https://wiki.tntu.edu.ua/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=POWER
Wiki ТНТУ - Внесок користувача [uk]
2026-06-04T05:19:39Z
Внесок користувача
MediaWiki 1.30.0
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&diff=647
Дробовий факторний експеримент
2010-03-04T19:35:51Z
<p>POWER: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}<br />
<br />
<br />
= Вступ =<br />
<br />
Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.<br />
<br />
=Дробовий факторний експеримент=<br />
<br />
Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.<br />
<br />
=Дробові репліки=<br />
<br />
Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де<br />
*k-кількість експериментів;<br />
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.<br />
<br />
При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. <br />
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. <br />
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).<br />
<br />
<table width="80%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">Кількість факторів&nbsp;</th><br />
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Умовне позначення&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 3 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 4 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 8 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 256 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 9 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 512 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 10 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 1024 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 11 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 2048 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 12 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4096 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 13 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8192 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 14 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16384 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 15 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32768 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень. <br />
<br />
=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=<br />
<br />
Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:<br />
<br />
Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.<br />
<br />
<table width="50%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками<br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_3</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_3</math>&nbsp;</th><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<br />
<tr><br />
<th scope="col"> 2 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 2 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 3 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 3 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 4 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 4 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:<br />
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.<br />
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3</math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів: <br />
<br />
<center><math> b_1=b_1+b_{23},b_1=b_1-b_{23} </math></center><br />
<center><math> b_2=b_2+b_{13},b_2=b_2-b_{13} </math></center><br />
<center><math> b_3=b_3+b_{12},b_3=b_3-b_{12} </math></center><br />
У практичних задачах потрійні і більш високого порядку взаємодії значно частіше, ніж подвійні, дорівнюють нулю і тому їх можна відкинути. Для одержання лінійної моделі рекомендують вибирати дробові репліки з можливо більшою розв'язувальною здатністю, тобто репліки, у яких лінійні ефекти змішані з ефектами взаємодії близькими до нуля. При виборі дробової репліки важливо також ураховувати насиченість плану <br />
Піврепліки, в яких основні ефекти змішані з двухфакторним добутком називаються насиченими планами з роздільною здатність III. <br />
При відсутній інформації про ефекти взаємодій двухфакторного добутку експериментатор прагне вибрати репліку з найбільшою роздільною здатністю. Якщо існує якась інформація про ефекти взаємодій, то вона повинна використовуватись при виборі репліки.<br />
Також існують насичені плани з роздільною здатністю 4, репліки в яких всі парні взаємодії змішані між собою. <br />
=Ефективність реплік=<br />
*Ефективність репліки залежить від системи змішування. Репліки, у яких лінійні ефекти змішані з взаємодіями найвищого порядку, є найбільш ефективними, оскільки володіють найбільшою роздільною здатністю.<br />
*Для звільнення лінійних ефектів від взаємодій першого порядку можна використовувати метод «перевалу». Сенс методу в додаванні нової репліки, всі знаки якої протилежні початковій репліці.<br />
*Із зростанням числа факторів швидко збільшується число реплік різного дробу. Ці репліки характеризуються узагальнюючими визначальними контрастами, які виходять перемножуванням по два, по три і так далі початкових визначальних контрастів.<br />
<br />
<br />
=Список використаних джерел=<br />
#1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).<br />
#2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.<br />
#3. Конкретні методики викладання. Щетініна О.К., Карпенко О.Н., Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}<br />
<br />
[[Категорія:ПЕ-2010]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
[[Категорія:Планування експеримента]]</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&diff=646
Дробовий факторний експеримент
2010-03-04T19:01:29Z
<p>POWER: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}<br />
<br />
http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).<br />
<br />
= Вступ =<br />
<br />
Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.<br />
<br />
=Дробовий факторний експеримент=<br />
<br />
Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.<br />
<br />
=Дробові репліки=<br />
<br />
Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де<br />
*k-кількість експериментів;<br />
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.<br />
<br />
При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. <br />
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. <br />
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).<br />
<br />
<table width="80%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">Кількість факторів&nbsp;</th><br />
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Умовне позначення&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 3 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 4 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 8 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 256 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 9 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 512 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 10 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 1024 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 11 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 2048 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 12 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4096 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 13 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8192 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 14 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16384 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 15 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32768 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень. <br />
