2010-02-24T21:23:57Z

Mars:

{{Завдання|Залецький М.М.|Назаревич О.Б.|17 лютого 2010}}
{| cellspacing="0" cellpadding="0" style="clear: {{{clear|right}}}; margin-bottom: .5em; float: right; padding: .5em 0 .8em 1.4em; background: none; width: {{{width|{{{1|auto}}}}}};" {{#if:{{{limit|}}}|class="toclimit-{{{limit}}}"}}
| __TOC__
|}
<noinclude>

<div class="infobox" style="width:40em; font-size:85%; padding-left:5px; width:360px;">
Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом.
</div>

http://elartu.tstu.edu.ua Презентація доповіді (університетський репозиторій).

=Особливості планування експериментів=

Опишемо послідовність Дій, які необхідно виконувати під час планування експериментів.
#Визначення відгуків (вихідних змінних) системи.
#Визначення факторів, які впливають на відгук системи. Більшість систем підпорядковуються принципу Парето - з огляду на характеристики системи істотними є лише деякі з множини факторів. У більшості систем 20 % факторів визначають 80 % властивостей системи.
#Визначення рівнів факторів. Мінімальна кількість рівнів для кожного фактора два - нижня і верхня межі значення фактора. У разі використання цього числа рівнів можна визначити тільки лінійні ефекти. Для врахування квадратичних ефектів необхідно використовувати три рівні, для кубічних ефектів - чотири і т. д Аналіз значно спрощується, якщо брати тільки рівновіддалені одне від одного значення рівнів. У цьому випадку маємо так зване ортогональне планування, або ортогональний експеримент.
Для множинних експериментів з чистом факторів більше одного дисперсійний аналіз передбачає використання для заключного аналізу ортогонального експерименту. Це означає, що оцінки відгуків у межах аналізу мають бути некорельованими. На практиці ортогональність гарантує використання тих самих випадкових послідовностей чисел під час виконання експериментів у межах кожної комбінації рівнів обробки.

=Повний факторний експеримент=

Експеримент, в якому реалізуються всі можливі сполучення рівнів факторів, називається повним факторним експериментом. Розглянемо простий двофакторний експеримент з одним фактором на двох рівнях, одним фактором на трьох рівнях і з двома спостереженнями в кожному досліді, тобто план 3x2 Запишемо в
<center>
 
Таблиця 1. Матриця двофакторного експерименту
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="71" rowspan="2" valign="top">Фактор А </td>
<td colspan="2" valign="top">Фактор В </td>
</tr>
<tr>
<td width="67" valign="top">Рівень 1</td>
<td width="91" valign="top"> Рівень 2</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 1</td>
<td width="67" valign="top">y111 
y112</td>
<td width="91" valign="top">y121 
y122</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 2</td>
<td width="67" valign="top"> Y211 
y212</td>
<td width="91" valign="top"> y221 
y222 </td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 3</td>
<td width="67" valign="top"> y311 
y312 </td>
<td width="91" valign="top">y321 
y322 </td>
</tr>
</table>
</center>
У загальному випадку: значення фактора yijg, де g - номер спостереження, і та j - номери рівнів факторів А та В відповідно. Нехай математичне сподівання вихідної змінної М(уijg) – nij Тоді очікувану функцію відгуку можна записати у такому вигляді:
<center>
<math>{{y}_{ijg}}={{\eta }_{ij}}+{{e}_{ijg}},i=\overline{1,I};j=\overline{1,J};g=1,2,3,...,</math>            (1)
</center>
де eijg, - похибка досліду (або шум), яка вважається незалежною нормально розподіленою випадковою величиною з математичним сподіванням нуль і дисперсією σ2, або
<center>
<math>{{e}_{ijg}}=HHP(0,{{\sigma }^{2}}).</math>            (2)
</center>
Покажемо, що моделі для планування експериментів є окремими випадками моделей лінійної регресії [21]. Знайдою середнє за всіма дослідами:
<center>
<math>\mu =\frac{\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{}}\sum\limits_{i\in I}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{IJ}=\eta,</math>            (3)
</center>
де крапка означає усереднення по всіх значеннях відповідного індексу.
Якщо знайти середнє значення відгуку для фактора А на рівні і з усіма рівнями фактора В, то
<center>
<math>{{A}_{i}}=\frac{\sum\limits_{j\in J}^{{}}{{{\eta }_{ij}}}}{J}={{\eta }_{i\bullet }}.</math>            (4)
</center>
Тоді αAi, - головний ефект фактора А на рівні і визначається як різниця між його середнім і загальним середнім:
<center>
<math>\alpha _{i}^{A}={{A}_{i}}-\mu ={{\eta }_{j}}-\eta .</math>             (5)
</center>
З виразів (3)-(5) видно, що середнє головного ефекту дорівнює нулю, тому що
<center>
<math>\sum\limits_{i=1}^{I}{\alpha _{i}^{A}=\frac{1}{J}\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j}{{{\eta }_{ij}}-\sum\limits_{i}{\mu =I\mu -I\mu =0}}}}.</math>             (6)
</center>
Головний ефект фактора В на рівні j визначаємо як
<center>
<math>\alpha _{j}^{B}={{B}_{j}}-\mu =\frac{1}{I}\sum\limits_{i}{{{\eta }_{ij}}-\mu =\eta -\eta.}</math>             (7)
</center>
Аналогічно
<center>
<math>\sum\limits_{j=1}^{J}{\alpha _{j}^{\beta }=0.}</math>             (8)
</center>
Якщо припустити, що фактори не взаємодіють між собою, то одержимо таку модель для планування проведення експерименту:
<center>
<math>M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}.</math>             (9)
</center>
З виразу (9) маємо
<center>
<math>{{\eta }_{i1}}-{{\eta }_{i2}}=\alpha _{1}^{B}-\alpha _{2}^{B}.</math>             (10)
</center>
Вираз (10) є вірним для всіх рівнів і фактора А.
Відобразивши графічно, як фактор А впливає на рівень і фактора В, одержимо паралельні криві відгуку (рис. 1). Якщо є взаємодія між факторами А \ В, то зміна фактора А викликає різноманітні зміни відгуку на різних рівнях фактора В. Таку взаємодію між рівнями і та j факторів А, В відповідно визначаємо як
<center>
<math>\alpha _{ij}^{AB}={{\eta }_{ij}}-{{A}_{i}}-{{B}_{j}}+\mu ={{\eta }_{ij}}-{{\eta }_{i}}-{{\eta }_{j}}+\eta .</math>             (11)
</center>
[[Файл:Gvf.png‎|378x159px|border|center|Графік впливів факторів]]

