Wiki ТНТУ - Внесок користувача [uk]

Розкладання дисперсії на складові

2012-03-20T08:33:08Z

Northfear:

{{Завдання|Пріян Н.|Назаревич О. Б.|14 березня 2012}}

Розглянемо задачу розкладання дисперсії як характеристики коливальності (розкиду, розсіювання, зміни) на простому абстрактному прикладі.

Нехай вимірювана величина <math>y</math> набувала в <math>N</math> дослідах таких значень <math>y_1,y_2,y_3, ..., y_k, ..., y_N</math>, які характеризуються деякими середніми <math>\overline{y}</math> та оцінкою дисперсії <math>S_y^2</math>. Відкладемо результати вимірювань <math>y</math> на осі ординат (рис. 1), а вісь абсцис для одного із випливаючих на <math>y</math> фаторів <math>x</math>.

[[Файл:Img1.jpg‎ ]]

Рисунок - 1

Відрізком довжиною <math>S_y</math> зобразимо показник загального розкиду значення <math>y</math> (скористатися дисперсією <math>S_y^2</math> не можна, оскільки її розмірність не збігається з розмірністю <math>y</math>). Припустимо, що одночасно з <math>y</math> реєструвалася величина певного фактора, який за припущенням впливає на <math>y</math>. Цей фактор в усіх дослідах набував лише трьох значень. Результати сумісних вимірювань пар значень <math>y</math> і <math>x</math> зображено на рис. 2. помітна загальна тенденція зростання <math>y</math> зі збільшенням <math>x</math>. Однак говорять лише про зміни <math>y</math> у середньому. оскільки в окремих випадках спостерігається , наприклад <math>y_1>y_5</math>, хоча <math>y_5</math> відповідає більшому <math>x</math>. Ішими словами, кожному <math>x_i</math> відповідає середнє <math>y_i</math>, яке можна розрахувати у даному випадку за чотирма значеннями <math>y</math>. Умовні середні <math>y_i</math> зображено на рис. 3. Розглядаючи <math>\overline{y_i}</math> як самостійні значення, говорять про їх розкид відносно загального середнього <math>\overline{y_i}</math>. Охарактеризуємо цей розкид величиною <math>S^2_{y/x}</math>, яка при певному числі дослідів (в даному випадку 3) залежить від суми квадратів відхилень умовних середніх <math>\overline{y_i}</math> від загального середнього <math>\overline{y}</math>.

[[Файл:Img2.jpg‎ ]] [[Файл:Img3.jpg‎ ]]

Рисунок - 2 Рисунок -3

Природно, що від того, наскільки зміни <math>x</math> впливають на середні зміни <math>y</math>, залежать значення <math>S^2_{y/x}</math> і показник загального розкиду <math>S^2_y</math>.
Зазначимо, що при одному й тому ж значенні <math>x</math> в чотирьох дослідах дістали різні значення <math>y</math> (див. рис. 2). Наявність даного розкиду при фіксованому значенні фактора <math>x</math> пояснюється діянням невраховуваних факторів <math>z</math>, тобто різними випадковими причинами. Не виділяючи будь-яку з них, охарактеризуємо сумарний ефект від них залишковою дисперсією <math>S^2_{y/z}</math>, яка, представляючи розкид результатів вимірювань <math>y</math> відносно <math>\overline{y}</math>, залежить від суми квадратів відхилень <math>y</math>, виміряних при кожному значенні <math>x</math>, від відповідних умовних середніх <math>\overline{y_i}</math>. На рис. 3 відрізками зображено показник розкиду для кожного <math>x</math>, а також показник розкиду <math>S_{y/x}</math> середніх значень <math>\overline{y_i}</math>.

Очевидно, що, коли усунути вплив невраховуваних факторів, розкид <math>y</math> при фіксованому <math>x</math> не спостерігатиметься і загальний розкид <math>y</math> визначатиметься тільки діяннями <math>x</math> (див. рис. 4). З іншого боку, якби вплив фактора <math>x</math> на <math>y</math> був відсутній, а випадкові причини виявляли своє діяння (див. рис. 5), то загальний розкид <math>y</math> визначався б тільки ними і характеризувався лише залишковою дисперсією від діяння невраховуваних факторів.

[[Файл:Img4.jpg‎ ]] [[Файл:Img5.jpg‎ ]]

Рисунок - 4 Рисунок - 5

Детально розглянемо основні принципи сучасного експерименту: рандомізацію, багатофакторність, оптимізацію та автоматизацію. Пояснимо перший з них. Дисперсійний аналіз стає об’єктивним інструментом дослідження лише при умові, що кожне значення змінної вибрано з генеральної сукупності випадковим чином. Відбір випадкових значень змінної, який забезпечує однакову імовірність потрапити до вибірки будь-якого з них для всієї генеральної сукупності, називається рандомізацією (від англійського random – вибраний навмання). У біометрії це слово прийнято записувати і вимовляти як рендомізація. Щоб забезпечити однакову імовірність для будь-якого члена генеральної сукупності, найчастіше користуються таблицею випадкових чисел.

Таким чином, при сумісності діяння фактора <math>x</math> та випадкових причин <math>z</math> наступною буде рівність
<math>S^2= S^2_{y/x}+ S^2_{y/z}</math>,
яка і виражає властивість адитивної дисперсії.

Зазначимо, що ця формула правильна лише при незалежних (некорельованих) факторах, які впливають на <math>y</math>. У противному разі вона ускладнюється:
<math>S^2= S^2_{y/x} + S^2_{y/z} - 2 S_{y/x} S_{y/z} r_{xz} </math>,
де <math> r_{xz}</math> - коефіцієнт кореляції.

Формула адитивності дисперсії є основною всього дисперсійного аналізу. Її застосування часто зустрічається з боку експерименту внутрішній опір. Оскільки при всій своїй простоті вона не є очевидною. Тому, перш ніж дістати на основі цієї формули розрахункові рівняння, доведемо її правильність. Для цього скористаємось формальним перетворенням суми квадратів відхилень від загального середнього:
<math>\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y})^2 = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i} + \overline{y_j} + \overline{y})^2 + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m [(y_{ij} - \overline{y_i}) + (\overline{y_i} - \overline{y})]^2 = </math>

<math> = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i})^2 + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (\overline{y_i} - \overline{y})^2 + 2\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i})(\overline{y_i}-\overline{y}) </math>.

Враховуючи, що
<math> \overline{y_i} = \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum_{j=1}^n y_{ij} </math> ;

<math> \overline{y} = \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y_ij = \frac{\mathrm 1}{\mathrm m}\, \sum_{i=1}^m \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum_{j=1}^n y_{ij} = \frac{\mathrm 1}{\mathrm m}\, \sum_{i=1}^m \overline{y_i} </math>;

<math> \sum_{j=1}^n \overline{y_i} = n \overline{y_i} </math> ;
<math> \sum_{j=1}^n \overline{y} = n \overline{y} </math> ,

покажемо, як останній доданок при розкладанні перетворюється в нуль:

<math> \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i})(\overline{y_i}-\overline{y}) = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y_{ij}\overline{y_i} - \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m \overline{y_i} \overline{y_i} - </math>

<math> - \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y_{ij} \overline{y} + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m \overline{y_i} \overline{y} = \sum_{i=1}^m \overline{y_i} n \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum_{j=1}^n y_{ij}-</math>

<math> - \sum_{i=1}^m \overline{y_i} \sum_{j=1}^n \overline{y_i} - mn \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y_{ij} y + m \frac{\mathrm 1}{\mathrm m}\, \sum_{i=1}^m y_i \sum_{j=1}^n \overline{y} = </math>

<math> = \sum_{i=1}^m n \overline{y_i} \overline{y_i} - \sum_{i=1}^m n \overline{y_i} \overline{y_i} - m n \overline{y} \overline{y} + m n \overline{y} \overline{y}= 0 </math>

Отже,

<math> \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y_i})^2 = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (y_{ij} - \overline{y})^2 + \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m (\overline{y_i} - \overline{y})^2 </math>,

що й треба було довести, оскільки
<math> S^2_y \approx \sum \sum (y_{ij} - \overline{y})^2 </math>; <math> S^2_{y/x} \tilde \sum \sum (y_{ij} - \overline{y_i})^2 </math>; <math> S^2_{y/z} \approx \sum \sum (\overline{y_i} - \overline{y})^2 </math>.

Другий доданок в здобутому результаті містить тільки одну змінну <math> y_i </math>, яка підсумовується за <math> m </math> . Тому підсумовування за змінною <math> j</math> сталою <math> (\overline{y_i} - \overline{y})^2 </math> рівнозначне помноженню на <math> n </math>, тобто <math> \sum_{j=1}^n = n </math>, тоді
<math> \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m = (\overline{y_i} - \overline{y})^2 = \sum_{i=1}^m n (\overline{y_i} - \overline{y})^2 </math>.

Така сума називається зваженою, оскільки <math>n</math> у загальному випадку для кожного <math>i</math> може бути різними.

При використанні дисперсійного аналізу запишемо останні формули через вихідні значення <math>y_{ij}</math>:
<math> \sum \sum (y_{ij} - \overline{y})^2 = \sum \sum y^2_{ij} + \sum \sum \overline{y^2} + 2 \sum \sum y_{ij} \overline{y} = </math>
<math> \sum \sum y_{ij}^2 + m n \overline{y^2} - 2 m n y^2 = \sum \sum y^2_{ij} - m n \overline{y^2} = </math>
<math> \sum \sum y_{ij}^2 - \frac{\mathrm mn}{\mathrm m^2 n^2}\, (\sum \sum y_{ij})^2 = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m y^2_{ij} - \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, (\sum \sum y_{ij})^2 </math>;
<math> \sum \sum (\overline{y_i} - \overline{y})^2 - \sum^n \sum^m \overline{y^2_i} + \sum^n \sum^m \overline{y^2} - 2\sum^n \sum^m \overline{y_i} \overline{y} = </math>
<math> \sum^n \sum^m y^2_i + \frac{\mathrm mn}{\mathrm m^2 n^2}\, (\sum \sum y_{ij})^2 - 2 m \overline{y} n \overline{y} = </math>
<math> \sum^2 n \frac{\mathrm 1}{\mathrm n^2}\, (\sum^n y_{ij})^2 + \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, (\sum \sum y_{ij})^2 - 2 \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, (\sum \sum y_{ij})^2 = </math>
<math> = \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum^m (\sum^n y_{ij})^2 - \frac{\mathrm 1}{\mathrm mn}\, (\sum \sum y_{ij})^2 </math>;

<math> \sum \sum (y_{ij} - \overline{y_i})^2 = \sum \sum y^2_{ij} + \sum \sum \overline{y^2_i} - 2 \sum \sum y_{ij} \overline{y_i} = </math>
<math> \sum^m \sum^n y^2_{ij} + n\sum^m y^2_i - 2\sum^m \sum^n y_{ij} \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum^n y_{ij} = </math>
<math>\sum \sum y^2_{ij} +n \sum^m \frac{\mathrm 1}{\mathrm n^2}\, (\sum^n y_{ij})^2 - 2\sum^m \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, (\sum^n y_{ij})^2 = </math>
<math> \sum \sum y^2_{ij} - \frac{\mathrm 1}{\mathrm n}\, \sum^m (\sum^n y_{ij})^2 </math>.

Ці формули є робочими при одно факторному дисперсійному аналізі. Якщо розглядати дисперсії не функції, а не залежного параметра, а замість <math>y</math> покласти <math>x</math>, то структура формул зберігатиметься.

==Посилання==
В.О. АНІСТРАТЕНКО, В.Г. ФЕДОРОВ. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993. - 375 с.: іл.

[[Категорія:Планування експерименту]]

Розкладання дисперсії на складові

2012-03-20T08:32:50Z

Northfear:

Нормальний закон розподілу

2012-03-20T08:31:51Z

Northfear:

{{Завдання|morituri|Назаревич О. Б.| 10 березня 2012}}

<table border="2" style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px">

<tr>
<td colspan="3" align="center">
</td></tr>
<tr>
<td> Імя </td><td> Максим
</td></tr>
<tr>
<td> Прізвище </td><td> Федчук
</td></tr>
<tr>
<td> По-батькові </td><td> Ігорович
</td></tr>
<tr>
<td> Факультет </td><td> ФІС
</td></tr>
<tr>
<td> Група </td><td> СН-51
</td></tr>
<tr>
</tr></table>

== Загальні положення ==

Нормальний розподіл виражає закономірності зміни значень змінних під впливом багатьох випадково виникаючих факторів, які діють у різних напрямах так, що жоден з них не впливає на інший.

== Крива нормального розподілу ==
[[Файл:Нормальний розподіл.gif|center|thumb|400px|Нормальний розподіл]]

Крива нормального розподілу імовірностей симетрична відносно осі y - найбільшої ординати, що відповідає середньому арифметичному <math>\bar x</math> розглянутої змінної x. Точки перетину мають абсциси, які дорівнюють середньому квадратичному відхиленню цієї змінної, тобто <math>x_1=x-S</math> та <math>x_2=\bar x + S</math>. Ординати обох віток кривої спадають від найбільшої спочатку швидко, а потім повільніше і повільніше. Крива досягає значення у=0 при <math>x=\pm \infty</math>. Проте значеннями ординати при <math>x=\bar x \pm 3S</math> можна практично знехтувати.
Крива нормального розподілу описується рівнянням
<math>y=\phi(x)=\frac{1}{S\sqrt{2\pi}}\exp \biggl[ -\frac{1}{2}(\frac{x-\bar x}{S})^2\biggr]</math>,
де у - ордината точки кривої розподілу при заданому значенні розглядуваної змінної x. Із зменшенням СКВ крива нормального розподілу стає більш вузькою, витягнутою вгору, і навпаки, зі збільшенням S - розмитою і максимальне значення y зменшується. Замінивши <math>u=\frac{x - \bar x}{s}</math> і вважаючи S=1, отримуємо рівняння кривої нормального розподілу нормованої випадкової величини:
<math>\phi(u)=\frac{1}{S\sqrt{2\pi}}\exp (-\frac{u^2}{2})</math>.
Якщо обґрунтовується припущення, що випадкова величина у генеральній сукупності розподілена нормально, вирівнюючі відносні частоти знаходять за формулою
<math>p_i=\frac{d}{S}\phi (u)</math>
а вирівнюючі частоти - за формулою
<math>N_i=\frac{Nd}{S}\phi (u)</math>.
Ці залежності дають змогу побудувати нормальну криву за дослідними даними.
Побудова такої кривої здійснюється з припущення, що в генеральній сукупності, число членів якої N може бути як завгодно великим, СКВ <math>\sigma</math> дорівнює вибірковому S, а середнє арифметичне значення генеральної сукупності або математичне сподівання M[x] дорівнює середньому значенню x, утвореному з даної вибірки.

== Порядок обчислення ординат кривої нормального розподілу ==

#Визначають вибіркові характеристики <math>\bar x</math> та S;
#підраховують значення відхилень <math>x_m^*-\bar x</math> і нормованих відхилень <math>u=(x_m^*-\bar x)/S</math>
#знаходять за відповідною таблицею значення <math>\phi(u)</math>, що відповідають обчисленим u, і множать на загальне для даного розподілу відношення d/S або Nd/S (де d - ширина інтервалу);
#відкладають для відповідних абсцис змінних обчислені ординати <math>p_t^'</math> або <math>N_t^'</math>.

== Властивості нормального розподілу ==

Нормальний розподіл належить до унімодальних. Це означає, що існує єдине значення змінної, імовірність якого найбільша, і воно називається модою. Нормальний розподіл є симетричним, тобто для нього збігаються значення середнього арифметичного, медіани та моди і має властивість лінійності. У даному випадку це означає, що коли незалежні змінні <math>x_1</math> і <math>x_2</math> мають нормальний розподіл, то для довільних сталих чисел <math>\alpha</math> i <math>\beta</math> змінна <math>\alpha x_1 + \beta x_2</math> також має нормальний розподіл.

== Використана література ==
Математичне планування експериментів в АПК / В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров.-К.:Вища школа,1993.-374с.

[[Категорія:Планування експерименту]]

ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ

2012-03-20T08:27:45Z

Northfear:

__NOTOC__
[http://dl.tstu.edu.ua/325/ Дистанційне навчання з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]

== Література в ел.вигляді з предмета "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)" ==
* Прохання до всіх студентів - дописуйте тут перелік літератури в ел.вигляді з вказанням URL
* [[URL_Література_Планування_експерименту| ЛІТЕРАТУРА в інтернеті з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]

== [[Категорія:Планування експерименту]] ==

== Індивідуальні завдання ==
* [[2009-2010рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]
* [[2010-2011рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]
* [[2011-2012рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]

== Орієнтовний перелік тем для ІНДИВІДУАЛЬНОГО ЗАВДАННЯ ==

* [[Вимоги до написання статей у Wiki університету ]]

Теми статей, рекомендованих до написання.
також див. тут - [http://wiki.tntu.edu.ua/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83 Категорія:Планування експерименту]

# [[Анкета для збору даних експеримента]]
# [[Статистична гіпотеза]]
# [[Дисперсія адекватності]]
# [[Дисперсії відтворюваності]]
# [[Ефект фактору]]
# [[Симплекс решітчастого планування]]
# [[Квазіоптимальний план]]
# [[Метод еволюційного планування]]
# [[Взаємонейтралізуючі фактори]]
# [[Градієнтні методи оптимізації]]
# [[Однофакторний експеримент]]
# [[Багатофакторний експеримент]]
# [[Фізичний експеримент]]
# [[Математичний експеримент]]
# [[Імітаційний експеримент]]
# [[Реальний експеримент]]
# [[Компютерний експеримент]]
# [[Помилки реєстрації]]
# [[Помилки репрезентативності]]
# [[Потужність критерію]]
# [[Критерій Дункана]]
# [[Метод максимальної правдоподібності]]
# [[Рангова кореляція]]
# [[Бісеріальний коефіцієнт кореляції]]
# [[Рандомізація експерименту]]
# [[Факторіальні експерименти]]
# [[Інтервал невизначеності]]
# [[Функція відклику]]
# [[Статистичні числові характеристики]]
# [[Статистичні імовірності]]
# [[Теорії похибок]]
# [[Імовірнісна оцінка статистичних характеристик]]
# [[Унімодальний розподіл]]
# [[Нуль-гіпотеза]]
# [[Альтернативна гіпотеза]]
# [[Двобічна гіпотеза]]
# [[Однобічна гіпотеза]]
# [[F-розподіл]]
# [[Z-Критерій]]
# [[Х-Критерій]]
# [[Рандомізований критерій]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]

= Перелік термінів що потрібно розкрити (самостійно дописуємо ваші здобутки) =
Ви можете написати статтю на свою власну тему, якщо вона задовольняє наступні умови:
*Термінів не повинно бути у uk.wikipedia.org, можлививй переклад з російської або інших мов.
*Термін повинен мати відношення до Планування Експерименту.

== ВАШ ВАРІАНТ ТЕМИ: по предмету ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ ==

Щоб закріпити тему за собою напишіть відповідь на [http://dl.tstu.edu.ua/325/forum/634/796/ форумах], і вкажіть: групу, прізвище та конкретну тему, що ви вибрали.

Якщо тема надто широка - сформулюйте її більш-вузько. Бажано вказати які питання ви не плануєте висвітлювати.
<analytics uacct="UA-19815617-1" ></analytics>

ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ

2012-03-20T08:27:19Z

Northfear:

__NOTOC__
[http://dl.tstu.edu.ua/325/ Дистанційне навчання з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]

== Література в ел.вигляді з предмета "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)" ==
* Прохання до всіх студентів - дописуйте тут перелік літератури в ел.вигляді з вказанням URL
* [[URL_Література_Планування_експерименту| ЛІТЕРАТУРА в інтернеті з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]

== [[Категорія:Планування експерименту]] ==

== Індивідуальні завдання ==
* [[2009-2010рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]
* [[2010-2011рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]
* [[2011-2012рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]

== Орієнтовний перелік тем для ІНДИВІДУАЛЬНОГО ЗАВДАННЯ ==

* [[Вимоги до написання статей у Wiki університету ]]

Теми статей, рекомендованих до написання.
також див. тут - [http://wiki.tntu.edu.ua/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83 Категорія:Планування експерименту]

# [[Анкета для збору даних експеримента]]
# [[Статистична гіпотеза]]
# [[Дисперсія адекватності]]
# [[Дисперсії відтворюваності]]
# [[Ефект фактору]]
# [[Симплекс решітчастого планування]]
# [[Квазіоптимальний план]]
# [[Метод еволюційного планування]]
# [[Взаємонейтралізуючі фактори]]
# [[Градієнтні методи оптимізації]]
# [[Однофакторний експеримент]]
# [[Багатофакторний експеримент]]
# [[Фізичний експеримент]]
# [[Математичний експеримент]]
# [[Імітаційний експеримент]]
# [[Реальний експеримент]]
# [[Компютерний експеримент]]
# [[Помилки реєстрації]]
# [[Помилки репрезентативності]]
# [[Потужність критерію]]
# [[Критерій Дункана]]
# [[Метод максимальної правдоподібності]]
# [[Рангова кореляція]]
# [[Бісеріальний коефіцієнт кореляції]]
# [[Рандомізація експерименту]]
# [[Факторіальні експерименти]]
# [[Інтервал невизначеності]]
# [[Функція відклику]]
# [[Статистичні числові характеристики]]
# [[Статистичні імовірності]]
# [[Теорії похибок]]
# [[Імовірнісна оцінка статистичних характеристик]]
# [[Унімодальний розподіл]]
# [[Нуль-гіпотеза]]
# [[Альтернативна гіпотеза]]
# [[Двобічна гіпотеза]]
# [[Однобічна гіпотеза]]
# [[F-розподіл]]
# [[Z-Критерій]]
# [[Х-Критерій]]
# [[Рандомізований критерій]]
# [[Основні задачі аналізу робочих процесів]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]

= Перелік термінів що потрібно розкрити (самостійно дописуємо ваші здобутки) =
Ви можете написати статтю на свою власну тему, якщо вона задовольняє наступні умови:
*Термінів не повинно бути у uk.wikipedia.org, можлививй переклад з російської або інших мов.
*Термін повинен мати відношення до Планування Експерименту.

== ВАШ ВАРІАНТ ТЕМИ: по предмету ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ ==

Щоб закріпити тему за собою напишіть відповідь на [http://dl.tstu.edu.ua/325/forum/634/796/ форумах], і вкажіть: групу, прізвище та конкретну тему, що ви вибрали.

Якщо тема надто широка - сформулюйте її більш-вузько. Бажано вказати які питання ви не плануєте висвітлювати.
<analytics uacct="UA-19815617-1" ></analytics>

Оптимальний план

2012-03-20T08:25:43Z

Northfear:

<center>{{Невідредаговано}}</center>
{{Студент |img=Нема | Name=Галина | Surname=Суханя | FatherNAme=Петрівна |Faculti=ФІС | Group=СН-51 | Zalbook=СН-10-070}}

== '''Оптимальний план''' ==

''Оптимальний'' або ''D-оптимальний план'' – це план, який дає максимальну інформацію при проведенні мінімальної кількості експериментів.
 Нема єдиного способу побудови D-оптимального плану, тому часто вживають вирази план близький до D-оптимального, або ''квазіоптимальний план''.

== '''Критерії оптимальності''' ==
В даний час використовується понад 20 різних критеріїв оптимальності планів, які можна поділити на дві основні групи:
 1) критерії, пов'язані з помилками оцінок коефіцієнтів;
 2) критерії, пов'язані з помилкою оцінки поверхні відгуку.

''Критерії, пов'язані з помилками оцінок коефіцієнтів''
 Критерії першої групи становлять інтерес для задач оптимізації, виділення домінуючих (найбільш значущих) параметрів на початкових етапах вирішення оптимізаційних задач або для виявлення несуттєвих параметрів в задачах відновлення закономірності функціонування об'єкта. Геометричне тлумачення властивостей помилок коефіцієнтів пов'язано з властивостями еліпсоїда їх розсіювання, який визначається математичним сподіванням і дисперсією значень помилок. Просторове розташування, форма, і розмір еліпсоїда повністю залежать від плану експерименту.
 ''Критерієві D-оптимальності'' відповідає мінімальний обсяг еліпсоїда розсіювання помилок. У даному плані ефекти факторів максимально незалежні один від одного. Цей план мінімізує очікувану помилку передбачення функції відгуку.
 ''Критерію A-оптимальності'' відповідає план з мінімальною сумарною дисперсією всіх коефіцієнтів.
 ''Критерію E-оптимальності'' – план, в якому максимальна дисперсія коефіцієнтів буде мінімальна.
 Вибір критерію залежить від задачі дослідження, так при вивченні впливу окремих факторів на поведінку об'єкта застосовують критерій Е-оптимальності, а при пошуку оптимуму функції відгуку – D-оптимальності. Якщо побудова D-оптимального плану викликає труднощі, то можна перейти до А-оптимального плану, побудова якого здійснюється простіше.

''Критерії, пов'язані з помилкою оцінки поверхні відгуку''
 Критерії другої групи використовуються при вирішенні задач опису поверхні відгуку, визначення обмежень на значення параметрів. Основним тут є ''критерій G-оптимальності'', який дозволяє побудувати план з мінімальним значенням найбільшої помилки в описі функції відгуку. Застосування G-оптимального плану дає впевненість у тому, що в області планування немає точок з надмірно великою помилкою опису функції.

== '''Типи планів''' ==
 За співвідношенням між кількістю оцінюваних невідомих параметрів моделі та кількістю точок плану експерименту всі плани поділяються на три класи:
*''ненасичені'' – кількість параметрів менше числа точок плану;
*''насичені'' – обидві величини однакові;
*''наднасичені'' – кількість параметрів більше числа точок плану.
Метод найменших квадратів застосовують тільки при ненасиченому і насиченому плануванні, і він не застосуємо для наднасичена планування.

Серед усіх типів планів основна увага в практичній роботі приділяється ортогональним і рототабельним планам.
 ''Ортогональним'' називається план, для якого виконується умова парної ортогональності стовпців матриці планування, зокрема, для незалежних змінних.
 При ортогональному плануванні коефіцієнти полінома визначаються незалежно один від одного – викреслювання або додавання доданків у функції відгуку не змінює значення інших коефіцієнтів полінома. Для ортогональних планів еліпсоїд розсіювання орієнтований в просторі так, що напрямки його осей співпадають з напрямками координат простору параметрів.

Використання ''рототабельних планів'' забезпечує для будь-якого напрямку від центру експерименту рівнозначність точності оцінки функції відгуку (сталість дисперсії передбачення) на рівних відстанях від центру експерименту. Це особливо важливо при вирішенні задач пошуку оптимальних значень параметрів на основі градієнтного методу, так як дослідник до початку експериментів не знає напрямок градієнта і тому прагне прийняти план, точність якого однакова у всіх напрямках.
 У ряді випадків при дослідженні поверхні відгуку потрібно уніморфність моделі, а саме, дотримання сталості значень дисперсії помилки в деякій області навколо центру експерименту. Виконання такої вимоги доцільно в тих випадках, коли дослідник не знає точно розташування області поверхні відгуку з оптимальними значеннями параметрів. Зазначена область буде визначена на основі спрощеної моделі, отриманої за результатами експериментів.

== Список використаних джерел ==
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. "Математичне планування експериментів в АПК":Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993.-375 с.: іл. ISBN 5-11-002551-1
#[http://opds.sut.ru/electronic_manuals/pe/f012.htm Планування експерименту. Конспект лекцій]

[[Категорія:Планування експерименту]]

Інтерпретація моделей

2012-03-20T08:24:56Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}

<table border="2" style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px">

<tr>
<td colspan="3" align="center">{{{img}}}
</td></tr>
<tr>
<td> Імя </td><td> Тарас
</td></tr>
<tr>
<td> Прізвище </td><td> Івасюк
</td></tr>
<tr>
<td> По-батькові </td><td> Анатолійович
</td></tr>
<tr>
<td> Факультет </td><td> ФІС
</td></tr>
<tr>
<td> Група </td><td> СН-51
</td></tr>
<tr>
<td> Залікова книжка </td><td> СН-10-055
</td></tr></table>

== Інтерпретація моделей ==

Коефіцієнти при незалежних змінних у нормалізованому рівнянні регресії вказують на силу впливу факторів.Чим більше чисельне значення коефіцієнтів, тим більший вплив виявляє фактор. Якщо коефіцієнт має знак плюс, то зі збільшенням значення фактора параметр оптимізації <math>y</math> збільшується, а якщо мінус - зменшується. Значення коефіцієнта відповідає внеску даного фактора у величину параметра оптимізації при переході фактора з нульового рівня на верхній або нижній. Іноді зручно оцінювати внесок фактора при переході від нижнього до верхнього, або навпаки, а не до нульового. Внесок, визначений таким чином, називається ''ефектом фактора'' (іноді його називають основним, або головним ефектом). Чисельно він дорівнює подвоєному коефіцієнту. Для якісних факторів, варійованих на двох рівнях, основний (нульовий) рівень часто не має фізичного змісту. Тому поняття ефект фактора тут є природним.

Для наочності інтерпретації рівняння регресії графічно зображують часткові перерізи гіперповерхні, яка описується цим рівнянням. При цьому, наприклад, по координатних осях відкладають значення двох факторів, а значення відклику зображають параметричне, у вигляді сім'ї кривих.

Працівників агропромислового комплексу, які вперше приступили до вивчення сільськогосподарських або технологічних процесів методами планування експериментів, часто непокоїть обмеженість цих методів, яка полягає в тому, що математичну модель треба будувати тільки у вигляді полінома. Відомо, що більшість теплообмінних, масообмінних, біохімічних та інших процесів підлягають степеневій <math>y=A_x_1^{a_1}_x_2^{a_2}_._._._x_n^{a_n}</math> або експоненціальній закономірності <math>y=A exp x</math>.

Разом з тим ніяких ускладнень в описуванні цих закономірностей рівняннями у вигляді поліномів і фізичної інтерпретації результатів немає. Відомо, що вирівнювання або лінеаризація першого рівняння проводиться логарифмуванням обох його частин, а другого — тільки правої його частини. Після цього фактори замінюють логарифмами і проводять всі розрахунки, як для звичайного рівняння регресії. Відклик у першому випадку також замінюється його логарифмом. Вирівнювати можна також і велику кількість інших закономірностей.
Крім того, можливості фізичної інтерпретації рівнянь в поліномах ширші, ніж інших, наприклад в степенях, оскільки вони дають змогу врахувати взаємний вплив або ефекти взаємодії факторів.

Причиною обережного відношення багатьох дослідників та виробників до планованого експерименту є також побоювання: чи можна з поліноміальннх рівнянь регресії добути інформацію про фізичні явища, які відбуваються в даному технологічному процесі, та про їх взаємозв'язок. Кібернетичний підхід до дослідження технологічних процесів дає абстрактні результати. Треба вживати заходи для того, щоб конкретизувати ці результати, наблизити їх до традиційних форм встановлення зв'язку між змінними.

Одним з таких заходів є геометрична інтерпретація результатів ПФЕ. Відомо, що показати графічно неперервний зв'язок можна тільки між двома змінними. Залежності функції від інших аргументів можна зобразити дискретно, тобто параметрично або неперервно, але в спотвореному за допомогою аксонометричних побудов вигляді. При інтерпретації результатів ПФЕ використовуються обидва ці методи, але перевага віддається першому через його простоту.

== Список використаних джерел ==

1. Математичне планування експериментів в АПК / В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров.-К.:Вища школа,1993.-374с.

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Коефіцієнт конкордації

2012-03-20T08:24:30Z

Northfear:

{{Завдання|morituri|Назаревич О. Б.|18 березня 2012}}
{{Студент | Name=Максим | Surname=Федчук | FatherNAme=Ігорович |Faculti=ФІС | Group=СН-51 | Zalbook=СН-11-220}}
Коефіцієнт конкордації характеризує ступінь погодженості суджень дослідників по всім напрямкам (факторам, параметрам).

== Формули для розрахунку ==
: <math>W=\frac{\sum_{j=1}^n d_j^2}{\frac{1}{12}\biggl[m^2(n^3-n)-m\sum_{i=1}^m T_i\biggr]}</math>
де n - кількість факторів; m - кількість експертів; <math>d_j</math> - відхилення суми від середньої суми; <math>T_i</math> - результати проміжних розрахунків.
: <math>d_j=S_j-\frac{\sum_{j=1}^n S_j}{n}</math>
де <math>S_j</math> - сума рангів.
: <math>S_j=\sum_{i=1}^m R_{ij}</math>
де <math>R_{ij}</math> - матриця оцінок факторів експертами.
: <math>T_i=\sum_{l=1}^L (t_l^3-t_l)</math>
де L - кількість груп зв'язаних (однакових) рангів; <math>t_l</math> - кількість зв'язаних рангів в кожній групі.

== Межі ==
Коефіцієнт конкордації приймає значення від 0 до 1. Чим більше значення коефіцієнта конкордації, тим більший ступінь узгодженості думок експертів. При W=1 є повна узгодженість думок експертів; якщо W=0, то узгодженість практично відсутня.

== Статистична перевірка ==
Одні й ті ж самі проміжні величини W можуть мати різну значущість залежно від m i n. Випадкова величина <math>m(n-1)W</math> при n>7 підлягає <math>\chi^2</math> - розподілу, а отже гіпотезу про наявність згоди експертів можна перевіряти за допомогою критерію Пірсона:
: <math>\chi_p^2=\frac{\sum_{j=1}^n d_j^2}{\frac{1}{12}\biggl[mn(n+1)-\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^m T_i\biggr]}</math>
Якщо <math>\chi_p^2</math> більше, ніж табличне <math>\chi_{kp}^2</math> при числі ступенів вільності n-1, то коефіцієнт конкордації W вважається значущим. У випадку коли n<7 користуються F-розподілом для випадкової величини <math>\frac{1}{2}\ln\frac{(m-1)W}{1-W}</math> з числом ступенів вільності <math>f_1=n-1-2lm</math> і <math>f_2=(m-1)/f_1</math>.

== Вплив експерта на узгодженість групи ==
При оцінці узгодженості думок експертів важливо визначити, в якій мірі кожний експерт впливає на узагальнену узгодженість групи. Для цього послідовно з розрахунків виключається один експерт та обчислюється коефіцієнт конкордації без врахування думок виключеного експерта.Виключати з розрахунків окремих експертів, що мають оригінальну точку зору, необхідно з великою обережністю. В процесі багатотурової експертизи можливі випадки, коли такі експерти привернуть на свій бік значну частину групи.

== Список використаних джерел ==
#Математичне планування експериментів в АПК / В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров.-К.:Вища школа,1993.-374с.
#http://buklib.net/component/option,com_jbook/task,view/Itemid,99999999/catid,204/id,9624/

[[Категорія:Планування експерименту]]

ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ

2012-03-20T08:23:44Z

Northfear:

__NOTOC__
[http://dl.tstu.edu.ua/325/ Дистанційне навчання з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]

== Література в ел.вигляді з предмета "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)" ==
* Прохання до всіх студентів - дописуйте тут перелік літератури в ел.вигляді з вказанням URL
* [[URL_Література_Планування_експерименту| ЛІТЕРАТУРА в інтернеті з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]

== [[Категорія:Планування експерименту]] ==

== Індивідуальні завдання ==
* [[2009-2010рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]
* [[2010-2011рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]
* [[2011-2012рр - Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]

== Орієнтовний перелік тем для ІНДИВІДУАЛЬНОГО ЗАВДАННЯ ==

* [[Вимоги до написання статей у Wiki університету ]]

Теми статей, рекомендованих до написання.
також див. тут - [http://wiki.tntu.edu.ua/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D1%96%D1%8F:%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F_%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%83 Категорія:Планування експерименту]

# [[Анкета для збору даних експеримента]]
# [[Статистична гіпотеза]]
# [[Дисперсія адекватності]]
# [[Дисперсії відтворюваності]]
# [[Ефект фактору]]
# [[Інтерпретація моделей]]
# [[Симплекс решітчастого планування]]
# [[Оптимальний план]]
# [[Квазіоптимальний план]]
# [[Дрейф неоднорідностей]]
# [[Метод еволюційного планування]]
# [[Взаємонейтралізуючі фактори]]
# [[Градієнтні методи оптимізації]]
# [[Симплексний метод оптимізації]]
# [[Однофакторний експеримент]]
# [[Багатофакторний експеримент]]
# [[Фізичний експеримент]]
# [[Математичний експеримент]]
# [[Імітаційний експеримент]]
# [[Реальний експеримент]]
# [[Мислений експеримент]]
# [[Компютерний експеримент]]
# [[Критичний експеремент]]
# [[Помилки реєстрації]]
# [[Помилки репрезентативності]]
# [[Потужність критерію]]
# [[Критерій Дункана]]
# [[Метод максимальної правдоподібності]]
# [[Рангова кореляція]]
# [[Бісеріальний коефіцієнт кореляції]]
# [[Рандомізація експерименту]]
# [[Факторіальні експерименти]]
# [[Інтервал невизначеності]]
# [[Функція відклику]]
# [[Статистичні числові характеристики]]
# [[Статистичні імовірності]]
# [[Теорії похибок]]
# [[Імовірнісна оцінка статистичних характеристик]]
# [[Унімодальний розподіл]]
# [[Нуль-гіпотеза]]
# [[Альтернативна гіпотеза]]
# [[Двобічна гіпотеза]]
# [[Однобічна гіпотеза]]
# [[F-розподіл]]
# [[Z-Критерій]]
# [[Х-Критерій]]
# [[Критерій Вальда]]
# [[Рандомізований критерій]]
# [[Основні задачі аналізу робочих процесів]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]
# [[]]

= Перелік термінів що потрібно розкрити (самостійно дописуємо ваші здобутки) =
Ви можете написати статтю на свою власну тему, якщо вона задовольняє наступні умови:
*Термінів не повинно бути у uk.wikipedia.org, можлививй переклад з російської або інших мов.
*Термін повинен мати відношення до Планування Експерименту.

== ВАШ ВАРІАНТ ТЕМИ: по предмету ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ ==

Щоб закріпити тему за собою напишіть відповідь на [http://dl.tstu.edu.ua/325/forum/634/796/ форумах], і вкажіть: групу, прізвище та конкретну тему, що ви вибрали.

Якщо тема надто широка - сформулюйте її більш-вузько. Бажано вказати які питання ви не плануєте висвітлювати.
<analytics uacct="UA-19815617-1" ></analytics>

Статистичне спостереження

2012-03-20T08:22:06Z

Northfear:

<center>{{Невідредаговано}}</center>
{{Студент |img=Нема | Name=Тарас | Surname=Лучків | FatherNAme=Ігорович |Faculti=ФІС | Group=СН-51 | Zalbook=СН-10-061}}

==Суть та організаційні форми статистичного спостереження==
[[Файл:b24c228b1ecc.jpg|right|thumb|200px]]
Статистичне спостереження є першим етапом статистичного дослідження. Він є дуже важливим, бо від отриманих результатів буде залежати подальший хід дослідження. Інформація, отримана шляхом статистичного спостереження повинна:
*бути достовірною;
*носити масовий характер (значення повинні носити узагальнюючий характер на якомусь великому масиві, адже статистика – це спостереження саме за масовими явищами і процесами);
*бути порівняльною (вираженою в таких одиницях виміру, які роблять можливим її порівняння з аналогічною інформацією).
'''Статистична інформація''' – це сукупність статистичних даних, що відображають соціально-економічні процеси і використовуються в процесі управління економікою. Статистична інформація – це первинний статистичний матеріал, який формується в процесі статистичного спостереження, групується, аналізується, узагальнюється і на основі якого робляться висновки.

'''Статистичне спостереження''' – це науково організований збір масових даних про явища та процеси, які відбуваються в суспільстві.

Спостереження не завжди буває статистичним (наприклад, спостереження за якістю продукції на ринку не є статистичним).
Спостереження буде статистичним тоді, коли:
*вивчаються статистичні закономірності (ті закономірності, які проявляються в масовому процесі у великої кількості одиниць сукупності)
*ведеться реєстрація фактів, які заносяться у відповідні документи і підлягають подальшому аналізу.

Отже можна доповнити, що статистичне спостереження повинно бути: масовим, планомірним, мати певний характер повторюваності (одноразовим, періодичним або систематичним).

==План статистичного спостереження==

Будь-яке статистичне спостереження планується і проводиться за певним планом.
План статистичного спостереження містить дві частини:

'''1. Програмно-методологічна частина'''

Першим завданням у програмно-методологічній частині є мета дослідження.
 Далі необхідно визначити об'єкт дослідження(узагальнено можна сказати, що об'єктом статистичного спостереження є суспільні явища і процеси, які мають досліджуватися).
 По-третє, визначається одиниця спостереження.
'''Одиниця спостереження''' – це той первинний елемент об'єкту дослідження, який є носієм інформації, за допомогою якої збираються необхідні статистичні дані.
Одиниці спостереження слід відрізняти від одиниці сукупності. Якщо одиниця спостереження – це носій інформації, то одиниця сукупності – це носій ознаки. Інколи вони співпадають (наприклад, перепис населення).
 Після визначення одиниці спостереження, переходимо до визначення програми – переліку питань або ознак, на які повинні бути отримані відповіді в процесі дослідження. Оформлюється цей перелік питань у вигляді бланку, формуляру чи анкети.

'''2. Організаційна частина'''

Ця частина вказує:
*місце де безпосередньо реєструються ознаки окремої одиниці сукупності в статистичних формах;
*час – це той час, до якого відносяться дані зібраної інформації (наприклад, сезон при дослідженні в сільському господарстві).
 Важливість цього показника в тому, що ми маємо досліджувати об'єкт в його звичайному стані;
Час може бути об'єктивним і суб'єктивним.
'''Об'єктивний час''' – це момент чи період часу, до якого відносяться зібрані дані.
'''Суб'єктивний час''' – це дата або період, протягом якого збирають дані.
 ''Наприклад'', при складанні платіжного балансу країни за 1998 рік, об'єктивний час:1.01.1998 – 31.12.1998, суб'єктивний час: 10.01.1999-17.01.1999 (якщо інформація збиралась у цей проміжок часу).
 Існує також критичний момент спостереження – момент часу, на який припадає реєстрація відомостей.
 ''Наприклад'', при переписі населення у 1984 році реєстрація була проведена в ніч з 11 на 12 січня (критичний момент), в той час, як суб'єктивний час дорівнював 1 тижню (12 – 19 січня).

*хто буде проводити: органи державної статистики, окремі установи, інститути, лабораторії чи окремі люди (визначаються їх права і обов'язки);
*строк проведення – початок і кінець збору інформації;
*графік проведення;
*матеріально-технічну базу;
*форми, способи і види статистичного спостереження.

Існує дві форми статистичного спостереження:
#Статистична звітність – це головна форма статистичного спостереження, за її допомогою статистичні органи отримують необхідні дані у вигляді звітних документів, які встановлюються законодавством. Ці дані можуть бути періодичними (річна, піврічна, квартальна, щомісячна, щотижнева, щоденна). Статистична звітність може бути загальнодержавна і відомча. Відомча звітність може мати окремі бланки, не схожі на загальнодержавні, носити закритий характер.
#Спеціально організоване статистичне спостереження проводиться з метою отримання додаткових даних чи відомостей, які відсутні в звітності, або з метою їх перевірки. Прикладом може бути перепис населення, перепис обладнання тощо. Популярності сьогодні набуває моніторинг – спеціально організоване статистичне спостереження за станом явищ, об'єктів і процесів сукупності, які характеризуються суспільно-політичними, суспільно-економічними індикаторами (переважно це ціни, індекси, рейтинги).

==Види і способи статистичного спостереження==

'''Види статистичного спостереження'''

*за часом проведення: одноразове, періодичне і поточне.
Поточне (безперервне) спостереження – спостереження, яке здійснюється в часі безперервно коли факти, події і явища реєструються в момент їх виникнення. Прикладом може бути реєстрація шлюбів, розлучення інші операції органів запису громадських актів.
Одноразові і періодичні спостереження відносяться до групи так званих переривчастих спостережень – коли факти реєструються в певні проміжки часу. Прикладом одноразового спостереження може бути перепис населення, періодичного – перепис обладнання, залишків сировини і матеріалів.
*за охватом елементів сукупності або за повнотою охоплення одиниць спостереження: суцільне і несуцільне.
Суцільне спостереження – це таке спостереження, при якому реєстрації підлягають всі одиниці сукупності.
 Несуцільне спостереження – лише певна частина одиниць сукупності підлягає реєстрації. Несуцільне спостереження може бути:
#вибірковим – таке спостереження, при якому сукупність фактів характеризується за деякою частиною, відібраною випадково;
#спостереження основного масиву – полягає в тому, що з усієї сукупності одиниць вивченню підлягає переважна їх частина.
#монографічне спостереження – передбачає детальний опис невеликої кількості або окремих одиниць сукупності, які можуть вважатися типовими.
#анкетне спостереження – заключається в тому, що певному колу осіб роздається (розсилається анкета) з проханням заповнити і повернути її. Анкетування носить добровільний характер, тому часто намагаються зацікавити респондента, щоб отримати від нього відповідь. Проте ступінь повернення анкет дуже низька: близько 40%.

'''Способи одержання інформації'''

#Безпосередній облік фактів – використовується тоді, коли ви маєте безпосередній доступ до фактів.
#Документальний – отримання інформації через документи первинного обліку;
#Опитування – інформація отримується у вигляді відповіді на поставлене запитання.
Опитування може бути:
*експедиційне (усне) – реєстратори заповнюють формуляри спостереження і водночас перевіряють правильність відповідей і їх вірогідність;
*самореєстрація – респонденти самі записують відповіді в статистичних формулярах; недоліком такого способу є велика кількість помилок;
*кореспонденція – спеціальні дописувачі заповнюють формуляри згідно з інструкцією і передають відомості до статистичних органів. Кореспонденти бувають добровільні чи платні. Прикладом може бути нагляд за якістю продукції;
*анкетне;
*явочне – респонденти самостійно з'являються до органів статистики і повідомляють дані про себе. Прикладом може бути постановка на облік у військкоматі, оформлення шлюбів.

==Помилки спостереження і контроль вірогідності за ними==

Статистична інформація, яку одержують в процесі статистичного спостереження, підлягає перевірці та контролю. Перевіряється як повнота охоплення одиниць сукупності, так і повнота і правильність заповнення формулярів. Розбіжність між записами у формулярі та реальними значеннями ознак має назву помилки спостереження. Розрізняють помилки реєстрації та помилки репрезентативності.
 Помилки реєстрації виникають в наслідок неправильного встановлення факту або помилкового запису у формулярі. Вони поділяються на випадкові та систематичні. Випадкові помилки виникають під впливом випадкових чинників і дають викривлення даних як більшу, так і в меншу сторони. Систематичні помилки призводять до викривлення інформації у певному напрямку. Вони бувають навмисними і ненавмисними. Навмисні помилки виникають внаслідок свідомого викривлення фактів або даних. Їх часто називають приписками. Посадові особи, які допускають такого роду помилки притягаються до відповідальності. Ненавмисні помилки пов'язані з особливостями психіки людини, наприклад схильність до заокруглення цифр.
 Помилки репрезентативності виникають лише при проведенні несуцільних спостережень і зумовлюються тим, що обстежується тільки частина сукупності. Такі помилки є об'єктивними, їх можна кількісно оцінити та врахувати.

Помилки спостереження виявляються та усуваються після перевірки та контролю формулярів. Контроль починається із зовнішнього огляду формуляру на предмет повноти та якості його заповнення. Далі здійснюється логічний та арифметичний контроль. Логічний контроль полягає у зіставленні відповідей на питання, які пов'язані між собою. Арифметичний контроль передбачає перевірку правильності підрахування сум та інших розрахункових операцій.

Для запобігання помилкам перш за все здійснюється зовнішній контроль статистичного формуляру – правильність заповнення, відповідність даних запитанням тощо. Потім здійснюється логічний контроль – співставлення відповідей на взаємозв'язані питання. Потім проводиться арифметичний контроль – він дозволяє перевірити правильність кількості взаємозв'язаних одиниць сукупності.

== Список використаних джерел ==
#[http://www.referatbar.ru/referats/46706-2.html Статистика. Конспект лекцій]
#[http://buklib.net/index.php?option=com_jbook&catid=97 Статистика. Конспект лекцій, Тернопіль, 2006р.]

[[Категорія:Планування експерименту]]

Теорія Хаосу

2012-03-20T08:20:46Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
<center>
{|
|-
{{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/795 Теорія хаосу.]}}
|}
</center>
 
{{Студент | Name=Андрій | Surname=Кривень | FatherNAme=Васильович |Faculti=ФІС | Group= СНм-51 | Zalbook=СН-10-084}}
 

'''Теорією хаосу''' називають підрозділ математики та фізики, який займається дослідженням систем, динаміка яких, за певних умов, значною мірою залежить від початкових умов, що робить довгострокове прогнозування неможливим.

==Історія розвитку ==

Теорія хаосу як така почала формуватися тільки з середини двадцятого століття, навіть незважаючи на спроби зрозуміти хаос в першій половині цього ж сторіччя. 
1880-ті роки – Анрі Пуанкаре (вважається першим дослідником хаосу) з’ясував, що можуть бути неперіодичні орбіти, які постійно і не видаляються і не наближаються до конкретної точки. 
1898 рік – Жак Адамар видав роботу про хаотичний рух вільної частинки, яка ковзала без тертя по поверхні постійної кривизни. 
1960 рік – Бенуа Мандельброт знайшов повторювані зразки в кожній групі даних про ціни на бавовну, і виявив, що помилки неминучі і повинні бути заплановані. 
1961 рік – Едвард Лоренц, працюючи над прогнозуванням погоди, випадково зацікавився хаосом. Лоренц виявив, що найменші зміни в первісних умовах викликають великі зміни в результаті. 
27 листопада 1961 р. – Аспірант лабораторії Кіотського університету Й. Уеда, експериментуючи з аналоговими обчислювальними машинами, зауважив деяку закономірність і назвав її "випадкові явища перетворень". 
1967 рік – Б.Мандельброт видав роботу "Якої довжини узбережжя Великобританії? Статистичні дані подібностей і відмінностей у вимірах", в якій довів, що дані про довжину берегової лінії змінюються в залежності від масштабу вимірювального приладу. 
1975 рік – Б.Мандельброт опублікував роботу “Фрактальна геометрія природи”, яка стала Класичною теорією хаосу. 
Грудень 1977 року – Нью-Йоркською академією наук організовано перший симпозіум присвячений теорії хаосу 
1978 рік – Мітчелл Файгенбаум видав статтю "Кількісна універсальність для нелінійних перетворень”. Особливість його роботи в полягає в тому, що він встановив універсальність в хаосі і застосовував теорію хаосу до багатьох явищ. 
1979 рік – Альберт Дж. Лібчейбр на симпозіумі в Осині представив свої експериментальні спостереження каскаду роздвоєння, що веде до хаосу.
1986 рік – Альберта Дж. Лібчейбра разом з Мітчеллом Дж. Файгенбаумом нагородили премією Вольфа у фізиці "за блискучу експериментальну демонстрацію переходів до хаосу в динамічних системах". 
1986 рік – Нью-Йоркська Академія Наук разом з національним Інститутом Мозку і центром Військово-морських досліджень організували першу важливу конференцію з хаосу в біології та медицині . 
1987 рік – Пер Бак, Чао Тан і Курт Вісенфелд надрукували статтю в газеті, де вперше описали систему самодостатності (СС), яка є одним з природних механізмів. CC пояснювала безліч природних явищ (землетруси, сонячні сплески, коливання в економічних системах, формування ландшафту, лісові пожежі, зсуви, епідемії). 
1987 рік – видана праця Джеймса Глейка “Хаос: створення нової науки”, яка стала бестселером і представила широкій публіці загальні принципи теорії хаосу і її хронологію. 

== Фізичний і динамічний хаос ==

Істотну роль у світогляді філософів древності (зокрема, представників школи Платона), відіграли поняття хаосу і порядку. За уявленнями Платона і його учнів, хаос – це стан матерії, що залишається в міру усунення можливостей прояву її властивостей. З іншого боку, з хаосу виникає все, що становить зміст світобудови, тобто з хаосу може народжуватися порядок . 
Фундаментальними, але все-таки недостатньо чітко визначеними в фізиці поняттями є "хаос" та "хаотичний рух". Згідно з Больцманом, найбільш хаотичним є рух у стані рівноваги. Однак, хаотичними називають і рухи, далекі від рівноважного (наприклад, рух у генераторах шуму, призначених для придушення сигналів). 
Різного роду турбулентні рухи в газах і рідинах також називають хаотичними. Прикладом може бути турбулентний рух рідини у трубах. Він виникає із ламінарного руху при досить великому перепаді тиску на кінцях труби. При цьому уявлення про турбулентний рух як більш хаотичний, ніж ламінарний, здається зрозумілим. Однак, такий висновок базується на змішуванні понять складності й хаотичності. При спостереженні турбулентного руху проявляється саме складність руху. Питання ж про ступінь хаотичності вимагає додаткового аналізу й для кількісних оцінок необхідні відповідні критерії. 
Широко використовується в останні роки поняття "динамічний хаос" для характеристики складних рухів у порівняно простих динамічних системах. Слово "динамічний" означає, що відсутні джерела флуктуації – джерела безладдя. 
Поняття "динамічна система" з цієї причини ідеалізоване. "Фізичним хаосом" можна назвати більш реальний хаотичний рух з врахуванням випадкових джерел руху. Його прикладом і є хаотичний рух атомів і молекул у стані рівноваги.
Математичне поняття "динамічний хаос" простежується в роботах А. Пуанкаре й А.Н. Колмогорова. Перший приклад динамічного хаосу був виявлений в роботі Едварда Лоренца в 1963 році. Він досліджував рішення рівнянь, які служать математичною моделлю конвективного руху в газах і рідинах. Мова йде про відкриту систему. Уявімо собі шар рідини, що підігрівається знизу. Конвективний рух виражається в тому, що більш нагріті елементи рідини переміщуються вгору, а холодніші – вниз. Відбувається передача тепла знизу вгору. При досить малих градієнтах температури перенесення тепла визначається за рахунок теплопровідності. Це молекулярний неорганізований процес. Він не супроводжується впорядкованим гідродинамічним рухом, який міг би, подібно до регулювання вуличного руху, управляти перенесенням тепла. Ситуація істотно змінюється, коли градієнт температури перевищує деяке критичне значення. Зміна проявляється в тому, що в рідині виникає впорядкований макроскопічний рух. Він і називається конвективним. У результаті відбувається саморегулювання теплового потоку: тепліша рідина піднімається вгору, а по краях більш холодна опускається вниз. Таким чином, розподіл зустрічних теплових потоків стає впорядкованим. Ця ситуація нагадує регулювання зустрічних потоків при вуличному русі. Є, однак, і суттєва різниця. Дійсно, регулювання вуличного руху регламентується правилами вуличного руху. При конвективному ж русі має місце процес самоорганізації. Задається лише градієнт температури. Перебудова ж руху відбувається завдяки внутрішнім властивостям самої системи. Результат цієї перебудови проявляється в тому, що на поверхні рідини з'являється дисипативна просторова структура – комірки Бенара. Завдяки такій перебудові забезпечується більша пропускна здатність, ніж при молекулярному неврегульованому теплоперенесенні. 

== Застосування теорії хаосу ==

Можливості застосування теорії хаосу розширювались одночасно з появою більш дешевих та потужніших комп'ютерів. В даний час, теорія хаосу продовжує бути дуже активною областю досліджень, залучаючи багато різних дисциплін, таких як математика, топологія, фізика, біологія, метеорологія, астрофізика, теорія інформації. В багатьох наукових дисциплінах (математика, біологія, інформатика, економіка, інженерія, фінанси, філософія, фізика, політика, психологія та робототехніка) застосовується теорія хаосу. У лабораторії хаотичну поведінку можна спостерігати в різних системах, наприклад електричні схеми, лазери, хімічні реакції, динаміка рідин і магнітно-механічних пристроїв. У природі хаотична поведінка спостерігається в русі супутників сонячної системи, еволюції магнітного поля астрономічних тіл, прирості населення в екології, динаміці потенціалів у нейронах і молекулярних коливаннях. Крім того, є навіть сумніви про існування динаміки хаосу в тектоніці плит і в економіці. Одне з найбільш успішних застосувань теорії хаосу було в екології, коли динамічні системи схожі на модель Рікера використовувалися, щоб показати залежність приросту населення від його щільності. Теорія хаосу, в даний час, також застосовується в медицині при вивченні епілепсії для уникнення приступів, враховуючи первісний стан організму. Зв'язок між хаосом і квантовою механікою досліджує така область фізики як квантова теорія хаосу. Для опису систем, які розвиваються за законами загальної теорії відносності, нещодавно з'явилася нова галузь названа хаосом відносності.

== Перелік літературних джерел ==

#Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. 3-е изд. М.: УРСС, 2001.
#http://www.astronet.ru/db/msg/1175805/page2.html#physchaos
#http://pda.coolreferat.com/Фізика_відкритих_систем_Синергетика
#http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_хаоса

{{Завдання:Виступ|Кривень Андрій Васильович (k-and-v)|24 лютого 2011|Теорія хаосу}}
[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Нейронні мережі

2012-03-20T08:20:28Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
<center>
{|
|-
{{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/769 Нейронні мережі. Реалізація в MatLab.]}}
|}
</center>
 
{{Студент | Name=Володимир | Surname=Симчак | FatherNAme=Сергійович |Faculti=ФІС | Group= СНм-51 | Zalbook=СН-10-097}}
 

== Біологічні нейронні мережі ==
Нервова система людини побудована з елементів (нейронів), має приголомшуючу складність. [[Файл:Biolneir.jpg|right|thumb|350px|Біологічний нейрон]]Близько 1011 нейронів беруть участь в приблизно 1015 передаючих зв'язках, що мають довжину метр і більше. Кожен нейрон володіє багатьма якостями, спільними з іншими елементами тіла, але його унікальною здатністю є прийом, обробка і передача електрохімічних сигналів по нервових шляхах, які утворюють комунікаційну систему мозку.
Дендрити (входи нейрона) йдуть від тіла нервової клітини до інших нейронів, де вони приймають сигнали в точках з'єднання (синапсах). Прийняті синапсом вхідні сигнали підводяться до тіла нейрона. Тут вони підсумовуються, причому одні входи стимулюють активізацію нейрона, а інші – зниження його активності. Коли сумарна активність (збудження) нейрона перевищує деякий поріг, нейрон переходить в активний стан, посилаючи по аксону (виходу нейрона) сигнал іншим нейронам. У цієї основної функціональної схеми багато спрощень і виключень, проте більшість штучних нейронних мереж моделює лише ці прості властивості.

== Історія розвитку штучних нейронних мереж ==
1943 рік — Норберт Вінер разом з співробітниками публікує роботу про кібернетику. Основною ідеєю є представлення складних біологічних процесів математичними моделями. 
1943 рік — Маккалок та Піттс формалізують поняття нейронної мережі у фундаментальній статті про логічне числення ідей і нервової активності. 
1949 рік — Хебб пропонує перший алгоритм навчання. 
У 1958 році Розенблаттом винайдений перцептрон. Перцептрон набуває популярності — його використовують для розпізнавання образів, прогнозування погоди і т. д. 
У 1960 році Уідроу спільно зі своїм студентом Хоффом на основі дельта-правила розробили ADALINE, який відразу почав використовуватися для завдань пророцтва і адаптивного управління. Зараз ADALINE (адаптивний суматор) є стандартним елементом багатьох систем обробки сигналів. 
У 1961 році під керівництвом Бонгарда розроблена програма «Кора» : «.завдання Кори — пошук розділяючого правила після того, як знайдені оператори, що дають досить чіткі характеристики об'єкту або його частин». 
У 1969 році Мінський публікує формальний доказ обмеженості перцептрона і показує, що він нездатний вирішувати деякі завдання, пов'язані з інваріантністю представлень. Інтерес до нейронних мереж різко спадає. 
1974 рік — Пол Дж. Вербос, і А. І. Галушкін одночасно винаходять алгоритм зворотного поширення помилки для навчання багатошарових перцептронів. 
1975 рік — Фукушима представляє Когнитрон — мережу, що самоорганізовується, призначену для інваріантного розпізнавання образів, але це досягається тільки за допомогою запам'ятовування практично усіх станів образу. 
1982 рік — після тривалого занепаду, інтерес до нейромереж знову зростає. Хопфілд показав, що нейронна мережа із зворотними зв'язками може бути системою, що мінімізує енергію (так звана мережа Хопфілда). Кохоненом представлені моделі мережі, що навчається без учителя (нейронна мережа Кохонена). 
1986 рік —Румельхартом, Хінтоном і Вільямсом та незалежно і одночасно Барцевим та Охониним перевідкритий та істотно розвинений метод зворотного поширення помилки. Почався вибух інтересу до навчаних нейронних мереж.