<br />
=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=<br />
<br />
Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:<br />
<br />
Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.<br />
<br />
<table width="50%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками<br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_3</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_3</math>&nbsp;</th><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<br />
<tr><br />
<th scope="col"> 2 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 2 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 3 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 3 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 4 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 4 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:<br />
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.<br />
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3</math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів: <br />
<br />
<center><math> b_1=b_1+b_{23},b_1=b_1-b_{23} </math></center><br />
<center><math> b_2=b_2+b_{13},b_2=b_2-b_{13} </math></center><br />
<center><math> b_3=b_3+b_{12},b_3=b_3-b_{12} </math></center><br />
У практичних задачах потрійні і більш високого порядку взаємодії значно частіше, ніж подвійні, дорівнюють нулю і тому їх можна відкинути. Для одержання лінійної моделі рекомендують вибирати дробові репліки з можливо більшою розв'язувальною здатністю, тобто репліки, у яких лінійні ефекти змішані з ефектами взаємодії близькими до нуля. При виборі дробової репліки важливо також ураховувати насиченість плану <br />
Піврепліки, в яких основні ефекти змішані з двухфакторним добутком називаються насиченими планами з роздільною здатність III. <br />
При відсутній інформації про ефекти взаємодій двухфакторного добутку експериментатор прагне вибрати репліку з найбільшою роздільною здатністю. Якщо існує якась інформація про ефекти взаємодій, то вона повинна використовуватись при виборі репліки.<br />
Також існують насичені плани з роздільною здатністю 4, репліки в яких всі парні взаємодії змішані між собою. <br />
=Ефективність реплік=<br />
*Ефективність репліки залежить від системи змішування. Репліки, у яких лінійні ефекти змішані з взаємодіями найвищого порядку, є найбільш ефективними, оскільки володіють найбільшою роздільною здатністю.<br />
*Для звільнення лінійних ефектів від взаємодій першого порядку можна використовувати метод «перевалу». Сенс методу в додаванні нової репліки, всі знаки якої протилежні початковій репліці.<br />
*Із зростанням числа факторів швидко збільшується число реплік різного дробу. Ці репліки характеризуються узагальнюючими визначальними контрастами, які виходять перемножуванням по два, по три і так далі початкових визначальних контрастів.<br />
<br />
<br />
=Список використаних джерел=<br />
#1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).<br />
#2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.<br />
#3. Конкретні методики викладання. Щетініна О.К., Карпенко О.Н., Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}<br />
<br />
[[Категорія:ПЕ-2010]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
[[Категорія:Планування експеримента]]</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&diff=643
Дробовий факторний експеримент
2010-03-04T18:15:44Z
<p>POWER: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}<br />
<br />
http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).<br />
<br />
= Вступ =<br />
<br />
Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.<br />
<br />
=Дробовий факторний експеримент=<br />
<br />
Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.<br />
<br />
=Дробові репліки=<br />
<br />
Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де<br />
*k-кількість експериментів;<br />
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.<br />
<br />
При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. <br />
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. <br />
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).<br />
<br />
<table width="80%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">Кількість факторів&nbsp;</th><br />
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Умовне позначення&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 3 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 4 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 8 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 256 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 9 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 512 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 10 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 1024 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 11 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 2048 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 12 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4096 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 13 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8192 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 14 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16384 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 15 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32768 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень. <br />
<br />
=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=<br />
<br />
Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:<br />
<br />
Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.<br />
<br />
<table width="50%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками<br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_3</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_3</math>&nbsp;</th><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<br />
<tr><br />
<th scope="col"> 2 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 2 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 3 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 3 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 4 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<th scope="col"> 4 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:<br />
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.<br />
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3</math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів: <br />
<br />
<center><math> b_1=b_1+b_{23},b_1=b_1-b_{23} </math></center><br />
<center><math> b_2=b_2+b_{13},b_2=b_2-b_{13} </math></center><br />
