Wiki ТНТУ - Внесок користувача [uk]

Пасивний і активний експеримент

2011-09-07T14:42:39Z

Oliverjones:

{{Завдання|Romanio|Назаревич О.Б.| 11 березня 2010}}
{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

=Пасивний і активний експеримент=

Теорія припускає, що експеримент може бути пасивним і активним.
При пасивному експерименті інформація про досліджуваному об'єкті накопичується шляхом пасивного спостереження, тобто інформацію отримують в умовах звичайного функціонування об'єкта. Активний експеримент проводиться з застосуванням штучного впливу на об'єкт за спеціальною програмою.

При пасивному експерименті існують лише фактори у вигляді вхідних контрольованих, але некерованих змінних, і експериментатор знаходиться в положенні пасивного спостерігача. Завдання планування в цьому випадку зводиться до оптимальної організації збору інформації та вирішення таких питань, як вибір кількості та частоти вимірювань, вибір методу обробки результатів вимірювань.

Найчастіше метою пасивного експерименту є побудова математичної моделі об'єкта, яка може розглядатися або як добре, або як погано організований об'єкт. У добре організованому об'єкті мають місце певні процеси, в яких взаємозв'язку вхідних і вихідних параметрів встановлюються у вигляді детермінованих функцій. Тому такі об'єкти називають детермінованими. Погано організовані або дифузні об'єкти являють собою статистичні моделі. Методи дослідження з використанням таких моделей не вимагають детального вивчення механізму процесів і явищ, що протікають в об'єкті.

Прикладом пасивного експерименту може бути аналіз роботи схеми, яка не має входів, тільки виходи, і вплинути на її роботу неможливо. Хорошим прикладом пасивного експерименту з дифузним об'єктом є вимірювання метеорологічних параметрів (температури, швидкості вітру і т.д.) при природних катаклізмів.

Активний експеримент дозволяє швидше й ефективніше вирішувати завдання дослідження, але більш складний, вимагає великих матеріальних витрат і може перешкодити нормальному ходу технологічного процесу. Іноді відсутня можливість проведення активного експерименту (наприклад, при дослідженні явищ природи). Проте, враховуючи переваги активного експерименту, тоді, коли це можливо, перевагу віддають йому.

При активному експерименті фактори повинні бути керованими і незалежними.

Активний експеримент припускає можливість впливу на хід процесу і вибору в кожному досвіді рівнів факторів. При плануванні активного експерименту вирішується завдання раціонального вибору факторів, що істотно впливають на об'єкт дослідження, і визначення відповідного числа проведених дослідів. Збільшення числа включених у розгляд чинників призводить до різкого зростання числа дослідів, зменшення - до істотного збільшення похибки досвіду. Фактор вважається заданим тільки тоді, коли при його виборі вказується його область визначення - сукупність значень, які може приймати даний фактор. В експерименті використовується обмежена частина області визначення, що задається зазвичай у вигляді дискретного безлічі рівнів. Вибрані фактори повинні бути однозначно керованими і операційним, тобто піддаються регулюванню з підтриманням на заданому рівні протягом всього досвіду при дотриманні послідовності необхідних для цього дій. Повинна бути призначена також точність вимірювання факторів у вибраному діапазоні вимірювання.

Сукупності факторів повинні відповідати вимогам сумісності і незалежності. Дотримання першої вимоги означає, що всі комбінації факторів здійсненні і безпечні, друге - можливість встановлення фактору на будь-якому рівні незалежно від рівнів інших факторів.

----
=Перелік використаної літератури=
#http://www.chuvsu.ru/~rte/uits/liter_uits/plan_exp/glav1_2.htm - Пассивный и активный эксперимент. (березень 2010)

----

----

----

[[Категорія:ПЕ-2010]]
[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експеримента]]
[http://editingwritingservices.org/ essay editing]

Планування експерименту при дисперсійному аналізі Латинські і греко-латинські квадрати Латинські куби

2011-09-07T14:42:37Z

Oliverjones:

{{Завдання|Сиротюк Михайло Володимирович|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}

===Планування експерименту при дисперсійному аналізі. Латинські і греко-латинські квадрати. Латинські куби===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/380 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Планування експерименту при дисперсійному аналізі ==
В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин змінюються у зв’язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних), що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.
<br>
Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При вивченні впливу на процес двох факторів число необхідних експериментів N (без повторення дослідів) визначається добутком рівнів факторів, що досліджуються. Якщо число рівнів n однакове, то об’єм експерименту при двофакторному дисперсійному аналізі рівне N=n2. При такій кількості дослідів в експерименті зустрічаються всі можливі комбінації факторів. Такий експеримент називається ''повним факторним експериментом'' (ПФЕ). Експеримент в якому пропущені деякі комбінації рівнів, називається ''подрібнений факторний експеримент'' (ДФЕ) [1].
<br>
В деяких випадках експериментатор свідомо йде на виключення можливих поєднань рівнів факторів, спираючись на міркування економії часу, коштів чи засобів. При двох і більше факторах і необхідності підтримувати кожний з них на кількох рівнях, таке скорочення загального числа дослідів необхідне.
Скорочення перебору рівнів завжди призводить до втрати частини інформації. Тому при ДФЕ важливо так запланувати експеримент, щоб губилась найменш суттєва при даній постановці задачі інформація. Особливо широко використовується ДФЕ, в якому губиться лише інформація про взаємодію факторів. Це дозволяється в тих випадках, коли ефекти взаємодії відсутні чи настільки малі, що їх можна не враховувати.
<br>
Число дослідів можна значно скоротити, якщо скористатись ДФЕ по схемі латинського квадрату, використаного вперше Фішером.

== Латинські квадрати ==

Латинський квадрат n x n – це квадратна таблиця, складена з n елементів (чисел чи букв) таким чином, що кожний елемент повторюється в кожній стрічці і кожному стовпчику тільки один раз. Рядки латинського квадрату відповідають різним рівням першого фактора, а стовпці – другого. Рівні третього (основного) фактору позначають літерами латинського алфавіту, які подають на перетині відповідних рядків і стовпців.
<br>
[[Файл:1.JPEG|1030x300px|border|center|Латинський квадрат 3х3]]
<center>Рис.1 - Латинський квадрат 3х3</center>
<br>
Стандартні чи канонічні латинські квадрати - це такі квадрати, у яких перша стрічка та перший стовпець побудовані в алфавітному
порядку (елементи квадрату – букви) чи в порядку натурального ряду (елементи квадрату – числа) [1]. Однокрокова циклічна перестановка в кінець стрічки – найбільш простий спосіб побудови латинського квадрату.
<br>
Застосовуючи латинські квадрати, зазвичай, виходять з того, що ефекти взаємодії між факторами незначні. Тоді результати ксперименту можна представити у вигляді лінійної моделі.

