Кінематика рідин

Методи вивчення руху рідини

Кінематика рідини – розділ гідрогазодинаміки, в якому вивчаються лише геометричні властивості руху рідини. В силу цього всі основні виводи кінематики справедливі для любої рідини, як в’язкої, та і нев’язкої. В основу вивчення кінематики рідини покладені гіпотези про неперервність зміни кінематичних параметрів (швидкостей, прискорень). Тобто швидкість рідини передбачається неперервною функцією від координат, а отже такою, яку можна диференціювати. Для зручності досліджень любий рідинний об’єм представляють складеним із великої кількості рідинних частинок. У відповідності до цього до дослідження руху рідинної частинки можливий такий же підхід, як і до досліджень руху точки в механіці. Існують два основних метода дослідження кінематики рідини: метод Лагранжа і метод Ейлера. Переважне розповсюдження одержав метод Ейлера, згідно якого розглядається поле швидкостей в точках простору, занятого рідиною, що рухається. Поле швидкостей задається у вигляді

[math]u={{f}_{1}}(x,y,z,\tau );v={{f}_{2}}(x,y,z,\tau );w={{f}_{3}}(x,y,z,\tau );[/math] (1.0)

де ,u, v, w– проекції швидкості на декартові вісі координат;

x, у, z – координати точок простору;

[math]\tau[/math]- час

Залежності (1.1) описують неусталений рух, якщо [math]v={{f}_{2}}(x,y,z,\tau );w={{f}_{3}}(x,y,z,\tau );[/math]то рух усталений стаціонарний. Важливі в кінематиці поняття про лінії струменя і траєкторії частинок рідини, що рухаються. Лініями току називають криві, в кожній точці котрих в даний момент часу вектор швидкості співпадає по направленню з дотичною. Диференціальні рівняння ліній струменя мають вигляд

[math]\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}[/math](1.2)

а рівняння траєкторії –

[math]\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}=d\tau[/math](1.3)

Під траєкторією розуміють геометричне місце послідовних положень частинки, що рухається, в розглядаємій системі координат. При усталеному русі траєкторії і лінії току співпадають. Вектор швидкості частинки рідини можна представити

[math]\overline{C}=\overline{i}\cdot u+\overline{j}\cdot v+\overline{k}\cdot w[/math]

де [math]\overline{i},\overline{j},\overline{k}[/math]- базові вектори

Проекції прискорень рідинної частинки на декартові вісі координат визначають із співвідношень

[math]\begin{align} & \frac{du}{d\tau }=\frac{\partial u}{\partial \tau }+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial u}+w\frac{\partial u}{\partial z} \\ & \frac{dv}{d\tau }=\frac{\partial v}{\partial \tau }+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z} \\ & \frac{dw}{d\tau }=\frac{\partial w}{\partial \tau }+u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z} \\ \end{align}[/math](1.4)

Перші члени правих частин системи рівнянь (1.4) відбивають зміну проекцій швидкостей в даній точці простору в зв’язку зі нестаціонарністю поля швидкості і носять назву локальних прискорень, інші члени зв’язані з неоднорідністю поля швидкостей і називають конвективними прискореннями.

Трубка течії (1.5)

Струминна модель потоку введена Л.Ейлером. Основу цієї моделі складає поняття про елементарну струминку. Проведемо через кожну точку нескінченно малого контуру площею dω (рис. 1.5.) лінії течії. В результаті отримаємо поверхню, яку називають трубкою течії. Поверхня трубки течії непроникна для рідини. Це випливає з визначення для лінії течії. Обмежену трубкою течії рідину називають елементарною струминкою. Поверхню нормальну в кожній точці до лінії течії називають живим перетином струминки. У загальному випадку поверхня живого перетину є криволінійною, перетворюючись у плоску при паралельно-струминному потоці. При вивченні багатьох гідравлічних явищ трапляються випадки, коли струминки не паралельні одна одній, але кривина струминок невелика і кут розходження між ними дуже малий. Такий рух називають плавно-змінним.