== Штучний нейрон ==
Основними компонентами нейромережі є нейрони /neurons/ (елементи, вузли), які з’єднані зв’язками. Сигнали передаються по зваженим зв’язкам (connection), з кожним з яких пов’язаний ваговий коефіцієнт (weighting coefficient) або вага.
Моделі НМ – програмні і апаратні, найбільш поширені – програмні.[[Файл:Shtneir.jpg|left|thumb|350px|Штучний нейрон]]
Використання – розпізнавання образів, прогнозування, створення асоціативної пам’яті.
Штучний нейрон імітує в першому наближенні властивості біологічного нейрона. На вхід штучного нейрона поступає множина сигналів, які є виходами інших нейронів. Кожен вхід множиться на відповідну вагу, аналогічну його синаптичній силі, і всі виходи підсумовуються, визначаючи рівень активації нейрона.
Хоча мережеві парадигми досить різноманітні, в основі майже всіх їх лежить ця конфігурація. Тут множина вхідних сигналів, позначених x1, x2,…, xn, поступає на штучний нейрон. Ці вхідні сигнали, в сукупності позначаються вектором X, відповідають сигналам, що приходять в синапси біологічного нейрона. Кожен сигнал множиться на відповідну вагу w1, w2,…, wn, і поступає на сумуючий блок, позначений Σ. Кожна вага відповідає «силі» одного біологічного синаптичного зв'язку (множина ваг в сукупності позначається вектором W). Сумуючий блок, який відповідає тілу біологічного нейрона, складає зважені входи алгебраїчно, створюючи вихід, який ми називатимемо NET.

== Активіаційні функції ==
Сигнал NET далі, як правило, перетворюється активаційною функцією F і дає вихідний нейронний сигнал OUT = F(NET). Активаційна функція F(NET) може бути: 
1. Пороговою бінарною функцією
<center> [[Файл:Math1.jpg]] </center>
де Т – деяка постійна порогова величина, або ж функція, що точніше моделює нелінійну передавальну характеристику біологічного нейрона.
 2. Лінійною обмеженою функцією
<center> [[Файл:Math2.jpg]] </center>
3. Функцією гіперболічного тангенса
<center> [[Файл:Math3.jpg]] </center>
де С > 0 – коефіцієнт ширини сигмоїди по осі абсцис (звичайно С=1).
 4. Сигмоїдною (S-подібною) або логістичною функцією
<center> [[Файл:Math4.jpg]] </center>
З виразу для сигмоїда очевидно, що вихідне значення нейрона лежить в діапазоні [0,1]. Популярність сигмоїдної функції зумовлюють наступні її властивості:
*здатність підсилювати слабкі сигнали сильніше, ніж великі, і опиратися “насиченню” від потужних сигналів;
*монотонність і диференційованість на всій осі абсцис;
*простий вираз для похідної, що дає можливість використовувати широкий спектр оптимізаційних алгоритмів.

== Персептрон ==
Перші персептрони були створені Ф.Розенблатом у 60-х роках і викликали великий інтерес. [[Файл:Perceptron.png|right|thumb|350px|Персептрон]]Первинна ейфорія змінилася розчаруванням, коли виявилося, що персептрони не здатні навчитися рішенню ряду простих задач. М.Мінський строго проаналізував цю проблему і показав, що є жорсткі обмеження на те, що можуть виконувати одношарові персептрони, і, отже, на те, чому вони можуть навчатися. Оскільки у той час методи навчання багатошарових мереж не були відомі, дослідники перейшли в більш багатообіцяючі області, і дослідження у області нейронних мереж прийшли в занепад. Відкриття методів навчання багатошарових мереж більшою мірою, ніж який-небудь інший чинник, вплинуло на відродження інтересу і дослідницьких зусиль.
Навчання персептрона:
*Ініціалізація вагових матриць W (випадкові значення)
*Подати вхід X і обчислити вихід Y для цільового вектора YT
*Якщо вихід правильний – перейти на крок 4; інакше обчислити різницю D = YT – Y; модифікувати ваги за формулою:
<center>wij(e+1) = wij(e) + α D Хі,</center>
де wij(e) – значення ваги від нейрона i до нейрона j до налагодження, wij(e+1) – значення ваги після налагодження, α – коефіцієнт швидкості навчання, Хi – вхід нейрона i, e – номер епохи (ітерації під час навчання).
*Виконувати цикл з кроку 2, поки мережа не перестане помилятися. На другому кроці у випадковому порядку пред’являються всі вхідні вектори.
Один з найпесимістичніших результатів Мінського показує, що одношаровий персептрон не може відтворити таку просту функцію, як ВИКЛЮЧАЄ АБО. Це функція від двох аргументів, кожний з яких може бути нулем або одиницею. Вона приймає значення одиниці, коли один з аргументів рівний одиниці (але не обидва).

== Багатошарові нейронні мережі ==
Багатошарові (1986 р.) мережі володіють значно більшими можливостями, ніж одношарові. [[Файл:Manynm.png|right|thumb|350px|Багатошарова НМ]]Проте багатошарові мережі можуть привести до збільшення обчислювальної потужності в порівнянні з одношаровими лише в тому випадку, якщо активаційна функція між шарами буде нелінійною. Обчислення виходу шару полягає в множенні вхідного вектора на першу вагову матрицю з подальшим множенням (якщо відсутня нелінійна активаційна функція) результуючого вектора на другу вагову матрицю (XW1)W2. Оскільки множення матриць асоціативне, то X(W1W2). Це показує, що двошарова лінійна мережа еквівалентна одному шару з ваговою матрицею, рівною добутку двох вагових матриць. Отже, для лінійної активіаційної функції будь-яка багатошарова лінійна мережа може бути замінена еквівалентною одношаровою мережею.

== Навчання нейронних мереж ==
Мережа навчається, щоб для деякої множини входів X давати бажану множину виходів Y. Кожна така вхідна (або вихідна) множина розглядається як вектор. Навчання здійснюється шляхом послідовного пред'явлення вхідних векторів з одночасним налагодженням ваг відповідно до певної процедури. В процесі навчання ваги мережі поступово стають такими, щоб кожен вхідний вектор виробляв вихідний вектор. Розрізняють алгоритми навчання з вчителем і без вчителя, детерміновані і стохастичні.
 ''Навчання з вчителем.''
 Навчання з вчителем припускає, що для кожного вхідного вектора X існує цільовий вектор YT, що є необхідним виходом. Разом вони називаються навчальною парою. Звичайно мережа навчається для деякої кількості таких навчальних пар (навчальної множини). В ході навчання зчитується вхідний вектор X, обчислюється вихід мережі Y і порівнюється з відповідним цільовим вектором YT, різниця D ~ YT – Y за допомогою зворотного зв'язку подається в мережу і змінюються ваги W відповідно до алгоритму, прагнучого мінімізувати помилку ε. Зчитування векторів навчальної множини і налагодження ваг виконується до тих пір, поки сумарна помилка для всієї навчальної множини не досягне заданого низького рівня.
 ''Навчання без вчителя''
 Не зважаючи на численні прикладні досягнення, навчання з вчителем критикувалося за свою біологічну неправдоподібність. Важко уявити навчальний механізм в мозку, який би порівнював бажані і дійсні значення виходів, виконуючи корекцію за допомогою зворотного зв'язку. Якщо допустити подібний механізм в мозку, то звідки тоді виникають бажані виходи? Навчання без вчителя є набагато правдоподібнішою моделлю навчання в біологічній системі. Розвинена Кохоненом і багатьма іншими, вона не потребує цільового вектора для виходів і, отже, не вимагає порівняння з ідеальними відповідями. Навчальна множина складається лише з вхідних векторів. Навчальний алгоритм налагоджує вагу мережі так, щоб виходили узгоджені вихідні вектори, тобто щоб пред'явлення досить близьких вхідних векторів давало однакові виходи. Процес навчання виділяє статистичні властивості навчальної множини і групує схожі вектори в класи.
 ''Алгоритми навчання''
 Більшість сучасних алгоритмів навчання виросла з концепцій Хебба. Ним запропонована модель навчання без вчителя, в якій синаптична сила (вага) зростає, якщо активовані обидва нейрони, джерело і приймач. Таким чином, часто використовувані шляхи в мережі посилюються і феномен звички і навчання через повторення одержує пояснення.
У штучній нейронній мережі, що використовує навчання по Хеббу, нарощування ваг визначається добутком рівнів збудження передаючого і приймаючого нейронів. Це можна записати як
<center>wij(e+1) = w(e) + α OUTi OUTj,</center>
де wij(e) - значення ваги від нейрона i до нейрона j до налагодження, wij(e+1) - значення ваги від нейрона i до нейрона j після налагодження, α - коефіцієнт швидкості навчання, OUTi - вихід нейрона i та вхід нейрона j, OUTj - вихід нейрона j; e – номер епохи (ітерації під час навчання).
Для навчання нейромереж в багатьох випадках використовують алгоритм зворотного розповсюдження помилки. Розв’язок задачі за допомогою нейронної мережі зводиться до наступних етапів:
#Вибрати відповідну модель мережі (наприклад, трьохшарову )
#Визначити топологію мережі (кількість елементів та їх зв’язки)
#Вказати спосіб навчання (наприклад, зі зворотним розповсюдженням помилок) і параметри навчання
Кількість прихованих елементів – не менша за кількість вхідних.

== Список використаних джерел ==
#[http://ru.wikipedia.org/wiki/Алгоритм_Левенберга_—_Марквардта Алгоритм Левенберга — Марквардта]
#[http://catalog.gaw.ru/index.php?page=document&id=1438 Matlab для DSP. Нейронные сети: графический интерфейс пользователя]
#[http://www.ukrreferat.com/index.php?referat=51882 Архітектура нейронної мережі]
#[http://www.machinelearning.ru/wiki/index.php?title=Нейронные_сети Искусственная нейронная сеть]

[[Категорія:Планування експерименту]]

Дробовий факторний експеримент

2012-03-20T08:16:48Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= Сергій | Surname=Вельмик | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

= Вступ =

Кількість дослідів в повному факторному експерименті значно перевершує число визначуваних коефіцієнтів лінійної моделі. Іншими словами, повний факторний експеримент володіє великою надмірністю дослідів. Було б оптимально скоротити їх число за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна при побудові лінійних моделей. При цьому, щоб матриця планування не втратила своїх оптимальних властивостей. Зробити це не так просто, але все таки можливо. Одним з шляхів мінімізації числа дослідів є дробовий факторний експеримент.

=Дробовий факторний експеримент=

Дробовий факторний експеримент – це частина ПФЕ, який мінімізує число дослідів, за рахунок тієї інформації, яка не дуже істотна для побудови лінійної моделі. Для повного факторного експерименту типу <math>2^2</math> рівняння регресії з урахуванням ефектів взаємодії можна представити залежністю <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_12x_1x_2</math> Для цього експерименту матрицю планування наведено в таблиці 1.

<table width="40%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1 - Матриця планування для ПФЕ
</caption>
<tr>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_0</math> </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x_1x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>y</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">2 </th>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">3 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> <math>y_3</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center">4 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> <math>y_4</math>  </td>
</tr>
</table>

При k=2 побудова матриць повного факторного експерименту не викликає труднощів, тому що всі можливі сполучення рівнів факторів легко знайти простим перебором. При збільшенні числа факторів (k>3) кількість можливих сполучень рівнів швидко зростає. Якщо при одержанні моделі можна обмежитися, лінійним наближенням <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+...+b_kx_k</math>, то число експериментів можна різко скоротити в результаті використання дробового факторного експерименту. Так у повному факторному експерименті типу <math>2^2</math> при лінійному наближенні можна прийняти, що коефіцієнт лінійної моделі <math>b_12</math>, дорівнює нулю, а стовпець <math>x_1x_2</math> матриці (таблиці 2)використовувати для третього фактору <math>x_3</math>.

<table width="40%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 2 - Матриця планування для ДФЕ
</caption>
<tr>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_0</math> </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x3(x_1x_2)</math> </th>
<th scope="col"><math>y</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> <math>y_1</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">2 </th>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> +  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> -  </td>
<td scope="row" align="center"> <math>y_2</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">3 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> -  </td>
<td align="center"> <math>y_3</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center">4 </th>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> +  </td>
<td align="center"> <math>y_4</math>  </td>
</tr>
</table>

При цьому для визначення коефіцієнтів лінійної моделі <math>y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3</math> досить провести чотири експерименти замість восьми в повному факторному експерименті типу <math>2^3</math>.

=Дробові репліки=

Дробовою реплікою називають план експерименту, що є частиною плану повного факторного експерименту. Дробові репліки позначають <math>2^{k-p}</math>, де
*k-кількість експериментів;
*p-число лінійних ефектів, які прирівнюють до ефектів взаємодії.

При p=1 одержують піврепліку; при p=2 одержують 1/4 репліку; при p=3 одержують 1/8 репліки і т.д. по ступенях двійки.
Дробові репліки широко застосовують при одержанні лінійних моделей. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодії.
У зв'язку з тим, що в дробових репліках частину взаємодій замінено новими факторами, знайдені коефіцієнти рівняння регресії будуть спільними оцінками лінійних ефектів і ефектів взаємодії. Лінійні ефекти рекомендують змішувати, насамперед, з тими взаємодіями, які відповідно до апріорної інформації є незначущими. У випадку, коли ефекти взаємодії, хоча й малі в порівнянні з лінійними, але не дорівнюють нулю, необхідно заздалегідь визначити, які коефіцієнти є змішаними оцінками. Тоді залежно від умов поставленої задачі, підбирають таку дробову репліку, за допомогою якої можна отримати максимальну інформацію з експерименту. Доцільність їх застосування зростає із зростанням кількості факторів. У таблиці 3 показано, що при дослідженні впливу 15 факторів можна в 2048 разів скоротити число експериментів, застосовуючи репліку великої дробності (16 дослідів замість 32768).

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 3 - Умовні позначення реплік та кількість дослідів
</caption>
<tr>
<th scope="col">Кількість факторів </th>
<th scope="col" width="30%">Дробова репліка </th>
<th scope="col">Умовне позначення </th>
<th scope="col">Кількість експериментів для дробової репліки </th>
<th scope="col">Кількість експериментів для повного факторного експеримента </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 3  </th>
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^3 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{3-1} </math>  </td>
<td align="center"> 4  </td>
<td align="center"> 8  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 4  </th>
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^4 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{4-1} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 16  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 5  </th>
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^5 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{5-2} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 32  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 6  </th>
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^6 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{6-3} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 64  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 7  </th>
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^7 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{7-4} </math>  </td>
<td align="center"> 8  </td>
<td align="center"> 128  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 5  </th>
<td align="center"> 1/2 репліка від <math> 2^5 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{5-1} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 32  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 6  </th>
<td align="center"> 1/4 репліка від <math> 2^6 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{6-2} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 64  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 7  </th>
<td align="center"> 1/8 репліка від <math> 2^7 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{7-3} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 128  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 8  </th>
<td align="center"> 1/16 репліка від <math> 2^8 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{8-4} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 256  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 9  </th>
<td align="center"> 1/32 репліка від <math> 2^9 </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{9-5} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 512  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 10  </th>
<td align="center"> 1/64 репліка від <math> 2^{10} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{10-6} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 1024  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 11  </th>
<td align="center"> 1/128 репліка від <math> 2^{11} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{11-7} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 2048  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 12  </th>
<td align="center"> 1/256 репліка від <math> 2^{12} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{12-8} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 4096  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 13  </th>
<td align="center"> 1/512 репліка від <math> 2^{13} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{13-9} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 8192  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 14  </th>
<td align="center"> 1/1024 репліка від <math> 2^{14} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{14-10} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 16384  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> 15  </th>
<td align="center"> 1/2048 репліка від <math> 2^{15} </math>  </td>
<td align="center"> <math> 2^{15-11} </math>  </td>
<td align="center"> 16  </td>
<td align="center"> 32768  </td>
</tr>
</table>

Частіше всього дробові репліки задають за допомогою генеруючих співвідношень.

=Генеруючі співвідношення. Насичені плани=

Генеруючим називають співвідношення, що показує, яку із взаємодій прийнято незначущою і замінено новим фактором. План типу <math>2^{3-1}</math> може бути представлено двома піврепліками (таблиця 4), які задають одним з наступних генеруючих співвідношень: <math>x_3=x_1x_2</math>, <math>x_3=-x_1x_2</math>:

Генеруюче співвідношення помножимо на нову незалежну змінну <math>x_3</math>:<math>x^2_3=x_1x_2x_3</math>, <math>x^2_3=-x_1x_2x_3</math>.

<table width="50%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 4 - Матриця планування <math>2^{3-1}</math> представлена двома репліками
</caption>
<tr>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x_3</math> </th>
<th scope="col">№ Експеримету </th>
<th scope="col"><math>x_1</math> </th>
<th scope="col"><math>x_2</math> </th>
<th scope="col"><math>x_3</math> </th>

</tr>
<tr>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<th scope="col"> 1  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
</tr>

<tr>
<th scope="col"> 2  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<th scope="col"> 2  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 3  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<th scope="col"> 3  </th>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"> 4  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<th scope="col"> 4  </th>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
<td scope="col" align="center"> -  </td>
<td scope="col" align="center"> +  </td>
</tr>
</table>

Оскільки <math>x^2_i</math>, одержимо наступні співвідношення:
<math> 1=x_1x_2x_3</math>, <math> 1=-x_1x_2x_3</math>.
У результаті множення генеруючого співвідношення на нову змінну одержують визначальний контраст. Для указаних вище півреплік визначальними контрастами будуть залежності (1). За визначальним контрастом можна знайти співвідношення, що задають спільні оцінки. Для цього необхідно помножити незалежні змінні <math>x_1, x_2 i x_3</math> на визначальний контраст. При множенні визначальних контрастів (1) на <math>x_1</math>, одержимо співвідношення <math>x_1 1=x^2_1x_2x_3, x_1 1=-x^2_1x_2x_3</math> Оскільки, <math>x^2_1=1</math>, то <math>x_1=x_2x_3,x_1=-x_2x_3</math>. При множенні визначальних контрастів на <math>x_2 & x_3</math>, одержимо співвідношення: <math>x_2=x_1x_3, x_2=-x_1x_3, x_3=x_1x_2, x_3=-x_1x_2</math>. Це означає, що коефіцієнти лінійної моделі будуть оцінками параметрів:

<center><math> b_1=b_1+b_{23},b_1=b_1-b_{23} </math></center>
<center><math> b_2=b_2+b_{13},b_2=b_2-b_{13} </math></center>
<center><math> b_3=b_3+b_{12},b_3=b_3-b_{12} </math></center>
У практичних задачах потрійні і більш високого порядку взаємодії значно частіше, ніж подвійні, дорівнюють нулю і тому їх можна відкинути. Для одержання лінійної моделі рекомендують вибирати дробові репліки з можливо більшою розв'язувальною здатністю, тобто репліки, у яких лінійні ефекти змішані з ефектами взаємодії близькими до нуля. При виборі дробової репліки важливо також ураховувати насиченість плану
Піврепліки, в яких основні ефекти змішані з двухфакторним добутком називаються насиченими планами з роздільною здатність III.
При відсутній інформації про ефекти взаємодій двухфакторного добутку експериментатор прагне вибрати репліку з найбільшою роздільною здатністю. Якщо існує якась інформація про ефекти взаємодій, то вона повинна використовуватись при виборі репліки.
Також існують насичені плани з роздільною здатністю 4, репліки в яких всі парні взаємодії змішані між собою.
=Ефективність реплік=
*Ефективність репліки залежить від системи змішування. Репліки, у яких лінійні ефекти змішані з взаємодіями найвищого порядку, є найбільш ефективними, оскільки володіють найбільшою роздільною здатністю.
*Для звільнення лінійних ефектів від взаємодій першого порядку можна використовувати метод «перевалу». Сенс методу в додаванні нової репліки, всі знаки якої протилежні початковій репліці.
*Із зростанням числа факторів швидко збільшується число реплік різного дробу. Ці репліки характеризуються узагальнюючими визначальними контрастами, які виходять перемножуванням по два, по три і так далі початкових визначальних контрастів.

=Список використаних джерел=
#1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).
#2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
#3. Конкретні методики викладання. Щетініна О.К., Карпенко О.Н., Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| Дробові репліки. Насичені плани. Генеруючі співвідношення. Ефективність реплік.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Попередня обробка експериментальних даних

2012-03-20T08:16:04Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Наталія | Surname=Росинець | FatherNAme=Андріївна|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

===Попередня обробка експериментальних даних. Критерії відсіювання завідомо помилкових даних===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/382 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Зміст та завдання попередньої обробки експериментальних даних ==
Результати вимірювань – це випадкові величини, тобто в ході експерименту інформація спотворена перешкодами, і за одних і тих же умов можна отримати різні дані.
 
Зміст попередньої обробки даних полягає у відсіюванні грубих похибок і оцінці достовірності результатів вимірювань. Попередня обробка результатів вимірювань необхідна для того, щоб надалі, при побудові функцій відгуку, з найбільшою ефективністю використовувати статистичні методи і коректно аналізувати отримані результати.
 
Завданням попередньої обробки даних є перевірка відповідності результатів вимірювання нормальному закону і визначення параметрів цього розподілу. Якщо відгук суперечить нормальному розподілу, то слід визначити, якому закону розподілу підлягають дослідні дані або, якщо це можливо, перетворити досліджуваний розподіл до нормального вигляду.

== Методи обробки експериментальних даних ==

=== Метод найменших квадратів ===
Для обробки експериментальних даних найчастіше на практиці використовують метод найменших квадратів - один з методів теорії помилок, що використовується для оцінки невідомих величин за наслідками вимірювань, що містить випадкові помилки (спричиняються різного роду випадковими причинами, які діють при кожному з окремих вимірювань непередбаченим чином).
 
Метод найменших квадратів запропонував К. Гаус (1794—95) і А. Лежандром (1805—06). Строге математичне обґрунтовування методу було дано А. А. Марковим (старшим) і А. Н. Колмогоровим. Нині цей метод є одним з найважливіших розділів математичної статистики і широко використовується для статистичних висновків в різних областях науки і техніки.
 
Суть методу найменших квадратів (по Гаусу) полягає в припущені, що «збиток» від заміни точного (невідомого) значення фізичної величини m її наближеним значенням X, обчисленим за наслідками спостережень, пропорційний квадрату помилки:<math>{{(X-m)}^{2}}</math>.
 
Оптимальною оцінкою визнають величину X , позбавлену систематичної помилки, для якої середнє значення «збитку» мінімальне.
Задачу пошуку оптимальної оцінки звужують і як Х вибирають лінійну функцію від результатів спостережень, позбавлену систематичної помилки, і таку, для якої середнє значення «збитку» мінімальне в класі всіх лінійних функцій. Якщо випадкові помилки спостережень мають нормальний розподіл і оцінювана величина m залежить від середніх значень результатів спостережень лінійно, то рішення цієї задачі одночасно буде і рішенням загальної задачі. Оцінка X, обчислена згідно методу найменших квадратів — найвірогідніше значення невідомого параметра m.
 
Метод найменших квадратів дає найбільш бажаний результат тоді, коли випадкова помилка має порівняно невелику величину. В іншому разі необхідним є проведення попередньої обробки експериментальних даних, яка полягає в наступному: вихідні записи випадкових величин згладжуються певним способом, що дає змогу виявити основну тенденцію у їхній зміні.

=== Метод виключення перешкод ===
Метод виключення перешкод полягає у проведенні на око середньої лінії, яка враховує тільки основні коливання змінної. Інформація, що надалі буде зніматись із цієї середньої лінії, при математичній обробці даних буде використовуватись як вихідна.
 
Значення випадкової величини, що не збігаються із середньою лінією, прямо не впливатимуть на подальші висновки.

=== Метод оновлюваної середньої ===
Метод оновлюваної середньої полягає у використанні рекурентної формули для обчислення середнього арифметичного . Якщо випадкова величина х надходить у вигляді дискретних вимірів і для (N - 1) - го виміру обчислено середнє значення , то поява нового виміру змінює попереднє середнє значення на величину
<center><math>\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
 
При згладжуванні цим методом у кожній точці на часовій осі виміряне значення замінюється на середнє, розраховане на даний момент часу.
 
Послідовність обчислених за рекурентною формулою середніх значень є позбавленим від перешкод рядом вимірів змінної х, який використовується при подальшій обробці.
 
<center>'''Приклад'''</center>
----
 
Розглянемо згладжування методом оновлюваної середньої наступного ряду вимірювань величини х:
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
Перше значення збігається з х1. Друге значення обчислюється за рекурентною формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}={{x}_{N-1}}+\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
Отже:<math>{{\bar{x}}_{2}}=3.4+\frac{1}{2}(3.1-3.4)=3.25</math>;<math>{{\bar{x}}_{3}}=3.25+\frac{1}{3}(5.4-3.25)=3.96</math>;
<math>{{\bar{x}}_{4}}=3.65</math>;<math>{{\bar{x}}_{5}}=3.50</math>;<math>{{\bar{x}}_{6}}=3.46</math>;<math>{{\bar{x}}_{7}}=3.35</math>;<math>{{\bar{x}}_{8}}=3.47</math>;<math>{{\bar{x}}_{9}}=3.44</math>;<math>{{\bar{x}}_{10}}=3.30</math>.
 
Результати згладжування експериментальних даних зображено на рисунку:
 
[[Файл:n-1.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування експериментальних даних]]
 

=== Метод ковзної середньої ===
Метод ковзної середньої полягає в послідовному усередненні на деякому інтервалі <math>{{\tau }_{y}}</math> значень вимірюваної величини х. Рухаючи <math>{{\tau }_{y}}</math> уздовж осі часу для всіх точок <math>{{\tau }_{i}}</math>, що попали в нього, відповідні значення <math>{{x}_{i}}</math> замінимо середніми значеннями; віднесемо ці значення до середини відповідного інтервалу.
Операція згладжування виконується за формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
де і – номер інтервалу; (l+1) – число вимірювань у і-тому інтервалі; <math>(i+\frac{l}{2})</math> - номер замінюваного вимірювання.
 
Якщо попередня оцінка виконана невдало і після згладжування залишаються перешкоди, утворені дані знову можна піддати усередненню і робити це багаторазово, до бажаного результату.
 
<center>'''Приклад'''</center>
----
 
Для ряду вимірювань
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
обчислимо згладжені значення на інтервалі l+1=3,використовуючи формулу:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
Отже, <math>{{\bar{x}}_{1+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{2}}=\frac{1}{3}(3.4+3.1+5.4)=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{2+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{3}}=\frac{1}{3}(3.1+5.4+2.7)=3.73</math>; <math>{{\bar{x}}_{4}}=3.66</math>; <math>{{\bar{x}}_{5}}=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{6}}=2.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{7}}=3.43</math>; <math>{{\bar{x}}_{8}}=3.40</math>; <math>{{\bar{x}}_{9}}=3.16</math>
 
На рисунку наведено результат згладжування:
 
[[Файл:n-2.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
 
Іноді при згладжуванні заокруглюють наближення, використовуючи середні значення для не перекриваючих один одного інтервалів. Для цього обчислюють середнє значення за трьома першими точками, приписують результат середині інтервалу, а для наступного обчислення середньої використовують 4-ту, 5-ту і 6-ту точки і т. д.
 
[[Файл:n-3.JPEG|640x170px|border|center|Заокруглення наближення при зглажуванні]]
 
В обох випадках частина початкової і кінцевої інформації втрачається.

=== Метод експоненційного згладжування ===
Цей метод має найширші можливості. Тут використовують наступні формули:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}=\alpha \cdot {{x}_{N}}+(1-\alpha ){{\bar{x}}_{N-1}}</math>або<math>{{\bar{x}}_{N}}={{\bar{x}}_{N-1}}+\alpha \cdot ({{x}_{N}}-{{\bar{x}}_{N-1}})</math></center>
 
де <math>\alpha </math> - параметр згладжування, який вибирається в діапазоні 0..1. Тут обчислювана середня заміняє відповідне значення вимірюваної змінної.
 
Від величини <math>\alpha </math> залежать згладжуючи властивості методу. При різних <math>\alpha </math> можна добувати з вихідної інформації високочастотні або низькочастотні складові. Таким чином, з’являється можливість боротися з низько – і високочастотними шумами, тобто зі швидко – і повільно змінними у часі перешкодами.
 
При малих , близьких до 0 <math>\alpha </math>, сукупність обчислених середніх відобразить низькочастотні зміни вимірюваної змінної, позбавивши їх швидкозмінних перешкод. У цьому випадку говорять про ''інерційне згладжування'', при якому обчислювана середня мало залежить від останнього вимірювання і значною мірою від середньої, утвореної на попередньому кроці.
 
Якщо обрана величина <math>\alpha </math> - близька до 1 (наприклад, становить 0,6), то згладжування буде мало інерційним, значення ближчими до вимірюваних значень х, тобто високі частоти зберігатимуться:
 
[[Файл:n-4.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
 

== Критерії відсіювання завідомо помилкових даних ==

Дані, які відповідають умовам, що змінилися, називають грубими помилками або значеннями, що різко виділяються (аномальними).
У разі відсіву грубих помилок формулюється нульова гіпотеза:
<math>{{H}_{0}}</math>: "Серед результатів спостережень (вибіркових, дослідних даних) немає значень, що різко виділяються (аномальних)".
 
Альтернативною гіпотезою може бути:
або <math>H_{1}^{(1)}</math>: "Серед результатів спостережень є тільки одна груба помилка"
або <math>H_{1}^{(2)}</math>: "Серед результатів спостережень є дві або більш грубих помилок".
Найпоширенішими і теоретично обґрунтованими в цьому випадку є
*критерій Н.В. Смірнова (використовується при <math>H_{1}^{(1)}</math>)
*критерій Діксона (застосовується як при <math>H_{1}^{(1)}</math> так і при <math>H_{1}^{(2)}</math>)
 

=== Критерій Н. В. Смірнова ===

Якщо відомо, що є тільки одне аномальне значення (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>), то воно буде крайнім членом варіаційного ряду. Тому перевіряти вибірку на наявність однієї грубої помилки природно за допомогою статистики (якщо сумнів викликає перший член варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}=\min {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{1}}=\frac{\bar{x}-{{x}_{1}}}{{{s}_{x}}}</math></center>
 
або якщо сумніви викликає максимальний член варіаційного ряду <math>{{x}_{n}}=\max {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{n}}=\frac{{{x}_{n}}-\bar{x}}{{{s}_{x}}}</math></center>
 
Цей критерій вперше був запропонований Н.В. Смірновим. Він досліджував розподіл цих статистик і склав таблиці процентних точок
<math>{{u}_{\alpha ,n}}</math>. При вибраному рівні значущості критична область для критерію Н.В. Смірнова будується таким чином:
<center><math>{{u}_{1}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math> або <math>{{u}_{n}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math></center>
де <math>{{u}_{\alpha ,n}}</math> – це табличні значення
 
У випадку якщо виконується остання умова (статистика потрапляє в критичну область), то нульова гіпотеза відхиляється, тобто викид х1 або хn не випадковий і не характерний для даної сукупності даних, а визначається умовами, що змінилися або грубими помилками при проведенні дослідів.
 
В цьому випадку значення або виключають з розгляду, а знайдені раніше оцінки піддаються коректуванню з урахуванням відкинутого результату.

=== Критерій Діксона ===

В критерії Діксона застосовується статистика:
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найбільше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-i}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{j+1}}}</math></center>
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найменше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{1+i}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{n-j}}-{{x}_{1}}}</math></center>
 
Де <math>{{x}_{n}},{{x}_{n-i}},{{x}_{j+1}}</math> – члени варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le {{x}_{3}}...\le {{x}_{i}}...\le {{x}_{n}}</math>
 
Діксоном були отримані розподіли для статистик <math>{{r}_{10}},{{r}_{11}},{{r}_{12}},{{r}_{20}},{{r}_{21}},{{r}_{22}}</math> при об’ємі вибірки 3 <=n<=30.
 
Наприклад, статистика
<center><math>{{r}_{10}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{1}}}</math></center>
 
використовується для перевірки максимального або мінімального члена варіаційного ряду (одна груба помилка, альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>) при 3 <= n <= 7.
Якщо при тому ж об'ємі вибірки передбачається наявність двох і більше значень, що різко виділяються (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(2)}</math>), то використовується статистика <math>{{r}_{20}}</math>.
 
Статистики критерію Діксона, що використовуються при інших об'ємах вибірки, приведені в таблиці:
 
[[Файл:n-5.JPEG|640x170px|border|center|Статистики критерію Діксона]]
 

=Перелік використаних джерел=

# Большая Советская Энциклопедия // режим доступу: http://bse.sci-lib.com/article086042.html (станом на 13.02.10)
# Н. А. Спирин, В. В. Лавров. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента. – Екатеринбург: 2004, - 257 с.
# В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.

Планування експерименту при дисперсійному аналізі Латинські і греко-латинські квадрати Латинські куби

2012-03-20T08:15:27Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Михайло | Surname=Сиротюк | FatherNAme=Володимирович|Faculti=ФІС | Group=СНм-52 | Zalbook=}}

===Планування експерименту при дисперсійному аналізі. Латинські і греко-латинські квадрати. Латинські куби===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/380 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Планування експерименту при дисперсійному аналізі ==
В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин змінюються у зв’язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних), що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.
 
Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При вивченні впливу на процес двох факторів число необхідних експериментів N (без повторення дослідів) визначається добутком рівнів факторів, що досліджуються. Якщо число рівнів n однакове, то об’єм експерименту при двофакторному дисперсійному аналізі рівне N=n2. При такій кількості дослідів в експерименті зустрічаються всі можливі комбінації факторів. Такий експеримент називається ''повним факторним експериментом'' (ПФЕ). Експеримент в якому пропущені деякі комбінації рівнів, називається ''подрібнений факторний експеримент'' (ДФЕ) [1].
 
В деяких випадках експериментатор свідомо йде на виключення можливих поєднань рівнів факторів, спираючись на міркування економії часу, коштів чи засобів. При двох і більше факторах і необхідності підтримувати кожний з них на кількох рівнях, таке скорочення загального числа дослідів необхідне.
Скорочення перебору рівнів завжди призводить до втрати частини інформації. Тому при ДФЕ важливо так запланувати експеримент, щоб губилась найменш суттєва при даній постановці задачі інформація. Особливо широко використовується ДФЕ, в якому губиться лише інформація про взаємодію факторів. Це дозволяється в тих випадках, коли ефекти взаємодії відсутні чи настільки малі, що їх можна не враховувати.
 
Число дослідів можна значно скоротити, якщо скористатись ДФЕ по схемі латинського квадрату, використаного вперше Фішером.

== Латинські квадрати ==

Латинський квадрат n x n – це квадратна таблиця, складена з n елементів (чисел чи букв) таким чином, що кожний елемент повторюється в кожній стрічці і кожному стовпчику тільки один раз. Рядки латинського квадрату відповідають різним рівням першого фактора, а стовпці – другого. Рівні третього (основного) фактору позначають літерами латинського алфавіту, які подають на перетині відповідних рядків і стовпців.
 
[[Файл:1.JPEG|1030x300px|border|center|Латинський квадрат 3х3]]
<center>Рис.1 - Латинський квадрат 3х3</center>
 
Стандартні чи канонічні латинські квадрати - це такі квадрати, у яких перша стрічка та перший стовпець побудовані в алфавітному
порядку (елементи квадрату – букви) чи в порядку натурального ряду (елементи квадрату – числа) [1]. Однокрокова циклічна перестановка в кінець стрічки – найбільш простий спосіб побудови латинського квадрату.
 
Застосовуючи латинські квадрати, зазвичай, виходять з того, що ефекти взаємодії між факторами незначні. Тоді результати ксперименту можна представити у вигляді лінійної моделі.

=== Дисперсійний аналіз латинського квадрату ===
При проведенні дисперсійного аналізу латинського квадрату без повторних дослідів зручно користуватись наступним алгоритмом розрахунку. Для цього визначають:
 
1.Суми по стрічках Аі, стовпцях Bj та латинських літерах Cq. Наприклад, для латинського квадрата 3 х 3:
*Сума по стрічках
<center><math>{{A}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}};{{A}_{2}}={{y}_{4}}+{{y}_{5}}+{{y}_{6}};{{A}_{3}}={{y}_{7}}+{{y}_{8}}+{{y}_{9}}</math></center>
*Сума по стовпцях:
<center><math>{{B}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{4}}+{{y}_{7}};{{B}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{5}}+{{y}_{8}};{{B}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{6}}+{{y}_{9}}</math></center>
*Сума по латинським буквам:
<center><math>{{C}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{6}}+{{y}_{8}};{{C}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{4}}+{{y}_{9}};{{C}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{5}}+{{y}_{7}}</math></center>
2.Суму квадратів всіх дослідів:
<center><math>S{{S}_{1}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{y_{ij}^{2}}}</math></center>
3.Суму квадратів сум по стрічках, поділену на число спостережень в стрічці:
<center><math>S{{S}_{2}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{2}}</math></center>
4.Суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число спостережень в стовпці:
<center><math>S{{S}_{3}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{2}}</math></center>
5.Суму квадратів сум по латинських буквах, поділену на число спостережень, що відповідає кожній букві:
<center><math>S{{S}_{4}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{q=1}^{n}{C_{q}^{2}}</math></center>
6.Квадрат загальної суми, поділений на число всіх спостережень (коректуючий член):
<center><math>S{{S}_{5}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{q=1}^{n}{{{C}_{q}}} \right)}^{2}}</math></center>
7.Суму квадратів для стрічки:
<center><math>S{{S}_{A}}=S{{S}_{2}}-S{{S}_{5}}</math></center>
8.Суму квадратів для стовпця:
<center><math>S{{S}_{B}}=S{{S}_{3}}-S{{S}_{5}}</math></center>
9.Суму квадратів для латинської букви:
<center><math>S{{S}_{C}}=S{{S}_{4}}-S{{S}_{5}}</math></center>
10.Загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх спостережень та коректуючим членом
<center><math>S{{S}_{zag}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{5}}</math></center>
11.Залишкову суму квадратів:
<center><math>S{{S}_{zal}}=S{{S}_{zag}}-S{{S}_{}}-S{{S}_{}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{2}}-S{{S}_{3}}-S{{S}_{4}}+2S{{S}_{5}}</math></center>
Залишкова сума квадратів складається з дисперсії, обумовленої помилкою досліду, і дисперсії, обумовленої взаємодією факторів, якщо такі мають місце:
12.Дисперсію <math>s_{A}^{2}</math>:
<center><math>s_{A}^{2}=\frac{S{{S}_{A}}}{n-1}</math></center>
13.Дисперсію <math>s_{B}^{2}</math>:
<center><math>s_{B}^{2}=\frac{S{{S}_{B}}}{n-1}</math></center>
14.Дисперсію <math>s_{C}^{2}</math>:
<center><math>s_{C}^{2}=\frac{S{{S}_{C}}}{n-1}</math></center>
15.Дисперсію <math>s_{pom}^{2}</math>:
<center><math>s_{pom}^{2}=\frac{S{{S}_{zal}}}{(n-1)(n-1)}</math></center>
 

== Греко–латинські квадрати ==

Планування за латинським квадратом дозволяє ввести в дослідження три фактора. Для чотирьох факторів хороші властивості має план експерименту по схемі греко-латинського квадрату. Число рівнів для всіх факторів повинно бути однакове.
 
[[Файл:2-a.JPEG|700x210px|border|center|Греко-латинський квадрат 3х3]]
<center>Рис.2 - Греко-латинський квадрат 3х3</center>
[[Файл:3.JPEG|1030x300px|border|center|Греко-латинський квадрат 5х5]]
<center>Рис.3 - Греко-латинський квадрат 5х5</center>
 
В греко-латинських квадратах є <math>{{n}^{2}}</math> різких комбінацій рівнів факторів замість <math>{{n}^{4}}</math> комбінацій повного чотирифакторного експерименту. Тому греко-латинський квадрат являє собою <math>1/{{n}^{2}}</math> репліку від ПФЕ.
Дисперсійний аналіз греко-латинського квадрату проводять так само, як і аналіз звичайного латинського квадрата, з врахуванням четвертого фактора D.
Використання греко-латинських та гіпер-греко-латинських квадратів в якості планів експерименту одночасно дає економію в числі дослідів та приводить до спрощення обчислень.

== Латинські куби ==

Повному факторному експерименту для трьох факторів <math>{{n}^{3}}</math> (n>2) відповідає кубічне розміщення з n елементів, що містить n3 позицій. Трьом ребрам кубу відповідають фактори А, В, С з рівнями 0, 1, 2, …, n-1. Коли ввести в план четвертий фактор D і рівні цього фактору (0, 1, 2, …, n-1) розмістити у відповідних до дослідів точках кубічного розміщення, то одержимо латинський куб розміру n першого порядку [1].
Планування експерименту по латинському кубу першого порядку дозволяє включити в розгляд чотири фактори (A, B, C i D). Відмінність від греко-латинського квадрату, котрий також дає можливість вивчити вплив чотирьох факторів є в тому, що в латинському кубі три фактори (A, B, C) рахуються головними і один фактор (D) складає елімінуюче групування, а в греко-латинському квадраті головними рахуються два фактори А та В, а C i D складають подвійне елімінуюче групування. Число дослідів в кубі в n раз більше, ніж в греко-латинському квадраті.
Два латинських куба розміром n першого порядку ортогональні, коли при накладанні їх один на одного кожний елемент одного кубу зустрічається з кожним елементом другого кубу n разів. Два таких ортогональних куба, накладених один на одного, представляють греко-латинський куб розміру n першого порядку. Планування по схемі греко-латинського кубу дозволяє ввести в експеримент п’ятий фактор.

=Перелік використаних джерел=

# Дисперсійний аналіз // режим доступу: http://lp.edu.ua/fileadmin/ICCT/top/pub/Chaykivskyy/mm/da.pdf (станом на 14.02.10)
# В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.

Параметр оптимізації

2012-03-20T08:14:47Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Юля | Surname=Белиця | FatherNAme=Михайлівна|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

.............. Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= 1. Параметр оптимізації =
При плануванні екстремального експерименту важливо визначити параметр, який потрібно оптимізувати. Для цього ціль дослідження повинна бути сформульована чітко і допускати кількісну оцінку. Характеристика мети задана кількісно називається '''параметром оптимізації'''.
'''Параметр оптимізації є реакцією (відгуком)''' на вплив факторів, які визначають поводження обраної системи. Реакція об'єкта багатогранна і багатоаспектна. Метою дослідження вибирають аспект, який представляє найбільший інтерес.
Вибір оптимального рішення або порівняння двох альтернативних рішень проводиться за допомогою деякої залежної величини (функції), визначеної проектними параметрами. Ця величина називається цільовою функцією (або критерієм якості).

<math>u=f(x1,x2,...xn)</math>,

Задача оптимізації зводиться до відшукування таких значень параметрів, при яких цільова функція досягає максисусу або мінімуму. Для однозначності загальних міркувань важається оптимальним максимальне значення виходу.

'''''Задачі оптимізації'''''

''Безумовні задачі оптимізації'' полягає у відшуканні максимуму або мінімуму дійсної функції від n дійсних змінних і визначення відповідних значень аргументів.

''Умовні задачі оптимізації, або задачі з обмеженнями,'' — це такі, при формулюванні яких задаються деякі умови (обмеження) на безлічі.

= 2. Види параметрів оптимізації =
Залежно від об'єкта і мети дослідження параметри оптимізації є дуже різноманітними. Щоб орієнтуватися в цьому різноманітті, вводять деяку класифікацію .
Дана класифікація не є повна і детальна вона відображає умовну схему, яка включає ряд практично важливих випадків. ''Основна мета даної класифікації'' - це допомога експериментаторові орієнтуватися в реальних ситуаціях. Реальні ситуації переважно складні. Вони часто вимагають одночасного обліку декількох, іноді дуже багатьох, параметрів. У принципі кожний об'єкт може характеризуватися відразу всією сукупністю параметрів, наведених на рисунку 1, або будь-якою підмножиною із цієї сукупності. Рух до оптимуму можливо, якщо обрано один-єдиний параметр оптимізації. Тоді інші характеристики процесу вже не виступають як параметри оптимізації, а служать обмеженнями.

[[Файл:Sxema.gif|border|center|Класифікація параметрів оптимізації]]
== 2.1 Економічні параметри==
Економічні параметри оптимізації, такі, як прибуток, собівартість і рентабельність, звичайно використаються при дослідженні діючих промислових об'єктів, тоді як витрати на експеримент має сенс оцінювати в будь-яких дослідженнях, у тому числі і лабораторних. Якщо ціна досвідів однакова, витрати на експеримент пропорційні числу досвідів, які необхідно поставити для рішення даного завдання. Це значною мірою визначає вибір плану експерименту.
== 2.2 Техніко –екопомічні параметри ==
Серед техніко-економічних параметрів найбільше поширення має продуктивність. Такі параметри, як довговічність, надійність і стабільність, пов'язані із тривалими спостереженнями. Є деякий досвід їхнього використання при вивченні дорогих відповідальних об'єктів, наприклад радіоелектронних апаратур.

== 2.3 Техніко – технологічні параметри ==
Майже у всіх дослідженнях доводиться враховувати кількість і якість одержуваного продукту. Як міру кількості продукту використають вихід, наприклад, відсоток виходу хімічної реакції, вихід придатних виробів.
Показники якості надзвичайно різноманітні. У представленій класифікації вони згруповані по видах властивостей. Характеристики кількості і якості продукту утворять групу техніко-технологічних параметрів.

== 2.4 Інші параметри ==

Під рубрикою "інші" згруповані різні параметри, які рідше зустрічаються, але не є менш важливими. Сюди потрапили статистичні параметри, використовувані для поліпшення характеристик випадкових величин або випадкових функцій. Прикладам таких параметрів будуть завдання на мінімізацію дисперсії випадкової величини, на зменшення числа викидів випадкового процесу за фіксований рівень і т.д. Останнє завдання виникає, зокрема , при виборі оптимальних настроювань автоматичних регуляторів або при поліпшенні властивостей ниток (дріт, пряжа, штучне волокно й ін.).

З ростом складності об'єкта зростає роль психологічних аспектів взаємодії людини або тварини з об'єктом. Наприклад при виборі оптимальної організації робочого місця оператора параметром оптимізації може служити число помилкових дій у різних можливих ситуаціях.

При рішенні завдання технічної естетики або порівнянні творів мистецтва виникає потреба в естетичних параметрах. Вони засновані на ранговому підході.

= 3. Приклад вибору параметра оптимізації =
'''''Приклад 1.''''' Під час другої світової війни кілька сотень англійських торговельних суден були озброєні зенітними знаряддями для захисту від ворожих бомбардувальників. Оскільки цей захід було досить дорогим (було потрібно мати на кожному судні бойову команду), через кілька місяців вирішили оцінити його ефективність. ''Який з параметрів оптимізації більше підходить для цієї мети?''

''Число збитих літаків.'' Втрати в суднах, оснащених знаряддями, у порівнянні із суднами без знарядь.
Якщо вважати, що ефективність установлення знарядь на торговельні судна можна оцінити числом збитих літаків, то буде очевидно, що значення параметра оптимізації в цьому випадку будуть низькими, тому що існують куди більше ефективні засоби для цієї мети (авіація, бойовий флот), чим зенітні знаряддя на торговельних .

Якщо вважати, що ефективність установки знарядь на торговельні судна можна оцінити'' зіставленням втрат у судах, оснащених знаряддями, із втратами в судах без знарядь,'' то це розумний вибір параметра оптимізації, тому що основним завданням при установці знарядь був захист суден. Літаки змушені були тепер використати протизенітні маневри і бомбардування з великої висоти, що зменшувало втрати.

Із числа атакованих літаками торговельних суден із зенітними знаряддями було потоплено 10% суден, а втрати в суднах без знарядь склали 25%. Витрати на установку знарядь і зміст бойових розрахунків окупилися дуже швидко.

= 4. Вимоги до параметрів оптимізації. =
'''Параметр оптимізації''' - це ознака, по якій оптимізують процес. Він '''''повинен бути кількісним, задаватися числом,''''' його необхідно вимірювати при будь-якій можливій комбінації обраних рівнів факторів. Безліч значень, які може приймати параметр оптимізації називають областю його визначення. Області визначення можуть бути неперервними і дискретними, обмеженими і необмеженими.

Наприклад, вихід реакції - це параметр оптимізації з безперервною обмеженою областю визначення. Він може змінюватися в інтервалі від 0 до 100%. Число бракованих виробів, число зерен на шліфі сплаву, число кров'яних тілець у пробі крові - от приклади параметрів з дискретною областю визначення, обмеженої знизу.

Якщо немає способу кількісного виміру результату, то доводиться скористатися прийомом, який називається '''ранжируванням''' (ранговим підходом). При цьому параметрам оптимізації привласнюються оцінки - ранги по заздалегідь обраній шкалі: двобальної, п'ятибальної і т.д. Ранговий параметр має дискретну обмежену область визначення. У найпростішому випадку область містить два значення (так, ні; добре, погано).
Ранг - це кількісна оцінка параметра оптимізації, але вона носить умовний (суб'єктивний) характер.
Для кожного фізично вимірюваного параметра оптимізації можна побудувати ранговий аналог. Потреба в побудові такого аналога виникає, якщо наявні в розпорядженні дослідника чисельні характеристики неточні або невідомий спосіб побудови задовільних чисельних оцінок. За інших рівних умов завжди потрібно віддавати перевагу фізичному виміру, тому що ранговий підхід менш чутливий і з його допомогою важко вивчати тонкі ефекти.

Наступна вимога: '''''параметр оптимізації повинен виражатися одним числом'''''. Іноді це виходить природно, як реєстрація показання приладу. Наприклад, швидкість руху машини визначається числом на спідометрі. Частіше доводиться робити деякі обчислення. Так буває при розрахунку виходу реакції. У хімії часто потрібно одержувати продукт із заданим відношенням компонентів, наприклад, А : В = 3 : 2. Один з можливих варіантів рішення подібних завдань полягає в тому, щоб виразити відношення одним числом 1,5) і як параметр оптимізації користуватися значеннями відхилень (або квадратів відхилень) від цього числа.

Ще одна вимога, пов'язане з кількісною природою параметра оптимізації, - '''''однозначність у статистичному змісті'''''. Заданому набору значень факторів повинне відповідати одне, з точністю до помилки експерименту, значення параметра оптимізації.

Для успішного досягнення мети дослідження необхідно, щоб параметр оптимізації дійсно '''''оцінював ефективність функціонування системи в заздалегідь обраному змісті'''''. Ця вимога є головна, визначальна коректність постановки завдання.

Подання про ефективність не залишається постійним у ході дослідження. Воно міняється в міру нагромадження інформації і залежно від досягнутих результатів. Це приводить до послідовного підходу при виборі параметра оптимізації. Так, наприклад, на перших стадіях дослідження технологічних процесів як параметр оптимізації часто використається вихід продукту. Однак надалі , коли - можливість підвищення виходу вичерпана, нас починають цікавити такі параметри, як собівартість, чистота продукту і т.д..

Говорячи про оцінку ефективності функціонування системи, важливо пам'ятати, що мається на увазі систему в цілому. Часто система складається з ряду підсистем, кожна з яких може оцінюватися своїм локальним параметром оптимізації. При цьому оптимальність кожної з підсистем по своєму параметрі оптимізації не виключає можливості загибелі системи в цілому.

Параметр оптимізації не тільки повинен бути ефективним потрібно, щоб він був '''''ефективний у статистичному змісті'''''. Тобто ця вимога зводиться до вибору параметра оптимізації, що визначається з найбільшою можливою точністю.

Наступна вимога до параметра оптимізації - '''''вимога універсальності або повноти'''''. Під універсальністю параметра оптимізації розуміється його здатність всебічно характеризувати об'єкт. Технологічні параметри оптимізації недостатньо універсальні вони не враховують економіку. Універсальністю володіють узагальнені параметри оптимізації, які є функцією від декількох приватних параметрів.

=Список використаних джерел=

#http://window.edu.ru/window_catalog/files/r18438/Mtdukm8.pdf - Основи планування експаременту (Січень 2010);
#Аністратенко В. О., Федоров В. Г. Математичне планування експерементів в АПК. Київ: Вища школа, 1993.- 375 с.
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);

{{Завдання:Виступ|yulik|21 лютий 2010|Види параметрів оптимізації. Вимоги до факторів і параметрів оптимізації..}}

[[Категорія:ПЕ-2010]]
[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експеримента]]
[[Категорія:Види параметрів оптимізації. Вимоги до факторів і параметрів оптимізації.]]
[[Категорія:Багатозначні терміни]]
[[Файл:Example.jpg]]

Історія та роль Роналда Фішера та планування експерименту

2012-03-20T08:12:40Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
<center>
{|
|-
|{{Стаття Вікі| article=[http://uk.wikipedia.org/wiki/Рональд_Фішер Рональд Фішер] }} || {{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/413 Історія та роль Р.Фішера а планування експерименту]}}
|}
</center>
{{Студент | Name=Павло | Surname=Сарбун | FatherNAme=Павлович |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
'''''Планування експерименту ''''' (англ. experimental design techniques) - комплекс заходів, спрямованих на ефективну постановку дослідів. Основна мета планування експерименту - досягнення максимальної точності вимірювань при мінімальній кількості проведених дослідів і збереженні статистичної достовірності результатів.

== Історія винекнення дисципліни ==

Планування експерименту виникло в 20-х роках XX століття з потреби усунути або хоча б зменшити систематичні помилки в сільськогосподарських дослідженнях шляхом рандомізації умов проведення експерименту. Процедура планування виявилася спрямована не тільки на зменшення дисперсії оцінюваних параметрів, але також і на рандомізації щодо супутніх, спонтанно змінюються і неконтрольованих змінних. У результаті вдалося позбутися від зсуву в оцінках. З 1918 р. Р. Фішер почав свою відому серію робіт на Рочемстедской агробіологічний станції в Англії. У 1935 році з'явилася його монографія «Design of Experiments», що дала назву всьому напрямку.

У 1942 році А. Кишен розглянув планування експерименту з латинським кубів, яке стало подальшим розвитком теорії латинських квадратів. Потім Р. Фішер незалежно опублікував відомості про ортогональних гіпер-греко-латинських кубах і гіпер-кубах. Незабаром після цього в 1946 р. Р. Рао розглянув їх комбінаторні властивості. Подальшому розвитку теорії латинських квадратів присвячені роботи Х. Манна (1947 - 1950 рр..). Перше глибоке математичне дослідження блок-схеми виконано Р. Боуз в 1939 р. Спочатку була розроблена теорія збалансованих неполноблочних планів. Потім Р. Боуз, К. Нер і Р. Рао узагальнили ці плани і розробили теорію частково збалансованих неполноблочних планів. З тих пір вивчення блок-схем приділяється велика увага як з боку фахівців з планування експерименту (Ф. Йетс, Г. Кокс, В. Кохрен, В. Федерер, К. Гульден, О. Кемптгорн та інші), так і з боку фахівців за комбінаторним аналізу (Боуз, Ф. Шімамото, В. Клатсворсі, С. Шрікханде, А. Гофман та ін.)

Дослідження Р. Фішера знаменують початок першого етапу розвитку методів планування експерименту. Фішер розробив метод факторного планування. Також запропонував для цього методу просту обчислювальну схему. Факторний планування набуло широкого розповсюдження. Особливістю факторного експерименту є необхідність ставити відразу велику кількість дослідів. У 1945 р. Д. Фінні ввів дробові репліки від факторного експерименту. Це дозволило скоротити число дослідів і відкрило дорогу технічних програм планування. Інша можливість скорочення необхідного числа дослідів була показана в 1946 р. Р. Плакеттом і Д. Берманом, які ввели насичені факторні плани. Г. Хотеллінг в 1941 р. запропонував знаходити екстремум за експериментальними даними з використанням статечних розкладів і градієнта. Наступним важливим етапом було введення принципу послідовного крокової експериментування. Цей принцип, висловлений в 1947 р. М. Фрідманом і Л. Севіджем, дозволив поширити на експериментальне визначення екстремуму - ітерацію.Щоб побудувати сучасну теорію планування експерименту, не вистачало однієї ланки - формалізації об'єкта дослідження. Ця ланка з'явилося в 1947 р. після створення Н. Вінером теорії кібернетики. Кібернетичному поняття «чорний ящик», грає в плануванні важливу роль. У 1951 р. роботою американських вчених Дж. Боксу і К. Вілсона почався новий етап розвитку планування експерименту. У ній сформульована і доведена до практичних рекомендацій ідея послідовного експериментального визначення оптимальних умов проведення процесів з використанням оцінки коефіцієнтів статечних розкладів методом найменших квадратів, рух по градієнту і відшукання інтерполяційного полінома в області екстремуму функції відгуку (майже стаціонарної області).

У 1954 - 1955 рр.. ЛШ. Бокс, а потім П. Юл. показали, що планування експерименту можна використовувати при дослідженні фізико-хімічних процесів, якщо апріорі висловлені один або кілька можливих гіпотез. Напрямок отримав розвиток у роботах Н. П. Клепікова, С. Н. Соколова і В. В. Федорова у ядерній фізиці. Третій етап розвитку теорії планування експерименту почався в 1957 р., коли Бокс застосував свій метод у промисловості. Цей метод став називатися «еволюційним плануванням». У 1958 р. Г. Шиффа запропонував новий метод планування експерименту для вивчення фізико-хімічних діаграм склад - властивість під назвою «симплексної решітки». Розвиток теорії планування експерименту в СРСР відображено в роботах В. В. Налімова, Ю. П. Адлера, Ю. В. Грановського, Е. В. Марковой.[3]

== Біографія Рональда Ейлмера Фішера ==
Сер Рональд Ейлмер Фішер (англ. Sir Ronald Aylmer Fisher, 17 лютого 1890 — 29 липня 1962) — англійський статистик, біолог-еволюціоніст та генетик. Річард Докінз назвав його «найвеличнішим послідовником Дарвіна». Фішер народився в лондонському Іст-Фінчлі, в сім'ї Джорджа і Кеті Фішер. Його батько був успішним торговцем предметами витонченого мистецтва.

Дитинство його було щасливим, його обожнювали три старші сестри, старший брат і матір, яка померла, коли Рональду було 14. Його батько через 18 місяців збанкрутів, провівши декілька невдалих операцій. Хоча у Фішера був поганий зір, він був не по роках розвиненим учнем і у віці 16 років виграв «Neeld Medal» (конкурс з математики) в школі Харроу (лат. Harrow School). Унаслідок все того ж поганого зору, його навчали математиці без використання «паперу і пера», що розвинуло здатність уявляти завдання в термінах геометрії. Фішер був знаменитий умінням отримувати відповідь, опускаючи проміжні етапи. Він також виявляв сильну цікавість до біології, особливо, до еволюційного учення.

== Основи планування експерименту ==

Планування експерименту – процедура вибору числа та умов проведення дослідів, необхідних та достатніх для вирішення задачі досліджень із заданою точністю. Розрізняють два підходи планування експерименту: класичний, при якому по черзі змінюється кожен фактор до визначення часткового максимуму при постійних значеннях інших факторів, статистичний, де одночасно змінюють багато факторів. При цьому суттєвим є: мінімізація числа дослідів; одночасне варіювання всіма параметрами; використання математичного апарата, який формалізує дії експериментатора; вибір чіткої стратегії, що дозволяє приймати обґрунтовані рішення після кожної серії експериментів. Загалом розрізняють такі експериментальні плани: дисперсного аналізу; відбору суттєвих факторів; багатофакторного аналізу; одержання поверхні відгуку; динамічних задач планування; вивчення механізмів явищ; побудови діаграм «склад — властивість», «склад — стан».

Початок плануванню експерименту поклали праці англійського математика Р. Фішера (1935), що довів перевагу використання на першому етапі досліджень факторного ортогонального планування експериментів, де варіюють тільки на двох рівнях. При цьому використання дробового факторного плану значно скорочує число необхідних експериментів. Англійськими хіміками Боксом і Вілсоном запропонований метод крутого сходження (рух по градієнту), що дозволяє найбільш коротким шляхом визначити координати екстремуму досліджуваного процесу. Для математичного опису екстремальної області застосовують різні методи планування експерименту, у основі яких лежить представлення екстремальної області поліномами другого порядку, що адекватно описують досліджуваний процес. До таких планів належить план Бокса — Бенкена — один з різновидів статистичних планів, які застосовуються при плануванні наукових і, особливо, промислових експериментів. Ці плани дозволяють отримувати максимальну кількість об’єктивної інформації про вплив чинників, що вивчаються, на виробничий процес за допомогою найменшого числа спостережень (дослідів). Вони належать до симетричних некомпозиційних трирівневих планів другого порядку і являють собою поєднання дворівневого (–1, +1) повного факторного експерименту з неповноблочним збалансованим планом. Область планування — гіперкуб, причому кожний з чинників приймає значення на трьох рівнях: –1, 0 і +1. Плани Бокса — Бенкена за рядом статистичних характеристик перевершують центрально-композиційні ортогональні і ротатабельні плани, що широко застосовуються в промисловому експерименті. Для вивчення промислового процесу застосовують еволюційні планування експерименту, де дослідник повинен весь час пристосовуватися до умов виробництва, що змінюються. Специфічним є планування з відсіванням експериментів. Сучасна теорія планування експерименту склалася у 1960-х роках. Її методи тісно пов’язані з теорією наближення функцій і математичним програмуванням. Розроблені оптимальні плани і досліджені їхні властивості для широкого класу моделей. Планування експерименту та обробка даних здійснюється за допомогою комп’ютерних програм: Windows з різними версіями Mathcad, Statistica, Axum7, Statgraphics Plus, Simulink і ін.

