згідно визначеній системі правил, сформульованої експертами.

Для процесу навчання необхідно мати модель зовнішнього середовища, у якій функціонує нейронна мережа – потрібну для вирішення задачі інформацію. По-друге, необхідно визначити, як модифікувати вагові параметри мережі. Алгоритм навчання означає процедуру, в якій використовуються правила навчання для налаштування ваг.

Існують три загальні парадигми навчання: "з вчителем", "без вчителя" (самонавчання) і змішана.

У першому випадку нейромережа має у своєму розпорядженні правильні відповіді (виходи мережі) на кожен вхідний приклад. Ваги налаштовуються так, щоб мережа виробляла відповіді як можна більш близькі до відомих правильних відповідей.

Навчання "без вчителя" не вимагає знання правильних відповідей на кожен приклад навчальної вибірки. У цьому випадку розкривається внутрішня структура даних та кореляція між зразками в навчальній множині, що дозволяє розподілити зразки по категоріях.

При змішаному навчанні частина ваг визначається за допомогою навчання зі вчителем, у той час як інша визначається за допомогою самонавчання.

У загальному використанні є багато правил навчання, але більшість з цих правил є деякою зміною відомого та найстаршого правила навчання, правила Хеба. Дослідження різних правил навчання триває, і нові ідеї регулярно публікуються в наукових та комерційних виданнях. Представимо декілька основних правил навчання.

'''Правило Хеба'''

Опис правила з'явився у його книзі "Організація поведінки" у 1949 р. "Якщо нейрон отримує вхідний сигнал від іншого нейрону і обидва є високо активними (математично мають такий самий знак), вага між нейронами повинна бути підсилена". При збудженні одночасно двох нейронів з виходами (хj, уі) на t-тому кроці навчання вага синаптичного з'єднання між ними зростає, в інакшому випадку - зменшується, тобто

<math>Wij(k)=r xj (k) yi (k)</math>,

де r - коефіцієнт швидкості навчання.

Може застосовуватись при навчанні "з вчителем" і "без вчителя".

'''Правило Хопфілда'''

Є подібним до правила Хеба за винятком того, що воно визначає величину підсилення або послаблення. "Якщо одночасно вихідний та вхідний сигнал нейрона є активними або неактивними, збільшуємо вагу з'єднання оцінкою навчання, інакше зменшуємо вагу оцінкою навчання".

'''Правило "дельта".'''

Це правило є подальшою зміною правила Хеба і є одним із найбільш загально використовуваних. Це правило базується на простій ідеї неперервної зміни синаптичних ваг для зменшення різниці ("дельта") між значенням бажаного та біжучого вихідного сигналу нейрона.

<math>Wij= xj (di - yi).</math>

За цим правилом мінімізується середньоквадратична похибка мережі. Це правило також згадується як правило навчання Відрова-Хофа та правило навчання найменших середніх квадратів.

У правилі "дельта" похибка отримана у вихідному прошарку перетворюється похідною передатної функції і послідовно пошарово поширюється назад на попередні прошарки для корекції синаптичних ваг. Процес зворотного поширення похибок мережі триває до досягнення першого прошарку.

При використанні правила "дельта" важливим є невпорядкованість множини вхідних даних. При добре впорядкованому або структурованому представленні навчальної множини результат мережі може не збігтися до бажаної точності і мережа буде вважатись нездатною до навчання.

'''Правило градієнтного спуску'''

Це правило подібне до правила "дельта" використанням похідної від передатної функції для змінювання похибки "дельта" перед тим, як застосувати її до ваг з'єднань. До кінцевого коефіцієнта зміни, що діє на вагу, додається пропорційна константа, яка пов'язана з оцінкою навчання. І хоча процес навчання збігається до точки стабільності дуже повільно, це правило поширене і є загально використовуване.

Доведено, що різні оцінки навчання для різних прошарків мережі допомагає процесу навчання збігатись швидше. Оцінки навчання для прошарків, близьких до виходу, встановлюються меншими, ніж для рівнів, ближчих до входу.

'''Навчання методом змагання'''

На відміну від навчання Хеба, у якому множина вихідних нейронів може збуджуватись одночасно, при навчанні методом змагання вихідні нейрони змагаються між собою за активізацію. Це явище, відоме як правило "переможець отримує все". Подібне навчання має місце в біологічних нейронних мережах. Навчання за допомогою змагання дозволяє кластеризувати вхідні дані: подібні приклади групуються мережею відповідно до кореляцій і представляються одним елементом.

При навчанні модифікуються синаптичні ваги нейрона-переможця. Ефект цього правила досягається за рахунок такої зміни збереженого в мережі зразка (вектора синаптичних ваг нейрона-переможця), при якому він стає подібним до вхідного приклада. Нейрон з найбільшим вихідним сигналом оголошується переможцем і має можливість гальмувати своїх конкурентів і збуджувати сусідів. Використовується вихідний сигнал нейрона-переможця і тільки йому та його сусідам дозволяється коректувати свої ваги з'єднань.

<math>Wij (k+1)= Wij(k)+r [xj - Wij(k)]</math>

Розмір області сусідства може змінюватись під час періоду навчання. Звичайна парадигма повинна починатись з великої області визначення сусідства і зменшуватись під час процесу навчання. Оскільки елемент-переможець визначається по найвищій відповідності до вхідного зразку, мережі Коxонена моделюють розподіл входів. Це правило використовується в самоорганізованих картах.

= Задачі прогнозування =
Особливе значення мають задачі передбачення та прогнозування часових рядів, серед яких виділяються завдання з набором певних специфічних ознак, тому варто провести їх класифікацію. Задачі дослідження явищ, розвиток яких пов'язаний із часом, можна поділити на декілька класів:

'''За характером основних ознак об'єкту:'''

• прогнозування явищ, реалізації яких представлені у вигляді детермінованих часових рядів. Такі задачі, зокрема, можна вирішити шляхом застосування методів математичного аналізу;

• прогнозування явищ, реалізації яких представлені у вигляді індетермінованих часових рядів. Вирішення цих задач традиційно здійснюється шляхом застосування методів теорії ймовірностей та математичної статистики. Зокрема, реалізації таких явищ, можуть мати вигляд:

а) стаціонарного часового ряду, який характеризується однорідністю в часі, без суттєвих змін характеру коливань та їх середньої амплітуди;

б) нестаціонарного часового ряду, який характеризується певною тенденцією розвитку в часі; при дослідженні нестаціонарних процесів можна виділити ділянки, на яких процес можна вважати стаціонарним; вибір проміжку для формування навчальної множини в такому випадку обирається згідно задачі прогнозування;

'''За числом ознак об'єкту досліджень:'''

• одновимірна задача; явище представлене лише однією ознакою, зміни якої відбуваються в часі;

• багатовимірна задача; об'єкт або явище представлені кількома ознаками; задача прогнозування може бути розширена завдяки представленню даних в просторі.

'''За часом випередження розрізняють види прогнозів:'''

• згладжування, R= 0;

• короткотерміновий прогноз, R= 1… 2;

• середньотерміновий прогноз, R= 3 … 7;

• довготерміновий прогноз, R= 10 … 15.

Очевидно, що вид прогнозу суттєво впливає на вибір засобів і методику його реалізації.

= Загальні підходи до прогнозування за допомогою нейронних мереж =

Дані про поведінку об'єкта, ознаки якого пов'язані з часом, представлені як результати спостережень в рівномірні відліки часу. Для моментів часу t=1, 2, ..., n дані спостережень набувають вигляду часового ряду х(t1), х(t2), ..., х(tn). Інформація про значення часового ряду до моменту n дозволяє давати оцінки параметрів x(tn+1), x(n+2), ..., x(n+m). Для здійснення прогнозування елементів часових рядів широко використовують так званий метод "часових вікон".

В залежності від кількості ознак, що представляють значення рядів при формуванні множин даних, виділимо задачі двох типів.

== Однопараметрична задача прогнозування ==

Нехай часовий ряд x(t) задано відліками процесу x(t1), x(t2),..., x(tі) в дискретні моменти часу t. Задамо ширину (кількість дискретних відліків) вхідного часового вікна m, ширину вихідного вікна р. Вхідне та вихідне вікна накладаються на дані ряду, починаючи з першого елемента (рис. 4).

<center>[[Файл:4.png‎]]

Рисунок 4. – Формування множин даних для однопараметричної задачі за методом "часових вікон"
</center>

Вхідне вікно формує дані для входів нейронної мережі, а вихідне, відповідно, для виходів. Подібна пара вхідного та вихідного векторів приймається за одну реалізацію часового ряду. При зсуві часових вікон за часовим рядом з кроком s, отримуємо другу і наступні реалізації.

Значення ширини вікон та кроку зміщення повинні узгоджуватись з особливостями часового ряду, що забезпечується шляхом проведення експериментів. Нехай вхідне вікно має ширину m, вихідне вікно р=1, крок зміщення s=1. Тоді сформована множина значень для однопараметричної задачі матиме вигляд, наведений нижче:

Таблиця 1. – Множина даних для однопараметричної задачі

<center>[[Файл:5.png]]</center>

==Багатопараметрична задача прогнозування ==

В багатопараметричних задачах прогнозування підходи до розв'язання проблеми залишаються подібними (рис.5).

<center> [[Файл:6.png]]

Рисунок 5. – Формування множин даних для багатопараметричної задачі
</center>

Нехай потрібно спрогнозувати взаємозалежні величини x(t), y(t), ..., z(t). Якщо прийняти ширину вхідного вікна m, вихідного р=1, кроку зміщення s=1, можна сформувати множину даних наступним чином:

Таблиця 2. – Множина даних для багатопараметричної задачі

<center> [[Файл:7.png]]</center>

Функціонування нейромережі здійснюється у відповідності з показаним методом часових вікон, зберігаючи значення ширини вікон та кроку зсуву.
Конкретизація підходів до реалізації прогнозування в значній мірі залежить також від особливостей явища, що досліджується.

== Однокрокове прогнозування (передбачення)==
Задача однокрокового прогнозування зводиться до задачі відображення, коли один вхідний вектор відображається у вихідний (рис. 6).

<center> [[Файл:8.png]]

Рисунок 12. – Послідовність використання нейромереж для задач передбачення
</center>

У випадку однопараметричної задачі передбачення навчальна множина до моменту n, за умови m=3, p=1, s=1, матиме вигляд наведений в таблиці 3.
Таблиця 3. – Навчальна множина для однопараметричної задачі передбачення

<center> [[Файл:9.png]]</center>

В режимі навчання встановлюються коефіцієнти ваг зв'язків, після чого стає можливим перехід до режиму функціонування. Для передбачення на входи нейромережі надходять значення останньої реалізації навчальної множини <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. На виході формується прогнозована величина x*(tn+1).

Для багатопараметричної задачі передбачення на входи навченої нейромережі подаються вектори <math>x(tn-2)</math>, <math>y(tn-2)</math>, <math>z(tn-2)</math>, <math>x(tn-1</math>), <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>. На виходи нейромережі надходять передбачені величини x*(tn+1), y*(tn+1), z*(tn+1), які відкладаються у вихідний вектор передбачених даних.

Показаний режим є однокроковим, який працює в режимі відображення (реальний вхід®прогнозований вихід). Передбачення застосовують також для моделювання дискретних послідовностей, що не пов'язані з часом. Враховуючи специфіку часових рядів, такий тип прогнозу не завжди є доцільним, але для певних випадків короткотермінових прогнозів ним можливо скористатись.

== Багатокрокове прогнозування ==

Багатокрокове прогнозування застосовують лише для явищ, ознаки яких представлені у вигляді часових рядів.

Для однопараметричної задачі прогнозування навчальна множина матиме вигляд наведений в табл. 3. Під час навчання мережа налаштовує коефіцієнти ваг зв'язків і поліномів передатних функцій, які в подальшому і визначають режим функціонування. Багатокрокове прогнозування часового ряду здійснюється наступним чином (рис. 6). На входи нейромережі подається вектор відомих значень <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. На виході формується прогнозована величина <math>x*(tn+1)</math>, яка визначає вектор прогнозованих виходів і одночасно долучається до значень навчальної множини, тобто, приймається як достовірна. Далі на входи подається вектор <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, а на виході отримується <math>x*(tn+2)</math> і наступні прогнозовані значення.

<center> [[Файл:10.png]]

Рисунок 6. – Послідовність використання НМ для задач багатокрокового прогнозування
</center>
Для багатопараметричної задачі прогнозування на входи навченої нейромережі подаються вектори <math>x(tn-2)</math>, <math>y(tn-2)</math>, <math>z(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>. На виході продукуються величини x*(tn+1), y*(tn+1), z*(tn+1), які формують вектор вихідних значень і послідовно долучаються до значень навчальної множини. При зсуві вікна на крок прогнозу вихідні дані, що були спродуковані мережею, сприймаються як реальні і приймають участь у прогнозуванні наступного значення виходу, тобто на входи подаємо вектор <math>x(tn-1)</math>, <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, <math>y*(tn+1)</math>, <math>z*(tn+1)</math>, а на виході отримуємо x*(tn+2), y*(tn+2), z*(tn+2) і наступні прогнозовані значення.

Багатокрокове прогнозування дозволяє робити коротко- та середньотермінові прогнози, оскільки суттєвий вплив на точність має накопичення похибки на кожному кроці прогнозування. При застосуванні довготермінового багатокрокового прогнозування спостерігається характерне для багатьох прогнозуючих систем поступове затухання процесу, фазові зсуви і інші спотворення картини прогнозу. Такий тип прогнозування підходить для часових рядів, які підпадають під означення стаціонарного процесу з невеликою випадковою складовою.

== Багатокрокове прогнозування з перенавчанням нейромережі на кожному кроці прогнозу ==

Швидкі неітераційні алгоритми навчання дозволяють запропонувати новий тип багатокрокового прогнозу, який може бути застосований при довготермінових прогнозах із збереженням задовільної точності прогнозування.
Аналогічно з попереднім алгоритмом прогнозування на входи мережі у режимі функціонування надходить остання реалізація навчальної множини <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. Прогнозоване значення виходу <math>x*(tn+1)</math> відкладається у векторі прогнозованих вихідних значень і в якості достовірного додається до реальних значень навчальної множини. Навчальна множина збільшується на одне часове вікно. Відбувається процес перенавчання мережі на збільшеній навчальній множині, під час якого визначаються нові вагові коефіцієнти k синаптичних зв'язків і поліномів передатних функцій нейронів (рис. 7).

<center> [[Файл:11.png]]

Рисунок 7. – Послідовність використання нейромережі для задач багатокрокового прогнозування з перенавчанням
</center>

Реалізація <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, як значення наступного вхідного вікна подається на входи мережі в режимі функціонування. Мережа продукує нове вихідне значення <math>x*(tn+2)</math>, яке відповідно також відкладається у вектор продукованих виходів і долучається до реальних значень навчальної множини, з метою подальшого перенавчання мережі та встановлення поновлених коефіцієнтів поліномів передатних функцій і синаптичних зв'язків. Ітераційна процедура перенавчання поширюється до прогнозованого значення <math>x*(tN)</math>.

Такий підхід дозволяє при великих інтервалах випередження усунути затухання прогностичних властивостей мережі за рахунок постійного коректування вагових коефіцієнтів синаптичних зв'язків.

Відзначимо, що алгоритм багатокрокового прогнозування з перенавчанням мережі для традиційних мереж прямого поширення з ітераційним навчанням є практично нездійсненним через великі часові затримки, необхідні на переналаштовування коефіцієнтів мережі.

== Нейромережеві моделі бізнес-прогнозування ==
Зараз, найперспективнішим методом прогнозування є використання нейронних мереж. Можна назвати багато переваг нейронних мереж над іншими алгоритмами, нижче наведено два основні.