=== Дисперсійний аналіз латинського квадрату ===
При проведенні дисперсійного аналізу латинського квадрату без повторних дослідів зручно користуватись наступним алгоритмом розрахунку. Для цього визначають:
<br>
1.Суми по стрічках Аі, стовпцях Bj та латинських літерах Cq. Наприклад, для латинського квадрата 3 х 3:
*Сума по стрічках
<center><math>{{A}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}};{{A}_{2}}={{y}_{4}}+{{y}_{5}}+{{y}_{6}};{{A}_{3}}={{y}_{7}}+{{y}_{8}}+{{y}_{9}}</math></center>
*Сума по стовпцях:
<center><math>{{B}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{4}}+{{y}_{7}};{{B}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{5}}+{{y}_{8}};{{B}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{6}}+{{y}_{9}}</math></center>
*Сума по латинським буквам:
<center><math>{{C}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{6}}+{{y}_{8}};{{C}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{4}}+{{y}_{9}};{{C}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{5}}+{{y}_{7}}</math></center>
2.Суму квадратів всіх дослідів:
<center><math>S{{S}_{1}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{y_{ij}^{2}}}</math></center>
3.Суму квадратів сум по стрічках, поділену на число спостережень в стрічці:
<center><math>S{{S}_{2}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{2}}</math></center>
4.Суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число спостережень в стовпці:
<center><math>S{{S}_{3}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{2}}</math></center>
5.Суму квадратів сум по латинських буквах, поділену на число спостережень, що відповідає кожній букві:
<center><math>S{{S}_{4}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{q=1}^{n}{C_{q}^{2}}</math></center>
6.Квадрат загальної суми, поділений на число всіх спостережень (коректуючий член):
<center><math>S{{S}_{5}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{q=1}^{n}{{{C}_{q}}} \right)}^{2}}</math></center>
7.Суму квадратів для стрічки:
<center><math>S{{S}_{A}}=S{{S}_{2}}-S{{S}_{5}}</math></center>
8.Суму квадратів для стовпця:
<center><math>S{{S}_{B}}=S{{S}_{3}}-S{{S}_{5}}</math></center>
9.Суму квадратів для латинської букви:
<center><math>S{{S}_{C}}=S{{S}_{4}}-S{{S}_{5}}</math></center>
10.Загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх спостережень та коректуючим членом
<center><math>S{{S}_{zag}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{5}}</math></center>
11.Залишкову суму квадратів:
<center><math>S{{S}_{zal}}=S{{S}_{zag}}-S{{S}_{}}-S{{S}_{}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{2}}-S{{S}_{3}}-S{{S}_{4}}+2S{{S}_{5}}</math></center>
Залишкова сума квадратів складається з дисперсії, обумовленої помилкою досліду, і дисперсії, обумовленої взаємодією факторів, якщо такі мають місце:
12.Дисперсію <math>s_{A}^{2}</math>:
<center><math>s_{A}^{2}=\frac{S{{S}_{A}}}{n-1}</math></center>
13.Дисперсію <math>s_{B}^{2}</math>:
<center><math>s_{B}^{2}=\frac{S{{S}_{B}}}{n-1}</math></center>
14.Дисперсію <math>s_{C}^{2}</math>:
<center><math>s_{C}^{2}=\frac{S{{S}_{C}}}{n-1}</math></center>
15.Дисперсію <math>s_{pom}^{2}</math>:
<center><math>s_{pom}^{2}=\frac{S{{S}_{zal}}}{(n-1)(n-1)}</math></center>
<br>

== Греко–латинські квадрати ==

Планування за латинським квадратом дозволяє ввести в дослідження три фактора. Для чотирьох факторів хороші властивості має план експерименту по схемі греко-латинського квадрату. Число рівнів для всіх факторів повинно бути однакове.
<br>
[[Файл:2-a.JPEG|700x210px|border|center|Греко-латинський квадрат 3х3]]
<center>Рис.2 - Греко-латинський квадрат 3х3</center>
[[Файл:3.JPEG|1030x300px|border|center|Греко-латинський квадрат 5х5]]
<center>Рис.3 - Греко-латинський квадрат 5х5</center>
<br>
В греко-латинських квадратах є <math>{{n}^{2}}</math> різких комбінацій рівнів факторів замість <math>{{n}^{4}}</math> комбінацій повного чотирифакторного експерименту. Тому греко-латинський квадрат являє собою <math>1/{{n}^{2}}</math> репліку від ПФЕ.
Дисперсійний аналіз греко-латинського квадрату проводять так само, як і аналіз звичайного латинського квадрата, з врахуванням четвертого фактора D.
Використання греко-латинських та гіпер-греко-латинських квадратів в якості планів експерименту одночасно дає економію в числі дослідів та приводить до спрощення обчислень.

== Латинські куби ==

Повному факторному експерименту для трьох факторів <math>{{n}^{3}}</math> (n>2) відповідає кубічне розміщення з n елементів, що містить n3 позицій. Трьом ребрам кубу відповідають фактори А, В, С з рівнями 0, 1, 2, …, n-1. Коли ввести в план четвертий фактор D і рівні цього фактору (0, 1, 2, …, n-1) розмістити у відповідних до дослідів точках кубічного розміщення, то одержимо латинський куб розміру n першого порядку [1].
Планування експерименту по латинському кубу першого порядку дозволяє включити в розгляд чотири фактори (A, B, C i D). Відмінність від греко-латинського квадрату, котрий також дає можливість вивчити вплив чотирьох факторів є в тому, що в латинському кубі три фактори (A, B, C) рахуються головними і один фактор (D) складає елімінуюче групування, а в греко-латинському квадраті головними рахуються два фактори А та В, а C i D складають подвійне елімінуюче групування. Число дослідів в кубі в n раз більше, ніж в греко-латинському квадраті.
Два латинських куба розміром n першого порядку ортогональні, коли при накладанні їх один на одного кожний елемент одного кубу зустрічається з кожним елементом другого кубу n разів. Два таких ортогональних куба, накладених один на одного, представляють греко-латинський куб розміру n першого порядку. Планування по схемі греко-латинського кубу дозволяє ввести в експеримент п’ятий фактор.

=Перелік використаних джерел=

# Дисперсійний аналіз // режим доступу: http://lp.edu.ua/fileadmin/ICCT/top/pub/Chaykivskyy/mm/da.pdf (станом на 14.02.10)
# В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.
[http://editingwritingservices.org/hesitating.php creative writing services]

Попередня обробка експериментальних даних

2011-09-07T14:42:35Z

Oliverjones:

{{Завдання|Росинець Наталія Андріївна|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}

===Попередня обробка експериментальних даних. Критерії відсіювання завідомо помилкових даних===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/382 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Зміст та завдання попередньої обробки експериментальних даних ==
Результати вимірювань – це випадкові величини, тобто в ході експерименту інформація спотворена перешкодами, і за одних і тих же умов можна отримати різні дані.
<br>
Зміст попередньої обробки даних полягає у відсіюванні грубих похибок і оцінці достовірності результатів вимірювань. Попередня обробка результатів вимірювань необхідна для того, щоб надалі, при побудові функцій відгуку, з найбільшою ефективністю використовувати статистичні методи і коректно аналізувати отримані результати.
<br>
Завданням попередньої обробки даних є перевірка відповідності результатів вимірювання нормальному закону і визначення параметрів цього розподілу. Якщо відгук суперечить нормальному розподілу, то слід визначити, якому закону розподілу підлягають дослідні дані або, якщо це можливо, перетворити досліджуваний розподіл до нормального вигляду.

== Методи обробки експериментальних даних ==

=== Метод найменших квадратів ===
Для обробки експериментальних даних найчастіше на практиці використовують метод найменших квадратів - один з методів теорії помилок, що використовується для оцінки невідомих величин за наслідками вимірювань, що містить випадкові помилки (спричиняються різного роду випадковими причинами, які діють при кожному з окремих вимірювань непередбаченим чином).
<br>
Метод найменших квадратів запропонував К. Гаус (1794—95) і А. Лежандром (1805—06). Строге математичне обґрунтовування методу було дано А. А. Марковим (старшим) і А. Н. Колмогоровим. Нині цей метод є одним з найважливіших розділів математичної статистики і широко використовується для статистичних висновків в різних областях науки і техніки.
<br>
Суть методу найменших квадратів (по Гаусу) полягає в припущені, що «збиток» від заміни точного (невідомого) значення фізичної величини m її наближеним значенням X, обчисленим за наслідками спостережень, пропорційний квадрату помилки:<math>{{(X-m)}^{2}}</math>.
<br>
Оптимальною оцінкою визнають величину X , позбавлену систематичної помилки, для якої середнє значення «збитку» мінімальне.
Задачу пошуку оптимальної оцінки звужують і як Х вибирають лінійну функцію від результатів спостережень, позбавлену систематичної помилки, і таку, для якої середнє значення «збитку» мінімальне в класі всіх лінійних функцій. Якщо випадкові помилки спостережень мають нормальний розподіл і оцінювана величина m залежить від середніх значень результатів спостережень лінійно, то рішення цієї задачі одночасно буде і рішенням загальної задачі. Оцінка X, обчислена згідно методу найменших квадратів — найвірогідніше значення невідомого параметра m.
<br>
Метод найменших квадратів дає найбільш бажаний результат тоді, коли випадкова помилка має порівняно невелику величину. В іншому разі необхідним є проведення попередньої обробки експериментальних даних, яка полягає в наступному: вихідні записи випадкових величин згладжуються певним способом, що дає змогу виявити основну тенденцію у їхній зміні.