<center>Рис.1 - Графік впливів факторів</center>

Аналогічно, як було у виразах (6) і (8), маємо:
<center>
<math>\alpha _{j}^{AB}=\alpha _{i}^{AB}.</math>            
</center>
Тоді загальна модель з урахуванням взаємодії двох факторів буде такою:
<center>
<math>M({{y}_{ijg}})={{\eta }_{ij}}=\mu +\alpha _{i}^{A}+\alpha _{j}^{B}+\alpha _{ij}^{AB}.</math>             (12)
</center>
Верхні індекси позначають фактори, що взаємодіють між собою, а нижні - рівні, для яких визначається ефект.
Покажемо, що модель факторного експерименту с окремим випадком рівняння регресії. Для простоти будемо вважати, що немає взаємодії між факторами і повторень дослідів. Використовуючи вирази (1) і (9), отримаємо систему рівнянь
<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+{{e}_{12}}; \\
& ... \\
& {{y}_{32}}=\mu +\alpha _{3}^{A}+\alpha _{3}^{B}+{{e}_{32}}; \\
\end{align}</math>             (13)
</center>
яку в матричному вигляді можна записати так:
<center>
<math>{Y}=X{\beta }+{e},</math>             (14)
</center>
де
<center>
<math>{{{Y}}^{T}}=[{{y}_{11}},{{y}_{12}},...,{{y}_{32}}],</math>             (15)
</center>
X- матриця причинних або незалежних (фіктивних) факторів:

<center>
<math>X=\left[ \begin{matrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right],</math>             (16)
</center>
де перший стовпчик - це значення µ, другий, третій і четвертий – αAi п'ятий і шостий - αβi, і = 1, 2, 3; j = 1, 2; - вектор ефектів або параметрів. Транспонований вектор
<center>
<math>{{{\beta }}^{T}}=[\mu ,\alpha _{1}^{A},\alpha _{2}^{A},\alpha _{3}^{A},\alpha _{1}^{B},\alpha _{2}^{B}].</math>             (17)
</center>
Вектор помилок:
<center>
<math>{{{e}}^{T}}=[{{e}_{11}},{{e}_{12}},...,{{e}_{32}}].</math>             (18)
</center>
На основі виразів (6) і (8) отримаємо двосторонні умови:
<center>
<math>\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{A}+\alpha _{3}^{A}=0;</math>            (19)

<math>\alpha _{1}^{B}+\alpha _{2}^{B}=0.</math>             (20)
</center>
Обмеження (19) і (20) разом із так званими нормальними рівняннями вигляду
<center>
<math>{{X}^{T}}{Y}={{X}^{T}}X{\beta }</math>             (21)
</center>
дають лише одні оцінки МНК. З регресійного аналізу відомо, що у разі справедливості виразу (11) ці оцінки одночасно будуть і оцінками максимальної правдоподібності, а також лінійними незміщеними оцінками з мінімальними значеннями дисперсії.
Таким чином, моделі факторних планів - це окремий випадок загальної лінійної регресійної моделі Вектор параметрів β містить сумарне середнє, головні ефекти і взаємодії; матриця незалежних змінних X складається лише з двох значень – 0 і 1 (використовують також позначення +1 та-1. або просто символи «+» і «-»). Отже, планування експерименту означає, що X вибирається таким чином, щоб оцінки мали деякі бажані властивості.