<center><math> b_3=b_3+b_{12},b_3=b_3-b_{12} </math></center><br />
У практичних задачах потрійні і більш високого порядку взаємодії значно частіше, ніж подвійні, дорівнюють нулю і тому їх можна відкинути. Для одержання лінійної моделі рекомендують вибирати дробові репліки з можливо більшою розв'язувальною здатністю, тобто репліки, у яких лінійні ефекти змішані з ефектами взаємодії близькими до нуля. При виборі дробової репліки важливо також ураховувати насиченість плану <br />
Піврепліки, в яких основні ефекти змішані з двухфакторним добутком називаються насиченими планами з роздільною здатність III. <br />
При відсутній інформації про ефекти взаємодій двухфакторного добутку експериментатор прагне вибрати репліку з найбільшою роздільною здатністю. Якщо існує якась інформація про ефекти взаємодій, то вона повинна використовуватись при виборі репліки.<br />
Також існують насичені плани з роздільною здатністю 4, репліки в яких всі парні взаємодії змішані між собою. <br />
=Ефективність реплік=<br />
*Ефективність репліки залежить від системи змішування. Репліки, у яких лінійні ефекти змішані з взаємодіями найвищого порядку, є найбільш ефективними, оскільки володіють найбільшою роздільною здатністю.<br />
*Для звільнення лінійних ефектів від взаємодій першого порядку можна використовувати метод «перевалу». Сенс методу в додаванні нової репліки, всі знаки якої протилежні початковій репліці.<br />
*Із зростанням числа факторів швидко збільшується число реплік різного дробу. Ці репліки характеризуються узагальнюючими визначальними контрастами, які виходять перемножуванням по два, по три і так далі початкових визначальних контрастів.<br />
<br />
<br />
=Список використаних джерел=<br />
<br />
#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.<br />
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.<br />
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);<br />
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);<br />
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}<br />
<br />
[[Категорія:ПЕ-2010]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
[[Категорія:Планування експеримента]]</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&diff=642
Дробовий факторний експеримент
2010-03-04T17:57:05Z
<p>POWER: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}<br />
<br />
http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).<br />
<br />
= Вступ =<br />
<br />
Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.<br />
<br />
=Дробовий факторний експеримент=<br />
<br />
Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.<br />
<br />
=Дробові репліки=<br />
<br />
Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де<br />
*k-кількість експериментів;<br />
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.<br />
<br />
При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. <br />
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. <br />
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).<br />
<br />
<table width="80%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">Кількість факторів&nbsp;</th><br />
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Умовне позначення&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 3 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 4 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 8 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 256 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 9 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 512 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 10 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 1024 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 11 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 2048 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 12 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4096 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 13 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8192 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 14 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16384 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 15 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32768 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень. <br />
<br />
=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=<br />
<br />
Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:<br />
<br />
Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.<br />
<br />
<table width="50%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками<br />
</caption><br />
<tr><br />
<br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:<br />
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.<br />
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3</math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів: <br />
<br />
<center><math> b_1=b_1+b_{23},b_1=b_1-b_{23} </math></center><br />
<center><math> b_2=b_2+b_{13},b_2=b_2-b_{13} </math></center><br />
<center><math> b_3=b_3+b_{12},b_3=b_3-b_{12} </math></center><br />
У практичних задачах потрійні і більш високого порядку взаємодії значно частіше, ніж подвійні, дорівнюють нулю і тому їх можна відкинути. Для одержання лінійної моделі рекомендують вибирати дробові репліки з можливо більшою розв'язувальною здатністю, тобто репліки, у яких лінійні ефекти змішані з ефектами взаємодії близькими до нуля. При виборі дробової репліки важливо також ураховувати насиченість плану <br />
Піврепліки, в яких основні ефекти змішані з двухфакторним добутком називаються насиченими планами з роздільною здатність III. <br />
При відсутній інформації про ефекти взаємодій двухфакторного добутку експериментатор прагне вибрати репліку з найбільшою роздільною здатністю. Якщо існує якась інформація про ефекти взаємодій, то вона повинна використовуватись при виборі репліки.<br />
Також існують насичені плани з роздільною здатністю 4, репліки в яких всі парні взаємодії змішані між собою. <br />
=Ефективність реплік=<br />
*Ефективність репліки залежить від системи змішування. Репліки, у яких лінійні ефекти змішані з взаємодіями найвищого порядку, є найбільш ефективними, оскільки володіють найбільшою роздільною здатністю.<br />
*Для звільнення лінійних ефектів від взаємодій першого порядку можна використовувати метод «перевалу». Сенс методу в додаванні нової репліки, всі знаки якої протилежні початковій репліці.<br />
*Із зростанням числа факторів швидко збільшується число реплік різного дробу. Ці репліки характеризуються узагальнюючими визначальними контрастами, які виходять перемножуванням по два, по три і так далі початкових визначальних контрастів.<br />
<br />
<br />
=Список використаних джерел=<br />
<br />
#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.<br />
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.<br />
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);<br />
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);<br />
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}<br />
<br />
[[Категорія:ПЕ-2010]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