=== Метод виключення перешкод ===
Метод виключення перешкод полягає у проведенні на око середньої лінії, яка враховує тільки основні коливання змінної. Інформація, що надалі буде зніматись із цієї середньої лінії, при математичній обробці даних буде використовуватись як вихідна.
<br>
Значення випадкової величини, що не збігаються із середньою лінією, прямо не впливатимуть на подальші висновки.

=== Метод оновлюваної середньої ===
Метод оновлюваної середньої полягає у використанні рекурентної формули для обчислення середнього арифметичного . Якщо випадкова величина х надходить у вигляді дискретних вимірів і для (N - 1) - го виміру обчислено середнє значення , то поява нового виміру змінює попереднє середнє значення на величину
<center><math>\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
<br>
При згладжуванні цим методом у кожній точці на часовій осі виміряне значення замінюється на середнє, розраховане на даний момент часу.
<br>
Послідовність обчислених за рекурентною формулою середніх значень є позбавленим від перешкод рядом вимірів змінної х, який використовується при подальшій обробці.
<br>
<center>'''Приклад'''</center>
----
<br>
Розглянемо згладжування методом оновлюваної середньої наступного ряду вимірювань величини х:
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
Перше значення збігається з х1. Друге значення обчислюється за рекурентною формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}={{x}_{N-1}}+\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
Отже:<math>{{\bar{x}}_{2}}=3.4+\frac{1}{2}(3.1-3.4)=3.25</math>;<math>{{\bar{x}}_{3}}=3.25+\frac{1}{3}(5.4-3.25)=3.96</math>;
<math>{{\bar{x}}_{4}}=3.65</math>;<math>{{\bar{x}}_{5}}=3.50</math>;<math>{{\bar{x}}_{6}}=3.46</math>;<math>{{\bar{x}}_{7}}=3.35</math>;<math>{{\bar{x}}_{8}}=3.47</math>;<math>{{\bar{x}}_{9}}=3.44</math>;<math>{{\bar{x}}_{10}}=3.30</math>.
<br>
Результати згладжування експериментальних даних зображено на рисунку:
<br>
[[Файл:n-1.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування експериментальних даних]]
<br>

=== Метод ковзної середньої ===
Метод ковзної середньої полягає в послідовному усередненні на деякому інтервалі <math>{{\tau }_{y}}</math> значень вимірюваної величини х. Рухаючи <math>{{\tau }_{y}}</math> уздовж осі часу для всіх точок <math>{{\tau }_{i}}</math>, що попали в нього, відповідні значення <math>{{x}_{i}}</math> замінимо середніми значеннями; віднесемо ці значення до середини відповідного інтервалу.
Операція згладжування виконується за формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
де і – номер інтервалу; (l+1) – число вимірювань у і-тому інтервалі; <math>(i+\frac{l}{2})</math> - номер замінюваного вимірювання.
<br>
Якщо попередня оцінка виконана невдало і після згладжування залишаються перешкоди, утворені дані знову можна піддати усередненню і робити це багаторазово, до бажаного результату.
<br>
<center>'''Приклад'''</center>
----
<br>
Для ряду вимірювань
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
обчислимо згладжені значення на інтервалі l+1=3,використовуючи формулу:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
Отже, <math>{{\bar{x}}_{1+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{2}}=\frac{1}{3}(3.4+3.1+5.4)=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{2+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{3}}=\frac{1}{3}(3.1+5.4+2.7)=3.73</math>; <math>{{\bar{x}}_{4}}=3.66</math>; <math>{{\bar{x}}_{5}}=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{6}}=2.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{7}}=3.43</math>; <math>{{\bar{x}}_{8}}=3.40</math>; <math>{{\bar{x}}_{9}}=3.16</math>
<br>
На рисунку наведено результат згладжування:
<br>
[[Файл:n-2.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
<br>
Іноді при згладжуванні заокруглюють наближення, використовуючи середні значення для не перекриваючих один одного інтервалів. Для цього обчислюють середнє значення за трьома першими точками, приписують результат середині інтервалу, а для наступного обчислення середньої використовують 4-ту, 5-ту і 6-ту точки і т. д.
<br>
[[Файл:n-3.JPEG|640x170px|border|center|Заокруглення наближення при зглажуванні]]
<br>
В обох випадках частина початкової і кінцевої інформації втрачається.

=== Метод експоненційного згладжування ===
Цей метод має найширші можливості. Тут використовують наступні формули:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}=\alpha \cdot {{x}_{N}}+(1-\alpha ){{\bar{x}}_{N-1}}</math>або<math>{{\bar{x}}_{N}}={{\bar{x}}_{N-1}}+\alpha \cdot ({{x}_{N}}-{{\bar{x}}_{N-1}})</math></center>
<br>
де <math>\alpha </math> - параметр згладжування, який вибирається в діапазоні 0..1. Тут обчислювана середня заміняє відповідне значення вимірюваної змінної.
<br>
Від величини <math>\alpha </math> залежать згладжуючи властивості методу. При різних <math>\alpha </math> можна добувати з вихідної інформації високочастотні або низькочастотні складові. Таким чином, з’являється можливість боротися з низько – і високочастотними шумами, тобто зі швидко – і повільно змінними у часі перешкодами.
<br>
При малих , близьких до 0 <math>\alpha </math>, сукупність обчислених середніх відобразить низькочастотні зміни вимірюваної змінної, позбавивши їх швидкозмінних перешкод. У цьому випадку говорять про ''інерційне згладжування'', при якому обчислювана середня мало залежить від останнього вимірювання і значною мірою від середньої, утвореної на попередньому кроці.
<br>
Якщо обрана величина <math>\alpha </math> - близька до 1 (наприклад, становить 0,6), то згладжування буде мало інерційним, значення ближчими до вимірюваних значень х, тобто високі частоти зберігатимуться:
<br>
[[Файл:n-4.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
<br>

== Критерії відсіювання завідомо помилкових даних ==

Дані, які відповідають умовам, що змінилися, називають грубими помилками або значеннями, що різко виділяються (аномальними).
У разі відсіву грубих помилок формулюється нульова гіпотеза:
<math>{{H}_{0}}</math>: "Серед результатів спостережень (вибіркових, дослідних даних) немає значень, що різко виділяються (аномальних)".
<br>
Альтернативною гіпотезою може бути:
або <math>H_{1}^{(1)}</math>: "Серед результатів спостережень є тільки одна груба помилка"
або <math>H_{1}^{(2)}</math>: "Серед результатів спостережень є дві або більш грубих помилок".
Найпоширенішими і теоретично обґрунтованими в цьому випадку є
*критерій Н.В. Смірнова (використовується при <math>H_{1}^{(1)}</math>)
*критерій Діксона (застосовується як при <math>H_{1}^{(1)}</math> так і при <math>H_{1}^{(2)}</math>)
<br>

=== Критерій Н. В. Смірнова ===

Якщо відомо, що є тільки одне аномальне значення (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>), то воно буде крайнім членом варіаційного ряду. Тому перевіряти вибірку на наявність однієї грубої помилки природно за допомогою статистики (якщо сумнів викликає перший член варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}=\min {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{1}}=\frac{\bar{x}-{{x}_{1}}}{{{s}_{x}}}</math></center>
<br>
або якщо сумніви викликає максимальний член варіаційного ряду <math>{{x}_{n}}=\max {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{n}}=\frac{{{x}_{n}}-\bar{x}}{{{s}_{x}}}</math></center>
<br>
Цей критерій вперше був запропонований Н.В. Смірновим. Він досліджував розподіл цих статистик і склав таблиці процентних точок
<math>{{u}_{\alpha ,n}}</math>. При вибраному рівні значущості критична область для критерію Н.В. Смірнова будується таким чином:
<center><math>{{u}_{1}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math> або <math>{{u}_{n}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math></center>
де <math>{{u}_{\alpha ,n}}</math> – це табличні значення
<br>
У випадку якщо виконується остання умова (статистика потрапляє в критичну область), то нульова гіпотеза відхиляється, тобто викид х1 або хn не випадковий і не характерний для даної сукупності даних, а визначається умовами, що змінилися або грубими помилками при проведенні дослідів.
<br>
В цьому випадку значення або виключають з розгляду, а знайдені раніше оцінки піддаються коректуванню з урахуванням відкинутого результату.