=== Основи планування експерименту за Рональдом Фішером ===
Методологія проектування експерименту була запропонована Рональдом А. Фішером у його інноваційній книзі «Планування експериментів» (1935). Для прикладу він описав, як перевірити гіпотезу про те, що певна жінка може лише на смак визначити, молоко чи чай було спочатку налито в чашку. Звучить легковажно, але це допомогло вченому проілюструвати найважливіші ідеї планування експерименту.

*''Порівняння''
У багатьох галузях досліджень важко точно відтворити результати вимірювань. Порівняння між умовами відтворити набагато легше і тому їм, як правило, надають перевагу. Часто порівняння проводять зі стандартними чи традиційними умовами, що виступають в якості базових.

*''Рандомізація''
Існує математична теорія, що вивчає наслідки роздроблення підрозділів одиниць за допомогою довільних механізмів, таких як таблиці випадкових чисел, або використання пристроїв рандомізації, таких як гральні карти або кості. При умові, що вибірка адекватна, ризики, пов'язані з випадковим розподілом (наприклад, відсутність репрезентативної вибірки в опитуванні, чи серйозний дисбаланс в ключових характеристиках між групами умов та групами контролю) можна обчислити і, отже, вони можуть бути знижені до прийнятного рівня. Довільний не означає безсистемний, тому необхідно забезпечити використання відповідних випадкових методів.

*''Реплікація ''
У вимірах зміни можуть відбуватися як при повторному вимірюванні, так і між реплікованими предметами або процесами. Багаторазові вимірювання реплікованих елементів необхідні для обчислення розміру похибки.

*''Блокування''
Блокування це організація експериментальних елементів в групи (блоки), які схожі один на одного. Блокування зменшує відомі, але безвідносні джерела відмінностей між підрозділами і тим самим сприяє більшій точності в оцінці джерела коливань, що досліджується.

*''Ортогональність''
Ортогональність стосується форм порівняння (контрасту), який може ефективно здійснюватися. Контрасти можуть бути представлені векторами і групи ортогональних контрастів некорельовані і незалежно розподілені, якщо дані відповідають нормі. Через цю незалежність кожна ортогональна умова надає решті іншу інформацію. Якщо є умова Т і Т - 1 ортогональні контрасти, то всю інформацію, яка може бути отримана в результаті проведення експерименту можна отримати з багатьох контрастів.

*''Факторіальні експерименти''
Використання факторіального експерименту замість факторів по одному. Вони є ефективними при оцінці наслідків і можливої взаємодії декількох факторів (незалежних змінних).
Аналіз планування експерименту був побудований на основі аналізу різниці, колекції моделей, в яких спостерігається різниця розділена на компоненти завдяки різним факторам, які оцінюються та / або тестуються.

== Зовнішні посилання ==
* [http://www.en.wikipedia.org/wiki/Design_of_experiments/ Стаття "Планування експерименту" на en.wikipedia.org]
* [http://www.digital.library.adelaide.edu.au/coll/special//fisher/ Біографія Фішера]
* [http://www.hss.cmu.edu/philosophy/seidenfeld/relating%20to%20Fisher/Fisher%20on%20Design.pdf Fisher on Design]
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Фишер,_Рональд_Эйлмер Стаття про Фішера на ru.wikipedia.org]
* [http://www.rapidshare.com/files/189515782/The_Design_of_Experiments_By_Sir_Ronald_A._Fisher.rar The Design of Experiments By Sir Ronald A.Fisher]

{{Завдання:Виступ|Сарабун П.П.|20 січня 2010|Історія виникнення дисципліни "Теорія експерименту" і роль у цьому Фішера (1890-1960) - англійського статистика і генетика }}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Повний факторний експеримент (ПФЕ)

2012-03-20T08:12:09Z

Northfear:

{{Студент | Name= Богдан | Surname=Посмітюх | FatherNAme=Олександрович |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
=Повний факторний експеримент (ПФЕ)=
:Таблиця значень або рівнів факторів повинна мати лінійно не залежні стовбці,сума добутків значень будь яких двох факторів (чисел 2вох стовбців) 
повинна бути рівна нулю. Тобто повний факторний експеримент має ортогональну матрицю. 
ПФЕ- експеримент що реалізує всі можливі неповторювані комбінації рівнів незалежних змінних, кожна з яких примусово(активно) варіює на двох рівнях. 
Число цих комбінацій при N факторах рівна двом в степені N і визначає тип планування. 

==Опис експерименту:==
(задача взята з даного джерела: [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section4/pri471.htm]) 
:Мета: визначити вплив факторів механічної обробки на керамічну міцність. 
Кількість серій = значення (більше 15 серій) керамічної міцності. 
Кількість спостережень =32 (25 завершених факторних проектів). 
Величина відклику Y = Значення (більше 15 представлень) керамічної міцності. 
:Фактор 1 = Таблична швидкість (2 рівня:повільний(.025 м\с) і швидкий(.125 м\с) ) 
:Фактор 2 = Нижня Норма подачі (2 рівня:повільний(.05м\с) і швидкий (ю125м\с)) 
:Фактор 3 = Колесо Гріт (2 рівня: 140/170 и 80/100) 
:Фактор 4 = Напрямок (2 рівня: повздовжний і поперечний) 
:Фактор 5 = Партія (2 рівня: 1 и 2) 
Так як 2 ва фактора якісні (напрямок і партія), і відповідно розумно очікувати монотонниі ефекти від кількісних факторів, без включення виконань 
центральних точок. 

==Побудова матриці ПФЕ.==
:В основі повного факторнго експеременту лежить матриця планування яка включає все можливий перебір неповторюваних комбінацій рівнів. 
:Побудову матриці зручно починати з рядка де всі керовані змінні перебувають на нижньому рівні, тобто : 

<center>(z1..n= -1 ).</center>

Далі зручно скористатися правилом, що частота зміни знака для кожних 
керованих змінних у двічі менша ніж попередня. 
Відповідно отримуємо матрицю ПФЕ з пятьма факторами: 

<center>[[Файл:E-pic1.jpg]]</center>
===Властивості матриці ПФЕ===
:Відповідно для якої кількість рядків якої буде рівна кількості експериментів 2N (де в нашому випадку кількість факторів N = 5). 
Побудований таким чином план експериментів має відповідно такі властивості:
*- Симетричності відносно центра експерименту (тобто сума елементів стовбців рівна нулю); 
*- Нормування (тобто сума елементів стовбців по модулю рівна кількості експериментів); 
*- Ортогональності (Сума добутку i – того елементу одного ствобця на відповідний і – тий елемент будь-якого іншого рівна нулю); 

<center>[[Файл:pic2.jpg]] </center>

<center>Рисунок 2 – Перевірка виконання властивостей плану експериментів</center>

:Оскільки зміна вихідної величини y має випадковий характер то доводиться проводити m дослідів при кожному наборі факторів і 
відповідно результати усереднювати.Тобто весь експеримент ділиться на m серій дослідів в якому повністю реалізується матриця 
планування.Перед реалізацією плану на обєкті варто рендомізувати серію дослідів (тобто надати випадковий номер рядку матриці 
планування). Рандомізація необхідна для виключення деяких системних помилок, тобто впливу побічних факторів на величину відклику 
при верхньому або нижньому рівні фіксованого фактора.
:В нашому випадку проведено m>15 серій дослідів з метою отримання як найменшого середнього значення квадрату відхилення від 
математичного сподівання результуючої величини. І відповідно в таблиці в нас показано (керамічна міцність) відношення суми 
значень отриманих при і-тому наборі факторів в m серіях дослідів відповідно до m (кількості серій дослідів).

<center>[[Файл:pic3.jpg]] </center>

<center>Рисунок 3 – Залежність результату експерименту від наборів рівнів факторів</center>

:На рисунку 3 відображено графік зміни показника вихідної величини в порівнянні з експериментом 
у якому всі фактори перебувають на нижньому рівні і відповідно мають мінімальний вплив на вихідну 
величину. На основі цих данних я інтуєтивно прослідкував певну залежність керамічної міцності від 
того які з факторів перебувають на вищому рівні тобто виділивши множину комбінацій рівнів де в нас 
лише один фактор перебуває на вищому рівні а всі інші на нижчому обраховую певний коефіцієнт впливу 
відповідно на результат експерименту (Y) як різницю Аj=(Yxi=0 – Y) де i=1..5, j=1..5, Аj – визначений 
мною коефіцієнт впливу j – того фактора, Yxi=0 – результат експерименту при перебуванні усіх факторів на 
нижньому рівні. Відповідно побудував нову прогнозовану мною множину результатів експеременту на основі 
вище згаданого алгоритму (рисунок 4.)

Таблиця розрахунків:

<center>[[Файл:pic4.jpg]] </center> 

<center>[[Файл:pic5.jpg]] </center>

<center>Рисунок 4 – Порівняння дійсного значення результату експерименту та зпрогнозованого результату</center>

==Висновки==

:Для оцінки якості визначеного мною коефіцієнта впливу факторів проводжу розрахунок середнього відхилення зпрогнозованого значення від дійсного яке склало 46,034063 , середній процент відхилення від дійсного значення результату експерименту становить 8,7930604%, що на мою думку враховуючи стохастичну природу процесу є досить не поганим результатом і тому відповідно за даною, розробленою мною, методикою можна визначити кількісні значення коефіцієнтів впливу факторів на результуючу величину і на основі цих значень прийняти рішення, щодо важливості врахування тих чи інших факторів.

==Список використаної літератури==
*Аністратенко В.О., Федоров В.Г. "Математичне планування експериментів в АПК":Навч. посібник. - К.: Вища шк., 1993.-375 с.: іл. ISBN 5-11-002551-1
*http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/pri/section4/pri471.htm

[[Категорія:Планування експерименту]]

Задача дисперсійного аналізу

2012-03-20T08:11:31Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Інна | Surname=Кливець | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

='''''Задача дисперсійного аналізу'''''=

В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин змінюються у зв'язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних), що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.

Дисперсійний аналіз використовує властивість адитивності дисперсії випадкової величини, що обумовлено дією незалежних факторів. В залежності від числа джерел дисперсії розрізняють однофакторний та багатофакторний дисперсійний аналіз.
Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При класичному методі вивчення змінюють тільки один фактор, а решту залишають постійними. При цьому для кожного фактору проводиться своя серія спостережень, що не використовується при вивченні інших факторів. Крім того, при такому методі досліджень не вдається визначити взаємодію факторів при одночасній їх зміні. При дисперсійному аналізі кожне спостереження служить для одночасної оцінки всіх факторів та їх взаємодії.

Дисперсійний аналіз полягає у виділенні і оцінці окремих факторів, що викликають зміну досліджуваної випадкової величини. При цьому проводиться розклад сумарної вибіркової дисперсії на складові, обумовлені незалежними факторами. Кожна з цих складових є оцінкою дисперсії генеральної сукупності. Щоб вирішити, чи дієвий вплив даного фактору, необхідно оцінити значимість відповідної вибіркової дисперсії у порівнянні з дисперсією відтворення, обумовленою випадковими факторами. Перевірка значимості оцінок дисперсії проводять по критерію Фішера. Коли розрахункове значення критерію Фішера виявиться меншим табличного, то вплив досліджуваного фактору немає підстав вважати значимим. Коли ж розрахункове значення критерію Фішера виявиться більшим табличного, то цей фактор впливає на зміни середніх. В подальшому ми вважаємо, що виконуються наступні припущення:

* випадкові помилки спостережень мають нормальний розподіл;

* фактори впливають тільки на зміну середніх значень, а дисперсія спостережень залишається постійною.

Фактори, що розглядаються в дисперсійному аналізі, бувають двох родів:

* з випадковими рівнями та

* з фіксованими.

В першому випадку мається на увазі, що вибір рівнів проходить з безмежної сукупності можливих рівнів та супроводжується рандомізацією. Якщо рівні вибираються випадковим чином, математична модель експерименту називається модель з випадковими рівнями факторів (випадкова модель). Коли всі рівні фіксовані - модель з фіксованими рівнями факторів. Коли частина факторів розглядається на фіксованих рівнях, рівні решти вибираються випадковим чином - модель змішаного типу.
Дисперсійний аналіз застосовується в різних формах в залежності від структури об' єкту, що досліджується; вибір відповідної форми є однією з головних трудностей в практичному застосуванні аналізу.

='''''Приклади задач дисперсійного аналізу'''''=

У виробничій практиці часто виникає така задача. Апаратники, працюючи позмінно на одному й тому ж апараті, виробляють продукт з різними якісними показниками. Наприклад, один апаратник досягає більшої стабільності вологості готової продукції, інший — меншої. Треба з'ясувати, що є причиною появи незадовільних результатів: недосконала конструкція апарату, що не дає змоги добитися якісної відтворюваності, чи неоднакова робота апаратників.

Розглянемо іншу задачу — складнішу. Припустимо, що на якість продукту впливають десять факторів. Щоб звести коливання показника до мінімуму, треба з'ясувати вплив кожного фактора на розмах цих коливань і усунути або хоча б знизити вплив найбільш сильно діючих факторів. Тільки таким чином можна добитися реальних результатів у поліпшенні якості продукту при мінімальних витратах часу і коштів.

Виникають задачі й іншого типу. При автоматизації певного процесу його аналізують з точки зору впливу ряду факторів, які одночасно діють на основний показник, що підлягає автоматичній стабілізації. Тільки оцінивши міру впливу кожного з факторів, можна правильно вибрати канал регулювання або той фактор, який треба вимірювати і враховувати в першу чергу. Наступний за силою впливу фактор може бути використано для корекції роботи системи регулювання за першим фактором.
На стадії конструкторських розробок проектувальник шукає оптимальну комбінацію елементів створюваного ним виробничого агрегату і знає ступінь впливу кожного з них на умови роботи агрегату в цілому.

У загальному вигляді подібні задачі можуть бути сформульовані так: за допомогою поточного контролю або спеціальних досліджень виробництва встановлюють несталість того чи іншого процесу або якості продукту. Разом з тим дані контролю не вказують безпосередньо на головну причину цієї несталості. Як проаналізувати ці дані, щоб з незалежною вірогідністю визначити вплив кожного з факторів на коливальність чи змінюваність показника, який вивчається?

Ця ж задача може бути поставлена і дещо в іншій формі. Характер коливань розглядуваної ознаки відносно сталий, проте розмах коливань набагато більший припустимого або бажаного. Необхідно зменшити розмах і виявити для цього, яку частку розмаху викликає той чи інший з відомих нам факторів процесу.

Подібні задачі виникають і в сільськогосподарських галузях. Припустимо, що треба визначити урожайність різних сортів однієї й тієї ж культурної рослини. Дослід можна поставити так. На кожній з трьох ділянок вирощують чотири сорти рослини, причому одна частина рослин живиться одним видом добрив, а друга — іншим. Ділянки розташовано на відкритому повітрі в однакових умовах так, щоб від рослин на одній ділянці не падала тінь на рослини іншої ділянки. На кожному майданчику ділянки вирощують однакову кількість рослин (ця вимога може порушуватися).

У загальному випадку урожай залежатиме від сорту рослини, складу добрива і ділянки. Можливий вплив на урожай і взаємодії цих факторів. Задачі, що стоять перед агрономом, можна сформулювати так:

*чи залежить урожай, усереднений за двома видами добрив і трьома ділянками, від сорту рослини?

*чи свідчать рівні урожаю про різний вплив сортів на різних ділянках?

*як якісно оцінити ці відмінності із заданим рівнем надійності?

Метод розв'язання перелічених задач (дисперсійний аналіз) основано на властивості адитивності дисперсії, яка характеризує коливальність. Іншими словами, повна дисперсія показника, що нас цікавить, дорівнює сумі складових її часткових дисперсій.

='''''Список використаної літератури:'''''=

1. Чайківський Т. Дисперсійний аналіз.:Лекція - 2003.
2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 84 с.

[[Категорія:Планування експерименту]]

Моделювання об'єкту

2012-03-20T08:10:59Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Віктор | Surname=Проць | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

=МОДЕЛЮВАННЯ ОБ'ЄКТУ І ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ=
Одним з головних завдань експерименту є здобуття і перевірка математичної моделі об'єкту, взаємозв'язку, що описує в кількісній формі, між вхідними і вихідними параметрами об'єкту. Вхідні параметри, які можуть бути змінені, називають чинниками. Для кожного чинника до виміру встановлюється область визначення, яка може бути безперервною і дискретною. Часто безперервна область визначення штучно дискретизує. У теорії планерування експерименту об'єкт досліджень прийнято представляти у вигляді «чорного ящика», а його математична модель описує функціональні зв'язки між вхідними і вихідними параметрами. Головними вимогами, що пред'являються до математичних моделей об'єктів є зручність математичного використання і інтерпретується моделі. Крім того, завжди мають бути позначені межі застосовності моделі. Якщо ці вимоги не виконуються, то при використанні і експериментальній перевірці моделей неминуче виникають методичні погрішності, і погрішності адекватності, які будуть розглянуті в наступній главі.

Можна виділити наступні завдання перевірки моделей (рис.1.1):

1.Побудувати «чорний ящик», який буде потрібним чином відгукуватися на задану вхідну дію.

2.Маючи «чорний ящик», знаючи вхідні і вихідні сигнали, отримати (змоделювати) його вміст.
[[Файл:1.1.png|thumb|center|Схематичне зображення чорного ящика]]

<center>Рис.1.1 - Схематичне зображення чорного ящика </center>
Суть процесу моделювання можна пояснити на прикладі аналізу електронної схеми, в результаті якого будуть отримані певні вихідні сигнали. Можна перевірити модель, зібравши експериментальну схему і знявши реальні вихідні сигнали. При цьому неминучі розбіжності між сигналами модельними і реальними. Аби з'ясувати причини розбіжності, необхідні експерименти з окремими елементами схеми.

Необхідне коректування моделі може бути виконане таким чином:

1.Перевірка розбіжностей — експериментальна перевірка характеристик всіх елементів і їх порівняння з модельними.

2.Виправлення характеристик окремих елементів у вихідній моделі.

3.Зіставлення отриманих залежностей з експериментальними (початковими).

Таким чином, побудова і перевірка моделі, адекватно електронної схеми, що описує роботу, в загальному випадку вимагає дуже великої кількості експериментальних вимірів. Планерування експерименту дозволяє оптимізувати число вимірів.
Наприклад, електронна схема складається з транзисторів, резисторів, конденсаторів і котушок індуктивності. Якщо номінальні значення пасивних електронних елементів (резисторів, конденсаторів і т.д) збігаються з їх реальними значеннями з необхідною точністю, то неспівпадання між модельними і реальними сигналами найчастіше виникає із-за невідповідності реальних робочих характеристик активних елементів (транзисторів, мікросхем і так далі). Тому дослідні схемотехніки піддають перевірці лише окремі вузли схеми, по суті інтуїтивно плануючи експеримент виходячи зі свого досвіду і використовуючи апріорну інформацію.
Розглянемо приклад моделювання простого чотириполюсника, що здійснює виділення що огинає (детектування) радіосигналу (рис.1.2).
Чотириполюсник складається з двох простих схем:

1.детектора на діоді 'Д' з вихідним резистором <math>{{R}_{1}}</math>.

2.інтегруючому ланцюгу <math>{{R}_{2}}C</math>.
[[Файл:1.2.png|thumb|center|приклад моделювання простого чотириполюсника]]

<center>Рис.1.2 - приклад моделювання простого чотириполюсника </center>
Сигнали на виході детектора АВ і виході інтегруючого ланцюга показані на рис.1.3. Тут криві 1 і 2 відповідають різним вольтамперным характеристикам (ВАХ) діода. Детектор відрізує негативні напівперіоди сигналу, а інтегруючий ланцюг – виділяє ту, що його огинає. Якість виділення що огинає визначатиметься відхиленням <math>\Delta </math> від «ідеального» сигналу.
[[Файл:1.3.png|thumb|center|Сигнали на виході детектора АВ і виході інтегруючого ланцюга ]]

<center>Рис.1.3 - Сигнали на виході детектора АВ і виході інтегруючого ланцюга </center>

Величина <math>\Delta </math>у свою чергу залежить від характеристик, як детектора, так і інтегруючого ланцюга. У детекторі вона визначатиметься вольтамперной характеристикою (ВАХ) діода 'Д', а в інтегруючому ланцюзі - співвідношенням між ємкістю конденсатора <math>C</math> і опором <math>{{R}_{2}}</math>.

Як видно з рис.1.3, амплітуда вихідного сигналу детектора, відповідна ВАХ-1, вище, що неминуче приведе до збільшення <math>\Delta </math> в результуючому сигналі. З іншого боку, зменшення ємкості конденсатора інтегруючого ланцюга також наводить до збільшення <math>\Delta </math>. При моделюванні схеми неспівпадання між розрахунковими і реальними сигналами вимагає внесення коректування до характеристик, що задаються в моделі.

У загальному випадку чотириполюсник може розглядатися як об'єкт, схема якого показана на рис.1.4. Характеристики окремих елементів схеми (ВАХ діода і величини останніх пасивних елементів) можуть вважатися фіксованими параметрами (керівниками). Залежно від плану експерименту ці параметри можна розглядати і як вхідні (чинники), які задаються дискретно.
[[Файл:1.4.png|thumb|center|схема чотириполюсника]]

<center>Рис.1.4 - схема чотириполюсника </center>

Експериментальні виміри прийнято розділяти на три основні види:

1)прямі виміри, при яких безпосередньо реєструються значення вимірюваної величини (наприклад, вимір напруги <math>U</math> вольтметром);

2)непрямі виміри (наприклад, виміри сили струму <math>I</math> амперметром, активного опору <math>R</math> омметром і розрахунок <math>U=RI</math>);
Тобто непрямі виміри — це здобуття величини <math>y=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},...)</math> по виміряних значеннях <math>{{x}_{1}},{{x}_{2}},...</math>.

3)спільні виміри (наприклад, виміри напруги <math>U</math> і сили струму <math>I</math> при різних значеннях <math>I</math> і побудова результуючої залежності <math>U=U(I)</math>);
Тобто спільні виміри — це виміри два або декількох неоднойменних величин для побудови залежності між ними.

Планерування експерименту передбачає не лише оптимізацію числа вимірів, але і зменшення експериментальних погрішностей. Тому значну частину математичного апарату теорії планерування експерименту складають теорія помилок, теорія вірогідності і математична статистика.

=Перелік використаної літератури=
http://www.chuvsu.ru/~rte/uits/liter_uits/plan_exp/glav1_1.htm - МОДЕЛЮВАННЯ ОБ'ЄКТУ І ПЛАНУВАННЯ ЕКСПЕРИМЕНТУ (березень 2010)

Пасивний і активний експеримент

2012-03-20T08:09:59Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Роман | Surname=Кришталович | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

=Пасивний і активний експеримент=

Теорія припускає, що експеримент може бути пасивним і активним.
При пасивному експерименті інформація про досліджуваному об'єкті накопичується шляхом пасивного спостереження, тобто інформацію отримують в умовах звичайного функціонування об'єкта. Активний експеримент проводиться з застосуванням штучного впливу на об'єкт за спеціальною програмою.

При пасивному експерименті існують лише фактори у вигляді вхідних контрольованих, але некерованих змінних, і експериментатор знаходиться в положенні пасивного спостерігача. Завдання планування в цьому випадку зводиться до оптимальної організації збору інформації та вирішення таких питань, як вибір кількості та частоти вимірювань, вибір методу обробки результатів вимірювань.

Найчастіше метою пасивного експерименту є побудова математичної моделі об'єкта, яка може розглядатися або як добре, або як погано організований об'єкт. У добре організованому об'єкті мають місце певні процеси, в яких взаємозв'язку вхідних і вихідних параметрів встановлюються у вигляді детермінованих функцій. Тому такі об'єкти називають детермінованими. Погано організовані або дифузні об'єкти являють собою статистичні моделі. Методи дослідження з використанням таких моделей не вимагають детального вивчення механізму процесів і явищ, що протікають в об'єкті.

Прикладом пасивного експерименту може бути аналіз роботи схеми, яка не має входів, тільки виходи, і вплинути на її роботу неможливо. Хорошим прикладом пасивного експерименту з дифузним об'єктом є вимірювання метеорологічних параметрів (температури, швидкості вітру і т.д.) при природних катаклізмів.

Активний експеримент дозволяє швидше й ефективніше вирішувати завдання дослідження, але більш складний, вимагає великих матеріальних витрат і може перешкодити нормальному ходу технологічного процесу. Іноді відсутня можливість проведення активного експерименту (наприклад, при дослідженні явищ природи). Проте, враховуючи переваги активного експерименту, тоді, коли це можливо, перевагу віддають йому.

При активному експерименті фактори повинні бути керованими і незалежними.

Активний експеримент припускає можливість впливу на хід процесу і вибору в кожному досвіді рівнів факторів. При плануванні активного експерименту вирішується завдання раціонального вибору факторів, що істотно впливають на об'єкт дослідження, і визначення відповідного числа проведених дослідів. Збільшення числа включених у розгляд чинників призводить до різкого зростання числа дослідів, зменшення - до істотного збільшення похибки досвіду. Фактор вважається заданим тільки тоді, коли при його виборі вказується його область визначення - сукупність значень, які може приймати даний фактор. В експерименті використовується обмежена частина області визначення, що задається зазвичай у вигляді дискретного безлічі рівнів. Вибрані фактори повинні бути однозначно керованими і операційним, тобто піддаються регулюванню з підтриманням на заданому рівні протягом всього досвіду при дотриманні послідовності необхідних для цього дій. Повинна бути призначена також точність вимірювання факторів у вибраному діапазоні вимірювання.

Сукупності факторів повинні відповідати вимогам сумісності і незалежності. Дотримання першої вимоги означає, що всі комбінації факторів здійсненні і безпечні, друге - можливість встановлення фактору на будь-якому рівні незалежно від рівнів інших факторів.

----
=Перелік використаної літератури=
#http://www.chuvsu.ru/~rte/uits/liter_uits/plan_exp/glav1_2.htm - Пассивный и активный эксперимент. (березень 2010)

----

----

----

[[Категорія:ПЕ-2010]]
[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експеримента]]

Довірчі інтервали

2012-03-20T08:09:06Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= Юрій | Surname= Яскевич| FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
<center>
{|
|-
|{{Стаття Вікі| article=[http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D1%80%D1%87%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%B0%D0%BB_%D1%82%D0%B0_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D1%96 Довірчий інтервал та його межі] }} || {{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Довірчий інтервал та його межі]}}
|}</center>

= Довірчі інтервали та їх межі =
== Основні положення ==

Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю.
Нехай
<math>\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\equiv ~x~</math> - n незалежних спостережень над випадковою величиною з законом розподілу F(z/a), що залежить від параметра a, значення якого невідомо.
Довірчі межі випадкових похибок — це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.
#Визначення 1. Функція спостережень a1(x1,...,xn) (помітимо, що це випадкова величина) називається нижньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД (звичайно близьким до 1), якщо при будь-якому значенні виконується P
<math>P\{{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\le a\}\ge {{P}_{}}</math>.
#Визначення 2. Функція спостережень a2(x1,...,xn) (випадкова величина) називається верхньою довірчою границею для параметра з рівнем довіри РД , якщо при будь-якім значенні
<math>P\{{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\ge a\}\ge {{P}_{}}</math>.
#Визначення 3. Інтервал з випадковими кінцями (випадковий інтервал)
I(x) = ( a1(x), a2(x) ) ,
обумовлений двома функціями спостережень, називається довірчим інтервалом для параметра a з рівнем довіри РД , якщо при будь-якім значенні a
<math>P\left\{ I\left( x \right)\in a \right\}\equiv P\{~{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\le a\le ~{{a}_{2}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\}\ge {{P}_{}}</math>,
тобто імовірність ( що залежить від a) накрити випадковим інтервалом I(x) справжнє значення a - більше або дорівнює РД.

== Побудова довірчих границь і інтервалівтором ==

Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики
<math>\xi =\xi \left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)~</math>, по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка
<math>\xi =\hat{a}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)~</math>). Один зі способів побудови полягає в наступному. Припустимо, що деяка випадкова величина
<math>\varphi =\varphi (\xi ,\text{ }a)~~</math>, що залежить від статистики
<math>\xi </math> і невідомого параметра a така, що:
#закон розподілу відомий і не залежить від a;
#<math>\varphi (\xi ,\text{ }a)~~~</math> є неперервною та монотонною по .
Виберемо діапазон для
<math>\varphi ~~</math> інтервал
<math>({{f}_{1}},{{f}_{2}})</math> так, щоб влучення в нього було практично вірогідно:
<math>P\{\text{ }f1\le \varphi (\xi ,\text{ }a)\le f2\text{ }\}\ge P~</math>
для чого досить у якості
<math>~f1~,f2</math> взяти квантилі розподілу
<math>\varphi </math> рівня (1- РД )/2 і (1+ РД )/2 відповідно. Перейдемо в до іншого запису випадкової події. Розв’язуючи нерівності щодо параметра a, одержимо (думаючи, що
<math>\varphi </math> монотонно зростає по a):
<math>\text{P}\{\text{ g}(\xi ,\text{ f1})\le \text{a}\le \text{g}(\xi ,\text{ f2})\text{ }\}\ge \text{P}</math>.
Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра a, і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал
<math>(g(\xi ,\text{ }{{f}_{1}}),\text{ }g(\xi ,\text{ }{{f}_{2}}))</math> є довірчим для a з рівнем довіри РД . Якщо
<math>\varphi </math> спадає по a, інтервалом є
<math>(g(\xi ,\text{ }{{f}_{2}}),g(\xi ,\text{ }{{f}_{1}})\text{ })</math>.
Для побудови однобічної границі для a виберемо значення
<math>f1,f2</math> так, щоб
<math>~~~~~~\text{P}\{\varphi (\xi ,a)\ge {{f}_{1}}\}\ge {{P}_{}},~~~~~{{f}_{1}}=Q\left( 1\text{ }-\text{ }{{P}_{}} \right)</math>
чи
<math>\text{P}\{\varphi (\xi ,a)\le {{f}_{2}}\}\ge {{P}_{~}}{{,}_{~~~~}}~{{f}_{2}}=\text{ }Q\left( {{P}_{}} \right)</math>
де
<math>Q(P)</math> - квантиль рівня
<math>P</math>. Після розв’язання нерівності одержимо однобічні довірчі границі для a.

[[Файл:Безымянный.jpg]]

<center>Рисунок - Довірчі межі та довірчі ймовірності.</center>

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95.
Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.

== Рівень довіри ==

Рівень довіри РД означає, що правило визначення інтервалу дає вірний результат з імовірністю РД, що звичайно вибирається близькою до 1, однак, 1 не дорівнює. Переконаємося статистично на прикладі в тім, що довірчий інтервал з рівнем довіри РД може не містити (з малою імовірністю 1- РД ) істинне значення параметру.
*Приклад. Розглянемо наведений випадковий інтервал I(x1, ..., xn), що при будь-якім значенні а накриває це значення з великою імовірністю РД:
Р{ I(x1,...,xn) є a } = РД ,
і тому, якщо знехтувати можливістю здійснення події
<math>a\notin I</math>, що має малу імовірність (1- РД), можна вважати подія
<math>a\in I\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)</math> є практично достовірною, тобто можна вірити тому, що обчислений за конкретними спостереженнями x1,...,xn інтервал I містить невідоме значення параметра а.
Проведемо випробування інтервалу на 50 вибірках обсягу n=10 для трьох рівнів довіри РД : 0.9 , 0.99 , 0.999 (відповідно, три значення fp) .
При РД = 0.9 число невірних з k =50 результатів виявиться в околиці 5, тому що середнє число невірних
k(1- РД) = 5.
При РД =0.99 поява хоча б одна невірного з k =50 досить ймовірна: імовірність цієї події
<math>1-\text{ }{{}_{\mathbf{}}}^{k}=1-{{0.99}^{50}}\approx 0.61.</math>.
При РД =0.999 поява хоча б одна невірного є сумнівною: імовірність цієї події
<math>1-\text{ }{{}_{\mathbf{}}}^{k}=1-{{0.999}^{50}}\approx 0.05</math>.

=Список використаних джерел=

#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).

{{Завдання:Виступ|Hek|11 березня 2010|Довірчі інтервали та їх межі.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Планування та проведення експериментів з моделями

2012-03-20T08:08:37Z

Northfear:

{{Студент | Name=Юрій | Surname=Жунківський | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

=Планування та проведення експериментів з моделями=
Усяке наукове дослідження, що проводиться за допомогою моделі, передбачає планування та проведення експериментів, у ході яких збираються необхідні дані. Ці Дані підлягають аналізу, і на його основі визначають, чи можна під час моделювання досягти поставлених цілей. Якщо експеримент не сплановано належним чином, Існує небезпека того, що не буде отримано бажаних результатів або результати виявляться помилковими. Це може призвести до прийняття неправильних рішень чи необхідності повторного проведення експерименту (найбільш трудомістка операція) і навіть до перебудови моделі. Разом з тим повинна існувати можливість повторення іншими дослідниками експерименту, результати якого вважаються значущими.
=Проблеми планування імітаційних експериментів=
Імітаційні моделі відтворюють процеси, що протікають у реальній системі. У тому випадку, коли в моделі враховуються випадкові фактори, під час моделювання необхідно провести велику кількість прогонів моделі, як із різними вхідними даними, так і з різними послідовностями випадкових чисел. Для моделей детермінованих систем, у яких не враховуються випадкові фактори, зазвичай досить лише одного прогону моделі для всіх допустимих комбінацій вхідних даних і параметрів моделі. Однак на практиці такі моделі майже не зустрічаються.

У ході експерименту з моделлю одержують безліч даних, які мають бути структуровані та інтерпретовані для використання під час прийняття рішень стосовно структури та параметрів системи чи моделі. Для того щоб правильно інтерпретувати отримані вихідні дані, необхідно планувати проведення експериментів з моделлю.
Планування експерименту — це розроблення такого плану експерименту, який дає можливість за мінімальної кількості прогонів моделі і за мінімальних затрат ресурсів зробити статистично значимі висновки або знайти оптимальні рішення щодо функціонування системи. Під час планування експериментів, як правило, визначають:
*вхідні дані для кожного експерименту і кількість прогонів імітаційної моделі;
*тривалість одного прогону моделі і перехідного процесу моделювання;
*стратегію збирання даних під час кожного прогону моделі;
*методи оцінювання точності вихідних даних і побудови довірчих інтервалів;
*чутливість моделі до вхідних даних, різних видів розподілів випадкових величин, сценаріїв поведінки модельованої системи;
*умови і сценарії проведення експерименту;
*умови генерування потоків випадкових чисел у системі моделювання та імовірнісних вхідних даних;
*стратегію досягнення мети експерименту (наприклад, порівняння альтернативних варіантів системи або оптимізація цільової функції).

Кінцева мета проведення експериментів – це одержання статистичної інформації, достатньої для прийняття рішень відповідно до результатів моделювання. Моделювання здебільшого провадиться з метою визначення деяких екстремальних значень характеристик модельованої системи (оптимізуючий експеримент) або для виявлення важливих факторів, які впливають на модельовану систему (відсіяний експеримент). Під час експериментів обох типів використовують факторні плани й будують поліноми різного порядку, які апроксимують поверхню відгуку. Для пошуку екстремальних значень застосовуються числові методи оптимізації. Під час таких експериментів визначається функціональна залежність вихідної змінної (функції відгуку, чи просто відгуку) від вхідних змінних, або факторів; ця залежність відображає критерій ефективності модельованої системи. Таким чином, пошук найкращого рішення характеризується числовим значенням цього критерію, і для знаходження екстремальних значень необхідно досліджувати по верхні відгуку (провадити експерименти) у різних точках факторного простору. Ефективність проведення експериментів багато в чому залежить від початкової точки у факторному просторі.
Один із найважливіших видів експериментів, проваджуваних з моделлю, це структурна оптимізація [3], під якою будемо розуміти пошук найкращої структури модельованої системи. У цьому випадку аналізується кілька моделей, причому вони можуть відрізнятися структурою, параметрами і алгоритмами функціонування. Для таких експериментів не існує єдиного числового критерію оптимізації, що ускладнює використання класичних методів. Однак під час такого дослідження кількість моделей, як правило, невелика, тому для структурної оптимізації можна скористатися методом висування гіпотез або простим перебиранням варіантів.
Оптимізація єдиного варіанта модельованої системи провадиться за допомогою пошуку вузьких місць і їх усунення, тобто балансування модельованої системи. Вузькі місця визначають пропускну здатність усієї системи, і пошук найкращого рішення здійснюється шляхом порівняння розглянутих варіантів.
Перелічимо основні проблеми, які виникають під час проведення експериментів з імітаційними моделями.

1. Визначення початкових умов проведення експерименту. 
Зазвичай експеримент починають, коли модель перебуває в стані «пусто і вільно», тобто в моделі немає динамічних об'єктів або транзактів і всі пристрої та ресурси вільні. Якщо розглядається досить тривалий період моделювання, то можна задати так званий період «розігріву» чи «розгону» моделі, або перехідний процес, після якого модель переходить у сталий (стаціонарний) режим роботи. Урахування даних перехідного процесу для оцінювання вихідних змінних моделі спричинює зміщення статистичних оцінок параметрів.

Щоб зменшити вплив вихідних даних перехідного процесу на кінцеві результати, моделювання слід починати з використання модальних (найбільш імовірних) або середніх значень сталого режиму. Такий спосіб запуску моделі забезпечує зменшення тривалості перехідного процесу моделі, але застосування даного способу ефективне лише в тому випадку, коли завантаження пристроїв обслуговування в моделі невелике. У разі наближення коефіцієнтів завантаження пристроїв до одиниці на виході моделі можна спостерігати стаціонарний процес, під час якого неможливо чітко визначити дані перехідного процесу (рис. 1).
<center>[[Файл:PlanyvannyaEksperymentuPuc1.png]] 
Рис. 1. Стаціонарний процес виходу із СМО з близьким до одиниці коефіцієнтом завантаження</center>

У разі оцінювання статистичних параметрів вихідних величин рекомендується не враховувати дані перехідного процесу, оскільки вони можуть викликати істотне зміщення шуканих оцінок. Усунення зміщення досягається шляхом відкидання даних перехідного процесу (в мові GPSS це можна зробити, використавши команду RESET). Найскладнішим є встановлення моменту досягнення сталого стану системи. Досі не існує цілком надійних методів визначення цього моменту [4]. Однак дана проблема може бути вирішена за допомогою діалогових та інтелектуальних систем моделювання, які дають змогу контролювати і графічно відображати хід моделювання. Найефективніший спосіб визначення початку сталого режиму - це спостереження за графіками зміни вихідного процесу в часі (рис. 2).
<center>[[Файл:PlanyvannyaEksperymentuPuc2.png]] 
Рис. 2. Графіки вихідних даних моделі СМО</center>

2. Зупинення процесу моделювання. 
Правила зупинення процесу моделювання дозволяють визначити тривалість прогону імітаційної моделі — а від цього залежить точність результатів. Наприклад, якщо потрібно провести моделювання роботи виробничої дільниці протягом робочого тижня, то час прогону моделі можна визначити саме цим терміном. Дослідник сам приймає рішення, чи буде досягнуто за вказаний період моделювання сталий режим роботи моделі. Він також обирає метод збирання вихідних даних і оцінювання точності результатів моделювання. Точність оцінювання параметрів системи в цьому випадку визначається за одним досить тривалим прогоном моделі.
Визначають два типи імітаційного моделювання — скінченне і нескінченне. Для першого процес моделювання закінчується, коли відбувається «природна» подія, яка дає змогу визначити тривалість прогону моделі. Така подія часто відбувається в той момент, коли система звільняється від вимог, чи в момент, після якого вже не можна одержати корисної інформації, або моделювання закінчується за показниками таймера. Така подія визначається до виконання прогонів моделі, її настання має бути детермінованою (згідно з таймером) або випадковою величиною. Оскільки початкові умови скінченного моделювання, як правило, впливають на критерії оцінювання, вони мають представляти умови, характерні для роботи реальної системи.
Під час виконання нескінченного імітаційного моделювання не існує події, настання якої давало б змогу визначати тривалість прогону моделі. Моделювання цього типу використовується у разі дослідження поведінки системи за умов сталого режиму її роботи протягом тривалого часу. Параметри, що оцінюються в цьому випадку, вважаються сталими, якщо вони залежать від характеристик сталих законів розподілів ймовірностей деякого вихідного процесу.

3. Стан моделі в момент припинення прогону. 
Під час моделювання завжди виникає питання щодо доцільності використання динамічних компонентів, або транзактів, які залишилися в моделі після закінчення її роботи. Урахування характеристик цих компонентів може призвести до збільшення зміщення статистичних оцінок параметрів моделі. На приклад, під час моделювання роботи дільниці цеху було зроблено припущення, що найменш тривалі роботи виконуються в першу чергу. Тоді на момент закінчення моделювання може виникнути ситуація, коли в моделі залишаться тільки роботи, термін виконання яких великий. Якщо їх не враховувати, оцінка середньої тривалості виконання робіт у цеху буде заниженою.

4. Визначення тривалості прогону моделі за наявності в ній процесів з різними швидкостями протікання. 
Для оцінювання точності результатів моделювання здебільшого використовують параметри найповільнішого процесу в моделі. У цьому випадку оцінки для більш швидких процесів будуть набагато кращими і ефективнішими, ніж для повільних, тобто довірчі інтервали для останніх будуть більшими. Під час розроблення імітаційної моделі обирають такий ступінь її деталізації, щоб швидкості процесів, які протікають у моделі, не відрізнялися більш ніж на два порядки. У разі необхідності моделювання рідких подій або повільних процесів, наприклад відмов устаткування, потрібно укрупнювати стани для швидких процесів. Для цього використовують аналітико-імітаційні моделі.

=Оцінювання точності результатів моделювання=
Оцінити точність результатів моделювання можна шляхом побудови довірчих інтервалів для вихідних змінних (відгуків) моделі. Точність результатів залежить насамперед від кількості реалізацій (прогонів моделі) і тривалості прогону для кожної реалізації моделі. Якщо модель детермінована, то для отримання точних результатів моделювання достатньо одного прогону. У загальному випадку дані спостереження одного прогону моделі представляють одиничну вибірку або часовий ряд. Часовий ряд — це реалізація випадкового процесу. В результаті кожного прогону моделі утворюються часові ряди для кожного значення відгуку моделі досліджуваних випадкових процесів.
Під час моделювання стохастичних систем потрібно розглядати два режими роботи моделей: перехідний і стаціонарний. Стаціонарний режим визначається сталим процесом на виході моделі. Слід зазначити, що для більшості реальних систем характеристики стохастичних процесів, у тому числі й закони розподілу, з часом змінюються. За наявності нової інформації відносно параметрів системи потрібно повторно проаналізувати сталі параметри моделі.
==Перехідний режим роботи моделі==
Для більшості виробничих систем неможливо гарантувати, що вони працюватимуть у стаціонарному режимі. Винятком є системи роботизованого автоматичного виробництва. Якщо модель працює в перехідному режимі, то необхідну кількість прогонів моделі можна розрахувати за тими ж формулам, що і для методу статистичних випробувань; при цьому під час кожного прогону моделі з використанням однакових вхідних даних і параметрів формується своя послідовність випадкових чисел. Оскільки випадкові величини незалежні, то незалежними мають бути й отримані вихідні дані для кожного прогону моделі. Це дає змогу побудувати довірчий інтервал, скориставшись центральною граничною теоремою. Необхідну точність ɛ можна задати, наприклад, такою, що дорівнює ± 5 % середнього значення величини, для якої будується довірчий інтервал, якщо а = 0,05.
Після проведення прогонів моделі розраховуються оцінки загального середнього значення вихідної змінної та середньоквадратичного відхилення і будується довірчий інтервал для середнього значення. Більшість програмних засобів імітаційного моделювання забезпечують автоматичне проведення таких розрахунків. Наприклад, якщо модель реалізовано мовою GPSS World, то після останнього прогону достатньо викликати процедуру ANOVA, яка і побудує довірчі інтервали для вихідних змінних.
Якщо кількість прогонів невелика (менше ніж 30), то для побудови довірчого інтервалу використовують розподіл Стьюдента (t-розподіл). За наявності більшого числа прогонів для визначення значення ta можна використовувати нормальний розподіл.
Процедура повторних прогонів (реплікацій) має важливу властивість - незалежність вибірок. Ця властивість є універсальною і може застосовуватись для моделювання як перехідного, так і стаціонарного режиму роботи моделі. Слід зауважити, що в разі моделювання стаціонарного режиму ця процедура дає змогу зібрати дані й перехідного періоду, які не використовуються під час аналізу стаціонарного режиму.

==Стаціонарний режим роботи моделі==
Під час моделювання деяких систем, наприклад комп'ютерних та комунікаційних, виникає потреба аналізувати їх роботу в сталому, стаціонарному режимі. Існування такого режиму в системі дає змогу побудувати довірчий інтервал для оцінок параметрів за результатами не багатьох прогонів моделі, а лише одного, досить тривалого.
Основна проблема, пов'язана з побудовою довірчого інтервалу, обумовлена тим, що вихідні дані імітаційної моделі є корельованими. Крім того, наявність перехідних процесів у моделі призводить до зміщення статистичних оцінок. На жаль, не існує надійних методів виявлення моменту завершення перехідного періоду роботи моделі. Якщо критерієм оцінювання є вартісна характеристика (прибуток, витрати та ін.), яка визначається для стаціонарного режиму роботи моделі, тривалість прогону може бути визначена на основі результатів спостереження за зміною величини, що дорівнює відношенню оцінюваного показника за весь період моделювання до тривалості моделювання (наприклад, витрати за одиницю часу), для якої будують графік зміни в модельному часі. Оскільки тривалість перехідного періоду може змінюватись в залежності від комбінацій вхідних змінних моделі і послідовностей випадкових чисел, потрібно визначити найдовший перехідний період. Статистичні дані перехідного періоду роботи моделі не повинні враховуватись під час розрахунків статистичних оцінок для вихідних змінних.
Необхідно, щоб тривалість прогону відповідала сталому режиму функціонування моделі (рис. 3). На практиці діють таким чином. За графіком вихідної змінної моделі визначають час моделювання, коли закінчується перехідний період tпер. Статистичні дані, зібрані за цей період, не враховуються під час стати стичного аналізу. Наприклад, у мові GPSS це робиться за допомогою команди RESET, яка видаляє накопичені статистичні дані, але залишає транзакти в моделі, фіксує поточні значення довжин черг і максимальний вміст блоків STORAGE. Після цього повторно викликається команда START, що задає тривалість прогону моделі не меншою ніж 100tпер.
<center>[[Файл:PlanyvannyaEksperymentuPuc3.png]] 
Рис. 3. Визначення сталого режиму роботи моделі</center>

Розглянутий вище спосіб є наближеним, але він широко використовується на практиці. Існують інші методи, застосування яких дає змогу отримати більш надійні оцінки для характеристик стаціонарних процесів. У книзі А. Лоу і В. Келтона [2] описується шість методів для обчислення оцінки стаціонарного середнього випадкового процесу, серед яких основну увагу приділено методу реплікації і вилучення.

=Особливості планування експериментів=
Послідовність дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.
# Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.
# Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 % факторів визначають 80 % властивостей системи.
# Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного фактора два - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти. Для врахування квадратичних ефектів необхідно використовувати три рівні, для кубічних ефектів – чотири і т. д. Аналіз значно спрощується, якщо брати тільки рівновіддалені одне від одного значення рівнів. У цьому випадку маємо так зване ортогональне планування, або ортогональний експеримент. 
Для множинних експериментів з числом факторів більше одного дисперсійний аналіз передбачає використання для заключного аналізу ортогонального експерименту. Це означає, що оцінки відгуків у межах аналізу мають бути некорельованими. На практиці ортогональність гарантує використання тих самих випадкових послідовностей чисел під час виконання експериментів у межах кожної комбінації рівнів обробки.

=Перелік використаної літератури=
#Томашевський В. М. Моделювання систем. — К.: Видавнича група ВНУ, 2005.
#Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование. — 3-е изд. — СПб.: Питер; К.: Издат. группа ВНУ, 2004. - 847 с.
#Томашевський В. М„ Жданова О. Г. Метод структурної оптимізації з використанням імітаційної моделі // Міжнародна конференція з індуктивного моделювання. — Т. 2. — Львів: Державний НДІ Інформаційної інфраструктури, 2002. — С. 224-227.
#Шеннон Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука. — М.: Мир, 1978. - 418 с.

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Дисперсійний аналіз

2012-03-20T08:08:02Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Артем | Surname=Пімєнов | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/414 Презентація доповіді (університетський репозиторій)

=Загальні відомості про дисперсійний аналіз=

Дисперсійний аналіз був створений спочатку для статистичної обробки агрономічних дослідів. В наш час його також використовують в економічних, технічних та соціальних експериментах.

Сутність цього аналізу полягає в тому, що загальну дисперсію досліджуваної ознаки розділяють на окремі компоненти, які обумовлені впливом певних конкретних чинників. Істотність їх впливу на цю ознаку здійснюється методом дисперсійного аналізу. Відповідно до дисперсійного аналізу будь-який його результат можна подати у вигляді суми певної кількості компонент. Так, наприклад, якщо досліджується вплив певного чинника на результат експерименту, то модель, що описує структуру останнього, можна подати так:

<center><math>{{x}_{ij}}=\overline{x}+{{\alpha }_{j}}+{{\varepsilon }_{ij}}</math></center>

де <math>{{x}_{ij}}</math> — значення ознаки X, одержане при ''i''-му експерименті на ''j''-му рівні фактора.

Під рівнем фактора розуміють певну його міру.
Наприклад, якщо фактором є добрива, які вносяться в землю з метою збільшення врожайності сільськогосподарської культури, то рівнем фактора в цьому разі є кількість добрива, що вноситься в грунт;

<math>\overline{x}</math> — загальна середня величина ознаки X;

<math>{{\alpha }_{j}}</math> — ефект впливу фактора на значення ознаки X на ''j''-му рівні;

<math>{{\varepsilon }_{ij}}</math> — випадкова компонента, що впливає на значення ознаки X в ''i''-му експерименті на ''j''-му рівні.

При цьому <math>M({{\varepsilon }_{ij}})=0</math> і <math>{{\varepsilon }_{\text{ij}}}</math>, як випадкові величини мають закон розподілу ймовірностей <math>N\left( 0;{{\sigma }^{2}} \right)</math> і між собою незалежні <math>({{K}_{ij}}=0\text{ })</math>.

Складнішою моделлю аналізу є вивчення впливу на результати експерименту кількох факторів. Зокрема при аналізі впливу двох факторів структура моделі набуває такого вигляду:

<center><math>{{x}_{ijk}}=\overline{x}+{{\alpha }_{i}}+{{\beta }_{j}}+{{\gamma }_{ij}}+{{\varepsilon }_{ijk}}</math></center>

де <math>{{x}_{i}}_{jk}</math> – значення ознаки Х в ''i''-му експерименті на ''j''-му рівні впливу фактора ''A'' і на ''k''-му рівні впливу фактора ''В''; <math>\overline{x}</math> — загальна середня величина ознаки X; <math>{{\alpha }_{i}}</math> — ефект впливу фактора ''А'' на ''i''-му рівні, <math>{{\beta }_{j}}</math> — ефект впливу фактора ''В'' на ''j''-му рівні; <math>{{\gamma }_{ij}}</math> — ефект одночасного впливу факторів ''A'' і ''В''; <math>{{\varepsilon }_{ijk}}</math> — випадкова компонента.
У разі проведення дисперсійного аналізу досліджуваний масив даних, одержаних під час експерименту, поділяють на певні групи, які різняться дією на результати експерименту певних рівнів факторів.

Попередні методи статистичного аналізу даних використовують для порівняння двох об’єктів. Але на практиці часто виникають завдання, що стосуються групи об’єктів (наборів спостережуваних даних). Одним з методів для таких завдань є дисперсійний аналіз – статистичний метод виявлення на досліджувану випадкову величину (параметр) одночасної дії одного або декількох факторів. Дія деякого фактора на складну систему спричинює мінливість його властивостей. Фактор може бути відомий або невідомий, природного або штучного походження, як от: умови експерименту, методика вимірювань і опрацювання тощо.

За кількістю оцінюваних факторів дисперсійний аналіз поділяють на одно-, дво- та багатофакторний.
Кожен фактор може бути дискретною чи неперервною випадковою змінною, яку розділяють на декілька сталих рівнів (градацій, інтервалів). Якщо кількість вимірювань на всіх рівнях кожного з факторів однакова, то дисперсійний аналіз називають рівномірним, інакше – нерівномірним.

В основі дисперсійного аналізу є такий принцип (факт з математичної статистики): якщо на випадкову величину діють взаємно незалежні фактори ''A'', ''B'', то загальна дисперсія дорівнює сумі дисперсій, зумовлених дією окремо кожного з факторів:

<center><math>{{\sigma }^{2}}=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}+...</math></center>

Цей метод ґрунтується на розділенні загальної дисперсії <math>\sigma _{T}^{2}</math> на складові, що відповідають впливу різних джерел мінливості (дисперсія <math>\sigma _{R}^{2}</math>, зумовлена дією факторів, і залишкова дисперсія <math>\sigma _{D}^{2}</math>, <math>\sigma _{T}^{2}=\sigma _{R}^{2}+\sigma _{D}^{2}</math>), а застосовувані критерії дають змогу одночасно вивчати відмінності як у середніх значеннях, так і в дисперсіях.

=Однофакторний дисперсійний аналіз=

Для простоти розглянемо спочатку рівномірний дисперсійний аналіз (одну з можливих моделей), а потім наведемо необхідні модифікації для виконання нерівномірного аналізу.

Результати вимірювань запишемо у вигляді матриці з ''n'' рядків та ''p'' стовпців:

<center><math>Y=\left[ \begin{matrix}
{{y}_{11}} & ... & {{y}_{1p}} \\
... & {{y}_{ij}} & ... \\
{{y}_{n1}} & ... & {{y}_{np}} \\
\end{matrix} \right]</math></center>

Кожен стовпець (градацію фактора) треба розглядати як вибірку нормально розподілених випадкових величин <math>{{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},...,{{\xi }_{p}}</math> з параметрами <math>M({{\xi }_{j}})={{\mu }_{j}}</math>, <math>D({{\xi }_{j}})={{\sigma }^{2}}</math> для всіх ''j=1,…,p'' (дисперсії однакові).

Отже, для кожної градації фактора (стовпця таблиці даних) маємо фіксоване середнє значення, що є сталим у межах експерименту.
Гіпотезу для перевірки сформулюємо так:

<center><math>{{H}_{0}}:{{\mu }_{1}}={{\mu }_{2}}=...={{\mu }_{p}}=\mu </math></center>

Отже, дисперсія випадкової величини <math>{{y}_{ij}}</math>, зумовлена дією фактора на всіх рівнях, <math>\sigma _{R}^{2}=0</math>,
і вся мінливість буде спричинена неврахованими факторами:

<center><math>\sigma _{T}^{2}=\sigma _{D}^{2}</math> або <math>D({{y}_{ij}})=\sigma _{A}^{2}+\sigma _{D}^{2}</math></center>

=Схема обчислень для однофакторного дисперсійного аналізу=

У математичній статистиці розроблено формальну процедуру дисперсійного аналізу (ANOVA, ANalysis Of VAriance).
Схема перевірки нульової гіпотези така.

'''А.''' Обчислюємо генеральне середнє <math>\bar{y}</math> і вибіркові середні <math>{{\bar{y}}_{i}}</math>:

<center><math>\bar{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{i=i}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{p}{{{y}_{ij}},N=np}}</math></center>

для рівномірного однофакторного аналізу або

<center><math>\bar{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=i}^{{{n}_{j}}}{{{y}_{ij}}}},N=\sum\limits_{j=1}^{p}{{{n}_{j}}}</math></center>

для нерівномірного однофакторного аналізу.

'''Б.''' Знаходимо суми квадратів відхилень від відповідних середніх значень:

* сума, що характеризує мінливість, зумовлену досліджуваним фактором (факторна сума),

<center><math>S{{S}_{R}}=n\sum\limits_{j=1}^{p}{{{({{{\bar{y}}}_{j}}-\bar{y})}^{2}}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{{{n}_{j}}{{({{{\bar{y}}}_{j}}-\bar{y})}^{2}}}</math></center>

* сума, що характеризує мінливість у межах кожної градації фактором (залишкова сума),

<center><math>S{{S}_{D}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{i}}}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}</math></center>

* сума, що характеризує загальну мінливість (загальна або тотальна сума),

<center><math>S{{S}_{T}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}=\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{i}}}{{{({{y}_{ij}}-\bar{y})}^{2}}}}</math></center>

Справджується рівність

<center><math>S{{S}_{T}}=S{{S}_{R}}+S{{S}_{D}}</math></center>

'''В.''' Визначаємо оцінки дисперсій:

<center><math>S_{T}^{2}=\frac{S{{S}_{T}}}{N-1};S_{R}^{2}=\frac{S{{S}_{R}}}{p-1};S_{D}^{2}=\frac{S{{S}_{D}}}{N-p}</math></center>

'''Г.''' Критерій Фішера для перевірки гіпотези <math>{{\text{H}}_{0}}</math> має вигляд

<center>''df 1 = p – 1, df 2 = N – p''</center>

Для заданого рівня значущості α знаходимо критичні значення статистики F(α; df 1; df 2).

Обчислені значення записуємо у вигляді таблиці (табл. 1.1), (ANOVA).

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1.1 – Результати однофакторного дисперсійного аналізу
</caption>
<tr>
<th scope="col">Різновид дисперсії </th>
<th scope="col" width="30%">Сума квадратів відхилень </th>
<th scope="col">Кількість ступенів вільності </th>
<th scope="col">Середній квадрат (оцінка дисперсії) </th>
<th scope="col">F-критерій </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Факторна (між вибірками)  </th>
<td align="center"> <math>S{{S}_{R}}</math> </td>
<td align="center"> p-1  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{A}}</math> </td>
<td align="center"> <math>\begin{align}
& M{{S}_{A}} \\
& M{{S}_{D}} \\
\end{align}</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Залишкова (у вибірці) </th>
<td align="center"> <math> SS_D </math>  </td>
<td align="center"> N-p  </td>
<td align="center"> <math> MS_D </math>  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Загальна  </th>
<td align="center"> <math> SS_T </math>  </td>
<td align="center"> N-1  </td>
<td align="center">  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
</table>

=Двофакторний дисперсійний аналіз=

На практиці часто виникає ситуація, коли досліджують вплив двох факторів. Двофакторний дисперсійний аналіз дає змогу не тільки виявити вплив кожного з факторів, а й оцінити їхню взаємодію. Двофакторний аналіз має:

* перехресну (двосторонню) класифікацію (з однаковою кількістю повторень у клітинці, з одним спостереженням у клітинці (без повторень), та з нерівномірною кількістю спостережень у клітинці);
* ієрархічну класифікацію, коли один з факторів є головним, а інший – підпорядкованим. Тоді градація фактора ''B'' є незалежною в межах кожної з градацій фактора ''A''. Якщо в кожній групі <math>Ai</math> маємо однакову кількість підгруп <math>B_j</math>, то така ієрархічна класифікація має спеціальну назву – гніздова класифікація. Для ієрархічної класифікації не виникає проблеми оцінки взаємодії факторів (її немає). Також вважаємо, що фактори не взаємодіють, коли маємо класифікацію без повторень.

=Схема обчислень для двофакторного дисперсійного аналізу=

Схема обчислень для двофакторного аналізу така:

'''А.''' Знаходимо вибіркові середні (генеральне середнє <math>\bar{y}</math>, а також середнє в рядку <math>y_{i}^{r}</math>, стовпці <math>y_{j}^{c}</math> й клітинці <math>{{\bar{y}}_{ij}}</math>):

<center><math>\bar{y}=\frac{1}{npq}\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{n}{{{y}_{ijm}};}}}</math></center>

<center><math>y_{i}^{r}=\frac{1}{np}\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{v}{{{y}_{ijm}};}}</math></center>

<center><math>y_{j}^{c}=\frac{1}{nq}\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{m=1}^{v}{{{y}_{ijm}};}}</math></center>

<center><math>{{\bar{y}}_{ij}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{m=1}^{v}{{{y}_{ijm}}}.</math></center>

'''Б.''' Обчислюємо суми квадратів відхилень від відповідних середніх:
* мінливість, зумовлену фактором ''A'',

<center><math>S{{S}_{A}}=np\sum\limits_{i=1}^{q}{{{(\bar{y}_{i}^{r}-\bar{y})}^{2}}}</math></center>

* мінливість, зумовлену фактором ''B'',

<center><math>S{{S}_{B}}=nq\sum\limits_{j=1}^{p}{{{(\bar{y}_{j}^{c}-\bar{y})}^{2}}}</math></center>

* мінливість, зумовлену взаємодією факторів ''A'' і ''B'',

<center><math>S{{S}_{AB}}=n\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{{{({{{\bar{y}}}_{ij}}-\bar{y}_{i}^{r}-\bar{y}_{j}^{c}+\bar{y})}^{2}}}}</math></center>

* мінливість у межах кожної з клітинок

<center><math>S{{S}_{D}}=\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{n}{{{({{y}_{ijm}}-{{{\bar{y}}}_{ij}})}^{2}}}}}</math></center>

* загальну мінливість спостережуваної ознаки (параметра)

<center><math>S{{S}_{T}}=\sum\limits_{i=1}^{q}{\sum\limits_{j=1}^{p}{\sum\limits_{m=1}^{n}{{{({{y}_{ijm}}-\bar{y})}^{2}}}}}</math></center>

Справджується рівність

<center><math>S{{S}_{T}}=S{{S}_{A}}+S{{S}_{B}}+S{{S}_{AB}}+S{{S}_{D}}</math></center>

'''В.''' Знаходимо оцінки дисперсій (середні квадратів відхилень)

<center><math>M{{S}_{A}}=\frac{S{{S}_{A}}}{(q-1)};M{{S}_{B}}=\frac{S{{S}_{B}}}{(p-1)};</math></center>

<center><math>M{{S}_{AB}}=\frac{S{{S}_{AB}}}{(q-1)(p-1)};</math></center>

<center><math>M{{S}_{D}}=\frac{S{{S}_{D}}}{\frac{pq}{(n-1)}};M{{S}_{T}}=\frac{S{{S}_{T}}}{(N-1)},N=npq.</math></center>

Результати двофакторного дисперсійного аналізу записують у таблицю (табл. 1.2).