При використанні нейронних мереж легко досліджувати залежність прогнозованої величини від незалежних змінних. Наприклад, є припущення, що продажі на наступному тижні якимось чином залежать від наступних параметрів:

• продажів в останній тиждень

• продажів у передостанній тиждень

• часу прокручування рекламних роликів (TRP)

• кількості робочих днів

• температури

Крім того, продажі носять сезонний характер, мають тренд і якось залежать від активності конкурентів.

Хотілося б побудувати систему, яка б усе це природнім чином враховувала і будувала б короткострокові прогнози.

У такій постановці завдання застосування більшої частини класичних методів прогнозування буде просто неможливою.

Використовуючи ж навіть найпростішу нейромережеву архітектуру (перцептрон з одним схованим шаром) і базу даних (із продажами й усіма параметрами) легко одержати працюючу систему прогнозування. Причому враховувати, чи не враховувати зовнішні параметри системою буде визначатися включенням, або виключенням відповідного входу в нейронну мережу.

Експерт може скористатися яким-небудь алгоритмом визначення важливості і відразу визначити значимість вхідних змінних, щоб потім виключити з розгляду параметри, що мають незначний вплив.

Ще одна серйозна перевага нейронних мереж полягає в тому, що експерт не є заручником вибору математичної моделі поведінки часового ряду. Побудова нейромережевої моделі відбувається адаптивно під час навчання, без участі експерта. При цьому нейронній мережі пред'являються приклади з бази даних і вона сама підлаштовується під ці дані.

Недоліком нейронних мереж є їхня недетермінованість. Мається на увазі те, що після навчання є "чорний ящик", який якимось чином працює, але логіка прийняття розв'язків нейромережею зовсім схована від експерта. У принципі, існують алгоритми "витягу знань із нейронної мережі", які формалізують навчену нейронну мережу до списку логічних правил, тим самим створюючи на основі мережі експертну систему. На жаль, ці алгоритми не вбудовуються в нейромережеві пакети, до того ж набори правил, які генеруються такими алгоритмами досить об'ємні.

Проте, для людей, що вміють працювати з нейронними мережами й знаючими нюанси налаштування, навчання й застосування, у практичних завданнях непрозорість нейронних мереж не є настільки серйозним недоліком.
Використання багатошарових персептронов

Найпростіший варіант застосування штучних нейронних мереж у завданнях бізнес-прогнозування – використання звичайного перцептрона з одним, двома, або трьома прихованими шарами. При цьому на входи нейронної мережі звичайно подається набір параметрів, на основі якого ( на думку експерта) можна успішно прогнозувати. Виходом звичайно є прогноз мережі на майбутній момент часу.

<center> [[Файл:12.png]] </center>

Розглянемо приклад прогнозування продажів. На малюнку представлений графік, що віддображає історію продажів деякого продукту по тижнях. У даних явно помітна виражена сезонність. Для простоти припустимо, що ніяких інших потрібних даних у нас немає. Тоді мережу логічно будувати в такий спосіб. Для прогнозування на майбутній тиждень треба подавати дані про продажі за останні тижні, а також дані про продажі в плині декількох тижнів підряд рік тому, щоб мережа бачила динаміку продажів один сезон назад, коли ця динаміка була схожа на справжню за рахунок сезонності.

Якщо вхідних параметрів багато, рекомендується не скидати їх відразу в нейронну мережу, а спробувати спочатку провести перед обробку даних, для того щоб понизити їхню розмірність, або представити в правильному виді. У більшості практичних завдань по прогнозуванню продажів перед обробка складається з різних частин. От лише один приклад.

Нехай у попередньому прикладі в нас є не тільки історична база даних про продажі продукту, які ми прогнозуємо, але й дані про його рекламу на телебаченні. Ці дані можуть виглядати в такий спосіб

По осі часу відкладені номери тижнів і рекламні індекси для кожного тижня. Видно, що в шістнадцятому й сімнадцятому тижні реклами не було взагалі. Очевидно, що неправильно дані про рекламу подавати в у такому виді, оскільки визначає продажу не сама реклама як така, а образи й враження у свідомості покупця, які ця реклама створює. І така реклама має тривалу дію - навіть через кілька місяців після закінчення реклами на телебаченні люди будуть пам'ятати продукт і купувати його, хоча, швидше за все, продажу будуть поступово падати. Тому намагаючись подавати в мережу такі дані про рекламу ми робимо неправильну постановку завдання й, як мінімум, ускладнимо мережі процес навчання.

При використанні багатошарових нейронних мереж у бізнес-прогнозуванні в загальному і прогнозуванні продажів зокрема корисно також пам'ятати про те, що потрібно акуратно робити нормування й що для вихідного нейрона краще використовувати лінійну передатну функцію. Узагальнюючі властивості від цього небагато погіршуються, але мережа буде набагато краще працювати з даними, що містять тренд.

=Список використаних джерел=

#http://masters.donntu.edu.ua/2003/fvti/paukov/library/neurow.htm
#http://victoria.lviv.ua/html/oio/
#Уоссермен Ф.. Нейрокомпьютерна техніка. - М.: Світ, 1992
Круглов В. В., Борисов В. В. Искусственные нейронные сети. Теорія и практика. – М.: Горячая линия - Телеком, 2001. – 382 с.
#Мак-Каллок У. С., Питтс В. Логическое исчисление идей, относящихся к нервной активности // В сб.: «Автоматы» под ред. К. Э. Шеннона и Дж. Маккарти. — М.: Изд-во иностр. лит., 1956. — с.363-384. (Перевод английской статьи 1943 г.).
#http://www.neuroproject.ru/forecasting_tutorial.php#mlp
#Нейронные сети. Саймон Хайкин. – М.: Вильямс, 2006. – 1103

{{Завдання:Виступ|ulyasi4ka|04 березня 2010| Прогнозування за допомогою нейронних мереж }}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

[http://essaywritingservices.org/prices.php write my essay]

Проведення експерименту

2012-02-29T16:37:58Z

Shore:

{{Завдання|Nata|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}
{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

http://elartu.tntu.edu.ua/handle/123456789/378 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Загальне поняття експерименту =
Є декілька визначень поняттю експеримент[2]:
#Спроба, дослід, які потребують підтвердження чи спростування.
#Форма пізнання об'єктивної дійсності, один з основних методів наукового дослідження, в якому вивчення явищ відбувається в доцільно вибраних або штучно створених умовах, що забезпечують появу тих процесів, спостереження яких необхідне для встановлення закономірних зв'язків між явищами.

=Види експериментів[5]=
#За галузями наук:
#*фізичні;
#*хімічні;
#*психологічні і т.д.
#За способом формування умов досліду:
#*природні умови;
#*штучні умови.
#За метою досліджень:
#*констатуючі;
#*пошукові;
#*вирішальні.
#За організацією та місцем виконання:
#*польові;
#*виробничі;
#*лабораторні.
#За характером впливу на об’єкт дослідження:
#*інформаційні;
#*енергетичні;
#*матеріальні.
#За типом моделей, що вивчаються під час досліду:
#*матеріальні;
#*уявні (віртуальні).
#За числом факторів, які контролюються:
#*однофакторні;
#*багатофакторні.
#За можливістю впливу на умови проведення експерименту:
#*активні;
#*пасивні.
#За реалізацією всіх можливих поєднань рівнів факторів:
#*повні факторні;
#*дробові факторні.

=Проведення експерименту=

Для проведення експерименту необхідно створити певні умови. Сукупність умов, в яких відбувається експеримент, має назву експериментальної ситуації. Експериментальна ситуація має гарантувати, що саме досліджуваний у цьому експерименті чинник, а не будь-який інший, є причиною зафіксованих у ході експерименту змін в об'єкті.

Експеримент ґрунтується на розробці певної гіпотетичної моделі розглядуваного явища. На підставі цієї моделі явище описують як систему змінних, серед яких виокремлюють незалежні та залежні змінні. Незалежна змінна – це той новий чинник, що його вводять у діяльність експериментальної групи. Він повинен мати такі якості, як усталеність, самостійність, можливість справляти вплив на стан об'єкта дослідження. Залежною змінною називають такий чинник, який змінюється під впливом незалежної змінної.

Головним дослідницьким документом при проведенні експерименту є його протокол(журнал). У ньому зазначають найменування теми експериментального дослідження й час його проведення.

Спочатку аналізується обстановка до введення експериментального чинника.

У протоколі має бути відзначено, які показники виокремлені як незалежні та залежні змінні, а також за допомоги яких процедур фіксуються дані щодо всіх контрольованих змінних. Далі фіксуються початок дії експериментального чинника та те, як власне вплинула експериментальна ситуація на поведінку всієї системи

==Основні етапи проведення експерименту[3]==

#Висування експериментальної гіпотези. Експериментальна гіпотеза, на відміну від теоретичної, повинна бути сформульована у вигляді висловлення: «Якщо... те...». Крім того, вона повинна бути конкретизована. Це означає, що вхідні у висловлення «якщо А, то В» змінні А і В повинні контролюватися в експерименті: А – управлятися експериментатором, а В – реєструватися безпосередньо або за допомогою апаратури.
#Планування проведення експерименту. Планується час і місце проведення експерименту, вибирається експериментатор, складаються інструкції.
#Підготовка експерименту. Дослідник готує експериментальне помешкання й устаткування. Дослідник повинен вибрати експериментальний інструмент, що дозволяв би йому:
#*управляти незалежною перемінною;
#*реєструвати залежну перемінну.
#:Крім того, умови експерименту (помешкання, ситуація, час і ін.) повинні або повторювати вплив зовнішніх змінних, або зберігати константність розміру їхнього впливу на залежну змінну. Якщо це необхідно, проводиться декілька спробних дослідів для налагодження процедури експерименту.
#Проведення експерименту. Експериментатор повинен чітко знати і дотримуватись порядку дій у ході дослідження (перед експериментатором можуть лежати інструкція, у якій зафіксований цей порядок) В експерименті може брати участь і асистент. Він бере на себе допоміжні задачі. Частіше усього саме асистент веде протокол. Експеримент у залежності від цілей дослідження може бути частково або цілком автоматизованим.
#Статистична обробка експериментальних даних. Після проведення експерименту отримані в результаті дослідження дані опрацьовуються статистично. Звичайно методи опрацювання даних вибираються на стадії планування експерименту або ж ще раніше – при висуванні експериментальної гіпотези.
#Висновки й інтерпретація результатів. Цей етап є завершальним у дослідницькому циклі. Результатом експериментального дослідження є підтвердження або спростування експериментальної гіпотези.

=Анкета для збору апріорної інформації=

При підготовці до проведення експерименту необхідно вияснити ряд питань, від яких в певній мірі залежить успішність досягнення поставленої задачі. З цією метою складають анкету для збору апріорної інформації та ведуть журнал(протокол) експерименту по якому потім даний експеримент можна відтворити[1].

Туди включають наступні пункти:
#Короткий опис процесу, об’єкту.
#Формулювання цілі(мети) дослідження
#Список параметрів, що фіксуються в ході досліджень. Для цього можна використати наступну таблицю[4].

<table width="700px" border="1">
<tr>
<th scope="col">№ параметра </th>
<th scope="col">Назва </th>
<th scope="col">Розмірність </th>
<th scope="col">Точність </th>
<th scope="col">Примітка </th>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
</tr>
</table>

#Список факторів:
#*всіх “запідозрюваних” факторів, що впливають на досліджуваний об’єкт;
#*факторів, включених в даний експеримент.

Потрібно зазначити, чи існує можливість встановлення факторів на будь-якому заданому рівні, чи не змінюється їх значення під час проведення експерименту, чи не можуть деякі комбінації факторів привести до зупинки процесу(напр. Вибух, не технологічність і т.д.)

Список цих факторів можна оформити в вигляді наступної таблиці[4].

<table width="90%" border="1">
<tr>
<th scope="col">№ параметра </th>
<th scope="col">Назва </th>
<th scope="col">Розмірність </th>
<th scope="col">Точність </th>
<th scope="col">К-сть рівнів </th>
<th scope="col">Інтервал варювання </th>
<th scope="col">Перший рівень </th>
<th scope="col">К-сть паралельних дослідів </th>
<th scope="col">Примітка </th>
</tr>
<tr>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
<td> </td>
</tr>
</table>

#Бажана кількість експериментів, час проведення одного експерименту та дослідження взагалі.
#Вартість і затрати праці при проведенні одного досліду.
#Можливість проведення паралельних дослідів і вимірів.
#Бажана стратегія проведення дослідів(наприклад, по одному в день)
#Результати проведення досліджень

Результати досліджень слід оформляти в спеціальних таблицях(матрицях планування).

Якщо для фіксованих рівнів факторів проводиться багато паралельних дослідів, тобто коли в кожній окремій комірці з номером (i,j) необхідно розмістити багато експериментальних даних, всю таблицю можна розбити на певні частини, в кожній з яких фіксуються експериментальні дані, коли, наприклад, міняється один фактор, а другий фіксований на певному рівні. Більше того, оформити окремо можна і кожну комірку, в якій крім результатів вимірювань може бути включена додаткова інформація: дата проведення окремих досліджень; час цих досліджень; безпосередньо результати досліджень і т.д.

Акуратно оформлена таблиця дозволяє економити час при вводі даних в ЕОМ, проводити відповідний аналіз даних та інше.

Журнал оформляють наперед в відповідності до методики і плану дослідження так, щоб був зрозумілим порядок дій. Першу сторінку можна присвятити вибору цілі дослідження і параметрам оптимізації, з вказанням їх розмірностей. Бажано перечислити всі параметри, котрі можуть служити характеристиками процесу і вказати, який між ними існує зв’язок. На другій сторінці перечисляють фактори і розміщують таблицю рівнів факторів, інтервалів їх варіювання та розмірностей. Для матриці планування доцільно виділити розгортку журналу, щоб мати можливість в разі потреби доповнити її додатковими стовпцями, записати повторні дослідження, примітки. При складанні робочої матриці планування також необхідно виділити місце для стовпців, в яких відмічаються дати проведення дослідів і прізвища лаборантів, котрі ці досліди проводять(в випадку, коли експеримент проводять декілька людей). Окремі сторінки потрібно виділити для підрахунків, які необхідні для виявлення кількості всіх компонентів досліду, а також для аналізу результатів експерименту. Вкінці відводиться місце для висвітлення висновків експерименту.

=Список використаних джерел=

#Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановський Планирование експеримента при поиске оптимальних условий, М.,«Наука», 1976
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Експеримент (січень 2010)
#http://refsmarket.org.ua/viewfree_4_10412.html (січень 2010)
#Методичні вказівки до проведення лабораторної роботи №1 «Постановка експерименту по дослідженню залежності функціонального стану людини від дії факторів у вигляді фізичного навантаження». Укладач М.В.Приймак. Тернопіль ТДТУ 2003
#http://www.leneyka.ru/2009/01/21/klasifikaciya-eksperimentiv.html (лютий 2010)

{{Завдання:Виступ|Nata|10 лютого 2010|Проведення експерименту. Анкета для збору даних}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Планування та проведення експериментів з моделями

2012-02-29T16:37:52Z

Shore:

=Планування та проведення експериментів з моделями=
Усяке наукове дослідження, що проводиться за допомогою моделі, передбачає планування та проведення експериментів, у ході яких збираються необхідні дані. Ці Дані підлягають аналізу, і на його основі визначають, чи можна під час моделювання досягти поставлених цілей. Якщо експеримент не сплановано належним чином, Існує небезпека того, що не буде отримано бажаних результатів або результати виявляться помилковими. Це може призвести до прийняття неправильних рішень чи необхідності повторного проведення експерименту (найбільш трудомістка операція) і навіть до перебудови моделі. Разом з тим повинна існувати можливість повторення іншими дослідниками експерименту, результати якого вважаються значущими.
=Проблеми планування імітаційних експериментів=
Імітаційні моделі відтворюють процеси, що протікають у реальній системі. У тому випадку, коли в моделі враховуються випадкові фактори, під час моделювання необхідно провести велику кількість прогонів моделі, як із різними вхідними даними, так і з різними послідовностями випадкових чисел. Для моделей детермінованих систем, у яких не враховуються випадкові фактори, зазвичай досить лише одного прогону моделі для всіх допустимих комбінацій вхідних даних і параметрів моделі. Однак на практиці такі моделі майже не зустрічаються.

