Довірчі інтервали

2020-06-24T08:26:19Z

Долженко Дмитро:

{{Невідредаговано}}
{{Студент | Name= Юрій | Surname= Яскевич| FatherNAme=|Faculti=ФІС | Group=СНм-51 | Zalbook=}}
<center>
{|
|-
|{{Стаття Вікі| article=[http://uk.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%BE%D0%B2%D1%96%D1%80%D1%87%D0%B8%D0%B9_%D1%96%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B2%D0%B0%D0%BB_%D1%82%D0%B0_%D0%B9%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D1%96 Довірчий інтервал та його межі] }} || {{Презентація доповіді |title=[http://elartu.tstu.edu.ua/handle/123456789/351 Довірчий інтервал та його межі]}}
|}</center>

= Довірчі інтервали та їх межі =
== Основні положення ==

Для повного уявлення про точність вимірювань та надійність оцінки випадкових відхилень результатів вимірювань, особливо при обмеженій кількості значень вимірюваної величини, необхідно задатися довірчими межами, довірчим інтервалом та довірчою ймовірністю.
Нехай
<math>\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\equiv ~x~</math> - n незалежних спостережень над випадковою величиною з законом розподілу F(z/a), що залежить від параметра a, значення якого невідомо.
Довірчі межі випадкових похибок — це верхня та нижня межі інтервалу, в які похибки потрапляють із заданою ймовірністю Р. Величина Р називається довірчою ймовірністю. Для визначення довірчих меж похибок необхідно знати густину розподілу похибок та ймовірність потрапляння похибок у довірчі межі. Якщо не ввести обмеження, то задача матиме множину розв'язків.
#Визначення 1. Функція спостережень a1(x1,...,xn) (помітимо, що це випадкова величина) називається нижньою довірчою границею для параметра a з рівнем довіри РД (звичайно близьким до 1), якщо при будь-якому значенні виконується P
<math>P\{{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\le a\}\ge {{P}_{}}</math>.
#Визначення 2. Функція спостережень a2(x1,...,xn) (випадкова величина) називається верхньою довірчою границею для параметра з рівнем довіри РД , якщо при будь-якім значенні
<math>P\{{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\ge a\}\ge {{P}_{}}</math>.
#Визначення 3. Інтервал з випадковими кінцями (випадковий інтервал)
I(x) = ( a1(x), a2(x) ) ,
обумовлений двома функціями спостережень, називається довірчим інтервалом для параметра a з рівнем довіри РД , якщо при будь-якім значенні a
<math>P\left\{ I\left( x \right)\in a \right\}\equiv P\{~{{a}_{1}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\le a\le ~{{a}_{2}}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)\}\ge {{P}_{}}</math>,
тобто імовірність ( що залежить від a) накрити випадковим інтервалом I(x) справжнє значення a - більше або дорівнює РД.

== Побудова довірчих границь і інтервалівтором ==

Для побудови довірчого інтервалу (чи границі) необхідно знати закон розподілу статистики
<math>\xi =\xi \left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)~</math>, по якій оцінюється невідомий параметр (такою статистикою може бути оцінка
<math>\xi =\hat{a}\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)~</math>). Один зі способів побудови полягає в наступному. Припустимо, що деяка випадкова величина
<math>\varphi =\varphi (\xi ,\text{ }a)~~</math>, що залежить від статистики
<math>\xi </math> і невідомого параметра a така, що:
#закон розподілу відомий і не залежить від a;
#<math>\varphi (\xi ,\text{ }a)~~~</math> є неперервною та монотонною по .
Виберемо діапазон для
<math>\varphi ~~</math> інтервал
<math>({{f}_{1}},{{f}_{2}})</math> так, щоб влучення в нього було практично вірогідно:
<math>P\{\text{ }f1\le \varphi (\xi ,\text{ }a)\le f2\text{ }\}\ge P~</math>
для чого досить у якості
<math>~f1~,f2</math> взяти квантилі розподілу
<math>\varphi </math> рівня (1- РД )/2 і (1+ РД )/2 відповідно. Перейдемо в до іншого запису випадкової події. Розв’язуючи нерівності щодо параметра a, одержимо (думаючи, що
<math>\varphi </math> монотонно зростає по a):
<math>\text{P}\{\text{ g}(\xi ,\text{ f1})\le \text{a}\le \text{g}(\xi ,\text{ f2})\text{ }\}\ge \text{P}</math>.
Це співвідношення вірне при будь-якім значенні параметра a, і тому, відповідно до визначення, випадковий інтервал
<math>(g(\xi ,\text{ }{{f}_{1}}),\text{ }g(\xi ,\text{ }{{f}_{2}}))</math> є довірчим для a з рівнем довіри РД . Якщо
<math>\varphi </math> спадає по a, інтервалом є
<math>(g(\xi ,\text{ }{{f}_{2}}),g(\xi ,\text{ }{{f}_{1}})\text{ })</math>.
Для побудови однобічної границі для a виберемо значення
<math>f1,f2</math> так, щоб
<math>~~~~~~\text{P}\{\varphi (\xi ,a)\ge {{f}_{1}}\}\ge {{P}_{}},~~~~~{{f}_{1}}=Q\left( 1\text{ }-\text{ }{{P}_{}} \right)</math>
чи
<math>\text{P}\{\varphi (\xi ,a)\le {{f}_{2}}\}\ge {{P}_{~}}{{,}_{~~~~}}~{{f}_{2}}=\text{ }Q\left( {{P}_{}} \right)</math>
де
<math>Q(P)</math> - квантиль рівня
<math>P</math>. Після розв’язання нерівності одержимо однобічні довірчі границі для a.