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1.2 – Результати двофакторного дисперсійного аналізу
</caption>
<tr>
<th scope="col">Різновид дисперсії </th>
<th scope="col" width="30%">Сума квадратів відхилень </th>
<th scope="col">Кількість ступенів вільності </th>
<th scope="col">Середній квадрат (оцінка дисперсії) </th>
<th scope="col">F-критерій </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Факторна для фактора ''A''  </th>
<td align="center"> <math>SS_A</math> </td>
<td align="center"> p-1  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{A}}</math> </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{A}}/M{{S}_{D}}</math> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Факторна для фактора ''B'' </th>
<td align="center"> <math> SS_B </math>  </td>
<td align="center"> q-1  </td>
<td align="center"> <math> MS_B </math>  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{B}}/M{{S}_{D}}</math> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Змішана для факторів ''A'' і ''B''  </th>
<td align="center"> <math> SS_A_B </math>  </td>
<td align="center"> (p-1)(q-1) </td>
<td align="center"> <math> MS_A_B </math>  </td>
<td align="center"> <math>M{{S}_{AB}}/M{{S}_{D}}</math>  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Залишкова </th>
<td align="center"> <math> SS_D </math>  </td>
<td align="center"> pq(n-1) </td>
<td align="center"> <math> MS_D </math>  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> Загальна  </th>
<td align="center"> <math> SS_T </math>  </td>
<td align="center"> npq-1  </td>
<td align="center">  </td>
<td align="center">  </td>
</tr>
</table>

=Перевірка гіпотез двофакторного дисперсійного аналізу=

Нехай <math>\mu _{i}^{r},i=1,...,q</math> – математичні сподівання рядків табл. 1.3, а <math>\mu _{j}^{c},j=1,...,p</math> – математичні сподівання стовпців.

Тоді <math>{{\alpha }_{i}}=\mu _{i}^{r}-\mu </math> – ефект ''i''-ї градації фактора ''A'';

<math>{{\beta }_{j}}=\mu _{j}^{c}-\mu </math> – ефект ''j''-ї градації фактора ''B'';

<math>{{\gamma }_{ij}}={{\mu }_{ij}}-{{\alpha }_{i}}-{{\beta }_{j}}+\mu </math> – ефект ''j''-ї градації фактора ''B'' в умовах ''i''-ї градації фактора ''A'';

<math>{{\mu }_{ij}}</math> – математичне сподівання у кожній з клітинок.

<table width="80%" border="1" align="center">
<caption>
Таблиця 1.3 – Вхідні дані для двофакторного аналізу
</caption>
<tr>
<th scope="col">Рівні фактору </th>
<th scope="col" width="30%"><math>B_1</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col"><math>B_j</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col"><math>B_p</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="col"><math>A_1</math> </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{111},...,{y}_{11n}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{1j1},...,{y}_{1jn}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{1p1},...,{y}_{1pn}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> ... </th>
<td align="center"> ... </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"><math>A_i</math> </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{i11},...,{y}_{i1n}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{ij1},...,{y}_{ijn}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{ip1},...,{y}_{ipn}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row" align="center"> ... </th>
<td align="center"> ... </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
<td align="center"> ...  </td>
</tr>
<tr>
<th scope="col"><math>A_q</math> </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{q11},...,{y}_{q1n}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{qj1},...,{y}_{qjn}}</math> </th>
<th scope="col">... </th>
<th scope="col" width="30%"><math>{{y}_{qp1},...,{y}_{qpn}}</math> </th>
</tr>
</table>

Сформулюємо гіпотези, які стверджують, що впливи факторів ''A'' і ''B'' на всіх рівнях однакові, а взаємовпливу факторів нема:

<math>\begin{align}
& H_{0}^{A}:{{\alpha }_{1}}={{\alpha }_{2}}=...={{\alpha }_{q}}; \\
& H_{0}^{B}:{{\beta }_{1}}={{\beta }_{2}}=...={{\beta }_{p}}; \\
\end{align}</math>

<math>H_{0}^{AB}:{{\gamma }_{ij}}=0</math> для всіх ''i'' та ''j''.

Критерії для перевірки цих гіпотез мають такий вигляд:

<math>\begin{align}
& {{F}^{A}}=\frac{M{{S}_{A}}}{M{{S}_{D}}}=\frac{S{{S}_{A}}}{S{{S}_{D}}}\frac{(N-qp)}{(q-1)} \\
& {{F}^{B}}=\frac{M{{S}_{B}}}{M{{S}_{D}}}=\frac{S{{S}_{B}}}{S{{S}_{D}}}\frac{(N-qp)}{(p-1)} \\
& {{F}^{AB}}=\frac{M{{S}_{AB}}}{M{{S}_{D}}}=\frac{S{{S}_{AB}}}{S{{S}_{D}}}\frac{(N-qp)}{(p-1)(q-1)} \\
\end{align}</math>

Якщо гіпотеза <math>{{H}_{0}}=H_{0}^{A}H_{0}^{B}H_{0}^{AB}</math> правильна (тобто одночасно виконуються всі три підгіпотези), то
<math>\frac{M{{S}_{A}}}{M{{S}_{D}}}</math>, <math>\frac{M{{S}_{B}}}{M{{S}_{D}}}</math> і <math>\frac{M{{S}_{AB}}}{M{{S}_{D}}}</math> підпорядковані розподілу Фішера з відповідними степенями вільності. Дію факторів ''A'', ''B'' і ''AB'' уважатимемо суттєвою (для заданого рівня значущості α), якщо

<math>{{F}^{A}}\ge F(\alpha ;q-1;N-pq)</math> або

<math>{{F}^{B}}\ge F(\alpha ;p-1;N-pq)</math>, або

<math>{{F}^{AB}}\ge F(\alpha ;(q-1)(p-1);N-pq).</math>

=Список використаних джерел=
# Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).
# Аністратенко В. О., Федоров В. Г. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. Посібник. – К.: Вища шк., 1993. – 375 с. іл..

{{Завдання:Виступ|Pimchikoff|4 березня 2010| Однофакторний, двофакторний і багатофакторний дисперсійний аналізи. Значимість впливів факторів на досліджувані параметри і перевірка відповідних гіпотез.}}

[[Категорія:ПЕ-2010]]
[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експеримента]]

Статистичні критерії згоди 2

2012-03-20T08:07:12Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Віктор | Surname=Кобзар | FatherNAme= |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
....... Презентація доповіді (університетський репозиторій).

=Статистичні критерії згоди=

До перевірки тієї чи іншої статистичної гіпотези доцільно підходити з різних теоретичних позицій. Кожна позиція грунтується на розподілі первинних або обчислених даних, які відрізняються від нормального розподілу. Це зумовлено обмеженим числом вимірювань або додатковими умовами при обробці дослідних даних. Характеристикою кожного розподілу є набір чисел, заздалегідь протабульованих. При перевірці гіпотези з дослідних даних складається число за тим же правилом, що й наведені в таблиці числа, і порівнюється з табличним числом. Гіпотеза визнається або відхиляється залежно від згоди дослідних і табличних чисел, тому останні називаються критеріями згоди. Як і в інших галузях науки, наприклад в теорії подібності, статистичні критерії — величини звичайно безрозмірні.

==Параметричні та непараметричні критерії згоди==

За потужністю критерії згоди діляться на дві великі групи: параметричні та непараметричні. До параметричних належать критерії, побудовані за допомогою основних параметрів (числових оцінок) вибіркової сукупності ''М'' та σ, або <math>\overline{x}</math> та ''S''. Ці критерії застосовуються лише тоді, коли генеральна сукупність, з якої взято одну або кілька вибірок, розподілена нормально, і за умови рівності основних параметрів, тобто <math>{{\overline{x}}_{1}}=~{{\overline{x}}_{2~}}</math> та <math>{{\text{S}}_{\text{1}}}={{\text{S}}_{\text{2}}}</math>.

Непараметричні критерії згоди є функціями лише змінних даної сукупності (вибірки) з їх частотами і не потребують знання типу розподілу генеральної сукупності. Тому їх застосовують при перевірці властивостей гіпотетичного розподілу.
Параметричні критерії мають сильнішу дискримінуючу (роздільну) здатність, більшу потужність порівняно з непараметричними. Коли досліджувана сукупність розподіляється за нормальним законом або не дуже відхиляється від нього, слід надавати перевагу таким критеріям.

==Ступінь вільності==
Поняття статистичного критерію тісно пов'язане з поняттям ступеня вільності. Для більшості критеріїв ступінь вільності є аргументом. Величина <math>\text{N-1}</math>, що стоїть у знаменнику формул для обчислення СКВ, є числом ступенів вільності. Під числом ступенів вільності розуміють число змінних, значення яких задаються довільно Іншими словами, це є загальне число змінних мінус число лінійних зв'язків, накладених на систему, що вивчається.
Під числом ступенів вільності розуміють різницю між числом дослідів та числом характеристик, які визначаються за утвореними даними незалежно одне від одного.

=Порівняння оцінок дисперсій=

Задача порівняння дисперсій виникає, наприклад, при виборі методу аналізу речовини з точки зору відтворюваності даних, при порівнянні точності видержування заданого технологічного режиму двома апаратниками тощо. Крім того, треба порівнювати дисперсії двох вибірок для розв'язання задачі про відсутність відмінності в їх середніх; тому спочатку використаємо F-розподіл.
Нехай треба порівняти дві різні за значенням оцінки <math>{{\text{S}}_{\text{1}}}</math> та <math>{{\text{S}}_{\text{2}}}</math> СКВ <math>{{\sigma }_{1}}</math> та <math>{{\sigma }_{2}}</math> із ступенями вільності <math>{{f}_{1}}</math> та <math>{{f}_{2}}</math> відповідно, утворених з двох різних вибірок Треба визначити, чи лежить різниця між <math>{{S}_{1}}</math> та <math>{{S}_{2}}</math> в межах можливих випадкових коливань, тобто вирішити, чи можна обидва значення <math>S_{1}^{2}</math> та <math>S_{2}^{2}</math> розглядати як оцінку однієї й тіє ж дисперсії <math>{{\sigma }_{2}}</math> генеральної сукупності. Іншими словами, слід визначити, чи належать утворені вибірки до цієї генеральної сукупності. Перевіримо нуль-гіпотезу <math>{{H}_{0}}</math> отже, припустимо, що <math>\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}={{\sigma }^{2}}</math>. Якщо це припущення виконується, то відношення <math>S_{1}^{2}/S_{2}^{2}</math> підлягає F-розподілу зі ступенями вільності math>{{f}_{1}}</math> та <math>{{f}_{2}}</math>. Тому обчислимо F-критерій Фішера <math>{{F}_{p}}=S_{1}^{2}/S_{2}^{2}</math>, де <math>{{S}_{1}}>{{S}_{2}}</math> за умовою. Потім виберемо критичне значення <math>{{F}_{KP}}</math> для заданої надійної ймовірності <math>\gamma </math> або відповідного рівня значущості <math>\alpha =1-\gamma </math> при ступенях вільності <math>{{f}_{1}}</math> чисельник та <math>{{f}_{2}}</math> знаменника.

Знайдені значення <math>{{S}_{1}}</math> та <math>{{S}_{2}}</math> є оцінками однієї й тієї ж генеральної дисперсії <math>{{\sigma }_{2}}</math>, якщо <math>{{F}_{P}}\le {{F}_{KP}}</math>, а спостережувану відмінність між ними розглядають як незначну і випадкову.
Оскільки F-критерій належить до параметричних, його можна використовувати лише тоді, коли є певність у тому, що генеральна сукупність, з якої взято вибірки, розподілена нормально.
Критерій Фішера використовують при порівнянні двох дисперсій, коли відомо, що одна з них належить генеральній сукупності. Тут число ступенів вільності для генеральної дисперсії слід брати таким, що дорівнює нескінченності.
За допомогою F-критерію при обробці активних планованих експериментів перевіряють адекватність математичної моделі, для чого обчислюють дисперсію адекватності. Його можна використовувати також при складанні моделі за результатами пасивних експериментів.
Якщо кількість порівнюваних дисперсій більша двох, то при формуванні F-критерію беруть найбільшу і найменшу дисперсії Якщо при цьому <math>{{F}_{P}}<{{F}_{KP}}</math>, то ці дисперсії відрізняються одна від одної, а решту дисперсій можна зарахувати до однієї сукупності.
Коли обсяг вибірок неоднаковий, користуються критерієм Бартлета, який грунтується на нормальному та <math>{{\chi }^{2}}</math> розподілах. Розрахунки за цим критерієм досить складні і кропіткі, описане вище застосування F-критерію у більшості випадків достатнє.

[[Категорія:Планування експерименту]]

Кореляційний аналіз

2012-03-20T08:06:42Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= Інна| Surname= Канєвська| FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
....... Презентація доповіді (університетський репозиторій).

=Кореляційний аналіз, мета і завдання=

'''Кореляційний аналіз''' – це статистичне дослідження (стохастичної) залежності між випадковими величинами (англ. correlation – взаємозв’язок). У найпростішому випадку досліджують дві вибірки (набори даних), у загальному – багатовимірні комплекси (групи) геологічних параметрів або об’єктів.

'''Мета кореляційного аналізу''' – забезпечити отримання деякої інформації про одну змінну за допомогою іншої змінної. В випадках, коли можливе досягнення мети, говорять, що змінні корелюють. В загальному вигляді сприйняття гіпотези про наявність кореляції означає, що зміна значення змінної А відбудеться одночасно з пропорційною зміною значення В.

Мірою залежності між експериментальними наборами даних є числа – коефіцієнти зв’язку.

Головні завдання кореляційного аналізу:

1) оцінка за вибірковими даними коефіцієнтів кореляції;

2) перевірка значущості вибіркових коефіцієнтів кореляції або кореляційного відношення;

3) оцінка близькості виявленого зв’язку до лінійного;

4) побудова довірчого інтервалу для коефіцієнтів кореляції.

Визначення сили та напрямку взаємозв’язку між змінними є однією з важливих проблем аналізу даних. В загальному випадку для цього застосовують поняття кореляції.

=Поняття кореляції=

Коефіцієнт кореляції, а в загальному випадку кореляційна функція, дозволяють встановити степінь взаємозв’язку між змінними. Кореляція може бути лінійною або нелінійною в залежності від типу залежності, яка фактично існує між змінними. Досить часто на практиці розглядають тільки лінійну кореляцію (взаємозв’язок), але більш глибокий аналіз потребує використання для дослідження процесів нелінійних залежностей. Складну нелінійну залежність можна спростити, але знати про її існування необхідно для того, щоб побудувати адекватну модель процесу.
<center> [[Файл:1.JPG]]

Рис. 1.1 - Ілюстрація «простої» кореляції
</center>
Формула для обчислення коефіцієнтів кореляції має вигляд:

[[Файл:2.jpg]]

де N − довжина вибірки даних; x, y − середні вибіркові x, y ; σx,σ y −
стандартні відхилення, тобто корені квадратні з їх дисперсій.

Наприклад,

[[Файл:3.JPG]]

де N − число вимірів змінної y ; y − середнє значення ряду {y(k)}, яке обчислюється за формулою:

[[Файл:4.JPG]]

=Часткова та напівчасткова кореляції=

У випадку двох нормальних або майже нормальних величин коефіцієнт кореляції між ними може бути використаний як міра взаємозв’язку і це підтверджено багатьма практичними результатами. Проте при інтерпретації «взаємозв’язку» часто виникають наступні труднощі: якщо одна величина корельована с іншою, то це може бути відображенням того факту, що вони обидві корельовані з деякою третьою величиною або з сукупністю величин, які залишаються за кадром і не введені в модель. Така ситуація приводить до розгляду умовних кореляцій між двома величинами при фіксованих значеннях інших величин. Це так звані часткові кореляції. Якщо кореляція між двома величинами зменшується, коли ми фіксуємо деяку іншу випадкову величину, то це означає, що їх взаємозв’язок виникає частково через вплив цієї величини. Якщо ж часткова кореляція дорівнює нулю або дуже мала, то робимо висновок, що їх взаємозв’язок цілком обумовлений власним впливом і ніяк не пов’язаний з третьою величиною.

І навпаки, якщо часткова кореляція більше початкової кореляції між двома величинами, то ми робимо висновок, що інші величини ослабили зв’язок, або приховали (замазали) кореляцію.

Розрізняють поняття напівчасткової та часткової кореляції. Розглянемо ситуацію для трьох змінних (два при Х1 та Х2 (пояснюючі, незалежні змінні) і одна змінна відклику Y (залежна змінна, змінна критерію)). Часткова та напівчасткова кореляції позбавляють впливу третьої змінної.

<center>
[[Файл:5.JPG]]

Рис. 1.2 - Ілюстрація кореляції трьох змінних
</center>

Значення напівчасткової та часткової кореляції можна виразити через множинну кореляцію. Множинна кореляція у випадку трьох змінних
обчислюється за формулою:

Напівчасткова кореляція названа так, тому що дисперсія контрольованої змінної (Х2) усувається з іншої незалежної змінної (Х1), але не із залежної змінної (Y). Тобто ми позбавляємось лише впливу Х2 на Х1.

<center>
[[Файл:1_3.jpg]]

Рис. 1.3 - Ілюстрація напівчасткової кореляції
</center>

У випадку трьох змінних формула для обчислення напівчасткової кореляції буде мати вигляд:

<math>r_{_{Y(1.2)}}^{2}=R_{Y.12}^{2}-r_{Y2}^{2}</math>

В термінах звичайних коефіцієнтів кореляції отримаємо:

<math>r_{Y(1.2)}^{2}=\frac{{{({{r}_{Y1}}-{{r}_{Y2}}{{r}_{12}})}^{2}}}{1-r_{12}^{2}}</math>

<math>{{r}_{Y(1.2)}}=\frac{{{r}_{Y1}}-{{r}_{Y2}}{{r}_{12}}}{\sqrt{1-r_{12}^{2}}}</math>

де <math>{{r}_{Y1}}</math> - проста кореляція між

<math>{{r}_{Y2}}{{r}_{12}}</math> - результат кореляції між у і х2 та х1 і х2

<math>\sqrt{1-r_{_{12}}^{2}}</math> - загальна дисперсія за винятком взаємозв’язку між <math>{{x}_{1}}</math> та <math>{{x}_{2}}</math>.

Часткова кореляція відрізняється від напівчасткової тим, що усувається вплив третьої змінної з іншої незалежної змінної, а також і з залежної змінної.

<center>
[[Файл:1_4.jpg]]

Рис. 1.4 - Ілюстрація часткової кореляції
</center>

У випадку трьох змінних формула для обчислення часткової кореляції буде мати вигляд:

<math>r_{Y1.2}^{2}=\frac{R_{Y.12}^{2}-r_{Y2}^{2}}{1-r_{Y2}^{2}}</math>

В термінах звичайних коефіцієнтів кореляції отримаємо:

<math>r_{Y1.2}^{2}=\frac{({{r}_{Y1}}-{{r}_{Y2}}{{r}_{12}})}{(1-r_{Y2}^{2})(1-r_{Y2}^{2})}</math>

<math>{{r}_{Y1.2}}=\frac{{{r}_{Y1}}-{{r}_{Y2}}{{r}_{12}}}{\sqrt{(1-r_{Y2}^{2})(1-r_{Y2}^{2})}}</math>

де <math>{{r}_{Y1}}</math> - <math>y</math> та <math>{{x}_{1}}</math>

<math>{{r}_{Y2}}{{r}_{12}}</math> - результат кореляції між у і х2 та х1 і х2

<math>\sqrt{1-r_{_{12}}^{2}}</math> - загальна дисперсія за винятком всіх часткових взаємозв’язків між <math>{{x}_{1}}</math> і <math>{{x}_{2}}</math>

Якщо кореляція між х1 і х2 та у і х2 відсутня, то <math>{{r}_{Y1.2}}={{r}_{Y1}}</math>

=Властивості коефіцієнта кореляції=

1. Коефіцієнт кореляції є в межах від -1 до +1.

<math>-1\le \rho (x,y)\le +1</math>

Якщо <math>\rho (x,y)>0</math>, то кореляція пряма, а якщо <math>\rho (x,y)<0</math> – зворотна. Пряма кореляція: більшим значенням випадкової змінної <math>x</math> відповідають більші значення <math>y</math>; зворотна кореляція: більшим значенням <math>x</math> відповідають менші <math>y</math> і навпаки, більшим <math>y</math> – менші <math>x</math>.

2. Симетрія

<math>\rho (x,y)=\rho (y,x)</math>

3. Якщо <math>x</math> та <math>y</math> пов’язані лінійним функціональним зв’язком <math>y\left( x \right)=a+bx</math>, <math>a</math> i <math>b</math> – сталі, то <math>\left| \rho (x,y) \right|=1</math>, і навпаки.

4. Якщо випадкові змінні лінійно незалежні, то <math>\rho (x,y)=0</math>, і навпаки.
Останні дві властивості можна сформулювати як необхідну й достатню умови, причому критерієм залежності випадкових величин <math>x</math> і <math>y</math> є відмінність коефіцієнта кореляції від нуля: <math>r\ne 0</math>.

=Кореляційне поле =
Графічно дані для кореляційного аналізу зображають у вигляді кореляційного поля, тобто точок на площині, кожна з яких має координати <math>({{x}_{i}},{{y}_{i}})</math> (рис.3.1)

<center>
[[Файл:6.jpg]]

Рис. 3.1. Візуальна оцінка характеру кореляційного зв’язку 
за кореляційним полем: ''a'' – пряма кореляція, <math>r>0</math>; ''б'' – зворотна кореляція, <math>r<0</math>.
</center>
 
Для прямої кореляції характерною тенденцією є збільшення одного з параметрів, якщо збільшується інший, а для оберненої, навпаки: збільшення одного супроводжується, як звичайно, зменшенням іншого. Причиною фіктивної кореляції (тобто такої, що спостережена, але не властива природним об’єктам) може бути неоднорідність сукупності даних, які відображають два різні об’єкти (рис. 3.2). Іноді методика дослідження впливає на створення видимості зв’язку там, де його немає. Наприклад, якщо вимірювати довжину і ширину без урахування орієнтації зразків, то всі точки кореляційного поля лежатимуть у секторі від 0 до 45° (замість сектора 0–90°), що помилково можна сприйняти як наявність деякого зв’язку

<center>
[[Файл:7.jpg]]

Рис. 3.2. Некорельовані дані, <math>r=0</math> і фіктивна кореляція (неоднорідні дані).
</center>

=Перевірка гіпотези про значущість коефіцієнта кореляції=

Згідно зі схемою статистичного доведення виконуємо таке.
1. Нульова гіпотеза: лінійного зв’язку немає, тоді істинний коефіцієнт кореляції дорівнює нулю:

<math>{{H}_{0}}:\rho (x,y)=0</math>

за двосторонньої альтернативи

<math>{{H}_{1}}:\rho (x,y)\ne 0</math>

2. Вибираємо <math>\alpha </math>, наприклад, <math>\alpha =0,05</math>.

3. Обчислюємо вибірковий коефіцієнт кореляції <math>r</math> і будуємо статистику

<math>t=\frac{r}{\sqrt{1-{{r}^{2}}}}\sqrt{n-2}</math>

4. Ця статистика має розподіл Стьюдента з <math>df=n-2</math> ступенями вільності, а для <math>n>60</math> можна використовувати й стандартний закон розподілу.

5. Знаходимо критичні значення статистики, тобто квантилі розподілу Стьюдента (чи стандартного для великих вибірок) для заданого рівня значущості <math>\alpha </math>. Для <math>n\le 60</math> маємо
<math>{{t}_{Kp}}={{t}_{Kp}}(\alpha ,d,f)</math>, а для <math>n>60</math> – наближену формулу
<math>{{t}_{Kp}}=\psi (\alpha )</math>,
де <math>\psi (\alpha )={{\Phi }^{-1}}(\alpha )</math> - обернена функція стандартного закону розподілу.

6. Перевіряємо критерій: якщо <math>\left| t \right|\ge {{t}_{Kp}}</math>, то нульову гіпотезу відхиляємо, тобто існує суттєвий лінійний зв’язок між даними (дані корелюють).
На практиці зручнішою є формула, яка дає критичне значення самого коефіцієнта кореляції. З рівняння статистики можна визначити
<math>{{r}_{Kp}}=\frac{{{t}_{Kp}}}{\sqrt{n-2+t_{Kp}^{2}}}</math>
Ця формула дає змогу один раз відшукати критичне значення коефіцієнта кореляції (для фіксованого <math>\alpha </math> і <math>n</math>) і використовувати його в наступній серії порівнянь парних коефіцієнтів кореляції з критичним, наприклад, для перевірки на значущість коефіцієнтів кореляційної матриці.

=Автокореляція=
Автокореляція або автокореляційна функція - це кореляція функції з самою собою зміщеною на певну величину незалежної змінної. Автокореляція використовується для знаходження закономірностей в ряді даних, таких як періодичність. Часто застосовується у статистиці та обробці сигналів для аналізу функцій або серій даних.
Математично автокореляційна функція визначається як:

<math>{{R}_{f}}(\tau )=\int\limits_{-\infty }^{\infty }{f(t){{f}^{*}}(t-\tau )}dt</math>,

де функція <math>f(t)</math> інтегрується у добутку з комплексно спряженою та зміщеною на певну величину <math>\tau </math> (часто <math>\tau </math> це час) функцією.

=Кореляційна матриця=
Нехай маємо групу з <math>k</math> випадкових змінних <math>{{x}_{1}},...,{{x}_{k}}</math> (досліджуваних параметрів), що представлені вибірками обсягу <math>n</math> кожна. Для усіх можливих різних пар індексів <math>i,j=1,2,...,k</math> можна обчислити парні коефіцієнти кореляції <math>{{r}_{ij}}=r({{x}_{i}},{{x}_{j}})</math>.
Для <math>i=j</math>, тобто для двох ідентичних наборів, можна прийняти <math>{{r}_{i}}_{j}=1</math>, що відповідає лінійній функціональній залежності <math>{{x}_{i}}={{x}_{j}}</math> (тотожності) для всіх пар значень у вибірках. Коефіцієнти кореляції запишемо у вигляді підсумкової симетричної матриці

<math>R=\left[ \begin{matrix}
1 & {{r}_{12}} & ... \\
{{r}_{21}} & 1 & ... \\
... & ... & ... \\
{{r}_{k1}} & {{r}_{k2}} & ... \\
\end{matrix} \right..</math>

Після перевірки кожного з коефіцієнтів на значущість (достатньо це зробити для елементів матриці над головною діагоналлю) і заміни коефіцієнтів, що менше <math>{{r}_{Kp}}</math>, нулем, “очищена” кореляційна матриця відображає “справжні” статистично значимі зв’язки між змінними.
Аналіз структури кореляційної матриці є дуже важливим методом для виявлення, наприклад, парагенетичних асоціацій у геохімічних дослідженнях , а також основою інших методів аналізу (наприклад, факторного). З огляду на це часто виникає завдання порівняти різні коефіцієнти кореляції. Оскільки істинні коефіцієнти кореляції <math>{{\rho }_{i}}</math>, та <math>{{\rho }_{j}}</math> невідомі, то рішення ухвалюють, користуючись їхніми вибірковими оцінками <math>{{r}_{i}}</math> та <math>{{r}_{j}}</math>на підставі статистичного доведення.

1. Формулюємо нульову гіпотезу про рівність коефіцієнтів кореляції

<math>{{H}_{0}}:{{\rho }_{i}}={{\rho }_{j}}</math>

та альтернативну їй

<math>{{H}_{1}}:{{\rho }_{i}}\ne {{\rho }_{j}}</math>

2. Вибираємо рівень значущості <math>\alpha </math>.

3. Оскільки розподіл коефіцієнтів кореляції за умови <math>\rho \ne 0</math> має значну асиметрію, то використовуємо перетворені величини

<math>z{}_{i}=\frac{1}{2}\ln \frac{1+{{r}_{i}}}{1-{{r}_{i}}}</math>

і будуємо статистику

<math>{{t}^{*}}=\frac{\left| {{z}_{i}}-{{z}_{j}} \right|}{s\sqrt{2}}</math> <math>s=1/\sqrt{n-3}</math>

4. В умовах гіпотези <math>{{H}_{0}}</math> статистика <math>{{t}^{*}}</math> має асимптотично нормальний розподіл з нульовим середнім та дисперсією, що дорівнює 1.

5. Знаходимо критичні значення статистики, тобто квантилі стандартного нормального розподілу, наприклад, для <math>\alpha =0,05</math> маємо <math>{{t}^{*}}={{\psi }^{-1}}(0,05)=1,96</math>.

6. Якщо

<math>\left| {{z}_{i}}-{{z}_{j}} \right|<{{t}^{*}}s\sqrt{2}</math>

то гіпотеза про рівність коефіцієнтів не суперечить вибірковим даним (для заданого <math>\alpha </math>).

=Список використаних джерел=

#Курсова робота на тему: “Розробка методів для обчислення часткової кореляційної функції”.
#http://uk.wikipedia.org/wikiАвтокореляція
#http://www.lnu.edu.ua/faculty/geology/phis_geo/Khomyak/E-book_Geostatistics/Part2/Lections2-3-1.htm
#Аністенко В.О., Федоров В.Г. – Математичне планування експерименту АПК.

{{Завдання:Виступ|inna|9 березня 2010|Кореляційний аналіз експериментальних даних. Кореляційна матриця. Перевірка гіпотез відносно значень кореляційної матриці}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Сфери застосування планування експерементів

2012-03-20T08:06:07Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Андрій | Surname=Бурак | FatherNAme=Михайлович|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/405] Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= ВСТУП. =
'''Класичне уявлення про експерименти.'''

Незважаючи на велике значення експерименту в науковому пізнанні, не існує єдиного загальновизнаного визначення відповідного терміна (це саме стосується, як уже зазначалося й інших фундаментальних понять кібернетики — «система», «модель», «інформація», «управління»). Як правило, під експериментом розуміють створення деякого комплексу умов R, в результаті яких можуть відбуватись чи не відбуватись події з деякої заданої множини S. Предметом теорії експерименту є вивчення відображення цієї множини R, яка називається комплексом умов, на множину S подій — результатів експерименту.

Наведемо ще кілька класичних інтуїтивних визначень.

'''Експеримент''' (від лат. experimentum — проба, досвід) — науково поставлене випробування, спостереження досліджуваного явища за певних фіксованих умов, завдяки чому його можна відтворити повторенням цих умов.

'''Експеримент''' — випробування, дія чи операція, спрямована на виявлення нових фактів або на перевірку гіпотез.

Зупинимося на деяких аспектах сучасного розуміння експерименту.

Нині вже усвідомлено той факт, що існують явища, які не піддаються числовому (кількісному) вимірюванню, але які можна фіксувати в «слабких», «якісних» шкалах і ці результати враховувати в моделях, дістаючи якісні, проте цілком обґрунтовані висновки.

Розпливчастість деяких спостережень визнається як їхня невід’ємна природна властивість, яку можна математично формалізувати за допомогою апарату теорії нечітких множин.

Намагаючись дістати якомога точніші результати вимірювання, дослідник має усвідомлювати, що похибки вимірювання є органічними, неусувними властивостями самого процесу вимірювання. Тому моделі, що перевіряються на практиці, мають не тільки бути гіпотезами про досліджуваний об’єкт, а й ураховувати гіпотези щодо точності вхідної інформації.

Хоча для проведення експерименту необхідна модель відповідного об’єкта [http://metallkovka.com.ua/художественная ковка]
, а для уточнення моделі об’єкта необхідний експеримент, тут немає хибного кола: після завершення чергового циклу наступний починається з нової, зміненої моделі. Ми починаємо з найпростішої моделі вхід—вихід («чорної скриньки») і намагаємось побудувати модель «білої скриньки».

Можна виокремити два основні напрямки в теорії планування експериментів: планування екстремальних експериментів та планування експериментів зі з’ясування механізмів явищ.

Завдання екстремального експерименту полягає у визначенні оптимальних значень функції регресії (чи комбінації факторів, за яких функція відгуку набуває екстремальних значень). Методи планування такого експерименту тісно пов’язані з регресійним та факторним аналізом і методами стохастичного програмування.

У плануванні експериментів зі з’ясування механізмів явищ розрізняють:

• експерименти з перевірки статистичних гіпотез;

• експерименти, що відсіюють другорядні та незначущі фактори;

• імітаційні експерименти, які пов’язані з комп’ютерним відтворенням досліджуваного явища. Цей тип експериментів базується на застосуванні методу Монте-Карло.

= Особливості проведення експериментів в економіці. =

При дослідженні відносно простих систем дослідник може з достатнім ступенем точності стабілізувати (зафіксувати) усі незалежні змінні. Потім, по черзі варіюючи деякі з них, можна встановити вигляд функціональної (статистичної) залежності між ними. Що ж до економіки, то варто звернути увагу на такі її особливості як об’єкта моделювання.

1. В економіці неможливі моделі за принципом подібності, широко застосовувані в техніці. Наприклад, у літакобудуванні, гідротехніці часто використовується такий прийом: будується точна копія (макет) системи (у деякому масштабі) і на цій копії відпрацьовуються з необхідним коригуванням усі режими її роботи. Однак такий прийом неприйнятний щодо економіки — не можна побудувати точну копію економіки і на ній відпрацювати різні варіанти економічної політики.

2. В економіці обмежена можливість проведення прямих (активних) експериментів. Прямі експерименти з економікою мають як позитивний, так і негативний бік. Перевага таких експериментів полягає в тому, що практично відразу виявляються короткострокові результати здійснюваної економічної політики, а недолік — в тому, що неможливо безпосередньо передбачати середньо- та довгострокові наслідки прийнятих рішень. Адже передбачати такі наслідки можна лише на основі концептуальних моделей розвитку економіки, що спираються на минулий досвід. Проте прямі експерименти з економікою вкрай небезпечні, оскільки в разі невдалої та неефективної економічної політики вони можуть призвести до стагнації економіки та негативних соціальних наслідків.

3. В економіці можливості «чистих» експериментів вельми обмежені, оскільки економічні системи належать до класу великих складних динамічних систем, в яких існують численні контури прямих і зворотних зв’язків. У таких системах не можна встановити «непроникні перегородки», що розмежовують вплив різних факторів. Такі системи називають «погано організованими», або дифузійними.

З огляду на сказане, досліджуючи економіку будь-якої країни, спираються на її минулий досвід та досвід інших країн. Такий досвід важко переоцінити, але далеко не завжди його можна безпосередньо перенести в умови конкретної економічної ситуації. Проте, зважаючи на вельми обмежену можливість безпосереднього експериментування з усією економікою, вдаються до концептуальних моделей, на яких ґрунтується побудова ЕММ. Адекватність таких моделей встановлюється за допомогою сучасної теорії планування (імітаційних) експериментів.

= Приклади планування експериментів в медицині та сільському господарстві. =

Доволі часто виникає необхідність у визначенні частоти випадків одужання після якогось захворювання - або при випробуванні того чи іншого препарату, або при порівнянні ефективності двох препаратів. Чудова особливість такого статистичного аналізу полягає в тому, що всі види неминучої природної мінливості, що становить як би "фон", на якому виявляється мінливість, пов'язана з досліджуваним фактором, що враховуються в комплексі шляхом використання відповідного розподілу ймовірностей. Якщо фонова мінливість дуже велика, то для отримання остаточних результатів може знадобитися дуже велике число спостережень, а коли вона порівняно мала, результат буде отримано значно швидше.

Якщо який-небудь ефект викликається дуже великим числом різних факторів, то цілком можливо, що фонова мінливість буде вельми велика. У таких випадках доцільно спробувати виділити деякі з цих факторів, навіть якщо їх неможливо повністю контролювати або виключити. Часто виявляється можливим розбити загальну мінливість на окремі компоненти, з яких один відповідає досліджуваного фактору, кілька інших - інших дій, які припускають можливість роздільної оцінки, і останній - інших дій, роздільна оцінка яких неможлива. Оскільки вплив останньої групи чинників, безумовно, буде слабшим, ніж вплив досліджуваного фактора, то це забезпечує більш точну статистичну перевірку.

Мистецтво розташовувати спостереження в певному порядку або проводити спеціально сплановані перевірки з метою повного використання можливостей цих методів і складає зміст предмета "планування експерименту". Тут наведені лише деякі основні переваги свідомого та продуманого планування експерименту.

Перший приклад. Потрібно порівняти болезаспокійливу дію двох різних лікарських препаратів А та В. Нехай підібрано 16 хворих і прийнято рішення розділити їх випадковим чином (щоб уникнути будь-якої свідомо чи мимоволі вноситься систематичної помилки) на дві групи, по 8 хворих в кожній . Одна група отримує препарат А, а інша - препарат В. Потім вимірюють час, протягом якого кожен з хворих відчуває полегшення, і порівнюють середні значення по обох групах. Якщо середній час для препарату А значимо перевищує середній час для препарату В, то можна зробити висновок, що перший препарат більш ефективний. (В даному випадку несуттєво, який статистичний критерій використовується. Оскільки розглядається невелика кількість об'єктів, це може бути один з критеріїв Стьюдента.)

Відомо, що хворі по-різному реагують на один і той самий лікарський препарат, тому тривалість періоду полегшення зазвичай сильно варіює, що значно знижує точність порівняння цих двох препаратів. Проте в даному експерименті відмінності між хворими не становлять для нас особливого інтересу, і це джерело похибки можна виключити такий спосіб. Замість того щоб ділити хворих на дві групи, перевіряють на кожному з них обидва препарати, призначаючи їх послідовно через досить великі проміжки часу (щоб уникнути взаємодії) і у випадковому порядку (або, можливо, в одному порядку для однієї половини хворих і в іншому порядку для іншої).

Тепер для кожного хворого визначають відносну перевагу препарату А перед препаратом В, для чого обчислюють сумарну тривалість періоду полегшення для кожного з них і знаходять різницю цих двох величин. Таким чином отримують 16 чисел, що характеризують відносну перевагу одного препарату перед іншим, що дозволяє перевірити, чи значимо відрізняється від нуля їх середнє значення. Позитивна різниця tA-tB свідчить про статистично значущу перевагу препарату А, негативна - про зворотне співвідношення. Розглядаючи показники відносної переваги, ми виключаємо вплив реакції окремих хворих і в загальному випадку добиваємося більш ефективного порівняння цих двох ліків.

Така проста перевірка методом попарного порівняння являє собою найпростіший план експерименту, який має на меті отримати максимальну кількість інформації з даного числа спостережень. Зауважимо, що цей план має і свої додаткові особливості, тому що вимагає особливої уваги до низки практичних питань, наприклад до того, щоб препарати призначалися у випадковому порядку (щоб уникнути небажаної систематичної помилки) і через досить великі проміжки часу (для виключення ефектів взаємодії) ; однак тут ми не можемо детально розглядати ці питання.

Ми показали, яким чином під час перевірки методом попарного порівняння можна контролювати або виключати з розгляду будь-яке одне важливе і явне джерело мінливості. У більш загальному випадку можуть бути сплановані факторні експерименти, за допомогою яких можна визначити внесок кожного з кількох факторів в загальну мінливість. Деякі з цих факторів можуть становити особливий інтерес, тоді як інші мають другорядне значення. Ідея та практичне застосування цього нового підходу, що належить головним чином Р. Фішером, набули широкого поширення після появи його книги "Планування експериментів", що вийшла першим виданням в 1935 р.

Більшість фундаментальних робіт в області планування експерименту було присвячено сільськогосподарським додаткам.
Другий приклад. Припустимо, потрібно зрівняти середню врожайність кількох сортів пшениці при застосуванні різних добрив в різної концентрації, враховуючи при цьому коливання в родючості грунту на досить великих ділянках землі, які можна розбити на ділянки відповідних розмірів. Для початку можна спробувати скласти план експерименту, в якому будуть розглядатися всі можливі комбінації значень, або рівнів, різних факторів. Так, якщо є чотири сорти пшениці і три різних види добрив, що застосовуються в трьох різних концентраціях, то загальна кількість комбінацій умов дорівнюватиме 36. Таким чином, вихідне число ділянок в одному блоці факторного експерименту буде дорівнює 36 - по одній ділянці на кожну комбінацію умов. Внаслідок можливого коливання в родючості грунту від одного блоку до іншого може виявитися доцільним мати не менше двох повних блоків.

Проводиться застосування факторного плану замість класичної схеми, згідно з якою кожен раз змінюється тільки один фактор, що має ряд серйозних і навіть кілька несподіваних переваг. Перш за все в цьому випадку найбільш повною є картина впливу кожного фактора, оскільки воно вивчається в самих різних умовах (внаслідок одночасної зміни інших факторів). По-друге, велика кількість комбінацій факторів, що використовуються в експерименті, полегшує передбачення результатів, які можуть бути досягнуті при певній комбінації умов. По-третє, якщо ефекти, що викликаються кожним фактором, включених в експеримент, статистично незалежні, то про кожному факторі можна отримати не менше інформації, ніж якщо б у процесі експерименту змінювався тільки один цей чинник, а інші залишалися постійними. По-четверте, якщо (як це часто буває) різні фактори не є незалежними, а викликають ефекти, які більшою чи меншою мірою корельовані, то в цьому випадку тільки факторний експеримент може дати інформацію про характер цих взаємодій. За наявності декількох взаємопов'язаних істотних факторів обійтися без постановки факторного експерименту неможливо. Для ряду часто зустрічаються спеціальних завдань розроблено велику кількість стандартних планів такого типу.

Згідно з деякими з цих найпростіших планів, експеримент проводять на декілька блоків і всередині кожного з них на окремих ділянках перевіряють вплив усіх рівнів якогось одного фактора. При правильному плануванні отримують рандомізований блочний план. У сільськогосподарських задачах блоками можуть служити ділянки землі на різних полях, а рівнями одного фактора - ступінчаста послідовність концентрацій добрив або просто різні сорти пшениці. У лабораторному експерименті, в якому, скажімо, перевіряється вплив різних раціонів харчування на щурів, раціони харчування будуть випробовуватись умовами, а щури - окремими експериментальними одиницями (відповідними ділянках в сільськогосподарському експерименті).
У розглянутої вище простій перевірці методом попарного порівняння також можна було б застосувати рандомізований блочний план; тоді кожного хворого можна було б розглядати як окремий блок, а лікарські препарати - як умови експерименту.

== Логічна схема. ==

Хоча іноді буває важко перенести плани експериментів, розроблені для однієї області, особливо для сільського господарства, у зовсім іншу область, що лежить в їх основі логічна схема часто опиняється досить сприятливою. Тому доцільно ретельно обміркувати можливість того, щоб при належноій інтерпретації елементів якого-небудь певного плану експерименту можна було б забезпечити його успішне застосування в задачах зовсім іншого характеру. Це ілюструє великі можливості математичних методів планування експерименту. В основі планування повинна, зрозуміло, лежати деяка вихідна математична модель. Опишемо найпростішу з них, яка в тому чи іншому варіанті використовується найбільш широко. Хай потрібно досліджувати вплив тільки двох факторів А та В. Припустимо, що спостерігається на деякій експериментальної одиниці вплив i-го рівня фактора А і j-го рівня фактора В можна записати у вигляді

<center><math>yij = m + ai + bj + zij</math> (1.1)</center>

де<math> yij</math> – досліджувана величина, m – загальне середнє, <math>ai</math> і <math>bj</math> - відносні вклади цих двох чинників при заданих рівнях кожного з них, a <math>zij</math> - випадкова зміна, що накладається на основну лінійну адитивну схему. Крім того, часто приймається, що всі величини мають один і той же нормальний розподіл і незалежні один від одного.

Ці обмеження досить серйозні, проте часто прийняття їх в якості першого наближення цілком виправдано. Так, якщо вплив цих факторів малий, то помітну величину будуть мати тільки лінійні члени та можливими членами другого порядку можна знехтувати. При незалежності факторів формула (1.1) цілком задовільна. Але якщо вони взаємодіють один з одним, то слід включити в неї додаткові члени сij, що враховують цю взаємодію. Можна, однак, виконати перевірку значущості на основі формули (1.1), щоб переконатися, чи потрібні члени, що характеризують взаємодію. Крім того, якщо випадкові величини zij не розподілені за нормальним законом, то можна використовувати будь-яку функцію емпіричних результатів (наприклад, квадратні корені або логарифми), для якої зберігається нормальний закон розподілу.

На основі елементарної формули (1.1) легко побудувати моделі, що враховують безліч чинників, блоків, взаємодій і інших ускладнень, спричинених практичною необхідністю в кожному даному експерименті. Справа в тому, що в дуже багатьох випадках необхідні обчислення відносно прості і виконуються безпосередньо. Зазвичай доводиться виробляти повторювані обчислення сум і сум квадратів даних, обраних відповідним чином. Результати представляють у вигляді таблиці дисперсійного аналізу, за допомогою якої можна встановити значимість всіх різних факторів, що впливають на результати експерименту.

== Послідовна схема. ==

Одним із сучасних варіантів планування експериментів, який слід розглянути окремо, є послідовна схема експерименту. В експерименті стандартного типу необхідно заздалегідь вирішити, скільки спостережень потрібно набрати. Якщо після аналізу виявиться, що кількість спостережень занадто мало, то потрібно спробувати продовжити експеримент, однак може виявитися, що на даному етапі зробити це важко або неможливо. Якщо ж з'ясується, що отримано значно більше спостережень, ніж необхідно для досягнення необхідної точності, то буде втрачено час і гроші. У медичних задачах це має особливо істотне значення. Жоден лікар не зацікавлений в тому, щоб експеримент тривав довше, ніж це строго необхідно, тому що його мета - дати своїм хворим найкращий з існуючих препаратів, як тільки він пройде клінічні випробування. Таким чином, в медицині вибір і планування експерименту найтіснішим чином пов'язані з етичними міркуваннями.

Послідовна схема передбачає проведення експерименту окремими серіями. Оцінка результатів проводиться на кожному етапі, з тим щоб негайно можна було вирішити, застосовувати препарат А, препарат В або ж продовжувати експеримент, оскільки остаточного висновку зробити ще не можна. За такої схеми експерименту тривалість його буде мінімальна і він закінчиться значно раніше, ніж у будь-якому іншому випадку. Крім того, в медицині часто буває дуже важко або навіть взагалі неможливо провести звичайну експериментальну перевірку, тому що після кількох невдалих результатів, які можуть закінчитися смертю хворого, починаються гострі суперечки про те, чи варто продовжувати експеримент взагалі. Послідовних схема означає, що заздалегідь можна ретельно і спокійно розглянути різні лінії поведінки, зумовлюється різними результатами експерименту. При цьому значно легше вибрати найкращі рішення безпосередньо в ході експерименту і сумістити вимоги етики з статистичною ефективністю.

= Приклад застосування в хімії. =

Розрахунок швидкості корозії.

Розрахунок швидкості корозії в промислових водах проводиться з метою оцінки корозійної характеристики середовища за змістом корозійно-активних компонентів. Згідно з РД 39-0147323-339-89-Р основними корозійно-активними складовими промислових вод є рН, HCO3-, Cl-, Ca2 +, Mg2 +, H2S. Оскільки рН є похідним від змісту HCO3-, H2S і вплив іонів Ca2 + і Mg2 + аналогічно, були взяті чотири складові - HCO3-, Cl-, Ca2 + + Mg2 +, H2S.

На першому етапі роботи була зібрана апріорна інформація за даними складу промислових вод за період з 1995 по 1999 роки по родовищах (таблиця 1). Джерелом інформації служили результати аналізів промислових вод, проведені хіміко-аналітичною лабораторією за період часу. Найбільш істотним в таблиці є мінімальне та максимальне утримання кожного компонента.
Як фактори були взяті:

х1 - вміст HCO3-, г / л;

х2 - вміст Ca2 + + Mg2 +, г / л;

х3 - вміст Cl-, г / л;

х4 - вміст H2S, мг / л.

Таблиця 1 - Зміна змісту корозійно-активних компонентів в стічній воді по родовищах за 1995-1999 роки

<center>[[Файл:3333.jpg]]</center>

У ході дослідження важливим було відстеження взаємодії факторів. Виходячи з цього, було прийнято математичний опис процесу у вигляді рівняння регресії для чотирьох змінних:

<math>vcor = b0 + b1x1 + b2x2 + b3x3 + b4x4 + b11x12 + b22x22 + b33x33 + b44x44 + b12x1x2 + B13x1x3 + b14x1x4 + b23x2x3 + b24x2x4 + b34x3x4.</math>

Використання в якості моделі полінома другого порядку вимагає варіювання факторів на п'яти рівнях. Відповідно до апріорної інформацією були прийняті значення рівнів, представлені в таблиці 2.

Таблиця 2 - Значення рівнів варіювання факторів.

<center>[[Файл:444444.jpg]]</center>

Так як в якості моделі взяли поліном другого порядку для розрахунку коефіцієнтів зручно скористатися методом центрального композиційного планування (ЦКОП). В основному експерименті в центрі плану передбачався один досвід, тому значення «зоряного» плеча α береться рівним +1. Кількість експериментів рівне 25. З огляду на вимоги, які розглядаються, була складена матриця планування в умовному масштабі. При проведенні основного експерименту досліди були рандомізовані.

Таблиця 3 - Матриця планування чотирьохфакторного експерименту.

<center>[[Файл:55555.jpg‎]]</center>

Коррозия и защита в нефтегазовой промышленности: Экономическая эффективность катодной защиты обсадных колонн скважин / Под ред. Г.С. Кесельмана, В.Б. Максимова. - М.: ВНИИОЭНГ, 1974. - 74 с.
http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1156624&uri=2_3.htm
http://buklib.net/component/option,com_jbook/task,view/Itemid,36/catid,128/id,3694/

=Список використаних джерел=

#Коррозия и защита в нефтегазовой промышленности: Экономическая эффективность катодной защиты обсадных колонн скважин / Под ред. Г.С. Кесельмана, В.Б. Максимова. - М.: ВНИИОЭНГ, 1974. - 74 с.
#http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1156624&uri=2_3.htm;
#http://buklib.net/component/option,com_jbook/task,view/Itemid,36/catid,128/id,3694.

{{Завдання:Виступ|zvizdar|8 березня 2010|Приклади задач у народному господарстві, в тому числі у багатьох областях медицини та ін.}}

[[Категорія:ПЕ-2010]]
[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експеримента]]

Матриця планування експерименту

2012-03-20T08:05:16Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= Іван| Surname=Галас | FatherNAme=Михайлович |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

{{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789 Матриця планування експеременту]}}

= Матриця планування експерименту =
В даному випадку розглядається планування першого порядку для якого ставляться такі вимоги:
*В якості факторів вибираються тільки контрольовані фактори.
*Забезпечується можливість незалежної зміни кожного з факторів і підтримання його на потрібному рівні.
*Для кожного фактору вказується інтервал(+/-) в межах якого проводиться експеримент.
Перед початком дослідів на основі апріорних даних вибирають рівень, який є базовим. Перший етап планування експерименту для отримання лінійної моделі заснований на варіюванні факторів на двох рівнях.

<center>[[Файл:G1.JPG]]</center>

В цьому випадку, якщо кількість факторів відома, можна знайти кількість дослідів, необхідних для реалізації всіх можливих комбінацій рівнів факторів.Вона обчислюється за формулою
<math>N={{2}^{k}}</math>, де N - кількість дослідів, k - кількість факторів, 2 - кількість рівнів. В загальному випадку експеримент, в якому реалізуються всі можливі комбінації рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Якщо кількість рівнів кожного фактора два, то маємо повний факторний експеримент типу
<math>{{2}^{k}}</math> При плануванні експерименту проводять перетворення (нормалізацію) незалежних змінних
<math>{{z}_{i}}</math>:
<math>{{z}_{i}}=\frac{{{x}_{i}}-{{x}_{i0}}}{\Delta {{x}_{i}}}</math>, що дає можливість легко побудувати ортогональну матрицю планування і полегшує подальші обчислення, оскільки верхній та нижній рівні варіювання
<math>{{z}_{iB}}</math> при
<math>{{x}_{i0}}<{{x}_{i}}</math> та
<math>{{z}_{iH}}</math> при <math>{{x}_{i0}}>{{x}_{i}}</math> дорівнюють відповідно
<math>{{z}_{iB}}=+1</math> та
<math>{{z}_{iH}}=-1</math>.
Не важко записати всі комбінації рівнів при експерименті з двома факторами. Умови експерименту можна записати у вигляді таблиці, де рядки відповідають різноманітним дослідам, а стовпці - значенням факторів.

<center>[[Файл:G2.jpg]]</center>

Такі таблиці називаються матрицями планування експерименту.Кожен стовпець в матриці планування називають вектор -стовпцем, а кожен рядок вектор-рядком. Таким чином в таблиці і ми маємо два вектора-стовпці незалежних змінних(факторів) і один вектор стовпець параметра оптимізації. Те, що записано в цій таблиці в алгебраїчній формі, можна зобразити геометрично.

[[Файл:G4.JPG]] [[Файл:G3.JPG]]

В області визначення факторів шукається точка, яка відповідає основному рівню, і через неї проводяться нові осі координат, паралельні осям натуральних значень факторів. Далі, вибираються масштаби по нових осях так, щоб інтервал варіювання для кожного фактора дорівнював одиниці.Тоді умови проведення дослідів будуть відповідати вершинам квадрату, центром якого є основний рівень, а кожна сторона паралельна одній з осей координат і дорівнює двом інтервалам. Номери вершин квадрата відповідають номерам дослідів в матриці планування. Площа, обмежена квадратом, називається областю експерименту, або областю факторного простору. Іноді зручніше вважати областю експерименту площу, обмежену кругом,який описує квадрат. В задачах інтерполяції область експерименту є область можливих значень у. Областю факторного простору для трьохфакторного експерименту буде куб.
<center>[[Файл:G6.JPG]]</center>
Запис матриці планування, особливо для багатьох факторів, громіздка. Для її скорочення зручно ввести умовні буквенні позначення рядків. Це робиться наступним чином. Порядковий номер фактора ставиться у відповідність маленькій букві латинського алфавіту:
<math>{{x}_{1}}-a,{{x}_{2}}-b,</math> і т.д. Якщо тепер для рядка матриці планування виписати латинські літери тільки для факторів, які знаходяться на верхніх рівнях, то умови досліду будуть задані однозначно. Дослід, при якому всі фактори знаходяться на нижніх рівнях позначають (1).

<center>[[Файл:G5.JPG]]</center>

Таким чином ми побудували повний факторний експеримент
<math>{{2}^{3}}</math>. Він має вісім дослідів і включає всі можливі комбінації рівнів трьох факторів. Якщо для двох факторів всі можливі комбінації рівнів легко знайти прямим перебором, то з збільшенням кількості факторів виникає необхідність в деякому правилі побудови матриць. Серед багатьох можливих зазвичай використовуються три прийоми переходу від матриць меншої розмірності до матриць більшої розмірності:
*Записаний вихідний план для одного рівня вихідного фактора, а потім повторити його для другого рівня.
*Перемножуємо стовпці для вихідного плану, записуєм для половини дослідів, потім міняєм знаки отриманого вектора на протилежні і записуємо для другої половини дослідів.
*В першому стовпці знаки міняються через один,в другому міняються через два рази, в третьому через чотири, в четвертому через вісім і т.д.
Властивості матриці планування експерименту:
* Властивість симетричності – алгебраїчна сума элементів вектор-стовпця кожного фактора рівна нулю.

<center><math>\sum\limits_{j=1}^{n}{{{x}_{ij}}=0}</math></center>

* Властивість нормування – сума квадратів елементів кожного стовпця рівна кількості дослідів.

<center><math>\sum\limits_{j=1}^{n}{{{x}_{ij}}^{2}=n}</math></center>

* Властивість ортогональності – скалярний добуток всіх вектор-стовпців(сума почленних добутків елементів будь-яких вектор-стовпців) рівна нулю.

<center><math>\sum\limits_{j=1}^{n}{{{x}_{ij}}{{x}_{uj}}=0,i\ne u}</math></center>

=Список використаних джерел=
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. /Математичне планування експериментів в АПК: Навч. посібник.-К.Вища шк., 1993.-375 с.
#Ю.П.Адлер, Е.В.Маркова, Ю.В.Грановский /Планирование експеримента при поиске оптимальних условий:М.Наука, 1976.-280 с.
#Монтгоиери Д.К. /Планированиє експеримента и анализ данных: Пер. с англ.-Л:.Судостроение, 1980.-384 с.
#Е.Т. Володарский, Б.Н. Малиновский, Ю.М. Туз-К./Планирование и организация измерительного експреимента:Вища шк.Головное изд-во, 1987.-280 с.

{{Завдання:Виступ|Scoolf|9 березня 2010|Матриця планування експерименту}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Дрейф у плануванні експеременту

2012-03-20T08:04:40Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Олеся | Surname=Марценюк | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

Планування експерименту при наявності некерованих змінних

== ВСТУП ==

При утворенні математичних моделей з великим числом змінних треба провести значну кількість дослідів. Кожний окремий дослід проводиться протягом тривалого періоду. У той же час властивості багатьох об’єктів сільськогосподарського та харчового виробництва змінюються в часі. Наприклад, в біотехнології урожай маси змінюється в міру зміни властивостей посівної культури або живильного середовища. У харчових галузях при дослідженні інтенсивності роботи випарних апаратів з плином часу на теплообмінній поверхні відкладається накип , що неминуче веде до поступового зниження функції відклику, оскільки накип збільшує термічний опір теплопередачі. Подібні зміни при змінні якості сировини мають місце для функцій відклику також і в інших галузях. Такі об’єкти називаються '''''дрейфуючими'''''.

== Вплив дрейфу на експеримент ==

Вплив дрейфу на параметри математичного опису процесу можна усунути, застосовуючи спеціальні методи планування.
Звичайно припускають, що дрейф не взаємодії з факторами, варіюючи ми в процесі експерименту, тобто виконується умова адитивності дрейфу. Дослідження сільськогосподарських і технологічних процесів з дрейфом характеристик ускладнюється тим, що умова адитивності може бути прийнята далеко не завжди. Так, у розглянутому вище прикладі з накипом, його зростання може впливати не тільки на функцію відклику, а й на параметри, що відіграють роль незалежних змінних , наприклад, на коефіцієнт тепловіддачі при кипінні розчинів. ''Адитивний'' дрейф можна розглядати, як зміщення математичної моделі – поверхні відклику без деформації самої поверхні.
Для того, щоб виключити вплив дрейфу, треба досить чітко уявити собі його форму. Найчастіше не можна припускати лише той чи інший його характер і критерієм правильності буде лише величина похибки завбачення на основі утвореної моделі.
Розрізняють три форми дрейфу:
*1) ступінчаста,
*2) лінійна,
*3) експоненціальна.

== Ступінчастий дрейф==

'''Ступінчастим''' називається такий дрейф, при якому за час проведення деякої групи дослідів вихідна величина залишається незмінною, тобто виконується умова стаціонарності.

Для виключення ступінчастого дрейфу (іноді його називають також '''''блоковим''''' або '''''дискретним''''') звичайну матрицю ПФЕ розбивають на ортогональні блоки або групи дослідів, у межах яких величина дрейфу дорівнює нулю.

Розбивка на блоки проводиться з урахуванням вимог ортогональності вектор-стовпців матриці планування як між собою, так і до вектора дрейфу, у межах кожного блоку (рис.1).
<center>
[[Файл:rus1.GIF]]
</center>
<center>
Рисунок 1. Розбиття на блоки
</center>
Тут досліди кожного блоку (1-4, 5-8) розташовуються в площині, перпендикулярній (ортогональній) до осі часу, і, таким чином, дають результати, на яких не відбувається вплив дрейфу.