=Дворівневий факторний план=

Повний факторний експеримент передбачає реалізацію всіх можливих комбінацій рівнів факторів. У найпростішому випадку значення факторів задають на двох рівнях. За наявності к факторів, загальна кількість комбінацій буде 2k.
Розглянемо графічну інтерпретацію факторного експерименту (рис.2). Вважатимемо, що нижньому рівню фактора відповідає значення -1. верхньому +1, а основному – 0. Виконати подібне перетворення можна так:
<center>
<math>{{\widetilde{x}}_{i}}=\frac{({{x}_{i}}-{{x}_{i0}})}{ x},i=\overline{1,k}.</math>            
</center>
[[Файл:P2.png‎|508x193px|border|center|Графічне зображення плану 22]]

<center>Рис.2 - Графічне зображення плану 22</center>

Розглянемо результати проведення експериментів, зведені в табл. 2.
<center>
Таблиця 2. План дворівневого факторного експерименту

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="71" rowspan="2" valign="top">Фактор А </td>
<td colspan="2" valign="top">Фактор В </td>
</tr>
<tr>
<td width="67" valign="top">Рівень 1</td>
<td width="91" valign="top"> Рівень 2</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 1</td>
<td width="67" valign="top">y111 
y112</td>
<td width="91" valign="top">y121 
y122</td>
</tr>
<tr>
<td width="71" valign="top"> Рівень 2</td>
<td width="67" valign="top"> Y211 
y212</td>
<td width="91" valign="top"> y221 
y222 </td>
</tr>
</table>
</center>
На основі даних табл. 2 можна записати таку систему рівнянь:
<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu +\alpha _{1}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{12}^{AB}+{{e}_{12}}; \\
& {{y}_{21}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{1}^{B}+\alpha _{21}^{AB}+{{e}_{21}}; \\
& {{y}_{22}}=\mu +\alpha _{2}^{A}+\alpha _{2}^{B}+\alpha _{22}^{AB}+{{e}_{22}}; \\
\end{align}</math>             (22)
</center>
Оцінки параметрів моделі (22) за МНК можна знайти з урахуванням додаткових умов, які випливають із виразів (6), (8) і (11). Тоді отримаємо:
<center>
<math>\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};</math>             (23)

<math>\alpha _{1}^{A}=\alpha _{2}^{A};</math>             (24)

<math>\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>             (25)

<math>\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>            (26)

<math>\alpha _{22}^{AB}=-\alpha _{21}^{AB}=\alpha _{11}^{AB};</math>             (27)
</center>
Підставивши вирази (23)-(27) у вираз (22), отримаємо систему рівнянь:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{11}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{11}}; \\
& {{y}_{12}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{12}}; \\
& {{y}_{21}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{21}}; \\
& {{y}_{22}}=\mu -\alpha _{2}^{A}-\alpha _{2}^{B}-\alpha _{11}^{AB}+{{e}_{22}}; \\
\end{align}</math>             (28)
</center>
Запишемо систему рівнянь (28) у матричному вигляді
<center>
<math>{Y}=X{\beta }+{e,}</math>             (29)

<math>{{{Y}}^{T}}=({{y}_{11}},{{y}_{12}},{{y}_{21}},{{y}_{22}}),</math>             (30)

<math>X=\left[ \begin{matrix}
+1 & -1 & -1 & +1 \\
+1 & -1 & +1 & -1 \\
+1 & +1 & -1 & -1 \\
+1 & +1 & +1 & +1 \\
\end{matrix} \right],</math>             (31)

<math>{{{\beta }}^{T}}=(\mu ,\alpha _{2}^{A},\alpha _{2}^{B},\alpha _{11}^{AB}),</math>             (32)

<math>{{{e}}^{T}}=({{e}_{11}},{{e}_{12}},{{e}_{21}},{{e}_{22}}).</math>             (33)
</center>
Зауважимо, що стовпчики матриці X - ортогональні, тобто
<center>
<math>{x}_{i}^{T}{{{x}}_{j}}=0,(i\ne j),</math>            
(34)</center>

де і ) - будь-які два стовпчики матриці X. Очевидно, що X - невироджена матриця. Отже, оцінки МНК вектора такі: (35)
З виразу (34) і за умови, що

<center>
<math>{x}_{i}^{T}{{{x}}_{j}}=0,(i\ne j),</math>             (36)
</center>
де N - число дослідів (у нашому випадку N = 4), отримаємо