Закон збереження маси

В гідродинаміці цей закон в загальному випадку представляється у вигляді рівняння нерозривності (суцільності)

Приклад для доведення закону збереження маси

[math]\frac{\partial \rho }{\partial \tau }+div(\rho \cdot \overline{C)}=0[/math](2.1)

де r – густина рідини. Для нестисливої рідини

[math]div(\rho \cdot \overline{C)}=0[/math] (2.2)

або в проекції на декартові вісі координат

[math]\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0[/math](2.3)

Рух нестисливого суцільного середовища можливий лише у випадку, коли для розглядаємого поля швидкостей справедлива рівність (2.3) Потік вектора швидкості через поверхню w є скалярною величиною, яка визначається за формулою

[math]Q=\int{\int\limits_{S}{\overline{C}\cdot }}\overline{n}\cdot d\omega[/math] (2.4)

де [math]n[/math]-нормальдо поверхні

[math]Q=\int{\int\limits_{S}{C\cdot \cos (nC}})\cdot d\omega[/math] або

В координатній формі

[math]Q=\int{\int\limits_{S}{(u\cdot {{n}_{x}}+v\cdot {{n}_{y}}+w\cdot {{n}_{z}}}}\cdot d\omega[/math](2.5)

Фізично потік вектора швидкості уявляє собою секундну об’ємну витрату рідини через поверхню w. Сукупність ліній течії, які проходять через всі точки нескінченно малого замкнутого контуру, утворюють поверхню, яка називається трубкою течії. Рідина, яка заключна в середині трубки току, називається струменем. Рівняння суцільності для струменя нестисливої рідини має вигляд

[math]dQ=u\cdot d\omega =\operatorname{co}nst[/math] (2.6)

де dQ – елементарна об’ємна витрата через поперечний переріз струменя;

– площа перерізу струменя.

Із рівняння (2.5) витікає, що елементарна об’ємна витрата стала вздовж струменя. Для потоку кінцевих розмірів рівняння нерозривності має вигляд

[math]Q=v\cdot \omega =const[/math] (2.7)

де V – середня швидкість в розглядаємому перерізі; w – площа поперечного перерізу потоку.

Одновимірна течія рідини

Рис. 3.1 Рух потоку рідини

Широке коло питань технічної механіки рідини може бути вирішене за допомогою специфічного підходу до вивчення руху рідини, котрий називається методом гідравліки. Його сутність полягає в наступному. Течію рідини подумки розбивають на ряд елементарних струминок (рис. 3.1), щоб вісь кожної з них була дотична до напрямку швидкості. Потім дійсну течію з різними швидкостями окремих струминок заміняють розрахунковою моделлю потоку, котрий рухається як одне суцільне ціле з сталою для всіх частинок в даному перерізі швидкістю. При такій схематизації течії швидкості і прискорення в напряму, нормальному до основного руху, не враховуються. Для опису такої течії достатньо тільки однієї координати простору – відстані l вздовж вісі потоку від перерізу, що розглядається, відносно деякої початкової точки О. Тому такий рух і називають одновимірним. Розв’язування задач одновимірної течії рідини є предметом гідравліки.

Живим перерізом [math]\omega[/math],[math]{{m}^{2}}[/math] називається площа поперечного перерізу потоку, яка нормальна до напрямку течії.

Витратою потоку [math]Q,{{m}^{3}}/c[/math]називається об’єм рідини , який протікає за одиницю часу через живий переріз потоку[math]\omega[/math],[math]{{m}^{2}}[/math]тобто

[math]Q=W/\tau[/math] (3.2)

де W – об’єм рідини в [math]{{m}^{3}}[/math] , який протікає за час t в секундах (хвилинах, годинах) через живий переріз потоку.

Середня швидкість потоку V , м/с, визначається за допомогою формули

[math]v=\frac{\int\limits_{\omega }{u}\cdot d\omega }{\omega }[/math] (3.3)

Змоченим периметром X , м , називається частина периметру живого перерізу, яка обмежена твердими стінками. Гідравлічним радіусом R , м , потоку називається відношення площі живого перерізу до змоченого периметру

[math]R=\omega /\chi[/math] (3.4)

Гідравлічний радіус характеризує розмір і форму перерізу потоку. Чим більше (для заданої площі перерізу) гідравлічний радіус, тим менша буде змочена поверхня стінок, а отже, тим менші і опори руху, які пропорційні змоченій поверхні. Масова витрата потоку, кг/с

[math]m=M/\tau[/math](3.5)

де [math]M=\rho \cdot W[/math] масова витрата потоку за час [math]\tau[/math], кг

[math]W=v\cdot \tau \cdot \omega ;M=\rho \cdot v\cdot \omega \cdot \tau ;m=\rho \cdot v\cdot \omega ;[/math]

[math]\rho[/math]-густина рідини кг/[math]{{m}^{2}}[/math]

При усталеному русі нестисливої рідини витрата рідини у всіх живих перерізах потоку однакова, тобто

[math]Q={{v}_{1}}\cdot {{\omega }_{1}}={{v}_{2}}\cdot {{\omega }_{2}}=...={{v}_{n}}\cdot {{\omega }_{n}}=const[/math] (3.6)

де [math]{{v}_{1}},{{v}_{2}}......{{v}_{n}}[/math]середні швидкості в відповідних живих перерізах потоку 1 , 2 , . . . n . Із цього рівняння витіка

[math]{{v}_{1}}/{{v}_{2}}={{\omega }_{1}}/{{\omega }_{2}}[/math] (3.7)

тобто середні швидкості зворотно пропорційні відповідним площам живих перерізів. Рівняння сталості витрати дозволяють розв’язувати задачі на визначення однієї з трьох величин

[math]Q,v,\omega ,[/math]якщо відомі дві інші.