Розглянемо експеримент в умовах передбачуваного ступінчастого дрейфу з трьома незалежними змінними. Дрейф обумовлено неоднорідністю сировини, величина якої змінюється від партії до партії. Передбачається провести ПФЕ типу 23 з реалізацією перших чотирьох дослідів на одній партії, а решти чотирьох – на іншій. Розбиваємо матрицю планування на два блоки, порівнюючи потрійну взаємодію z1z2z3 новою незалежною змінною zд, що характеризує дрейф, тобто zд= z1z2z3. Для одного з блоків відберемо досліди, для яких zд=+1, і вони будуть проводитися на одній партії сировини, для іншого – досліди, для яких zд=-1 (інша партія сировини). Формально це планування, матрицю якого наведено в таблиці 1, можна розглянути як ДФЕ з генеруючим співвідношенням zд= z1z2z3.
<center>[[Файл:346.GIF]]

Таблиця 1. матриця планування при ступінчастому дрейфі
</center>
Реалізація матриці здійснюється за блоками. Планування в умовах ступінчастого дрейфу дає змогу проводити паралельні експерименти.
Ортогональність стовпців варіюючих факторів і дрейфу дає змогу дістати роздільні оцінки коефіціентів рівняння регресії.
<center>
[[Файл:formula1.PNG]]
</center>
== Лінійний дрейф ==

У виробничій практиці та лабораторних дослідженях часто має місце ситуація, коли під дією факторів, які не належать до керованих змінних, вихідна величина у змінює своє значення при переході від досліду до досліду. У випадку, коли відомо тільки те, що вихід падає або зростає і ніяких інших відомостей про характер дрейфу немає, часто нічого не лишається іншого, як вважати його лінійним.
Планування експерименту, ортогональне до лінійного дрейфу, проводиться за допомогою матриці планування ПФЕ типу N=22, що вважається можливим, коли при кожному наступному вимірюванні складова лінійного дрейфу змінюється на одну й ту ж величину . Виконання цієї умови не зустрічає особливих ускладнень і досягається експериментуванням через строго визначені, рівні проміжки часу. Тут лінійний дрейф можна подати у вигляді ступінчастої функції з N рівнями.
<center>
[[Файл:linijnuj drejf.GIF]]
</center>
<center>
Рисунок 2. Зображення результатів експерименту при впливі лінійного дрейфу
</center>
Для опису цієї функції треба [[Файл:formula3.PNG]] перших стовпців (не рухаючи нульового) матриці ПФЕ.
Залишені вільними [[Файл:formula4.PNG]] стовпців матриці планування використовуються для планування експерименту за змінними, що нас цікавлять.

==Експоненціальний дрейф==
Результати численних досліджень сільськогосподарських або технологічних процесів вкзують на те, що їхня інтенсивність часто змінюється у часі за експоненціальним законом.
в такому випадку, коли проміжки часу не є рівними а вихідний результат змінюється даний дрейф вважають '''''експоненціальним'''''. В такому випадку експоненціальний дрейф функції відклику доцільно зводити до лінійної залежності відповідним перетворенням змінної часу.
Задача зводиться до визначення інтервалів часу через які необхідно проводити дослідження.
Нехай відомо заздалегідь залежність функції від часу
[[Файл:formula5.PNG]] тоді щоб визначити інтервали часу через які потрібно робити дослідження необхідно скористатися наступною формулою:
<center>
[[Файл:formula6.PNG]]
</center>
Таким чином після кожного наступного експерименту потрібн орозраховувати час наступного експерименту, використовуючи попередній.
== Висновки ==
В планувані експерименту часто виникає проблема виявлення дрейфуючих факторів, тобто факторів, що можуть вплинути на експеримент в залежності від зовнішнього впливу:
*втома експериментатора
*освітлення приміщення
*зміна зовнішнього тиску, тощо.
=== Щоб запобігти дрейфу ===
Для запобігання дрейфу можна використати кілька параметрів:
* намагатися проводити експеримент в цілком ідентичних умовах
* включити вплив дрейфуючих факторів в математичну модель обєкта
* застосувати ранжування і таким чином виключити дрейф з результатів експерименту

=Список використаних джерел=
#1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).
#2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
#3. Конкретні методики викладання. Щетініна О.К., Карпенко О.Н., Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| планування експерименту при наявності некерованих змінних}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Дрейф у плануванні експеременту

2012-03-20T08:04:28Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Олеся | Surname=Марцинюк | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

Планування експерименту при наявності некерованих змінних

== ВСТУП ==

При утворенні математичних моделей з великим числом змінних треба провести значну кількість дослідів. Кожний окремий дослід проводиться протягом тривалого періоду. У той же час властивості багатьох об’єктів сільськогосподарського та харчового виробництва змінюються в часі. Наприклад, в біотехнології урожай маси змінюється в міру зміни властивостей посівної культури або живильного середовища. У харчових галузях при дослідженні інтенсивності роботи випарних апаратів з плином часу на теплообмінній поверхні відкладається накип , що неминуче веде до поступового зниження функції відклику, оскільки накип збільшує термічний опір теплопередачі. Подібні зміни при змінні якості сировини мають місце для функцій відклику також і в інших галузях. Такі об’єкти називаються '''''дрейфуючими'''''.

== Вплив дрейфу на експеримент ==

Вплив дрейфу на параметри математичного опису процесу можна усунути, застосовуючи спеціальні методи планування.
Звичайно припускають, що дрейф не взаємодії з факторами, варіюючи ми в процесі експерименту, тобто виконується умова адитивності дрейфу. Дослідження сільськогосподарських і технологічних процесів з дрейфом характеристик ускладнюється тим, що умова адитивності може бути прийнята далеко не завжди. Так, у розглянутому вище прикладі з накипом, його зростання може впливати не тільки на функцію відклику, а й на параметри, що відіграють роль незалежних змінних , наприклад, на коефіцієнт тепловіддачі при кипінні розчинів. ''Адитивний'' дрейф можна розглядати, як зміщення математичної моделі – поверхні відклику без деформації самої поверхні.
Для того, щоб виключити вплив дрейфу, треба досить чітко уявити собі його форму. Найчастіше не можна припускати лише той чи інший його характер і критерієм правильності буде лише величина похибки завбачення на основі утвореної моделі.
Розрізняють три форми дрейфу:
*1) ступінчаста,
*2) лінійна,
*3) експоненціальна.

== Ступінчастий дрейф==

'''Ступінчастим''' називається такий дрейф, при якому за час проведення деякої групи дослідів вихідна величина залишається незмінною, тобто виконується умова стаціонарності.

Для виключення ступінчастого дрейфу (іноді його називають також '''''блоковим''''' або '''''дискретним''''') звичайну матрицю ПФЕ розбивають на ортогональні блоки або групи дослідів, у межах яких величина дрейфу дорівнює нулю.

Розбивка на блоки проводиться з урахуванням вимог ортогональності вектор-стовпців матриці планування як між собою, так і до вектора дрейфу, у межах кожного блоку (рис.1).
<center>
[[Файл:rus1.GIF]]
</center>
<center>
Рисунок 1. Розбиття на блоки
</center>
Тут досліди кожного блоку (1-4, 5-8) розташовуються в площині, перпендикулярній (ортогональній) до осі часу, і, таким чином, дають результати, на яких не відбувається вплив дрейфу.

Розглянемо експеримент в умовах передбачуваного ступінчастого дрейфу з трьома незалежними змінними. Дрейф обумовлено неоднорідністю сировини, величина якої змінюється від партії до партії. Передбачається провести ПФЕ типу 23 з реалізацією перших чотирьох дослідів на одній партії, а решти чотирьох – на іншій. Розбиваємо матрицю планування на два блоки, порівнюючи потрійну взаємодію z1z2z3 новою незалежною змінною zд, що характеризує дрейф, тобто zд= z1z2z3. Для одного з блоків відберемо досліди, для яких zд=+1, і вони будуть проводитися на одній партії сировини, для іншого – досліди, для яких zд=-1 (інша партія сировини). Формально це планування, матрицю якого наведено в таблиці 1, можна розглянути як ДФЕ з генеруючим співвідношенням zд= z1z2z3.
<center>[[Файл:346.GIF]]

Таблиця 1. матриця планування при ступінчастому дрейфі
</center>
Реалізація матриці здійснюється за блоками. Планування в умовах ступінчастого дрейфу дає змогу проводити паралельні експерименти.
Ортогональність стовпців варіюючих факторів і дрейфу дає змогу дістати роздільні оцінки коефіціентів рівняння регресії.
<center>
[[Файл:formula1.PNG]]
</center>
== Лінійний дрейф ==

У виробничій практиці та лабораторних дослідженях часто має місце ситуація, коли під дією факторів, які не належать до керованих змінних, вихідна величина у змінює своє значення при переході від досліду до досліду. У випадку, коли відомо тільки те, що вихід падає або зростає і ніяких інших відомостей про характер дрейфу немає, часто нічого не лишається іншого, як вважати його лінійним.
Планування експерименту, ортогональне до лінійного дрейфу, проводиться за допомогою матриці планування ПФЕ типу N=22, що вважається можливим, коли при кожному наступному вимірюванні складова лінійного дрейфу змінюється на одну й ту ж величину . Виконання цієї умови не зустрічає особливих ускладнень і досягається експериментуванням через строго визначені, рівні проміжки часу. Тут лінійний дрейф можна подати у вигляді ступінчастої функції з N рівнями.
<center>
[[Файл:linijnuj drejf.GIF]]
</center>
<center>
Рисунок 2. Зображення результатів експерименту при впливі лінійного дрейфу
</center>
Для опису цієї функції треба [[Файл:formula3.PNG]] перших стовпців (не рухаючи нульового) матриці ПФЕ.
Залишені вільними [[Файл:formula4.PNG]] стовпців матриці планування використовуються для планування експерименту за змінними, що нас цікавлять.

==Експоненціальний дрейф==
Результати численних досліджень сільськогосподарських або технологічних процесів вкзують на те, що їхня інтенсивність часто змінюється у часі за експоненціальним законом.
в такому випадку, коли проміжки часу не є рівними а вихідний результат змінюється даний дрейф вважають '''''експоненціальним'''''. В такому випадку експоненціальний дрейф функції відклику доцільно зводити до лінійної залежності відповідним перетворенням змінної часу.
Задача зводиться до визначення інтервалів часу через які необхідно проводити дослідження.
Нехай відомо заздалегідь залежність функції від часу
[[Файл:formula5.PNG]] тоді щоб визначити інтервали часу через які потрібно робити дослідження необхідно скористатися наступною формулою:
<center>
[[Файл:formula6.PNG]]
</center>
Таким чином після кожного наступного експерименту потрібн орозраховувати час наступного експерименту, використовуючи попередній.
== Висновки ==
В планувані експерименту часто виникає проблема виявлення дрейфуючих факторів, тобто факторів, що можуть вплинути на експеримент в залежності від зовнішнього впливу:
*втома експериментатора
*освітлення приміщення
*зміна зовнішнього тиску, тощо.
=== Щоб запобігти дрейфу ===
Для запобігання дрейфу можна використати кілька параметрів:
* намагатися проводити експеримент в цілком ідентичних умовах
* включити вплив дрейфуючих факторів в математичну модель обєкта
* застосувати ранжування і таким чином виключити дрейф з результатів експерименту

=Список використаних джерел=
#1. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. - Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий (1973).
#2. Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
#3. Конкретні методики викладання. Щетініна О.К., Карпенко О.Н., Донецький національний університет економіки і торгівлі імені Михайла Туган-Барановського

{{Завдання:Виступ|POWER|4 березня 2010| планування експерименту при наявності некерованих змінних}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Дрейф неоднорідностей

2012-03-20T08:03:35Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= Ярослав| Surname=Слойка | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

Презентація доповіді (http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/403).

= Дрейф неоднорідностей =

Наведемо результати досліджень теплофізичних характеристик соко-стружкової суміші дифузійних апаратів цукрової промисловості. Відомо, що на коефіцієнт теплопровідності λ цукрових розчинів, в основному, впливають концентрація цукру і температура розчину. На ефективну теплопровідність соко-стружкової суміші впливають також численні фактори, які при проведенні експериментів спотворюватимуть вплив основних факторів. Серед них до часового дрейфу належить наявність на поверхні стружки адсорбованого повітря, кількість якого змінюватиметься в процесі контакту соку і стружки, а також зміна концентрації цукру в стружці в процесі дифузії. Проте серед факторів є один, який до часового дрейфу не належить. Це ступінь неоднорідності суміші або, як називають його виробничники, навантаження об’єму.

Навантаження об’єму – це концентрація стружки в соці, точніше маса стружки, що припадає на одиницю об’єму суміші. Навантаження об’єму дифузійного апарата, що складає в середньому 0,4-0,5 кг/дм3, може знижуватися до 0,2-0,3 кг/дм3, або зростати до 0,6-0,7 кг/дм3, причому його зміну не можна пов’язати з плином часу. Тому при проведенні дослідження вирішено вибрати дрейф неоднорідностей за рахунок змін навантаження об’єму, а впливу решти шумових факторів уникнути, проводячи вимірювання теплопровідності в стаціонарному режимі через однаковий проміжок часу з моменту змішування стружки і соку для всіх зразків.
Перший основний параметр x1 (середню температуру зразка в стаціонарному режимі) встановлювали регулюванням потужності електронагрівача приладу, другий x2 (концентрацію цукру в соці) обчислювали по вихідній концентрації розчину c %.
<center> '''
== Розв’язання ==
''' </center>
Оскільки метою дослідів було з’ясувати, чи є навантаження об’єму шумовим чи основним фактором, планування було проведене з розрахунку простого дрейфу – ступінчастого. Рівні та інтервали вимірювання основних факторів для ПФЕ 22 наведене в таблиці 1.
За правилами ортогональності розбиваємо матрицю планування на два блоки, які є напіврепліками 22-1. Порівнюємо парну взаємодію безрозмірних факторів z1 z2 з новою незалежною змінною, яка характеризує дрейф
<center> '''z1 z2 = zд''' </center>

Таблиця 1 Вхідні дані для ПФЕ в умовах ступінчастого дрейфу
<center>[[Файл:Tab1.JPG]]</center>

У першому блоці проводилися досліди при zд = -1, як нижній рівень навантаження об’єму обрали величину 0,3 кг/дм3 , у 2-му - zд = +1, навантаження об’єму було 0,6 кг/дм3. Матриця планування та результати вимірювання вихідної функції y, тобто коефіцієнти теплопровідності λ, Вт/(м*К), наведено в таб. 2

Таблиця 2 Матриця ПФЕ для умов ступінчастого дрейфу неоднорідності
<center>[[Файл:Tab2.JPG]]</center>

Для обробки використовувалися рівняння, наведені в п.6,2 [1]. У результаті утворено математичну модель поведінки теплопровідності соко-стружкової суміші в процесі екстракції для безрозмірних факторів
<center> y = 0.480 – 0.043* z1 + 0.026*z2 </center>

Перехід до вимірних параметрів проведено за допомогою звичайних способів

<center> λ = 0,770 – 0,006*t + 0.008*c </center>
Таким чином, утворено залежність для λ тільки від основних факторів, виключивши вплив навантаження об’єму. Зазначимо, що звільнившись від впливу дрейфу (часового або неоднорідностей) можна оцінити його і вирішити, чи немає потреби перевести який-небудь із шумових факторів в основні. Для цього треба розрахувати коефіцієнт при zд за формулою.

<center>[[Файл:formul1.JPG]]</center>

У нашому прикладі

<center>[[Файл:formul2.JPG]]</center>

Потім треба розрахувати y для обох блоків у центрі плану експерименту.
Різниця між значеннями y для обох блоків дає оцінку зміни функції відклику. Розрахунки для прикладу λ за 1-м блоком:

<center>y1 = 0,48 − 0,023 = 0,457 Вт/(м∙К)</center>

за 1-м блоком:

<center>y2 = 0,48 + 0,023 = 0,503 Вт/(м∙К)</center>

Загальний дрейф функції відклику в результаті збільшення навантаження об’єму з 0,3 до 0,6 кг/м3 такий:

<center>∆y = 0,503 – 0,457 = 0,046 Вт/(м∙К)</center>

Отже функція відклику змінилася на 10% при цілком реальній у виробничих умовах зміні навантаження об’єму.
Аналіз утворених результатів показав, що цей вплив зіставлюваний з впливом незалежних змінних t і c , тому в подальшому при дослідженнях треба перейти від двофакторних до трифакторних експериментів.

[[Категорія:Планування експерименту]]

Планування другого порядку

2012-03-20T08:03:09Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Ігор | Surname=Пельц | FatherNAme= |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/415 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Планування другого порядку =

Планування другого порядку застосовується для математичного опису об'єкта поблизу екстремальної точки статистичної характеристики або тоді, коли необхідний точніший опис в інших точках факторного простору. При цьому використовують поліном другого порядку:

<center>
<math>\operatorname{y}={{a}_{0}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{x}_{i}}+}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ij}}{{x}_{i}}{{x}_{j}}+}...+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i,i}}x_{i}^{2}}</math>
</center>

Задача, як і в ПФЕ, полягає у визначенні методом найменших квадратів за результатами спланованого експерименту коефіцієнтів цього рівня за умови, що виконуються передумови регресійного аналізу.
ПФЕ типу <math>2^n</math> дає змогу дістати роздільні оцінки як лінійних коефіцієнтів bi (після переходу до безрозмірних z), так і коефіцієнтів парних взаємодій bij. Точки ПФЕ лежать у вершині n-вимірного куба. Вектор-стовпці лінійних факторів матриці планування ортогональні між собою, тобто виконується умова

<center>
<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gj}}=0;i\ne j.}</math>
</center>

З теорії інтерполяції (апроксимації) відомо, що для розв'язання задачі знаходження роздільних оцінок параметрів апроксимуючого виразу число рівнів для кожної із змінних повинно бути на одиницю більше ступеня апроксимуючого полінома, тобто для полінома другого порядку число рівнів дорівнює трьом.
Однак, як показали дослідження, ПФЕ типу <math>3^n</math> (планування на трьох рівнях) не є раціональним через велике число дослідів.
Задача розв'язується іншим способом. До ПФЕ типу <math>2^n</math> додають центральну точку з координатами (0, 0, ..., 0) і зіркові точки з координатами (0, 0, ..., ±α), які лежать на сфері діаметра 2α (рис. 1). Зіркові точки будують на осях факторного простору. Вибір відстані від нульової точки до зіркової, яка визначається плечем α, залежить від критерію оптимальності плану.

<center>[[Файл:ОЦКП.jpg]]</center>
<center>Рисунок 1 - Ортогональне центральне композиційне планування</center>

Розглянемо планування, оптимальне з точки зору незалежності оцінок bi,i Його називають ''ортогональним центральним композиційним плануванням (ОЦКП)'', тобто планом, в якому критерієм оптимальності є ортогональність стовпців матриці планування.
Композиційним таке планування, як й інші форми планування другого порядку, називається тому, що новий план дістають шляхом компонування первинного двофакторного плану з деякою кількістю додаткових точок. Оскільки в числі цих додаткових точок обов'язково фігурує центральна, в якій всі змінні хi мають середній рівень, а zi=0, плани називають центральними.
Ортогональність матриці композиційного планування забезпечується виконанням рівностей

<center>

<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{g,o}^{2}z_{y,i}^{2}=0,\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}z_{gj}^{2}=0,i\ne j}.}</math>

</center>

де і-номер фактора; j-номер рядка; g-номер досліду. Для ортогоналізації першого з цих співвідношень застосовується перехід до нової змінної
<center>
<math>\overset{-}{z}\,_{i}^{2}=z_{i}^{2}-\frac{\sum{z_{gi}^{2}}}{N}=z_{i}^{2}-\overset{-}{z}\,_{i}^{2}</math>
</center>
де N-загальне число експериментів.
Величина zi залежить тільки від числа факторів n і числа дослідів N, яке звичайно вибирається так, що

<center>

<math>\operatorname{N}={{N}_{n}}+{{N}_{a}}+{{N}_{0}}={{2}^{n}}+2n+1,</math>

</center>

де Nn = <math>2^n</math>-кількість вершин гіперкуба при ПФЕ; Nα = 2n-число зіркових точок; N0= 1- число дослідів у центрі плану. Якщо N вибрати так, то zi визначають за формулою

<center>

<math>\operatorname{z}_{i}^{2}=\frac{{{2}^{n}}+2{{\alpha }^{2}}}{N}.</math>

</center>

Тому ортогоналізація другої з вищенаведених умов досягається вибором бажаного α.
Для зручності підготовки і планування величини α, N, Nn, Nα обчислені і табульовані залежно від числа факторів (табл. 1).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця1 - Підготовка ОЦКП другого порядку.
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>1 </td>
<td>4 </td>
<td>2 </td>
<td>9 </td>
<td>1,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>1 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>1,215 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>25 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>43 </td>
<td>1,596 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>1 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>77 </td>
<td>1,706 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>1 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>143 </td>
<td>1,909 </td>
</tr>
</table>

Сформуємо матриці ОЦКП для двох факторів. При n = 2 отримаємо α = 1,0 (див. табл. 1), для обчислення скористаємося наведеними формулами. Оскільки <math>z1^2=(4+2)/9=0,667</math>, то стовпець добувається відніманням одного і того ж числа 0,67 від числа стовпця <math>zi^2</math> того ж рядка (табл. 2).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця2 - Матриця ОЦКП другого порядку для двофакторного експерименту
</caption>
<tr>
<th scope="col">Дослід </th>
<th scope="col">j </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{1c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{2c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Вершини квадрата </th>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Зіркові точки </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Центр </th>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
</table>

Реалізація експериментів за ОЦКП здійснюється за тією ж методикою, що і ПФЕ. Таким чином, через випадковий характер зміни вихідної величини у у кожній точці хg проводиться m паралельних дослідів і обчислюється середнє значення функції відклику

<center><math>{{\overset{-}{y}}_{g}}=\frac{\sum\limits_{d=1}^{m}{{{y}_{g}}d}}{m}</math></center>

Перед реалізацією проводиться рандомізація рядків матриці планування.
Перевірка відтворюваності, як і в ПФЕ, виконується за критерієм Кохрена, після чого обчислюється оцінка дисперсії відтворюваності

<center>

<math>S_{y}^{2}=S_{vidtv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{S_{g}^{2}}}{N}.</math>

</center>

Методика утворення математичної моделі незначно відрізняється від методики опису результатів ПФЕ.
Коефіцієнти регресії при ОЦКП обчислюються за формулою

<center><math>{{b}_{i}}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{y}_{g}}}}{\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

У цьому плануванні оцінки дисперсій коефіцієнтів bi (точність їхнього обчислення) не однакові, оскільки не однаковий знаменник у формулі дисперсії

<center><math>S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{m\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

В ПФЕ знаменник однаковий і дорівнює mN. Це істотний недолік ОЦКП, і ''тому часто надають перевагу складнішому за обчислювальними процедурами рототабельному плануванню''.

= Рототабельне планування =

У зв'язку з тим, що дисперсії коефіцієнтів рівняння регресії при ОЦКП нерівномірні, ортогональність матриці часто не є досить сильним критерієм оптимальності планування другого порядку. Його заміняють критерієм ротоптабельності, тобто однаковості дисперсій коефіцієнтів при повороті координатних осей на будь-який кут. Зазначимо, що при плануванні першого порядку ортогональність матриці просто збігається з її рототабельністю, тому ПФЕ доцільно називати рототабельним.
Щоб зробити план другого порядку рототабельним, вибирають для сфери, на якій розташовуються зіркові точки, радіус (зіркове плече) за формулою

<center><math>\alpha ={{2}^{n/2}}.</math></center>

Інша умова рототабельності — збільшення числа дослідів на поверхні нульової сфери, тобто в центрі плану. У зв'язку з цим виникає повна назва методу: ''центральне композиційне рототабельне планування'' (ЦКРП).
Таким чином ЦКРП багато в чому нагадує ортогональне планування, проте метод рототабельного планування експерименту дає змогу дістати точніший математичний опис поверхні відклику порівняно з ОЦКП, завдяки збільшенню числа дослідів у центрі плану і спеціальному вибору величини зіркового плеча α.
Як і для ОЦКП, основні характеристики матриць рототабельного планування табульовані (табл. 3). Позначення тут ті самі, що і для ОЦКП (див. табл. 2). При ЦКРП, починаючи з n = 5, можна застосувати ДФЕ(дробовий факторний експеримент).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 3 – Підготовка ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>5 </td>
<td>4 </td>
<td>4 </td>
<td>13 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>6 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>20 </td>
<td>1,680 </td>
</tr>
<tr>
<td>4 </td>
<td>7 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>31 </td>
<td>2,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>10 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>52 </td>
<td>2,378 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>91 </td>
<td>1,828 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>21 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>163 </td>
<td>1,333 </td>
</tr>
</table>

При рототабельному плануванні для обчислення коефіцієнтів моделі і відповідних оцінок дисперсій знаходять спеціальні комплекси:

<center><math>\begin{align}
& B=\frac{nN}{(n+2)(N-{{N}_{0}})}; \\
& A=\frac{1}{2B[(n+2)B-n]}; \\
& C=\frac{N}{N-{{N}_{0}}}, \\
\end{align}</math></center>

де n-число факторів; N-загальне число дослідів у плануванні; N0-число дослідів у центрі плану.
За результатами експериментів обчислюють такі суми:

<center><math>\begin{align}
& {{S}_{0}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}; \\
& {{S}_{i}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}{{z}_{gi}};i=1,2,...,n; \\
& {{S}_{ik}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gk}}{{y}_{g}}};i\ne k; \\
& {{S}_{ii}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}{{y}_{g}}};i=1,2,...,n. \\
\end{align}</math></center>

Коефіцієнти моделі тут розраховують за формулами

<center><math>\begin{align}
& {{b}_{0}}=\frac{2AB}{N}[{{S}_{0}}B(n+2)-C\sum{{{S}_{ii}}}]; \\
& {{b}_{i}}=\frac{C{{S}_{i}}}{N}; \\
& {{b}_{ik}}=\frac{{{C}^{2}}{{S}_{ik}}}{BN},i\ne k; \\
& {{b}_{ii}}=\frac{AC}{N}\{{{S}_{ii}}[B(n+2)-n]+C(1-B)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{S}_{ii}}-2B{{S}_{0}}}\}. \\
& \\
\end{align}</math></center>

Оцінки дисперсій для обчислених коефіцієнтів знаходять за такими формулами:

<center><math>\begin{align}
& S_{b0}^{2}=\frac{2AB(n+2)}{N}S_{y}^{2}; \\
& S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{N-{{N}_{0}}};i=1,2,...,n; \\
& S_{bik}^{2}=\frac{{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N},i\ne k; \\
& {{S}_{bii}}=\frac{A{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N}[B(n+1)-(n-1)]. \\
\end{align}</math></center>

У цих формулах дисперсія відтворюваності <math>S_{y}^{2}</math> визначається за результатами дослідів у нульовій точці

<center><math>\begin{align}
& S_{y}^{2}=\frac{1}{{{N}_{0}}-1}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{({{y}_{ge}}-\overset{-}{y}\,)}^{2}}}; \\
& \overset{-}{y}\,=\frac{1}{{{N}_{0}}}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{y}_{ge.}}} \\
\end{align}</math></center>

Дисперсія адекватності оцінюється за формулою

<center><math>S_{adekv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{({{y}_{ge}}-{{y}_{grozr}})}^{2}}-S_{y}^{2}({{N}_{0}}-1)}}{N-\frac{(n+2)(n+1)}{2}(N-1)},</math></center>

якшо число ступенів вільності

<center><math>{{f}_{adekv}}={{N}_{0}}-\frac{(n+2)(n+1)}{2}-({{N}_{0}}-1).</math></center>
==Приклад==

Скласти матрицю ЦКРП на прикладі побудови математичної моделі технологічного процесу крупоутворення (див.: Пищевая технология.— 1976.— № 4.— С. 121—124).

'''Розв'язання'''. Як функції відклику прийнято <math>y_1</math>, % — середня зольність крупи пшениці після перших трьох систем для дертя (швидкість обертання рифлених вальців усіх систем 6 м/с); <math>y_2</math>, % — сумарний вихід всіх крупок, які добуваються в процесі крупоутворення; <math>y_3</math>, кДж/(кг • %) — витрата енергії на одержання 1 % продукту з 1 кг зерна.
Незалежними змінними є, %: <math>x_1</math> — вихід крупи на першій системі для дертя; <math>x_2</math> — те ж на другій системі; <math>x_3</math> — те ж, для трьох систем для дертя. Інтервал варіювання для всіх <math>x_i</math>, вибрано з умови охоплення області їхньої реальної зміни. Рівні змінних становили, %:

<table width="90%" border="1">
<tr>
<th scope="col">Незалежні змінні </th>
<th scope="col">Нижній </th>
<th scope="col">Основний </th>
<th scope="col">Верхній </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_1</math> </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>15</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_2</math> </th>
<td><center>30</center> </td>
<td><center>40</center> </td>
<td><center>50</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_3</math> </th>
<td><center>65</center> </td>
<td><center>70</center> </td>
<td><center>75</center> </td>
</tr>
</table>

У зв'язку з тим, що режими крупоутворення вивчалися досить детально, стало можливим ставити експерименти в області факторного простору, для якої значення всіх у близькі до оптимальних, а для опису цієї області застосувати відразу планування другого порядку. Було реалізовано центральний композиційний рототабельний план, який включає ПФЕ <math>2^3</math>, шість зіркових та шість центральних точок. Послідовність проведення дослідів була рандомізована, кожен дослід проводився тричі. У табл. 4 наведено матрицю планування та середні значення функцій відклику для кожного її рядка.
За вищенаведеними формулами розраховані такі коефіцієнти в рівняннях регресії для всіх функцій відклику:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{1}}=0,65+0,0084{{z}_{1}}+0,0048{{z}_{2}}+0,0630{{z}_{3}}+0,0150{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,0050{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,0400{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,0038z_{1}^{2}+0,0076z_{2}^{2}+0,0314z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{2}}=43,5+1,37{{z}_{1}}+0,34{{z}_{2}}+0,89{{z}_{3}}-1,41{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,61{{z}_{1}}{{z}_{3}}+ \\
& +0,74{{z}_{2}}{{z}_{3}}-0,83z_{1}^{2}-1,71z_{2}^{2}-1,52z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{3}}=6,4-0,28{{z}_{1}}-0,11{{z}_{2}}+0,61{{z}_{3}}+0,03{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,03{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,05{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,33z_{1}^{2}+0,68z_{2}^{2}+0,69z_{3}^{2}. \\
\end{align}</math>
</center>

Оцінки дисперсій для коефіцієнтів у цих рівняннях наведено в табл. 5.
Коефіцієнти при <math>z^2</math> на порядок перевищують помилку в їхньому визначенні для всіх функцій відклику, отже, лінійними рівняннями описати їх не можна. Адекватність утворених нелінійних рівнянь було перевірено за F-критерієм.

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 4 – Реалізація матриці ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col"> </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>y_1c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_2c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_3c</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,75</center> </td>
<td><center>40,5</center> </td>
<td><center>8,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,68</center> </td>
<td><center>36,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>41,3</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,72</center> </td>
<td><center>41,0</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>37,0</center> </td>
<td><center>7,9</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>38,2</center> </td>
<td><center>9,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,62</center> </td>
<td><center>34,9</center> </td>
<td><center>8,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,67</center> </td>
<td><center>44,7</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>39,4</center> </td>
<td><center>7,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>11</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>

<tr>
<td><center>12</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>37,8</center> </td>
<td><center>8,5</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>13</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>14</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>39,3</center> </td>
<td><center>7,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>15</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>41,6</center> </td>
<td><center>6,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>16</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>6,6</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>17</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>18</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>42,9</center> </td>
<td><center>6,1</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>19</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>20</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,0</center> </td>
<td><center>6,5</center> </td>
</tr>
</table>

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 5 – Оцінка дисперсій коефіцієнтів рівняння регресії за ЦКРП
</caption>
<tr>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{y}}_{i}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b1}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b2}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b3}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><math>y_1</math> </td>
<td>0,0053 </td>
<td>0,0035 </td>
<td>0,0034 </td>
<td>0,0046 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_2</math> </td>
<td>0,48 </td>
<td>0,31 </td>
<td>0,30 </td>
<td>0,41 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_3</math> </td>
<td>0,13 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,11 </td>
</tr>

</table>

= Перелік використаних джерел =

#http://tstu.edu.ua/(березень2010)
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експериментів в АПК http://tstu.edu.ua/(березень2010)

Планування другого порядку

2012-03-20T08:02:53Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=І | Surname=Пельц | FatherNAme=В |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/415 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Планування другого порядку =

Планування другого порядку застосовується для математичного опису об'єкта поблизу екстремальної точки статистичної характеристики або тоді, коли необхідний точніший опис в інших точках факторного простору. При цьому використовують поліном другого порядку:

<center>
<math>\operatorname{y}={{a}_{0}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}{{x}_{i}}+}\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{ij}}{{x}_{i}}{{x}_{j}}+}...+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i,i}}x_{i}^{2}}</math>
</center>

Задача, як і в ПФЕ, полягає у визначенні методом найменших квадратів за результатами спланованого експерименту коефіцієнтів цього рівня за умови, що виконуються передумови регресійного аналізу.
ПФЕ типу <math>2^n</math> дає змогу дістати роздільні оцінки як лінійних коефіцієнтів bi (після переходу до безрозмірних z), так і коефіцієнтів парних взаємодій bij. Точки ПФЕ лежать у вершині n-вимірного куба. Вектор-стовпці лінійних факторів матриці планування ортогональні між собою, тобто виконується умова

<center>
<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gj}}=0;i\ne j.}</math>
</center>

З теорії інтерполяції (апроксимації) відомо, що для розв'язання задачі знаходження роздільних оцінок параметрів апроксимуючого виразу число рівнів для кожної із змінних повинно бути на одиницю більше ступеня апроксимуючого полінома, тобто для полінома другого порядку число рівнів дорівнює трьом.
Однак, як показали дослідження, ПФЕ типу <math>3^n</math> (планування на трьох рівнях) не є раціональним через велике число дослідів.
Задача розв'язується іншим способом. До ПФЕ типу <math>2^n</math> додають центральну точку з координатами (0, 0, ..., 0) і зіркові точки з координатами (0, 0, ..., ±α), які лежать на сфері діаметра 2α (рис. 1). Зіркові точки будують на осях факторного простору. Вибір відстані від нульової точки до зіркової, яка визначається плечем α, залежить від критерію оптимальності плану.

<center>[[Файл:ОЦКП.jpg]]</center>
<center>Рисунок 1 - Ортогональне центральне композиційне планування</center>

Розглянемо планування, оптимальне з точки зору незалежності оцінок bi,i Його називають ''ортогональним центральним композиційним плануванням (ОЦКП)'', тобто планом, в якому критерієм оптимальності є ортогональність стовпців матриці планування.
Композиційним таке планування, як й інші форми планування другого порядку, називається тому, що новий план дістають шляхом компонування первинного двофакторного плану з деякою кількістю додаткових точок. Оскільки в числі цих додаткових точок обов'язково фігурує центральна, в якій всі змінні хi мають середній рівень, а zi=0, плани називають центральними.
Ортогональність матриці композиційного планування забезпечується виконанням рівностей

<center>

<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{g,o}^{2}z_{y,i}^{2}=0,\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}z_{gj}^{2}=0,i\ne j}.}</math>

</center>

де і-номер фактора; j-номер рядка; g-номер досліду. Для ортогоналізації першого з цих співвідношень застосовується перехід до нової змінної
<center>
<math>\overset{-}{z}\,_{i}^{2}=z_{i}^{2}-\frac{\sum{z_{gi}^{2}}}{N}=z_{i}^{2}-\overset{-}{z}\,_{i}^{2}</math>
</center>
де N-загальне число експериментів.
Величина zi залежить тільки від числа факторів n і числа дослідів N, яке звичайно вибирається так, що

<center>

<math>\operatorname{N}={{N}_{n}}+{{N}_{a}}+{{N}_{0}}={{2}^{n}}+2n+1,</math>

</center>

де Nn = <math>2^n</math>-кількість вершин гіперкуба при ПФЕ; Nα = 2n-число зіркових точок; N0= 1- число дослідів у центрі плану. Якщо N вибрати так, то zi визначають за формулою

<center>

<math>\operatorname{z}_{i}^{2}=\frac{{{2}^{n}}+2{{\alpha }^{2}}}{N}.</math>

</center>

Тому ортогоналізація другої з вищенаведених умов досягається вибором бажаного α.
Для зручності підготовки і планування величини α, N, Nn, Nα обчислені і табульовані залежно від числа факторів (табл. 1).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця1 - Підготовка ОЦКП другого порядку.
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>1 </td>
<td>4 </td>
<td>2 </td>
<td>9 </td>
<td>1,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>1 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>1,215 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>25 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>1 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>43 </td>
<td>1,596 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>1 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>77 </td>
<td>1,706 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>1 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>143 </td>
<td>1,909 </td>
</tr>
</table>

Сформуємо матриці ОЦКП для двох факторів. При n = 2 отримаємо α = 1,0 (див. табл. 1), для обчислення скористаємося наведеними формулами. Оскільки <math>z1^2=(4+2)/9=0,667</math>, то стовпець добувається відніманням одного і того ж числа 0,67 від числа стовпця <math>zi^2</math> того ж рядка (табл. 2).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця2 - Матриця ОЦКП другого порядку для двофакторного експерименту
</caption>
<tr>
<th scope="col">Дослід </th>
<th scope="col">j </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{1c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_{2c}^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Вершини квадрата </th>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Зіркові точки </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"> </th>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0,33</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row">Центр </th>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>-0,67</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
</tr>
</table>

Реалізація експериментів за ОЦКП здійснюється за тією ж методикою, що і ПФЕ. Таким чином, через випадковий характер зміни вихідної величини у у кожній точці хg проводиться m паралельних дослідів і обчислюється середнє значення функції відклику

<center><math>{{\overset{-}{y}}_{g}}=\frac{\sum\limits_{d=1}^{m}{{{y}_{g}}d}}{m}</math></center>

Перед реалізацією проводиться рандомізація рядків матриці планування.
Перевірка відтворюваності, як і в ПФЕ, виконується за критерієм Кохрена, після чого обчислюється оцінка дисперсії відтворюваності

<center>

<math>S_{y}^{2}=S_{vidtv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{S_{g}^{2}}}{N}.</math>

</center>

Методика утворення математичної моделі незначно відрізняється від методики опису результатів ПФЕ.
Коефіцієнти регресії при ОЦКП обчислюються за формулою

<center><math>{{b}_{i}}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{y}_{g}}}}{\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

У цьому плануванні оцінки дисперсій коефіцієнтів bi (точність їхнього обчислення) не однакові, оскільки не однаковий знаменник у формулі дисперсії

<center><math>S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{m\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}}}.</math></center>

В ПФЕ знаменник однаковий і дорівнює mN. Це істотний недолік ОЦКП, і ''тому часто надають перевагу складнішому за обчислювальними процедурами рототабельному плануванню''.

= Рототабельне планування =

У зв'язку з тим, що дисперсії коефіцієнтів рівняння регресії при ОЦКП нерівномірні, ортогональність матриці часто не є досить сильним критерієм оптимальності планування другого порядку. Його заміняють критерієм ротоптабельності, тобто однаковості дисперсій коефіцієнтів при повороті координатних осей на будь-який кут. Зазначимо, що при плануванні першого порядку ортогональність матриці просто збігається з її рототабельністю, тому ПФЕ доцільно називати рототабельним.
Щоб зробити план другого порядку рототабельним, вибирають для сфери, на якій розташовуються зіркові точки, радіус (зіркове плече) за формулою

<center><math>\alpha ={{2}^{n/2}}.</math></center>

Інша умова рототабельності — збільшення числа дослідів на поверхні нульової сфери, тобто в центрі плану. У зв'язку з цим виникає повна назва методу: ''центральне композиційне рототабельне планування'' (ЦКРП).
Таким чином ЦКРП багато в чому нагадує ортогональне планування, проте метод рототабельного планування експерименту дає змогу дістати точніший математичний опис поверхні відклику порівняно з ОЦКП, завдяки збільшенню числа дослідів у центрі плану і спеціальному вибору величини зіркового плеча α.
Як і для ОЦКП, основні характеристики матриць рототабельного планування табульовані (табл. 3). Позначення тут ті самі, що і для ОЦКП (див. табл. 2). При ЦКРП, починаючи з n = 5, можна застосувати ДФЕ(дробовий факторний експеримент).

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 3 – Підготовка ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col">n </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{n}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{\alpha }}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{N}}_{0}}</math> </th>
<th scope="col">N </th>
<th scope="col"><math>\alpha </math> </th>
</tr>
<tr>
<td>2 </td>
<td>5 </td>
<td>4 </td>
<td>4 </td>
<td>13 </td>
<td>1,414 </td>
</tr>
<tr>
<td>3 </td>
<td>6 </td>
<td>8 </td>
<td>6 </td>
<td>20 </td>
<td>1,680 </td>
</tr>
<tr>
<td>4 </td>
<td>7 </td>
<td>16 </td>
<td>8 </td>
<td>31 </td>
<td>2,000 </td>
</tr>
<tr>
<td>5 </td>
<td>10 </td>
<td>32 </td>
<td>10 </td>
<td>52 </td>
<td>2,378 </td>
</tr>
<tr>
<td>6 </td>
<td>15 </td>
<td>64 </td>
<td>12 </td>
<td>91 </td>
<td>1,828 </td>
</tr>
<tr>
<td>7 </td>
<td>21 </td>
<td>128 </td>
<td>14 </td>
<td>163 </td>
<td>1,333 </td>
</tr>
</table>

При рототабельному плануванні для обчислення коефіцієнтів моделі і відповідних оцінок дисперсій знаходять спеціальні комплекси:

<center><math>\begin{align}
& B=\frac{nN}{(n+2)(N-{{N}_{0}})}; \\
& A=\frac{1}{2B[(n+2)B-n]}; \\
& C=\frac{N}{N-{{N}_{0}}}, \\
\end{align}</math></center>

де n-число факторів; N-загальне число дослідів у плануванні; N0-число дослідів у центрі плану.
За результатами експериментів обчислюють такі суми:

<center><math>\begin{align}
& {{S}_{0}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}; \\
& {{S}_{i}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{y}_{g}}}{{z}_{gi}};i=1,2,...,n; \\
& {{S}_{ik}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{{{z}_{gi}}{{z}_{gk}}{{y}_{g}}};i\ne k; \\
& {{S}_{ii}}=\sum\limits_{g=1}^{N}{z_{gi}^{2}{{y}_{g}}};i=1,2,...,n. \\
\end{align}</math></center>

Коефіцієнти моделі тут розраховують за формулами

<center><math>\begin{align}
& {{b}_{0}}=\frac{2AB}{N}[{{S}_{0}}B(n+2)-C\sum{{{S}_{ii}}}]; \\
& {{b}_{i}}=\frac{C{{S}_{i}}}{N}; \\
& {{b}_{ik}}=\frac{{{C}^{2}}{{S}_{ik}}}{BN},i\ne k; \\
& {{b}_{ii}}=\frac{AC}{N}\{{{S}_{ii}}[B(n+2)-n]+C(1-B)\sum\limits_{i=1}^{n}{{{S}_{ii}}-2B{{S}_{0}}}\}. \\
& \\
\end{align}</math></center>

Оцінки дисперсій для обчислених коефіцієнтів знаходять за такими формулами:

<center><math>\begin{align}
& S_{b0}^{2}=\frac{2AB(n+2)}{N}S_{y}^{2}; \\
& S_{bi}^{2}=\frac{S_{y}^{2}}{N-{{N}_{0}}};i=1,2,...,n; \\
& S_{bik}^{2}=\frac{{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N},i\ne k; \\
& {{S}_{bii}}=\frac{A{{C}^{2}}S_{y}^{2}}{N}[B(n+1)-(n-1)]. \\
\end{align}</math></center>

У цих формулах дисперсія відтворюваності <math>S_{y}^{2}</math> визначається за результатами дослідів у нульовій точці

<center><math>\begin{align}
& S_{y}^{2}=\frac{1}{{{N}_{0}}-1}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{({{y}_{ge}}-\overset{-}{y}\,)}^{2}}}; \\
& \overset{-}{y}\,=\frac{1}{{{N}_{0}}}\sum\limits_{g=1}^{{{N}_{0}}}{{{y}_{ge.}}} \\
\end{align}</math></center>

Дисперсія адекватності оцінюється за формулою

<center><math>S_{adekv}^{2}=\frac{\sum\limits_{g=1}^{N}{{{({{y}_{ge}}-{{y}_{grozr}})}^{2}}-S_{y}^{2}({{N}_{0}}-1)}}{N-\frac{(n+2)(n+1)}{2}(N-1)},</math></center>

якшо число ступенів вільності

<center><math>{{f}_{adekv}}={{N}_{0}}-\frac{(n+2)(n+1)}{2}-({{N}_{0}}-1).</math></center>
==Приклад==

Скласти матрицю ЦКРП на прикладі побудови математичної моделі технологічного процесу крупоутворення (див.: Пищевая технология.— 1976.— № 4.— С. 121—124).

'''Розв'язання'''. Як функції відклику прийнято <math>y_1</math>, % — середня зольність крупи пшениці після перших трьох систем для дертя (швидкість обертання рифлених вальців усіх систем 6 м/с); <math>y_2</math>, % — сумарний вихід всіх крупок, які добуваються в процесі крупоутворення; <math>y_3</math>, кДж/(кг • %) — витрата енергії на одержання 1 % продукту з 1 кг зерна.
Незалежними змінними є, %: <math>x_1</math> — вихід крупи на першій системі для дертя; <math>x_2</math> — те ж на другій системі; <math>x_3</math> — те ж, для трьох систем для дертя. Інтервал варіювання для всіх <math>x_i</math>, вибрано з умови охоплення області їхньої реальної зміни. Рівні змінних становили, %:

<table width="90%" border="1">
<tr>
<th scope="col">Незалежні змінні </th>
<th scope="col">Нижній </th>
<th scope="col">Основний </th>
<th scope="col">Верхній </th>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_1</math> </th>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>15</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_2</math> </th>
<td><center>30</center> </td>
<td><center>40</center> </td>
<td><center>50</center> </td>
</tr>
<tr>
<th scope="row"><math>X_3</math> </th>
<td><center>65</center> </td>
<td><center>70</center> </td>
<td><center>75</center> </td>
</tr>
</table>

У зв'язку з тим, що режими крупоутворення вивчалися досить детально, стало можливим ставити експерименти в області факторного простору, для якої значення всіх у близькі до оптимальних, а для опису цієї області застосувати відразу планування другого порядку. Було реалізовано центральний композиційний рототабельний план, який включає ПФЕ <math>2^3</math>, шість зіркових та шість центральних точок. Послідовність проведення дослідів була рандомізована, кожен дослід проводився тричі. У табл. 4 наведено матрицю планування та середні значення функцій відклику для кожного її рядка.
За вищенаведеними формулами розраховані такі коефіцієнти в рівняннях регресії для всіх функцій відклику:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{1}}=0,65+0,0084{{z}_{1}}+0,0048{{z}_{2}}+0,0630{{z}_{3}}+0,0150{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,0050{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,0400{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,0038z_{1}^{2}+0,0076z_{2}^{2}+0,0314z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{2}}=43,5+1,37{{z}_{1}}+0,34{{z}_{2}}+0,89{{z}_{3}}-1,41{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,61{{z}_{1}}{{z}_{3}}+ \\
& +0,74{{z}_{2}}{{z}_{3}}-0,83z_{1}^{2}-1,71z_{2}^{2}-1,52z_{3}^{2}; \\
& {{y}_{3}}=6,4-0,28{{z}_{1}}-0,11{{z}_{2}}+0,61{{z}_{3}}+0,03{{z}_{1}}{{z}_{2}}-0,03{{z}_{1}}{{z}_{3}}- \\
& -0,05{{z}_{2}}{{z}_{3}}+0,33z_{1}^{2}+0,68z_{2}^{2}+0,69z_{3}^{2}. \\
\end{align}</math>
</center>

Оцінки дисперсій для коефіцієнтів у цих рівняннях наведено в табл. 5.
Коефіцієнти при <math>z^2</math> на порядок перевищують помилку в їхньому визначенні для всіх функцій відклику, отже, лінійними рівняннями описати їх не можна. Адекватність утворених нелінійних рівнянь було перевірено за F-критерієм.

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 4 – Реалізація матриці ЦКРП другого порядку
</caption>
<tr>
<th scope="col"> </th>
<th scope="col"><math>z_0</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_3^2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_2</math> </th>
<th scope="col"><math>z_1*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>z_2*z_3</math> </th>
<th scope="col"><math>y_1c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_2c</math> </th>
<th scope="col"><math>y_3c</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><center>1</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,75</center> </td>
<td><center>40,5</center> </td>
<td><center>8,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>2</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,68</center> </td>
<td><center>36,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>3</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>41,3</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>4</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>7,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>5</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,72</center> </td>
<td><center>41,0</center> </td>
<td><center>8,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>6</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,61</center> </td>
<td><center>37,0</center> </td>
<td><center>7,9</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>7</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>0,78</center> </td>
<td><center>38,2</center> </td>
<td><center>9,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>8</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>-</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0,62</center> </td>
<td><center>34,9</center> </td>
<td><center>8,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>9</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,67</center> </td>
<td><center>44,7</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>10</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>39,4</center> </td>
<td><center>7,7</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>11</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>

<tr>
<td><center>12</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>37,8</center> </td>
<td><center>8,5</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>13</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,86</center> </td>
<td><center>40,7</center> </td>
<td><center>9,3</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>14</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>-1,68</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>+2,83</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>39,3</center> </td>
<td><center>7,0</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>15</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>41,6</center> </td>
<td><center>6,4</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>16</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,63</center> </td>
<td><center>42,7</center> </td>
<td><center>6,6</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>17</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,2</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>18</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,66</center> </td>
<td><center>42,9</center> </td>
<td><center>6,1</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>19</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,5</center> </td>
<td><center>6,8</center> </td>
</tr>
<tr>
<td><center>20</center> </td>
<td><center>+</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0</center> </td>
<td><center>0,65</center> </td>
<td><center>44,0</center> </td>
<td><center>6,5</center> </td>
</tr>
</table>

<table width="90%" border="1">
<caption>
Таблиця 5 – Оцінка дисперсій коефіцієнтів рівняння регресії за ЦКРП
</caption>
<tr>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{y}}_{i}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b0}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b1}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b2}}</math> </th>
<th scope="col"><math>{{\operatorname{S}}_{b3}}</math> </th>
</tr>
<tr>
<td><math>y_1</math> </td>
<td>0,0053 </td>
<td>0,0035 </td>
<td>0,0034 </td>
<td>0,0046 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_2</math> </td>
<td>0,48 </td>
<td>0,31 </td>
<td>0,30 </td>
<td>0,41 </td>
</tr>
<tr>
<td><math>y_3</math> </td>
<td>0,13 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,8 </td>
<td>0,11 </td>
</tr>

</table>

= Перелік використаних джерел =

#http://tstu.edu.ua/(березень2010)
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експериментів в АПК http://tstu.edu.ua/(березень2010)

Прогнозування за допомогою нейронних мереж

2012-03-20T08:01:19Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Юля | Surname=Чорнописька | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/401] Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Означення нейронної мережі =

'''Штучні нейронні мережі (ШНМ)''' – математичні моделі, а також їх програмні або апаратні реалізації, побудовані за принципом організації й функціонування біологічних нейронних мереж – мереж нервових кліток живого організму. Це поняття виникло при вивченні процесів, що протікають у мозку, і при спробі змоделювати ці процеси. Першою такою спробою були нейронні мережі Маккалока й Піттса. Згодом, після розробки алгоритмів навчання, одержувані моделі стали використовувати в практичних цілях: у завданнях прогнозування, для розпізнавання образів, у завданнях керування й ін.

ШНМ являють собою систему з'єднаних і взаємодіючих між собою простих процесорів (штучних нейронів). Такі процесори звичайно досить прості, особливо в порівнянні із процесорами, використовуваними в персональних комп'ютерах. Кожний процесор подібної мережі має справу тільки із сигналами, які він періодично одержує, і сигналами, які він періодично посилає іншим процесорам. Проте, з'єднавши їх в досить велику мережу з керованою взаємодією, такі локально прості процесори разом здатні виконувати досить складні завдання.
З погляду машинного навчання, нейронна мережа являє собою окремий випадок методів розпізнавання образів, методів кластеризації й т.п. З математичної точки зору, навчання нейронних мереж – це багатопараметричне завдання нелінійної оптимізації. З погляду кібернетики, нейронна мережа використовується в завданнях адаптивного керування і як алгоритми для робототехніки. З погляду розвитку обчислювальної техніки й програмування, нейронна мережа – спосіб розв'язку проблеми ефективного паралелізму. А з погляду штучного інтелекту, ИНС є основним напрямком у структурному підході по вивченню можливості побудови (моделювання) природнього інтелекту за допомогою комп'ютерних алгоритмів.

Нейронні мережі не програмуються у звичному змісті цього слова, вони навчаються. Можливість навчання – одне з головних переваг нейронних мереж перед традиційними алгоритмами. Технічно навчання полягає в знаходженні коефіцієнтів зв'язків між нейронами. У процесі навчання нейронна мережа здатна виявляти складні залежності між вхідними даними й вихідними, а також виконувати узагальнення. Це значить, що, у випадку успішного навчання, мережа зможе повернути вірний результат на підставі даних, які були відсутні в навчальній вибірці, а також неповних і/або «зашумлених», частково перекручених даних.

== Біологічний нейрон ==

Нейрон (нервова клітка) складається з тіла клітини –соми (soma, cell body), і двох типів зовнішніх деревоподібних відгалужень: аксона (axon) і дендритів (dendrites). Тіло клітини вміщує ядро (nucleus), що містить інформацію про властивості нейрона, і плазму, яка продукує необхідні для нейрона матеріали. Нейрон отримує сигнали (імпульси) від інших нейронів через дендрити (приймачі) і передає сигнали, згенеровані тілом клітки, вздовж аксона (передавач), що наприкінці розгалужується на волокна (strands). На закінченнях волокон знаходяться синапси (synapses).
<center>
[[Файл:1.png‎]]

Рисунок 1. – Схема біологічного нейрона
</center>
Синапс є функціональним вузлом між двома нейронами (волокно аксона одного нейрона і дендрит іншого). Коли імпульс досягає синаптичного закінчення, продукуються хімічні речовини, названі нейротрансмітерами. Нейротрансмітери проходять через синаптичну щілину, збуджуючи або гальмуючи, у залежності від типу синапсу, здатність нейрона-приймача генерувати електричні імпульси. Результативність синапсу налаштовується минаючими через нього сигналами, тому синапси навчаються в залежності від активності процесів, у яких вони приймають участь. Нейрони взаємодіють за допомогою короткої серії імпульсів. Повідомлення передається за допомогою частотно-імпульсної модуляції.

== Структура штучного нейрона ==

Нейрон є складовою частиною нейронної мережі. На рисунку 2.1 представлена його структура. Він складається з елементів трьох типів: помножувачів (синапсів), суматора і нелінійного перетворювача. Синапси здійснюють зв’язок між нейронами, множать вхідний сигнал на число, що характеризує силу зв’язку, (вагу синапса). Суматор виконує додавання сигналів, що надходять по синаптичним зв’язках від інших нейронів і зовнішніх вхідних сигналів. Нелінійний перетворювач реалізує нелінійну функцію одного аргументу – виходу суматора. Ця функція називається функцією активації чи передатною функцією нейрона.
<center>
[[Файл:2.png‎]]

Рисунок 2. – Структура штучного нейрона
</center>

== Архітектура нейронної мережі ==

Існуючі на даний час, нейромережі є групуванням штучних нейронів. Це групування обумовлено створенням з'єднанних між собою прошарків.
На рис. 3 показана типова структура штучних нейромереж. Хоча існують мережі, які містять лише один прошарок, або навіть один елемент, більшість застосувань вимагають мережі, які містять як мінімум три нормальних типи прошарків – вхідний, прихований та вихідний. Прошарок вхідних нейронів отримує дані або з вхідних файлів, або безпосередньо з електронних давачів. Вихідний прошарок пересилає інформацію безпосередньо до зовнішнього середовища, до вторинного комп'ютерного процесу, або до інших пристроїв. Між цими двома прошарками може бути багато прихованих прошарків, які містять багато нейронів у різноманітних зв'язаних структурах. Входи та виходи кожного з прихованих нейронів просто йдуть до інших нейронів.

<center>[[Файл:3.png‎]]

Рисунок 3. – Діаграма простої нейронної мережі
</center>

Напрямок зв'язку від одного нейрону до іншого є важливим аспектом нейромереж. У більшості мереж кожен нейрон прихованого прошарку отримує сигнали від всіх нейронів попереднього прошарку та звичайно від нейронів вхідного прошарку. Після виконання операцій над сигналами, нейрон передає свій вихід до всіх нейронів наступних прошарків, забезпечуючи шлях передачі вперед (feedforward) на вихід.
Багатошарові нейронні мережі можна поділити на:
- мережі прямого розповсюдження ;
- мережі зі зворотними зв’язками.
У мережах прямого розповсюдження нейрони вхідного шару отримають вхідні сигнали, перетворюють і передають їх нейронам першого шару, останні – нейронам другого, потім третього і так дальше аж до вихідного шару, який видає їх користувачу. У мережах зі зворотними зв’язками інформація з подальших шарів передається на попередні.

== Навчання штучної нейронної мережі ==

Здатність до навчання є фундаментальною властивістю мозку. Процес навчання може розглядатися як визначення архітектури мережі і налаштування ваг зв'язків для ефективного виконання спеціальної задачі. Нейромережа налаштовує ваги зв'язків по наявній навчальній множині. Властивість мережі навчатися на прикладах робить їх більш привабливими в порівнянні із системами, які функціонують згідно визначеній системі правил, сформульованої експертами.

Для процесу навчання необхідно мати модель зовнішнього середовища, у якій функціонує нейронна мережа – потрібну для вирішення задачі інформацію. По-друге, необхідно визначити, як модифікувати вагові параметри мережі. Алгоритм навчання означає процедуру, в якій використовуються правила навчання для налаштування ваг.

Існують три загальні парадигми навчання: "з вчителем", "без вчителя" (самонавчання) і змішана.

У першому випадку нейромережа має у своєму розпорядженні правильні відповіді (виходи мережі) на кожен вхідний приклад. Ваги налаштовуються так, щоб мережа виробляла відповіді як можна більш близькі до відомих правильних відповідей.

Навчання "без вчителя" не вимагає знання правильних відповідей на кожен приклад навчальної вибірки. У цьому випадку розкривається внутрішня структура даних та кореляція між зразками в навчальній множині, що дозволяє розподілити зразки по категоріях.

При змішаному навчанні частина ваг визначається за допомогою навчання зі вчителем, у той час як інша визначається за допомогою самонавчання.

У загальному використанні є багато правил навчання, але більшість з цих правил є деякою зміною відомого та найстаршого правила навчання, правила Хеба. Дослідження різних правил навчання триває, і нові ідеї регулярно публікуються в наукових та комерційних виданнях. Представимо декілька основних правил навчання.

'''Правило Хеба'''

Опис правила з'явився у його книзі "Організація поведінки" у 1949 р. "Якщо нейрон отримує вхідний сигнал від іншого нейрону і обидва є високо активними (математично мають такий самий знак), вага між нейронами повинна бути підсилена". При збудженні одночасно двох нейронів з виходами (хj, уі) на t-тому кроці навчання вага синаптичного з'єднання між ними зростає, в інакшому випадку - зменшується, тобто

<math>Wij(k)=r xj (k) yi (k)</math>,

де r - коефіцієнт швидкості навчання.

Може застосовуватись при навчанні "з вчителем" і "без вчителя".

'''Правило Хопфілда'''

Є подібним до правила Хеба за винятком того, що воно визначає величину підсилення або послаблення. "Якщо одночасно вихідний та вхідний сигнал нейрона є активними або неактивними, збільшуємо вагу з'єднання оцінкою навчання, інакше зменшуємо вагу оцінкою навчання".

'''Правило "дельта".'''

Це правило є подальшою зміною правила Хеба і є одним із найбільш загально використовуваних. Це правило базується на простій ідеї неперервної зміни синаптичних ваг для зменшення різниці ("дельта") між значенням бажаного та біжучого вихідного сигналу нейрона.

<math>Wij= xj (di - yi).</math>

За цим правилом мінімізується середньоквадратична похибка мережі. Це правило також згадується як правило навчання Відрова-Хофа та правило навчання найменших середніх квадратів.

У правилі "дельта" похибка отримана у вихідному прошарку перетворюється похідною передатної функції і послідовно пошарово поширюється назад на попередні прошарки для корекції синаптичних ваг. Процес зворотного поширення похибок мережі триває до досягнення першого прошарку.

При використанні правила "дельта" важливим є невпорядкованість множини вхідних даних. При добре впорядкованому або структурованому представленні навчальної множини результат мережі може не збігтися до бажаної точності і мережа буде вважатись нездатною до навчання.

'''Правило градієнтного спуску'''

Це правило подібне до правила "дельта" використанням похідної від передатної функції для змінювання похибки "дельта" перед тим, як застосувати її до ваг з'єднань. До кінцевого коефіцієнта зміни, що діє на вагу, додається пропорційна константа, яка пов'язана з оцінкою навчання. І хоча процес навчання збігається до точки стабільності дуже повільно, це правило поширене і є загально використовуване.

Доведено, що різні оцінки навчання для різних прошарків мережі допомагає процесу навчання збігатись швидше. Оцінки навчання для прошарків, близьких до виходу, встановлюються меншими, ніж для рівнів, ближчих до входу.