<center>
<math>({{X}^{T}}X)=NI,</math>             (37)
</center>
де І - одинична матриця.
Тоді деякий h-й елемент ХT визначається як
<center>
<math>\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}},(h=\overline{1,H})},</math>             (38)
</center>
де Xgh – g-й елемент вектора ; Н - загальне число параметрів (у даному випадку чотири). Підставимо вирази (37) і (38) у вираз (35). Тоді
<center>
<math>{{b}_{n}}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gh}}{{y}_{g}}.}</math>             (39)
</center>
Звідси
<center>
<math>{{b}_{1}}=\widehat{\mu }=\frac{1}{4}({{y}_{11}}+{{y}_{12}}+{{y}_{21}}+{{y}_{22}})=y</math>             (41)
</center>
Порівняємо вираз (41) з визначенням головного ефекту :
<center>
<math>\alpha _{2}^{A}=\eta -\eta.</math>             (42)
</center>
Як бачимо, оцінка головного ефекту співпадає зі значенням самого ефекту. Таким самим способом можна показати, що оцінки за МНК головного ефекту і ефекту взаємодії утворюються просто за аналогією з їхніми визначеннями (7) і (11).
Зверніть увагу, в матриці X перший стовпчик стосується тільки сумарного середнього ц і містить лише одиниці зі знаком плюс. Другий та третій стовпчики відповідають головним ефектам і факторів А і В відповідно. Елемент g (g= ) цих стовпчиків приймає значення – 1, якщо фактор знаходиться на
нижньому рівні, та +1 на верхньому рівні. Для якісних факторів нижній і верхній рівні є лише мнемонічними символами.
Четвертий стовпчик матриці X показує результат взаємодії двох факторів . Елементи цього стовпчика - добуток елементів другого і третього стовпчиків Тоді регресій ну модель можна записати як
<center>
<math>{{y}_{g}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{2}{{{d}_{gs}}{{\beta }_{s}}+({{d}_{g1}}{{d}_{g2}}){{\beta }_{12}}+{{e}_{g}},g=\overline{1,N}},</math>             (43)
</center>
де dgs, – -1. якщо фактор S в g-му досліді приймає значення нижнього рівня і dg, – +1 – у протилежному випадку. β0- загальне середнє µ; βs – головний ефект S-го фактора (наприклад, ); β12 ефект взаємодії двох факторів ()
Рівняння (43) - це повний поліном другого степеня без квадратичних членів (немає членів ).

=Факторний план 2k=

Розглянемо факторний план для випадку, коли k = 3 (табл 3).
<center>
Таблиця 3. Матрица повного факторного експерименту 2k

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td width="78" valign="top">Комбінації </td>
<td width="226" colspan="3" valign="top">Фактори </td>
<td width="76" rowspan="2" valign="top"> 
Відгук </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">факторів </td>
<td width="68" valign="top">А </td>
<td width="72" valign="top">В </td>
<td width="80" valign="top">С</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">1</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">1</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">2</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">-1 </td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">a</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">3</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">4</td>
<td width="68" valign="top">+ 1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">-1</td>
<td width="76" valign="top">ab </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">5</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">6</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">-1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1 </td>
<td width="76" valign="top">ас</td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">7</td>
<td width="68" valign="top">-1</td>
<td width="72" valign="top">+ 1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">bc </td>
</tr>
<tr>
<td width="78" valign="top">8</td>
<td width="68" valign="top">+1</td>
<td width="72" valign="top">+1</td>
<td width="80" valign="top">+ 1</td>
<td width="76" valign="top">abc </td>
</tr>
</table>
</center>

Для k факторів стовпчик S-го фактора (s = ) містить спочатку 2r-1 значень -1, потім 2s-1 значень +1, 2s-1 значень -1 і т. д.
Відгук системи визначається згідно з наступним правилом: якщо в досліді фактор А приймає значення верхнього рівня, то у відгуку символ а присутній, якщо нижнього рівня - відсутній Аналогічно обчислюється відгук для всіх інших факторів. Значення +1 у таблиці показує, що в даному досліді фактор приймає значення верхнього рівня, а - 1 - нижнього. Загальне число дослідів N = 2k.
З матриці плану очевидно, що в одній половині дослідів фактор А приймає значення верхнього рівня, а в іншій - нижнього. Оцінка головного ефекту фактора А обчислюється за формулою

<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{\sum\limits_{i}{{{y}_{i}}}}{{N}{2}}-\frac{\sum\limits_{j}{{{y}_{j}}}}{{N}{2}}.</math>             (44)
</center>
У цьому виразі індекс і відповідає відгукам для тих комбінацій факторів, при яких фактор А приймає значення на верхньому рівні, а; - відповідно на нижньому. Тому вираз (44) еквівалентний виразу
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{2}{N}\left\{ \sum\limits_{i}{(+1){{y}_{i}}+\sum\limits_{j}{(-1){{y}_{j}}}} \right\}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g1}}{{y}_{g}},}</math>            
</center>

де xg1 - g-й елемент стовпчика 1-го фактора У загальному випадку оцінка головного ефекту фактора s має такий вигляд:
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{s}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{gs}}{{y}_{g}}},(s=\overline{1,k}).</math>             (45)
</center>
Можна показати, що аналогічно виразам (22) – (42) оцінка у виразі (45) – це оцінка за методом найменших квадратів головного ефекту фактора s. Можна довести, що оцінки за методом найменших квадратів для ефекту взаємодії факторів j, m, r визначаються як
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{j,m,...,r}}=\frac{2}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{({{x}_{gj}}{{x}_{gm}}...{{x}_{gr}}){{y}_{g}}.}</math>             (46)
</center>
Оцінки загального середнього за методам найменших квадратів обчислюються за формулою

<center>
<math>\widehat{\mu }=\overline{y}=\frac{1}{N}\sum\limits_{g=1}^{N}{{{x}_{g0}}{{y}_{g}},}</math>             (47)
</center>
де
<center>
<math>{{x}_{g0}}=1,g=\overline{1,N}.</math>            

Факторний експеримент 2k містить 2k комбінацій факторів або точок експерименту в k-вимірному просторі з координатами ±1,як зображено на рис. 1.