У ході експерименту з моделлю одержують безліч даних, які мають бути структуровані та інтерпретовані для використання під час прийняття рішень стосовно структури та параметрів системи чи моделі. Для того щоб правильно інтерпретувати отримані вихідні дані, необхідно планувати проведення експериментів з моделлю.
Планування експерименту — це розроблення такого плану експерименту, який дає можливість за мінімальної кількості прогонів моделі і за мінімальних затрат ресурсів зробити статистично значимі висновки або знайти оптимальні рішення щодо функціонування системи. Під час планування експериментів, як правило, визначають:
*вхідні дані для кожного експерименту і кількість прогонів імітаційної моделі;
*тривалість одного прогону моделі і перехідного процесу моделювання;
*стратегію збирання даних під час кожного прогону моделі;
*методи оцінювання точності вихідних даних і побудови довірчих інтервалів;
*чутливість моделі до вхідних даних, різних видів розподілів випадкових величин, сценаріїв поведінки модельованої системи;
*умови і сценарії проведення експерименту;
*умови генерування потоків випадкових чисел у системі моделювання та імовірнісних вхідних даних;
*стратегію досягнення мети експерименту (наприклад, порівняння альтернативних варіантів системи або оптимізація цільової функції).

Кінцева мета проведення експериментів – це одержання статистичної інформації, достатньої для прийняття рішень відповідно до результатів моделювання. Моделювання здебільшого провадиться з метою визначення деяких екстремальних значень характеристик модельованої системи (оптимізуючий експеримент) або для виявлення важливих факторів, які впливають на модельовану систему (відсіяний експеримент). Під час експериментів обох типів використовують факторні плани й будують поліноми різного порядку, які апроксимують поверхню відгуку. Для пошуку екстремальних значень застосовуються числові методи оптимізації. Під час таких експериментів визначається функціональна залежність вихідної змінної (функції відгуку, чи просто відгуку) від вхідних змінних, або факторів; ця залежність відображає критерій ефективності модельованої системи. Таким чином, пошук найкращого рішення характеризується числовим значенням цього критерію, і для знаходження екстремальних значень необхідно досліджувати по верхні відгуку (провадити експерименти) у різних точках факторного простору. Ефективність проведення експериментів багато в чому залежить від початкової точки у факторному просторі.
Один із найважливіших видів експериментів, проваджуваних з моделлю, це структурна оптимізація [3], під якою будемо розуміти пошук найкращої структури модельованої системи. У цьому випадку аналізується кілька моделей, причому вони можуть відрізнятися структурою, параметрами і алгоритмами функціонування. Для таких експериментів не існує єдиного числового критерію оптимізації, що ускладнює використання класичних методів. Однак під час такого дослідження кількість моделей, як правило, невелика, тому для структурної оптимізації можна скористатися методом висування гіпотез або простим перебиранням варіантів.
Оптимізація єдиного варіанта модельованої системи провадиться за допомогою пошуку вузьких місць і їх усунення, тобто балансування модельованої системи. Вузькі місця визначають пропускну здатність усієї системи, і пошук найкращого рішення здійснюється шляхом порівняння розглянутих варіантів.
Перелічимо основні проблеми, які виникають під час проведення експериментів з імітаційними моделями.

1. Визначення початкових умов проведення експерименту. 
Зазвичай експеримент починають, коли модель перебуває в стані «пусто і вільно», тобто в моделі немає динамічних об'єктів або транзактів і всі пристрої та ресурси вільні. Якщо розглядається досить тривалий період моделювання, то можна задати так званий період «розігріву» чи «розгону» моделі, або перехідний процес, після якого модель переходить у сталий (стаціонарний) режим роботи. Урахування даних перехідного процесу для оцінювання вихідних змінних моделі спричинює зміщення статистичних оцінок параметрів.

Щоб зменшити вплив вихідних даних перехідного процесу на кінцеві результати, моделювання слід починати з використання модальних (найбільш імовірних) або середніх значень сталого режиму. Такий спосіб запуску моделі забезпечує зменшення тривалості перехідного процесу моделі, але застосування даного способу ефективне лише в тому випадку, коли завантаження пристроїв обслуговування в моделі невелике. У разі наближення коефіцієнтів завантаження пристроїв до одиниці на виході моделі можна спостерігати стаціонарний процес, під час якого неможливо чітко визначити дані перехідного процесу (рис. 1).
<center>[[Файл:PlanyvannyaEksperymentuPuc1.png]] 
Рис. 1. Стаціонарний процес виходу із СМО з близьким до одиниці коефіцієнтом завантаження</center>

У разі оцінювання статистичних параметрів вихідних величин рекомендується не враховувати дані перехідного процесу, оскільки вони можуть викликати істотне зміщення шуканих оцінок. Усунення зміщення досягається шляхом відкидання даних перехідного процесу (в мові GPSS це можна зробити, використавши команду RESET). Найскладнішим є встановлення моменту досягнення сталого стану системи. Досі не існує цілком надійних методів визначення цього моменту [4]. Однак дана проблема може бути вирішена за допомогою діалогових та інтелектуальних систем моделювання, які дають змогу контролювати і графічно відображати хід моделювання. Найефективніший спосіб визначення початку сталого режиму - це спостереження за графіками зміни вихідного процесу в часі (рис. 2).
<center>[[Файл:PlanyvannyaEksperymentuPuc2.png]] 
Рис. 2. Графіки вихідних даних моделі СМО</center>

2. Зупинення процесу моделювання. 
Правила зупинення процесу моделювання дозволяють визначити тривалість прогону імітаційної моделі — а від цього залежить точність результатів. Наприклад, якщо потрібно провести моделювання роботи виробничої дільниці протягом робочого тижня, то час прогону моделі можна визначити саме цим терміном. Дослідник сам приймає рішення, чи буде досягнуто за вказаний період моделювання сталий режим роботи моделі. Він також обирає метод збирання вихідних даних і оцінювання точності результатів моделювання. Точність оцінювання параметрів системи в цьому випадку визначається за одним досить тривалим прогоном моделі.
Визначають два типи імітаційного моделювання — скінченне і нескінченне. Для першого процес моделювання закінчується, коли відбувається «природна» подія, яка дає змогу визначити тривалість прогону моделі. Така подія часто відбувається в той момент, коли система звільняється від вимог, чи в момент, після якого вже не можна одержати корисної інформації, або моделювання закінчується за показниками таймера. Така подія визначається до виконання прогонів моделі, її настання має бути детермінованою (згідно з таймером) або випадковою величиною. Оскільки початкові умови скінченного моделювання, як правило, впливають на критерії оцінювання, вони мають представляти умови, характерні для роботи реальної системи.
Під час виконання нескінченного імітаційного моделювання не існує події, настання якої давало б змогу визначати тривалість прогону моделі. Моделювання цього типу використовується у разі дослідження поведінки системи за умов сталого режиму її роботи протягом тривалого часу. Параметри, що оцінюються в цьому випадку, вважаються сталими, якщо вони залежать від характеристик сталих законів розподілів ймовірностей деякого вихідного процесу.

3. Стан моделі в момент припинення прогону. 
Під час моделювання завжди виникає питання щодо доцільності використання динамічних компонентів, або транзактів, які залишилися в моделі після закінчення її роботи. Урахування характеристик цих компонентів може призвести до збільшення зміщення статистичних оцінок параметрів моделі. На приклад, під час моделювання роботи дільниці цеху було зроблено припущення, що найменш тривалі роботи виконуються в першу чергу. Тоді на момент закінчення моделювання може виникнути ситуація, коли в моделі залишаться тільки роботи, термін виконання яких великий. Якщо їх не враховувати, оцінка середньої тривалості виконання робіт у цеху буде заниженою.

4. Визначення тривалості прогону моделі за наявності в ній процесів з різними швидкостями протікання. 
Для оцінювання точності результатів моделювання здебільшого використовують параметри найповільнішого процесу в моделі. У цьому випадку оцінки для більш швидких процесів будуть набагато кращими і ефективнішими, ніж для повільних, тобто довірчі інтервали для останніх будуть більшими. Під час розроблення імітаційної моделі обирають такий ступінь її деталізації, щоб швидкості процесів, які протікають у моделі, не відрізнялися більш ніж на два порядки. У разі необхідності моделювання рідких подій або повільних процесів, наприклад відмов устаткування, потрібно укрупнювати стани для швидких процесів. Для цього використовують аналітико-імітаційні моделі.

=Оцінювання точності результатів моделювання=
Оцінити точність результатів моделювання можна шляхом побудови довірчих інтервалів для вихідних змінних (відгуків) моделі. Точність результатів залежить насамперед від кількості реалізацій (прогонів моделі) і тривалості прогону для кожної реалізації моделі. Якщо модель детермінована, то для отримання точних результатів моделювання достатньо одного прогону. У загальному випадку дані спостереження одного прогону моделі представляють одиничну вибірку або часовий ряд. Часовий ряд — це реалізація випадкового процесу. В результаті кожного прогону моделі утворюються часові ряди для кожного значення відгуку моделі досліджуваних випадкових процесів.
Під час моделювання стохастичних систем потрібно розглядати два режими роботи моделей: перехідний і стаціонарний. Стаціонарний режим визначається сталим процесом на виході моделі. Слід зазначити, що для більшості реальних систем характеристики стохастичних процесів, у тому числі й закони розподілу, з часом змінюються. За наявності нової інформації відносно параметрів системи потрібно повторно проаналізувати сталі параметри моделі.
==Перехідний режим роботи моделі==
Для більшості виробничих систем неможливо гарантувати, що вони працюватимуть у стаціонарному режимі. Винятком є системи роботизованого автоматичного виробництва. Якщо модель працює в перехідному режимі, то необхідну кількість прогонів моделі можна розрахувати за тими ж формулам, що і для методу статистичних випробувань; при цьому під час кожного прогону моделі з використанням однакових вхідних даних і параметрів формується своя послідовність випадкових чисел. Оскільки випадкові величини незалежні, то незалежними мають бути й отримані вихідні дані для кожного прогону моделі. Це дає змогу побудувати довірчий інтервал, скориставшись центральною граничною теоремою. Необхідну точність ɛ можна задати, наприклад, такою, що дорівнює ± 5 % середнього значення величини, для якої будується довірчий інтервал, якщо а = 0,05.
Після проведення прогонів моделі розраховуються оцінки загального середнього значення вихідної змінної та середньоквадратичного відхилення і будується довірчий інтервал для середнього значення. Більшість програмних засобів імітаційного моделювання забезпечують автоматичне проведення таких розрахунків. Наприклад, якщо модель реалізовано мовою GPSS World, то після останнього прогону достатньо викликати процедуру ANOVA, яка і побудує довірчі інтервали для вихідних змінних.
Якщо кількість прогонів невелика (менше ніж 30), то для побудови довірчого інтервалу використовують розподіл Стьюдента (t-розподіл). За наявності більшого числа прогонів для визначення значення ta можна використовувати нормальний розподіл.
Процедура повторних прогонів (реплікацій) має важливу властивість - незалежність вибірок. Ця властивість є універсальною і може застосовуватись для моделювання як перехідного, так і стаціонарного режиму роботи моделі. Слід зауважити, що в разі моделювання стаціонарного режиму ця процедура дає змогу зібрати дані й перехідного періоду, які не використовуються під час аналізу стаціонарного режиму.

==Стаціонарний режим роботи моделі==
Під час моделювання деяких систем, наприклад комп'ютерних та комунікаційних, виникає потреба аналізувати їх роботу в сталому, стаціонарному режимі. Існування такого режиму в системі дає змогу побудувати довірчий інтервал для оцінок параметрів за результатами не багатьох прогонів моделі, а лише одного, досить тривалого.
Основна проблема, пов'язана з побудовою довірчого інтервалу, обумовлена тим, що вихідні дані імітаційної моделі є корельованими. Крім того, наявність перехідних процесів у моделі призводить до зміщення статистичних оцінок. На жаль, не існує надійних методів виявлення моменту завершення перехідного періоду роботи моделі. Якщо критерієм оцінювання є вартісна характеристика (прибуток, витрати та ін.), яка визначається для стаціонарного режиму роботи моделі, тривалість прогону може бути визначена на основі результатів спостереження за зміною величини, що дорівнює відношенню оцінюваного показника за весь період моделювання до тривалості моделювання (наприклад, витрати за одиницю часу), для якої будують графік зміни в модельному часі. Оскільки тривалість перехідного періоду може змінюватись в залежності від комбінацій вхідних змінних моделі і послідовностей випадкових чисел, потрібно визначити найдовший перехідний період. Статистичні дані перехідного періоду роботи моделі не повинні враховуватись під час розрахунків статистичних оцінок для вихідних змінних.
Необхідно, щоб тривалість прогону відповідала сталому режиму функціонування моделі (рис. 3). На практиці діють таким чином. За графіком вихідної змінної моделі визначають час моделювання, коли закінчується перехідний період tпер. Статистичні дані, зібрані за цей період, не враховуються під час стати стичного аналізу. Наприклад, у мові GPSS це робиться за допомогою команди RESET, яка видаляє накопичені статистичні дані, але залишає транзакти в моделі, фіксує поточні значення довжин черг і максимальний вміст блоків STORAGE. Після цього повторно викликається команда START, що задає тривалість прогону моделі не меншою ніж 100tпер.
<center>[[Файл:PlanyvannyaEksperymentuPuc3.png]] 
Рис. 3. Визначення сталого режиму роботи моделі</center>

Розглянутий вище спосіб є наближеним, але він широко використовується на практиці. Існують інші методи, застосування яких дає змогу отримати більш надійні оцінки для характеристик стаціонарних процесів. У книзі А. Лоу і В. Келтона [2] описується шість методів для обчислення оцінки стаціонарного середнього випадкового процесу, серед яких основну увагу приділено методу реплікації і вилучення.

=Особливості планування експериментів=
Послідовність дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.
# Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.
# Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 % факторів визначають 80 % властивостей системи.
# Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного фактора два - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти. Для врахування квадратичних ефектів необхідно використовувати три рівні, для кубічних ефектів – чотири і т. д. Аналіз значно спрощується, якщо брати тільки рівновіддалені одне від одного значення рівнів. У цьому випадку маємо так зване ортогональне планування, або ортогональний експеримент. 
Для множинних експериментів з числом факторів більше одного дисперсійний аналіз передбачає використання для заключного аналізу ортогонального експерименту. Це означає, що оцінки відгуків у межах аналізу мають бути некорельованими. На практиці ортогональність гарантує використання тих самих випадкових послідовностей чисел під час виконання експериментів у межах кожної комбінації рівнів обробки.

=Перелік використаної літератури=
#Томашевський В. М. Моделювання систем. — К.: Видавнича група ВНУ, 2005.
#Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. — 3-е изд. — СПб.: Питер; К.: Издат. группа ВНУ, 2004. - 847 с.
#Томашевський В. М„ Жданова О. Г. Метод структурної оптимізації з використанням імітаційної моделі // Міжнародна конференція з індуктивного моделювання. — Т. 2. — Львів: Державний НДІ Інформаційної інфраструктури, 2002. — С. 224-227.
#Шеннон Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука. — М.: Мир, 1978. - 418 с.