'''Навчання методом змагання'''

На відміну від навчання Хеба, у якому множина вихідних нейронів може збуджуватись одночасно, при навчанні методом змагання вихідні нейрони змагаються між собою за активізацію. Це явище, відоме як правило "переможець отримує все". Подібне навчання має місце в біологічних нейронних мережах. Навчання за допомогою змагання дозволяє кластеризувати вхідні дані: подібні приклади групуються мережею відповідно до кореляцій і представляються одним елементом.

При навчанні модифікуються синаптичні ваги нейрона-переможця. Ефект цього правила досягається за рахунок такої зміни збереженого в мережі зразка (вектора синаптичних ваг нейрона-переможця), при якому він стає подібним до вхідного приклада. Нейрон з найбільшим вихідним сигналом оголошується переможцем і має можливість гальмувати своїх конкурентів і збуджувати сусідів. Використовується вихідний сигнал нейрона-переможця і тільки йому та його сусідам дозволяється коректувати свої ваги з'єднань.

<math>Wij (k+1)= Wij(k)+r [xj - Wij(k)]</math>

Розмір області сусідства може змінюватись під час періоду навчання. Звичайна парадигма повинна починатись з великої області визначення сусідства і зменшуватись під час процесу навчання. Оскільки елемент-переможець визначається по найвищій відповідності до вхідного зразку, мережі Коxонена моделюють розподіл входів. Це правило використовується в самоорганізованих картах.

= Задачі прогнозування =
Особливе значення мають задачі передбачення та прогнозування часових рядів, серед яких виділяються завдання з набором певних специфічних ознак, тому варто провести їх класифікацію. Задачі дослідження явищ, розвиток яких пов'язаний із часом, можна поділити на декілька класів:

'''За характером основних ознак об'єкту:'''

• прогнозування явищ, реалізації яких представлені у вигляді детермінованих часових рядів. Такі задачі, зокрема, можна вирішити шляхом застосування методів математичного аналізу;

• прогнозування явищ, реалізації яких представлені у вигляді індетермінованих часових рядів. Вирішення цих задач традиційно здійснюється шляхом застосування методів теорії ймовірностей та математичної статистики. Зокрема, реалізації таких явищ, можуть мати вигляд:

а) стаціонарного часового ряду, який характеризується однорідністю в часі, без суттєвих змін характеру коливань та їх середньої амплітуди;

б) нестаціонарного часового ряду, який характеризується певною тенденцією розвитку в часі; при дослідженні нестаціонарних процесів можна виділити ділянки, на яких процес можна вважати стаціонарним; вибір проміжку для формування навчальної множини в такому випадку обирається згідно задачі прогнозування;

'''За числом ознак об'єкту досліджень:'''

• одновимірна задача; явище представлене лише однією ознакою, зміни якої відбуваються в часі;

• багатовимірна задача; об'єкт або явище представлені кількома ознаками; задача прогнозування може бути розширена завдяки представленню даних в просторі.

'''За часом випередження розрізняють види прогнозів:'''

• згладжування, R= 0;

• короткотерміновий прогноз, R= 1… 2;

• середньотерміновий прогноз, R= 3 … 7;

• довготерміновий прогноз, R= 10 … 15.

Очевидно, що вид прогнозу суттєво впливає на вибір засобів і методику його реалізації.

= Загальні підходи до прогнозування за допомогою нейронних мереж =

Дані про поведінку об'єкта, ознаки якого пов'язані з часом, представлені як результати спостережень в рівномірні відліки часу. Для моментів часу t=1, 2, ..., n дані спостережень набувають вигляду часового ряду х(t1), х(t2), ..., х(tn). Інформація про значення часового ряду до моменту n дозволяє давати оцінки параметрів x(tn+1), x(n+2), ..., x(n+m). Для здійснення прогнозування елементів часових рядів широко використовують так званий метод "часових вікон".

В залежності від кількості ознак, що представляють значення рядів при формуванні множин даних, виділимо задачі двох типів.

== Однопараметрична задача прогнозування ==

Нехай часовий ряд x(t) задано відліками процесу x(t1), x(t2),..., x(tі) в дискретні моменти часу t. Задамо ширину (кількість дискретних відліків) вхідного часового вікна m, ширину вихідного вікна р. Вхідне та вихідне вікна накладаються на дані ряду, починаючи з першого елемента (рис. 4).

<center>[[Файл:4.png‎]]

Рисунок 4. – Формування множин даних для однопараметричної задачі за методом "часових вікон"
</center>

Вхідне вікно формує дані для входів нейронної мережі, а вихідне, відповідно, для виходів. Подібна пара вхідного та вихідного векторів приймається за одну реалізацію часового ряду. При зсуві часових вікон за часовим рядом з кроком s, отримуємо другу і наступні реалізації.

Значення ширини вікон та кроку зміщення повинні узгоджуватись з особливостями часового ряду, що забезпечується шляхом проведення експериментів. Нехай вхідне вікно має ширину m, вихідне вікно р=1, крок зміщення s=1. Тоді сформована множина значень для однопараметричної задачі матиме вигляд, наведений нижче:

Таблиця 1. – Множина даних для однопараметричної задачі

<center>[[Файл:5.png]]</center>

==Багатопараметрична задача прогнозування ==

В багатопараметричних задачах прогнозування підходи до розв'язання проблеми залишаються подібними (рис.5).

<center> [[Файл:6.png]]

Рисунок 5. – Формування множин даних для багатопараметричної задачі
</center>

Нехай потрібно спрогнозувати взаємозалежні величини x(t), y(t), ..., z(t). Якщо прийняти ширину вхідного вікна m, вихідного р=1, кроку зміщення s=1, можна сформувати множину даних наступним чином:

Таблиця 2. – Множина даних для багатопараметричної задачі

<center> [[Файл:7.png]]</center>

Функціонування нейромережі здійснюється у відповідності з показаним методом часових вікон, зберігаючи значення ширини вікон та кроку зсуву.
Конкретизація підходів до реалізації прогнозування в значній мірі залежить також від особливостей явища, що досліджується.

== Однокрокове прогнозування (передбачення)==
Задача однокрокового прогнозування зводиться до задачі відображення, коли один вхідний вектор відображається у вихідний (рис. 6).

<center> [[Файл:8.png]]

Рисунок 12. – Послідовність використання нейромереж для задач передбачення
</center>

У випадку однопараметричної задачі передбачення навчальна множина до моменту n, за умови m=3, p=1, s=1, матиме вигляд наведений в таблиці 3.
Таблиця 3. – Навчальна множина для однопараметричної задачі передбачення

<center> [[Файл:9.png]]</center>

В режимі навчання встановлюються коефіцієнти ваг зв'язків, після чого стає можливим перехід до режиму функціонування. Для передбачення на входи нейромережі надходять значення останньої реалізації навчальної множини <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. На виході формується прогнозована величина x*(tn+1).

Для багатопараметричної задачі передбачення на входи навченої нейромережі подаються вектори <math>x(tn-2)</math>, <math>y(tn-2)</math>, <math>z(tn-2)</math>, <math>x(tn-1</math>), <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>. На виходи нейромережі надходять передбачені величини x*(tn+1), y*(tn+1), z*(tn+1), які відкладаються у вихідний вектор передбачених даних.

Показаний режим є однокроковим, який працює в режимі відображення (реальний вхід®прогнозований вихід). Передбачення застосовують також для моделювання дискретних послідовностей, що не пов'язані з часом. Враховуючи специфіку часових рядів, такий тип прогнозу не завжди є доцільним, але для певних випадків короткотермінових прогнозів ним можливо скористатись.

== Багатокрокове прогнозування ==

Багатокрокове прогнозування застосовують лише для явищ, ознаки яких представлені у вигляді часових рядів.

Для однопараметричної задачі прогнозування навчальна множина матиме вигляд наведений в табл. 3. Під час навчання мережа налаштовує коефіцієнти ваг зв'язків і поліномів передатних функцій, які в подальшому і визначають режим функціонування. Багатокрокове прогнозування часового ряду здійснюється наступним чином (рис. 6). На входи нейромережі подається вектор відомих значень <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. На виході формується прогнозована величина <math>x*(tn+1)</math>, яка визначає вектор прогнозованих виходів і одночасно долучається до значень навчальної множини, тобто, приймається як достовірна. Далі на входи подається вектор <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, а на виході отримується <math>x*(tn+2)</math> і наступні прогнозовані значення.

<center> [[Файл:10.png]]

Рисунок 6. – Послідовність використання НМ для задач багатокрокового прогнозування
</center>
Для багатопараметричної задачі прогнозування на входи навченої нейромережі подаються вектори <math>x(tn-2)</math>, <math>y(tn-2)</math>, <math>z(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>. На виході продукуються величини x*(tn+1), y*(tn+1), z*(tn+1), які формують вектор вихідних значень і послідовно долучаються до значень навчальної множини. При зсуві вікна на крок прогнозу вихідні дані, що були спродуковані мережею, сприймаються як реальні і приймають участь у прогнозуванні наступного значення виходу, тобто на входи подаємо вектор <math>x(tn-1)</math>, <math>y(tn-1)</math>, <math>z(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>y(tn)</math>, <math>z(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, <math>y*(tn+1)</math>, <math>z*(tn+1)</math>, а на виході отримуємо x*(tn+2), y*(tn+2), z*(tn+2) і наступні прогнозовані значення.

Багатокрокове прогнозування дозволяє робити коротко- та середньотермінові прогнози, оскільки суттєвий вплив на точність має накопичення похибки на кожному кроці прогнозування. При застосуванні довготермінового багатокрокового прогнозування спостерігається характерне для багатьох прогнозуючих систем поступове затухання процесу, фазові зсуви і інші спотворення картини прогнозу. Такий тип прогнозування підходить для часових рядів, які підпадають під означення стаціонарного процесу з невеликою випадковою складовою.

== Багатокрокове прогнозування з перенавчанням нейромережі на кожному кроці прогнозу ==

Швидкі неітераційні алгоритми навчання дозволяють запропонувати новий тип багатокрокового прогнозу, який може бути застосований при довготермінових прогнозах із збереженням задовільної точності прогнозування.
Аналогічно з попереднім алгоритмом прогнозування на входи мережі у режимі функціонування надходить остання реалізація навчальної множини <math>x(tn-2)</math>, <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>. Прогнозоване значення виходу <math>x*(tn+1)</math> відкладається у векторі прогнозованих вихідних значень і в якості достовірного додається до реальних значень навчальної множини. Навчальна множина збільшується на одне часове вікно. Відбувається процес перенавчання мережі на збільшеній навчальній множині, під час якого визначаються нові вагові коефіцієнти k синаптичних зв'язків і поліномів передатних функцій нейронів (рис. 7).

<center> [[Файл:11.png]]

Рисунок 7. – Послідовність використання нейромережі для задач багатокрокового прогнозування з перенавчанням
</center>

Реалізація <math>x(tn-1)</math>, <math>x(tn)</math>, <math>x*(tn+1)</math>, як значення наступного вхідного вікна подається на входи мережі в режимі функціонування. Мережа продукує нове вихідне значення <math>x*(tn+2)</math>, яке відповідно також відкладається у вектор продукованих виходів і долучається до реальних значень навчальної множини, з метою подальшого перенавчання мережі та встановлення поновлених коефіцієнтів поліномів передатних функцій і синаптичних зв'язків. Ітераційна процедура перенавчання поширюється до прогнозованого значення <math>x*(tN)</math>.

Такий підхід дозволяє при великих інтервалах випередження усунути затухання прогностичних властивостей мережі за рахунок постійного коректування вагових коефіцієнтів синаптичних зв'язків.

Відзначимо, що алгоритм багатокрокового прогнозування з перенавчанням мережі для традиційних мереж прямого поширення з ітераційним навчанням є практично нездійсненним через великі часові затримки, необхідні на переналаштовування коефіцієнтів мережі.

== Нейромережеві моделі бізнес-прогнозування ==
Зараз, найперспективнішим методом прогнозування є використання нейронних мереж. Можна назвати багато переваг нейронних мереж над іншими алгоритмами, нижче наведено два основні.

При використанні нейронних мереж легко досліджувати залежність прогнозованої величини від незалежних змінних. Наприклад, є припущення, що продажі на наступному тижні якимось чином залежать від наступних параметрів:

• продажів в останній тиждень

• продажів у передостанній тиждень

• часу прокручування рекламних роликів (TRP)

• кількості робочих днів

• температури

Крім того, продажі носять сезонний характер, мають тренд і якось залежать від активності конкурентів.

Хотілося б побудувати систему, яка б усе це природнім чином враховувала і будувала б короткострокові прогнози.

У такій постановці завдання застосування більшої частини класичних методів прогнозування буде просто неможливою.

Використовуючи ж навіть найпростішу нейромережеву архітектуру (перцептрон з одним схованим шаром) і базу даних (із продажами й усіма параметрами) легко одержати працюючу систему прогнозування. Причому враховувати, чи не враховувати зовнішні параметри системою буде визначатися включенням, або виключенням відповідного входу в нейронну мережу.

Експерт може скористатися яким-небудь алгоритмом визначення важливості і відразу визначити значимість вхідних змінних, щоб потім виключити з розгляду параметри, що мають незначний вплив.

Ще одна серйозна перевага нейронних мереж полягає в тому, що експерт не є заручником вибору математичної моделі поведінки часового ряду. Побудова нейромережевої моделі відбувається адаптивно під час навчання, без участі експерта. При цьому нейронній мережі пред'являються приклади з бази даних і вона сама підлаштовується під ці дані.

Недоліком нейронних мереж є їхня недетермінованість. Мається на увазі те, що після навчання є "чорний ящик", який якимось чином працює, але логіка прийняття розв'язків нейромережею зовсім схована від експерта. У принципі, існують алгоритми "витягу знань із нейронної мережі", які формалізують навчену нейронну мережу до списку логічних правил, тим самим створюючи на основі мережі експертну систему. На жаль, ці алгоритми не вбудовуються в нейромережеві пакети, до того ж набори правил, які генеруються такими алгоритмами досить об'ємні.

Проте, для людей, що вміють працювати з нейронними мережами й знаючими нюанси налаштування, навчання й застосування, у практичних завданнях непрозорість нейронних мереж не є настільки серйозним недоліком.
Використання багатошарових персептронов

Найпростіший варіант застосування штучних нейронних мереж у завданнях бізнес-прогнозування – використання звичайного перцептрона з одним, двома, або трьома прихованими шарами. При цьому на входи нейронної мережі звичайно подається набір параметрів, на основі якого ( на думку експерта) можна успішно прогнозувати. Виходом звичайно є прогноз мережі на майбутній момент часу.

<center> [[Файл:12.png]] </center>

Розглянемо приклад прогнозування продажів. На малюнку представлений графік, що віддображає історію продажів деякого продукту по тижнях. У даних явно помітна виражена сезонність. Для простоти припустимо, що ніяких інших потрібних даних у нас немає. Тоді мережу логічно будувати в такий спосіб. Для прогнозування на майбутній тиждень треба подавати дані про продажі за останні тижні, а також дані про продажі в плині декількох тижнів підряд рік тому, щоб мережа бачила динаміку продажів один сезон назад, коли ця динаміка була схожа на справжню за рахунок сезонності.

Якщо вхідних параметрів багато, рекомендується не скидати їх відразу в нейронну мережу, а спробувати спочатку провести перед обробку даних, для того щоб понизити їхню розмірність, або представити в правильному виді. У більшості практичних завдань по прогнозуванню продажів перед обробка складається з різних частин. От лише один приклад.

Нехай у попередньому прикладі в нас є не тільки історична база даних про продажі продукту, які ми прогнозуємо, але й дані про його рекламу на телебаченні. Ці дані можуть виглядати в такий спосіб

По осі часу відкладені номери тижнів і рекламні індекси для кожного тижня. Видно, що в шістнадцятому й сімнадцятому тижні реклами не було взагалі. Очевидно, що неправильно дані про рекламу подавати в у такому виді, оскільки визначає продажу не сама реклама як така, а образи й враження у свідомості покупця, які ця реклама створює. І така реклама має тривалу дію - навіть через кілька місяців після закінчення реклами на телебаченні люди будуть пам'ятати продукт і купувати його, хоча, швидше за все, продажу будуть поступово падати. Тому намагаючись подавати в мережу такі дані про рекламу ми робимо неправильну постановку завдання й, як мінімум, ускладнимо мережі процес навчання.

При використанні багатошарових нейронних мереж у бізнес-прогнозуванні в загальному і прогнозуванні продажів зокрема корисно також пам'ятати про те, що потрібно акуратно робити нормування й що для вихідного нейрона краще використовувати лінійну передатну функцію. Узагальнюючі властивості від цього небагато погіршуються, але мережа буде набагато краще працювати з даними, що містять тренд.

=Список використаних джерел=

#http://masters.donntu.edu.ua/2003/fvti/paukov/library/neurow.htm
#http://victoria.lviv.ua/html/oio/
#Уоссермен Ф.. Нейрокомпьютерна техніка. - М.: Світ, 1992
Круглов В. В., Борисов В. В. Искусственные нейронные сети. Теорія и практика. – М.: Горячая линия - Телеком, 2001. – 382 с.
#Мак-Каллок У. С., Питтс В. Логическое исчисление идей, относящихся к нервной активности // В сб.: «Автоматы» под ред. К. Э. Шеннона и Дж. Маккарти. — М.: Изд-во иностр. лит., 1956. — с.363-384. (Перевод английской статьи 1943 г.).
#http://www.neuroproject.ru/forecasting_tutorial.php#mlp
#Нейронные сети. Саймон Хайкин. – М.: Вильямс, 2006. – 1103

{{Завдання:Виступ|ulyasi4ka|04 березня 2010| Прогнозування за допомогою нейронних мереж }}

[[Категорія:ПЕ-2010]]
[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експеримента]]

Попередня обробка експериментальних даних

2012-03-20T08:00:41Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Наталія | Surname=Росинець | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

===Попередня обробка експериментальних даних. Критерії відсіювання завідомо помилкових даних===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/382 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Зміст та завдання попередньої обробки експериментальних даних ==
Результати вимірювань – це випадкові величини, тобто в ході експерименту інформація спотворена перешкодами, і за одних і тих же умов можна отримати різні дані.
 
Зміст попередньої обробки даних полягає у відсіюванні грубих похибок і оцінці достовірності результатів вимірювань. Попередня обробка результатів вимірювань необхідна для того, щоб надалі, при побудові функцій відгуку, з найбільшою ефективністю використовувати статистичні методи і коректно аналізувати отримані результати.
 
Завданням попередньої обробки даних є перевірка відповідності результатів вимірювання нормальному закону і визначення параметрів цього розподілу. Якщо відгук суперечить нормальному розподілу, то слід визначити, якому закону розподілу підлягають дослідні дані або, якщо це можливо, перетворити досліджуваний розподіл до нормального вигляду.

== Методи обробки експериментальних даних ==

=== Метод найменших квадратів ===
Для обробки експериментальних даних найчастіше на практиці використовують метод найменших квадратів - один з методів теорії помилок, що використовується для оцінки невідомих величин за наслідками вимірювань, що містить випадкові помилки (спричиняються різного роду випадковими причинами, які діють при кожному з окремих вимірювань непередбаченим чином).
 
Метод найменших квадратів запропонував К. Гаус (1794—95) і А. Лежандром (1805—06). Строге математичне обґрунтовування методу було дано А. А. Марковим (старшим) і А. Н. Колмогоровим. Нині цей метод є одним з найважливіших розділів математичної статистики і широко використовується для статистичних висновків в різних областях науки і техніки.
 
Суть методу найменших квадратів (по Гаусу) полягає в припущені, що «збиток» від заміни точного (невідомого) значення фізичної величини m її наближеним значенням X, обчисленим за наслідками спостережень, пропорційний квадрату помилки:<math>{{(X-m)}^{2}}</math>.
 
Оптимальною оцінкою визнають величину X , позбавлену систематичної помилки, для якої середнє значення «збитку» мінімальне.
Задачу пошуку оптимальної оцінки звужують і як Х вибирають лінійну функцію від результатів спостережень, позбавлену систематичної помилки, і таку, для якої середнє значення «збитку» мінімальне в класі всіх лінійних функцій. Якщо випадкові помилки спостережень мають нормальний розподіл і оцінювана величина m залежить від середніх значень результатів спостережень лінійно, то рішення цієї задачі одночасно буде і рішенням загальної задачі. Оцінка X, обчислена згідно методу найменших квадратів — найвірогідніше значення невідомого параметра m.
 
Метод найменших квадратів дає найбільш бажаний результат тоді, коли випадкова помилка має порівняно невелику величину. В іншому разі необхідним є проведення попередньої обробки експериментальних даних, яка полягає в наступному: вихідні записи випадкових величин згладжуються певним способом, що дає змогу виявити основну тенденцію у їхній зміні.

=== Метод виключення перешкод ===
Метод виключення перешкод полягає у проведенні на око середньої лінії, яка враховує тільки основні коливання змінної. Інформація, що надалі буде зніматись із цієї середньої лінії, при математичній обробці даних буде використовуватись як вихідна.
 
Значення випадкової величини, що не збігаються із середньою лінією, прямо не впливатимуть на подальші висновки.

=== Метод оновлюваної середньої ===
Метод оновлюваної середньої полягає у використанні рекурентної формули для обчислення середнього арифметичного . Якщо випадкова величина х надходить у вигляді дискретних вимірів і для (N - 1) - го виміру обчислено середнє значення , то поява нового виміру змінює попереднє середнє значення на величину
<center><math>\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
 
При згладжуванні цим методом у кожній точці на часовій осі виміряне значення замінюється на середнє, розраховане на даний момент часу.
 
Послідовність обчислених за рекурентною формулою середніх значень є позбавленим від перешкод рядом вимірів змінної х, який використовується при подальшій обробці.
 
<center>'''Приклад'''</center>
----
 
Розглянемо згладжування методом оновлюваної середньої наступного ряду вимірювань величини х:
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
Перше значення збігається з х1. Друге значення обчислюється за рекурентною формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}={{x}_{N-1}}+\frac{1}{N}({{x}_{N}}-{{x}_{N-1}})</math></center>
Отже:<math>{{\bar{x}}_{2}}=3.4+\frac{1}{2}(3.1-3.4)=3.25</math>;<math>{{\bar{x}}_{3}}=3.25+\frac{1}{3}(5.4-3.25)=3.96</math>;
<math>{{\bar{x}}_{4}}=3.65</math>;<math>{{\bar{x}}_{5}}=3.50</math>;<math>{{\bar{x}}_{6}}=3.46</math>;<math>{{\bar{x}}_{7}}=3.35</math>;<math>{{\bar{x}}_{8}}=3.47</math>;<math>{{\bar{x}}_{9}}=3.44</math>;<math>{{\bar{x}}_{10}}=3.30</math>.
 
Результати згладжування експериментальних даних зображено на рисунку:
 
[[Файл:n-1.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування експериментальних даних]]
 

=== Метод ковзної середньої ===
Метод ковзної середньої полягає в послідовному усередненні на деякому інтервалі <math>{{\tau }_{y}}</math> значень вимірюваної величини х. Рухаючи <math>{{\tau }_{y}}</math> уздовж осі часу для всіх точок <math>{{\tau }_{i}}</math>, що попали в нього, відповідні значення <math>{{x}_{i}}</math> замінимо середніми значеннями; віднесемо ці значення до середини відповідного інтервалу.
Операція згладжування виконується за формулою:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
де і – номер інтервалу; (l+1) – число вимірювань у і-тому інтервалі; <math>(i+\frac{l}{2})</math> - номер замінюваного вимірювання.
 
Якщо попередня оцінка виконана невдало і після згладжування залишаються перешкоди, утворені дані знову можна піддати усередненню і робити це багаторазово, до бажаного результату.
 
<center>'''Приклад'''</center>
----
 
Для ряду вимірювань
<center>3.4; 3.1; 5.4; 2.7; 2.9; 3.3; 2.7; 4.3; 3.2; 2.0.</center>
обчислимо згладжені значення на інтервалі l+1=3,використовуючи формулу:
<center><math>{{\bar{x}}_{i+\frac{l}{2}}}=\frac{1}{l+1}\sum\limits_{k=0}^{l}{{{x}_{i=k}};k=0,1,...,l}</math></center>
Отже, <math>{{\bar{x}}_{1+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{2}}=\frac{1}{3}(3.4+3.1+5.4)=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{2+\frac{2}{2}}}={{\bar{x}}_{3}}=\frac{1}{3}(3.1+5.4+2.7)=3.73</math>; <math>{{\bar{x}}_{4}}=3.66</math>; <math>{{\bar{x}}_{5}}=3.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{6}}=2.97</math>; <math>{{\bar{x}}_{7}}=3.43</math>; <math>{{\bar{x}}_{8}}=3.40</math>; <math>{{\bar{x}}_{9}}=3.16</math>
 
На рисунку наведено результат згладжування:
 
[[Файл:n-2.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
 
Іноді при згладжуванні заокруглюють наближення, використовуючи середні значення для не перекриваючих один одного інтервалів. Для цього обчислюють середнє значення за трьома першими точками, приписують результат середині інтервалу, а для наступного обчислення середньої використовують 4-ту, 5-ту і 6-ту точки і т. д.
 
[[Файл:n-3.JPEG|640x170px|border|center|Заокруглення наближення при зглажуванні]]
 
В обох випадках частина початкової і кінцевої інформації втрачається.

=== Метод експоненційного згладжування ===
Цей метод має найширші можливості. Тут використовують наступні формули:
<center><math>{{\bar{x}}_{N}}=\alpha \cdot {{x}_{N}}+(1-\alpha ){{\bar{x}}_{N-1}}</math>або<math>{{\bar{x}}_{N}}={{\bar{x}}_{N-1}}+\alpha \cdot ({{x}_{N}}-{{\bar{x}}_{N-1}})</math></center>
 
де <math>\alpha </math> - параметр згладжування, який вибирається в діапазоні 0..1. Тут обчислювана середня заміняє відповідне значення вимірюваної змінної.
 
Від величини <math>\alpha </math> залежать згладжуючи властивості методу. При різних <math>\alpha </math> можна добувати з вихідної інформації високочастотні або низькочастотні складові. Таким чином, з’являється можливість боротися з низько – і високочастотними шумами, тобто зі швидко – і повільно змінними у часі перешкодами.
 
При малих , близьких до 0 <math>\alpha </math>, сукупність обчислених середніх відобразить низькочастотні зміни вимірюваної змінної, позбавивши їх швидкозмінних перешкод. У цьому випадку говорять про ''інерційне згладжування'', при якому обчислювана середня мало залежить від останнього вимірювання і значною мірою від середньої, утвореної на попередньому кроці.
 
Якщо обрана величина <math>\alpha </math> - близька до 1 (наприклад, становить 0,6), то згладжування буде мало інерційним, значення ближчими до вимірюваних значень х, тобто високі частоти зберігатимуться:
 
[[Файл:n-4.JPEG|640x170px|border|center|Результати згладжування]]
 

== Критерії відсіювання завідомо помилкових даних ==

Дані, які відповідають умовам, що змінилися, називають грубими помилками або значеннями, що різко виділяються (аномальними).
У разі відсіву грубих помилок формулюється нульова гіпотеза:
<math>{{H}_{0}}</math>: "Серед результатів спостережень (вибіркових, дослідних даних) немає значень, що різко виділяються (аномальних)".
 
Альтернативною гіпотезою може бути:
або <math>H_{1}^{(1)}</math>: "Серед результатів спостережень є тільки одна груба помилка"
або <math>H_{1}^{(2)}</math>: "Серед результатів спостережень є дві або більш грубих помилок".
Найпоширенішими і теоретично обґрунтованими в цьому випадку є
*критерій Н.В. Смірнова (використовується при <math>H_{1}^{(1)}</math>)
*критерій Діксона (застосовується як при <math>H_{1}^{(1)}</math> так і при <math>H_{1}^{(2)}</math>)
 

=== Критерій Н. В. Смірнова ===

Якщо відомо, що є тільки одне аномальне значення (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>), то воно буде крайнім членом варіаційного ряду. Тому перевіряти вибірку на наявність однієї грубої помилки природно за допомогою статистики (якщо сумнів викликає перший член варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}=\min {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{1}}=\frac{\bar{x}-{{x}_{1}}}{{{s}_{x}}}</math></center>
 
або якщо сумніви викликає максимальний член варіаційного ряду <math>{{x}_{n}}=\max {{x}_{i}}</math>:
<center><math>{{u}_{n}}=\frac{{{x}_{n}}-\bar{x}}{{{s}_{x}}}</math></center>
 
Цей критерій вперше був запропонований Н.В. Смірновим. Він досліджував розподіл цих статистик і склав таблиці процентних точок
<math>{{u}_{\alpha ,n}}</math>. При вибраному рівні значущості критична область для критерію Н.В. Смірнова будується таким чином:
<center><math>{{u}_{1}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math> або <math>{{u}_{n}}>{{u}_{\alpha ,n}}</math></center>
де <math>{{u}_{\alpha ,n}}</math> – це табличні значення
 
У випадку якщо виконується остання умова (статистика потрапляє в критичну область), то нульова гіпотеза відхиляється, тобто викид х1 або хn не випадковий і не характерний для даної сукупності даних, а визначається умовами, що змінилися або грубими помилками при проведенні дослідів.
 
В цьому випадку значення або виключають з розгляду, а знайдені раніше оцінки піддаються коректуванню з урахуванням відкинутого результату.

=== Критерій Діксона ===

В критерії Діксона застосовується статистика:
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найбільше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-i}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{j+1}}}</math></center>
*якщо підозріла «чужорідна» точка має найменше значення:
<center><math>{{r}_{i,j}}=\frac{{{x}_{1+i}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{n-j}}-{{x}_{1}}}</math></center>
 
Де <math>{{x}_{n}},{{x}_{n-i}},{{x}_{j+1}}</math> – члени варіаційного ряду <math>{{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le {{x}_{3}}...\le {{x}_{i}}...\le {{x}_{n}}</math>
 
Діксоном були отримані розподіли для статистик <math>{{r}_{10}},{{r}_{11}},{{r}_{12}},{{r}_{20}},{{r}_{21}},{{r}_{22}}</math> при об’ємі вибірки 3 <=n<=30.
 
Наприклад, статистика
<center><math>{{r}_{10}}=\frac{{{x}_{n}}-{{x}_{n-1}}}{{{x}_{n}}-{{x}_{1}}}</math></center>
 
використовується для перевірки максимального або мінімального члена варіаційного ряду (одна груба помилка, альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(1)}</math>) при 3 <= n <= 7.
Якщо при тому ж об'ємі вибірки передбачається наявність двох і більше значень, що різко виділяються (альтернативна гіпотеза <math>H_{1}^{(2)}</math>), то використовується статистика <math>{{r}_{20}}</math>.
 
Статистики критерію Діксона, що використовуються при інших об'ємах вибірки, приведені в таблиці:
 
[[Файл:n-5.JPEG|640x170px|border|center|Статистики критерію Діксона]]
 

=Перелік використаних джерел=

# Большая Советская Энциклопедия // режим доступу: http://bse.sci-lib.com/article086042.html (станом на 13.02.10)
# Н. А. Спирин, В. В. Лавров. Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента. – Екатеринбург: 2004, - 257 с.
# В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.

Планування експерименту при дисперсійному аналізі Латинські і греко-латинські квадрати Латинські куби

2012-03-20T07:59:26Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Михайло | Surname=Сиротюк | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

===Планування експерименту при дисперсійному аналізі. Латинські і греко-латинські квадрати. Латинські куби===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/380 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Планування експерименту при дисперсійному аналізі ==
В будь-якому експерименті середні значення досліджуваних величин змінюються у зв’язку зі зміною основних факторів (кількісних та якісних), що визначають умови досліду, а також і випадкових факторів. Дослідження впливу тих чи інших факторів на мінливість середніх є задачею дисперсійного аналізу.
 
Дисперсійний аналіз особливо ефективний при вивченні кількох факторів. При вивченні впливу на процес двох факторів число необхідних експериментів N (без повторення дослідів) визначається добутком рівнів факторів, що досліджуються. Якщо число рівнів n однакове, то об’єм експерименту при двофакторному дисперсійному аналізі рівне N=n2. При такій кількості дослідів в експерименті зустрічаються всі можливі комбінації факторів. Такий експеримент називається ''повним факторним експериментом'' (ПФЕ). Експеримент в якому пропущені деякі комбінації рівнів, називається ''подрібнений факторний експеримент'' (ДФЕ) [1].
 
В деяких випадках експериментатор свідомо йде на виключення можливих поєднань рівнів факторів, спираючись на міркування економії часу, коштів чи засобів. При двох і більше факторах і необхідності підтримувати кожний з них на кількох рівнях, таке скорочення загального числа дослідів необхідне.
Скорочення перебору рівнів завжди призводить до втрати частини інформації. Тому при ДФЕ важливо так запланувати експеримент, щоб губилась найменш суттєва при даній постановці задачі інформація. Особливо широко використовується ДФЕ, в якому губиться лише інформація про взаємодію факторів. Це дозволяється в тих випадках, коли ефекти взаємодії відсутні чи настільки малі, що їх можна не враховувати.
 
Число дослідів можна значно скоротити, якщо скористатись ДФЕ по схемі латинського квадрату, використаного вперше Фішером.

== Латинські квадрати ==

Латинський квадрат n x n – це квадратна таблиця, складена з n елементів (чисел чи букв) таким чином, що кожний елемент повторюється в кожній стрічці і кожному стовпчику тільки один раз. Рядки латинського квадрату відповідають різним рівням першого фактора, а стовпці – другого. Рівні третього (основного) фактору позначають літерами латинського алфавіту, які подають на перетині відповідних рядків і стовпців.
 
[[Файл:1.JPEG|1030x300px|border|center|Латинський квадрат 3х3]]
<center>Рис.1 - Латинський квадрат 3х3</center>
 
Стандартні чи канонічні латинські квадрати - це такі квадрати, у яких перша стрічка та перший стовпець побудовані в алфавітному
порядку (елементи квадрату – букви) чи в порядку натурального ряду (елементи квадрату – числа) [1]. Однокрокова циклічна перестановка в кінець стрічки – найбільш простий спосіб побудови латинського квадрату.
 
Застосовуючи латинські квадрати, зазвичай, виходять з того, що ефекти взаємодії між факторами незначні. Тоді результати ксперименту можна представити у вигляді лінійної моделі.

=== Дисперсійний аналіз латинського квадрату ===
При проведенні дисперсійного аналізу латинського квадрату без повторних дослідів зручно користуватись наступним алгоритмом розрахунку. Для цього визначають:
 
1.Суми по стрічках Аі, стовпцях Bj та латинських літерах Cq. Наприклад, для латинського квадрата 3 х 3:
*Сума по стрічках
<center><math>{{A}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{3}};{{A}_{2}}={{y}_{4}}+{{y}_{5}}+{{y}_{6}};{{A}_{3}}={{y}_{7}}+{{y}_{8}}+{{y}_{9}}</math></center>
*Сума по стовпцях:
<center><math>{{B}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{4}}+{{y}_{7}};{{B}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{5}}+{{y}_{8}};{{B}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{6}}+{{y}_{9}}</math></center>
*Сума по латинським буквам:
<center><math>{{C}_{1}}={{y}_{1}}+{{y}_{6}}+{{y}_{8}};{{C}_{2}}={{y}_{2}}+{{y}_{4}}+{{y}_{9}};{{C}_{3}}={{y}_{3}}+{{y}_{5}}+{{y}_{7}}</math></center>
2.Суму квадратів всіх дослідів:
<center><math>S{{S}_{1}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{y_{ij}^{2}}}</math></center>
3.Суму квадратів сум по стрічках, поділену на число спостережень в стрічці:
<center><math>S{{S}_{2}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{2}}</math></center>
4.Суму квадратів сум по стовпцях, поділену на число спостережень в стовпці:
<center><math>S{{S}_{3}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{2}}</math></center>
5.Суму квадратів сум по латинських буквах, поділену на число спостережень, що відповідає кожній букві:
<center><math>S{{S}_{4}}=\frac{1}{n}\sum\limits_{q=1}^{n}{C_{q}^{2}}</math></center>
6.Квадрат загальної суми, поділений на число всіх спостережень (коректуючий член):
<center><math>S{{S}_{5}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{i=1}^{n}{A_{i}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{j=1}^{n}{B_{j}^{{}}} \right)}^{2}}=\frac{1}{{{n}^{2}}}{{\left( \sum\limits_{q=1}^{n}{{{C}_{q}}} \right)}^{2}}</math></center>
7.Суму квадратів для стрічки:
<center><math>S{{S}_{A}}=S{{S}_{2}}-S{{S}_{5}}</math></center>
8.Суму квадратів для стовпця:
<center><math>S{{S}_{B}}=S{{S}_{3}}-S{{S}_{5}}</math></center>
9.Суму квадратів для латинської букви:
<center><math>S{{S}_{C}}=S{{S}_{4}}-S{{S}_{5}}</math></center>
10.Загальну суму квадратів, рівну різниці між сумою квадратів всіх спостережень та коректуючим членом
<center><math>S{{S}_{zag}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{5}}</math></center>
11.Залишкову суму квадратів:
<center><math>S{{S}_{zal}}=S{{S}_{zag}}-S{{S}_{}}-S{{S}_{}}=S{{S}_{1}}-S{{S}_{2}}-S{{S}_{3}}-S{{S}_{4}}+2S{{S}_{5}}</math></center>
Залишкова сума квадратів складається з дисперсії, обумовленої помилкою досліду, і дисперсії, обумовленої взаємодією факторів, якщо такі мають місце:
12.Дисперсію <math>s_{A}^{2}</math>:
<center><math>s_{A}^{2}=\frac{S{{S}_{A}}}{n-1}</math></center>
13.Дисперсію <math>s_{B}^{2}</math>:
<center><math>s_{B}^{2}=\frac{S{{S}_{B}}}{n-1}</math></center>
14.Дисперсію <math>s_{C}^{2}</math>:
<center><math>s_{C}^{2}=\frac{S{{S}_{C}}}{n-1}</math></center>
15.Дисперсію <math>s_{pom}^{2}</math>:
<center><math>s_{pom}^{2}=\frac{S{{S}_{zal}}}{(n-1)(n-1)}</math></center>
 

== Греко–латинські квадрати ==

Планування за латинським квадратом дозволяє ввести в дослідження три фактора. Для чотирьох факторів хороші властивості має план експерименту по схемі греко-латинського квадрату. Число рівнів для всіх факторів повинно бути однакове.
 
[[Файл:2-a.JPEG|700x210px|border|center|Греко-латинський квадрат 3х3]]
<center>Рис.2 - Греко-латинський квадрат 3х3</center>
[[Файл:3.JPEG|1030x300px|border|center|Греко-латинський квадрат 5х5]]
<center>Рис.3 - Греко-латинський квадрат 5х5</center>
 
В греко-латинських квадратах є <math>{{n}^{2}}</math> різких комбінацій рівнів факторів замість <math>{{n}^{4}}</math> комбінацій повного чотирифакторного експерименту. Тому греко-латинський квадрат являє собою <math>1/{{n}^{2}}</math> репліку від ПФЕ.
Дисперсійний аналіз греко-латинського квадрату проводять так само, як і аналіз звичайного латинського квадрата, з врахуванням четвертого фактора D.
Використання греко-латинських та гіпер-греко-латинських квадратів в якості планів експерименту одночасно дає економію в числі дослідів та приводить до спрощення обчислень.

== Латинські куби ==

Повному факторному експерименту для трьох факторів <math>{{n}^{3}}</math> (n>2) відповідає кубічне розміщення з n елементів, що містить n3 позицій. Трьом ребрам кубу відповідають фактори А, В, С з рівнями 0, 1, 2, …, n-1. Коли ввести в план четвертий фактор D і рівні цього фактору (0, 1, 2, …, n-1) розмістити у відповідних до дослідів точках кубічного розміщення, то одержимо латинський куб розміру n першого порядку [1].
Планування експерименту по латинському кубу першого порядку дозволяє включити в розгляд чотири фактори (A, B, C i D). Відмінність від греко-латинського квадрату, котрий також дає можливість вивчити вплив чотирьох факторів є в тому, що в латинському кубі три фактори (A, B, C) рахуються головними і один фактор (D) складає елімінуюче групування, а в греко-латинському квадраті головними рахуються два фактори А та В, а C i D складають подвійне елімінуюче групування. Число дослідів в кубі в n раз більше, ніж в греко-латинському квадраті.
Два латинських куба розміром n першого порядку ортогональні, коли при накладанні їх один на одного кожний елемент одного кубу зустрічається з кожним елементом другого кубу n разів. Два таких ортогональних куба, накладених один на одного, представляють греко-латинський куб розміру n першого порядку. Планування по схемі греко-латинського кубу дозволяє ввести в експеримент п’ятий фактор.

=Перелік використаних джерел=

# Дисперсійний аналіз // режим доступу: http://lp.edu.ua/fileadmin/ICCT/top/pub/Chaykivskyy/mm/da.pdf (станом на 14.02.10)
# В. О. Аністратенко, В. Г. Федоров. Математичне планування експериментів в АПК. Київ: Вища школа, - 1993, - 375 с.

Параметр оптимізації

2012-03-20T07:58:18Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Юля | Surname=Белиця | FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

.............. Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= 1. Параметр оптимізації =
При плануванні екстремального експерименту важливо визначити параметр, який потрібно оптимізувати. Для цього ціль дослідження повинна бути сформульована чітко і допускати кількісну оцінку. Характеристика мети задана кількісно називається '''параметром оптимізації'''.
'''Параметр оптимізації є реакцією (відгуком)''' на вплив факторів, які визначають поводження обраної системи. Реакція об'єкта багатогранна і багатоаспектна. Метою дослідження вибирають аспект, який представляє найбільший інтерес.
Вибір оптимального рішення або порівняння двох альтернативних рішень проводиться за допомогою деякої залежної величини (функції), визначеної проектними параметрами. Ця величина називається цільовою функцією (або критерієм якості).

<math>u=f(x1,x2,...xn)</math>,

Задача оптимізації зводиться до відшукування таких значень параметрів, при яких цільова функція досягає максисусу або мінімуму. Для однозначності загальних міркувань важається оптимальним максимальне значення виходу.

'''''Задачі оптимізації'''''

''Безумовні задачі оптимізації'' полягає у відшуканні максимуму або мінімуму дійсної функції від n дійсних змінних і визначення відповідних значень аргументів.

''Умовні задачі оптимізації, або задачі з обмеженнями,'' — це такі, при формулюванні яких задаються деякі умови (обмеження) на безлічі.

= 2. Види параметрів оптимізації =
Залежно від об'єкта і мети дослідження параметри оптимізації є дуже різноманітними. Щоб орієнтуватися в цьому різноманітті, вводять деяку класифікацію .
Дана класифікація не є повна і детальна вона відображає умовну схему, яка включає ряд практично важливих випадків. ''Основна мета даної класифікації'' - це допомога експериментаторові орієнтуватися в реальних ситуаціях. Реальні ситуації переважно складні. Вони часто вимагають одночасного обліку декількох, іноді дуже багатьох, параметрів. У принципі кожний об'єкт може характеризуватися відразу всією сукупністю параметрів, наведених на рисунку 1, або будь-якою підмножиною із цієї сукупності. Рух до оптимуму можливо, якщо обрано один-єдиний параметр оптимізації. Тоді інші характеристики процесу вже не виступають як параметри оптимізації, а служать обмеженнями.

[[Файл:Sxema.gif|border|center|Класифікація параметрів оптимізації]]
== 2.1 Економічні параметри==
Економічні параметри оптимізації, такі, як прибуток, собівартість і рентабельність, звичайно використаються при дослідженні діючих промислових об'єктів, тоді як витрати на експеримент має сенс оцінювати в будь-яких дослідженнях, у тому числі і лабораторних. Якщо ціна досвідів однакова, витрати на експеримент пропорційні числу досвідів, які необхідно поставити для рішення даного завдання. Це значною мірою визначає вибір плану експерименту.
== 2.2 Техніко –екопомічні параметри ==
Серед техніко-економічних параметрів найбільше поширення має продуктивність. Такі параметри, як довговічність, надійність і стабільність, пов'язані із тривалими спостереженнями. Є деякий досвід їхнього використання при вивченні дорогих відповідальних об'єктів, наприклад радіоелектронних апаратур.

== 2.3 Техніко – технологічні параметри ==
Майже у всіх дослідженнях доводиться враховувати кількість і якість одержуваного продукту. Як міру кількості продукту використають вихід, наприклад, відсоток виходу хімічної реакції, вихід придатних виробів.
Показники якості надзвичайно різноманітні. У представленій класифікації вони згруповані по видах властивостей. Характеристики кількості і якості продукту утворять групу техніко-технологічних параметрів.

== 2.4 Інші параметри ==

Під рубрикою "інші" згруповані різні параметри, які рідше зустрічаються, але не є менш важливими. Сюди потрапили статистичні параметри, використовувані для поліпшення характеристик випадкових величин або випадкових функцій. Прикладам таких параметрів будуть завдання на мінімізацію дисперсії випадкової величини, на зменшення числа викидів випадкового процесу за фіксований рівень і т.д. Останнє завдання виникає, зокрема , при виборі оптимальних настроювань автоматичних регуляторів або при поліпшенні властивостей ниток (дріт, пряжа, штучне волокно й ін.).

З ростом складності об'єкта зростає роль психологічних аспектів взаємодії людини або тварини з об'єктом. Наприклад при виборі оптимальної організації робочого місця оператора параметром оптимізації може служити число помилкових дій у різних можливих ситуаціях.

При рішенні завдання технічної естетики або порівнянні творів мистецтва виникає потреба в естетичних параметрах. Вони засновані на ранговому підході.

= 3. Приклад вибору параметра оптимізації =
'''''Приклад 1.''''' Під час другої світової війни кілька сотень англійських торговельних суден були озброєні зенітними знаряддями для захисту від ворожих бомбардувальників. Оскільки цей захід було досить дорогим (було потрібно мати на кожному судні бойову команду), через кілька місяців вирішили оцінити його ефективність. ''Який з параметрів оптимізації більше підходить для цієї мети?''

''Число збитих літаків.'' Втрати в суднах, оснащених знаряддями, у порівнянні із суднами без знарядь.
Якщо вважати, що ефективність установлення знарядь на торговельні судна можна оцінити числом збитих літаків, то буде очевидно, що значення параметра оптимізації в цьому випадку будуть низькими, тому що існують куди більше ефективні засоби для цієї мети (авіація, бойовий флот), чим зенітні знаряддя на торговельних .

Якщо вважати, що ефективність установки знарядь на торговельні судна можна оцінити'' зіставленням втрат у судах, оснащених знаряддями, із втратами в судах без знарядь,'' то це розумний вибір параметра оптимізації, тому що основним завданням при установці знарядь був захист суден. Літаки змушені були тепер використати протизенітні маневри і бомбардування з великої висоти, що зменшувало втрати.

Із числа атакованих літаками торговельних суден із зенітними знаряддями було потоплено 10% суден, а втрати в суднах без знарядь склали 25%. Витрати на установку знарядь і зміст бойових розрахунків окупилися дуже швидко.

= 4. Вимоги до параметрів оптимізації. =
'''Параметр оптимізації''' - це ознака, по якій оптимізують процес. Він '''''повинен бути кількісним, задаватися числом,''''' його необхідно вимірювати при будь-якій можливій комбінації обраних рівнів факторів. Безліч значень, які може приймати параметр оптимізації називають областю його визначення. Області визначення можуть бути неперервними і дискретними, обмеженими і необмеженими.

Наприклад, вихід реакції - це параметр оптимізації з безперервною обмеженою областю визначення. Він може змінюватися в інтервалі від 0 до 100%. Число бракованих виробів, число зерен на шліфі сплаву, число кров'яних тілець у пробі крові - от приклади параметрів з дискретною областю визначення, обмеженої знизу.

Якщо немає способу кількісного виміру результату, то доводиться скористатися прийомом, який називається '''ранжируванням''' (ранговим підходом). При цьому параметрам оптимізації привласнюються оцінки - ранги по заздалегідь обраній шкалі: двобальної, п'ятибальної і т.д. Ранговий параметр має дискретну обмежену область визначення. У найпростішому випадку область містить два значення (так, ні; добре, погано).
Ранг - це кількісна оцінка параметра оптимізації, але вона носить умовний (суб'єктивний) характер.
Для кожного фізично вимірюваного параметра оптимізації можна побудувати ранговий аналог. Потреба в побудові такого аналога виникає, якщо наявні в розпорядженні дослідника чисельні характеристики неточні або невідомий спосіб побудови задовільних чисельних оцінок. За інших рівних умов завжди потрібно віддавати перевагу фізичному виміру, тому що ранговий підхід менш чутливий і з його допомогою важко вивчати тонкі ефекти.

Наступна вимога: '''''параметр оптимізації повинен виражатися одним числом'''''. Іноді це виходить природно, як реєстрація показання приладу. Наприклад, швидкість руху машини визначається числом на спідометрі. Частіше доводиться робити деякі обчислення. Так буває при розрахунку виходу реакції. У хімії часто потрібно одержувати продукт із заданим відношенням компонентів, наприклад, А : В = 3 : 2. Один з можливих варіантів рішення подібних завдань полягає в тому, щоб виразити відношення одним числом 1,5) і як параметр оптимізації користуватися значеннями відхилень (або квадратів відхилень) від цього числа.

Ще одна вимога, пов'язане з кількісною природою параметра оптимізації, - '''''однозначність у статистичному змісті'''''. Заданому набору значень факторів повинне відповідати одне, з точністю до помилки експерименту, значення параметра оптимізації.

Для успішного досягнення мети дослідження необхідно, щоб параметр оптимізації дійсно '''''оцінював ефективність функціонування системи в заздалегідь обраному змісті'''''. Ця вимога є головна, визначальна коректність постановки завдання.

Подання про ефективність не залишається постійним у ході дослідження. Воно міняється в міру нагромадження інформації і залежно від досягнутих результатів. Це приводить до послідовного підходу при виборі параметра оптимізації. Так, наприклад, на перших стадіях дослідження технологічних процесів як параметр оптимізації часто використається вихід продукту. Однак надалі , коли - можливість підвищення виходу вичерпана, нас починають цікавити такі параметри, як собівартість, чистота продукту і т.д..

Говорячи про оцінку ефективності функціонування системи, важливо пам'ятати, що мається на увазі систему в цілому. Часто система складається з ряду підсистем, кожна з яких може оцінюватися своїм локальним параметром оптимізації. При цьому оптимальність кожної з підсистем по своєму параметрі оптимізації не виключає можливості загибелі системи в цілому.

Параметр оптимізації не тільки повинен бути ефективним потрібно, щоб він був '''''ефективний у статистичному змісті'''''. Тобто ця вимога зводиться до вибору параметра оптимізації, що визначається з найбільшою можливою точністю.

Наступна вимога до параметра оптимізації - '''''вимога універсальності або повноти'''''. Під універсальністю параметра оптимізації розуміється його здатність всебічно характеризувати об'єкт. Технологічні параметри оптимізації недостатньо універсальні вони не враховують економіку. Універсальністю володіють узагальнені параметри оптимізації, які є функцією від декількох приватних параметрів.

=Список використаних джерел=

#http://window.edu.ru/window_catalog/files/r18438/Mtdukm8.pdf - Основи планування експаременту (Січень 2010);
#Аністратенко В. О., Федоров В. Г. Математичне планування експерементів в АПК. Київ: Вища школа, 1993.- 375 с.
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);

{{Завдання:Виступ|yulik|21 лютий 2010|Види параметрів оптимізації. Вимоги до факторів і параметрів оптимізації..}}

[[Категорія:ПЕ-2010]]
[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експеримента]]
[[Категорія:Види параметрів оптимізації. Вимоги до факторів і параметрів оптимізації.]]
[[Категорія:Багатозначні терміни]]
[[Файл:Example.jpg]]

Особливості планування експериментів

2012-03-20T07:57:12Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Михайло | Surname=Залецький| FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
[[Файл:DSCF6865.jpg‎|230px|border|right|Виступ]]
{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

'''Повний факторний експеримент''' - це [[Експеримент|експеримент]], в якому реалізуються всі можливі поєднання рівнів [[Поршневий компресор|факторів]].

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/379 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

=Особливості планування експериментів=

Опишемо послідовність Дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.
#Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.
#Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 % факторів визначають 80 % властивостей системи.
#Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного фактора два - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти. Для врахування квадратичних ефектів необхідно використовувати три рівні, для кубічних ефектів - чотири і т. д Аналіз значно спрощується, якщо брати тільки рівновіддалені одне від одного значення рівнів. У цьому випадку маємо так зване ортогональне планування, або ортогональний експеримент.
Для множинних експериментів з чистом факторів більше одного дисперсійний аналіз передбачає використання для заключного аналізу ортогонального експерименту. Це означає, що оцінки відгуків у межах аналізу мають бути некорельованими. На практиці ортогональність гарантує використання тих самих випадкових послідовностей чисел під час виконання експериментів у межах кожної комбінації рівнів обробки.

=Повний факторний експеримент=

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьох рівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3x2 Запишемо в
<center>
 
Таблиця 1. Матриця двофакторного експерименту
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="71" rowspan="2" valign="top">Фактор А </td>
<td colspan="2" valign="top">Фактор В </td>
</tr>
<tr>
<td width="67" valign="top">Рівень 1</td>
<td width="91" valign="top"> Рівень 2</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 1</td>
<td width="67" valign="top">y111 
y112</td>
<td width="91" valign="top">y121 
y122</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 2</td>
<td width="67" valign="top"> Y211 
y212</td>
<td width="91" valign="top"> y221 
y222 </td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 3</td>
<td width="67" valign="top"> y311 
y312 </td>
<td width="91" valign="top">y321 
y322 </td>
</tr>
</table>
</center>
У загальному випадку: значення фактора yijg, де g - номер спостереження, і та j - номери рівнів факторів А та В відповідно. Нехай математичне сподівання вихідної змінної М(уijg) – nij Тоді очікувану функцію відгуку можна записати у такому вигляді:
<center>
<math>{{y}_{ijg}}={{\eta }_{ij}}+{{e}_{ijg}},i=\overline{1,I};j=\overline{1,J};g=1,2,3,...,</math>            (1)
</center>
де eijg, - похибка досліду (або шум), яка вважається незалежною нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням нуль і дисперсією σ2, або
<center>
<math>{{e}_{ijg}}=HHP(0,{{\sigma }^{2}}).</math>            (2)
</center>
Покажемо, що моделі для планування експериментів є окремими випадками моделей лінійної регресії [21]. Знайдою середнє за всіма дослідами:
<center>
<math>\mu =\frac{\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{}}\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{IJ}=\eta,</math>            (3)
</center>
де крапка означає усереднення по всіх значеннях відповідного індексу.
Якщо знайти середнє значення відгуку для фактора А на рівні і з усіма рівнями фактора В, то
<center>
<math>{{A}_{i}}=\frac{\sum\limits_{j\in J}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{J}={{\eta }_{i\bullet }}.</math>            (4)
</center>
Тоді αAi, - головний ефект фактора А на рівні і визначається як різниця між його середнім і загальним середнім:
<center>
<math>\alpha _{i}^{A}={{A}_{i}}-\mu ={{\eta }_{j}}-\eta .</math>             (5)
</center>
З виразів (3)-(5) видно, що середнє головного ефекту дорівнює нулю, тому що
<center>
<math>\sum\limits_{i=1}^{I}{\alpha _{i}^{A}=\frac{1}{J}\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j}{{{\eta }_{ij}}-\sum\limits_{i}{\mu =I\mu -I\mu =0}}}}.</math>             (6)
</center>
Головний ефект фактора В на рівні j визначаємо як
<center>
<math>\alpha _{j}^{B}={{B}_{j}}-\mu =\frac{1}{I}\sum\limits_{i}{{{\eta }_{ij}}-\mu =\eta -\eta.}</math>             (7)
</center>
Аналогічно
<center>
<math>\sum\limits_{j=1}^{J}{\alpha _{j}^{\beta }=0.}</math>             (8)
</center>
Якщо припустити, що фактори не взаємодіють між собою, то одержимо таку модель для планування проведення експерименту:
<center>
<math>M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}.</math>             (9)
</center>
З виразу (9) маємо
<center>
<math>{{\eta }_{i1}}-{{\eta }_{i2}}=\alpha _{1}^{B}-\alpha _{2}^{B}.</math>             (10)
</center>
Вираз (10) є вірним для всіх рівнів і фактора А.
Відобразивши графічно, як фактор А впливає на рівень і фактора В, одержимо паралельні криві відгуку (рис. 1). Якщо є взаємодія між факторами А \ В, то зміна фактора А викликає різноманітні зміни відгуку на різних рівнях фактора В. Таку взаємодію між рівнями і та j факторів А, В відповідно визначаємо як
<center>
<math>\alpha _{ij}^{AB}={{\eta }_{ij}}-{{A}_{i}}-{{B}_{j}}+\mu ={{\eta }_{ij}}-{{\eta }_{i}}-{{\eta }_{j}}+\eta .</math>             (11)
</center>
[[Файл:Gvf.png‎|378x159px|border|center|Графік впливів факторів]]

<center>Рис.1 - Графік впливів факторів</center>

Аналогічно, як було у виразах (6) і (8), маємо:
<center>
<math>\alpha _{j}^{AB}=\alpha _{i}^{AB}.</math>            
</center>
Тоді загальна модель з урахуванням взаємодії двох факторів буде такою:
<center>
<math>M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}+\alpha _{ij}^{AB}.</math>             (12)
</center>
Верхні індекси позначають фактори, що взаємодіють між собою, а нижні - рівні, для яких визначається ефект.
Покажемо, що модель факторного експерименту с окремим випадком рівняння регресії. Для простоти будемо вважати, що немає взаємодії між факторами і повторень дослідів. Використовуючи вирази (1) і (9), отримаємо систему рівнянь
<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+{{e}_{12}}; \\
& ... \\
& {{y}_{32}}=\mu +\alpha _{3}^{A}+\alpha _{3}^{B}+{{e}_{32}}; \\
\end{align}</math>             (13)
</center>
яку в матричному вигляді можна записати так:
<center>
<math>{Y}=X{\beta }+{e},</math>             (14)
</center>
де
<center>
<math>{{{Y}}^{T}}=[{{y}_{11}},{{y}_{12}},...,{{y}_{32}}],</math>             (15)
</center>
X- матриця причинних або незалежних (фіктивних) факторів:

<center>
<math>X=\left[ \begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right],</math>             (16)
</center>
де перший стовпчик - це значення µ, другий, третій і четвертий – αAi п'ятий і шостий - αβi, і = 1, 2, 3; j = 1, 2; - вектор ефектів або параметрів. Транспонований вектор
<center>
<math>{{{\beta }}^{T}}=[\mu ,\alpha _{1}^{A},\alpha _{2}^{A},\alpha _{3}^{A},\alpha _{1}^{B},\alpha _{2}^{B}].</math>             (17)
</center>
Вектор помилок:
<center>
<math>{{{e}}^{T}}=[{{e}_{11}},{{e}_{12}},...,{{e}_{32}}].</math>             (18)
</center>
На основі виразів (6) і (8) отримаємо двосторонні умови:
<center>
<math>\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{A}+\alpha _{3}^{A}=0;</math>            (19)

<math>\alpha _{1}^{B}+\alpha _{2}^{B}=0.</math>             (20)
</center>
Обмеження (19) і (20) разом із так званими нормальними рівняннями вигляду
<center>
<math>{{X}^{T}}{Y}={{X}^{T}}X{\beta }</math>             (21)
</center>
дають лише одні оцінки МНК. З регресійного аналізу відомо, що у разі справедливості виразу (11) ці оцінки одночасно будуть і оцінками максимальної правдоподібності, а також лінійними незміщеними оцінками з мінімальними значеннями дисперсії.
Таким чином, моделі факторних планів - це окремий випадок загальної лінійної регресійної моделі Вектор параметрів β містить сумарне середнє, головні ефекти і взаємодії; матриця незалежних змінних X складається лише з двох значень – 0 і 1 (використовують також позначення +1 та-1. або просто символи «+» і «-»). Отже, планування експерименту означає, що X вибирається таким чином, щоб оцінки мали деякі бажані властивості.

