Автомодельність у гідрогазодинаміці

Автомодельність у гідрогазодинаміці

Автомодельність ("собі подібний") -розподіл в просторі залежних від часу величин пов'язаних між собою деяким перетворенням масштабів вимірювання залежних і незалежних зміних.Автомодельні рішення - це ті рішення,які виходять при використані теорії розмірності

Побудова Автомодельних рішень

Метод побудови автомодельних рішень можна розглядати як узагальнення методу розділення переміних.Відомо,що якщо шукані функції просторової координати x і часу t,задовільняючі деякій системі рівнянь в частиних похідних,представляються у вигляді:

$F(x,t)=\Phi\(x)\cdot\Psi\(x)$ (1)

використовуючи дану формулу цю систему можна привести до відповідних систем звичайних дифференціальних рівнянь відносно x та t.

Функції [math]\Phi\[/math] і [math]\Psi\[/math] можуть мати бульш складний вигляд.Вони можуть залежити від x та t не окремо,а від їх визначенних комбінацій,тобто мати один з наступних виглядів:

[math]F(x,t)=\Phi\(\frac{x}{M(t)})\cdot\Psi(t)\[/math], (2)

$F(x,t)=\Phi\(x)\cdot\Psi\(\frac{t}{L(x)})$, (3)

$F(x,t)=\omega(x-Dt) , D=const$ (4)

Величини [math]M(t),\Phi(t),L(x)\[/math] можуть бути степенними функціями,експоненціальними функціями своїх змінних,можуть мати і більш складний вигляд.

Автомодельні рішення приводять до представлення вихідних функцій в вигляді формули (2) або (3),де величини $M,\Phi\,L$ являються степенними функціями своїх параметрів,тобто:

$M(t)=M_0 t^n , \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Psi\(t)=\Psi_0\ t^{n_\Psi\}$ (5)

або

$L(x)=L_0 x^{n_L}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Phi\(x)=\Phi_0\ x^{n_A}$ (6)

де [math]M_0,\Phi_0\,L(0),\Psi_0\[/math]-розмірні,а $n,n_\Psi\,n_L,n_A$-безрозмірні постійні.

Процеси які описуються автомодельними рішеннями,зазвичай називають автомодельними процесами або автомодельними режимами.Зазвичай так говорять про автомодельний рух газів,про автомодельний режим переносу тепла в середовищі і т.д.

Загальною властивістю всі інваріантних рішеннь являється те,що в одномірному випадку вихідну задачу,сформульовану для системи рівнянь в частиних похідних,можна звести до задачі,сформульованій для відповідної системи звичайних дифференціальних рівнянь.

Умова автомодельності

Розглядаючи задачу про рух поршня в первісному нерухомому газі,отриманим при $t=0$ постійне значення плотності і тиску,тобто:

$\upsilon\(m,0)=0, \qquad \qquad \rho\(m,0)=\rho_0\, \qquad \qquad P(m,0)=P_0$ $\qquad \qquad$ (1)

При $t\gt 0$ поршень починає рухатись по степенневому закону,тобто швидкість поршня має вигляд: $\upsilon\(0,t)=\upsilon_0\ t^{n_1}$

де [math]\upsilon_0\[/math]-розмірна, $n_1$-безрозмірна постійна. Розмірні визначаючі параметри задачі наступні: [math]m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\[/math]

Формально до параметрів необхідно добавити ще безрозмірні постійні [math]n_1 , \gamma\[/math].

Розвязок задачі полягає в визначенні функціональних звязків виду

$\upsilon\ = \upsilon\(m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\,n_1,\gamma\)$,

$\rho\ = \rho\(m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\,n_1,\gamma\)$,

$P=P(m,t,\rho_0\,P_0,\upsilon_0\,n_1,\gamma\)$,

задовільняючі системі рівнянь і умові задачі.

Спершу необхідно встановити розмірності всіх величин,вибрав три основні одиниці вимірювання:довжини $(L)$ ,часу $\tilde{T}$ і масси $(M)$.

Розмірності параметрів наступним чином виражаються через символи основних одиниць вимірювання:

$[m]=M L^{-2}, \qquad \qquad [t]=\tilde{T}, \qquad \qquad [\rho_0\]=M L^{-3},$

$[P_0]=M L^{-1} \tilde{T}^{-2}, \qquad \qquad [\upsilon_0\] = L \tilde{T}^{-(n_1+1)}$

З пяти параметрів три параметри мають незалежну розмірність.Наприклад розмірності параметрів [math]t,\rho_0\,\upsilon_0\[/math] незалежні,так як символ масси $M$ входить в формулу розмірності лише одного з них.Розмірності двух інших параметрів виражаються через розмірності [math]t,\rho_0\,\upsilon_0\[/math] у вигляді степеневого одночлена.Дісно представимо:

[math]m=st^\alpha\ \rho_0\^\beta\ \upsilon_0\^\gamma\, \qquad \qquad P_0=\theta\t^\alpha_1\ \rho_0\^\beta_1\ \upsilon_0\^\gamma_1\[/math]

де [math]s,\theta\[/math]-безрозмірні величини.Співставивши розмірності правої і ілвої частини можна отримати

$\alpha\ = n_1+1,\quad \beta\ = 1,\quad \gamma\ = 1,\quad \alpha_1\ = 2n_1,\quad \beta_1\ = 1,\quad \gamma_1\ = 2$

тобто наступні безрозмірні комбінації

$s=\frac{m}{\rho_0\ \upsilon_0\t^{n_1+1}}$,

$\theta\ = \frac{P_0}{\rho_0\ \upsilon_0\^2 t^{2n}}$

Тепер розглянемо два окремих випадки задачі:

1) $n_1 = 0$(рух поршня з постійною швидкістю). В цьому випадку безрозмірна величина [math]\theta\[/math] являється постійною

$\theta\ = \theta_0\ = \frac{P_0}{\rho_0\ \upsilon_0\^2}$

Тому всі шукані функції будуть являтися функціями однієї незалежної зміної $s$

Це означає що рішеня задачі при $n_1=0$ буде автомодельним.При $n_1=0$ автомодельне рішеня має ту властивість що з часом міняє тільки масштаб незалежної зміної $m$.Масштаби самих шуканих функцій не міняються з часом.тобто вдоль оси ординат профілі шуканих величин не міняються.

2)$P_0=0$.В цьому випадку [math]\theta=0\[/math].Шукані функції будуть такожзалежити від однієї безрозмірної зміної $s$,тобто розвязок задачі буде автомодельним.При цьому,якщо $n_1\ne 0$ ,то з часом змінюється не тільки масштаб незалежної зміної,но і масштаби шуканих функцій швидкості і тиску.

Використання у гідрогазодинаміці

Даний метод автомодельності може використовуватись у гідрогазодинаміці для спрощеня розвязків важких задач а саме:

• при розрахунку задач на перенос тепла

• рівняня газової динаміки,описуючі ізентропічні і адіабатні течії

• про рух поршня з постійною швидкістю

• про рух газа пере поршенм в загальному випадку

• задач про сильний вибух

Використана література

$\bullet$П.П.Волосевич , Е.И.Леванов "Автомодельные решения задач газовой динамики и теплопереноса"

--Pengwin 19:42, 21 травня 2012 (UTC)