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Історія та роль Роналда Фішера та планування експерименту

2012-02-29T16:37:46Z

Shore:

<center>
{|
|-
|{{Стаття Вікі| article=[http://uk.wikipedia.org/wiki/Рональд_Фішер Рональд Фішер] }} || {{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/413 Історія та роль Р.Фішера а планування експерименту]}}
|}
</center>
{{Завдання|Сарабун П.П.|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}

'''''Планування експерименту ''''' (англ. experimental design techniques) - комплекс заходів, спрямованих на ефективну постановку дослідів. Основна мета планування експерименту - досягнення максимальної точності вимірювань при мінімальній кількості проведених дослідів і збереженні статистичної достовірності результатів.

== Історія винекнення дисципліни ==

Планування експерименту виникло в 20-х роках XX століття з потреби усунути або хоча б зменшити систематичні помилки в сільськогосподарських дослідженнях шляхом рандомізації умов проведення експерименту. Процедура планування виявилася спрямована не тільки на зменшення дисперсії оцінюваних параметрів, але також і на рандомізації щодо супутніх, спонтанно змінюються і неконтрольованих змінних. У результаті вдалося позбутися від зсуву в оцінках. З 1918 р. Р. Фішер почав свою відому серію робіт на Рочемстедской агробіологічний станції в Англії. У 1935 році з'явилася його монографія «Design of Experiments», що дала назву всьому напрямку.

У 1942 році А. Кишен розглянув планування експерименту з латинським кубів, яке стало подальшим розвитком теорії латинських квадратів. Потім Р. Фішер незалежно опублікував відомості про ортогональних гіпер-греко-латинських кубах і гіпер-кубах. Незабаром після цього в 1946 р. Р. Рао розглянув їх комбінаторні властивості. Подальшому розвитку теорії латинських квадратів присвячені роботи Х. Манна (1947 - 1950 рр..). Перше глибоке математичне дослідження блок-схеми виконано Р. Боуз в 1939 р. Спочатку була розроблена теорія збалансованих неполноблочних планів. Потім Р. Боуз, К. Нер і Р. Рао узагальнили ці плани і розробили теорію частково збалансованих неполноблочних планів. З тих пір вивчення блок-схем приділяється велика увага як з боку фахівців з планування експерименту (Ф. Йетс, Г. Кокс, В. Кохрен, В. Федерер, К. Гульден, О. Кемптгорн та інші), так і з боку фахівців за комбінаторним аналізу (Боуз, Ф. Шімамото, В. Клатсворсі, С. Шрікханде, А. Гофман та ін.)

Дослідження Р. Фішера знаменують початок першого етапу розвитку методів планування експерименту. Фішер розробив метод факторного планування. Також запропонував для цього методу просту обчислювальну схему. Факторний планування набуло широкого розповсюдження. Особливістю факторного експерименту є необхідність ставити відразу велику кількість дослідів. У 1945 р. Д. Фінні ввів дробові репліки від факторного експерименту. Це дозволило скоротити число дослідів і відкрило дорогу технічних програм планування. Інша можливість скорочення необхідного числа дослідів була показана в 1946 р. Р. Плакеттом і Д. Берманом, які ввели насичені факторні плани. Г. Хотеллінг в 1941 р. запропонував знаходити екстремум за експериментальними даними з використанням статечних розкладів і градієнта. Наступним важливим етапом було введення принципу послідовного крокової експериментування. Цей принцип, висловлений в 1947 р. М. Фрідманом і Л. Севіджем, дозволив поширити на експериментальне визначення екстремуму - ітерацію.Щоб побудувати сучасну теорію планування експерименту, не вистачало однієї ланки - формалізації об'єкта дослідження. Ця ланка з'явилося в 1947 р. після створення Н. Вінером теорії кібернетики. Кібернетичному поняття «чорний ящик», грає в плануванні важливу роль. У 1951 р. роботою американських вчених Дж. Боксу і К. Вілсона почався новий етап розвитку планування експерименту. У ній сформульована і доведена до практичних рекомендацій ідея послідовного експериментального визначення оптимальних умов проведення процесів з використанням оцінки коефіцієнтів статечних розкладів методом найменших квадратів, рух по градієнту і відшукання інтерполяційного полінома в області екстремуму функції відгуку (майже стаціонарної області).

У 1954 - 1955 рр.. ЛШ. Бокс, а потім П. Юл. показали, що планування експерименту можна використовувати при дослідженні фізико-хімічних процесів, якщо апріорі висловлені один або кілька можливих гіпотез. Напрямок отримав розвиток у роботах Н. П. Клепікова, С. Н. Соколова і В. В. Федорова у ядерній фізиці. Третій етап розвитку теорії планування експерименту почався в 1957 р., коли Бокс застосував свій метод у промисловості. Цей метод став називатися «еволюційним плануванням». У 1958 р. Г. Шиффа запропонував новий метод планування експерименту для вивчення фізико-хімічних діаграм склад - властивість під назвою «симплексної решітки». Розвиток теорії планування експерименту в СРСР відображено в роботах В. В. Налімова, Ю. П. Адлера, Ю. В. Грановського, Е. В. Марковой.[3]

== Біографія Рональда Ейлмера Фішера ==
Сер Рональд Ейлмер Фішер (англ. Sir Ronald Aylmer Fisher, 17 лютого 1890 — 29 липня 1962) — англійський статистик, біолог-еволюціоніст та генетик. Річард Докінз назвав його «найвеличнішим послідовником Дарвіна». Фішер народився в лондонському Іст-Фінчлі, в сім'ї Джорджа і Кеті Фішер. Його батько був успішним торговцем предметами витонченого мистецтва.

Дитинство його було щасливим, його обожнювали три старші сестри, старший брат і матір, яка померла, коли Рональду було 14. Його батько через 18 місяців збанкрутів, провівши декілька невдалих операцій. Хоча у Фішера був поганий зір, він був не по роках розвиненим учнем і у віці 16 років виграв «Neeld Medal» (конкурс з математики) в школі Харроу (лат. Harrow School). Унаслідок все того ж поганого зору, його навчали математиці без використання «паперу і пера», що розвинуло здатність уявляти завдання в термінах геометрії. Фішер був знаменитий умінням отримувати відповідь, опускаючи проміжні етапи. Він також виявляв сильну цікавість до біології, особливо, до еволюційного учення.

== Основи планування експерименту ==

Планування експерименту – процедура вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних та достатніх для вирішення задачі досліджень із заданою точністю. Розрізняють два підходи планування експерименту: класичний, при якому по черзі змінюється кожен фактор до визначення часткового максимуму при постійних значеннях інших факторів, статистичний, де одночасно змінюють багато факторів. При цьому суттєвим є: мінімізація числа дослідів; одночасне варіювання всіма параметрами; використання математичного апарата, який формалізує дії експериментатора; вибір чіткої стратегії, що дозволяє приймати обґрунтовані рішення після кожної серії експериментів. Загалом розрізняють такі експериментальні плани: дисперсного аналізу; відбору суттєвих факторів; багатофакторного аналізу; одержання поверхні відгуку; динамічних задач планування; вивчення механізмів явищ; побудови діаграм «склад — властивість», «склад — стан».

Початок плануванню експерименту поклали праці англійського математика Р. Фішера (1935), що довів перевагу використання на першому етапі досліджень факторного ортогонального планування експериментів, де варіюють тільки на двох рівнях. При цьому використання дробового факторного плану значно скорочує число необхідних експериментів. Англійськими хіміками Боксом і Вілсоном запропонований метод крутого сходження (рух по градієнту), що дозволяє найбільш коротким шляхом визначити координати екстремуму досліджуваного процесу. Для математичного опису екстремальної області застосовують різні методи планування експерименту, у основі яких лежить представлення екстремальної області поліномами другого порядку, що адекватно описують досліджуваний процес. До таких планів належить план Бокса — Бенкена — один з різновидів статистичних планів, які застосовуються при плануванні наукових і, особливо, промислових експериментів. Ці плани дозволяють отримувати максимальну кількість об’єктивної інформації про вплив чинників, що вивчаються, на виробничий процес за допомогою найменшого числа спостережень (дослідів). Вони належать до симетричних некомпозиційних трирівневих планів другого порядку і являють собою поєднання дворівневого (–1, +1) повного факторного експерименту з неповноблочним збалансованим планом. Область планування — гіперкуб, причому кожний з чинників приймає значення на трьох рівнях: –1, 0 і +1. Плани Бокса — Бенкена за рядом статистичних характеристик перевершують центрально-композиційні ортогональні і ротатабельні плани, що широко застосовуються в промисловому експерименті. Для вивчення промислового процесу застосовують еволюційні планування експерименту, де дослідник повинен весь час пристосовуватися до умов виробництва, що змінюються. Специфічним є планування з відсіванням експериментів. Сучасна теорія планування експерименту склалася у 1960-х роках. Її методи тісно пов’язані з теорією наближення функцій і математичним програмуванням. Розроблені оптимальні плани і досліджені їхні властивості для широкого класу моделей. Планування експерименту та обробка даних здійснюється за допомогою комп’ютерних програм: Windows з різними версіями Mathcad, Statistica, Axum7, Statgraphics Plus, Simulink і ін.

=== Основи планування експерименту за Рональдом Фішером ===
Методологія проектування експерименту була запропонована Рональдом А. Фішером у його інноваційній книзі «Планування експериментів» (1935). Для прикладу він описав, як перевірити гіпотезу про те, що певна жінка може лише на смак визначити, молоко чи чай було спочатку налито в чашку. Звучить легковажно, але це допомогло вченому проілюструвати найважливіші ідеї планування експерименту.

*''Порівняння''
У багатьох галузях досліджень важко точно відтворити результати вимірювань. Порівняння між умовами відтворити набагато легше і тому їм, як правило, надають перевагу. Часто порівняння проводять зі стандартними чи традиційними умовами, що виступають в якості базових.

*''Рандомізація''
Існує математична теорія, що вивчає наслідки роздроблення підрозділів одиниць за допомогою довільних механізмів, таких як таблиці випадкових чисел, або використання пристроїв рандомізації, таких як гральні карти або кості. При умові, що вибірка адекватна, ризики, пов'язані з випадковим розподілом (наприклад, відсутність репрезентативної вибірки в опитуванні, чи серйозний дисбаланс в ключових характеристиках між групами умов та групами контролю) можна обчислити і, отже, вони можуть бути знижені до прийнятного рівня. Довільний не означає безсистемний, тому необхідно забезпечити використання відповідних випадкових методів.

*''Реплікація ''
У вимірах зміни можуть відбуватися як при повторному вимірюванні, так і між реплікованими предметами або процесами. Багаторазові вимірювання реплікованих елементів необхідні для обчислення розміру похибки.

*''Блокування''
Блокування це організація експериментальних елементів в групи (блоки), які схожі один на одного. Блокування зменшує відомі, але безвідносні джерела відмінностей між підрозділами і тим самим сприяє більшій точності в оцінці джерела коливань, що досліджується.

*''Ортогональність''
Ортогональність стосується форм порівняння (контрасту), який може ефективно здійснюватися. Контрасти можуть бути представлені векторами і групи ортогональних контрастів некорельовані і незалежно розподілені, якщо дані відповідають нормі. Через цю незалежність кожна ортогональна умова надає решті іншу інформацію. Якщо є умова Т і Т - 1 ортогональні контрасти, то всю інформацію, яка може бути отримана в результаті проведення експерименту можна отримати з багатьох контрастів.

*''Факторіальні експерименти''
Використання факторіального експерименту замість факторів по одному. Вони є ефективними при оцінці наслідків і можливої взаємодії декількох факторів (незалежних змінних).
Аналіз планування експерименту був побудований на основі аналізу різниці, колекції моделей, в яких спостерігається різниця розділена на компоненти завдяки різним факторам, які оцінюються та / або тестуються.

== Зовнішні посилання ==
* [http://www.en.wikipedia.org/wiki/Design_of_experiments/ Стаття "Планування експерименту" на en.wikipedia.org]
* [http://www.digital.library.adelaide.edu.au/coll/special//fisher/ Біографія Фішера]
* [http://www.hss.cmu.edu/philosophy/seidenfeld/relating%20to%20Fisher/Fisher%20on%20Design.pdf Fisher on Design]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Фишер,_Рональд_Эйлмер Стаття про Фішера на ru.wikipedia.org]
* [http://www.rapidshare.com/files/189515782/The_Design_of_Experiments_By_Sir_Ronald_A._Fisher.rar The Design of Experiments By Sir Ronald A.Fisher]

{{Завдання:Виступ|Сарабун П.П.|20 січня 2010|Історія виникнення дисципліни "Теорія експерименту" і роль у цьому Фішера (1890-1960) - англійського статистика і генетика }}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Пасивний і активний експеримент

2012-02-29T16:37:40Z

Shore:

{{Завдання|Romanio|Назаревич О.Б.| 11 березня 2010}}
{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

=Пасивний і активний експеримент=

Теорія припускає, що експеримент може бути пасивним і активним.
При пасивному експерименті інформація про досліджуваному об'єкті накопичується шляхом пасивного спостереження, тобто інформацію отримують в умовах звичайного функціонування об'єкта. Активний експеримент проводиться з застосуванням штучного впливу на об'єкт за спеціальною програмою.

При пасивному експерименті існують лише фактори у вигляді вхідних контрольованих, але некерованих змінних, і експериментатор знаходиться в положенні пасивного спостерігача. Завдання планування в цьому випадку зводиться до оптимальної організації збору інформації та вирішення таких питань, як вибір кількості та частоти вимірювань, вибір методу обробки результатів вимірювань.

Найчастіше метою пасивного експерименту є побудова математичної моделі об'єкта, яка може розглядатися або як добре, або як погано організований об'єкт. У добре організованому об'єкті мають місце певні процеси, в яких взаємозв'язку вхідних і вихідних параметрів встановлюються у вигляді детермінованих функцій. Тому такі об'єкти називають детермінованими. Погано організовані або дифузні об'єкти являють собою статистичні моделі. Методи дослідження з використанням таких моделей не вимагають детального вивчення механізму процесів і явищ, що протікають в об'єкті.

Прикладом пасивного експерименту може бути аналіз роботи схеми, яка не має входів, тільки виходи, і вплинути на її роботу неможливо. Хорошим прикладом пасивного експерименту з дифузним об'єктом є вимірювання метеорологічних параметрів (температури, швидкості вітру і т.д.) при природних катаклізмів.

Активний експеримент дозволяє швидше й ефективніше вирішувати завдання дослідження, але більш складний, вимагає великих матеріальних витрат і може перешкодити нормальному ходу технологічного процесу. Іноді відсутня можливість проведення активного експерименту (наприклад, при дослідженні явищ природи). Проте, враховуючи переваги активного експерименту, тоді, коли це можливо, перевагу віддають йому.

При активному експерименті фактори повинні бути керованими і незалежними.

Активний експеримент припускає можливість впливу на хід процесу і вибору в кожному досвіді рівнів факторів. При плануванні активного експерименту вирішується завдання раціонального вибору факторів, що істотно впливають на об'єкт дослідження, і визначення відповідного числа проведених дослідів. Збільшення числа включених у розгляд чинників призводить до різкого зростання числа дослідів, зменшення - до істотного збільшення похибки досвіду. Фактор вважається заданим тільки тоді, коли при його виборі вказується його область визначення - сукупність значень, які може приймати даний фактор. В експерименті використовується обмежена частина області визначення, що задається зазвичай у вигляді дискретного безлічі рівнів. Вибрані фактори повинні бути однозначно керованими і операційним, тобто піддаються регулюванню з підтриманням на заданому рівні протягом всього досвіду при дотриманні послідовності необхідних для цього дій. Повинна бути призначена також точність вимірювання факторів у вибраному діапазоні вимірювання.

Сукупності факторів повинні відповідати вимогам сумісності і незалежності. Дотримання першої вимоги означає, що всі комбінації факторів здійсненні і безпечні, друге - можливість встановлення фактору на будь-якому рівні незалежно від рівнів інших факторів.