[[Категорія:Планування експеримента]]</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&diff=641
Дробовий факторний експеримент
2010-03-04T17:51:33Z
<p>POWER: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}<br />
<br />
http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).<br />
<br />
= Вступ =<br />
<br />
Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.<br />
<br />
=Дробовий факторний експеримент=<br />
<br />
Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.<br />
<br />
=Дробові репліки=<br />
<br />
Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де<br />
*k-кількість експериментів;<br />
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.<br />
<br />
При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. <br />
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. <br />
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).<br />
<br />
<table width="80%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">Кількість факторів&nbsp;</th><br />
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Умовне позначення&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 3 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 4 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 8 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 256 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 9 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 512 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 10 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 1024 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 11 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 2048 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 12 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4096 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 13 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8192 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 14 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16384 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 15 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32768 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень. <br />
<br />
=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=<br />
<br />
Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:<br />
<br />
Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.<br />
<br />
<table width="50%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками<br />
</caption><br />
<tr><br />
<br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:<br />
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.<br />
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3</math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів: <br />
<br />
<center><math> b_1=b_1+b_{23}, b_1=b_1-b_{23} </math></center><br />
<center><math> b_2=b_2+b_{13}, b_2=b_2-b_{13} </math></center><br />
<center><math> b_3=b_3+b_{12}, b_3=b_3-b_{12} </math></center><br />
<br />
<br />
<br />
=Список використаних джерел=<br />
<br />
#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.<br />
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.<br />
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);<br />
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);<br />
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}<br />
<br />
[[Категорія:ПЕ-2010]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
[[Категорія:Планування експеримента]]</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&diff=640
Дробовий факторний експеримент
2010-03-04T17:50:31Z
<p>POWER: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}<br />
<br />
http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).<br />
<br />
= Вступ =<br />
<br />
Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.<br />
<br />
=Дробовий факторний експеримент=<br />
<br />
Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.<br />
<br />
=Дробові репліки=<br />
<br />
Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де<br />
*k-кількість експериментів;<br />
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.<br />
<br />
При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. <br />
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. <br />
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).<br />
<br />
<table width="80%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">Кількість факторів&nbsp;</th><br />
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Умовне позначення&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 3 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 4 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 8 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 256 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 9 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 512 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 10 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 1024 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 11 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 2048 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 12 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4096 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 13 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8192 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 14 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16384 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 15 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32768 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень. <br />
<br />
=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=<br />
<br />
Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:<br />
<br />
Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.<br />
<br />
<table width="50%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками<br />
</caption><br />
<tr><br />
<br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:<br />
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.<br />
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3</math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів: <br />
<br />
<center><math> b_1=b_1+b_23 b_1=b_1-b_23 </math></center><br />
<center><math> b_2=b_2+b_13 b_2=b_2-b_13 </math></center><br />
<center><math> b_3=b_3+b_12 b_3=b_3-b_12 </math></center><br />
<br />
<br />
<br />
=Список використаних джерел=<br />
<br />
#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.<br />
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.<br />
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);<br />
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);<br />
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}<br />
<br />
[[Категорія:ПЕ-2010]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
[[Категорія:Планування експеримента]]</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&diff=639
Дробовий факторний експеримент
2010-03-04T17:49:18Z
<p>POWER: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}<br />
<br />
http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).<br />
<br />