Потенціал швидкості, функція току

Кутова швидкість обертання рідинної частинки

[math]\overline{\omega }=\frac{1}{2}rot\overline{C}[/math](4.1)

де [math]\overline{\omega }[/math]-вектор кутової швидкості

[math]rot\overline{C}[/math]-вихор вектора швидкості рідинної частки

В проекціях на декартові вісі координат

[math]\left. \begin{align} & {{\omega }_{x}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}) \\ & {{\omega }_{y}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}) \\ & {{\omega }_{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}) \\ \end{align} \right\}[/math] (4.1)

При потенційному (безвихровому) русі вектор

[math]rot\overline{C}=0[/math] (4.2)

в координатній формі запишеться так

[math]\left. \begin{align} & (\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z})=0 \\ & (\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x})=0 \\ & (\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y})=0 \\ \end{align} \right\}[/math] (4.3)

В потенційному полі існує скалярна функція j, яка зв’язана з вектором швидкості такою залежністю

[math]C=grad\varphi[/math] (4.4)

Ця функція називається потенціалом швидкості. Приймаючи до уваги потенціал швидкості для плоскої течії, визначимо проекції швидкості із наступних співвідношень

[math]u=\frac{\partial \varphi }{\partial x};v=\frac{\partial v}{\partial y}[/math] (4.5)

Криві j(х, у) = const називаються еквіпотенційними лініями. Рівняння нерозривності для потенційного руху нестисливої рідини перетворюється в рівняння Лапласа

[math]{{\nabla }^{2}}\cdot \varphi =0[/math] (4.6)

де[math]{{\nabla }^{2}}=\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{z}^{2}}}[/math] -оператор Лаплпса

для плоскої течії

[math]\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{y}^{2}}}=0[/math] (4.7)

Отже потенціал швидкості є гармонічною функцією. Для плоского потоку нестисливої рідини існує функція y(х, у), яка називається функцією струменя, для якої справедливі умови

[math]u=\frac{\partial \Psi }{\partial o};v=\frac{\partial \Psi }{\partial o}[/math] (4.8)

Вираз y(х, у) = const є рівнянням сімейства ліній струменів. Для безвихрового руху функція струменя, як і потенціал швидкості, задовольняє рівнянню Лапласа

[math]\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\Psi }{\partial {{y}^{2}}}=0[/math] (4.9)

Різниця значень функцій струменя на двох суміжних лініях струменя дорівнює витраті між ними, тобто

[math]{{\Psi }_{B}}-{{\Psi }_{A}}=Q[/math](4.10)

Функції j і y визначаються із співвідношень

[math]\frac{\partial \varphi }{\partial \widetilde{o}}=\frac{\partial \Psi }{\partial o};\frac{\partial \varphi }{\partial o}=-\frac{\partial \Psi }{\partial \widetilde{o}}[/math] (4.11)

які є умовними Коші-Рімана. Вони показують, що лінії[math]\varphi =const[/math] і [math]\Psi =const[/math] взаємно ортогональні. Для розв’язання практичних задач широко використовується метод накладання потенціальних потоків, які є слідством лінійності рівнянь Лапласа. Дійсно, якщо є два потоки з потенціалами [math]{{\varphi }_{1}}[/math] і [math]{{\varphi }_{2}}[/math] о потенціал швидкості нового результуючого потоку

[math]\varphi ={{\varphi }_{1}}+{{\varphi }_{2}}[/math] (4.12)

Аналогічно функція струменя буде дорівнювати алгебраїчній сумі функцій струменів вихідних потоків

[math]\psi ={{\psi }_{1}}+{{\psi }_{2}}[/math] (4.13)

Джерела і посилання

• Конспект лекцій з Гідрогазодинаміки для студентів груп КА,КТ.

• "Гидравлика, гидромашины и гидроприводы" Т.М. Башта, С.С. Руднев, Б.Б Некрасов, Ю.Л. Бабайков, Ю.Л. Кириловский - 1982 р.
• [Кінематика рідин]