----
=Перелік використаної літератури=
#http://www.chuvsu.ru/~rte/uits/liter_uits/plan_exp/glav1_2.htm - Пассивный и активный эксперимент. (березень 2010)

----

----

----

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]
[http://editingwritingservices.org/ essay editing]

[http://custom-essay-writing-service.org/index.php essay writing service]

Параметр оптимізації

2012-02-29T16:37:35Z

Shore:

{{Завдання|yulik|Назаревич О.Б.|21 березня 2010}}

.............. Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= 1. Параметр оптимізації =
При плануванні екстремального експерименту важливо визначити параметр, який потрібно оптимізувати. Для цього ціль дослідження повинна бути сформульована чітко і допускати кількісну оцінку. Характеристика мети задана кількісно називається '''параметром оптимізації'''.
'''Параметр оптимізації є реакцією (відгуком)''' на вплив факторів, які визначають поводження обраної системи. Реакція об'єкта багатогранна і багатоаспектна. Метою дослідження вибирають аспект, який представляє найбільший інтерес.
Вибір оптимального рішення або порівняння двох альтернативних рішень проводиться за допомогою деякої залежної величини (функції), визначеної проектними параметрами. Ця величина називається цільовою функцією (або критерієм якості).

<math>u=f(x1,x2,...xn)</math>,

Задача оптимізації зводиться до відшукування таких значень параметрів, при яких цільова функція досягає максисусу або мінімуму. Для однозначності загальних міркувань важається оптимальним максимальне значення виходу.

'''''Задачі оптимізації'''''

''Безумовні задачі оптимізації'' полягає у відшуканні максимуму або мінімуму дійсної функції від n дійсних змінних і визначення відповідних значень аргументів.

''Умовні задачі оптимізації, або задачі з обмеженнями,'' — це такі, при формулюванні яких задаються деякі умови (обмеження) на безлічі.

= 2. Види параметрів оптимізації =
Залежно від об'єкта і мети дослідження параметри оптимізації є дуже різноманітними. Щоб орієнтуватися в цьому різноманітті, вводять деяку класифікацію .
Дана класифікація не є повна і детальна вона відображає умовну схему, яка включає ряд практично важливих випадків. ''Основна мета даної класифікації'' - це допомога експериментаторові орієнтуватися в реальних ситуаціях. Реальні ситуації переважно складні. Вони часто вимагають одночасного обліку декількох, іноді дуже багатьох, параметрів. У принципі кожний об'єкт може характеризуватися відразу всією сукупністю параметрів, наведених на рисунку 1, або будь-якою підмножиною із цієї сукупності. Рух до оптимуму можливо, якщо обрано один-єдиний параметр оптимізації. Тоді інші характеристики процесу вже не виступають як параметри оптимізації, а служать обмеженнями.

[[Файл:Sxema.gif|border|center|Класифікація параметрів оптимізації]]
== 2.1 Економічні параметри==
Економічні параметри оптимізації, такі, як прибуток, собівартість і рентабельність, звичайно використаються при дослідженні діючих промислових об'єктів, тоді як витрати на експеримент має сенс оцінювати в будь-яких дослідженнях, у тому числі і лабораторних. Якщо ціна досвідів однакова, витрати на експеримент пропорційні числу досвідів, які необхідно поставити для рішення даного завдання. Це значною мірою визначає вибір плану експерименту.
== 2.2 Техніко –екопомічні параметри ==
Серед техніко-економічних параметрів найбільше поширення має продуктивність. Такі параметри, як довговічність, надійність і стабільність, пов'язані із тривалими спостереженнями. Є деякий досвід їхнього використання при вивченні дорогих відповідальних об'єктів, наприклад радіоелектронних апаратур.

== 2.3 Техніко – технологічні параметри ==
Майже у всіх дослідженнях доводиться враховувати кількість і якість одержуваного продукту. Як міру кількості продукту використають вихід, наприклад, відсоток виходу хімічної реакції, вихід придатних виробів.
Показники якості надзвичайно різноманітні. У представленій класифікації вони згруповані по видах властивостей. Характеристики кількості і якості продукту утворять групу техніко-технологічних параметрів.

== 2.4 Інші параметри ==

Під рубрикою "інші" згруповані різні параметри, які рідше зустрічаються, але не є менш важливими. Сюди потрапили статистичні параметри, використовувані для поліпшення характеристик випадкових величин або випадкових функцій. Прикладам таких параметрів будуть завдання на мінімізацію дисперсії випадкової величини, на зменшення числа викидів випадкового процесу за фіксований рівень і т.д. Останнє завдання виникає, зокрема , при виборі оптимальних настроювань автоматичних регуляторів або при поліпшенні властивостей ниток (дріт, пряжа, штучне волокно й ін.).

З ростом складності об'єкта зростає роль психологічних аспектів взаємодії людини або тварини з об'єктом. Наприклад при виборі оптимальної організації робочого місця оператора параметром оптимізації може служити число помилкових дій у різних можливих ситуаціях.

При рішенні завдання технічної естетики або порівнянні творів мистецтва виникає потреба в естетичних параметрах. Вони засновані на ранговому підході.

= 3. Приклад вибору параметра оптимізації =
'''''Приклад 1.''''' Під час другої світової війни кілька сотень англійських торговельних суден були озброєні зенітними знаряддями для захисту від ворожих бомбардувальників. Оскільки цей захід було досить дорогим (було потрібно мати на кожному судні бойову команду), через кілька місяців вирішили оцінити його ефективність. ''Який з параметрів оптимізації більше підходить для цієї мети?''

''Число збитих літаків.'' Втрати в суднах, оснащених знаряддями, у порівнянні із суднами без знарядь.
Якщо вважати, що ефективність установлення знарядь на торговельні судна можна оцінити числом збитих літаків, то буде очевидно, що значення параметра оптимізації в цьому випадку будуть низькими, тому що існують куди більше ефективні засоби для цієї мети (авіація, бойовий флот), чим зенітні знаряддя на торговельних .

Якщо вважати, що ефективність установки знарядь на торговельні судна можна оцінити'' зіставленням втрат у судах, оснащених знаряддями, із втратами в судах без знарядь,'' то це розумний вибір параметра оптимізації, тому що основним завданням при установці знарядь був захист суден. Літаки змушені були тепер використати протизенітні маневри і бомбардування з великої висоти, що зменшувало втрати.

Із числа атакованих літаками торговельних суден із зенітними знаряддями було потоплено 10% суден, а втрати в суднах без знарядь склали 25%. Витрати на установку знарядь і зміст бойових розрахунків окупилися дуже швидко.

= 4. Вимоги до параметрів оптимізації. =
'''Параметр оптимізації''' - це ознака, по якій оптимізують процес. Він '''''повинен бути кількісним, задаватися числом,''''' його необхідно вимірювати при будь-якій можливій комбінації обраних рівнів факторів. Безліч значень, які може приймати параметр оптимізації називають областю його визначення. Області визначення можуть бути неперервними і дискретними, обмеженими і необмеженими.

Наприклад, вихід реакції - це параметр оптимізації з безперервною обмеженою областю визначення. Він може змінюватися в інтервалі від 0 до 100%. Число бракованих виробів, число зерен на шліфі сплаву, число кров'яних тілець у пробі крові - от приклади параметрів з дискретною областю визначення, обмеженої знизу.

Якщо немає способу кількісного виміру результату, то доводиться скористатися прийомом, який називається '''ранжируванням''' (ранговим підходом). При цьому параметрам оптимізації привласнюються оцінки - ранги по заздалегідь обраній шкалі: двобальної, п'ятибальної і т.д. Ранговий параметр має дискретну обмежену область визначення. У найпростішому випадку область містить два значення (так, ні; добре, погано).
Ранг - це кількісна оцінка параметра оптимізації, але вона носить умовний (суб'єктивний) характер.
Для кожного фізично вимірюваного параметра оптимізації можна побудувати ранговий аналог. Потреба в побудові такого аналога виникає, якщо наявні в розпорядженні дослідника чисельні характеристики неточні або невідомий спосіб побудови задовільних чисельних оцінок. За інших рівних умов завжди потрібно віддавати перевагу фізичному виміру, тому що ранговий підхід менш чутливий і з його допомогою важко вивчати тонкі ефекти.

Наступна вимога: '''''параметр оптимізації повинен виражатися одним числом'''''. Іноді це виходить природно, як реєстрація показання приладу. Наприклад, швидкість руху машини визначається числом на спідометрі. Частіше доводиться робити деякі обчислення. Так буває при розрахунку виходу реакції. У хімії часто потрібно одержувати продукт із заданим відношенням компонентів, наприклад, А : В = 3 : 2. Один з можливих варіантів рішення подібних завдань полягає в тому, щоб виразити відношення одним числом 1,5) і як параметр оптимізації користуватися значеннями відхилень (або квадратів відхилень) від цього числа.

Ще одна вимога, пов'язане з кількісною природою параметра оптимізації, - '''''однозначність у статистичному змісті'''''. Заданому набору значень факторів повинне відповідати одне, з точністю до помилки експерименту, значення параметра оптимізації.

Для успішного досягнення мети дослідження необхідно, щоб параметр оптимізації дійсно '''''оцінював ефективність функціонування системи в заздалегідь обраному змісті'''''. Ця вимога є головна, визначальна коректність постановки завдання.

Подання про ефективність не залишається постійним у ході дослідження. Воно міняється в міру нагромадження інформації і залежно від досягнутих результатів. Це приводить до послідовного підходу при виборі параметра оптимізації. Так, наприклад, на перших стадіях дослідження технологічних процесів як параметр оптимізації часто використається вихід продукту. Однак надалі , коли - можливість підвищення виходу вичерпана, нас починають цікавити такі параметри, як собівартість, чистота продукту і т.д..

Говорячи про оцінку ефективності функціонування системи, важливо пам'ятати, що мається на увазі систему в цілому. Часто система складається з ряду підсистем, кожна з яких може оцінюватися своїм локальним параметром оптимізації. При цьому оптимальність кожної з підсистем по своєму параметрі оптимізації не виключає можливості загибелі системи в цілому.

Параметр оптимізації не тільки повинен бути ефективним потрібно, щоб він був '''''ефективний у статистичному змісті'''''. Тобто ця вимога зводиться до вибору параметра оптимізації, що визначається з найбільшою можливою точністю.

Наступна вимога до параметра оптимізації - '''''вимога універсальності або повноти'''''. Під універсальністю параметра оптимізації розуміється його здатність всебічно характеризувати об'єкт. Технологічні параметри оптимізації недостатньо універсальні вони не враховують економіку. Універсальністю володіють узагальнені параметри оптимізації, які є функцією від декількох приватних параметрів.

=Список використаних джерел=

#http://window.edu.ru/window_catalog/files/r18438/Mtdukm8.pdf - Основи планування експаременту (Січень 2010);
#Аністратенко В. О., Федоров В. Г. Математичне планування експерементів в АПК. Київ: Вища школа, 1993.- 375 с.
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);

{{Завдання:Виступ|yulik|21 лютий 2010|Види параметрів оптимізації. Вимоги до факторів і параметрів оптимізації..}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

[[Файл:Example.jpg]]

[http://cvresumewritingservices.org/ resume writing]

Особливості планування експериментів

2012-02-29T16:37:31Z

Shore:

{{Завдання|Mars|Назаревич О.Б.|17 лютого 2010}} [[Файл:DSCF6865.jpg‎|230px|border|right|Виступ]]
{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

'''Повний факторний експеримент''' - це [[Експеримент|експеримент]], в якому реалізуються всі можливі поєднання рівнів [[Поршневий компресор|факторів]].

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/379 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

=Особливості планування експериментів=

Опишемо послідовність Дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.
#Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.
#Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 % факторів визначають 80 % властивостей системи.
#Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного фактора два - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти. Для врахування квадратичних ефектів необхідно використовувати три рівні, для кубічних ефектів - чотири і т. д Аналіз значно спрощується, якщо брати тільки рівновіддалені одне від одного значення рівнів. У цьому випадку маємо так зване ортогональне планування, або ортогональний експеримент.
Для множинних експериментів з чистом факторів більше одного дисперсійний аналіз передбачає використання для заключного аналізу ортогонального експерименту. Це означає, що оцінки відгуків у межах аналізу мають бути некорельованими. На практиці ортогональність гарантує використання тих самих випадкових послідовностей чисел під час виконання експериментів у межах кожної комбінації рівнів обробки.

=Повний факторний експеримент=

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьох рівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3x2 Запишемо в
<center>
 
Таблиця 1. Матриця двофакторного експерименту
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="71" rowspan="2" valign="top">Фактор А </td>
<td colspan="2" valign="top">Фактор В </td>
</tr>
<tr>
<td width="67" valign="top">Рівень 1</td>
<td width="91" valign="top"> Рівень 2</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 1</td>
<td width="67" valign="top">y111 
y112</td>
<td width="91" valign="top">y121 
y122</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 2</td>
<td width="67" valign="top"> Y211 
y212</td>
<td width="91" valign="top"> y221 
y222 </td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 3</td>
<td width="67" valign="top"> y311 
y312 </td>
<td width="91" valign="top">y321 
y322 </td>
</tr>
</table>
</center>
У загальному випадку: значення фактора yijg, де g - номер спостереження, і та j - номери рівнів факторів А та В відповідно. Нехай математичне сподівання вихідної змінної М(уijg) – nij Тоді очікувану функцію відгуку можна записати у такому вигляді:
<center>
<math>{{y}_{ijg}}={{\eta }_{ij}}+{{e}_{ijg}},i=\overline{1,I};j=\overline{1,J};g=1,2,3,...,</math>            (1)
</center>
де eijg, - похибка досліду (або шум), яка вважається незалежною нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням нуль і дисперсією σ2, або
<center>
<math>{{e}_{ijg}}=HHP(0,{{\sigma }^{2}}).</math>            (2)
</center>
Покажемо, що моделі для планування експериментів є окремими випадками моделей лінійної регресії [21]. Знайдою середнє за всіма дослідами:
<center>
<math>\mu =\frac{\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{}}\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{IJ}=\eta,</math>            (3)
</center>
де крапка означає усереднення по всіх значеннях відповідного індексу.
Якщо знайти середнє значення відгуку для фактора А на рівні і з усіма рівнями фактора В, то
<center>
<math>{{A}_{i}}=\frac{\sum\limits_{j\in J}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{J}={{\eta }_{i\bullet }}.</math>            (4)
</center>
Тоді αAi, - головний ефект фактора А на рівні і визначається як різниця між його середнім і загальним середнім:
<center>
<math>\alpha _{i}^{A}={{A}_{i}}-\mu ={{\eta }_{j}}-\eta .</math>             (5)
</center>
З виразів (3)-(5) видно, що середнє головного ефекту дорівнює нулю, тому що
<center>
<math>\sum\limits_{i=1}^{I}{\alpha _{i}^{A}=\frac{1}{J}\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j}{{{\eta }_{ij}}-\sum\limits_{i}{\mu =I\mu -I\mu =0}}}}.</math>             (6)
</center>
Головний ефект фактора В на рівні j визначаємо як
<center>
<math>\alpha _{j}^{B}={{B}_{j}}-\mu =\frac{1}{I}\sum\limits_{i}{{{\eta }_{ij}}-\mu =\eta -\eta.}</math>             (7)
</center>
Аналогічно
<center>
<math>\sum\limits_{j=1}^{J}{\alpha _{j}^{\beta }=0.}</math>             (8)
</center>
Якщо припустити, що фактори не взаємодіють між собою, то одержимо таку модель для планування проведення експерименту:
<center>
<math>M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}.</math>             (9)
</center>
З виразу (9) маємо
<center>
<math>{{\eta }_{i1}}-{{\eta }_{i2}}=\alpha _{1}^{B}-\alpha _{2}^{B}.</math>             (10)
</center>
Вираз (10) є вірним для всіх рівнів і фактора А.
Відобразивши графічно, як фактор А впливає на рівень і фактора В, одержимо паралельні криві відгуку (рис. 1). Якщо є взаємодія між факторами А \ В, то зміна фактора А викликає різноманітні зміни відгуку на різних рівнях фактора В. Таку взаємодію між рівнями і та j факторів А, В відповідно визначаємо як
<center>
<math>\alpha _{ij}^{AB}={{\eta }_{ij}}-{{A}_{i}}-{{B}_{j}}+\mu ={{\eta }_{ij}}-{{\eta }_{i}}-{{\eta }_{j}}+\eta .</math>             (11)
</center>
[[Файл:Gvf.png‎|378x159px|border|center|Графік впливів факторів]]