= Вступ =<br />
<br />
Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.<br />
<br />
=Дробовий факторний експеримент=<br />
<br />
Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.<br />
<br />
=Дробові репліки=<br />
<br />
Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де<br />
*k-кількість експериментів;<br />
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.<br />
<br />
При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. <br />
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. <br />
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).<br />
<br />
<table width="80%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">Кількість факторів&nbsp;</th><br />
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Умовне позначення&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 3 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 4 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 8 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 256 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 9 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 512 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 10 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 1024 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 11 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 2048 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 12 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4096 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 13 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8192 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 14 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16384 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 15 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32768 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень. <br />
<br />
=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=<br />
<br />
Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:<br />
<br />
Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.<br />
<br />
<table width="50%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками<br />
</caption><br />
<tr><br />
<br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:<br />
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.<br />
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3</math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів: <br />
<math> b_1=b_1+b_23 b_1=b_1-b_23 </math><br />
<math> b_2=b_2+b_13 b_2=b_2-b_13 </math><br />
<math> b_3=b_3+b_12 b_3=b_3-b_12 </math><br />
<br />
<br />
<br />
=Список використаних джерел=<br />
<br />
#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.<br />
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.<br />
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);<br />
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);<br />
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}<br />
<br />
[[Категорія:ПЕ-2010]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
[[Категорія:Планування експеримента]]</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&diff=638
Дробовий факторний експеримент
2010-03-04T17:46:22Z
<p>POWER: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}<br />
<br />
http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).<br />
<br />
= Вступ =<br />
<br />
Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.<br />
<br />
=Дробовий факторний експеримент=<br />
<br />
Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.<br />
<br />
=Дробові репліки=<br />
<br />
Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де<br />
*k-кількість експериментів;<br />
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.<br />
<br />
При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. <br />
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. <br />
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).<br />
<br />
<table width="80%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">Кількість факторів&nbsp;</th><br />
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Умовне позначення&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 3 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 4 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 8 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 256 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 9 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 512 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 10 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 1024 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 11 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 2048 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 12 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4096 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 13 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8192 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 14 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16384 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 15 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32768 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень. <br />
<br />
=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=<br />
<br />
Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:<br />
<br />
Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.<br />
<br />
<table width="50%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками<br />
</caption><br />
<tr><br />
<br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:<br />
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.<br />
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3</math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів:<br />
<br />
=Список використаних джерел=<br />
<br />
#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.<br />
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.<br />
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);<br />
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);<br />
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}<br />
<br />
[[Категорія:ПЕ-2010]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
[[Категорія:Планування експеримента]]</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&diff=637
Дробовий факторний експеримент
2010-03-04T17:45:36Z
<p>POWER: </p>
<hr />
<div>{{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}<br />
<br />
http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).<br />
<br />
= Вступ =<br />
<br />
Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.<br />
<br />
=Дробовий факторний експеримент=<br />
<br />
Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.<br />
<br />
=Дробові репліки=<br />
<br />
Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де<br />
*k-кількість експериментів;<br />
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.<br />
<br />
При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. <br />
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. <br />
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).<br />