=Дворівневий факторний план=

Повний факторний експеримент передбачає реалізацію всіх можливих комбінацій рівнів факторів. У найпростішому випадку значення факторів задають на двох рівнях. За наявності к факторів, загальна кількість комбінацій буде 2k.
Розглянемо графічну інтерпретацію факторного експерименту (рис.2). Вважатимемо, що нижньому рівню фактора відповідає значення -1. верхньому +1, а основному – 0. Виконати подібне перетворення можна так:
<center>
<math>{{\widetilde{x}}_{i}}=\frac{({{x}_{i}}-{{x}_{i0}})}{ x},i=\overline{1,k}.</math>            
</center>
[[Файл:P2.png‎|508x193px|border|center|Графічне зображення плану 22]]

<center>Рис.2 - Графічне зображення плану 22</center>

Розглянемо результати проведення експериментів, зведені в табл. 2.
<center>
Таблиця 2. План дворівневого факторного експерименту

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="71" rowspan="2" valign="top">Фактор А </td>
<td colspan="2" valign="top">Фактор В </td>
</tr>
<tr>
<td width="67" valign="top">Рівень 1</td>
<td width="91" valign="top"> Рівень 2</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 1</td>
<td width="67" valign="top">y111 
y112</td>
<td width="91" valign="top">y121 
y122</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 2</td>
<td width="67" valign="top"> Y211 
y212</td>
<td width="91" valign="top"> y221 
y222 </td>
</tr>
</table>
</center>
На основі даних табл. 2 можна записати таку систему рівнянь:
<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{12}^{AB}+{{e}_{12}}; \\
& {{y}_{21}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{21}^{AB}+{{e}_{21}}; \\
& {{y}_{22}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{22}^{AB}+{{e}_{22}}; \\
\end{align}</math>             (22)
</center>
Оцінки параметрів моделі (22) за МНК можна знайти з урахуванням додаткових умов, які випливають із виразів (6), (8) і (11). Тоді отримаємо:
<center>
<math>\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};</math>             (23)

<math>\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};</math>             (24)

<math>\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>             (25)

<math>\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>            (26)

<math>\alpha _{22}^{AB}=-\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>             (27)
</center>
Підставивши вирази (23)-(27) у вираз (22), отримаємо систему рівнянь:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{12}}; \\
& {{y}_{21}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{21}}; \\
& {{y}_{22}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{22}}; \\
\end{align}</math>             (28)
</center>
Запишемо систему рівнянь (28) у матричному вигляді
<center>
<math>{Y}=X{\beta }+{e,}</math>             (29)

<math>{{{Y}}^{T}}=({{y}_{11}},{{y}_{12}},{{y}_{21}},{{y}_{22}}),</math>             (30)

<math>X=\left[ \begin{matrix}
+1 & -1 & -1 & +1 \\
+1 & -1 & +1 & -1 \\
+1 & +1 & -1 & -1 \\
+1 & +1 & +1 & +1 \\
\end{matrix} \right],</math>             (31)

<math>{{{\beta }}^{T}}=(\mu ,\alpha _{2}^{A},\alpha _{2}^{B},\alpha _{11}^{AB}),</math>             (32)

<math>{{{e}}^{T}}=({{e}_{11}},{{e}_{12}},{{e}_{21}},{{e}_{22}}).</math>             (33)
</center>
Зауважимо, що стовпчики матриці X - ортогональні, тобто
<center>
<math>{x}_{i}^{T}{{{x}}_{j}}=0,(i\ne j),</math>            
(34)</center>

де і ) - будь-які два стовпчики матриці X. Очевидно, що X - невироджена матриця. Отже, оцінки МНК вектора такі: (35)
З виразу (34) і за умови, що

<center>
<math>{x}_{i}^{T}{{{x}}_{j}}=0,(i\ne j),</math>             (36)
</center>
де N - число дослідів (у нашому випадку N = 4), отримаємо

<center>
<math>({{X}^{T}}X)=NI,</math>             (37)
</center>
де І - одинична матриця.
Тоді деякий h-й елемент ХT визначається як
<center>
<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}},(h=\overline{1,H})},</math>             (38)
</center>
де Xgh – g-й елемент вектора ; Н - загальне число параметрів (у даному випадку чотири). Підставимо вирази (37) і (38) у вираз (35). Тоді
<center>
<math>{{b}_{n}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}}.}</math>             (39)
</center>
Звідси
<center>
<math>{{b}_{1}}=\widehat{\mu }=\frac{1}{4}({{y}_{11}}+{{y}_{12}}+{{y}_{21}}+{{y}_{22}})=y</math>             (41)
</center>
Порівняємо вираз (41) з визначенням головного ефекту :
<center>
<math>\alpha _{2}^{A}=\eta -\eta.</math>             (42)
</center>
Як бачимо, оцінка головного ефекту співпадає зі значенням самого ефекту. Таким самим способом можна показати, що оцінки за МНК головного ефекту і ефекту взаємодії утворюються просто за аналогією з їхніми визначеннями (7) і (11).
Зверніть увагу, в матриці X перший стовпчик стосується тільки сумарного середнього ц і містить лише одиниці зі знаком плюс. Другий та третій стовпчики відповідають головним ефектам і факторів А і В відповідно. Елемент g (g= ) цих стовпчиків приймає значення – 1, якщо фактор знаходиться на
нижньому рівні, та +1 на верхньому рівні. Для якісних факторів нижній і верхній рівні є лише мнемонічними символами.
Четвертий стовпчик матриці X показує результат взаємодії двох факторів . Елементи цього стовпчика - добуток елементів другого і третього стовпчиків Тоді регресій ну модель можна записати як
<center>
<math>{{y}_{g}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{2}{{{d}_{gs}}{{\beta }_{s}}+({{d}_{g1}}{{d}_{g2}}){{\beta }_{12}}+{{e}_{g}},g=\overline{1,N}},</math>             (43)
</center>
де dgs, – -1. якщо фактор S в g-му досліді приймає значення нижнього рівня і dg, – +1 – у протилежному випадку. β0- загальне середнє µ; βs – головний ефект S-го фактора (наприклад, ); β12 ефект взаємодії двох факторів ()
Рівняння (43) - це повний поліном другого степеня без квадратичних членів (немає членів ).

=Факторний план 2k=

Розглянемо факторний план для випадку, коли k = 3 (табл 3).
<center>
Таблиця 3. Матрица повного факторного експерименту 2k

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="78" valign="top">Комбінації </td>
<td width="226" colspan="3" valign="top">Фактори </td>
<td width="76" rowspan="2" valign="top"> 
Відгук </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">факторів </td>
<td width="68" valign="top">А </td>
<td width="72" valign="top">В </td>
<td width="80" valign="top">С</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">1</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">1</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">2</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">-1 </td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">a</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">3</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">4</td>
<td width="68" valign="top">+ 1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">ab </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">5</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">6</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1 </td>
<td width="76" valign="top">ас</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">7</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">+ 1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">bc </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">8</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">abc </td>
</tr>
</table>
</center>

Для k факторів стовпчик S-го фактора (s = ) містить спочатку 2r-1 значень -1, потім 2s-1 значень +1, 2s-1 значень -1 і т. д.
Відгук системи визначається згідно з наступним правилом: якщо в досліді фактор А приймає значення верхнього рівня, то у відгуку символ а присутній, якщо нижнього рівня - відсутній Аналогічно обчислюється відгук для всіх інших факторів. Значення +1 у таблиці показує, що в даному досліді фактор приймає значення верхнього рівня, а - 1 - нижнього. Загальне число дослідів N = 2k.
З матриці плану очевидно, що в одній половині дослідів фактор А приймає значення верхнього рівня, а в іншій - нижнього. Оцінка головного ефекту фактора А обчислюється за формулою

<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{\sum\limits_{i}{{{y}_{i}}}}{{N}{2}}-\frac{\sum\limits_{j}{{{y}_{j}}}}{{N}{2}}.</math>             (44)
</center>
У цьому виразі індекс і відповідає відгукам для тих комбінацій факторів, при яких фактор А приймає значення на верхньому рівні, а; - відповідно на нижньому. Тому вираз (44) еквівалентний виразу
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{2}{N}\left\{ \sum\limits_{i}{(+1){{y}_{i}}+\sum\limits_{j}{(-1){{y}_{j}}}} \right\}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g1}}{{y}_{g}},}</math>            
</center>

де xg1 - g-й елемент стовпчика 1-го фактора У загальному випадку оцінка головного ефекту фактора s має такий вигляд:
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{s}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gs}}{{y}_{g}}},(s=\overline{1,k}).</math>             (45)
</center>
Можна показати, що аналогічно виразам (22) – (42) оцінка у виразі (45) – це оцінка за методом найменших квадратів головного ефекту фактора s. Можна довести, що оцінки за методом найменших квадратів для ефекту взаємодії факторів j, m, r визначаються як
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{j,m,...,r}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{({{x}_{gj}}{{x}_{gm}}...{{x}_{gr}}){{y}_{g}}.}</math>             (46)
</center>
Оцінки загального середнього за методам найменших квадратів обчислюються за формулою

<center>
<math>\widehat{\mu }=\overline{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g0}}{{y}_{g}},}</math>             (47)
</center>
де
<center>
<math>{{x}_{g0}}=1,g=\overline{1,N}.</math>            

Факторний експеримент 2k містить 2k комбінацій факторів або точок експерименту в k-вимірному просторі з координатами ±1,як зображено на рис. 1.

[[Файл:G23.png‎|321x243px|border|center|Графічне зображення плану 23]]

<center>Рис.3 - Графічне зображення плану 23</center>

Якщо позначити число дослідів через N, то можна визначити матрицю плану.

<center>
<math>D=\{{{d}_{ij}}\},(i=\overline{1,N};j=\overline{1,k}),</math>            
</center>

де dij= -1, якщо j-й фактор приймає значення на нижньому рівні в і-й комбінації.
Після додавання стовпчика з одних одиниць і всіх стовпчиків добутків шуканих факторів одержимо з матриці D матрицю незалежних змінних X.
Наведемо матриці D і X (табл. 4) для випадку, коли к = 3, в яких опущено одиниці.
<center>
Таблиця 4. Матриці плану і незалежних змінних

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td colspan="4" valign="top">Матриця плану D</td>
<td colspan="15" valign="top">Матриця незалежних змінних X </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">1 </td>
<td width="47" valign="top"> 2 </td>
<td width="46" valign="top">3 </td>
<td width="13" valign="top">I </td>
<td width="19" valign="top">1</td>
<td width="28" valign="top">2 </td>
<td width="19" valign="top">3 </td>
<td width="25" valign="top">12 </td>
<td width="29" valign="top">13 </td>
<td width="25" valign="top">23 </td>
<td width="41" valign="top">123 </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+ </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">-</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top"> – </td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+ </td>
<td width="47" valign="top">+ </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top"> – </td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
</table>
</center>
Загальне середнє, головні ефекти та всі ефекти взаємодії можна оцінити, якщо помножити відповідний стовпчик матриці X на стовпчик спостереження У. Рівняння регресії з k факторами на двох рівнях тоді записується так:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{J}{{{x}_{ij}}{{\gamma }_{j}}+{{e}_{i}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{k}{{{d}_{is}}{{\beta }_{s}}+\sum\limits_{s=1}^{k-1}{\sum\limits_{z=s+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}){{\beta }_{sz}}+}}}} \\
& +\sum\limits_{s=1}^{k-2}{\sum\limits_{z=s+1}^{k-1}{\sum\limits_{\upsilon =z+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}{{d}_{i\upsilon }}){{\beta }_{sz\upsilon }}+...+}}}({{d}_{i1}}{{d}_{i2}}...{{d}_{ik}}){{\beta }_{123}}...k+{{e}_{i}}, \\
\end{align}</math>            
</center>
де xij і dij – елементи матриць X, D відповідно; J = 2к – число параметрів регресії уj. Ці параметри позначають загальне середнє β0. головний ефект βs ефекти двофакторної взаємодії β s2 .., ефекти взаємодії k факторів β12…k .

=Дробовий дворівневий факторний експеримент=

Планування експерименту звичайно застосовується для визначення важливих факторів, що істотно впливають на відгук (відсівний експеримент). Враховуючи те. що із зростанням числа факторів кількість комбінацій факторів швидко збільшується, необхідно виділити найбільш важливі фактори, тобто попередньо відсіяти незначущі фактори. Для цього використовуються плани порядку 2 k-р, коли ефекти взаємодії більш високого порядку приймаються рівними нулю (вважається, що поліном низького порядку дасть адекватне регресійне рівняння).
Кількість дослідів у повному факторному експерименті значно перевищує кількість обумовлених коефіцієнтів лінійної моделі головного експерименту, тобто повний факторний експеримент є надмірним. Якщо припустити, що деякі ефекти в цих планах є нульовими, то для побудови моделі знадобиться менше ніж 2к дослідів. Щоб зробити такий вибір, необхідно знайти, до яких наслідків призведе відкидання деяких дослідів Розглянемо приклад повного факторного експерименту 23 (табл.5).
<center>
Таблиця 5. Матриця повного факторного експерименту 23

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" width="30%">
<tr>
<td width="61" rowspan="2" valign="top">№ 
Досліду</td>
<td colspan="10" valign="top">Матриця незалежних зміних X </td>
</tr>
<tr>
<td width="30" valign="top">I </td>
<td width="22" valign="top">1 </td>
<td width="24" valign="top"> 2</td>
<td width="23" valign="top">3 </td>
<td width="36" valign="top">12 </td>
<td width="33" valign="top">13 </td>
<td width="24" valign="top">23 </td>
<td width="40" valign="top">123 </td>
<td width="54" valign="top">М(y) </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">1</td>
<td width="30" valign="top">+</td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">1 </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">2</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">а </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">3</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">4</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">аb </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">5</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">6</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">ас </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">7</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">bс </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">8</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">аbс </td>
</tr>
</table>
</center>
Припустимо, що проведено лише чотири досліди, для яких
<center>
x1x2х3 = +1.
</center>
Тоді викреслимо із плану 1-й, 4-й. 6-й, 7-й рядки (отримаємо табл. 6) і покажемо. як обчислити оцінки ефектів парної взаємодії із неповного факторного експерименту для чотирьох дослідів, що залишились. Наприклад, для стовпчика І отримаємо оцінку головного ефекту
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{2}{N}({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}}),</math>             (48)
</center>
де число дослідів N = 4.
<center>
Таблиця 6. Неповний факторний експеримент (x1 x2 х3 =+ 1 )

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" width="25%">
<tr>
<td width="19%" valign="top">№ </td>
<td colspan="8" valign="top">Матриця незалежних змінних X </td>
<td width="16%" rowspan="2" valign="top"> 
M(y) </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" height="30" valign="top">Досліду </td>
<td width="8%" valign="top">I </td>
<td width="6%" valign="top">1 </td>
<td width="6%" valign="top">2</td>
<td width="6%" valign="top">3 </td>
<td width="7%" valign="top">12 </td>
<td width="8%" valign="top">13 </td>
<td width="7%" valign="top">23 </td>
<td width="17%" valign="top">123 </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">2</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">–</td>

<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="8%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">а </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">3</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">5</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">– </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="8%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">8</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">abc </td>
</tr>
</table>
</center>

З формули (48) видно, що фактор знаходиться на верхньому рівні в дослідах 2 і 8. а на нижньому рівні - в дослідах 3 і 5. Звідси ефект фактора А:
<center>
<math>\frac{a+abc}{2}-\frac{b-c}{2}=\frac{1}{2}(a+b-c+abc).</math>            
</center>
Розглянемо тепер стовпчик , з якого одержуємо:
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{BC}}=\frac{2}{N}({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}}).</math>             (49)
</center>
Взаємодія між двома факторами, що мають два рівні, визначиться таким чином. Якщо фактор С приймає значення верхнього рівня, то ефект фактора В визначається як
<center>
<math>{{\eta }_{22}}={{\eta }_{12}},</math>             (50)
</center>
а якщо фактор С приймає значення нижнього рівня, то ефект фактора В відповідно буде
<center>
<math>{{\eta }_{21}}-{{\eta }_{11}}.</math>             (51)
</center>
Взаємодія між факторами В і С матиме місце тільки у випадку, якщо значення виразів (50) і (51) будуть різні. Тоді взаємодія визначатиметься як «середня» різниця між (50) і (51), а саме:
<center>
<math>{{\alpha }^{BC}}=\frac{1}{2}\left[ ({{\eta }_{22}}-{{\eta }_{12}})-({{\eta }_{21}}-{{\eta }_{11}}) \right],</math>            
</center>
тобто ефект взаємодії між факторами В і С – це середнє арифметичне різниці значень ефектів В і С на їх верхніх і нижніх рівнях відповідно.
Ефект взаємодії між факторами В і С, за умови що фактори В і С знаходяться на верхньому та нижньому рівнях відповідно, можна визначити як abc - с. Якщо фактор С приймає значення на нижньому рівні, ефект В можна оцінити як b а Половина різниці між цими ефектами становить
<center>
<math>\frac{1}{2}(abc-c)-(b-a)=\frac{1}{2}(abc-c-b+a).</math>             (52)
</center>
Порівняємо вирази (49) і (48). Маємо такі ж оцінки дія ал і вeC. Або іншим шляхом це можна показати. використовуючи останній стовпчик табл. 6:
<center>
<math>M({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}})=a-b-c+abc.</math>             (53)
</center>
Запишемо праву частину виразу (53) як
<center>
<math>\begin{align}
& a-b-c+abc=\frac{2}{N}(-1+a-b+ab-c+ac-bc+abc)+ \\
& +\frac{2}{N}(+1+a-b-ab-c-ac+bc+abc) \\
& \\
\end{align}</math>            
</center>
при N = А, або, враховуючи вирази (45) і (46), як
<center>
<math>a-b-c+abc={{\alpha }^{A}}+{{\alpha }^{BC}}.</math>             (54)
</center>
Об'єднавши вирази (53) і (54), отримуємо
<center>
<math>M({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}})={{\alpha }^{A}}+{{\alpha }^{BC}}.</math>            
</center>
Із дробового факторного експерименту в цьому прикладі випливає, що мають місце однакові значення для головного ефекту фактора А та ефекту взаємодії факторій В і С. Не так звані змішані ефекти або ефекти, що оцінюються спільно. Якщо ефект взаємодії дорівнює нулю, значення виразу (у2 – y3 – y5 +y8) буде незміщеною оцінкою αA головного ефекту фактора А.
Таким чином, для побудови плану 2k відкидаємо ті рядки з повного факторного експерименту, що мають значення +1 дія деякого ефекту. Це так звані напіврепліки, тобто тут використовується половина повного факторного експерименту. Аналогічно, для другої напіврепліки необхідно відкинути ті рядки, які мають значення -1 для деякого ефекту.
При великій кількості факторів k навіть напіврепліки (тобто плани 2k-1) можуть виявитись занадто громіздкими. У цих планах деякі ефекти взаємодії високого порядку можна прирівняти до нуля, та взяти меншу частину від повного факторного експерименту. Репліки, що становлять (1/2)p частину повного факторного плану з k факторами, називають планом типу 2k-p
Плани можна застосовувати послідовно, тобто спочатку одержати спостереження для одних комбінацій рівнів факторів, потім для інших і після аналізу цих спостережень вирішити, для якої комбінації (старої або нової) слід провести додаткові спостереження. Нові спостереження знову аналізуються (звичайно разом з попередніми) для ухвалення рішення про подальші спостереження і т. д У планах 2k-p можна спочатку провести частину експерименту, проаналізувати спостереження, і якщо цей аналіз покаже, то дана частина експерименту занадто мала для оцінки всіх можливих ефектів, експеримент розширюють таким чином, щоб він дав змогу оцінити вплив усіх факторів.

=Висновки=

#Для будь-якого експерименту з моделлю має існувати можливість його повторного проведення іншими дослідниками.
#Вихідні дані імітаційних експериментів потрібно структурувати та інтерпретувати таким чином, щоб їх можна було використовувати для прийняття рішень стосовно структури і параметрів системи або моделі.
#Планування експерименту це розробка такого плану проведення експерименту. який дає можливість за мінімальну кількість прогонів моделі і за мінімальних затрат ресурсів зробити статистично значущі висновки або знайти найкращі рішення щодо функціонування системи.
#Імітаційне моделювання провадиться, як правило, з метою визначення деяких екстремальних значень характеристик модельованої системи (оптимізуючий експеримент) або для виявлення важливих факторів, що впливають на модельовану систему (висівний експеримент)
#Оцінювання точності результатів моделювання пов'язане з побудовою довірчих інтервалів для вихідних змінних (відгуків) моделі.
#Застосування методів зниження дисперсії дає змогу при заданому обсязі вибірки збільшити точність оцінювання відгуку або при заданій точності скоротити обсяг вибірки.
#Під час моделювання рідких подій застосовують імітаційно-аналігичні моделі, основою яких є імітація повільних процесів та згортання швидких процесів завдяки укрупненням станів системи та усередненням її характеристик.

=Список використаних джерел=

#Моделювання систем - Томашевский В.М.:BHV, 2005. – 352с.
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
#Теория эксперимента: Курс лекций. - А, В. Блохин. - Мн.: БГУ, 2002. - 67 с.

{{Завдання:Виступ|Залецький Михайло|17 лютого 2010|Регресійні моделі при повному дворівневий дробовому факторному експерименті. Визначення коефіцієнтів регресії}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Оптимізаційні методи планування експериментів Крокова процедура метод Гаусса-Зейделя метод крутого сходження

2012-03-20T07:55:44Z

Northfear:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name=Володимир | Surname=Готович | FatherNAme= |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

===Оптимізаційні методи планування експериментів. Крокова процедура, метод Гаусса-Зейделя, метод крутого сходження===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/372 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Факторний простір та поверхня відклику ==
Розглянемо простий експеримент, який характеризується двома факторами та одним параметром. Якщо фактори є сумісними між собою, то на площині можна зобразити певну область, в межах якої знаходяться точки, які відповідають станам “чорного ящика” (досліджуваного експериментально об’єкта). Якщо провести ще одну координатну вісь, то отримаємо деяку область простору, в межах якої знаходяться точки, що відповідають значенню параметра оптимізації (рис. 1). Ця область в просторі називається поверхнею відклику а сам простір, в якому будується поверхня відклику, називається факторним простором. Розмірність факторного простору залежить від кількості факторів.
 
[[Файл:Powerxna.PNG|8030x200px|border|center|Поверхня відклику]]
<center>Рис.1 - Поверхня відклику</center>
 
У випадку двох факторів достатньо обмежитися площиною. Якщо спроектувати поверхню відклику на площину, на якій визначаються фактори оптимізації, то отримана проекція, наприклад, може виглядати так, як показано на рис. 2.
 
[[Файл:Proekcija.PNG|8030x200px|border|center|Проекція поверхні відклику на площину]]
<center>Рис.2 - Проекція поверхні відклику на площину</center>
 
Деяка точка М відповідає оптимуму функції відклику досліджуваного об’єкта. Саме цю точку і шукають при оптимізації планування експерименту. Кожна лінія відповідає постійному значенню параметра оптимізації і називається лінією рівного відклику.

== Задача оптимізації ==
Згідно із [1] розв'язання задач управління, проектування і планування тією чи іншою мірою пов'язане з оптимізацією, тобто знаходженням найкращих значень різних параметрів. Звичайно задається або вибирається деякий параметр оптимізації, який залежить від вектора керованих параметрів (факторів варіювання):
<center><math>\overline{x}=\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}} \right)</math></center>
Задача оптимізації зводиться до пошуку таких значень параметрів <math>x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{n}^{0}</math>, при яких цільова функція досягає екстремуму (максимуму або мінімуму). Для однозначності загальних міркувань вважатимемо оптимальним максимальне значення виходу:
<center><math>{{y}_{}}(x)={{y}_{max}}(x);</math></center>
<center>
<math>{{y}_{opt}}(\overline{{{x}^{0}}})={{y}_{\max }}(\overline{x})</math>
</center>
Залежність
<center><math>y(\overline{x})=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},...,{{x}_{n}})</math></center>
утворює деяку поверхню в <math>(n+1)</math> - вимірному просторі <math>{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},...,{{x}_{n}}</math>. Цю поверхню прийнято називати поверхнею відклику, а окремі її точки або значення <math>y</math> в точках <math>x</math> факторного простору – просто відкликом.
В тих випадках, коли залежність <math>y=(\overline{x})</math> задана або утворена в аналітичній формі, координати <math>(x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{n}^{0})</math> точки екстремуму <math>\overline{{{x}^{0}}}</math> функції <math>y=(\overline{x})</math> можна знайти, розв'язавши систему диференціальних рівнянь виду:
<center><math>\frac{\partial y(\overline{x})}{\partial {{x}_{i}}}=0;i=1,2,...,n.</math></center>
Розв'язком цієї системи є стаціонарна точка <math>\overline{x}</math>, в якій градієнт функції <math>y=(\overline{x})</math> перетворюється в нуль:
<center><math>grady(\overline{x})=0.</math></center>
Нагадаємо, що
<center><math>grady=\frac{\partial y}{\partial {{x}_{1}}}\overline{{{L}_{1}}}+\frac{\partial y}{\partial {{x}_{2}}}\overline{{{L}_{2}}}+...+\frac{\partial y}{\partial {{x}_{n}}}\overline{{{L}_{n}}},</math></center>
де <math>\overline{{{L}_{i}}}</math> – напрямний вектор координатної осі <math>{{x}_{i}}</math>.
У більшості практичних випадків аналітична залежність <math>y=(\overline{x})</math> невідома і єдине, що є у розпорядженні дослідника – це можливість спостерігати значення відклику при будь-якій комбінації варійованих факторів <math>({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},...,{{x}_{n}})</math>.
Задача оптимізації ускладнюється, якщо залежність <math>y=(\overline{x})</math>, яка описує властивості об'єкта дослідження, змінюється таким чином, що координати екстремальної стаціонарної точки зсуваються. Тоді говорять, що об'єкту притаманні дрейфуючі характеристики.
При розв'язанні задач оптимізації користуються двома способами:
 
1) визначають повну математичну модель і задачу розв'язують аналітичним або чисельним способом;
 
2) здійснюють експериментальний пошук стаціонарної точки <math>\overline{{{x}^{0}}}</math> у факторному просторі змінних <math>{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},...,{{x}_{n}}</math>.
 Другий спосіб набуває все більшого визнання, оскільки дає можливість оптимального поєднання експериментальної роботи і математичного опрацювання при максимальному виході інформації.

== Кроковий принцип пошуку оптимуму ==

За умови, коли ми свідомо відмовляємося при пошуку оптимуму від повного перебору всіх можливих значень функції відклику, доводиться накладати обмеження на математичну модель досліджуваного об’єкта ще до початку експерименту. Йдеться про те, що з метою спрощення задачі припускають про неперервний характер поверхні відклику та про наявність однієї єдиної точки відклику, хай навіть і на межі області визначення факторів експерименту.
 
Якщо, наприклад, ми знатимемо значення параметра оптимізації в декількох сусідніх точках факторного простору, то ми зможемо (на основі попередньо зробленого припущення про безперервність функції відклику) приблизно обчислити значення цього параметра, на які можна очікувати в інших, сусідніх точках. Отже, можна знайти такі точки, для яких очікується найбільше збільшення (або зменшення, якщо ми шукаємо мінімум) параметра оптимізації. Тоді вже очевидно, що наступний експеримент треба переносити саме в ці точки факторного простору. Тобто, слід просуватися в цьому напрямку, нехтуючи іншими (ось де економляться досліди). Провівши новий експеримент, знову можна оцінити напрям, в якому швидше за все слід рухатися.
 
Оскільки оптимум єдиний, ми таким чином рано чи пізно неодмінно його досягнемо. Іншими словами, ми вибираємо у факторному просторі якусь точку і розглядаємо безліч точок в її околі, тобто вибираємо в області визначення факторів невелику підобласть. Тут ми хочемо провести експеримент, на підставі якого повинна бути побудована перша модель. Цю модель ми маємо намір використовувати для прогнозу результатів дослідів в тих точках, які не входили в експеримент. Якщо ці точки лежать всередині нашої невеликої підобласті, то такий прогноз називається інтерполяцією, а якщо ззовні – екстраполяцією. Чим далі від області експерименту лежить точка, для якої ми хочемо передбачити результат, тим з меншою упевненістю це можна робити. Тому ми вимушені екстраполювати недалеко і використовувати результати екстраполяції для вибору умов проведення наступного експерименту. Далі цикл повторюється. В цьому і полягає кроковий принцип оптимізації.
Також отриману модель можна використовувати для перевірки різних гіпотез про природу досліджуваного явища. Наприклад, можна перевірити апріорне припущення про те, що зростання значення певного фактора призводить до зростання значення параметра оптимізації. Така перевірка називається інтерпретацією моделі.
 
На рис. 3 найпростіший варіант крокового пошуку точки оптимуму. Хрестиками позначені окремо взяті точки (умови досліду).
 
[[Файл:Krok_pryncyp.PNG|1030x300px|border|center|Найпростіший приклад крокового пошуку точки оптимуму]]
<center>Рис.3 - Найпростіший приклад крокового пошуку точки оптимуму</center>
 
Як бачимо, вивчається невеликий окіл стартової точки і визначається найкращий напрямок руху, в якому надалі і будуть проводитися подальші експерименти.

== Метод Гаусса-Зейделя ==

Суть методу Гаусса-Зейделя полягає у послідовному просуванні до екстремуму, яке здійснюється шляхом почергового варіювання кожним із параметрів до досягнення часткового екстремуму вихідної величини. Інакше кажучи, робоча точка <math>x</math> пересувається поперемінно вздовж кожної із координатних осей <math>{{x}_{i}};i=1,2,...,n</math> факторного простору, причому перехід до нової <math>\left( i+1 \right)</math>-ї координати здійснюється після досягнення часткового екстремуму цільової функції <math>y=(\overline{x})</math> на попередньому напрямі, тобто в точці <math>{{x}_{i0}}</math>, де
<center><math>\frac{\partial y\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{i0}},...,{{x}_{n}} \right)}{\partial x}=0.</math></center>
Досягнувши часткового екстремуму по останній координаті <math>{{x}_{n}}</math>, переходять знову до варіювання першої і т. д.
Таким чином, характерною особливістю методу є необхідність тривалої стабілізації всіх факторів (параметрів процесу), крім одного, за яким відбувається рух.
Напрям руху уздовж <math>\left( i+1 \right)</math> -ї координатної осі обирається за результатами двох пробних експериментів, які полягають у вимірюванні відклику <math>y(\overline{{{x}_{i+1;1}}})</math> і <math>y(\overline{{{x}_{i+1;2}}})</math> в околі базової точки <math>{{x}_{i,0}}</math>, тобто точки часткового екстремуму за попередньою <math>i</math>-змінною.
Викладені загальні міркування ілюструються на прикладі двофакторної задачі (рис. 4). Тут цифрами 10, 20, 30 позначено лінії рівного рівня вихідного параметра <math>y</math> в деяких відносних одиницях.
 
[[Файл:Gauss-Zeidel.PNG|1030x300px|border|center|Застосування методу Гауса-Зейделя при пошуку точки оптимуму для двофакторної задачі]]
<center>Рис.4 - Застосування методу Гауса-Зейделя при пошуку точки оптимуму для двофакторної задачі</center>
 
При практичному використанні методу Гаусса-Зейделя для оптимізації двофакторного процесу, бажана така послідовність операцій:
 
1) визначається початкова точка <math>{{x}_{0}}</math> руху до оптимуму. В реальних умовах вона відповідає прийнятому технологічному режиму, висівному регламенту або раціону годівлі;
 
2) задається крок варіювання <math>\Delta {{x}_{i}}</math> по кожній незалежній змінній <math>{{x}_{i}}(i=1,2,...)</math>;
 
3) здійснюється пробний рух з центром у початковій точці для з’ясування напрямку руху в першому робочому циклі (вздовж осі <math>{{x}_{1}}</math>). З цією метою з базової точки <math>{{x}_{0}}</math> варіацією параметра <math>{{x}_{1}}</math> на <math>\Delta {{x}_{1}}</math> і <math>-\Delta {{x}_{1}}</math> виконуються два пробних кроки в точці (при <math>n=2</math>):
<center><math>\overline{{{x}_{1,1}}}=({{x}_{1}}-\Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}})</math> та <math>\overline{{{x}_{1,2}}}=({{x}_{1}}+\Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}).</math></center>
Проводиться однократне вимірювання відклику <math>y(\overline{{{x}_{1,g}}}),g=1,2,...</math>;
 
4) здійснюється порівняння значень відклику у пробних точках і його результати виражаються за допомогою функції
<center><math>sgn[ y(\overline{{{x}_{1,2}}})-(\overline{{{x}_{1,1}}}) ]</math></center>
 
5) здійснюється перший цикл робочого руху (з тим же кроком <math>\Delta {{x}_{1}}</math>) в напрямку зростання цього відклику. Нові координати точки дорівнюватимуть:
<center><math>\begin{align}
& \overline{{{x}_{1,3}}}=({{x}_{1}}+2\varphi \Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}); \\
& \overline{{{x}_{1,4}}}=({{x}_{1}}+3\varphi \Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}); \\
& \overline{{{x}_{1,l}}}=({{x}_{1}}+(l-1)\varphi \Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}); \\
& \overline{{{x}_{1,l+1}}}=({{x}_{1}}+\varphi l\Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}). \\
\end{align}</math></center>
 
6) проводиться вимірювання значень відклику після кожного робочого кроку
<center><math>y(\overline{{{x}_{1,3}}}),y(\overline{{{x}_{1,4}}}),...,y(\overline{{{x}_{1,l}}}),y(\overline{{{x}_{1,l+1}}});</math></center>
 
7) припиняється перший цикл крокового руху після досягнення у деякій точці <math>\overline{{{x}_{1,i}}}</math> часткового екстремуму цільової функції по відповідній змінній
<center><math>\frac{\partial y(\overline{{{x}_{i,l}}})}{\partial {{x}_{i}}}=0.</math></center>
Критерієм зупинки є виконання рівності <math>y({{x}_{i,l+1}})<y({{x}_{i,l}})</math>.
 
8) точка <math>\overline{{{x}_{i,l}}}</math> є вихідною для нових пробних експериментів у точках
<center><math>\begin{align}
& \overline{{{x}_{2,l+2}}}=({{x}_{1,l}},{{x}_{2}}-\Delta {{x}_{2}}); \\
& \overline{{{x}_{2,l+3}}}=({{x}_{1,l}},{{x}_{2}}+\Delta {{x}_{2}}). \\
\end{align}</math></center>
Якщо у пробному русі по <math>i</math>-й змінній обидва кроки були невдалими <math>y({{x}_{i,l\pm k}})<y({{x}_{i,l}})</math>, то переходять до варіювання наступним <math>(i+1)</math> параметром
 
9) в подальшому процедура є аналогічною до описаних вище. Після закінчення другого циклу переходять до третього (знову по осі <math>{{x}_{1}}</math>) і т.д.
 
Пошук припиняється в деякій точці <math>\overline{{{x}_{m}}}</math>, подальший будь-який рух від якої призводить до зменшення (якщо досягнуто мінімуму – до збільшення) значення вихідного параметра. З точністю до максимального кроку варіювання <math>{{(\Delta {{x}_{i}})}_{\max }}</math> це і буде точка екстремуму цільової функції.
 
До недоліків методу варто віднести те, що процедура пошуку оптимуму є досить тривалою, особливо у випадку, коли є багато факторів (змінних в моделі досліджуваного процесу). Також можливі деякі труднощі при пошуку оптимуму, зумовлені особливостями цільової функції. Тому досить часто обмежуються почерговим однократним варіюванням по кожній із змінних. Метод широко використовується у прикладних дослідженнях. Наприклад, при розв’язуванні систем рівнянь типу:
<center>
<math>\left\{ \begin{align}
& {{a}_{11}}{{x}_{1}}+...+{{a}_{1n}}{{x}_{1}}={{b}_{1}}; \\
& ... \\
& {{a}_{n1}}{{x}_{1}}+...+{{a}_{nn}}{{x}_{n}}={{b}_{n}}. \\
\end{align} \right.</math>
</center>
Або ж для знаходження оптимуму таких функцій, як:
<center><math>f({x}_{1},{x}_{2})=10{x}_{1}^{2}+2{( {x}_{2}-5 )}^{2},</math></center>
<center>
<math>f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=3+2{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+5{x}_{3}</math>
</center>

== Метод крутого сходження (Бокса-Уілсона) ==

Метод крутого сходження, або метод Бокса-Уілсона, поєднує істотні елементи методу Гауса-Зейделя і градієнтного методу з методами повнофакторного і дробового факторного експерименту. Так, при використанні алгоритму крутого сходження кроковий рух з точки <math>\overline{{{x}_{k}}}</math> здійснюється в напрямі найшвидшого зростання рівня виходу, тобто по <math>grad(\overline{{{x}_{k}}})</math>. Тобто, у факторному просторі знаходиться напрямок, в якому найшвидше зростає (спадає у випадку пошуку мінімуму) вихідний параметр досліджуваного об’єкта. Проте, на відміну від градієнтного методу, коректування напряму здійснюється не після кожного наступного кроку, а після досягнення в деякій точці <math>\overline{{{x}_{m}}}</math> на даному напрямку часткового екстремуму цільової функції (рис. 5), аналогічно методу Гаусса-Зейделя.
 
[[Файл:Box-Uilson.PNG|1030x300px|border|center|Застосування методу крутого сходження при пошуку точки оптимуму для двофакторної задачі]]
<center>Рис.5 - Застосування методу крутого сходження при пошуку точки оптимуму для двофакторної задачі</center>
 
Визначити наперед найкращий розмір робочого кроку пересування у факторному просторі дуже складно, адже він визначається кривизною поверхні відклику і точність визначення функції відклику.
Важливою особливістю методу Бокса-Уілсона є також регулярне проведення статистичного аналізу проміжних результатів на шляху до оптимуму.
 
Будується лінійна модель досліджуваного об’єкта:
<center><math>y={{b}_{0}}+{{b}_{1}}{{x}_{1}}+...+{{b}_{n}}{{x}_{n}}.</math></center>
Оскільки координатами вектора <math>grady(\overline{x})=\left( \frac{\partial y}{\partial {{x}_{1}}},\frac{\partial y}{\partial {{x}_{2}}},...,\frac{\partial y}{\partial {{x}_{n}}} \right)</math> є коефіцієнти при лінійних членах розкладу функції <math>y(\overline{x})</math> в ряд Тейлора по ступенях <math>{{x}_{i}}(i=1,2,...,n)</math>, то відповідні компоненти вектора градієнта можуть бути утворені як коефіцієнти <math>{{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}}</math> лінійної апроксимації поверхні відклику поблизу вихідної точки <math>\overline{x}</math>:
<center><math>y= {{b}_{0}}+{{b}_{1}}{{x}_{1}}+{{b}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{b}_{n}}{{x}_{n}}.</math></center>
Найпростішим способом знаходження оцінок кожного із коефіцієнтів <math>{{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}}</math> є їх знаходження за результатами пробних рухів з точки <math>\overline{{{x}_{k}}}</math>. Для цього по кожній координаті роблять два пробних кроки, довжиною <math>\rho </math>, в точки <math>{{x}_{i}}-\rho </math> та <math>{{x}_{i}}+\rho </math>. Решту координат фіксують незмінними, що відповідає точці <math>\overline{{{x}_{k}}}</math>. За результатами вимірювань функції відклику <math>{{y}_{1}}=y({{x}_{k1}},{{x}_{k2}},...,{{x}_{k1}}+\rho ,...,{{x}_{kn}})</math> та <math>{{y}_{2}}=y({{x}_{k1}},{{x}_{k2}},...,{{x}_{k1}}-\rho ,...,{{x}_{kn}})</math> в утворених точках знаходять відповідні коефіцієнти
<center><math>{{b}_{i}}=\frac{\Delta y}{\Delta {{x}_{i}}}=\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{\Delta {{x}_{i}}}.</math></center>
Порядок виконання операцій при пошуку екстремуму за методом крутого сходження такий (рис. 5):
 
1) проводиться повний або дробовий факторний експеримент з центром у вихідній точці <math>\overline{{{x}_{0}}}</math> для визначення <math>grady(\overline{{{x}_{0}}})</math>.
Результати експерименту піддаються статистичному аналізу, який включає:
 
а) перевірку відтворюваності експерименту;
 
б) перевірку значущості оцінок коефіцієнтів <math>{{b}_{i}}</math> лінійної моделі об'єкта;
 
в) перевірку адекватності утвореної лінійної моделі
<center><math>y={{b}_{0}}+{{b}_{1}}{{x}_{1}}+...+{{b}_{n}}{{x}_{n}}</math></center>
досліджуваному об'єкту;
 
2) обчислюються добутки <math>{{b}_{i}}\Delta {{x}_{i}}</math>, де <math>\Delta {{x}_{i}}</math> – крок варіювання параметра <math>{{x}_{i}}</math> при проведенні повнофакторного експерименту, і фактор, для якого цей добуток максимальний, береться як базовий
<center><math>\max ({{b}_{i}}\Delta {{x}_{i}})={{b}_{6}}\Delta {{x}_{6}};</math></center>
 
3) для базового фактора вибирають крок варіювання при крутому сходженні <math>\rho </math>, залишаючи старий крок або впроваджуючи дрібніший;
 
4) визначаються розміри <math>{{\rho }_{i}}</math> за рештою змінних процесу <math>{{x}_{j}}(j\ne i)</math>. Оскільки під час руху по градієнту варійовані параметри повинні змінюватися пропорційно коефіцієнтам <math>{{b}_{j}}=\frac{\Delta y}{\Delta {{x}_{i}}}</math>, які є компонентами вектора <math>grady(x)</math>, то відповідні <math>{{\rho }_{j}}</math> знаходяться за формулою
<center><math>{{\rho }_{j}}=\frac{{{b}_{j}}\Delta {{x}_{j}}}{\left| {{b}_{6}}\Delta {{x}_{6}} \right|}\rho ,</math></center>
де <math>\rho </math> і <math>\Delta {{x}_{j}}</math> завжди додатні, а коефіцієнт <math>{{b}_{j}}</math> береться із своїм знаком;
 
5) проводяться уявні досліди, які полягають у завбаченні значень виходу <math>{{y}_{zawb .k}}(\overline{{{x}_{k}}})</math> у певних точках <math>\overline{{{x}_{k}}}</math> факторного простору (рис. 6). Для цього незалежні змінні лінійної моделі об'єкта змінюються з урахуванням <math>{{b}_{i}}=\frac{\Delta y}{\Delta {{x}_{i}}}</math> таким чином, щоб зображуюча точка <math>\overline{x}</math> виконувала кроковий рух у напрямку вектора <math>grad(\overline{{{x}_{1}}})</math>, утвореного в п. 1, займаючи послідовно положення <math>\overline{{{x}_{1}}},\overline{{{x}_{2}}},...,\overline{{{x}_{k}}},...,\overline{{{x}_{m}}};</math>.
 
6) уявні досліди продовжуються до тих пір, поки виконується нерівність
<center><math>{{y}_{zawb .k}}\le (1..2){{y}_{\max }},</math></center>
де <math>{{y}_{\max }}</math> - максимально можливий вихід, який визначається з фізичних міркувань;
 
7) деякі з уявних дослідів (звичайно через кожні 2 — 3 кроки) реалізуються на об'єкті для перевірки відповідності апроксимації об'єкта утвореним рівнянням (гіперплощиною). Спостережувані значення <math>{{y}_{spost}}</math> порівнюються із завбаченими <math>{{y}_{zawb}}</math> (рис. 5);
 
8) точка <math>\overline{{{x}_{m}}}</math>, де в реальному досліді утворено максимальне значення виходу, береться за нову початкову точку, і етап крутого сходження, описаний вище, повторюється;
 
9) оскільки кожен етап крутого сходження наближає зображуючу (робочу) точку до області екстремуму <math>y(\overline{x})</math>, де крутість поверхні відклику менша, то для кожного наступного етапу <math>\rho </math> береться рівним або меншим попереднього;
 
10) пошук припиняється, коли всі коефіцієнти <math>{{b}_{i}}(i=1,2,...,n)</math> лінійної моделі об'єкта виходять незначущими (коли модуль градієнта стає малою величиною <math>grady(x)=0</math>). Це свідчить про вихід в область екстремуму цільової функції.
 
Метод крутого сходження застосовується, зокрема, при побудові та дослідженні моделей процесів збагачення корисних копалин та ін. технологічних процесів, при гідродинамічних дослідженнях газліфтних нафтових свердловин.

=Перелік використаних джерел=

# Аністратенко В. О., Федоров В. Г. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. Посібник. – К.: Вища шк., 1993. – 375 с. іл..
# Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановский Планирование єксперимента при поиске оптимальних условий. Программированное введение в планирование эксперимента.:М. Наука 1971 г.
# http://uk.wikipedia.org/wiki/Метод_Гауса_—_Зейделя – Метод Гауса — Зейделя (січень 2010)
# http://uk.wikipedia.org/wiki/Метод_Бокса_—_Вілсона – Метод Бокса — Вілсона (січень 2010)

[[Категорія:Планування експерименту]]

Оптимізаційні методи планування експериментів Крокова процедура метод Гаусса-Зейделя метод крутого сходження

2012-03-20T07:55:00Z

Northfear:

{{Завдання|walter|Назаревич О.Б.|28 лютого 2010}}
{{Студент | Name=Володимир | Surname=Готович | FatherNAme= |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

===Оптимізаційні методи планування експериментів. Крокова процедура, метод Гаусса-Зейделя, метод крутого сходження===

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/372 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

== Факторний простір та поверхня відклику ==
Розглянемо простий експеримент, який характеризується двома факторами та одним параметром. Якщо фактори є сумісними між собою, то на площині можна зобразити певну область, в межах якої знаходяться точки, які відповідають станам “чорного ящика” (досліджуваного експериментально об’єкта). Якщо провести ще одну координатну вісь, то отримаємо деяку область простору, в межах якої знаходяться точки, що відповідають значенню параметра оптимізації (рис. 1). Ця область в просторі називається поверхнею відклику а сам простір, в якому будується поверхня відклику, називається факторним простором. Розмірність факторного простору залежить від кількості факторів.
 
[[Файл:Powerxna.PNG|8030x200px|border|center|Поверхня відклику]]
<center>Рис.1 - Поверхня відклику</center>
 
У випадку двох факторів достатньо обмежитися площиною. Якщо спроектувати поверхню відклику на площину, на якій визначаються фактори оптимізації, то отримана проекція, наприклад, може виглядати так, як показано на рис. 2.
 
[[Файл:Proekcija.PNG|8030x200px|border|center|Проекція поверхні відклику на площину]]
<center>Рис.2 - Проекція поверхні відклику на площину</center>
 
Деяка точка М відповідає оптимуму функції відклику досліджуваного об’єкта. Саме цю точку і шукають при оптимізації планування експерименту. Кожна лінія відповідає постійному значенню параметра оптимізації і називається лінією рівного відклику.

== Задача оптимізації ==
Згідно із [1] розв'язання задач управління, проектування і планування тією чи іншою мірою пов'язане з оптимізацією, тобто знаходженням найкращих значень різних параметрів. Звичайно задається або вибирається деякий параметр оптимізації, який залежить від вектора керованих параметрів (факторів варіювання):
<center><math>\overline{x}=\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}} \right)</math></center>
Задача оптимізації зводиться до пошуку таких значень параметрів <math>x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{n}^{0}</math>, при яких цільова функція досягає екстремуму (максимуму або мінімуму). Для однозначності загальних міркувань вважатимемо оптимальним максимальне значення виходу:
<center><math>{{y}_{}}(x)={{y}_{max}}(x);</math></center>
<center>
<math>{{y}_{opt}}(\overline{{{x}^{0}}})={{y}_{\max }}(\overline{x})</math>
</center>
Залежність
<center><math>y(\overline{x})=f({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},...,{{x}_{n}})</math></center>
утворює деяку поверхню в <math>(n+1)</math> - вимірному просторі <math>{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},...,{{x}_{n}}</math>. Цю поверхню прийнято називати поверхнею відклику, а окремі її точки або значення <math>y</math> в точках <math>x</math> факторного простору – просто відкликом.
В тих випадках, коли залежність <math>y=(\overline{x})</math> задана або утворена в аналітичній формі, координати <math>(x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{n}^{0})</math> точки екстремуму <math>\overline{{{x}^{0}}}</math> функції <math>y=(\overline{x})</math> можна знайти, розв'язавши систему диференціальних рівнянь виду:
<center><math>\frac{\partial y(\overline{x})}{\partial {{x}_{i}}}=0;i=1,2,...,n.</math></center>
Розв'язком цієї системи є стаціонарна точка <math>\overline{x}</math>, в якій градієнт функції <math>y=(\overline{x})</math> перетворюється в нуль:
<center><math>grady(\overline{x})=0.</math></center>
Нагадаємо, що
<center><math>grady=\frac{\partial y}{\partial {{x}_{1}}}\overline{{{L}_{1}}}+\frac{\partial y}{\partial {{x}_{2}}}\overline{{{L}_{2}}}+...+\frac{\partial y}{\partial {{x}_{n}}}\overline{{{L}_{n}}},</math></center>
де <math>\overline{{{L}_{i}}}</math> – напрямний вектор координатної осі <math>{{x}_{i}}</math>.
У більшості практичних випадків аналітична залежність <math>y=(\overline{x})</math> невідома і єдине, що є у розпорядженні дослідника – це можливість спостерігати значення відклику при будь-якій комбінації варійованих факторів <math>({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},...,{{x}_{n}})</math>.
Задача оптимізації ускладнюється, якщо залежність <math>y=(\overline{x})</math>, яка описує властивості об'єкта дослідження, змінюється таким чином, що координати екстремальної стаціонарної точки зсуваються. Тоді говорять, що об'єкту притаманні дрейфуючі характеристики.
При розв'язанні задач оптимізації користуються двома способами:
 
1) визначають повну математичну модель і задачу розв'язують аналітичним або чисельним способом;
 
2) здійснюють експериментальний пошук стаціонарної точки <math>\overline{{{x}^{0}}}</math> у факторному просторі змінних <math>{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},...,{{x}_{n}}</math>.
 Другий спосіб набуває все більшого визнання, оскільки дає можливість оптимального поєднання експериментальної роботи і математичного опрацювання при максимальному виході інформації.

== Кроковий принцип пошуку оптимуму ==

За умови, коли ми свідомо відмовляємося при пошуку оптимуму від повного перебору всіх можливих значень функції відклику, доводиться накладати обмеження на математичну модель досліджуваного об’єкта ще до початку експерименту. Йдеться про те, що з метою спрощення задачі припускають про неперервний характер поверхні відклику та про наявність однієї єдиної точки відклику, хай навіть і на межі області визначення факторів експерименту.
 
Якщо, наприклад, ми знатимемо значення параметра оптимізації в декількох сусідніх точках факторного простору, то ми зможемо (на основі попередньо зробленого припущення про безперервність функції відклику) приблизно обчислити значення цього параметра, на які можна очікувати в інших, сусідніх точках. Отже, можна знайти такі точки, для яких очікується найбільше збільшення (або зменшення, якщо ми шукаємо мінімум) параметра оптимізації. Тоді вже очевидно, що наступний експеримент треба переносити саме в ці точки факторного простору. Тобто, слід просуватися в цьому напрямку, нехтуючи іншими (ось де економляться досліди). Провівши новий експеримент, знову можна оцінити напрям, в якому швидше за все слід рухатися.
 
Оскільки оптимум єдиний, ми таким чином рано чи пізно неодмінно його досягнемо. Іншими словами, ми вибираємо у факторному просторі якусь точку і розглядаємо безліч точок в її околі, тобто вибираємо в області визначення факторів невелику підобласть. Тут ми хочемо провести експеримент, на підставі якого повинна бути побудована перша модель. Цю модель ми маємо намір використовувати для прогнозу результатів дослідів в тих точках, які не входили в експеримент. Якщо ці точки лежать всередині нашої невеликої підобласті, то такий прогноз називається інтерполяцією, а якщо ззовні – екстраполяцією. Чим далі від області експерименту лежить точка, для якої ми хочемо передбачити результат, тим з меншою упевненістю це можна робити. Тому ми вимушені екстраполювати недалеко і використовувати результати екстраполяції для вибору умов проведення наступного експерименту. Далі цикл повторюється. В цьому і полягає кроковий принцип оптимізації.
Також отриману модель можна використовувати для перевірки різних гіпотез про природу досліджуваного явища. Наприклад, можна перевірити апріорне припущення про те, що зростання значення певного фактора призводить до зростання значення параметра оптимізації. Така перевірка називається інтерпретацією моделі.
 
На рис. 3 найпростіший варіант крокового пошуку точки оптимуму. Хрестиками позначені окремо взяті точки (умови досліду).
 
[[Файл:Krok_pryncyp.PNG|1030x300px|border|center|Найпростіший приклад крокового пошуку точки оптимуму]]
<center>Рис.3 - Найпростіший приклад крокового пошуку точки оптимуму</center>
 
Як бачимо, вивчається невеликий окіл стартової точки і визначається найкращий напрямок руху, в якому надалі і будуть проводитися подальші експерименти.

== Метод Гаусса-Зейделя ==

Суть методу Гаусса-Зейделя полягає у послідовному просуванні до екстремуму, яке здійснюється шляхом почергового варіювання кожним із параметрів до досягнення часткового екстремуму вихідної величини. Інакше кажучи, робоча точка <math>x</math> пересувається поперемінно вздовж кожної із координатних осей <math>{{x}_{i}};i=1,2,...,n</math> факторного простору, причому перехід до нової <math>\left( i+1 \right)</math>-ї координати здійснюється після досягнення часткового екстремуму цільової функції <math>y=(\overline{x})</math> на попередньому напрямі, тобто в точці <math>{{x}_{i0}}</math>, де
<center><math>\frac{\partial y\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{i0}},...,{{x}_{n}} \right)}{\partial x}=0.</math></center>
Досягнувши часткового екстремуму по останній координаті <math>{{x}_{n}}</math>, переходять знову до варіювання першої і т. д.
Таким чином, характерною особливістю методу є необхідність тривалої стабілізації всіх факторів (параметрів процесу), крім одного, за яким відбувається рух.
Напрям руху уздовж <math>\left( i+1 \right)</math> -ї координатної осі обирається за результатами двох пробних експериментів, які полягають у вимірюванні відклику <math>y(\overline{{{x}_{i+1;1}}})</math> і <math>y(\overline{{{x}_{i+1;2}}})</math> в околі базової точки <math>{{x}_{i,0}}</math>, тобто точки часткового екстремуму за попередньою <math>i</math>-змінною.
Викладені загальні міркування ілюструються на прикладі двофакторної задачі (рис. 4). Тут цифрами 10, 20, 30 позначено лінії рівного рівня вихідного параметра <math>y</math> в деяких відносних одиницях.
 
[[Файл:Gauss-Zeidel.PNG|1030x300px|border|center|Застосування методу Гауса-Зейделя при пошуку точки оптимуму для двофакторної задачі]]
<center>Рис.4 - Застосування методу Гауса-Зейделя при пошуку точки оптимуму для двофакторної задачі</center>
 
При практичному використанні методу Гаусса-Зейделя для оптимізації двофакторного процесу, бажана така послідовність операцій:
 
1) визначається початкова точка <math>{{x}_{0}}</math> руху до оптимуму. В реальних умовах вона відповідає прийнятому технологічному режиму, висівному регламенту або раціону годівлі;
 
2) задається крок варіювання <math>\Delta {{x}_{i}}</math> по кожній незалежній змінній <math>{{x}_{i}}(i=1,2,...)</math>;
 
3) здійснюється пробний рух з центром у початковій точці для з’ясування напрямку руху в першому робочому циклі (вздовж осі <math>{{x}_{1}}</math>). З цією метою з базової точки <math>{{x}_{0}}</math> варіацією параметра <math>{{x}_{1}}</math> на <math>\Delta {{x}_{1}}</math> і <math>-\Delta {{x}_{1}}</math> виконуються два пробних кроки в точці (при <math>n=2</math>):
<center><math>\overline{{{x}_{1,1}}}=({{x}_{1}}-\Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}})</math> та <math>\overline{{{x}_{1,2}}}=({{x}_{1}}+\Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}).</math></center>
Проводиться однократне вимірювання відклику <math>y(\overline{{{x}_{1,g}}}),g=1,2,...</math>;
 
4) здійснюється порівняння значень відклику у пробних точках і його результати виражаються за допомогою функції
<center><math>sgn[ y(\overline{{{x}_{1,2}}})-(\overline{{{x}_{1,1}}}) ]</math></center>
 
5) здійснюється перший цикл робочого руху (з тим же кроком <math>\Delta {{x}_{1}}</math>) в напрямку зростання цього відклику. Нові координати точки дорівнюватимуть:
<center><math>\begin{align}
& \overline{{{x}_{1,3}}}=({{x}_{1}}+2\varphi \Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}); \\
& \overline{{{x}_{1,4}}}=({{x}_{1}}+3\varphi \Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}); \\
& \overline{{{x}_{1,l}}}=({{x}_{1}}+(l-1)\varphi \Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}); \\
& \overline{{{x}_{1,l+1}}}=({{x}_{1}}+\varphi l\Delta {{x}_{1}},{{x}_{2}}). \\
\end{align}</math></center>
 
6) проводиться вимірювання значень відклику після кожного робочого кроку
<center><math>y(\overline{{{x}_{1,3}}}),y(\overline{{{x}_{1,4}}}),...,y(\overline{{{x}_{1,l}}}),y(\overline{{{x}_{1,l+1}}});</math></center>
 
7) припиняється перший цикл крокового руху після досягнення у деякій точці <math>\overline{{{x}_{1,i}}}</math> часткового екстремуму цільової функції по відповідній змінній
<center><math>\frac{\partial y(\overline{{{x}_{i,l}}})}{\partial {{x}_{i}}}=0.</math></center>
Критерієм зупинки є виконання рівності <math>y({{x}_{i,l+1}})<y({{x}_{i,l}})</math>.
 
8) точка <math>\overline{{{x}_{i,l}}}</math> є вихідною для нових пробних експериментів у точках
<center><math>\begin{align}
& \overline{{{x}_{2,l+2}}}=({{x}_{1,l}},{{x}_{2}}-\Delta {{x}_{2}}); \\
& \overline{{{x}_{2,l+3}}}=({{x}_{1,l}},{{x}_{2}}+\Delta {{x}_{2}}). \\
\end{align}</math></center>
Якщо у пробному русі по <math>i</math>-й змінній обидва кроки були невдалими <math>y({{x}_{i,l\pm k}})<y({{x}_{i,l}})</math>, то переходять до варіювання наступним <math>(i+1)</math> параметром
 
9) в подальшому процедура є аналогічною до описаних вище. Після закінчення другого циклу переходять до третього (знову по осі <math>{{x}_{1}}</math>) і т.д.
 
Пошук припиняється в деякій точці <math>\overline{{{x}_{m}}}</math>, подальший будь-який рух від якої призводить до зменшення (якщо досягнуто мінімуму – до збільшення) значення вихідного параметра. З точністю до максимального кроку варіювання <math>{{(\Delta {{x}_{i}})}_{\max }}</math> це і буде точка екстремуму цільової функції.
 
До недоліків методу варто віднести те, що процедура пошуку оптимуму є досить тривалою, особливо у випадку, коли є багато факторів (змінних в моделі досліджуваного процесу). Також можливі деякі труднощі при пошуку оптимуму, зумовлені особливостями цільової функції. Тому досить часто обмежуються почерговим однократним варіюванням по кожній із змінних. Метод широко використовується у прикладних дослідженнях. Наприклад, при розв’язуванні систем рівнянь типу:
<center>
<math>\left\{ \begin{align}
& {{a}_{11}}{{x}_{1}}+...+{{a}_{1n}}{{x}_{1}}={{b}_{1}}; \\
& ... \\
& {{a}_{n1}}{{x}_{1}}+...+{{a}_{nn}}{{x}_{n}}={{b}_{n}}. \\
\end{align} \right.</math>
</center>
Або ж для знаходження оптимуму таких функцій, як:
<center><math>f({x}_{1},{x}_{2})=10{x}_{1}^{2}+2{( {x}_{2}-5 )}^{2},</math></center>
<center>
<math>f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=3+2{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}+{x}_{1}{x}_{2}+5{x}_{3}</math>
</center>

== Метод крутого сходження (Бокса-Уілсона) ==

Метод крутого сходження, або метод Бокса-Уілсона, поєднує істотні елементи методу Гауса-Зейделя і градієнтного методу з методами повнофакторного і дробового факторного експерименту. Так, при використанні алгоритму крутого сходження кроковий рух з точки <math>\overline{{{x}_{k}}}</math> здійснюється в напрямі найшвидшого зростання рівня виходу, тобто по <math>grad(\overline{{{x}_{k}}})</math>. Тобто, у факторному просторі знаходиться напрямок, в якому найшвидше зростає (спадає у випадку пошуку мінімуму) вихідний параметр досліджуваного об’єкта. Проте, на відміну від градієнтного методу, коректування напряму здійснюється не після кожного наступного кроку, а після досягнення в деякій точці <math>\overline{{{x}_{m}}}</math> на даному напрямку часткового екстремуму цільової функції (рис. 5), аналогічно методу Гаусса-Зейделя.
 
[[Файл:Box-Uilson.PNG|1030x300px|border|center|Застосування методу крутого сходження при пошуку точки оптимуму для двофакторної задачі]]
<center>Рис.5 - Застосування методу крутого сходження при пошуку точки оптимуму для двофакторної задачі</center>
 
Визначити наперед найкращий розмір робочого кроку пересування у факторному просторі дуже складно, адже він визначається кривизною поверхні відклику і точність визначення функції відклику.
Важливою особливістю методу Бокса-Уілсона є також регулярне проведення статистичного аналізу проміжних результатів на шляху до оптимуму.
 