<center>Рис.1 - Графік впливів факторів</center>

Аналогічно, як було у виразах (6) і (8), маємо:
<center>
<math>\alpha _{j}^{AB}=\alpha _{i}^{AB}.</math>            
</center>
Тоді загальна модель з урахуванням взаємодії двох факторів буде такою:
<center>
<math>M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}+\alpha _{ij}^{AB}.</math>             (12)
</center>
Верхні індекси позначають фактори, що взаємодіють між собою, а нижні - рівні, для яких визначається ефект.
Покажемо, що модель факторного експерименту с окремим випадком рівняння регресії. Для простоти будемо вважати, що немає взаємодії між факторами і повторень дослідів. Використовуючи вирази (1) і (9), отримаємо систему рівнянь
<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+{{e}_{12}}; \\
& ... \\
& {{y}_{32}}=\mu +\alpha _{3}^{A}+\alpha _{3}^{B}+{{e}_{32}}; \\
\end{align}</math>             (13)
</center>
яку в матричному вигляді можна записати так:
<center>
<math>{Y}=X{\beta }+{e},</math>             (14)
</center>
де
<center>
<math>{{{Y}}^{T}}=[{{y}_{11}},{{y}_{12}},...,{{y}_{32}}],</math>             (15)
</center>
X- матриця причинних або незалежних (фіктивних) факторів:

<center>
<math>X=\left[ \begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right],</math>             (16)
</center>
де перший стовпчик - це значення µ, другий, третій і четвертий – αAi п'ятий і шостий - αβi, і = 1, 2, 3; j = 1, 2; - вектор ефектів або параметрів. Транспонований вектор
<center>
<math>{{{\beta }}^{T}}=[\mu ,\alpha _{1}^{A},\alpha _{2}^{A},\alpha _{3}^{A},\alpha _{1}^{B},\alpha _{2}^{B}].</math>             (17)
</center>
Вектор помилок:
<center>
<math>{{{e}}^{T}}=[{{e}_{11}},{{e}_{12}},...,{{e}_{32}}].</math>             (18)
</center>
На основі виразів (6) і (8) отримаємо двосторонні умови:
<center>
<math>\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{A}+\alpha _{3}^{A}=0;</math>            (19)

<math>\alpha _{1}^{B}+\alpha _{2}^{B}=0.</math>             (20)
</center>
Обмеження (19) і (20) разом із так званими нормальними рівняннями вигляду
<center>
<math>{{X}^{T}}{Y}={{X}^{T}}X{\beta }</math>             (21)
</center>
дають лише одні оцінки МНК. З регресійного аналізу відомо, що у разі справедливості виразу (11) ці оцінки одночасно будуть і оцінками максимальної правдоподібності, а також лінійними незміщеними оцінками з мінімальними значеннями дисперсії.
Таким чином, моделі факторних планів - це окремий випадок загальної лінійної регресійної моделі Вектор параметрів β містить сумарне середнє, головні ефекти і взаємодії; матриця незалежних змінних X складається лише з двох значень – 0 і 1 (використовують також позначення +1 та-1. або просто символи «+» і «-»). Отже, планування експерименту означає, що X вибирається таким чином, щоб оцінки мали деякі бажані властивості.

=Дворівневий факторний план=

Повний факторний експеримент передбачає реалізацію всіх можливих комбінацій рівнів факторів. У найпростішому випадку значення факторів задають на двох рівнях. За наявності к факторів, загальна кількість комбінацій буде 2k.
Розглянемо графічну інтерпретацію факторного експерименту (рис.2). Вважатимемо, що нижньому рівню фактора відповідає значення -1. верхньому +1, а основному – 0. Виконати подібне перетворення можна так:
<center>
<math>{{\widetilde{x}}_{i}}=\frac{({{x}_{i}}-{{x}_{i0}})}{ x},i=\overline{1,k}.</math>            
</center>
[[Файл:P2.png‎|508x193px|border|center|Графічне зображення плану 22]]

<center>Рис.2 - Графічне зображення плану 22</center>

Розглянемо результати проведення експериментів, зведені в табл. 2.
<center>
Таблиця 2. План дворівневого факторного експерименту

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="71" rowspan="2" valign="top">Фактор А </td>
<td colspan="2" valign="top">Фактор В </td>
</tr>
<tr>
<td width="67" valign="top">Рівень 1</td>
<td width="91" valign="top"> Рівень 2</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 1</td>
<td width="67" valign="top">y111 
y112</td>
<td width="91" valign="top">y121 
y122</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 2</td>
<td width="67" valign="top"> Y211 
y212</td>
<td width="91" valign="top"> y221 
y222 </td>
</tr>
</table>
</center>
На основі даних табл. 2 можна записати таку систему рівнянь:
<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{12}^{AB}+{{e}_{12}}; \\
& {{y}_{21}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{21}^{AB}+{{e}_{21}}; \\
& {{y}_{22}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{22}^{AB}+{{e}_{22}}; \\
\end{align}</math>             (22)
</center>
Оцінки параметрів моделі (22) за МНК можна знайти з урахуванням додаткових умов, які випливають із виразів (6), (8) і (11). Тоді отримаємо:
<center>
<math>\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};</math>             (23)

<math>\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};</math>             (24)

<math>\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>             (25)

<math>\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>            (26)

<math>\alpha _{22}^{AB}=-\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>             (27)
</center>
Підставивши вирази (23)-(27) у вираз (22), отримаємо систему рівнянь:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{12}}; \\
& {{y}_{21}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{21}}; \\
& {{y}_{22}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{22}}; \\
\end{align}</math>             (28)
</center>
Запишемо систему рівнянь (28) у матричному вигляді
<center>
<math>{Y}=X{\beta }+{e,}</math>             (29)

<math>{{{Y}}^{T}}=({{y}_{11}},{{y}_{12}},{{y}_{21}},{{y}_{22}}),</math>             (30)

<math>X=\left[ \begin{matrix}
+1 & -1 & -1 & +1 \\
+1 & -1 & +1 & -1 \\
+1 & +1 & -1 & -1 \\
+1 & +1 & +1 & +1 \\
\end{matrix} \right],</math>             (31)

<math>{{{\beta }}^{T}}=(\mu ,\alpha _{2}^{A},\alpha _{2}^{B},\alpha _{11}^{AB}),</math>             (32)

<math>{{{e}}^{T}}=({{e}_{11}},{{e}_{12}},{{e}_{21}},{{e}_{22}}).</math>             (33)
</center>
Зауважимо, що стовпчики матриці X - ортогональні, тобто
<center>
<math>{x}_{i}^{T}{{{x}}_{j}}=0,(i\ne j),</math>            
(34)</center>

де і ) - будь-які два стовпчики матриці X. Очевидно, що X - невироджена матриця. Отже, оцінки МНК вектора такі: (35)
З виразу (34) і за умови, що

<center>
<math>{x}_{i}^{T}{{{x}}_{j}}=0,(i\ne j),</math>             (36)
</center>
де N - число дослідів (у нашому випадку N = 4), отримаємо

<center>
<math>({{X}^{T}}X)=NI,</math>             (37)
</center>
де І - одинична матриця.
Тоді деякий h-й елемент ХT визначається як
<center>
<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}},(h=\overline{1,H})},</math>             (38)
</center>
де Xgh – g-й елемент вектора ; Н - загальне число параметрів (у даному випадку чотири). Підставимо вирази (37) і (38) у вираз (35). Тоді
<center>
<math>{{b}_{n}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}}.}</math>             (39)
</center>
Звідси
<center>
<math>{{b}_{1}}=\widehat{\mu }=\frac{1}{4}({{y}_{11}}+{{y}_{12}}+{{y}_{21}}+{{y}_{22}})=y</math>             (41)
</center>
Порівняємо вираз (41) з визначенням головного ефекту :
<center>
<math>\alpha _{2}^{A}=\eta -\eta.</math>             (42)
</center>
Як бачимо, оцінка головного ефекту співпадає зі значенням самого ефекту. Таким самим способом можна показати, що оцінки за МНК головного ефекту і ефекту взаємодії утворюються просто за аналогією з їхніми визначеннями (7) і (11).
Зверніть увагу, в матриці X перший стовпчик стосується тільки сумарного середнього ц і містить лише одиниці зі знаком плюс. Другий та третій стовпчики відповідають головним ефектам і факторів А і В відповідно. Елемент g (g= ) цих стовпчиків приймає значення – 1, якщо фактор знаходиться на
нижньому рівні, та +1 на верхньому рівні. Для якісних факторів нижній і верхній рівні є лише мнемонічними символами.
Четвертий стовпчик матриці X показує результат взаємодії двох факторів . Елементи цього стовпчика - добуток елементів другого і третього стовпчиків Тоді регресій ну модель можна записати як
<center>
<math>{{y}_{g}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{2}{{{d}_{gs}}{{\beta }_{s}}+({{d}_{g1}}{{d}_{g2}}){{\beta }_{12}}+{{e}_{g}},g=\overline{1,N}},</math>             (43)
</center>
де dgs, – -1. якщо фактор S в g-му досліді приймає значення нижнього рівня і dg, – +1 – у протилежному випадку. β0- загальне середнє µ; βs – головний ефект S-го фактора (наприклад, ); β12 ефект взаємодії двох факторів ()
Рівняння (43) - це повний поліном другого степеня без квадратичних членів (немає членів ).

=Факторний план 2k=

Розглянемо факторний план для випадку, коли k = 3 (табл 3).
<center>
Таблиця 3. Матрица повного факторного експерименту 2k

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="78" valign="top">Комбінації </td>
<td width="226" colspan="3" valign="top">Фактори </td>
<td width="76" rowspan="2" valign="top"> 
Відгук </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">факторів </td>
<td width="68" valign="top">А </td>
<td width="72" valign="top">В </td>
<td width="80" valign="top">С</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">1</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">1</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">2</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">-1 </td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">a</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">3</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">4</td>
<td width="68" valign="top">+ 1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">ab </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">5</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">6</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1 </td>
<td width="76" valign="top">ас</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">7</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">+ 1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">bc </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">8</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">abc </td>
</tr>
</table>
</center>

Для k факторів стовпчик S-го фактора (s = ) містить спочатку 2r-1 значень -1, потім 2s-1 значень +1, 2s-1 значень -1 і т. д.
Відгук системи визначається згідно з наступним правилом: якщо в досліді фактор А приймає значення верхнього рівня, то у відгуку символ а присутній, якщо нижнього рівня - відсутній Аналогічно обчислюється відгук для всіх інших факторів. Значення +1 у таблиці показує, що в даному досліді фактор приймає значення верхнього рівня, а - 1 - нижнього. Загальне число дослідів N = 2k.
З матриці плану очевидно, що в одній половині дослідів фактор А приймає значення верхнього рівня, а в іншій - нижнього. Оцінка головного ефекту фактора А обчислюється за формулою

<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{\sum\limits_{i}{{{y}_{i}}}}{{N}{2}}-\frac{\sum\limits_{j}{{{y}_{j}}}}{{N}{2}}.</math>             (44)
</center>
У цьому виразі індекс і відповідає відгукам для тих комбінацій факторів, при яких фактор А приймає значення на верхньому рівні, а; - відповідно на нижньому. Тому вираз (44) еквівалентний виразу
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{2}{N}\left\{ \sum\limits_{i}{(+1){{y}_{i}}+\sum\limits_{j}{(-1){{y}_{j}}}} \right\}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g1}}{{y}_{g}},}</math>            
</center>

де xg1 - g-й елемент стовпчика 1-го фактора У загальному випадку оцінка головного ефекту фактора s має такий вигляд:
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{s}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gs}}{{y}_{g}}},(s=\overline{1,k}).</math>             (45)
</center>
Можна показати, що аналогічно виразам (22) – (42) оцінка у виразі (45) – це оцінка за методом найменших квадратів головного ефекту фактора s. Можна довести, що оцінки за методом найменших квадратів для ефекту взаємодії факторів j, m, r визначаються як
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{j,m,...,r}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{({{x}_{gj}}{{x}_{gm}}...{{x}_{gr}}){{y}_{g}}.}</math>             (46)
</center>
Оцінки загального середнього за методам найменших квадратів обчислюються за формулою

<center>
<math>\widehat{\mu }=\overline{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g0}}{{y}_{g}},}</math>             (47)
</center>
де
<center>
<math>{{x}_{g0}}=1,g=\overline{1,N}.</math>            

Факторний експеримент 2k містить 2k комбінацій факторів або точок експерименту в k-вимірному просторі з координатами ±1,як зображено на рис. 1.

[[Файл:G23.png‎|321x243px|border|center|Графічне зображення плану 23]]

<center>Рис.3 - Графічне зображення плану 23</center>

Якщо позначити число дослідів через N, то можна визначити матрицю плану.

<center>
<math>D=\{{{d}_{ij}}\},(i=\overline{1,N};j=\overline{1,k}),</math>            
</center>

де dij= -1, якщо j-й фактор приймає значення на нижньому рівні в і-й комбінації.
Після додавання стовпчика з одних одиниць і всіх стовпчиків добутків шуканих факторів одержимо з матриці D матрицю незалежних змінних X.
Наведемо матриці D і X (табл. 4) для випадку, коли к = 3, в яких опущено одиниці.
<center>
Таблиця 4. Матриці плану і незалежних змінних

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td colspan="4" valign="top">Матриця плану D</td>
<td colspan="15" valign="top">Матриця незалежних змінних X </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">1 </td>
<td width="47" valign="top"> 2 </td>
<td width="46" valign="top">3 </td>
<td width="13" valign="top">I </td>
<td width="19" valign="top">1</td>
<td width="28" valign="top">2 </td>
<td width="19" valign="top">3 </td>
<td width="25" valign="top">12 </td>
<td width="29" valign="top">13 </td>
<td width="25" valign="top">23 </td>
<td width="41" valign="top">123 </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+ </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">-</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top"> – </td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+ </td>
<td width="47" valign="top">+ </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top"> – </td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
</table>
</center>
Загальне середнє, головні ефекти та всі ефекти взаємодії можна оцінити, якщо помножити відповідний стовпчик матриці X на стовпчик спостереження У. Рівняння регресії з k факторами на двох рівнях тоді записується так:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{J}{{{x}_{ij}}{{\gamma }_{j}}+{{e}_{i}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{k}{{{d}_{is}}{{\beta }_{s}}+\sum\limits_{s=1}^{k-1}{\sum\limits_{z=s+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}){{\beta }_{sz}}+}}}} \\
& +\sum\limits_{s=1}^{k-2}{\sum\limits_{z=s+1}^{k-1}{\sum\limits_{\upsilon =z+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}{{d}_{i\upsilon }}){{\beta }_{sz\upsilon }}+...+}}}({{d}_{i1}}{{d}_{i2}}...{{d}_{ik}}){{\beta }_{123}}...k+{{e}_{i}}, \\
\end{align}</math>            
</center>
де xij і dij – елементи матриць X, D відповідно; J = 2к – число параметрів регресії уj. Ці параметри позначають загальне середнє β0. головний ефект βs ефекти двофакторної взаємодії β s2 .., ефекти взаємодії k факторів β12…k .