[[Файл:Безымянный.jpg]]

<center>Рисунок - Довірчі межі та довірчі ймовірності.</center>

Для звичайних технічних вимірювань, коли не вимагається високий ступінь надійності та точності, довірча ймовірність береться у межах 0,9—0,95.
Виходячи з нормального закону розподілу, можна розраховувати ймовірність виникнення випадкових похибок з різними значеннями.

== Рівень довіри ==

Рівень довіри РД означає, що правило визначення інтервалу дає вірний результат з імовірністю РД, що звичайно вибирається близькою до 1, однак, 1 не дорівнює. Переконаємося статистично на прикладі в тім, що довірчий інтервал з рівнем довіри РД може не містити (з малою імовірністю 1- РД ) істинне значення параметру.
*Приклад. Розглянемо наведений випадковий інтервал I(x1, ..., xn), що при будь-якім значенні а накриває це значення з великою імовірністю РД:
Р{ I(x1,...,xn) є a } = РД ,
і тому, якщо знехтувати можливістю здійснення події
<math>a\notin I</math>, що має малу імовірність (1- РД), можна вважати подія
<math>a\in I\left( {{x}_{1}},...,{{x}_{n}} \right)</math> є практично достовірною, тобто можна вірити тому, що обчислений за конкретними спостереженнями x1,...,xn інтервал I містить невідоме значення параметра а.
Проведемо випробування інтервалу на 50 вибірках обсягу n=10 для трьох рівнів довіри РД : 0.9 , 0.99 , 0.999 (відповідно, три значення fp) .
При РД = 0.9 число невірних з k =50 результатів виявиться в околиці 5, тому що середнє число невірних
k(1- РД) = 5.
При РД =0.99 поява хоча б одна невірного з k =50 досить ймовірна: імовірність цієї події
<math>1-\text{ }{{}_{\mathbf{}}}^{k}=1-{{0.99}^{50}}\approx 0.61.</math>.
При РД =0.999 поява хоча б одна невірного є сумнівною: імовірність цієї події
<math>1-\text{ }{{}_{\mathbf{}}}^{k}=1-{{0.999}^{50}}\approx 0.05</math>.

=Список використаних джерел=

#Клепиков Н.П., Соколов С.Н. Анализ и планирование экспериментов методом максимума подобия. М.: Наука, 1964.[https://atlasedu.com.ua/wp-content/uploads/2020/06/klepikov_np_sokolov_sn_analiz_i_planirovanie_eksperimentov_m.zip завантажити файл djvu]
#Федоров В.В. Теория оптимального эксперимента. М.: Наука, 1971.
#http://window.edu.ru/window_catalog/pdf2txt?p_id=1180&p_page=1 – Основи планування експериментів (Січень 2010);
#http://uk.wikipedia.org/wiki/Планування_експерименту – Планування експерименту (Січень 2010);
#http://www.refine.org.ua/pageid-4881-4.html – Методи досліджень (Січень 2010).

{{Завдання:Виступ|Hek|11 березня 2010|Довірчі інтервали та їх межі.}}

[[Категорія:Виступ на семінарі]]
[[Категорія:Планування експерименту]]

Wiki ТНТУ - Внесок користувача [uk]

Довірчі інтервали