Користувач:Valdemar88

Рівня́ння Берну́ллі — рівняння гідроаеромеханіки, яке визначає зв'язок між швидкістю v рідини, тиском p в ній та висотою h частинок над площиною відліку. Встановив його у 1738 р. Бернуллі Даніель Д. Бернуллі.

Для ламінарної течії ідеальної (нестисненої) рідини рівняння Бернуллі має вигляд: :[math]h+\frac{v^{2}}{2g}+\frac{p}{\rho g}=\text{const}[/math]

або

[math]h\rho g+p+\frac{\rho v^{2}}{2}=\text{const}[/math],

де ρ — густина рідини; g — прискорення вільного падіння.

В останньому рівнянні всі члени мають розмірність тиску, p — статичний тиск; [math]\frac{\rho v^{2}}{2}[/math] — динамічний тиск; hρg — ваговий тиск.

Якщо такі рівняння записати для двох перерізів течії, то матимемо:

[math]\frac{v_{1}^{2}}{2}+g h_{1}+\frac{p_{1}}{\rho}=\frac{v_{2}^{2}}{2}+g h_{2}+\frac{p_{2}}{\rho}[/math]

Для горизонтальної течії середні члени у лівій і правій частині рівняння скорочуються і воно набуває вигляду:

[math]\frac{v_{1}^{2}}{2}+\frac{p_{1}}{\rho}=\frac{v_{2}^{2}}{2}+\frac{p_{2}}{\rho}[/math]

тобто в усталеній горизонтальній течії ідеальної нестисненої рідини в кожному її перерізі сума статичного і динамічного тисків буде сталою. Отже, в тих місцях течії, де швидкість рідини більша (вузькі перерізи), її динамічний тиск збільшується, а статичний зменшується. На цьому явищі заснована дія струминних насосів, ежекторів, витратомірів Вентурі і Піко, пульверизаторів.

Рівняння Бернуллі є наслідком закону збереження енергії. Якщо рідина не ідеальна, то її механічна енергія розсіюється і тиск вздовж трубопроводу, яким тече така рідина, спадає. Для реальної в'язкої рідини в правій частині рівнянь, слід додати величину втрат тиску Δр_вт на гідравлічний опір рухові.

Рівняння Бернуллі широко застосовують для розв'язання багатьох гідравлічних задач у нафтогазовій справі.

Приклади застосування закону Бернуллі

Трубка Вентурі застосовується для вимірювання швидкості у трубах за допомогою вимірювання тиску у двох різних точках трубопроводу та, таким чином, допомагає запобігти наслідкам кавітації. Трубка Вентурі поступово звужує діаметр трубопроводу. Такий звужувальний отвір обмежує потік рідини, що зумовлює різницю тисків у точках вимірювання (на початку звуження та у найвужчій частині). Базується дане вимірювання на ефекті Вентурі, формулу для якого можна отримати із рівняння безперервності та закону Бернуллі: V₁S₁=V₂S2 (де S – площа взаємодії рідини з поверхнею трубки), V1=(S₂/S₁)V₂; p₁ - p₂= ρ/2 (V₂² - V₁²) = ρ/2 (V₂² – [(S₂/S₁)V₂]²); V = S1√((2(p₁ - p₂))/(ρ(S₁²-S₂²))).

Трубка Піто

Трубка Піто застосовується для вимірювання різниці тисків у двох точках, тобто за допомогою цієї трубки можна знайти динамічний тиск. Для рідин та газів відіграє роль манометра, один кінець якого спрямовано назустріч потоку, а інший виступає з нього та приєднаний до приладу, який вимірює тиск. Має вигляд букви “L”. Якщо перед отвором A швидкість зменшується до значення V₂ = 0, то p₂ – p₁ = ρ/2 V₁². При встановленні надлишкового тиску у трубці надлишковий тиск обчислюється за формулою p = ζ(V₀²ρ)/2, де ζ – коефіцієнт, V0 – швидкість налітаючого вихору.

Формула Торрічеллі

Закон Торрічеллі показує, що при витіканні ідеальної нестискувальної рідини зі щілини у боковій стінці або на дні посудини рідина набуває швидкості тіла, що падає з певної висоти. За допомогою цього можна обчислити максимальний рівень витоку рідини з посудини. Для підтвердження можна скористатись законом Бернуллі, вивівши з нього формулу Торрічеллі: ρgh + p₀ = (pV²)/2 + p₀, де p0 – атмосферний тиск, h – висота стовпу рідини у посудині, V – швидкість витікання рідини. Звідси V = √2gh.

У техніці та побуті

Пульверизатор

У пульверизаторі застосовується головний наслідок закону Бернуллі: зі зростанням швидкості відбувається зростання динамічного тиску та спадання статичного тиску. У капіляри пульверизатора вдувається повітря або пара. Вдування знижує атмосферний тиск у капілярі, і рідина з балону пульверизатора під дією більшого атмосферного тиску піднімається по капіляру. Там вона роздроблюється струменем повітря.