=Дробовий дворівневий факторний експеримент=

Планування експерименту звичайно застосовується для визначення важливих факторів, що істотно впливають на відгук (відсівний експеримент). Враховуючи те. що із зростанням числа факторів кількість комбінацій факторів швидко збільшується, необхідно виділити найбільш важливі фактори, тобто попередньо відсіяти незначущі фактори. Для цього використовуються плани порядку 2 k-р, коли ефекти взаємодії більш високого порядку приймаються рівними нулю (вважається, що поліном низького порядку дасть адекватне регресійне рівняння).
Кількість дослідів у повному факторному експерименті значно перевищує кількість обумовлених коефіцієнтів лінійної моделі головного експерименту, тобто повний факторний експеримент є надмірним. Якщо припустити, що деякі ефекти в цих планах є нульовими, то для побудови моделі знадобиться менше ніж 2к дослідів. Щоб зробити такий вибір, необхідно знайти, до яких наслідків призведе відкидання деяких дослідів Розглянемо приклад повного факторного експерименту 23 (табл.5).
<center>
Таблиця 5. Матриця повного факторного експерименту 23

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" width="30%">
<tr>
<td width="61" rowspan="2" valign="top">№ 
Досліду</td>
<td colspan="10" valign="top">Матриця незалежних зміних X </td>
</tr>
<tr>
<td width="30" valign="top">I </td>
<td width="22" valign="top">1 </td>
<td width="24" valign="top"> 2</td>
<td width="23" valign="top">3 </td>
<td width="36" valign="top">12 </td>
<td width="33" valign="top">13 </td>
<td width="24" valign="top">23 </td>
<td width="40" valign="top">123 </td>
<td width="54" valign="top">М(y) </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">1</td>
<td width="30" valign="top">+</td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">1 </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">2</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">а </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">3</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">4</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">аb </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">5</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">6</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">ас </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">7</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">bс </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">8</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">аbс </td>
</tr>
</table>
</center>
Припустимо, що проведено лише чотири досліди, для яких
<center>
x1x2х3 = +1.
</center>
Тоді викреслимо із плану 1-й, 4-й. 6-й, 7-й рядки (отримаємо табл. 6) і покажемо. як обчислити оцінки ефектів парної взаємодії із неповного факторного експерименту для чотирьох дослідів, що залишились. Наприклад, для стовпчика І отримаємо оцінку головного ефекту
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{2}{N}({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}}),</math>             (48)
</center>
де число дослідів N = 4.
<center>
Таблиця 6. Неповний факторний експеримент (x1 x2 х3 =+ 1 )

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" width="25%">
<tr>
<td width="19%" valign="top">№ </td>
<td colspan="8" valign="top">Матриця незалежних змінних X </td>
<td width="16%" rowspan="2" valign="top"> 
M(y) </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" height="30" valign="top">Досліду </td>
<td width="8%" valign="top">I </td>
<td width="6%" valign="top">1 </td>
<td width="6%" valign="top">2</td>
<td width="6%" valign="top">3 </td>
<td width="7%" valign="top">12 </td>
<td width="8%" valign="top">13 </td>
<td width="7%" valign="top">23 </td>
<td width="17%" valign="top">123 </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">2</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">–</td>

<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="8%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">а </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">3</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">5</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">– </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="8%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">8</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">abc </td>
</tr>
</table>
</center>

З формули (48) видно, що фактор знаходиться на верхньому рівні в дослідах 2 і 8. а на нижньому рівні - в дослідах 3 і 5. Звідси ефект фактора А:
<center>
<math>\frac{a+abc}{2}-\frac{b-c}{2}=\frac{1}{2}(a+b-c+abc).</math>            
</center>
Розглянемо тепер стовпчик , з якого одержуємо:
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{BC}}=\frac{2}{N}({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}}).</math>             (49)
</center>
Взаємодія між двома факторами, що мають два рівні, визначиться таким чином. Якщо фактор С приймає значення верхнього рівня, то ефект фактора В визначається як
<center>
<math>{{\eta }_{22}}={{\eta }_{12}},</math>             (50)
</center>
а якщо фактор С приймає значення нижнього рівня, то ефект фактора В відповідно буде
<center>
<math>{{\eta }_{21}}-{{\eta }_{11}}.</math>             (51)
</center>
Взаємодія між факторами В і С матиме місце тільки у випадку, якщо значення виразів (50) і (51) будуть різні. Тоді взаємодія визначатиметься як «середня» різниця між (50) і (51), а саме:
<center>
<math>{{\alpha }^{BC}}=\frac{1}{2}\left[ ({{\eta }_{22}}-{{\eta }_{12}})-({{\eta }_{21}}-{{\eta }_{11}}) \right],</math>            
</center>
тобто ефект взаємодії між факторами В і С – це середнє арифметичне різниці значень ефектів В і С на їх верхніх і нижніх рівнях відповідно.
Ефект взаємодії між факторами В і С, за умови що фактори В і С знаходяться на верхньому та нижньому рівнях відповідно, можна визначити як abc - с. Якщо фактор С приймає значення на нижньому рівні, ефект В можна оцінити як b а Половина різниці між цими ефектами становить
<center>
<math>\frac{1}{2}(abc-c)-(b-a)=\frac{1}{2}(abc-c-b+a).</math>             (52)
</center>
Порівняємо вирази (49) і (48). Маємо такі ж оцінки дія ал і вeC. Або іншим шляхом це можна показати. використовуючи останній стовпчик табл. 6:
<center>
<math>M({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}})=a-b-c+abc.</math>             (53)
</center>
Запишемо праву частину виразу (53) як
<center>
<math>\begin{align}
& a-b-c+abc=\frac{2}{N}(-1+a-b+ab-c+ac-bc+abc)+ \\
& +\frac{2}{N}(+1+a-b-ab-c-ac+bc+abc) \\
& \\
\end{align}</math>            
</center>
при N = А, або, враховуючи вирази (45) і (46), як
<center>
<math>a-b-c+abc={{\alpha }^{A}}+{{\alpha }^{BC}}.</math>             (54)
</center>
Об'єднавши вирази (53) і (54), отримуємо
<center>
<math>M({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}})={{\alpha }^{A}}+{{\alpha }^{BC}}.</math>            
</center>
Із дробового факторного експерименту в цьому прикладі випливає, що мають місце однакові значення для головного ефекту фактора А та ефекту взаємодії факторій В і С. Не так звані змішані ефекти або ефекти, що оцінюються спільно. Якщо ефект взаємодії дорівнює нулю, значення виразу (у2 – y3 – y5 +y8) буде незміщеною оцінкою αA головного ефекту фактора А.
Таким чином, для побудови плану 2k відкидаємо ті рядки з повного факторного експерименту, що мають значення +1 дія деякого ефекту. Це так звані напіврепліки, тобто тут використовується половина повного факторного експерименту. Аналогічно, для другої напіврепліки необхідно відкинути ті рядки, які мають значення -1 для деякого ефекту.
При великій кількості факторів k навіть напіврепліки (тобто плани 2k-1) можуть виявитись занадто громіздкими. У цих планах деякі ефекти взаємодії високого порядку можна прирівняти до нуля, та взяти меншу частину від повного факторного експерименту. Репліки, що становлять (1/2)p частину повного факторного плану з k факторами, називають планом типу 2k-p
Плани можна застосовувати послідовно, тобто спочатку одержати спостереження для одних комбінацій рівнів факторів, потім для інших і після аналізу цих спостережень вирішити, для якої комбінації (старої або нової) слід провести додаткові спостереження. Нові спостереження знову аналізуються (звичайно разом з попередніми) для ухвалення рішення про подальші спостереження і т. д У планах 2k-p можна спочатку провести частину експерименту, проаналізувати спостереження, і якщо цей аналіз покаже, то дана частина експерименту занадто мала для оцінки всіх можливих ефектів, експеримент розширюють таким чином, щоб він дав змогу оцінити вплив усіх факторів.

=Висновки=

#Для будь-якого експерименту з моделлю має існувати можливість його повторного проведення іншими дослідниками.
#Вихідні дані імітаційних експериментів потрібно структурувати та інтерпретувати таким чином, щоб їх можна було використовувати для прийняття рішень стосовно структури і параметрів системи або моделі.
#Планування експерименту це розробка такого плану проведення експерименту. який дає можливість за мінімальну кількість прогонів моделі і за мінімальних затрат ресурсів зробити статистично значущі висновки або знайти найкращі рішення щодо функціонування системи.
#Імітаційне моделювання провадиться, як правило, з метою визначення деяких екстремальних значень характеристик модельованої системи (оптимізуючий експеримент) або для виявлення важливих факторів, що впливають на модельовану систему (висівний експеримент)
#Оцінювання точності результатів моделювання пов'язане з побудовою довірчих інтервалів для вихідних змінних (відгуків) моделі.
#Застосування методів зниження дисперсії дає змогу при заданому обсязі вибірки збільшити точність оцінювання відгуку або при заданій точності скоротити обсяг вибірки.
#Під час моделювання рідких подій застосовують імітаційно-аналігичні моделі, основою яких є імітація повільних процесів та згортання швидких процесів завдяки укрупненням станів системи та усередненням її характеристик.

=Список використаних джерел=

#Моделювання систем - Томашевский В.М.:BHV, 2005. – 352с.
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
#Теория эксперимента: Курс лекций. - А, В. Блохин. - Мн.: БГУ, 2002. - 67 с.

{{Завдання:Виступ|Залецький Михайло|17 лютого 2010|Регресійні моделі при повному дворівневий дробовому факторному експерименті. Визначення коефіцієнтів регресії}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Методи прогнозування

2012-02-29T16:37:22Z

Shore:

{{Завдання|hotcoffe|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/411 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Методи прогнозування =

До недавнього часу (середини 80-х років минулого століття) існувало декілька загальновизнаних методів прогнозування тимчасових рядів:

• Економетричні

• Регресійні

• Методи Бокса-дженкінса (ARIMA, ARMA)

Проте, починаючи з кінця 80-х років, в науковій літературі були опубліковані ряд статей з нейромережевої тематики, в яких був приведений ефективний алгоритм навчання нейронних мереж і доведена можливість їх використання для найширшого кола завдань.

Ці статті відродили інтерес до нейромереж в науковому співтоваристві і останні дуже скоро почали широко використовуватися при дослідженнях в самих різних областях науки від експериментальної фізики і хімії до економіки.

= Методи прогнозування, засновані на згладжуванні, експоненційному згладжуванні і ковзному середньому =

== "Наївні" моделі прогнозування ==

При створенні "наївних" моделей передбачається, що деякий основний період прогнозованого тимчасового ряду краще всього описує майбутнє цього прогнозованого ряду, тому в цих моделях прогноз, як правило, є дуже простою функцією від значень прогнозованої змінної в недалекому минулому.

Найпростішою моделлю є

<center> <math>Y_{t+1}=Y_{t}</math> </center>

що відповідає припущенню, що "завтра буде як сьогодні"[4].

Поза всяким сумнівом, від такої примітивної моделі не варто чекати великої точності. Вона не тільки не враховує механізми, що визначають прогнозовані дані (цей серйозний недолік взагалі притаменний багатьом статистичним методам прогнозування), але і не захищена від випадкових коливань, вона не враховує сезонні коливання і тенденції. Втім, можна будувати "наївні" моделі дещо по-іншому

<center>

<math>\begin{align}
& Y_{t+1}=Y_{t}+\left[ Y_{t}-Y_{t-1} \right], \\
& Y_{t+1}=Y_{t}\cdot \left[ Y_{t}/Y_{t-1} \right], \\
\end{align}</math>

</center>

такими способами ми намагаємося пристосувати модель до можливих тенденцій

<center>
<math>Y_{t+1}=Y_{t-S}</math>
</center>

це спроба врахувати сезонні коливання.

[[Файл:23.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.1 - Прогнозування найпростішими методами. </center>

[[Файл:24.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.2 - Прогнозування найпростішими методами. </center>

== Середні і ковзаючі середні ==

Найпростішою моделлю, заснованою на простому усереднюванні [4] є

<center>
<math>Y_{t+1}=\frac{1}{t}\left[ Y_{t}+Y_{t-1}+...+Y_{1} \right]</math>
</center>

і у відмінності від найпростішої "наївної" моделі, якій відповідав принцип "завтра буде як сьогодні", цій моделі відповідає принцип "завтра буде як було в середньому за останній час". Така модель, звичайно стійкіша до коливань, оскільки в ній згладжуються випадкові викиди щодо середнього. Не дивлячись на це, цей метод ідеологічно настільки ж примітивний як і "наївні" моделі і йому властиві майже ті ж самі недоліки.

У приведеній вище формулі передбачалося, що ряд усереднюється по достатньо тривалому інтервалу часу. Проте як правило, значення тимчасового ряду з недалекого минулого краще описують прогноз, ніж усі попередні значення цього ж ряду. Тоді можна використовувати для прогнозування ковзне середнє

<center>
<math>Y_{t+1}=\frac{1}{T+1}\left[ Y_{t}+Y_{t-1}+...+Y_{t-T} \right]</math>
</center>

Сенс його полягає в тому, що модель бачить тільки найближче минуле (на T відліків за часом в глибину) і грунтуючись тільки на цих даних будує прогноз.

При прогнозуванні досить часто використовується метод експоненціальних середніх, який постійно адаптується до даних за рахунок нових значень. Формула, що описує цю модель записується як

<center> <math>Y_{t+1}=\alpha Y_{t}+\left( 1-a \right)\hat{Y}_{t},</math>
</center>

де <math>Y_{t+1}</math> – прогноз на наступний період часу

<math>Y_{t}</math> – реальне значення у момент часу t

<math>\hat{Y}</math> – минулий прогноз на момент часу t

а – постійна згладжування (0<=a<=1)

У цьому методі є внутрішній параметр а, який визначає залежність прогнозу від усіх розглянутих даних, причому вплив даних на прогноз експоненціально зменшується із "віком" даних. Залежність впливу даних на прогноз при різних коефіцієнтах а приведена на графіці.

[[Файл:qa.png|border|center|Залежність впливу даних на прогноз при різних коефіцієнтах а ]]
<center>Рис.3 - Залежність впливу даних на прогноз при різних коефіцієнтах а </center>

Видно, що при a→1, експоненціальна модель прагне до найпростішої "наївної" моделі. При a→0, прогнозована величина стає рівною попередньому прогнозу.

Якщо проводиться прогнозування з використанням моделі експоненціального згладжування, зазвичай на деякому тестовому наборі будуються прогнози при a=[0.01, 0.02 ..., 0.98, 0.99] і відстежується, при якому а точність прогнозування вища. Це значення а потім використовується при прогнозуванні надалі.

Хоча описані вище моделі ("наївні" алгоритми, методи, засновані на середніх, ковзних середніх і експоненціальному згладжуванні) використовуються при бізнес-прогнозуванні в не дуже складних ситуаціях, наприклад, при прогнозуванні продажу на спокійних і сталих західних ринках, не рекомендовано використовувати ці методи в завданнях прогнозування з причини явної примітивності і неадекватності моделей.

Разом з цим хотілося б відзначити, що описані алгоритми цілком успішно можна використовувати як супутні і допоміжні для передобробки даних в завданнях прогнозування. Наприклад, для прогнозування продажу в більшості випадків необхідно проводити декомпозицію тимчасових рядів (тобто виділяти окремо тенденційну, сезонну і нерегулярну складові). Одним з методів виділення тенденційних складових є використання експоненціального згладжування.