[[Файл:G23.png‎|321x243px|border|center|Графічне зображення плану 23]]

<center>Рис.3 - Графічне зображення плану 23</center>

Якщо позначити число дослідів через N, то можна визначити матрицю плану.

<center>
<math>D=\{{{d}_{ij}}\},(i=\overline{1,N};j=\overline{1,k}),</math>            
</center>

де dij= -1, якщо j-й фактор приймає значення на нижньому рівні в і-й комбінації.
Після додавання стовпчика з одних одиниць і всіх стовпчиків добутків шуканих факторів одержимо з матриці D матрицю незалежних змінних X.
Наведемо матриці D і X (табл. 4) для випадку, коли к = 3, в яких опущено одиниці.
<center>
Таблиця 4. Матриці плану і незалежних змінних

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0">
<tr>
<td colspan="4" valign="top">Матриця плану D</td>
<td colspan="15" valign="top">Матриця незалежних змінних X </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">1 </td>
<td width="47" valign="top"> 2 </td>
<td width="46" valign="top">3 </td>
<td width="13" valign="top">I </td>
<td width="19" valign="top">1</td>
<td width="28" valign="top">2 </td>
<td width="19" valign="top">3 </td>
<td width="25" valign="top">12 </td>
<td width="29" valign="top">13 </td>
<td width="25" valign="top">23 </td>
<td width="41" valign="top">123 </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+ </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">-</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top"> – </td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+ </td>
<td width="47" valign="top">+ </td>
<td width="46" valign="top">– </td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top"> – </td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">– </td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">– </td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">– </td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">– </td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">– </td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">– </td>
</tr>
<tr>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="47" valign="top">+</td>
<td width="46" valign="top">+</td>
<td width="13" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="28" valign="top">+</td>
<td width="19" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="29" valign="top">+</td>
<td width="25" valign="top">+</td>
<td width="41" valign="top">+</td>
</tr>
</table>
</center>
Загальне середнє, головні ефекти та всі ефекти взаємодії можна оцінити, якщо помножити відповідний стовпчик матриці X на стовпчик спостереження У. Рівняння регресії з k факторами на двох рівнях тоді записується так:

<center>
<math>\begin{align}
& {{y}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{J}{{{x}_{ij}}{{\gamma }_{j}}+{{e}_{i}}={{\beta }_{0}}+\sum\limits_{s=1}^{k}{{{d}_{is}}{{\beta }_{s}}+\sum\limits_{s=1}^{k-1}{\sum\limits_{z=s+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}){{\beta }_{sz}}+}}}} \\
& +\sum\limits_{s=1}^{k-2}{\sum\limits_{z=s+1}^{k-1}{\sum\limits_{\upsilon =z+1}^{k}{({{d}_{is}}{{d}_{iz}}{{d}_{i\upsilon }}){{\beta }_{sz\upsilon }}+...+}}}({{d}_{i1}}{{d}_{i2}}...{{d}_{ik}}){{\beta }_{123}}...k+{{e}_{i}}, \\
\end{align}</math>            
</center>
де xij і dij – елементи матриць X, D відповідно; J = 2к – число параметрів регресії уj. Ці параметри позначають загальне середнє β0. головний ефект βs ефекти двофакторної взаємодії β s2 .., ефекти взаємодії k факторів β12…k .

=Дробовий дворівневий факторний експеримент=

Планування експерименту звичайно застосовується для визначення важливих факторів, що істотно впливають на відгук (відсівний експеримент). Враховуючи те. що із зростанням числа факторів кількість комбінацій факторів швидко збільшується, необхідно виділити найбільш важливі фактори, тобто попередньо відсіяти незначущі фактори. Для цього використовуються плани порядку 2 k-р, коли ефекти взаємодії більш високого порядку приймаються рівними нулю (вважається, що поліном низького порядку дасть адекватне регресійне рівняння).
Кількість дослідів у повному факторному експерименті значно перевищує кількість обумовлених коефіцієнтів лінійної моделі головного експерименту, тобто повний факторний експеримент є надмірним. Якщо припустити, що деякі ефекти в цих планах є нульовими, то для побудови моделі знадобиться менше ніж 2к дослідів. Щоб зробити такий вибір, необхідно знайти, до яких наслідків призведе відкидання деяких дослідів Розглянемо приклад повного факторного експерименту 23 (табл.5).
<center>
Таблиця 5. Матриця повного факторного експерименту 23