<br />
<table width="80%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">Кількість факторів&nbsp;</th><br />
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Умовне позначення&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 3 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 4 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 8 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 256 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 9 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 512 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 10 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 1024 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 11 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 2048 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 12 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4096 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 13 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8192 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 14 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16384 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 15 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32768 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень. <br />
<br />
=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=<br />
<br />
Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:<br />
<br />
Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.<br />
<br />
<table width="50%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками<br />
</caption><br />
<tr><br />
<br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:<br />
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.<br />
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3/math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів:<br />
<br />
=Список використаних джерел=<br />
<br />
#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.<br />
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.<br />
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);<br />
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);<br />
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}<br />
<br />
[[Категорія:ПЕ-2010]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
[[Категорія:Планування експеримента]]</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%94%D1%80%D0%BE%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D0%B9_%D1%84%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82&diff=636
Дробовий факторний експеримент
2010-03-04T17:01:25Z
<p>POWER: Створена сторінка: {{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}} http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповід…</p>
<hr />
<div>{{Завдання|POWER|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}<br />
<br />
http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Презентація доповіді (університетський репозиторій).<br />
<br />
= Вступ =<br />
<br />
Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.<br />
<br />
=Дробовий факторний експеримент=<br />
<br />
Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.<br />
<br />
<table width="40%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">№ Експеримету&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_0</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_1</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x_2</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math>&nbsp;</th><br />
<th scope="col"><math>y</math>&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="col"> 1 &nbsp;</th><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">2&nbsp;</th><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row">3&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> - &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_3</math> &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center">4&nbsp;</th><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> + &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math>y_4</math> &nbsp;</td> <br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.<br />
<br />
=Дробові репліки=<br />
<br />
Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де<br />
*k-кількість експериментів;<br />
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.<br />
<br />
При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки. <br />
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії. <br />
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).<br />
<br />
<table width="80%" border="1" align="center"><br />
<caption><br />
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів <br />
</caption><br />
<tr><br />
<th scope="col">Кількість факторів&nbsp;</th><br />
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Умовне позначення&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки&nbsp;</th><br />
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента&nbsp;</th><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 3 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 4 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 5 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 6 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 64 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 7 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 128 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 8 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 256 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 9 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 512 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 10 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 1024 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 11 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 2048 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 12 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 4096 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 13 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 8192 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 14 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16384 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<tr><br />
<th scope="row" align="center"> 15 &nbsp;</th><br />
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math> &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 16 &nbsp;</td><br />
<td align="center"> 32768 &nbsp;</td><br />
</tr><br />
<br />
</table><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
=Список використаних джерел=<br />
<br />
#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.<br />
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.<br />
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);<br />
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);<br />
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
{{Завдання:Виступ|Hotcoffe|27 січня 2010|Рівні факторів. Нульовий рівень. Інтервал варіювання фактору.}}<br />
<br />
[[Категорія:ПЕ-2010]]<br />
[[Категорія:Виступ на семінарі]]<br />
[[Категорія:Планування експеримента]]<br />