[[Файл:26.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.4 - Прогнозування ковзаючим середнім. </center>

[[Файл:27.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.5 - Спад адекватності при ковзаючому середньому. </center>

= Методи Хольта і Брауна =

В середині минулого століття Хольт запропонував вдосконалений метод експоненціального згладжування, згодом названий його ім'ям. У запропонованому алгоритмі значення рівня і тенденції згладжуються за допомогою експоненціального згладжування. Причому параметри згладжування у них різні.
<center>
<math>\left\{ \begin{matrix}
\Omega _{t}=\alpha Y_{t}+\left( 1-\alpha \right)\left( \Omega _{t-1}-T_{t-1} \right), \\
T_{t}=\beta \left( \Omega _{t}-\Omega _{t-1} \right)+\left( 1-\beta \right)T_{t-1}, \\
\hat{Y}_{t+p}=\Omega _{t}+pT_{t} \\
\end{matrix} \right.</math>
</center>
Тут перше рівняння описує згладжений ряд загального рівня.

Друге рівняння служить для оцінки тенденції.

Третє рівняння визначає прогноз на p відліків за часом вперед.

Постійні згладжування в методі Хольта ідеологічно грають ту ж роль, що і постійна в простому експоненціальному згладжуванні. Підбираються вони, наприклад, шляхом перебору по цих параметрах з якимсь кроком. Можна використовувати і менш складні в сенсі кількості обчислень алгоритми. Головне, що завжди можна підібрати таку пару параметрів, яка дає велику точність моделі на тестовому наборі і потім використовувати цю пару параметрів при реальному прогнозуванні.

Окремим випадком методу Хольта є метод Брауна, коли <math>\alpha =\beta </math> .

= Метод Вінтерса =

Хоча описаний вище метод Хольта (метод двохпараметричного експоненціального згладжування) і не є зовсім простим (щодо "наївних" моделей і моделей, заснованих на усереднюванні), він не дозволяє враховувати сезонні коливання при прогнозуванні. Кажучи акуратніше, цей метод не може їх "бачити" в передісторії. Існує розширення методу Хольта до трьохпараметричного експоненціального згладжування. Цей алгоритм називається методом Вінтерса. При цьому робиться спроба врахувати сезонні складові даних. Система рівнянь, що описують метод Вінтерса виглядає таким чином:
<center>
<math>\left\{ \begin{matrix}
\Omega _{t}=\alpha \frac{Y_{t}}{S_{t-s}}+\left( 1-\alpha \right)\left( \Omega _{t-1}-T_{t-1} \right), \\
T_{t}=\beta \left( \Omega _{t}-\Omega _{t-1} \right)+\left( 1-\beta \right)T_{t-1}, \\
S_{t}=\Upsilon \frac{Y_{t}}{\Omega _{t}}+\left( 1-\Upsilon \right)S_{t-s}, \\
\hat{Y}_{t+p}=\left( \Omega _{t}+pT_{t} \right)S_{t-s+p} \\
\end{matrix} \right.</math>
</center>
Дріб в першому рівнянні служить для виключення сезонності з Y(t). Після виключення сезонності алгоритм працює з "чистими" даними, в яких немає сезонних коливань. З'являються вони вже в самому фінальному прогнозі, коли "чистий" прогноз, порахований майже по методу Хольта умножається на сезонний коефіцієнт.

[[Файл:25.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.6 - Прогнозування методи Вінтерса. </center>

= Регресійні методи прогнозування =
Разом з описаними вище методами, заснованими на експоненціальному згладжуванні, вже достатньо довгий час для прогнозування використовуються регресійні алгоритми. Коротко суть алгоритмів такого класу можна описати так.
Існує прогнозована змінна Y (залежна змінна) і відібраний заздалегідь комплект змінних, від яких вона залежить, - X1, X2 ..., XN (незалежні змінні). Природа незалежних змінних може бути різною. Наприклад, якщо припустити, що Y - рівень попиту на деякий продукт в наступному місяці, то незалежними змінними можуть бути рівень попиту на цей же продукт в минулий і позаминулий місяці, витрати на рекламу, рівень платоспроможності населення, економічна обстановка, діяльність конкурентів і багато що інше. Головне - уміти формалізувати всі зовнішні чинники, від яких може залежати рівень попиту в числовій формі.

Модель множинної регресії в загальному випадку описується виразом
<center>
<math>Y=F\left( X_{1},\,X_{2},\,...,\,X_{N} \right)+\varepsilon </math>
</center>
У простішому варіанті лінійної регресійної моделі залежність залежної змінної від незалежних має вигляд:
<center>
<math>Y=\beta _{0}+\beta _{1}X_{1}+\beta _{2}X_{2}+...+\beta _{N}X_{N}+\varepsilon </math>
</center>
Тут <math>\beta _{1},\beta _{2},\,...,\,\beta _{N}-</math> підбирані коефіцієнти регресії

<math>\varepsilon -</math> компонента помилки. Передбачається, що всі помилки незалежні і нормально розподілені.
Для побудови регресійних моделей необхідно мати базу даних спостережень приблизно такого вигляду:
<center>
<table width="382" border="1">
<tr>
<th width="22" scope="col"> </th>
<th colspan="5" scope="col">Змінні</th>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>

<td colspan="4" bgcolor="#BDE0BA"><div align="center">Незалежні</div></td>
<td width="86" bgcolor="#C1BEE9">Залежна</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">№</th>
<td width="44" bgcolor="#BDE0BA">X1</td>
<td width="65" bgcolor="#BDE0BA">X2</td>

<td width="65" bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td width="60" bgcolor="#BDE0BA">XN</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">1</th>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_11</td>

<td bgcolor="#BDE0BA">x_12</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_1N</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y_1</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">2</th>

<td bgcolor="#BDE0BA">x_21</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_22</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_2N</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y_2</td>
</tr>

<tr>
<th scope="row">...</th>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>

<td bgcolor="#C1BEE9">...</td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">m</th>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_M1</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">x_M2</td>
<td bgcolor="#BDE0BA">...</td>

<td bgcolor="#BDE0BA">x_MN</td>
<td bgcolor="#C1BEE9">Y_m</td>
</tr>
</table>
</center>

За допомогою таблиці значень минулих спостережень можна підібрати (наприклад, методом найменших квадратів) коефіцієнти регресії, побудувавши тим самим модель.

При роботі з регресією треба дотримуватися певної обережності і обов'язково перевірити на адекватність знайдені моделі. Існують різні способи такої перевірки. Обов'язковим є статистичний аналіз залишків, тест Дарбіна-Уотсона. Корисно, як і у випадку з нейронними мережами, мати незалежний набір прикладів, на яких можна перевірити якість роботи моделі.

= Методи Бокса-Дженкінса (ARIMA)=

В середині 90-х років минулого століття був розроблений принципово новий і достатньо могутній клас алгоритмів для прогнозування тимчасових рядів. Велику частину роботи по дослідженню методології і перевірці моделей була проведена двома статистиками, Г.Е.П. Боксом ([http://en.wikipedia.org/wiki/George_E._P._Box G.E.P. Box]) і Г.М. Дженкинсом ([http://en.wikipedia.org/wiki/Gwilym_Jenkins G.M. Jenkins]). З тих пір побудова подібних моделей і отримання на їх основі прогнозів іноді називатися методами Бокса-Дженкінса. В це сімейство входить декілька алгоритмів, найвідомішим і використовуваним з них є алгоритм ARIMA. Він вбудований практично в будь-який спеціалізований пакет для прогнозування. У класичному варіанті ARIMA не використовуються незалежні змінні. Моделі спираються тільки на інформацію, що міститься в передісторії прогнозованих рядів, що обмежує можливості алгоритму. В даний час в науковій літературі часто згадуються варіанти моделей ARIMA, що дозволяють враховувати незалежні змінні. У даній доповіді вони розглядатись не будуть, обмежимось тільки загальновідомим класичним варіантом. На відміну від розглянутих раніше методик прогнозування тимчасових рядів, в методології ARIMA не передбачається якої-небудь чіткої моделі для прогнозування даної тимчасової серії. Задається лише загальний клас моделей, що описують часовий ряд і що дозволяють якось виражати поточне значення змінної через її попередні значення. Потім алгоритм, підстроюючи внутрішні параметри, сам вибирає найбільш відповідну модель прогнозування. Як вже наголошувалося вище, існує ціла ієрархія моделей Бокса-Дженкінса. Логічно її можна визначити так
<center>
AR(p)+MA(q)→ARMA(p,q)→ARMA(p,q)(P,Q)→ARIMA(p,q,r)(P,Q,R)→...
</center>
== AR(p) -авторегресивна модель порядку р ==

Модель має вигляд:
<center>
<math>Y\left( t \right)=f_{0}+f_{1}\cdot Y\left( t-1 \right)+f_{2}\cdot Y\left( t-2 \right)+...+f_{p}\cdot Y\left( t-p \right)+E\left( t \right)</math>
</center>

де
Y(t) –залежна змінна у момент часу t. <math>f_{0},f_{1},f_{2}...,f_{p}</math> - оцінювані параметри. E(t) - помилка від впливу змінних, які не враховуються в даній моделі. Завдання полягає в тому, щоб визначити <math>f_{0},f_{1},f_{2}...,f_{p}</math>. Їх можна оцінити різними способами. Найправильніше шукати їх через систему рівнянь Юла-Уолкера, для складання цієї системи буде потрібно розрахунок значень автокореляційної функції. Можна поступити простішим способом - порахувати їх методом найменших квадратів.

== MA(q) -модель з ковзаючим середнім порядку q ==

Модель має вигляд:
<center>
<math>Y\left( t \right)=m+e\left( t \right)-w_{1}\cdot e\left( t-1 \right)-w_{2}\cdot e\left( t-2 \right)-...-w_{p}\cdot e\left( t-p \right)</math>
</center>

Де Y(t) -залежна змінна у момент часу t. <math>w_{0},w_{1},w_{2}...,w_{p}</math> - оцінювані параметри.

== Авторегресійне ковзне середнє ARMA(p,q) ==

Під позначенням ARMA(p,q) [3] розуміється модель, p авторегресійних складових, що містить q, ковзаючих середніх.

Точніше модель ARMA(p,q) включає моделі AR(p) і MA(q):
<center>
<math>X_{t}=c+e_{t}+\sum\limits_{i=1}^{q}{\theta _{i}e_{t-i}}+\sum\limits_{i=1}^{p}{\phi _{i}X_{t-i}},</math>
</center>
Зазвичай значення помилки <math>e_{t}</math> вважають незалежними однаково розподіленими випадковими величинами, узятими з нормального розподілу з нульовим середнім: <math>e_{t}\sim N\left( 0,\sigma ^{2} \right),</math> де <math>\sigma ^{2}</math> — дисперсія. Припущення можна ослабити, але це може привести до зміни властивостей моделі. Наприклад, якщо не припускати незалежності і однакового розподілу помилок, поведінка моделі суттєво міняється.

== ARIMA (p,d,q) ==

У завданні аналізу тимчасового ряду з складною структурою часто використовуються моделі класу ARIMA(p,d,q)[2] (авторегресійне інтегрування ковзаючого середнього - Autoregressive Integrated Moving Average) порядку (p,d,q), які моделюють різні ситуації, що зустрічаються при аналізі стаціонарних і нестаціонарних рядів. Залежно від аналізованого ряду модель ARIMA (p,d,q) може трансформуватися до авторегресійної моделі AR(p), моделі ковзного середнього MA(q) або змішаній моделі ARMA (p,q). При переході від нестаціонарного ряду до стаціонарного значення параметра d, що визначає порядок різниці, приймається рівним 0 або 1, тобто цей параметр має тільки цілочисельні значення. Зазвичай обмежуються вибором між d = 0 і d = 1. Проте з поля зору дослідників випадає ситуація, коли параметр d може приймати дробові значення.

== ARFIMA(p,d,q) ==

Для ситуації розгляду дробових значень порядку різниці, в роботах зарубіжних учених, в першу чергу, C.W.Granger, J.R.Hosking, P.M.Robinson, R. Beran, був запропонований новий клас моделей ARFIMA(p,d,q)[2] (F: fractional - дріб), що допускає можливість нецілого параметра d і авторегресійний дріб інтегрований процес ковзного середнього. Такі ряди володіють своєю специфікою: самоподібністю, дробовою розмірністю, поволі спадаючою кореляцією. Прогнозування тимчасових рядів за допомогою моделі ARFIMA(p,d,q) відкриває ширші перспективи для підвищення точності прогнозу.

== Модель вигляду ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S ==

ARIMA (p,d,q)(P,D,Q)S [1],

де: p - авторегресійні доданки;

D - різниці;

q - доданки ковзаючого середнього;

P – сезонні авторегресійні доданки;

D – сезонні різниці на інтервалі S;

Q – доданки сезонного ковзаючого середнього

= Метод "Гусениці" SSA =

Метод SSALRF[6,7]

Метод “Гусеніца”-SSA може бути використаний для різних загальних завдань дослідження тимчасових рядів, зокрема - для виділення сигналу і знаходження його ЛРФ. При його використанні по ряду <math>F_{N}</math> будується траєкторна матриця X заданого розміру L x K, 1 < L < N.

K = N – L + 1 (L називається довжиною вікна), обчислюються власні числа <math>\left\{ \lambda _{i} \right\}_{i=1}^{L},</math> власні <math>\left\{ \lambda _{i} \right\}_{i=1}^{L},</math>і факторні <math>\left\{ V_{i} \right\}_{i=1}^{L}</math> вектора матриці <math>XX^{T}</math>, формуючи сингулярне розкладання <math>X=\sum\limits_{i}{\sqrt{\lambda _{i}}U_{i}V_{i}^{T}}</math>. Набір <math>\left( \sqrt{\lambda _{i}}U_{i}V_{i} \right)</math> називається сингулярною трійкою. Ряду зіставляється траєкторний простір, аддитивній складовій ряду при виконанні умов роздільності відповідає власний траєкторний підпростір в цьому просторі.

В умовах наближеної роздільності метод дозволяє знайти підпростір близьке до траєкторного простору даної аддитивної складової.

Опишемо алгоритм методу SSALRF, в нім можна виділити наступну послідовність кроків.

Алгоритм [5]

#Вибір довжини вікна L і побудова траєкторної матриці <math>X\in \mathbb{R}^{L\times K}</math> по ряду <math>F_{N}</math>;
#Сингулярне розкладання траєкторної матриці <math>X=\sum\limits_{i}{\sqrt{\lambda _{i}}U_{i}V_{i}^{T}}</math> ;
#Вибір сингулярних трійок, відповідних сигналу <math>S_{N}</math>;
#Побудова по власних векторах вибраних сингулярних трійок наближеної ЛРФ сигналу порядку L – 1;
#Знаходження кореня характеристичного полінома цієї ЛРФ;
#Пошук головного кореня серед всієї безлічі коренів;
#Отримання наближеною мінімальною ЛРФ (порядка 2) сигналу по головному кореню.

[[Файл:28.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.1 - Типи трендів. </center>

[[Файл:29.png|border|center|Прогнозування ]]
<center>Рис.2 - Декомпозиція на сезони, тренди та наступне прогнозування. </center>

= Перелік використаних джерел =

#http://ipu-conf.ru/kmu/sbornik_VMKPU2008.pdf (лютий 2010)
#http://www.guap.ru/guap/main/avtoref_krichevsky.doc (лютий 2010)
#http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title= Авторегрессионное_скользящее_среднее (лютий 2010)
#http://www.neuroproject.ru/forecasting_tutorial.php#mlp Методы прогнозирования (лютий 2010)
#http://www.pdmi.ras.ru/~theo/autossa/files/SSAvsREGR--paper.pdf Метод SSALRF (лютий 2010)
#http://www.nsu.ru/ef/tsy/ecmr/Forum/topic77.htm Конференция по эконометрике » AR, ARMA, ARIMA, FARIMA (лютий 2010)
#[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D1%8C_%D0%A5%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B0 Метод_Хольта]
#[http://www.ipredict.it/Methods/ Методи прогнозування (eng.)]

{{Завдання:Виступ|Hotcoffe|30 лютого 2010|Методи прогнозування.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]