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" width="30%">
<tr>
<td width="61" rowspan="2" valign="top">№ 
Досліду</td>
<td colspan="10" valign="top">Матриця незалежних зміних X </td>
</tr>
<tr>
<td width="30" valign="top">I </td>
<td width="22" valign="top">1 </td>
<td width="24" valign="top"> 2</td>
<td width="23" valign="top">3 </td>
<td width="36" valign="top">12 </td>
<td width="33" valign="top">13 </td>
<td width="24" valign="top">23 </td>
<td width="40" valign="top">123 </td>
<td width="54" valign="top">М(y) </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">1</td>
<td width="30" valign="top">+</td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">1 </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">2</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">а </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">3</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">4</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">–</td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">аb </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">5</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">6</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">–</td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">ас </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">7</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">–</td>
<td width="33" valign="top">–</td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">–</td>
<td width="54" valign="top">bс </td>
</tr>
<tr>
<td width="61" valign="top">8</td>
<td width="30" valign="top">+ </td>
<td width="22" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="23" valign="top">+ </td>
<td width="36" valign="top">+ </td>
<td width="33" valign="top">+ </td>
<td width="24" valign="top">+ </td>
<td width="40" valign="top">+ </td>
<td width="54" valign="top">аbс </td>
</tr>
</table>
</center>
Припустимо, що проведено лише чотири досліди, для яких
<center>
x1x2х3 = +1.
</center>
Тоді викреслимо із плану 1-й, 4-й. 6-й, 7-й рядки (отримаємо табл. 6) і покажемо. як обчислити оцінки ефектів парної взаємодії із неповного факторного експерименту для чотирьох дослідів, що залишились. Наприклад, для стовпчика І отримаємо оцінку головного ефекту
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{A}}=\frac{2}{N}({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}}),</math>             (48)
</center>
де число дослідів N = 4.
<center>
Таблиця 6. Неповний факторний експеримент (x1 x2 х3 =+ 1 )

<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="0" width="25%">
<tr>
<td width="19%" valign="top">№ </td>
<td colspan="8" valign="top">Матриця незалежних змінних X </td>
<td width="16%" rowspan="2" valign="top"> 
M(y) </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" height="30" valign="top">Досліду </td>
<td width="8%" valign="top">I </td>
<td width="6%" valign="top">1 </td>
<td width="6%" valign="top">2</td>
<td width="6%" valign="top">3 </td>
<td width="7%" valign="top">12 </td>
<td width="8%" valign="top">13 </td>
<td width="7%" valign="top">23 </td>
<td width="17%" valign="top">123 </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">2</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">–</td>

<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="8%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">а </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">3</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">b </td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">5</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">–</td>
<td width="6%" valign="top">– </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="8%" valign="top">–</td>
<td width="7%" valign="top">–</td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">с</td>
</tr>
<tr>
<td width="19%" valign="top">8</td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="6%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="8%" valign="top">+ </td>
<td width="7%" valign="top">+ </td>
<td width="17%" valign="top">+ </td>
<td width="16%" valign="top">abc </td>
</tr>
</table>
</center>