=== Критерій Діксона ===

В критерії Діксона застосовується статистика:
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найбільше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-i}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{j+1}}}</math></center>
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найменше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{1+i}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{n-j}}-{{x}_{1}}}</math></center>
<br>
Де <math>{{x}_{n}},{{x}_{n-i}},{{x}_{j+1}}</math> – члени варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le {{x}_{3}}...\le {{x}_{i}}...\le {{x}_{n}}</math>
<br>
Діксоном були отримані розподіли для статистик <math>{{r}_{10}},{{r}_{11}},{{r}_{12}},{{r}_{20}},{{r}_{21}},{{r}_{22}}</math> при об’ємі вибірки 3 <=n<=30.
<br>
Наприклад, статистика
<center><math>{{r}_{10}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{1}}}</math></center>
<br>
використовується для перевірки максимального або мінімального члена варіаційного ряду (одна груба помилка, альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>) при 3 <= n <= 7.
Якщо при тому ж об'ємі вибірки передбачається наявність двох і більше значень, що різко виділяються (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(2)}</math>), то використовується статистика <math>{{r}_{20}}</math>.
<br>
Статистики критерію Діксона, що використовуються при інших об'ємах вибірки, приведені в таблиці:
<br>
[[Файл:n-5.JPEG|640x170px|border|center|Статистики критерію Діксона]]
<br>

=Перелік використаних джерел=

# Большая Советская Энциклопедия // режим доступу: http://bse.sci-lib.com/article086042.html (станом на 13.02.10)
# Н. А. Спирин, В. В. Лавров. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента. – Екатеринбург: 2004, - 257 с.
# В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.
[http://custom-essay.ws/index.php essay papers]

Дисперсійний аналіз

2011-09-07T14:42:33Z

Oliverjones:

{{Завдання|Pimchikoff|Назаревич О.Б.|4 березня 2010}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/414 Презентація доповіді (університетський репозиторій)

=Загальні відомості про дисперсійний аналіз=

Дисперсійний аналіз був створений спочатку для статистичної обробки агрономічних дослідів. В наш час його також використовують в економічних, технічних та соціальних експериментах.

Сутність цього аналізу полягає в тому, що загальну дисперсію досліджуваної ознаки розділяють на окремі компоненти, які обумовлені впливом певних конкретних чинників. Істотність їх впливу на цю ознаку здійснюється методом дисперсійного аналізу. Відповідно до дисперсійного аналізу будь-який його результат можна подати у вигляді суми певної кількості компонент. Так, наприклад, якщо досліджується вплив певного чинника на результат експерименту, то модель, що описує структуру останнього, можна подати так:

<center><math>{{x}_{ij}}=\overline{x}+{{\alpha }_{j}}+{{\varepsilon }_{ij}}</math></center>

де <math>{{x}_{ij}}</math> — значення ознаки X, одержане при ''i''-му експерименті на ''j''-му рівні фактора.

Під рівнем фактора розуміють певну його міру.
Наприклад, якщо фактором є добрива, які вносяться в землю з метою збільшення врожайності сільськогосподарської культури, то рівнем фактора в цьому разі є кількість добрива, що вноситься в грунт;

<math>\overline{x}</math> — загальна середня величина ознаки X;

<math>{{\alpha }_{j}}</math> — ефект впливу фактора на значення ознаки X на ''j''-му рівні;

<math>{{\varepsilon }_{ij}}</math> — випадкова компонента, що впливає на значення ознаки X в ''i''-му експерименті на ''j''-му рівні.

При цьому <math>M({{\varepsilon }_{ij}})=0</math> і <math>{{\varepsilon }_{\text{ij}}}</math>, як випадкові величини мають закон розподілу ймовірностей <math>N\left( 0;{{\sigma }^{2}} \right)</math> і між собою незалежні <math>({{K}_{ij}}=0\text{ })</math>.

Складнішою моделлю аналізу є вивчення впливу на результати експерименту кількох факторів. Зокрема при аналізі впливу двох факторів структура моделі набуває такого вигляду:

<center><math>{{x}_{ijk}}=\overline{x}+{{\alpha }_{i}}+{{\beta }_{j}}+{{\gamma }_{ij}}+{{\varepsilon }_{ijk}}</math></center>

де <math>{{x}_{i}}_{jk}</math> – значення ознаки Х в ''i''-му експерименті на ''j''-му рівні впливу фактора ''A'' і на ''k''-му рівні впливу фактора ''В''; <math>\overline{x}</math> — загальна середня величина ознаки X; <math>{{\alpha }_{i}}</math> — ефект впливу фактора ''А'' на ''i''-му рівні, <math>{{\beta }_{j}}</math> — ефект впливу фактора ''В'' на ''j''-му рівні; <math>{{\gamma }_{ij}}</math> — ефект одночасного впливу факторів ''A'' і ''В''; <math>{{\varepsilon }_{ijk}}</math> — випадкова компонента.
У разі проведення дисперсійного аналізу досліджуваний масив даних, одержаних під час експерименту, поділяють на певні групи, які різняться дією на результати експерименту певних рівнів факторів.

Попередні методи статистичного аналізу даних використовують для порівняння двох об’єктів. Але на практиці часто виникають завдання, що стосуються групи об’єктів (наборів спостережуваних даних). Одним з методів для таких завдань є дисперсійний аналіз – статистичний метод виявлення на досліджувану випадкову величину (параметр) одночасної дії одного або декількох факторів. Дія деякого фактора на складну систему спричинює мінливість його властивостей. Фактор може бути відомий або невідомий, природного або штучного походження, як от: умови експерименту, методика вимірювань і опрацювання тощо.

За кількістю оцінюваних факторів дисперсійний аналіз поділяють на одно-, дво- та багатофакторний.
Кожен фактор може бути дискретною чи неперервною випадковою змінною, яку розділяють на декілька сталих рівнів (градацій, інтервалів). Якщо кількість вимірювань на всіх рівнях кожного з факторів однакова, то дисперсійний аналіз називають рівномірним, інакше – нерівномірним.

В основі дисперсійного аналізу є такий принцип (факт з математичної статистики): якщо на випадкову величину діють взаємно незалежні фактори ''A'', ''B'', то загальна дисперсія дорівнює сумі дисперсій, зумовлених дією окремо кожного з факторів:

<center><math>{{\sigma }^{2}}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+...</math></center>

Цей метод ґрунтується на розділенні загальної дисперсії <math>\sigma _{T}^{2}</math> на складові, що відповідають впливу різних джерел мінливості (дисперсія <math>\sigma _{R}^{2}</math>, зумовлена дією факторів, і залишкова дисперсія <math>\sigma _{D}^{2}</math>, <math>\sigma _{T}^{2}=\sigma _{R}^{2}+\sigma _{D}^{2}</math>), а застосовувані критерії дають змогу одночасно вивчати відмінності як у середніх значеннях, так і в дисперсіях.