[[Категорія:Чорний ящик]]<br />
[[Категорія:Багатозначні терміни]]<br />
[[Файл:Example.jpg]]</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=2009-2010%D1%80%D1%80_-_%D0%86%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%B2%D1%96%D0%B4%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D1%83_%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%85_%D0%B7_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%83_%22%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83_Design_Of_Experiment_(DOE)%22&diff=635
2009-2010рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"
2010-03-04T15:32:13Z
<p>POWER: </p>
<hr />
<div># (20.01.2010р.) [[Користувач:Bojkoio|ст.гр.СНм-51 Бойко Ігор]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Бойко_Ігор:Чорний ящик|Схема "чорного ящика" в плануванні експерименту. Фактори (входи) і параметри оптимізації (виходи) "чорного ящика"]].<br />
# (27.01.2010р.) [[Користувач:Сарабун П.|ст.гр.СНм-51 Сарабун П.]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Павло_Сарабун:Історія та роль Р.Фішера а планування експерименту]]<br />
# (27.01.2010р.) [[Користувач:Hotcoffe|ст.гр.СНм-51 Олійник Євген]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Євген_Олійник:Фактори експеременту|Рівні факторів. Нульовий рівень. Інтервал варіювання фактору]].<br />
# (28.01.2010р.) [[Користувач:Nata|ст.гр.СНм-51 Трушик Наталя]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Трушик Наталя:|Проведення експерименту. Анкета для збору даних]].<br />
# (17.02.2010р.) [[Користувач:walter|ст.гр.СНм-51 Готович Володимир]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Готович Володимир:|Оптимізаційні методи планування експериментів. Крокова процедура, метод Гаусса-Зейделя, метод крутого сходження.]].<br />
# (17.02.2010р.) [[Користувач:mars|ст.гр.СНм-51 Залецький Михайло]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Залецький Михайло:|Регресійні моделі при повному 2 дробовому факторному експерименті. Визначення коефіцієнтів регресії.]].<br />
# (21.02.2010р.) [[Користувач:yulik|ст.гр.СНм-51 Белиця Юля]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Белиця Юля:|Види параметрів оптимізації. Вимоги до факторів і параметрів оптимізації..]].<br />
# (30.02.2010р.) [[Користувач:Hotcoffe|ст.гр.СНм-51 Олійник Євген]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Євген_Олійник:Методи прогнозування|Методи прогнозування]].<br />
# (26.02.2010р.) [[Користувач:Syrotiuk|ст.гр.СНм-52 Сиротюк Михайло]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Сиротюк Михайло:Планування експерименту при дисперсійному аналізі.|Планування експерименту при дисперсійному аналізі.Латинські і греко-латинські квадрати. Латинські куби]].<br />
# (27.02.2010р.) [[Користувач:Rosinets|ст.гр.СНм-51 Росинець Наталія]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Росинець Наталія:Попередня обробка експериментальних даних. Критерії відсіювання завідомо помилкових даних.|Попередня обробка експериментальних даних. Критерії відсіювання завідомо помилкових даних.]]. <br />
# (04.03.2010р.) [[Користувач:ulyasi4ka|ст.гр.СНм-51 Чорнописька Юля]]: [[Прогнозування за допомогою нейронних мереж]].<br />
# (04.03.2010р.) [[Користувач:POWER|ст.гр.СНм-51 Вельмик C.В.]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Вельмик Сергій:|Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.]]. <br />
<br />
Дописуйте по аналогії самі свої виступи</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83%D0%B2%D0%B0%D1%87:POWER&diff=634
Користувач:POWER
2010-03-04T15:25:36Z
<p>POWER: Створена сторінка: Вельмик "ThereIsPOWER" Сергій група СНм-51</p>
<hr />
<div>Вельмик "ThereIsPOWER" Сергій<br />
група СНм-51</div>
POWER
https://wiki.tntu.edu.ua/index.php?title=2009-2010%D1%80%D1%80_-_%D0%86%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%B2%D1%96%D0%B4%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%96_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF%D1%83_%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D0%B5%D0%BC%D1%96%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%B0%D1%85_%D0%B7_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%83_%22%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83_Design_Of_Experiment_(DOE)%22&diff=633
2009-2010рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"
2010-03-04T15:24:27Z
<p>POWER: </p>
<hr />
<div># (20.01.2010р.) [[Користувач:Bojkoio|ст.гр.СНм-51 Бойко Ігор]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Бойко_Ігор:Чорний ящик|Схема "чорного ящика" в плануванні експерименту. Фактори (входи) і параметри оптимізації (виходи) "чорного ящика"]].<br />
# (27.01.2010р.) [[Користувач:Сарабун П.|ст.гр.СНм-51 Сарабун П.]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Павло_Сарабун:Історія та роль Р.Фішера а планування експерименту]]<br />
# (27.01.2010р.) [[Користувач:Hotcoffe|ст.гр.СНм-51 Олійник Євген]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Євген_Олійник:Фактори експеременту|Рівні факторів. Нульовий рівень. Інтервал варіювання фактору]].<br />
# (28.01.2010р.) [[Користувач:Nata|ст.гр.СНм-51 Трушик Наталя]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Трушик Наталя:|Проведення експерименту. Анкета для збору даних]].<br />
# (17.02.2010р.) [[Користувач:walter|ст.гр.СНм-51 Готович Володимир]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Готович Володимир:|Оптимізаційні методи планування експериментів. Крокова процедура, метод Гаусса-Зейделя, метод крутого сходження.]].<br />
# (17.02.2010р.) [[Користувач:mars|ст.гр.СНм-51 Залецький Михайло]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Залецький Михайло:|Регресійні моделі при повному 2 дробовому факторному експерименті. Визначення коефіцієнтів регресії.]].<br />
# (21.02.2010р.) [[Користувач:yulik|ст.гр.СНм-51 Белиця Юля]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Белиця Юля:|Види параметрів оптимізації. Вимоги до факторів і параметрів оптимізації..]].<br />
# (30.02.2010р.) [[Користувач:Hotcoffe|ст.гр.СНм-51 Олійник Євген]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Євген_Олійник:Методи прогнозування|Методи прогнозування]].<br />
# (26.02.2010р.) [[Користувач:Syrotiuk|ст.гр.СНм-52 Сиротюк Михайло]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Сиротюк Михайло:Планування експерименту при дисперсійному аналізі.|Планування експерименту при дисперсійному аналізі.Латинські і греко-латинські квадрати. Латинські куби]].<br />
# (27.02.2010р.) [[Користувач:Rosinets|ст.гр.СНм-51 Росинець Наталія]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Росинець Наталія:Попередня обробка експериментальних даних. Критерії відсіювання завідомо помилкових даних.|Попередня обробка експериментальних даних. Критерії відсіювання завідомо помилкових даних.]]. <br />
# (04.03.2010р.) [[Користувач:ulyasi4ka|ст.гр.СНм-51 Чорнописька Юля]]: [[Прогнозування за допомогою нейронних мереж]].<br />
# (26.02.2010р.) [[Користувач:POWER|ст.гр.СНм-51 Вельмик C.В.]]: [[ПЕ2010:Виступ_на_семінарі:Вельмик Сергій:|Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.]]. <br />
<br />
Дописуйте по аналогії самі свої виступи</div>
POWER