З формули (48) видно, що фактор знаходиться на верхньому рівні в дослідах 2 і 8. а на нижньому рівні - в дослідах 3 і 5. Звідси ефект фактора А:
<center>
<math>\frac{a+abc}{2}-\frac{b-c}{2}=\frac{1}{2}(a+b-c+abc).</math>            
</center>
Розглянемо тепер стовпчик , з якого одержуємо:
<center>
<math>{{\widehat{\alpha }}^{BC}}=\frac{2}{N}({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}}).</math>             (49)
</center>
Взаємодія між двома факторами, що мають два рівні, визначиться таким чином. Якщо фактор С приймає значення верхнього рівня, то ефект фактора В визначається як
<center>
<math>{{\eta }_{22}}={{\eta }_{12}},</math>             (50)
</center>
а якщо фактор С приймає значення нижнього рівня, то ефект фактора В відповідно буде
<center>
<math>{{\eta }_{21}}-{{\eta }_{11}}.</math>             (51)
</center>
Взаємодія між факторами В і С матиме місце тільки у випадку, якщо значення виразів (50) і (51) будуть різні. Тоді взаємодія визначатиметься як «середня» різниця між (50) і (51), а саме:
<center>
<math>{{\alpha }^{BC}}=\frac{1}{2}\left[ ({{\eta }_{22}}-{{\eta }_{12}})-({{\eta }_{21}}-{{\eta }_{11}}) \right],</math>            
</center>
тобто ефект взаємодії між факторами В і С – це середнє арифметичне різниці значень ефектів В і С на їх верхніх і нижніх рівнях відповідно.
Ефект взаємодії між факторами В і С, за умови що фактори В і С знаходяться на верхньому та нижньому рівнях відповідно, можна визначити як abc - с. Якщо фактор С приймає значення на нижньому рівні, ефект В можна оцінити як b а Половина різниці між цими ефектами становить
<center>
<math>\frac{1}{2}(abc-c)-(b-a)=\frac{1}{2}(abc-c-b+a).</math>             (52)
</center>
Порівняємо вирази (49) і (48). Маємо такі ж оцінки дія ал і вeC. Або іншим шляхом це можна показати. використовуючи останній стовпчик табл. 6:
<center>
<math>M({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}})=a-b-c+abc.</math>             (53)
</center>
Запишемо праву частину виразу (53) як
<center>
<math>\begin{align}
& a-b-c+abc=\frac{2}{N}(-1+a-b+ab-c+ac-bc+abc)+ \\
& +\frac{2}{N}(+1+a-b-ab-c-ac+bc+abc) \\
& \\
\end{align}</math>            
</center>
при N = А, або, враховуючи вирази (45) і (46), як
<center>
<math>a-b-c+abc={{\alpha }^{A}}+{{\alpha }^{BC}}.</math>             (54)
</center>
Об'єднавши вирази (53) і (54), отримуємо
<center>
<math>M({{y}_{2}}-{{y}_{3}}-{{y}_{5}}+{{y}_{8}})={{\alpha }^{A}}+{{\alpha }^{BC}}.</math>            
</center>
Із дробового факторного експерименту в цьому прикладі випливає, що мають місце однакові значення для головного ефекту фактора А та ефекту взаємодії факторій В і С. Не так звані змішані ефекти або ефекти, що оцінюються спільно. Якщо ефект взаємодії дорівнює нулю, значення виразу (у2 – y3 – y5 +y8) буде незміщеною оцінкою αA головного ефекту фактора А.
Таким чином, для побудови плану 2k відкидаємо ті рядки з повного факторного експерименту, що мають значення +1 дія деякого ефекту. Це так звані напіврепліки, тобто тут використовується половина повного факторного експерименту. Аналогічно, для другої напіврепліки необхідно відкинути ті рядки, які мають значення -1 для деякого ефекту.
При великій кількості факторів k навіть напіврепліки (тобто плани 2k-1) можуть виявитись занадто громіздкими. У цих планах деякі ефекти взаємодії високого порядку можна прирівняти до нуля, та взяти меншу частину від повного факторного експерименту. Репліки, що становлять (1/2)p частину повного факторного плану з k факторами, називають планом типу 2k-p
Плани можна застосовувати послідовно, тобто спочатку одержати спостереження для одних комбінацій рівнів факторів, потім для інших і після аналізу цих спостережень вирішити, для якої комбінації (старої або нової) слід провести додаткові спостереження. Нові спостереження знову аналізуються (звичайно разом з попередніми) для ухвалення рішення про подальші спостереження і т. д У планах 2k-p можна спочатку провести частину експерименту, проаналізувати спостереження, і якщо цей аналіз покаже, то дана частина експерименту занадто мала для оцінки всіх можливих ефектів, експеримент розширюють таким чином, щоб він дав змогу оцінити вплив усіх факторів.

=Висновки=

#Для будь-якого експерименту з моделлю має існувати можливість його повторного проведення іншими дослідниками.
#Вихідні дані імітаційних експериментів потрібно структурувати та інтерпретувати таким чином, щоб їх можна було використовувати для прийняття рішень стосовно структури і параметрів системи або моделі.
#Планування експерименту це розробка такого плану проведення експерименту. який дає можливість за мінімальну кількість прогонів моделі і за мінімальних затрат ресурсів зробити статистично значущі висновки або знайти найкращі рішення щодо функціонування системи.
#Імітаційне моделювання провадиться, як правило, з метою визначення деяких екстремальних значень характеристик модельованої системи (оптимізуючий експеримент) або для виявлення важливих факторів, що впливають на модельовану систему (висівний експеримент)
#Оцінювання точності результатів моделювання пов'язане з побудовою довірчих інтервалів для вихідних змінних (відгуків) моделі.
#Застосування методів зниження дисперсії дає змогу при заданому обсязі вибірки збільшити точність оцінювання відгуку або при заданій точності скоротити обсяг вибірки.
#Під час моделювання рідких подій застосовують імітаційно-аналігичні моделі, основою яких є імітація повільних процесів та згортання швидких процесів завдяки укрупненням станів системи та усередненням її характеристик.

=Список використаних джерел=

#Моделювання систем - Томашевский В.М.:BHV, 2005. – 352с.
#Аністратенко В.О., Федоров В.Г. Математичне планування експерименту в АПК. К.: Вища школа, 1993. – 375 с.
#Теория эксперимента: Курс лекций. - А, В. Блохин. - Мн.: БГУ, 2002. - 67 с.