=Однофакторний дисперсійний аналіз=

Для простоти розглянемо спочатку рівномірний дисперсійний аналіз (одну з можливих моделей), а потім наведемо необхідні модифікації для виконання нерівномірного аналізу.

Результати вимірювань запишемо у вигляді матриці з ''n'' рядків та ''p'' стовпців:

<center><math>Y=\left[ \begin{matrix}
{{y}_{11}} & ... & {{y}_{1p}} \\
... & {{y}_{ij}} & ... \\
{{y}_{n1}} & ... & {{y}_{np}} \\
\end{matrix} \right]</math></center>

Кожен стовпець (градацію фактора) треба розглядати як вибірку нормально розподілених випадкових величин <math>{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},...,{{\xi }_{p}}</math> з параметрами <math>M({{\xi }_{j}})={{\mu }_{j}}</math>, <math>D({{\xi }_{j}})={{\sigma }^{2}}</math> для всіх ''j=1,…,p'' (дисперсії однакові).

Отже, для кожної градації фактора (стовпця таблиці даних) маємо фіксоване середнє значення, що є сталим у межах експерименту.
Гіпотезу для перевірки сформулюємо так:

<center><math>{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}}={{\mu }_{2}}=...={{\mu }_{p}}=\mu </math></center>

Отже, дисперсія випадкової величини <math>{{y}_{ij}}</math>, зумовлена дією фактора на всіх рівнях, <math>\sigma _{R}^{2}=0</math>,
і вся мінливість буде спричинена неврахованими факторами:

<center><math>\sigma _{T}^{2}=\sigma _{D}^{2}</math> або <math>D({{y}_{ij}})=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{D}^{2}</math></center>

=Схема обчислень для однофакторного дисперсійного аналізу=

У математичній статистиці розроблено формальну процедуру дисперсійного аналізу (ANOVA, ANalysis Of VAriance).
Схема перевірки нульової гіпотези така.

'''А.''' Обчислюємо генеральне середнє <math>\bar{y}</math> і вибіркові середні <math>{{\bar{y}}_{i}}</math>:

<center><math>\bar{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=i}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{p}{{{y}_{ij}},N=np}}</math></center>

для рівномірного однофакторного аналізу або

<center><math>\bar{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=i}^{{{n}_{j}}}{{{y}_{ij}}}},N=\sum\limits_{j=1}^{p}{{{n}_{j}}}</math></center>

для нерівномірного однофакторного аналізу.

'''Б.''' Знаходимо суми квадратів відхилень від відповідних середніх значень:

* сума, що характеризує мінливість, зумовлену досліджуваним фактором (факторна сума),

<center><math>S{{S}_{R}}=n\sum\limits_{j=1}^{p}{{{({{{\bar{y}}}_{j}}-\bar{y})}^{2}}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{{{n}_{j}}{{({{{\bar{y}}}_{j}}-\bar{y})}^{2}}}</math></center>

* сума, що характеризує мінливість у межах кожної градації фактором (залишкова сума),

<center><math>S{{S}_{D}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{i}}}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}</math></center>

* сума, що характеризує загальну мінливість (загальна або тотальна сума),

<center><math>S{{S}_{T}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{i}}}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}</math></center>

Справджується рівність

<center><math>S{{S}_{T}}=S{{S}_{R}}+S{{S}_{D}}</math></center>

'''В.''' Визначаємо оцінки дисперсій:

<center><math>S_{T}^{2}=\frac{S{{S}_{T}}}{N-1};S_{R}^{2}=\frac{S{{S}_{R}}}{p-1};S_{D}^{2}=\frac{S{{S}_{D}}}{N-p}</math></center>

'''Г.''' Критерій Фішера для перевірки гіпотези <math>{{\text{H}}_{0}}</math> має вигляд

<center>''df 1 = p – 1, df 2 = N – p''</center>

Для заданого рівня значущості α знаходимо критичні значення статистики F(α; df 1; df 2).

Обчислені значення записуємо у вигляді таблиці (табл. 1.1), (ANOVA).

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1.1 – Результати однофакторного дисперсійного аналізу
</caption>
<tr>
<th scope="col">Різновид дисперсії </th>
<th scope="col" width="30%">Сума квадратів відхилень </th>
<th scope="col">Кількість ступенів вільності </th>
<th scope="col">Середній квадрат (оцінка дисперсії) </th>
<th scope="col">F-критерій </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Факторна (між вибірками)  </th>
<td align="center"> <math>S{{S}_{R}}</math> </td>
<td align="center"> p-1  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{A}}</math> </td>
<td align="center"> <math>\begin{align}
& M{{S}_{A}} \\
& M{{S}_{D}} \\
\end{align}</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Залишкова (у вибірці) </th>
<td align="center"> <math> SS_D </math>  </td>
<td align="center"> N-p  </td>
<td align="center"> <math> MS_D </math>  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Загальна  </th>
<td align="center"> <math> SS_T </math>  </td>
<td align="center"> N-1  </td>
<td align="center">  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
</table>

=Двофакторний дисперсійний аналіз=

На практиці часто виникає ситуація, коли досліджують вплив двох факторів. Двофакторний дисперсійний аналіз дає змогу не тільки виявити вплив кожного з факторів, а й оцінити їхню взаємодію. Двофакторний аналіз має:

* перехресну (двосторонню) класифікацію (з однаковою кількістю повторень у клітинці, з одним спостереженням у клітинці (без повторень), та з нерівномірною кількістю спостережень у клітинці);
* ієрархічну класифікацію, коли один з факторів є головним, а інший – підпорядкованим. Тоді градація фактора ''B'' є незалежною в межах кожної з градацій фактора ''A''. Якщо в кожній групі <math>Ai</math> маємо однакову кількість підгруп <math>B_j</math>, то така ієрархічна класифікація має спеціальну назву – гніздова класифікація. Для ієрархічної класифікації не виникає проблеми оцінки взаємодії факторів (її немає). Також вважаємо, що фактори не взаємодіють, коли маємо класифікацію без повторень.

=Схема обчислень для двофакторного дисперсійного аналізу=

Схема обчислень для двофакторного аналізу така:

'''А.''' Знаходимо вибіркові середні (генеральне середнє <math>\bar{y}</math>, а також середнє в рядку <math>y_{i}^{r}</math>, стовпці <math>y_{j}^{c}</math> й клітинці <math>{{\bar{y}}_{ij}}</math>):

<center><math>\bar{y}=\frac{1}{npq}\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{n}{{{y}_{ijm}};}}}</math></center>

<center><math>y_{i}^{r}=\frac{1}{np}\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{v}{{{y}_{ijm}};}}</math></center>

<center><math>y_{j}^{c}=\frac{1}{nq}\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{m=1}^{v}{{{y}_{ijm}};}}</math></center>

<center><math>{{\bar{y}}_{ij}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{m=1}^{v}{{{y}_{ijm}}}.</math></center>

'''Б.''' Обчислюємо суми квадратів відхилень від відповідних середніх:
* мінливість, зумовлену фактором ''A'',

<center><math>S{{S}_{A}}=np\sum\limits_{i=1}^{q}{{{(\bar{y}_{i}^{r}-\bar{y})}^{2}}}</math></center>

* мінливість, зумовлену фактором ''B'',

<center><math>S{{S}_{B}}=nq\sum\limits_{j=1}^{p}{{{(\bar{y}_{j}^{c}-\bar{y})}^{2}}}</math></center>

* мінливість, зумовлену взаємодією факторів ''A'' і ''B'',

<center><math>S{{S}_{AB}}=n\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{{{({{{\bar{y}}}_{ij}}-\bar{y}_{i}^{r}-\bar{y}_{j}^{c}+\bar{y})}^{2}}}}</math></center>

* мінливість у межах кожної з клітинок

<center><math>S{{S}_{D}}=\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{n}{{{({{y}_{ijm}}-{{{\bar{y}}}_{ij}})}^{2}}}}}</math></center>

* загальну мінливість спостережуваної ознаки (параметра)

<center><math>S{{S}_{T}}=\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{n}{{{({{y}_{ijm}}-\bar{y})}^{2}}}}}</math></center>

Справджується рівність

<center><math>S{{S}_{T}}=S{{S}_{A}}+S{{S}_{B}}+S{{S}_{AB}}+S{{S}_{D}}</math></center>

'''В.''' Знаходимо оцінки дисперсій (середні квадратів відхилень)

<center><math>M{{S}_{A}}=\frac{S{{S}_{A}}}{(q-1)};M{{S}_{B}}=\frac{S{{S}_{B}}}{(p-1)};</math></center>

<center><math>M{{S}_{AB}}=\frac{S{{S}_{AB}}}{(q-1)(p-1)};</math></center>

<center><math>M{{S}_{D}}=\frac{S{{S}_{D}}}{\frac{pq}{(n-1)}};M{{S}_{T}}=\frac{S{{S}_{T}}}{(N-1)},N=npq.</math></center>

Результати двофакторного дисперсійного аналізу записують у таблицю (табл. 1.2).