Будується лінійна модель досліджуваного об’єкта:
<center><math>y={{b}_{0}}+{{b}_{1}}{{x}_{1}}+...+{{b}_{n}}{{x}_{n}}.</math></center>
Оскільки координатами вектора <math>grady(\overline{x})=\left( \frac{\partial y}{\partial {{x}_{1}}},\frac{\partial y}{\partial {{x}_{2}}},...,\frac{\partial y}{\partial {{x}_{n}}} \right)</math> є коефіцієнти при лінійних членах розкладу функції <math>y(\overline{x})</math> в ряд Тейлора по ступенях <math>{{x}_{i}}(i=1,2,...,n)</math>, то відповідні компоненти вектора градієнта можуть бути утворені як коефіцієнти <math>{{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}}</math> лінійної апроксимації поверхні відклику поблизу вихідної точки <math>\overline{x}</math>:
<center><math>y= {{b}_{0}}+{{b}_{1}}{{x}_{1}}+{{b}_{2}}{{x}_{2}}+...+{{b}_{n}}{{x}_{n}}.</math></center>
Найпростішим способом знаходження оцінок кожного із коефіцієнтів <math>{{b}_{1}},{{b}_{2}},...,{{b}_{n}}</math> є їх знаходження за результатами пробних рухів з точки <math>\overline{{{x}_{k}}}</math>. Для цього по кожній координаті роблять два пробних кроки, довжиною <math>\rho </math>, в точки <math>{{x}_{i}}-\rho </math> та <math>{{x}_{i}}+\rho </math>. Решту координат фіксують незмінними, що відповідає точці <math>\overline{{{x}_{k}}}</math>. За результатами вимірювань функції відклику <math>{{y}_{1}}=y({{x}_{k1}},{{x}_{k2}},...,{{x}_{k1}}+\rho ,...,{{x}_{kn}})</math> та <math>{{y}_{2}}=y({{x}_{k1}},{{x}_{k2}},...,{{x}_{k1}}-\rho ,...,{{x}_{kn}})</math> в утворених точках знаходять відповідні коефіцієнти
<center><math>{{b}_{i}}=\frac{\Delta y}{\Delta {{x}_{i}}}=\frac{{{y}_{1}}-{{y}_{2}}}{\Delta {{x}_{i}}}.</math></center>
Порядок виконання операцій при пошуку екстремуму за методом крутого сходження такий (рис. 5):
 
1) проводиться повний або дробовий факторний експеримент з центром у вихідній точці <math>\overline{{{x}_{0}}}</math> для визначення <math>grady(\overline{{{x}_{0}}})</math>.
Результати експерименту піддаються статистичному аналізу, який включає:
 
а) перевірку відтворюваності експерименту;
 
б) перевірку значущості оцінок коефіцієнтів <math>{{b}_{i}}</math> лінійної моделі об'єкта;
 
в) перевірку адекватності утвореної лінійної моделі
<center><math>y={{b}_{0}}+{{b}_{1}}{{x}_{1}}+...+{{b}_{n}}{{x}_{n}}</math></center>
досліджуваному об'єкту;
 
2) обчислюються добутки <math>{{b}_{i}}\Delta {{x}_{i}}</math>, де <math>\Delta {{x}_{i}}</math> – крок варіювання параметра <math>{{x}_{i}}</math> при проведенні повнофакторного експерименту, і фактор, для якого цей добуток максимальний, береться як базовий
<center><math>\max ({{b}_{i}}\Delta {{x}_{i}})={{b}_{6}}\Delta {{x}_{6}};</math></center>
 
3) для базового фактора вибирають крок варіювання при крутому сходженні <math>\rho </math>, залишаючи старий крок або впроваджуючи дрібніший;
 
4) визначаються розміри <math>{{\rho }_{i}}</math> за рештою змінних процесу <math>{{x}_{j}}(j\ne i)</math>. Оскільки під час руху по градієнту варійовані параметри повинні змінюватися пропорційно коефіцієнтам <math>{{b}_{j}}=\frac{\Delta y}{\Delta {{x}_{i}}}</math>, які є компонентами вектора <math>grady(x)</math>, то відповідні <math>{{\rho }_{j}}</math> знаходяться за формулою
<center><math>{{\rho }_{j}}=\frac{{{b}_{j}}\Delta {{x}_{j}}}{\left| {{b}_{6}}\Delta {{x}_{6}} \right|}\rho ,</math></center>
де <math>\rho </math> і <math>\Delta {{x}_{j}}</math> завжди додатні, а коефіцієнт <math>{{b}_{j}}</math> береться із своїм знаком;
 
5) проводяться уявні досліди, які полягають у завбаченні значень виходу <math>{{y}_{zawb .k}}(\overline{{{x}_{k}}})</math> у певних точках <math>\overline{{{x}_{k}}}</math> факторного простору (рис. 6). Для цього незалежні змінні лінійної моделі об'єкта змінюються з урахуванням <math>{{b}_{i}}=\frac{\Delta y}{\Delta {{x}_{i}}}</math> таким чином, щоб зображуюча точка <math>\overline{x}</math> виконувала кроковий рух у напрямку вектора <math>grad(\overline{{{x}_{1}}})</math>, утвореного в п. 1, займаючи послідовно положення <math>\overline{{{x}_{1}}},\overline{{{x}_{2}}},...,\overline{{{x}_{k}}},...,\overline{{{x}_{m}}};</math>.
 
6) уявні досліди продовжуються до тих пір, поки виконується нерівність
<center><math>{{y}_{zawb .k}}\le (1..2){{y}_{\max }},</math></center>
де <math>{{y}_{\max }}</math> - максимально можливий вихід, який визначається з фізичних міркувань;
 
7) деякі з уявних дослідів (звичайно через кожні 2 — 3 кроки) реалізуються на об'єкті для перевірки відповідності апроксимації об'єкта утвореним рівнянням (гіперплощиною). Спостережувані значення <math>{{y}_{spost}}</math> порівнюються із завбаченими <math>{{y}_{zawb}}</math> (рис. 5);
 
8) точка <math>\overline{{{x}_{m}}}</math>, де в реальному досліді утворено максимальне значення виходу, береться за нову початкову точку, і етап крутого сходження, описаний вище, повторюється;
 
9) оскільки кожен етап крутого сходження наближає зображуючу (робочу) точку до області екстремуму <math>y(\overline{x})</math>, де крутість поверхні відклику менша, то для кожного наступного етапу <math>\rho </math> береться рівним або меншим попереднього;
 
10) пошук припиняється, коли всі коефіцієнти <math>{{b}_{i}}(i=1,2,...,n)</math> лінійної моделі об'єкта виходять незначущими (коли модуль градієнта стає малою величиною <math>grady(x)=0</math>). Це свідчить про вихід в область екстремуму цільової функції.
 
Метод крутого сходження застосовується, зокрема, при побудові та дослідженні моделей процесів збагачення корисних копалин та ін. технологічних процесів, при гідродинамічних дослідженнях газліфтних нафтових свердловин.

=Перелік використаних джерел=

# Аністратенко В. О., Федоров В. Г. Математичне планування експериментів в АПК: Навч. Посібник. – К.: Вища шк., 1993. – 375 с. іл..
# Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановский Планирование єксперимента при поиске оптимальних условий. Программированное введение в планирование эксперимента.:М. Наука 1971 г.
# http://uk.wikipedia.org/wiki/Метод_Гауса_—_Зейделя – Метод Гауса — Зейделя (січень 2010)
# http://uk.wikipedia.org/wiki/Метод_Бокса_—_Вілсона – Метод Бокса — Вілсона (січень 2010)

[[Категорія:Планування експерименту]]

Чорний ящик

2012-03-20T07:52:38Z

Northfear:

{{Студент | Name=Ігор | Surname=Бойко | FatherNAme= |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}

= Чорний ящик =
Чорний ящик являє собою важливий елемент у плануванні експерименту та в науці загалом. Використовуючи дане поняття тисячі вчених світу отримують змогу використовувати той рівень поглиблення при дослідженні об’єкту який необхідний для досягнення оптимального результату планування.

http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/349 Презентація доповіді (університетський репозиторій).

= Планування експерименту =
<div class="tright" style="clear:none">[[Файл:Eksperument.jpg|thumb|center|]]</div>
Завдання, для вирішення яких може використовуватися планування експерименту, надзвичайно різноманітні. До них відносяться: пошук оптимальних умов,
побудова інтерполяційних формул, вибір істотних факторів, оцінка та уточнення констант теоретичних моделей, вибір найбільш прийнятних з деякої безлічі гіпотез про механізми явищ, дослідження діаграм склад - властивість і т.д.
Пошук оптимальних умов є одним з найбільш поширених науково - технічних завдань. Вони виникають в той момент, коли встановлена можливість проведення процесу і необхідно знайти найкращі (оптимальні) умови його реалізації.
Такі завдання називаються завданнями оптимізації. Процес їх рішення називається процесом оптимізації або просто оптимізацією. Вибір оптимального складу багатокомпонентних сумішей та сплавів, підвищення продуктивності діючих установок, підвищення якості продукції, зниження витрат на її отримання - ось приклади задач оптимізації.

= “Чорний ящик” =
== Схема чорного ящика (його функціональна структура) ==

Далі слідує поняття - об'єкт дослідження. Для його опису зручно користуватися поданням про кібернетичної системи, яка схематично зображена на рис.1.
Таку схему називають «чорним ящиком».
Чорний ящик - термін, що використовується в точних науках (зокрема, системотехніці, кібернетики та фізики) для позначення системи, механізм роботи якої дуже складний, невідомий або не важлива в рамках цієї задачі. Такі системи зазвичай мають якийсь «вхід» для введення інформації та «вихід» для відображення результатів роботи. Стан виходів звичайно функціонально залежить від стану входів і т.д.
Якщо механізм роботи не важливий, то залежність результатів від вхідних даних, як правило, відома; концепція чорного ящика при цьому використовується, щоб не відволікатися на внутрішню будову. Проте такий підхід може дати помилку при використанні пристрою на межі його можливостей.

[[Файл:Black BoX.png|thumb|center|Схематичне зображення чорного ящика]]

<center>Рис.1 - Схема представлення об'єкта дослідження</center>

Представлення об'єкта у вигляді такої схеми базується на принципі «чорного ящика». Тобто ми маємо наступні групи параметрів:
# керуючі (вхідні) Хі, які називаються факторами;
# вихідні параметри Уі., які називаються параметрами стану;
# Wi-впливи.

Стрілки праворуч зображують чисельні характеристики цілей дослідження. Ми їх позначаємо літерою ігрек (у) і називаємо параметрами оптимізації. У літературі зустрічаються інші назви:
*критерій оптимізації,
*цільова функція,
*вихід «чорного ящика» і т.д.

== Математична модель чорного ящика ==

Для проведення експерименту необхідно мати можливість впливати на поведінку «чорного ящика». Всі способи такого впливу ми позначаємо літерою ікс (х) і називаємо факторами. Їх також називають також входами «чорного ящика».
<div class="tright" style="clear:none">[[Файл:Black BoX Shem.png|thumb|center|Схема чорного ящика]]</div>

При вирішенні задачі використовують математичні моделі дослідження. Під математичною моделлю ми розуміємо рівняння, що зв'язує параметр оптимізації з чинниками.

Це рівняння в загальному вигляді можна записати так:
<math>y=\varphi(x_1,x_2,...,x_K)</math>, де символ <math>\varphi()</math>, як завжди в математиці, замінює слова: «функція від».
Така функція називається функцією відгуку.

Кожен фактор може приймати в досліді одне з декількох значень. Ці значення називаються рівнями. Для полегшення побудови «чорного ящика» і експерименту фактор повинен мати певне число дискретних рівнів. Фіксований набір рівнів факторів визначає одне з можливих станів «чорного ящика».
Одночасно це є умовою проведення одного з можливих дослідів. Якщо перебрати всі можливі набори станів, то виходить безліч різних станів «чорного ящика».
Це буде число можливих різних дослідів.

Число можливих дослідів визначають за виразом:
<math>N=P^K</math>,
де:
*N - число дослідів;
*р - число рівнів;
*K - число факторів.

Реальні об'єкти зазвичай мають величезну складність. Так, на перший погляд, проста система з п'ятьма факторами на п'яти рівнях має 3125 станів, а для десяти факторів на чотирьох рівнях їх уже понад мільйон. У цих випадках виконання всіх дослідів практично неможливо. Виникає питання: скільки і яких дослідів потрібно включити до експерименту, щоб вирішити поставлене завдання?
Саме тут і застосовується планування експерименту.

== Використання схеми ”чорний ящик” в плануванні експерименту ==

Виконання досліджень за допомогою планування експерименту вимагає виконання деяких вимог. Основними з них є умови відтворюваності результатів експерименту і керованість експерименту. Якщо повторити деякі досліди через нерівні проміжки часу і порівняти результати, в нашому випадку - значення параметра оптимізації, то розкид їх значень характеризує відтворюваність результатів. Якщо він не перевищує певної заданої величини, то об'єкт задовольняє вимогу відтворюваності результатів. Ми будемо розглядати тільки такі об'єкти, де ця умова виконується.

Планування експерименту припускає активне втручання в процес і можливість вибору в кожному досвіді тих рівнів факторів, які становлять інтерес.
Тому такий експеримент називають активним. Об'єкт, на якому можливий активний експеримент, називається керованим.
На практиці немає абсолютно керованих об'єктів, тому що на них діють як керовані, так і некеровані фактори. Некеровані фактори впливають на відтворюваність експерименту і є причиною її порушення. У цих випадках доводиться переходити до інших методів дослідження.

== Фактори чорного ящика ==

Фактором називається вимірювана змінна величина, що приймає в деякий момент часу певне значення і впливає на об'єкт дослідження.
Фактори повинні мати область визначення, всередині якої задаються його конкретні значення.

Область визначення може бути безперервною або дискретною. При плануванні експерименту значення факторів приймаються дискретними, що пов'язано з рівнями факторів. У практичних завданнях області визначення чинників мають обмеження, які носять або принциповий, або технічний характер.

Фактори поділяються на кількісні та якісні.
До кількісних відносяться ті фактори, які можна вимірювати, зважувати і т.д.
Якісні чинники - це різні речовини, технологічні способи, прилади, виконавці і т.п.
Хоча до якісних факторів не відноситься числова шкала, але при плануванні експерименту до них застосовують умовну порядкову шкалу відповідно до рівнів, тобто проводиться кодування. Порядок рівнів тут довільний, але після кодування він фіксується.

Фактори повинні бути керованими, це означає, що вибране потрібне значення фактора можна підтримувати постійним протягом всього досвіду. Планувати експеримент можна тільки в тому випадку, якщо рівні факторів підкоряються волі експериментатора.

Наприклад, експериментальна установка змонтована на відкритому майданчику. Тут температурою повітря ми не можемо управляти, її можна тільки контролювати, і тому при виконанні дослідів температуру, як чинник, що ми не можемо враховувати.

Вибір параметрів оптимізації (критеріїв оптимізації) є одним з головних етапів роботи на стадії попереднього вивчення об'єкта дослідження, тому що правильна постановка завдання залежить від правильності вибору параметра оптимізації, що є функцією мети.
Під параметром оптимізації розуміють характеристику мети, задану кількісно. Параметр оптимізації є реакцією (відгуком) на вплив факторів, які визначають поведінку обраної системи.

Реальні об'єкти або процеси, як правило, дуже складні. Вони часто вимагають одночасного обліку декількох, іноді дуже багатьох, параметрів. Кожен об'єкт може характеризуватися усією сукупністю параметрів, або будь-якою підмножиною цієї сукупності, або одним - єдиним параметром оптимізації. В останньому випадку інші характеристики процесу вже не виступають як параметр оптимізації, а служать обмеженнями. Інший шлях - побудова узагальненого параметра оптимізації як деякої функції від безлічі вихідних.

== Параметри оптимізації чорного ящика ==

Параметр оптимізації - це ознака, по якому оптимізується процес. Він повинен бути кількісним, задаватися числом. Безліч значень, які може приймати параметр оптимізації, називається областю його визначення. Області визначення можуть бути безперервними і дискретними, обмеженими та необмеженими.

Наприклад, вихід реакції - це параметр оптимізації з безперервною обмеженою областю визначення.
Він може змінюватися в інтервалі від 0 до 100%. Кількість бракованих виробів, число зерен на шлиф сплаву, число кров'яних тілець у пробі крові - ось приклади параметрів з дискретної областю визначення, обмеженої знизу.

Кількісна оцінка параметра оптимізації на практиці не завжди можлива. У таких випадках користуються прийомом, так званим ранжуванням. При цьому параметрам оптимізації присвоюються оцінки - ранги по заздалегідь вибраної шкалою: двобальною, п'ятибальною і т.д. Рангові параметр має дискретну обмежену область визначення. У простому випадку область містить два значення (так, ні, ти зробив добре, погано).
Це може відповідати, наприклад, придатної продукції і браку.

Основні вимоги що накладаються на параметри оптимізації:
#Параметр оптимізації повинен бути кількісним.
#Параметр оптимізації повинен виражатись одним числом. Інколи це виходить природно – як показник приладу. Але часто буває й необхідно провести розрахунок – наприклад при розрахунку виходу реакції.
#Параметр оптимізації повинен бути однозначним в статистичному сенсі. Тобто заданому набору значень факторів оптимізації повинно відповідати одне значення параметра оптимізації.
#Параметр оптимізації повинен надавати можливість ефективної оцінки функціонування системи.
#П’ята вимога – вимога універсальності або повноти. Під універсальністю розуміють його здатність всебічно охарактеризувати об’єкт.
#Бажано щоб параметр оптимізації мав фізичний сенс, був простим та обчислювався без особливих труднощів.

=Список використаних джерел=

#«ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА» Методическое пособие для студентов специальностей 190800 «Метрология и метрологическое обеспечение» и 072000 «Стандартизация и сертификация (по отраслям пищевой промышленности)»
#http://www.chuvsu.ru/~rte/uits/liter_uits/plan_exp/glav1_1.htm - МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТА И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА. – (січень 2010)
#http://chernykh.net/content/view/158/ - История комп’ютера – черний ящик – (січень 2010)

{{Завдання:Виступ|Bojkoio|13 січня 2010|Схема "чорного ящика" в плануванні експерименту. Фактори (входи) і параметри оптимізації (виходи) "чорного ящика"}}

[[Категорія:Планування експерименту]]

Рототабельне планування

2012-03-05T15:45:41Z

Northfear:

{{Завдання|Храплива У.В.|Назаревич О. Б.|20 березня 2012}}
{|border=2 style="float: right; margin-left: 1em; margin-bottom: 0.5em; width: 242px; border: #99B3FF solid 1px"

|-
| '''Прізвище''' || Храплива
|-
| '''Ім'я''' || Уляна
|-
| '''По батькові''' || Вікторівна
|-
| '''Факультет''' || ФІС
|-
| '''Група''' || СНм-51
|-
| '''Залікова книжка''' || СНм-11-253
|}

[[Категорія:Планування експерименту]]

Декодування каналів Системи кодувань супутникового телебачення

2012-03-02T10:19:20Z

Northfear:

{{Студент | Name=Андрій | Surname=Кривень | FatherNAme=Васильович |Faculti=ФІС | Group= СН-41 | Zalbook=ПК-06-051}}

== Вступ ==
      Метою моєї доповіді є розвіяння багатьох міфів і роздумів щодо супутникових кодувань. Більшість кодувань ламаються не встаючи зі стільця, було б бажання. В Росії, для прикладу законодавство на рахунок даного питання має двозначне трактування, тому що більшість закодованих, платних каналів не мають легального права транслюватися на території РФ (а значить і перегляд нелегально трансльованих каналів не повинен нічого за собою тягнути), за винятком НТВ +, на щастя їхня система не вразлива представленим методиками , так що застосування цих знань на нашій совісті, ну і на совісті адміністраторів, що відповідають за безпеку каналів. Але в будь-якому випадку, перегляд платних каналів безкоштовно - це порушення закону і я не рекомендую цього робити.

== Короткий опис систем кодувань супутникового телебачення ==
      ''Viaccess'' - дуже захищена (в останніх версіях) від злому кодування. Розроблено у Франції. Використовується в Росії компанією «НТВ Плюс», у Європі (наприклад, на супутниках Hotbird в ній закодовано безліч каналів). Ранні версії цього кодування (Viaccess 1, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6), вже зламані. Зараз вже активно використовується нова версія 3.0 цього кодування. Також існує модифікація цього кодування TPS-Crypt. ''Mediaguard'' (також відома як ''Seca'') - частково зламана система кодування. Зараз використовується не дуже часто через свою схильність до взлому. Перша її версія зламана, друга ж зламана лише частково. В даний час використовується друга версія цієї системи кодування (Mediaguard 2).''DRE-Crypt'' (також відома як ''Z-Crypt'') – система кодування, що застосовується в телепакеті «Триколор». На даний момент може бути відкрита ресивером з вбудованим модулем під це кодування або ресивером з CI-слотом і карткою Триколор, вставленою в CAM-модуль DRE-Crypt (Z-Crypt). ''Codicrypt'' – система кодування Codicrypt (CAS 5000) є безкартковим кодуванням, так само як і BISS. ''PowerVu'' – система кодування, що застосовується військовими США і розроблена в США. У ній йдуть майже всі канали American Forces Network. Дуже зламостійкі. Для прийому програм в ній необхідний спеціальний дорогий ресивер. ''Videoguard'' – система кодування, що використовується в більшості каналів компанії Sky. Картки, призначені для перегляду каналів Sky в цьому кодуванні, «прив'язуються» до ресивера (тобто в інших ресіверах, відмінних від того, на якому картка була активована, працювати вона не буде). Дуже зламостійкі. ''Biss'' – проста система кодування. Канали в ній можна відкрити за допомогою ресивера з вбудованим емулятором кодувань. Довжина ключів дорівнює шістнадцяти символам, а самі символи є цифрами шістнадцяткової системи числення. ''Irdeto'' – частково зламана системакодування. Зараз більш часто використовується друга версія цієї системи кодування (Irdeto 2). Вона використовується, наприклад, компанією «Stargate» на супутнику Express (80 гр. С.д.). Irdeto 1 зламана, подібно до системи кодування Biss, а Irdeto 2 - ні.''Betacrypt'' - Різновид Irdeto. Зламано. Зараз використовується Betacrypt 2, який є по суті Irdeto 2 із зміненим алгоритмом оновлення ключів.'' Conax'' - Частково зламана система. У продаж надійшли модулі умовного доступу Conax SMIT CAM. Conax SMIT CAM без проблем працюють з картами умовного доступу кабельного провайдера "Воля" при встановленні в CI інтерфейс будь-якого кабельного ресівера. Крім того, даний CAM модуль дозволяє власникам плазмових і LCD телевізорів отримати доступ до платних каналів провайдера "Воля" без кабельного ресивера, достатньо встановити цей САМ в слот CI інтерфейсу, який є на багатьох моделях даного типу телевізорів. Для роботи cam модуля conax під Воля-кабель, телевізор повинен мати вбудований кабельний цифровий тюнер. Цей тюнер називається - цифровий DVB-C тюнер. Даний модуль cam conax підходить до будь-якого телевізора Sony, але рекомендується використовувати для перегляду каналів на Sony Bravia серії W. ''Cryptoworks'' - Схоже, що ця система кодування дійсно зламана. Правда, ключі в інтернеті з'явилися не на всі пакети каналів. Можливо існують якісь модифікації цієї системи кодування, або це пов'язано з якимись економічними міркуваннями хакерів. ''Nagravision'' - Використовувалася частково європейськими провайдерами супутникового ТБ, так само як і Dish Network USA. На даний момент зламана. Існує Nagravision 2, зламана частково. У розробці брала участь компанія Alladin, сумно відома своїми HASP ключами.''Dreamcrypt'' - використовується деякими провайдерами «каналів для дорослих» з Hotbird 13E, перегляд можливий при наявності спеціального CI модуля.'' Rosscrypt'' – система кодування, алгоритм якої був частково розроблений в 70-х роках XX століття в СРСР в одному з секретних "НДІ" Комітету держбезпеки. Використовувалася в сферах не пов'язаних з телебаченням. Є, за деякими відомостями, переробкою кодування Cryptoworks. На її основі з 2001 року ведуться роботи з впровадження системи для кодування телевізійного сигналу. Система ще не була дороблена для того, щоб використовувати її в смарт-картах. У ній кодується, наприклад, частина каналів на супутнику Express AM1 (40 гр. С.д.). Очікується офіційний продаж CAM-модулів під це кодування. Дуже зламостійкі.''Rosscrypt-М'' є новою, вдосконаленою системою кодування. У Росії фахівцями ФГУП НІІРадіо розроблена система умовного доступу «Роскріпт-М», яка враховує специфіку як федеральної, так і комерційних мереж. Криптографічний захист розроблено відповідно до російського стандарту ГОСТ 28147-89. Система умовного доступу «Роскріпт-М» дозволяє здійснити захист компонент транспортного потоку, кодованих у відповідності зі стандартами MPEG-2, MPEG-4 AVC/H.264 при звичайній (SD) і високій (HD) роздільній здатності. СУД «Роскріпт-М» сумісна із стандартами мовлення DVB-S, DVB-C, DVB-T. Кількість підтримуваних абонентських пристроїв - понад 20 млн. Кількість закриваючих сервісів одним скремблером - не менше 50. Автоматична система керування забезпечує багатоканальне управління із загальною кількістю сервісів 2048. Максимальна кількість груп / підмереж - 64000. Швидкість транспортного потоку - до 100 Мбіт / с. Алгоритм захисту інформації розроблений за ГОСТом 28147-89. Система дозволяє частковий або повний UP-Grade через МП. Довжина ключів - 256 біт. Швидкість управління абонентськими пристроями - 500 абонентів в секунду при швидкості потоку EMM 50 кбіт / с. Можливість передачі таблиць управління за рахунок надмірності. Підвищено розрядність ключів (більше 256 біт), 8 рівнів захисту, оперативна зміна ключів за допомогою паролів, можливість часткового відновлення системи кодування через ефір у разі злому. Кодування буде використовуватися тільки за допомогою спеціальних чіпів, вбудованих в ресивери, або з модулями. Ні карт, ні модулів кінцеві споживачі купити не зможуть.

== Декодування каналів. Інструкція по застосуванню ==
      Для декодування каналів нам необхідні:
ProgDVB - дійсно легендарна програма, що тільки не було написано на її основі, які тільки плагіни не були випущені ... зручна і якісно зроблена, підтримується і дуже часто оновлюється, безкоштовна і безглючна.
       MD Yankse 1.32.1 TT - плагін, який дозволить поспостерігати динамічно (через свій монітор) яким же чином підбираються ключі (точніше підставляються), цікаво, що присутня русифікація. Фактично є і інші подібні програми (S2emu, CAPi, EmuNation, vPlug, PSoftcam, Card Server Client (CSC)), але вона, найбільш зручна і зрозуміла. Взяти її можна тут: http://www.dvbskystar.com/download/click.php?id=9 - якщо у вас WinXP, варіантів для Linux немає.
       Softcam Server 1.2.2 - ця утиліта займається тим, що копіює надбання чужих умов (викачує алгоритми дешифрування і ключі, природно вони від місяця до місяця змінюються, як інакше брати щомісячну оплату, хоча часом зміна ключа відбуватися і швидше, навіть щодня) і формує на цій основі файли 'Softcam.key', 'Keys.bin', 'Easy.Keys' - всі вони у відкритому вигляді і вкрай цікаві справжньому майстру (нижче ми розглянемо їх синтаксис). Власне з вивчення цих файлів і слід почати, якщо вам цікава справжня природа кодування. Природно їх можна редагувати вручну. Взяти саму утиліту можна тут – http://www.dvbskystar.com/download/click.php?id=13.
        Першим ділом встановимо ProgDVB. Клікаємо на «далі», мимоволі погоджуючись з призначеною для користувача угодою, таким же чином встановлюємо Softcam Server. Але для нормальної роботи пристрою, слід відредагувати його ini файл. Установка MD Yankse 1.32.1 TT проста до непристойності, просто розархівуємо в папку ProgDVB. Тепер кожного разу, коли ми будемо клікати на червоні галочки (вони ж зашифровані канали) - чекаємо 5-6 секунд і Yankse спробує дешифрувати канал. Його настройки можна поміняти в меню Модулі> yankse, але за замовчуванням вони вже проставлені досить добре, щоб він все зробив автоматично, найбільш цікавий пункт меню Модулі> yankse> Show Monitor, який дозволяє запустити його монітор дешифрування.
       Для тих, хто все ж таки цікавиться не халявними каналами, а методом дешифрування: розглянемо уважніше вміст файлу. Його рядки виглядають так:
       З ПППППП НК КККККККККККККККК
       де С - літера кодування: I - Irdeto, S - Seta, V - Viaccess, N-NagraVision, X - Conax;
ППППП - ВД номер провайдера;
НК - номер ключа;
КККККККККККК - власне ключ. (Всі цифрові коди шіснадцяткові)

== Варіанти отримання ключа дешифрування ==
      Відступ про те як роблять піратські картки для перегляду платних каналів (ну нам то вони більше не будуть потрібні, але знати треба, тим більше що ключі дешифрування там отримують за тим же принципом, що і для комп'ютерного перегляду). Отже, існує два варіанти отримати ключ дешифрування, використовуючи мізки, а не гроші на підкуп персоналу телекомпанії:
       • Перехоплення поновлення легальної карти через ефір
       • Злом протоколу обміну між легальною картою і декодером

       1. Перехоплення через ефір
       Кожна легальна карта має свою унікальну адресу, яка є її ідентифікатором, щось на зразок мак адреси вашої ДВБ карти. Її довжина 9 байт і складається звичайно з двох частин: адреса груп клієнтів довжиною 4 байти (SA - Shared address) і персональної адреси клієнта довжиною 5 байт (UA - User Address), чимось нагадує ІП адресацію в стеку протоколів TCP / IP .
Спостерігаючи за заголовками одержуваних пакетів карта відшукує той, який має її ідентифікатор, і, якщо знаходить його, то робить певні дії: подовжує нашу підписку або взагалі змінює свій код дешифрування (а значить отримує новий, або алгоритм для зміни старого, буває і так; знову ж таки одвічна проблема, що всі сигнали віддаються всім, поки супутник не навчиться стріляти пучками інформацію, дана уразливість буде працювати на піратів). Одна з найбільш часто використовуваних методик в картках - на початку через ефір отримати новий код в зашифрованому вигляді. Для його дешифрування використовується наявний в карті керуючий ключ [Management Key]. Ну а далі просто: після дешифрування новий код зберігається в пам'яті карти і починає використовуватися при декодуванні сигналів. З цього випливає важливий висновок: знаючи керуючий ключ, можна зробити дешифрування переданого нового коду. Саме завдяки цьому і продавалися раніше (хоча начебто б і зараз їх можна дістати) автозапрограмовуючі себе картки, але у них є очевидна вразливість: повинен існувати легальна (тобто оплачена в телекомпанії) SA, щоб на цю адресу прийшов сигнал поновлення, а значить якщо про продубльовану карту дізнається телекомпанія, то легко виявлять яка саме SA використана у цій карті (і, отже, у великій серії карт), і припинять передачу ключів за цією адресою, а легальним передплатникам просто видадуть картки з новиою SA.

       2. Злом протоколу
       Даний спосіб доволі трудомісткий в технічному сенсі. Процес визначення коду полягає в записі протоколу обміну між легальною картою і декодером, зазвичай використовуються спеціальні програми, які досить ресурсомісткі. Очевидно, що таким способом можна отримати частину зашифровану і розшифровану, а далі порівнявши їх вичислити алгоритм дешифрування, банальним підбором. Але чим довший ключ, тим складніше його підібрати.На сьогодні в інтернеті існують подібні як закриті, так і відкриті мережі підбору ключів.

== Методи шифрування ==
      Два основні методи шифрування такі (зауважте, вони не складні: адже процесорні потужності ресивера обмежені, але досить ефективні, адже не обмежують довжину ключа, а значить множин варіантів реалізації):
       1. Кадр телесигналу ділиться на блоки (наприклад, по 32 рядки) та в кожному блоці рядка переставляються в хаотичному порядку (система Nagra Syster в НТВ +).
       2. Розрізати кожен рядок навпіл у випадковому місці і потім поміняти половинки місцями (Eurocrypt і Videocrypt).

== Боротьба з піратством ==
        Управлінням економічної безпеки та Юридичною дирекцією ВАТ «НТВ-ПЛЮС» спільно з БСТМ МВС РФ на регулярній основі проводяться заходи, спрямовані на виявлення і припинення неправомірного доступу до послуг і порушенням прав Телекомпанії «НТВ-ПЛЮС» на території Росії. У результаті лише в 2009 році було заведено 9 кримінальних справ, а 3 правопорушника вже притягнуто до кримінальної відповідальності за ч.1 ст.272 (Неправомірний доступ до комп'ютерної інформації), ч.1 ст. 273 (Створення, використання та поширення шкідливих програм для ЕОМ), ч.2 ст.146 (Порушення авторських і суміжних прав) та ч.3 ст.183 (Незаконне отримання та розголошення відомостей, що становлять комерційну, податкову або банківську таємницю) КК РФ .
       Позитивний досвід боротьби з правопорушниками в Росії використовується нашими партнерами і на території України. Співробітниками безпеки компанії «Нові телевізійні технології» (НТТ) в процесі роботи із захисту прав та інтересів ВАТ «НТВ-ПЛЮС» спільно зі Службою безпеки України та МВС України проведено перевірку і моніторинг діяльності осіб та організацій, що надають доступ до послуг Телекомпанії «НТВ- ПЛЮС »і дотримання ними правових і договірних умов. В результаті виконаної роботи правоохоронними органами України було заведено 9 кримінальних справ у містах: Київ, Миколаїв, Севастополь, Мелітополь та Запоріжжя - за статтею 361 КК України (Незаконне втручання в роботу електронно-обчислювальних машин (комп'ютерів), систем та комп'ютерних мереж); в містах Славутич, Артемівськ, Луганськ, Якимівка - за статтею 176 КК України (Порушення авторського права і суміжних прав). П'ять керівників компаній-правопорушників було засуджено згідно із Кримінальним кодексом України на термін 3 роки (умовно) кожен, із забороною вести підприємницьку діяльність. По інших справах ведуться слідчі заходи. ВАТ «НТВ-ПЛЮС» спільно з БСТМ МВС РФ планується подальша співпраця з правоохоронними органами іноземних держав, на території яких порушуються права Телекомпанії «НТВ-ПЛЮС».Також в «НТВ-Плюс» почали боротьбу із найскладнішою і найнебезпечнішою схемою крадіжки телевізійного сигналу - кард-шарінгом . У Курській області був винесений перший судовий вирок групі піратів, які поширювали через інтернет нелегальний доступ до сигналу оператора. На черзі розгляд аналогічних справ в інших регіонах. Вирок обвинувачення винесено в Курській області групі піратів, що продавала нелегальний доступ до сигналу супутникового телебачення від «НТВ-Плюс» з використанням схеми кард-шарінга. Боротьбу з піратством у «НТВ-Плюс» ведуть з моменту свого заснування в 1997 р. Найбільш простий спосіб отримання краденого сигналу - з використанням підроблених смарт-карт - був перекритий в 2003 р., коли компанія перейшла на нову версію системи кодування Viaccess. З тих пір «НТВ-Плюс» вела боротьбу лише з піратами, які незаконно поширюють сигнал по кабельних мережах, але тепер оголосила "війну" і кард-шарінгу. Випадок в Курській області став першим випадком винесення вироку за використання кард-шарінгу в Росії. Другий подібний розгляд - в Астраханській області - вже на черзі. Правда, за всю історію боротьби з піратами «НТВ-Плюс» вдавалося домогтися лише винесення умовних вироків.

== Висновки ==
      Чому все це працює? Причина банальна: лінь і небажання витрачати додаткові гроші зі сторони власників каналів . Досить було б найняти фахівця і розробити власний метод шифрування даних і все, їх канал став би невразливим для подібного перегляду (до речі, деякі канали так і зробили, тому й не всі декодуються, хоча розумна людина все може - врахуйте, що іноді, вся справа в тому, що ключ ще не підібрали). Але більшість використовує стандартні методи криптації на кшталт Nagravision, Seca 1, Seca 2, Irdeto, Betacrypt, VIACCESS 1, VIACCESS 2, VIACCESS 2.3, 2.5 VIACCESS, CONAX та ін. Природно їх вже давно навчилися підбирати, а деякі пірати настільки знахабніли, що стали випускати карти доступу в промислових розмірах. Так чому ж працює описана вище система? Адже ми не використовуємо жодних карт. Ну, відповідь ви вже, напевно, самі зрозуміли: ніщо не заважає використовувати процесор комп'ютера, а не ресивера, який зчитує код з файлу, а не карти. Принцип той же, носій інший.

== Список використаних джерел: ==
1. http://sat-media.net/forum/index.php?topic=392.0
 2. http://sat-media.net/forum/index.php?topic=9995.0
 3. http://www.xakep.ru/post/30330/default.asp
 4. http://westsat.com.ua/showthread.php?t=64

{{Завдання:Виступ|k-and-v|31 березня 2010|Системи кодувань супутникового телебачення. Декодування каналів}}
[[Категорія: Індивідуальні завдання виступу на семінарах з предмету "Комп'ютерні системи захисту інформації"]]
[[Категорія:Виступ на семінарі]]

Декодування каналів. Системи кодувань супутникового телебачення.

2012-03-02T10:19:20Z

Northfear:

#ПЕРЕНАПРАВЛЕННЯ [[Декодування каналів Системи кодувань супутникового телебачення]]

Критерій узгодженості Стьюдента

2012-02-26T11:34:36Z

Northfear:

'''Критерій узгодженості Стьюдента''' - статистичний критерій згоди, заснований на порівнянні з розподілом Стьюдента (t-розподілом). Розроблений англійським хіміком-харчовиком Вільямом Госсетом (псевдонім — Стьюдент).
Для практичного вивчення робочих процесів закон нормального розподілу часто не підходить, хоча існують підстави вважати, що змінна розподілена нормально. Це пов'язано з тим, що як аргумент до нормального розподілу входять математичне сподівання <math>M</math> та СКВ <math>\sigma</math>, які звичайно залишаються невідомими, тому його замінюють розподілом Стьюдента, який застосовується для нормально розподіленої послідовності.

===Закон розподілу===

<math>t=\frac{x_0}{\sqrt{{m^{-1}}*{\left (x_1^2+x_2^2+...+x_m^2 \right)}} </math>,

де <math>x_0,x_1,...,x_m</math> - взаємно незалежні нормально розподілені випадкові величини з <math>M=0</math> і довільними дисперсіями <math>D</math>.

Закон Стьюдента свідчить, що <math>p(t)</math> залежить від числа ступенів вільності <math>f=N-1</math> та величини <math>S</math>. Критерій <math>t</math> може набувати різних форм, а <math>t</math>-розподіл лежить в основі теорії малих вибірок, яка відіграла значну роль в плануванні експериментів.

===Криві розподілу===

[[Файл:T1.png|center|thumb|300px|Криві розподілу]]

Максимуми частоти нормального та <math>t</math>-розподілів лежать при одному й тому ж значенні абсциси. Проте на відміну від нормального розподілу висота і ширина кривих нормованого <math>t</math>-розподілу залежать від числа ступенів вільності <math>f</math> відповідного СКВ. Чим менше <math>f</math>, тим більш похилий хід має крива при одному й тому ж значенні <math>S</math>.
При <math>f \to \ \infty</math> <math>t</math>-розподіл переходить у нормальний розподіл. Відповідно до цього для ходу кривої, який залежить від <math>f</math>, межі інтегрування <math>p</math> при заданій надійній імовірності <math>\gamma</math> все більше віддаляються від середнього значення зі зменшенням числа ступенів вільності <math>f</math>. Так, для <math>\gamma</math> = 0,95 виміряні значення не лежать в області <math>x</math> ± 25.
Цей інтервал стає тим ширшим, чим менше вимірювань було проведено.

===Застосування===

Як свідчить структура відношення Стьюдента, <math>t</math>-розподіл використовується при розв'язанні першої групи задач(задачі порівняння середнього значення виміряного ряду змінних із заданими значеннями або з середнім іншого ряду), проте його також застосовують при виявленні грубих помилок та ін.

[[Категорія:Планування експерименту]]

Категорія:Планування експерименту

2012-02-26T11:03:40Z

Northfear:

В даній категорії знаходять статті з дисципліни планування експерименту

Рекомендовані теми статей:
*[[Цілі та завдання ПЕ]]
*[[Стохастичні та інші моделі в ПЕ]]
*[[Сучасний стан науки ПЕ Відомі українські та світові наукові школи]]
*[[Систематизація і формалізація експериментальних даних]]
*[[Статистичні числові характеристики]]
*[[Ймовірнісна оцінка статистичних характеристик]]
*[[Нормальний закон розподілу]]
*[[Статистичні гіпотези і надійна ймовірність]]
*[[Вибіркові розподіли що використовуються при перевірці гіпотез]]
*[[Порівняння оцінок дисперсій]]
*[[Належність вибірок до однієї сукупності]]
*[[Оцінка вибірок із зазначених змінних повязаних парами]]
*[[Порівняння вибіркових часток і показників варіації]]
*[[Перевірка емпіричних розподілів]]
*[[Інші застосування критеріїв згоди]]
*[[Критерій узгодженості Пірсона]]
*[[Критерій узгодженості Колмогорова]]
*[[Критерій узгодженості Стьюдента]]
*[[Критерій узгодженості Фішера]]
*[[Розкладання дисперсії на складові]]
*[[Однофакторний дисперсійний аналіз]]
*[[Двофакторний дисперсійний аналіз]]
*[[Аналіз ієрархічних комплексів]]
*[[Застосування латинських і греко-латинських квадратів при дисперсійному аналізі]]
*[[Ранговий дисперсійний аналіз]]
*[[Форма звязку змінних]]
*[[Оцінка параметрів рівняння регресії]]
*[[Множинна і рангова кореляції]]
*[[Коваріаційний аналіз]]
*[[Підготовка активного експерименту]]
*[[Планування ПФЕ при розв'язанні інтерполяційних задач]]
*[[Виродження задачі оптимізації після ПФЕ або ДФЕ]]
*[[Рототабельне планування]]
*[[Планування експериментів при дослідженні сумішей]]
*[[Квазіоптимальний план]]
*[[Застосування латинських квадратів для відсіву джерел дрейфу]]
*[[Планування експеременту у виробничих умовах]]
*[[Вибір плану в умовах взаємонейтралізуючих факторів]]
*[[Градієнтові методи оптимізації]]
*[[Метод крутого сходження]]
*[[Пошук екстремуму функції однієї змінної]]
*[[Метод багатофакторного експерименту з оптимальною розстановкою дослідів]]
*[[Особливі випадки пошуку оптимуму]]

<noinclude>[[Категорія:Комп'ютерні науки]]</noinclude>

Категорія:Планування експерименту

2012-02-26T11:03:17Z

Northfear:

В даній категорії знаходять статті з дисципліни планування експерименту

Рекомендовані теми статей:
*[[Цілі та завдання ПЕ]]
*[[Стохастичні та інші моделі в ПЕ]]
*[[Сучасний стан науки ПЕ Відомі українські та світові наукові школи]]
*[[Систематизація і формалізація експериментальних даних]]
*[[Статистичні числові характеристики]]
*[[Ймовірнісна оцінка статистичних характеристик]]
*[[Нормальний закон розподілу]]
*[[Статистичні гіпотези і надійна ймовірність]]
*[[Вибіркові розподіли, що використовуються при перевірці гіпотез]]
*[[Порівняння оцінок дисперсій]]
*[[Належність вибірок до однієї сукупності]]
*[[Оцінка вибірок із зазначених змінних, повязаних парами]]
*[[Порівняння вибіркових часток і показників варіації]]
*[[Перевірка емпіричних розподілів]]
*[[Інші застосування критеріїв згоди]]
*[[Критерій узгодженості Пірсона]]
*[[Критерій узгодженості Колмогорова]]
*[[Критерій узгодженості Стьюдента]]
*[[Критерій узгодженості Фішера]]
*[[Розкладання дисперсії на складові]]
*[[Однофакторний дисперсійний аналіз]]
*[[Двофакторний дисперсійний аналіз]]
*[[Аналіз ієрархічних комплексів]]
*[[Застосування латинських і греко-латинських квадратів при дисперсійному аналізі]]
*[[Ранговий дисперсійний аналіз]]
*[[Форма звязку змінних]]
*[[Оцінка параметрів рівняння регресії]]
*[[Множинна і рангова кореляції]]
*[[Коваріаційний аналіз]]
*[[Підготовка активного експерименту]]
*[[Планування ПФЕ при розв'язанні інтерполяційних задач]]
*[[Виродження задачі оптимізації після ПФЕ або ДФЕ]]
*[[Рототабельне планування]]
*[[Планування експериментів при дослідженні сумішей]]
*[[Квазіоптимальний план]]
*[[Застосування латинських квадратів для відсіву джерел дрейфу]]
*[[Планування експеременту у виробничих умовах]]
*[[Вибір плану в умовах взаємонейтралізуючих факторів]]
*[[Градієнтові методи оптимізації]]
*[[Метод крутого сходження]]
*[[Пошук екстремуму функції однієї змінної]]
*[[Метод багатофакторного експерименту з оптимальною розстановкою дослідів]]
*[[Особливі випадки пошуку оптимуму]]

<noinclude>[[Категорія:Комп'ютерні науки]]</noinclude>

Категорія:Планування експерименту

2012-02-26T10:55:57Z

Northfear:

В даній категорії знаходять статті з дисципліни планування експерименту

Рекомендовані теми статей:
*[[Цілі та завдання ПЕ]]
*[[Стохастичні та інші моделі в ПЕ]]
*[[Сучасний стан науки ПЕ. Відомі українські та світові наукові школи]]
*[[Систематизація і формалізація експериментальних даних]]
*[[Статистичні числові характеристики]]
*[[Ймовірнісна оцінка статистичних характеристик]]
*[[Нормальний закон розподілу]]
*[[Статистичні гіпотези і надійна ймовірність]]
*[[Вибіркові розподіли, що використовуються при перевірці гіпотез]]
*[[Порівняння оцінок дисперсій]]
*[[Належність вибірок до однієї сукупності]]
*[[Оцінка вибірок із зазначених змінних, повязаних парами]]
*[[Порівняння вибіркових часток і показників варіації]]
*[[Перевірка емпіричних розподілів]]
*[[Інші застосування критеріїв згоди]]
*[[Критерій узгодженості Пірсона]]
*[[Критерій узгодженості Колмогорова]]
*[[Критерій узгодженості Стьюдента]]
*[[Критерій узгодженості Фішера]]
*[[Розкладання дисперсії на складові]]
*[[Однофакторний дисперсійний аналіз]]
*[[Двофакторний дисперсійний аналіз]]
*[[Аналіз ієрархічних комплексів]]
*[[Застосування латинських і греко-латинських квадратів при дисперсійному аналізі]]
*[[Ранговий дисперсійний аналіз]]
*[[Форма звязку змінних]]
*[[Оцінка параметрів рівняння регресії]]
*[[Множинна і рангова кореляції]]
*[[Коваріаційний аналіз]]
*[[Підготовка активного експерименту]]
*[[Планування ПФЕ при розв'язанні інтерполяційних задач]]
*[[Виродження задачі оптимізації після ПФЕ або ДФЕ]]
*[[Рототабельне планування]]
*[[Планування експериментів при дослідженні сумішей]]
*[[Квазіоптимальний план]]
*[[Застосування латинських квадратів для відсіву джерел дрейфу]]
*[[Планування експеременту у виробничих умовах]]
*[[Вибір плану в умовах взаємонейтралізуючих факторів]]
*[[Градієнтові методи оптимізації]]
*[[Метод крутого сходження]]
*[[Пошук екстремуму функції однієї змінної]]
*[[Метод багатофакторного експерименту з оптимальною розстановкою дослідів]]
*[[Особливі випадки пошуку оптимуму]]

<noinclude>[[Категорія:Комп'ютерні науки]]</noinclude>

Огляд моделей обробки енергетичних сигналів

2012-02-26T10:54:52Z

Northfear:

[http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BD%D0%BE%D0%B7%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F Прогнозування] — процес передбачення майбутнього стану предмета чи явища на основі аналізу його минулого і сучасного, систематична інформація про якісні й кількісні характеристики розвитку цього предмета чи явища в перспективі. Результатом прогнозування є прогноз — знання про майбутнє і про ймовірний розвиток сьогочасних тенденцій.
Прогноз — це результат процесу прогнозування, виражений у текстовій, математичній, графічній або іншій формі судження про можливий стан об'єкта в майбутньому.

==Класифікації прогнозів за ознаками==
#Залежно від тимчасового охоплення:
##короткостроковий прогноз — це прогноз строком до 1 місяця (наприклад,тижневі прогнози руху готівки);
##середньостроковий прогноз — це прогноз строком до 1 року (наприклад,місячні й квартальні прогнози темпів інфляції);
##довгостроковий або перспективний прогноз — це прогноз строком понад 1 рік (наприклад, прогноз змін інвестиційного клімату в країні).
#Залежно від типу прогнозування:
##пошуковий прогноз — це прогноз, отриманий методом наукового прогнозування від сьогодення до майбутнього;
##нормативний прогноз — це прогноз, отриманий методом нормативно-цільового прогнозування, у рамках якого спочатку визначаються цілі й орієнтири на майбутній період часу, а потім оцінюється розвиток об'єкта виходячи із цих орієнтирів;
##прогноз, заснований на творчому баченні — це прогноз, отриманий на основі суб'єктивних знань прогнозиста, його інтуїції.
#Залежно від можливості впливу на майбутнє:
##пасивний прогноз — це прогноз, що виходить із того, що в силу певних причин підприємство не має наміру впливати на об'єкт, і передбачається можливість самостійного, що не залежить від дій підприємства, розвитку зовнішніх процесів;
##активний прогноз — це прогноз, що передбачає можливість активного впливу підприємства на зовнішнє середовище.
#За ступенем імовірності:
##інваріантний прогноз — це прогноз, що включає тільки один варіант розвитку подій;
##варіантний прогноз — це прогноз, що ґрунтується на положенні про значний ступінь невизначеності зовнішнього середовища і який включає кілька ймовірних варіантів розвитку подій.
#За способом подання результатів:
##точковий прогноз — це прогноз, який допускає, що даний варіант має тільки одне єдине значення прогнозованого показника (наприклад, через 3 місяці ціна на позикові інвестиційні ресурси зросте на 3%);
##інтервальний прогноз — прогноз, у якому передбачається деякий діапазон значень прогнозованого показника (наприклад, через 3 місяці ціна на позикові інвестиційні ресурси зросте на 2,5-3,5%).
==Аналіз часових рядів==
[http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D1%87%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%96%D0%B2 Аніліз часових рядів]
==Ритмічні сигнали в енергетиці==
Ритмічні сигнали зустрічаються в акустиці, електро- і радіо техніці, авіації, астрономії, медицині, метеорології і найголовніше в енергетиці та ін. Широкий спектр застосування ритмічних сигналів ставить перед розробниками інформаційно-управляючих систем нові вимого що до створення відповідного апарата моделювання, та аналізу такого виду сигналів. Дослідження будь-якого сигналу виимагає побудови адекватної математичної моделі та розроблення на її основі методів статистичної обробки та імітаційного моделювання сигналів.
До математичного моделювання ритмічних сигналів існує два підходи: 
#Детермінований
#Стохастичний
У випадку детермінованого підходу за математичну модель ритмічного сигналу приймають детерміновану періодичну функцію. Функцію f(t) називають періодичною, якщо існує таке число T>0, що f(t)=f(t+T), де Т – період функції.
У рамках стохастичного підходу виділяють такі моделі ритмічних сигналів:
*Адитивна;
*Мультиплікативна;
*Модель випадкового періодичного процесу за Слуцьким;
*Процес із незалежними Т-періодичними приростами;
*Модель періодично-корельованого випадкового процесу;
*Лінійний випадковий періодичний процес.
Зокрема дві наступні моделі зазвичай використовуються для бробки саме енергетичних сигналів. Це Модель періодично-корельованого випадкового процесу, та лінійний випадковий періодичний процес.
==Модель періодично-корельованого випадкового процесу ПКВП==
Періодично-корельованим називають процес ξ(t) з періодичними математичним сподіванням та кореляційною функцією
[[Файл:Рисунок4.gif]]
[[Файл:Рисунок2.gif]]
[[Файл:Рисунок3.gif]]
Використання ПКВП дало змогу розв'язати низку прикладних задач, пов'язаних зі статистичним аналізом ритмічних сигналів: оцінюванням їх математичного сподівання, дисперсії, кореляційної функції, спектральним аналізом. Поряд із суттєвими перевагами ця математична модель має і свої „мінуси". По-перше, ПКВП неможливо пов'язати з фізичними властивостями досліджуваного сигналу. Крім того така модель враховує періодичність лише перших двох моментальних функцій, і, як наслідок, дозволяє вивчати ритмічні сигнали тільки в рамках спектрально-кореляційної теорії.
Вищі моментні функції та функції розподілу не можуть бути досліджені на її основі.
==Лінійний випадковий періодичний процес==
Випадковий процес, інтегральне зображення якого має вигляд стохастичного інтегралу
[[Файл:Рисунок6.gif]]
називають лінійним випадковим процесом. У формулі детерміновану функцію φ(τ,t) є L2 (-∞,∞) називають ядром лінійного процесу, а η(τ), τєR η(0)=0, випадковий процес з незалежними приростами,- породжуючим процесом.
Модель лінійного випадкового періодичного процесу являє собою результат накладання великого числа елементарних імпульсі, що виникають у випадкові моменти часу τк, форма яких описується не випадковою функцією φ(τk,t), а їх амплітуди описуються не випадковими величинами . Варто зазначити, що лінійний випадковий процес який ми бачимо на слайді можна вважати періодичним за Слуцьким випадковим процесом лише за певних умов.
Ця є конструктивною, оскільки враховує механізм формування сигналу, дозволяє обґрунтувати його ергодичність, а також визначити параметри моделі за результатами експериментальних досліджень.

==Список використаних джерел==
*Загородна Н.В. Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни «Моделювання та аналіз ІУС», Тернопіль:Видавництво ТНТУ, 2011,-48с.
*Вікіпедія «Аналіз часових рядів»
*Вікіпедія «Прогнозування»
*Бібліотека рефератів
==Посилання==
[http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%96%D0%B7_%D1%87%D0%B0%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%85_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D1%96%D0%B2 Аналіз часових рядів]
[http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B3%D0%BD%D0%BE%D0%B7%D1%83%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8F Прогнозування]
[http://www.ukrreferat.com/index.php?referat=39286&pg=1 Прогноз]

[[Категорія:Планування експерименту]]

Методи виявлення розладки випадкових процесів

2012-02-26T10:54:36Z

Northfear:

{{Студент | Name=Богдан | Surname=Сікач | FatherNAme=Ярославович |Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=СНм-11-248}} 
{{Презентація доповіді |title= Методи виявлення розладки випадкових процесів}}

'''Розладка''' – це стрибкоподібна зміна ймовірнісних характеристик випадкової послідовності. 

== Етапи розробки методів виявлення розладки випадкових послідовностей ==
Задача виявлення моменту зміни імовірнісних характеристик випадкової послідовності (моменту «розладки») '''виникла в 30-ті роки XX ст.''' у зв'язку з проблемами поточного контролю. 
''' Першим дослідженням ''' в цьому напрямку була робота Шьюхарта. Однак, суворої теорії тоді збудовано не було. 
''' У 50-х роках ''' з'явилися роботи Пейджа, де був запропонований метод виявлення "розладки" як у ретроспективному, так і в якнайшвидшому варіанті. Цей метод, що отримав згодом назву методу кумулятивних сум, і заснований на послідовному обчисленні функції правдоподібності, виявився зручним з точки зору організації розрахунків і практично ефективним. Приблизно в цей же час А. Н. Колмогоров дав сувору постановку задачі про якнайшвидшому виявленні моменту "розладки" для вінеровского процесу, сформулювавши її як деяку імовірнісну екстремальну проблему. Ця проблема була вирішена А. Н. Ширяєвим, який знайшов у зазначеній ситуації оптимальний метод виявлення. Підсумок дослідженнями А. Н. Ширяєва у цій галузі підведений в книзі «Статистический последовательный анализ». 
Інтерес до проблематики задач про "розладку" став зростати ''' з середини 60-х років '''. При цьому основні зусилля дослідників спрямовувалися на те, щоб розробити методи, які використовують як можна менше апріорної інформації. Справа в тому, що оптимальні та близькі до них методи засновані на точному знанні функцій розподілу до і після моменту "розладки" і функції розподілу моменту "розладки" (якщо він випадковий). Таку інформацію важко отримати у багатьох цікавих практичних задачах. У зв'язку з цією обставиною стали розвиватися мінімаксні методи (що дозволяють позбутися від інформації про функції розподілу моменту "розладки") і непараметричні методи, що дозволяють відмовитися від інформації про розподіли випадкової послідовності. 
''' У 70-90 рр. ''' багатьох роботах робляться спроби позбутися апріорної інформації. Тут необхідно вказати насамперед на роботу Лордена а також на роботи Полака і Зигмунда і Полака, де встановлена асимптотична мінімаксність методу запропонованого Гіршіком і Рубіним в і незалежно від них Ширяєвим. 

== Типи задач, що вирішуються за допомогою алгоритмів виявлення розладки ==

З точки зору практики існують два основних типи завдань, що вирішуються за допомогою алгоритмів виявлення розладки: 

* У першому випадку необхідно виявляти розладку якомога швидше після її появи при заданому рівні помилкових тривог, але не потрібно точно вказувати момент часу, коли сталася розладка. Це завдання, назване А. Н. Ширяєвом ''' «задачою якнайшвидшого виявлення розладки» ''', часто виникає при поточному контролі якості безперервної продукції, у радіолокації, гідроакустики і т. д. скрізь, де функція втрат залежить від часу між моментом появи розладка і моментом її виявлення і частоти помилкових тривог. 
* Другий основний тип завдань, що вирішуються методами виявлення розладки, зводиться до ''' оцінювання моменту появи розладки post factum '''. Тут на відміну від завдання якнайшвидшого виявлення кінцева вибірка спостережень збирається заздалегідь (до початку вирішення задачі) і потрібно оцінити момент появи розладки якомога точніше. У деяких випадках сам факт наявності розладки в межах аналізованої вибірки заздалегідь невідомий і перевірка її наявності також є предметом рішення. 

== Варіанти критеріїв оптимізації послідовних алгоритмів ==
Відомі наступні основні варіанти критеріїв оптимізації послідовних алгоритмів виявлення розладки: 
* Необхідно відшукати правило подачі сигналу про розладку, яке мінімізує середній час запізнювання виявлення розладки. 
* Необхідно мінімізувати середній час запізнювання виявлення розладки при заданій ймовірності помилкової тривоги. 
* Необхідно отримати алгоритм, що мінімізує верхню межу середнього запізнення у виявленні розладки по всіх можливих моментах виникнення розладки, при заданому середньому часу від початку спостереження до подачі помилкової тривоги за умови, що спостерігається нерозладнена послідовність. 

== Класифікація методів виявлення розладки ==
* ''' Послідовні алгоритми ''' - алгоритми, призначенні для вирішення задачі якнайшвидшого виявлення розладки 
* ''' Апостеріорні алгоритми ''' - алгоритми, призначенні для вирішення задач оцінювання моменту появи розладки post factum. 
* ''' Параметричні методи''' - методи, що вимагають інформації про розподіли випадкової послідовності. 
* ''' Непараметричні методи''' - методи, що дозволяють відмовитися від інформації про розподіли випадкової послідовності. 

== Сфера застосування ==

Виявлення розладки випадкової послідовності знаходить своє застосування в багатьох сферах: 
* В ''' геофізиці ''' за заданою вибіркою даних сейсмоприймачів можна якомога точніше визначити момент появи сейсмічних хвиль та їх фаз, що допомагає точніше визначити епіцентр землетрусу. 
* У ''' областях прикладних досліджень ''', наприклад, у технічної та медичної діагностики, де вся доступна інформація міститься в кінцевих вибірках багатовимірних спостережень, виникає необхідність по можливості точно відповісти на питання: наскільки істотно відрізняються властивості аналізованих сигналів, що характеризують різні стани досліджуваного об'єкта? Відповідь на питання зводиться до задачі виявлення розладки випадкового процесу. 
* В ''' аналізі історичних текстів '''. Відомо, що багато давніх історичних джерела (літописи, хроніки тощо) складені з окремих фрагментів (шматків) різної природи. Ці окремі шматки могли бути написані в різний час різними авторами (у різних країнах), а тому можуть істотно відрізнятися один від одного своїм характером, мовою і стилем викладу, емоційним забарвленням і т.д. Потім могло трапитися так, що ці фрагменти були об'єднані якимось пізнішим автором в одну книгу. Після цього первісне походження текстів фрагментів забувалося, і вони починали існувати як єдина літопис. З плином часу в результаті, під впливом різних редакторів та в силу багатьох інших причин, початкові зовнішні відмінності між окремими фрагментами поступово стиралися. Виникає важливе питання: чи можна, спираючись на статистичний аналіз різних частотних характеристик, виявити сьогодні всередині "єдиного великого тексту" ці первинні складові частини? 

==Список літературних джерел==
* Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. М.: Наука, 1969, 231 с. 
* Дарховский Б. С, Бродский Б. Е. Апостериорное обнаружение момента «разладки» случайной последовательности.— Теория вероятн. и ее примен., 1980 
* Дарховский Б. С, Бродский Б. Е. Анализа исторических текстов. 
* Никифоров И.В. Последовательное обнаружение изменения свойств временных рядов. 

[[Категорія: Індивідуальні завдання для виступу на семінарах з предмету "Планування експерименту Design Of Experiment (DOE)"]]
[[Категорія: Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]