{{Завдання:Виступ|Залецький Михайло|17 лютого 2010|Регресійні моделі при повному дворівневий дробовому факторному експерименті. Визначення коефіцієнтів регресії}}

[[Категорія:ПЕ-2010]]
[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експеримента]]
[[Категорія:Регресійні моделі при повному 2 дробовому факторному експерименті. Визначення коефіцієнтів регресії]]
[[Категорія:Повний факторний експеримент]]
[[Категорія:Факторний план 2k]]

2010-02-24T20:39:58Z

Mars:

{{Студент
| ім'я = Михайло Залецький
| повне-ім'я = {{Прапорець|UKR}} Залецький Михайло 
| дата-народження = {{Дата з віком|1988|9|20}}
| місце-народження = [[Тернопіль]]
| країна-народження = [[Україна]]
| зріст = 180
| вага = 68
| прізвисько = ''«марс»'', ''«марсі»''
| улюблені клуби = {{Прапорець|ESP}} [[Барселона (ФК)|«Барселона»]] {{Прапорець|ENG}} [[Ліверпуль(ФК)|«Ліверпуль»]]
|}}

'''Залецький Михайло''' ({{lang-es|Zaletskyi Mykhailo}}, нар. [[20 вересня]] [[1988]], [[Тернопіль]]) — [[студент]].

[[Файл:Mars.jpg|200px|border|right]]
Батько - Залецький Микола Петрович (1964р.н.), за освітою інженер, мати Залецька Олександра Михайлівна (1965р.н.) - швея. У сім'ї я був першим і єдиним сином. У мене є дві молодші сестри Наталя на 2 роки молодша за мене, та Софія на 6 років молодша. Багато веселих історій з дитинства залишилось в пам’яті :). У дитячий садок я ходити не любив - там хоч і було цікаво й весело, але одноманітно. Самим яскравим враженням стала розповідь вихователя про те, що Діда Мороза не існує... В останній рік у садку з величезним нетерпінням чекав моменту, коли нарешті піду в школу, де було стільки невідомого, вабливого своєю загадковістю й дорослістю, де зможу багато навчитися й багато чого збагнути. З свідомого віку любив малювати (до цих пір збереглося багато малюнків та зошитів). Окрім малювання я живив якийсь технократичний інтерес до розбирання майже всього, що попадалося під руки.

== Школа ==

Туманним вересневим ранком батьки привели мене в школу №23 м. Тернополя, мені було 7 років. Я сонний стояв на «лінійці» і не розумів, що ми всі тут робимо, нам розповідали якісь правила ще щось, не пам'ятаю, загалом, бюрократія 37 порядку. Вчився добре. Із знаменних подій 23ої школи запам'яталися декілька бійок в молодших класах. У шкільний час з'являється нове хобі – пішохідним туризмом яким я займався 6 років, також баскетбол, волейбол та багато інших цікавих занять які більше місяця не витримував. У 10 класі трохи почав вивчати Pascal. До закінчення школи мені стало ясно, що моє подальше життя буде пов'язано з інформаційними технологіями. Хоча у виборі професії і університету мені було важко з відповіддю, як і у дитинстві коли у мене питали, ким я хочу бути. Через деякий час, я почав посилено займатися математикою і інформатикою це мало одну мету на той час - поступити в інституту по рейтингах.

== Інститут ==

І ось у 2005 році я поступив в Галицький інститут імені В’ячеслава Чорновола на спеціальність - "Програмна інженерія " факультету комп'ютерних технологій. Однією з перших лекцій була лекція Мушак Андрій Ярославович, спочатку мені здавалося, що в аудиторію зайшов заблукавший студент, але - це був викладач. Під час лекцій одногрупник який сидів позаду мене кинув фразу та я свій комп’ютер 100 раз розбирав , думаю оце комп’юторщик , але пізніше він не раз звеселяв нашу групу своїми історіями про паяльник , телевізор «Весна», і легеньку музику Slipknot яку він слухав коли паяв телевізор «Весна». Його усі називали Айн скорочено від Ейнштейн :). Також був в духівник групи Владика Михасько якого на довго запам’ятала на довго група, Кіт який виграв «Золотий гранчак» гордість групи =). У подальшому навчанні оцінки отримував по повній групі подій від 3 до 5. Гарні і відмінні оцінки переважали в основному по предметах пов'язаних з IT. У 2009 році отримав диплом бакалавра за фахом " Програмна інженерія ". Тема моєї магістерської роботи "Розробка сайту для архітектурної компанія ”Like Home Design”. Моїм науковим керівником є Круцкевич Назар Дмидрович.

== Університет ==

Продовжив навчання в магістратурі Тернопільського державного технічного університету імені Івана Пулюя. Магістерська робота присвячена темі: "Побудова алгоритму та створення онлайн системи для розробки та корекції проектних креслень архітектурної компанії." науковий керівник Приймак Микола Володимирович.

== Плани на майбутнє ==

Моїми планами на найближче майбутнє є успішний захист магістерської дисертації, а також зміцнення знання англійської мови і пристрій на високооплачувану перспективну роботу, де можливе кар'єрне зростання. Планую обов'язково навчитися грати на акустичній, а потім і на електрогітарі. Трохи пізніше написання доповіді і виступ з ним на конференції. У перспективі відкрити свою компанію по створенню програмного забезпечення, вийти на світовий ринок і захопити певний відсоток своєю продукцією. Амінь.

[[Категорія:Mars]]
[[Категорія:Залецький]]
[[Категорія:Народились 20 вересня]]
[[Категорія:Народились 1988]]