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1.2 – Результати двофакторного дисперсійного аналізу
</caption>
<tr>
<th scope="col">Різновид дисперсії </th>
<th scope="col" width="30%">Сума квадратів відхилень </th>
<th scope="col">Кількість ступенів вільності </th>
<th scope="col">Середній квадрат (оцінка дисперсії) </th>
<th scope="col">F-критерій </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Факторна для фактора ''A''  </th>
<td align="center"> <math>SS_A</math> </td>
<td align="center"> p-1  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{A}}</math> </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{A}}/M{{S}_{D}}</math> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Факторна для фактора ''B'' </th>
<td align="center"> <math> SS_B </math>  </td>
<td align="center"> q-1  </td>
<td align="center"> <math> MS_B </math>  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{B}}/M{{S}_{D}}</math> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Змішана для факторів ''A'' і ''B''  </th>
<td align="center"> <math> SS_A_B </math>  </td>
<td align="center"> (p-1)(q-1) </td>
<td align="center"> <math> MS_A_B </math>  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{AB}}/M{{S}_{D}}</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Залишкова </th>
<td align="center"> <math> SS_D </math>  </td>
<td align="center"> pq(n-1) </td>
<td align="center"> <math> MS_D </math>  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Загальна  </th>
<td align="center"> <math> SS_T </math>  </td>
<td align="center"> npq-1  </td>
<td align="center">  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
</table>

=Перевірка гіпотез двофакторного дисперсійного аналізу=

Нехай <math>\mu _{i}^{r},i=1,...,q</math> – математичні сподівання рядків табл. 1.3, а <math>\mu _{j}^{c},j=1,...,p</math> – математичні сподівання стовпців.

Тоді <math>{{\alpha }_{i}}=\mu _{i}^{r}-\mu </math> – ефект ''i''-ї градації фактора ''A'';

<math>{{\beta }_{j}}=\mu _{j}^{c}-\mu </math> – ефект ''j''-ї градації фактора ''B'';

<math>{{\gamma }_{ij}}={{\mu }_{ij}}-{{\alpha }_{i}}-{{\beta }_{j}}+\mu </math> – ефект ''j''-ї градації фактора ''B'' в умовах ''i''-ї градації фактора ''A'';

<math>{{\mu }_{ij}}</math> – математичне сподівання у кожній з клітинок.

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1.3 – Вхідні дані для двофакторного аналізу
</caption>
<tr>
<th scope="col">Рівні фактору </th>
<th scope="col" width="30%"><math>B_1</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col"><math>B_j</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col"><math>B_p</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="col"><math>A_1</math> </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{111},...,{y}_{11n}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{1j1},...,{y}_{1jn}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{1p1},...,{y}_{1pn}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> ... </th>
<td align="center"> ... </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"><math>A_i</math> </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{i11},...,{y}_{i1n}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{ij1},...,{y}_{ijn}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{ip1},...,{y}_{ipn}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> ... </th>
<td align="center"> ... </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"><math>A_q</math> </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{q11},...,{y}_{q1n}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{qj1},...,{y}_{qjn}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{qp1},...,{y}_{qpn}}</math> </th>
</tr>
</table>

Сформулюємо гіпотези, які стверджують, що впливи факторів ''A'' і ''B'' на всіх рівнях однакові, а взаємовпливу факторів нема:

<math>\begin{align}
& H_{0}^{A}:{{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}}=...={{\alpha }_{q}}; \\
& H_{0}^{B}:{{\beta }_{1}}={{\beta }_{2}}=...={{\beta }_{p}}; \\
\end{align}</math>

<math>H_{0}^{AB}:{{\gamma }_{ij}}=0</math> для всіх ''i'' та ''j''.

Критерії для перевірки цих гіпотез мають такий вигляд:

<math>\begin{align}
& {{F}^{A}}=\frac{M{{S}_{A}}}{M{{S}_{D}}}=\frac{S{{S}_{A}}}{S{{S}_{D}}}\frac{(N-qp)}{(q-1)} \\
& {{F}^{B}}=\frac{M{{S}_{B}}}{M{{S}_{D}}}=\frac{S{{S}_{B}}}{S{{S}_{D}}}\frac{(N-qp)}{(p-1)} \\
& {{F}^{AB}}=\frac{M{{S}_{AB}}}{M{{S}_{D}}}=\frac{S{{S}_{AB}}}{S{{S}_{D}}}\frac{(N-qp)}{(p-1)(q-1)} \\
\end{align}</math>

Якщо гіпотеза <math>{{H}_{0}}=H_{0}^{A}H_{0}^{B}H_{0}^{AB}</math> правильна (тобто одночасно виконуються всі три підгіпотези), то
<math>\frac{M{{S}_{A}}}{M{{S}_{D}}}</math>, <math>\frac{M{{S}_{B}}}{M{{S}_{D}}}</math> і <math>\frac{M{{S}_{AB}}}{M{{S}_{D}}}</math> підпорядковані розподілу Фішера з відповідними степенями вільності. Дію факторів ''A'', ''B'' і ''AB'' уважатимемо суттєвою (для заданого рівня значущості α), якщо

<math>{{F}^{A}}\ge F(\alpha ;q-1;N-pq)</math> або

<math>{{F}^{B}}\ge F(\alpha ;p-1;N-pq)</math>, або

<math>{{F}^{AB}}\ge F(\alpha ;(q-1)(p-1);N-pq).</math>

=Список використаних джерел=
# Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).
# Аністратенко В. О., Федоров В. Г. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. Посібник. – К.: Вища шк., 1993. – 375 с. іл..

{{Завдання:Виступ|Pimchikoff|4 березня 2010| Однофакторний, двофакторний і багатофакторний дисперсійний аналізи. Значимість впливів факторів на досліджувані параметри і перевірка відповідних гіпотез.}}

[[Категорія:ПЕ-2010]]
[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експеримента]]

[http://editingwritingservices.org/ essay editing]
[http://custom-essay.ws/index.php essay writing]

Планування другого порядку

2011-09-07T14:42:31Z

Oliverjones:

{{Завдання|ihor_p|Назаревич О.Б.|05 березня 2010}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/415 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Планування другого порядку =

Планування другого порядку застосовується для математичного опису об'єкта поблизу екстремальної точки статистичної характеристики або тоді, коли необхідний точніший опис в інших точках факторного простору. При цьому використовують поліном другого порядку:

<center>
<math>\operatorname{y}={{a}_{0}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{x}_{i}}+}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ij}}{{x}_{i}}{{x}_{j}}+}...+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i,i}}x_{i}^{2}}</math>
</center>