Водоструминний насос

Водоструминний насос – резервуар, у який впаяні дві трубки. Під дією тиску у першу трубку протікає вода, потрапляючи потім у другу трубку. У звуженій частині першої трубки виникає зменшений тиск, який менший за атмосферний. Тому у резервуарі створюється напруження. Трубку приєднують до резервуару, який проходить у посудину, з якої необхідно відкачати повітря.

Карбюратор

Карбюратор – пристрій у системі живлення карбюраторних двигунів внутрішнього згоряння, що застосовується для змішування бензину та повітря. Під час руху поршня у такті впускання тиск у циліндрі знижується. При цьому навколишнє повітря всмоктується циліндром через повітряну трубу карбюратора — дифузор. У найвужчій частині дифузора, де тиск відповідно найменший, розташовано розпилювач, із якого витікає паливо. Паливо подрібнюється струменем повітря на маленькі краплі, і утворюється горюча суміш.

Осушування боліт

Осушування боліт за принципом закону Бернуллі проводилося дуже давно. До болота підводили канали від найближчої річки. Внаслідок великої різниці тисків між водою з болота та водою з каналу вода з каналу “всмоктувала” воду з болота.

Ракета

У конструюванні ракет також застосовується закон Бернуллі. Для створення тяги у ракеті використовується паливо, яке спалюють у камері згоряння. Гази утворюють реактивний струмінь, який прискорюється, коли проходить через спеціальне звуження – сопло. Са́ме звуження сопла і є основною причиною прискорення реактивного струменя газів і збільшення реактивної тяги.

Свисток

Свисток являє собою приклад використання закону Бернуллі у газоструменевих випромінювачах звукових хвиль. Вихровий свисток являє собою циліндричну камеру, у подається потік повітря через тангенціально розташовану трубку. Утворений вихровий потік надходить у вихідну трубку меншого діаметру, яка розташована на осі. Там інтенсивність вихору різко підвищується та тиск в його центрі стає значно нижче атмосферного. Перепад тиску періодично вирівнюється за рахунок прориву газів з атмосфери у вихідну трубку та руйнування вихору.

Диск Релея

Диск Релея – прилад для вимірювання коливальної швидкості частинок у звуковій хвилі та сили звуку. Являє собою тонку пластинку круглої форми, із слюди або металу, підвішену на тонку кварцеву нитку. Зазвичай диск розміщують під кутом у 45º до напряму коливань частинок середовища, оскільки таке розташування найбільш чутливе до коливань. При розповсюдженні звукових хвиль диск повертається перпендикулярно до напряму коливань. Це відбувається через те, що при обтіканні пластинки тиск, згідно із законом Бернуллі більший у тому місці, де швидкість менша. Сили тиску уворюють обертальний момент, який урівноважується за рахунок пружності нитки. При цьому диск встановлюється до напряму потоку під кутом, що більший, ніж 45º. за кутом повороту диску визначають силу звуку. У постійному потоці кут повороту диска Релея пропорційний квадрату швидкості, при звукових коливаннях – квадрату амплітуди швидкості, і цей кут не залежить від частоти.

Неправильне застосування закону Бернуллі

Підіймальна сила літака зумовлюється специфічною будовою крила. Донедавна для пояснення причини підіймальної сили крила застосовували закон Бернуллі. Відповідно до закону Бернуллі, пояснення підіймальної сили літака виглядає так: крило має особливу будову – знизу воно має пряме, а його верхня частина заокруглена. Це дозволяє збільшити площу верхньої частини крила. Згідно із законом Бернуллі, із збільшенням швидкості тиск зменшується. А оскільки повітря долає шлях під крилом та над крилом за однаковий проміжок часу, під крилом виникає область із збільшеним тиском, що зумовлює підйом літака у повітря. Таким чином виникає підйомна сила.
Проте, згідно з сучасними уявленнями, підіймальна сила крила виникає не внаслідок закону Бернуллі. Рух повітряної маси перед крилом можна вважати суцільним, він характеризується одним показником швидкості. Коли повітряна маса контактує з крилом, вона розбивається на дві частини, які, внаслідок форми крила, мають різні швидкості і це зумовлює різний тиск. Однак це не може бути причиною підйомної сили, оскільки ці дві повітряні маси обтікають відповідно верхню і нижню частини крила не за однаковий час, бо, на відміну від колишніх уявлень, ці повітряні потоки не поєднуються на кінці крила. Отже, більша довжина верхньої частини крила не означає більшої швидкості руху повітря. Отже, хоча закон Бернуллі і можна застосувати для повітряних мас, які розсікаються крилом (більша швидкість зумовлює менший тиск), проте він один не пояснює підіймальну силу крила. Для повного пояснення слід застосовувати теорему Жуковського.