Задача, як і в ПФЕ, полягає у визначенні методом найменших квадратів за результатами спланованого експерименту коефіцієнтів цього рівня за умови, що виконуються передумови регресійного аналізу.
ПФЕ типу <math>2^n</math> дає змогу дістати роздільні оцінки як лінійних коефіцієнтів bi (після переходу до безрозмірних z), так і коефіцієнтів парних взаємодій bij. Точки ПФЕ лежать у вершині n-вимірного куба. Вектор-стовпці лінійних факторів матриці планування ортогональні між собою, тобто виконується умова

<center>
<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gj}}=0;i\ne j.}</math>
</center>

З теорії інтерполяції (апроксимації) відомо, що для розв'язання задачі знаходження роздільних оцінок параметрів апроксимуючого виразу число рівнів для кожної із змінних повинно бути на одиницю більше ступеня апроксимуючого полінома, тобто для полінома другого порядку число рівнів дорівнює трьом.
Однак, як показали дослідження, ПФЕ типу <math>3^n</math> (планування на трьох рівнях) не є раціональним через велике число дослідів.
Задача розв'язується іншим способом. До ПФЕ типу <math>2^n</math> додають центральну точку з координатами (0, 0, ..., 0) і зіркові точки з координатами (0, 0, ..., ±α), які лежать на сфері діаметра 2α (рис. 1). Зіркові точки будують на осях факторного простору. Вибір відстані від нульової точки до зіркової, яка визначається плечем α, залежить від критерію оптимальності плану.

<center>[[Файл:ОЦКП.jpg]]</center>
<center>Рисунок 1 - Ортогональне центральне композиційне планування</center>

Розглянемо планування, оптимальне з точки зору незалежності оцінок bi,i Його називають ''ортогональним центральним композиційним плануванням (ОЦКП)'', тобто планом, в якому критерієм оптимальності є ортогональність стовпців матриці планування.
Композиційним таке планування, як й інші форми планування другого порядку, називається тому, що новий план дістають шляхом компонування первинного двофакторного плану з деякою кількістю додаткових точок. Оскільки в числі цих додаткових точок обов'язково фігурує центральна, в якій всі змінні хi мають середній рівень, а zi=0, плани називають центральними.
Ортогональність матриці композиційного планування забезпечується виконанням рівностей

<center>

<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{g,o}^{2}z_{y,i}^{2}=0,\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}z_{gj}^{2}=0,i\ne j}.}</math>

</center>

де і-номер фактора; j-номер рядка; g-номер досліду. Для ортогоналізації першого з цих співвідношень застосовується перехід до нової змінної
<center>
<math>\overset{-}{z}\,_{i}^{2}=z_{i}^{2}-\frac{\sum{z_{gi}^{2}}}{N}=z_{i}^{2}-\overset{-}{z}\,_{i}^{2}</math>
</center>
де N-загальне число експериментів.
Величина zi залежить тільки від числа факторів n і числа дослідів N, яке звичайно вибирається так, що

<center>

<math>\operatorname{N}={{N}_{n}}+{{N}_{a}}+{{N}_{0}}={{2}^{n}}+2n+1,</math>

</center>

де Nn = <math>2^n</math>-кількість вершин гіперкуба при ПФЕ; Nα = 2n-число зіркових точок; N0= 1- число дослідів у центрі плану. Якщо N вибрати так, то zi визначають за формулою

<center>

<math>\operatorname{z}_{i}^{2}=\frac{{{2}^{n}}+2{{\alpha }^{2}}}{N}.</math>

</center>

Тому ортогоналізація другої з вищенаведених умов досягається вибором бажаного α.
Для зручності підготовки і планування величини α, N, Nn, Nα обчислені і табульовані залежно від числа факторів (табл. 1).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця1 - Підготовка ОЦКП другого порядку.
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>1 </td>
<td>4 </td>
<td>2 </td>
<td>9 </td>
<td>1,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>1 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>1,215 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>25 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>43 </td>
<td>1,596 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>1 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>77 </td>
<td>1,706 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>1 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>143 </td>
<td>1,909 </td>
</tr>
</table>

Сформуємо матриці ОЦКП для двох факторів. При n = 2 отримаємо α = 1,0 (див. табл. 1), для обчислення скористаємося наведеними формулами. Оскільки <math>z1^2=(4+2)/9=0,667</math>, то стовпець добувається відніманням одного і того ж числа 0,67 від числа стовпця <math>zi^2</math> того ж рядка (табл. 2).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця2 - Матриця ОЦКП другого порядку для двофакторного експерименту
</caption>
<tr>
<th scope="col">Дослід </th>
<th scope="col">j </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{1c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{2c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Вершини квадрата </th>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Зіркові точки </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Центр </th>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
</table>

Реалізація експериментів за ОЦКП здійснюється за тією ж методикою, що і ПФЕ. Таким чином, через випадковий характер зміни вихідної величини у у кожній точці хg проводиться m паралельних дослідів і обчислюється середнє значення функції відклику

<center><math>{{\overset{-}{y}}_{g}}=\frac{\sum\limits_{d=1}^{m}{{{y}_{g}}d}}{m}</math></center>

Перед реалізацією проводиться рандомізація рядків матриці планування.
Перевірка відтворюваності, як і в ПФЕ, виконується за критерієм Кохрена, після чого обчислюється оцінка дисперсії відтворюваності

<center>

<math>S_{y}^{2}=S_{vidtv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{S_{g}^{2}}}{N}.</math>

</center>

Методика утворення математичної моделі незначно відрізняється від методики опису результатів ПФЕ.
Коефіцієнти регресії при ОЦКП обчислюються за формулою

<center><math>{{b}_{i}}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{y}_{g}}}}{\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

У цьому плануванні оцінки дисперсій коефіцієнтів bi (точність їхнього обчислення) не однакові, оскільки не однаковий знаменник у формулі дисперсії

<center><math>S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{m\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

В ПФЕ знаменник однаковий і дорівнює mN. Це істотний недолік ОЦКП, і ''тому часто надають перевагу складнішому за обчислювальними процедурами рототабельному плануванню''.

= Рототабельне планування =

У зв'язку з тим, що дисперсії коефіцієнтів рівняння регресії при ОЦКП нерівномірні, ортогональність матриці часто не є досить сильним критерієм оптимальності планування другого порядку. Його заміняють критерієм ротоптабельності, тобто однаковості дисперсій коефіцієнтів при повороті координатних осей на будь-який кут. Зазначимо, що при плануванні першого порядку ортогональність матриці просто збігається з її рототабельністю, тому ПФЕ доцільно називати рототабельним.
Щоб зробити план другого порядку рототабельним, вибирають для сфери, на якій розташовуються зіркові точки, радіус (зіркове плече) за формулою

<center><math>\alpha ={{2}^{n/2}}.</math></center>

Інша умова рототабельності — збільшення числа дослідів на поверхні нульової сфери, тобто в центрі плану. У зв'язку з цим виникає повна назва методу: ''центральне композиційне рототабельне планування'' (ЦКРП).
Таким чином ЦКРП багато в чому нагадує ортогональне планування, проте метод рототабельного планування експерименту дає змогу дістати точніший математичний опис поверхні відклику порівняно з ОЦКП, завдяки збільшенню числа дослідів у центрі плану і спеціальному вибору величини зіркового плеча α.
Як і для ОЦКП, основні характеристики матриць рототабельного планування табульовані (табл. 3). Позначення тут ті самі, що і для ОЦКП (див. табл. 2). При ЦКРП, починаючи з n = 5, можна застосувати ДФЕ(дробовий факторний експеримент).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 3 – Підготовка ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>5 </td>
<td>4 </td>
<td>4 </td>
<td>13 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>6 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>20 </td>
<td>1,680 </td>
</tr>
<tr>
<td>4 </td>
<td>7 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>31 </td>
<td>2,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>10 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>52 </td>
<td>2,378 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>91 </td>
<td>1,828 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>21 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>163 </td>
<td>1,333 </td>
</tr>
</table>

При рототабельному плануванні для обчислення коефіцієнтів моделі і відповідних оцінок дисперсій знаходять спеціальні комплекси:

<center><math>\begin{align}
& B=\frac{nN}{(n+2)(N-{{N}_{0}})}; \\
& A=\frac{1}{2B[(n+2)B-n]}; \\
& C=\frac{N}{N-{{N}_{0}}}, \\
\end{align}</math></center>

де n-число факторів; N-загальне число дослідів у плануванні; N0-число дослідів у центрі плану.
За результатами експериментів обчислюють такі суми:

<center><math>\begin{align}
& {{S}_{0}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}; \\
& {{S}_{i}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}{{z}_{gi}};i=1,2,...,n; \\
& {{S}_{ik}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gk}}{{y}_{g}}};i\ne k; \\
& {{S}_{ii}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}{{y}_{g}}};i=1,2,...,n. \\
\end{align}</math></center>

Коефіцієнти моделі тут розраховують за формулами

<center><math>\begin{align}
& {{b}_{0}}=\frac{2AB}{N}[{{S}_{0}}B(n+2)-C\sum{{{S}_{ii}}}]; \\
& {{b}_{i}}=\frac{C{{S}_{i}}}{N}; \\
& {{b}_{ik}}=\frac{{{C}^{2}}{{S}_{ik}}}{BN},i\ne k; \\
& {{b}_{ii}}=\frac{AC}{N}\{{{S}_{ii}}[B(n+2)-n]+C(1-B)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{S}_{ii}}-2B{{S}_{0}}}\}. \\
& \\
\end{align}</math></center>

Оцінки дисперсій для обчислених коефіцієнтів знаходять за такими формулами:

<center><math>\begin{align}
& S_{b0}^{2}=\frac{2AB(n+2)}{N}S_{y}^{2}; \\
& S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{N-{{N}_{0}}};i=1,2,...,n; \\
& S_{bik}^{2}=\frac{{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N},i\ne k; \\
& {{S}_{bii}}=\frac{A{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N}[B(n+1)-(n-1)]. \\
\end{align}</math></center>

У цих формулах дисперсія відтворюваності <math>S_{y}^{2}</math> визначається за результатами дослідів у нульовій точці

<center><math>\begin{align}
& S_{y}^{2}=\frac{1}{{{N}_{0}}-1}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{({{y}_{ge}}-\overset{-}{y}\,)}^{2}}}; \\
& \overset{-}{y}\,=\frac{1}{{{N}_{0}}}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{y}_{ge.}}} \\
\end{align}</math></center>

Дисперсія адекватності оцінюється за формулою

<center><math>S_{adekv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{({{y}_{ge}}-{{y}_{grozr}})}^{2}}-S_{y}^{2}({{N}_{0}}-1)}}{N-\frac{(n+2)(n+1)}{2}(N-1)},</math></center>

якшо число ступенів вільності

<center><math>{{f}_{adekv}}={{N}_{0}}-\frac{(n+2)(n+1)}{2}-({{N}_{0}}-1).</math></center>
==Приклад==

Скласти матрицю ЦКРП на прикладі побудови математичної моделі технологічного процесу крупоутворення (див.: Пищевая технология.— 1976.— № 4.— С. 121—124).

'''Розв'язання'''. Як функції відклику прийнято <math>y_1</math>, % — середня зольність крупи пшениці після перших трьох систем для дертя (швидкість обертання рифлених вальців усіх систем 6 м/с); <math>y_2</math>, % — сумарний вихід всіх крупок, які добуваються в процесі крупоутворення; <math>y_3</math>, кДж/(кг • %) — витрата енергії на одержання 1 % продукту з 1 кг зерна.
Незалежними змінними є, %: <math>x_1</math> — вихід крупи на першій системі для дертя; <math>x_2</math> — те ж на другій системі; <math>x_3</math> — те ж, для трьох систем для дертя. Інтервал варіювання для всіх <math>x_i</math>, вибрано з умови охоплення області їхньої реальної зміни. Рівні змінних становили, %:

<table width="90%" border="1">
<tr>
<th scope="col">Незалежні змінні </th>
<th scope="col">Нижній </th>
<th scope="col">Основний </th>
<th scope="col">Верхній </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_1</math> </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>15</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_2</math> </th>
<td><center>30</center> </td>
<td><center>40</center> </td>
<td><center>50</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_3</math> </th>
<td><center>65</center> </td>
<td><center>70</center> </td>
<td><center>75</center> </td>
</tr>
</table>

У зв'язку з тим, що режими крупоутворення вивчалися досить детально, стало можливим ставити експерименти в області факторного простору, для якої значення всіх у близькі до оптимальних, а для опису цієї області застосувати відразу планування другого порядку. Було реалізовано центральний композиційний рототабельний план, який включає ПФЕ <math>2^3</math>, шість зіркових та шість центральних точок. Послідовність проведення дослідів була рандомізована, кожен дослід проводився тричі. У табл. 4 наведено матрицю планування та середні значення функцій відклику для кожного її рядка.
За вищенаведеними формулами розраховані такі коефіцієнти в рівняннях регресії для всіх функцій відклику:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{1}}=0,65+0,0084{{z}_{1}}+0,0048{{z}_{2}}+0,0630{{z}_{3}}+0,0150{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,0050{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,0400{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,0038z_{1}^{2}+0,0076z_{2}^{2}+0,0314z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{2}}=43,5+1,37{{z}_{1}}+0,34{{z}_{2}}+0,89{{z}_{3}}-1,41{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,61{{z}_{1}}{{z}_{3}}+ \\
& +0,74{{z}_{2}}{{z}_{3}}-0,83z_{1}^{2}-1,71z_{2}^{2}-1,52z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{3}}=6,4-0,28{{z}_{1}}-0,11{{z}_{2}}+0,61{{z}_{3}}+0,03{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,03{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,05{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,33z_{1}^{2}+0,68z_{2}^{2}+0,69z_{3}^{2}. \\
\end{align}</math>
</center>

Оцінки дисперсій для коефіцієнтів у цих рівняннях наведено в табл. 5.
Коефіцієнти при <math>z^2</math> на порядок перевищують помилку в їхньому визначенні для всіх функцій відклику, отже, лінійними рівняннями описати їх не можна. Адекватність утворених нелінійних рівнянь було перевірено за F-критерієм.

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 4 – Реалізація матриці ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col"> </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>y_1c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_2c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_3c</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,75</center> </td>
<td><center>40,5</center> </td>
<td><center>8,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,68</center> </td>
<td><center>36,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>41,3</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,72</center> </td>
<td><center>41,0</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>37,0</center> </td>
<td><center>7,9</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>38,2</center> </td>
<td><center>9,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,62</center> </td>
<td><center>34,9</center> </td>
<td><center>8,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,67</center> </td>
<td><center>44,7</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>39,4</center> </td>
<td><center>7,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>11</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>

<tr>
<td><center>12</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>37,8</center> </td>
<td><center>8,5</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>13</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>14</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>39,3</center> </td>
<td><center>7,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>15</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>41,6</center> </td>
<td><center>6,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>16</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>6,6</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>17</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>18</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>42,9</center> </td>
<td><center>6,1</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>19</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>20</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,0</center> </td>
<td><center>6,5</center> </td>
</tr>
</table>

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 5 – Оцінка дисперсій коефіцієнтів рівняння регресії за ЦКРП
</caption>
<tr>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{y}}_{i}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b1}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b2}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b3}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><math>y_1</math> </td>
<td>0,0053 </td>
<td>0,0035 </td>
<td>0,0034 </td>
<td>0,0046 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_2</math> </td>
<td>0,48 </td>
<td>0,31 </td>
<td>0,30 </td>
<td>0,41 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_3</math> </td>
<td>0,13 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,11 </td>
</tr>

</table>

= Перелік використаних джерел =

#http://tstu.edu.ua/(березень2010)
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експериментів в АПК http://tstu.edu.ua/(березень2010)
[http://custom-essay-writing-service.org/index.php custom writing]